Về các tập lồi hạn chế theo phương

1 giáo dục đào tạo Trờng đại học vinh ==== ==== Hà Thị Tý Về Độ cong pháp dạng đa tạp riemann Luận văn thạc sĩ toán học Chuyên ngành hình học - tôpô Mã số: 60.46.10 Ngời hớng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Hữu Quang Vinh - 2010 giáo dục đào tạo Trờng đại học vinh ==== ==== Hà Thị Tý Về Độ cong pháp dạng đa tạp riemann Luận văn thạc sĩ toán học Chuyên ngành hình học - tôpô Vinh - 2010 MC LC Trang LI NểI U Chng 1: CONG CUA A TP RIEMANN I LIấN THễNG LấVI-SIVITA CUA A TP RIEMANN II CONG CUA A TP RIEMANN .12 Chng 2: CONG PHP DNG TRấN A TP CON RIEMANN 20 I DNG WEIGARTEN 20 II DNG C BN TH II .24 III CONG PHP DNG 27 KấT LUN 32 TI LIU THAM KHO 33 Lời nói đầu Các độ cong độ cong pháp dạng khái niệm đa tạp Riemann, có nhiều ứng dụng toán học, khoa học kỹ thuật Độ cong đa tạp Riemann đợc nhiều nhà toán học giới quan tâm: Khu Quốc Anh, Nguyễn Doãn Tuấn, Nguyễn Hữu Quang, ONeill B, nhiều tác giả khác Bài toán đặt trình bày tính chất độ cong pháp dạng đa tạp Riemann Bố cục luận văn gồm chơng: Chng 1: CONG CUA A TP RIEMANN Trong chng 1, chung tụi trinh bay chng minh chi tiờt cac tinh chõt c ban ca liờn thụng Lờvi-Sivita va cac tinh chõt vờ cong ca a Riemann lam c s cho viờc trinh bay chng nh: S tụn ti va nhõt ca liờn thụng Lờvi-Sivita trờn a M (Mờnh 1.2), tinh bõt biờn ca liờn thụng Lờvi-Sivita qua mt anh x vi phụi ng c (mờnh 1.5), mt s tinh chõt c ban vờ cong ca a Riemann (mờnh 1.9, 1.10, 1.11) Chng 2: CONG PHP DNG TRấN A TP CON RIEMANN Trong chng nay, chung tụi trinh bay chng minh mt s tinh chõt dng Weigarten (mờnh 2.3), dng c ban th II (mờnh 2.8, 2.9), chng minh chi tiờt vờ tinh chõt ca cong phap dng (mờnh 2.13) va tim mi liờn hờ gia cong phap dng ca a M va cong R Luõn c hoan ti Khoa Sau i hoc - Trng i hoc Vinh, di s hng dõn ca thõy giao PGS-TS Nguyờn Hu Quang Tac gia xin chõn cam n s giup , chi bao tõn tõm ca Thõy qua trinh hoc tõp va nghiờn cu Tac gia cam n cac Thõy giao tụ Hinh hoc a giang dy va chi bao cho tac gia qua trinh hoc tõp va nghiờn cu Tac gia cung xin chõn cam n cac Thõy giao, cụ giao khoa Toan, khoa Sau i hoc, Ban giam hiờu Trng i hoc Vinh, bn be va gia inh a to moi iờu kiờn thuõn li cho tac gia qua trinh hoan luõn Vinh, thang 12 nm 2010 Tac gia Chơng I Độ cong đa tạp Riemann Trong chơng này, ta kí hiệu M đa tạp Riemann n chiều đa tạp Riemann M với chiều (n+k); k Trong trờng hợp k=1 M liên thông định hớng M đợc gọi siêu mặt M Trong luận văn này, ta sử dụng kí hiệu: B ( M ), B ( M ) tơng ứng modun trờng vectơ khả vi M v M F ( M ), F ( M ) tơng ứng hàm số thực khả vi M , M TP M , TP M không gian vectơ tiếp xúc với M , M tơng ứng, điểm p M Mục đích chủ yếu chơng trình bày số tính chất liên thông Lêvi-sivita độ cong đa tạp Riemann I Liên thông Lêvi-Sivita 1.1 Định nghĩa Một liên thông tuyến tính M đợc gọi liên thông Lêvi-Sivita thỏa mãn điều kiện sau: 1. X Y Y X [ X , Y ] = 0; X , Y B ( M ) 2.Z [ X , Y ] = ( Z X ).Y + ( Z Y ) X Ta ý rằng: Hai điều kiện (1), (2) đợc gọi tính chất Lêvi-Sivita Điều kiện (1) độ xoắn M điều kiện ( 2) điều kiện liên thông Riemann M Hay nói khác liên thông Lêvi-Sivita M liên thông tuyến tính M mà làm cho độ xoắn liên thông Riemann triệt tiêu 1.2 Mệnh đề (xem [2]) Liên thông Lêvi - Sivita đa tạp M tồn Chứng minh: Để chứng minh mệnh đề ta sử dụng bổ đề sau: Bổ đề: Giả sử M đa tạp khả vi : B( M ) F( M ) - dạng M Tức : Tp M R, p a p ; với p dạng tuyến tính, p M Khi đó, tồn trờng vectơ AB( M ) cho: ( Z ) = A.Z; Z B( M ) (1) Chứng minh bổ đề: Ta cần chứng minh tồn tính A lân cận điểm tùy ý p M Giả sử { Ei } i =1 trờng mục tiêu đồ địa phơng ( U, x ) Khi với n AB( M ) ta có biểu diễn: n ( ) A = i Ei , i F( M ), i = 1, n i =1 Đẳng thức (1) tơng đơng với: ( Ei ) = A.Ei = E E j j i j ( Ei ) = j gij ; với g = E E , i, j = 1, n ij i j ( j ) (2) Từ (2) ta có đợc hệ gồm n phơng trình ẩn i Vì dạng tích vô hớng g không suy biến nên với q U , ta có det ( gij ) | q Do đó, từ (2) xác định đợc ( j ) chúng đợc biểu thị qua hàm khả vi ( Ei ) g ij ; suy j khả vi Nh vậy, trờng vectơ A khả vi A đợc xác định cách thỏa mãn (1) Chứng minh định lí: + Tính : Giả sử : B( M ) ì B( M ) B( M ) ( X, Y ) a XY liên thông Lêvi-sivita thỏa mãn: (1) T ( X, Y ) = X Y Y X [ X, Y ] = , (2) Z [ X.Y ] = ( Z X ).Y + ( X. Z )Y; X, Y, Z B ( M ) Để chứng minh tính nhất, ta chứng tỏ X Y thỏa mãn điều kiện (1) (2) thỏa mãn phơng trình sau: ( X [ Y.Z ] + Y [ Z.X ] Z [ X.Y ] + Z [ X, Y ] + Y [ Z, X ] X [ Y, Z ] ) Thật vậy, từ (1) ta suy ra: X Y.Z = X Y = Y X + [ X, Y ] Tơng tự: Y Z = Z Y + [ Y, Z ] Z X = X Z + [ Z, X ] Từ (2) ta có: (4) (5) (6) (3) Z [ X.Y ] = Z X.Y + X. Z Y Tơng tự: X [ Y.Z ] = X Y.Z + Y. X Z (7) Y [ Z.X ] = Y Z.X + Z.Y X (8) Mặt khác, từ (8) ta thu đc: Y X.Z = Y [ Z.X ] Y Z.X (9) Do đó: ( ) X Y.Z = Y X + [ X,Y ] Z (theo (4)) = Y X.Z + [ X,Y ] Z = Y Z.X + Y [ Z.X ] + [ X,Y ] Z ( ) = Z Y + [ Y,Z ] X + Y [ Z.X ] + [ X,Y ] Z (theo (9)) (theo (5)) = Z Y.X [ Y, Z ] X + Y [ Z.X ] + [ X,Y ] Z = Z X.Y Z [ X.Y ] [ Y, Z ] X + Y [ Z.X ] + [ X,Y ] Z ( (theo (2)) ) = X Z + [ Z, X ] Y Z [ X.Y ] [ Y, Z ] X + Y [ Z.X ] + [ X, Y ] Z (theo (6)) = X Z.Y + [ Z, X ] Y Z [ X.Y ] [ Y, Z ] X + Y [ Z.X ] + [ X,Y ] Z = X [ Y.Z ] X Y.Z + [ Z, X ] Y Z [ X.Y ] [ Y, Z ] X + Y [ Z.X ] + [ X, Y ] Z (theo (7)) X Y.Z = X [ Y.Z ] + [ Z, X ] Y Z [ X.Y ] [ Y, Z ] X + Y [ Z.X ] + [ X, Y ] Z Chia hai vế cho ta đợc: ( X.[ Y.Z ] + Y [ Z.X ] Z [ X.Y ] + Z [ X,Y ] + Y [ Z,X ] X [ Y,Z ] ) X Y thỏa mãn phơng trình (3) X Y.Z = Bây giờ, ta giả sử có liên thông tuyến tính khác thỏa mãn điều kiện (1) (2) Khi từ (3) suy ra: X Y.Z = X Y.Z ( ) X Y X Y Z = 0; X,Y,Z B( M ) X Y = X Y = Vậy tính đợc chứng minh + Sự tồn : Với X, YB( M ) Xét ánh xạ: : B(M) F( M ) Z a ( Z ) ( X [ Y.Z ] + Y [ Z, X ] Z [ X.Y ] + Z [ X,Y ] + Y [ Z.X ] X [ Y, Z ] ) Khi đó, ánh xạ F( M ) - tuyến tính Vi ( Z ) = Thật vậy, ta dễ dàng kiểm tra đợc tính cộng tính biến Z Mặt khác: ( Z ) = X Y.( Z ) + Y [ Z.X ] Z [ X.Y ] + Y [ Z, X ] X.[ Y, Z ] ( = ( Z ) + ) ( X [ ] ( Y.Z ) + Y [ ] ( Z.X ) X [ ] ( Y.Z ) Y [ ] ( X.Z ) ) = ( Z ) áp dụng bổ đề trên, tồn trờng vectơ AB( M ), cho: ( Z ) = A.Z; Z B( M ) Đặt: X Y = A Khi liên thông tuyến tính Thật vậy, để kiểm tra liên thông tuyến tính ta cần kiểm tra quy tắc đạo hàm Ap dung (3) ta thu đc: ( ) X Y Z = X [ Y.Z ] + ( Y ) [ Z, X ] Z [ X.Y ] + Z [ X, Y ] + ( Y ) [ Z.X ] X [ Y, Z ] ( ) = X Y Z + X [ ] ( Y.Z ) Z [ ] ( X.Y ) + X [ ] ( Z.Y ) + Z [ ] ( X.Y ) (( ) = X Y Z + X [ ] ( Y.Z ) ) 10 (( ) ) = ( ( Y ) + X [ ] Y ) Z = X Y Z + ( X [ ] Y.Z ) X X Y = X Y + X [ ] Y; Z B( M ) Bây giờ, ta kiểm tra tính chất (1) (2) Vi vai trũ cua X, Y, Z nh nên t (3) ta cung cú: Z X.Y = ( Z [ X.Y ] + X [ Y.Z ] Y [ Z.X ] + Y [ Z, X ] + X [ Y, Z ] Z [ X, Y ] ) (10) ( Z [ Y.X ] + Y [ X.Z ] X [ Z.Y ] + X [ Z, Y ] + Y [ X, Z ] Z [ Y, X ] ) (11) Cộng vế theo vế (10) (11), suy ra: Z Y.X = Z X.Y + Z Y.X = Z [ X.Y ] Vậy thỏa mãn điều kiện (2) liên thông Lêvi-Sivita Mặt khác, từ (3) ta suy ra: ( Y [ X.Z ] + X [ Z.Y ] Z [ Y.X ] + Z [ Y, X ] + X [ Z,Y ] Y [ X, Z ] ) (12) Trừ vế theo vế (3) (12) ta đợc: Y X.Z = X Y.Z Y X.Z = Z [ X, Y ] ( ) X Y Y X [ X, Y ] Z = 0; Z B( M ) Do đó: X Y Y X [ X, Y ] = hay T ( X, Y ) = thỏa mãn điều kiện (1) liên thông Lêvi-Sivita Vậy tồn liên thông Lêvi-sivita Đa tạp Riemann 1.3 Nhận xét Với M = R n , D liên thông Lêvi-Sivita R n Nhận xét đợc suy từ tính chất phép đạo hàm D trờng vectơ Rn Giả sử siêu mặt M với hớng đợc xác định trờng vectơ pháp tuyến đơn vị n Khi x n nằm B(M) 20 = X Z Y + X Y Y Z X Y Y X Z [ X ,Z )]Y [ X ,Y ] Z + + X Z Y + X Y Y Z X Y Y X Z [ X ,Z )]Y [ X ,Y ] Z + + Z Y X + X Y Z Y Z X Y X Z [ Z ,Y ] X [ X ,Y ] Z + + Z Y X + X Y Z Y Z X Y X Z [ Z ,Y ] X [ X ,Y ] Z = R ( X , Z , Y ) + R( X , Y , Z ) + R( Z , Y , X ) = R ( X , Y , Z ) R ( Z , X , Y ) R (Y , Z , X ) = R ( X , Z , Y ) R ( Z , X , Y ) R ( Z , Y , X ) + R ( X , Y , Z ) = 2.0 + R ( X , Y , Z ) = vế trái Bây ta xét ánh xạ R : B ( M ) ì B( M ) ì B ( M ) ì B ( M ) R ( X , Y , Z , T ) R ( X , Y , Z , T ) = R ( X , Y , Z )T 1.11 Mệnh đề (xem [6]) Với X , Y , Z , T B ( M ) ta có: 1) R ( X , Y , Z , T ) = R ( X , Y , Z , T ) 3) R ( X , Y , Z , T ) + R (Y , Z , X , T ) + R( Z , X , Y , T ) = 2) R ( X , Y , Z , T ) = R (Y , X , T , Z ) Chứng minh: 1) R ( X , Y , Z , T ) = R ( X , Y , Z )T = R(Y , X , Z )T = R (Y , X , Z , T ) 2) Để chứng minh 2) trớc hết ta chứng minh: R ( X , Y , Z , T ) = 0; X , Y , Z , T B( M ) Thật vậy, ta có: R ( X , Y , Z , Z ) = R ( X , Y , Z ) Z = ( X Y Z Y X Z [ X ,Y ]Z ) Z = X Y Z Z Y X Z Z [ X ,Y ]Z Z Trong đó: X Y Z Z = X [Y Z Z ] X Z Y Z (1) Y X Z Z = X [ X Z Z ] Y Z X Z (2) 21 Y Z Z = Y [ Z Z ] (3) (4) X [ Z Z ] Thay (1), (2), (3), (4) vào (*) ta thu đợc X Z Z = R ( X , Y , Z , Z ) = X [Y Z Z ] Y [ X Z Z ] [ X ,Y ]Z Z = ( X Y [ Z Z ] Y X [ Z Z ]) [ X ,Y ]Z Z = ( X Y Y X )[ Z Z ] [ X ,Y ]Z Z = (Do [ X , Y ] = từ 1.9) Mặt khác: = R( X ,Y , Z + T , Z + T ) = R( X , Y , Z + T )( Z + T ) = ( R ( X , Y , Z ) + R ( X , Y , T ))( Z + T ) = R( X , Y , Z ).Z + R ( X , Y , T ) Z + R ( X , Y , Z ).T + R ( X , Y , T )T = R( X , Y , Z , Z ) + R ( X , Y , T , Z ) + R ( X , Y , Z , T ) + R( X , Y , T , T ) = R( X , Y , Z , T ) + R( X , Y , T , Z ) Vậy R ( X , Y , Z , T ) = R ( X , Y , T , Z ) 3) R ( X , Y , Z , T ) + R (Y , Z , X , T ) + R( Z , X , T , Y ) = R( X , Y , Z ).T + R (Y , Z , X ).T + R ( Z , X , Y ).T = ( R ( X , Y , Z ) + R (Y , Z , X ) + R( Z , X , Y )).T = 0.T = 22 Chơng Độ CONG PHáP DạNG TRÊN ĐA TạP CON RIEMANN Trong chơng trình bày dạng weigarten, dạng thứ hai độ cong dạng I Dạng weigarten Giả sử M đa tạp định hớng M , ta kí hiệu N(M) không gian trờng vectơ pháp tuyến đa tạp Riemann M {N 1, ,Nk} trờng mục tiêu trực chuẩn N(M) Và N trờng vectơ đơn vị thuộc N(M) 2.1 Định nghĩa ánh xạ S N : B( M ) B ( M ) X a S N ( X ) = ( X N )T đợc gọi ánh xạ dạng Weingarten đa tạp M theo hớng N Ta nhận thấy rằng: Vì X N phụ thuộc giá trị XP p nên SN(X) phụ thuộc r vào giá trị X P p (điều có nghĩa ánh xạ S N(Xp) hoàn toàn xác định với X p Tp M ) Trong trờng hợp M mặt R3, SN ánh xạ Weigarten mà ta quen biết giáo trình học vi phân, Khi M mặt R3 với pháp tuyến đơn vị n, ta có X N = Dxn; x B(M) Mặt khác n = , nên x[n.n] = x[1] = Từ Dxn n; hay Dxn B(M) Ta có ( X N )T = (Dxn)T = D xn =-h(x) 2.2 Bổ đề S N (Y ) X = Y X N Chứng minh Ta có: 23 X N = Y [ N X ] = Y X N + Y N X = Y N X = Y X N S N (Y ) X = Y X N 2.3 Mệnh đề a) Với N N ( M ) , ánh xạ SN đồng cấu môdun từ: B ( M ) B ( M ) b) SN ánh xạ tự liên hợp Chứng minh a) Theo định nghĩa SN, ta có: S N ( X + Y ) = ( ( X +Y ) N )T = ( X N + Y N )T = ( X N )T + (Y N )T = S N ( X ) + S N (Y ); X ,Y B ( M ) S N ( X ) = ( X N )T = ( X N )T = ( X N )T = S N ( X ); F ( M ) b) Để chứng minh SN tự liên hợp, ta cần chứng minh S N ( X ).Y = S N (Y ) X ; X , Y B ( M ) áp dụng bổ đề (2.3), ta nhận đợc S N ( X ).Y = X Y N S N (Y ) X = Y X N S N ( X ).Y S N (Y ) X = X Y N + Y X N = X Y N + Y X N + [ X , Y ].N = ( X Y + Y X + [ X ,Y ]).N = 0.N = Vậy S N ( X ).Y = S N (Y ) X 24 Từ mệnh đề ta thấy ánh xạ S N / p : Tp M Tp M đợc xác định S N / p( X p ) = ( Xp N )T ánh xạ tự liên hợp Do S N / p có n giá trị riêng có n vectơ riêng tơng ứng với giá trị riêng 2.4 Ví dụ Ta xét mặt chiều M dang R4 đợc cho tham số hóa r : R R (u, v) a (cos u,sin u , v, v) Bây ta tính S N X với N N ( M ), X B ( M ) Ta có: Ru = ( sin u ,cos u , o, o) Rv = (0,0,1,1) Rõ ràng {Ru , Rv } trờng mục tiêu B(M) Ta xét trờng mục tiêu trực chuẩn N(M) là: 1 , ) 2 Khi đó, tính toán trực tiếp, ta nhận đợc N1 (cos u,sin u,0,0), N (0,0, S N1 ( Ru ) = ( DRu N1 )T = Ru T S N1 ( Rv ) = ( DRv N1 ) = Và S N2 ( Ru ) = ( DRu N )T = T S N2 ( Rv ) = ( DRv N ) = Ma trận S N1 A1 = 00 Ma trận S N2 00 A1 = 00 Vì H N1 = ; K N1 = 0; 25 Và H N2 = 0; K N = Giả sử X = X 1Ru + X Rv , N = N1 + N ; X , X ,1 ,2 hàm số khả vi M Ta có: S N X = S N ( X 1Ru + X Rv ) = X 1S N ( Ru ) + X S N ( Rv ) = X ( DRu (1 N1 + N ))T + X ( DRv (1 N1 + N ))T = X 1Ru 2.5 Hệ Giả sử S N / p có n giá trị riêng , , n phân biệt Khi vectơ riêng tơng ứng với giá trị riêng đôI vuông góc Thật vậy: Ta giả sử li vectơ riêng S N / p tơng ứng với i Từ mệnh đề (2.3), ta suy ra: S N / p (li ).l j = (ili ).l j S N / p (l j ).li = ( j l j ).li (ili ).l j = ( j l j ).li (i j ).lil j = lil j = li l j Ta kí hiệu H N ( p) = tr ( S N / p) n K N ( p) = det( S N / p) Khi H N ( p) , K N ( p) tơng ứng đợc gọi độ cong trung bình, độ cong Gauss M p theo hớng N II Dạng thứ II Trong mục này, trình bày số tính chất dạng thứ II đa tạp Riemann M đa tạp Riemann M 2.6 Định nghĩa Giả sử N trờng vectơ pháp tuyến đơn vị M 26 ánh xạ l N : B( M ) ì B ( M ) F ( M ) đợc cho l N ( X , Y ) = S N ( X ).Y ; X , Y B ( M ) đợc gọi dạng thứ II M theo hớng N 2.7 Nhận xét a) lN ( X ,Y ) lN ( X ,Y ) p điểm p hoàn toàn xác định X p , Yp T p M = lN ( X p , Yp ) b) l N ánh xạ song tuyến tính Thật l N (1 X + X , Y ) = S N (1 X + X ).Y = 1S N ( X )Y + S N ( X )Y = 1l N ( X , Y ) + 2lN ( X , Y ); 1, F ( M ) l N ( X ,1Y1 + 2Y2 ) = S N X (1Y1 + 2Y2 ) = 1S N ( X )Y1 + S N ( X )Y2 = 1l N ( X , Y1 ) + 2lN ( X , Y2 ) c) Ta trở lại ví dụ (2.4), ta có S N ( Ru ).Rv = Bây ta xét điểm p M kí hiệu p không gian vectơ chiều Tp M Số k N ( p ) = l N ( X p , X p ).lN (Yp , Yp ) (l N ( X p , X p )) Xp Yp ( X p Yp ) đợc gọi độ cong Gauss p theo hớng N (ở { X p , Yp } sở p ) 2.8 Mệnh đề l N có tính chất đối xứng Chứng minh Ta cần chứng minh l N ( X , Y ) = lN (Y , X ); X , Y B( M ) Ta có: l N ( X , Y ) = S N ( X ).Y 27 = ( X N )T Y = ( X N ).Y = X [ N Y ] ( X Y ).N (Do tính chất Levi-Sivita ) = X Y N = S N (Y ) X (áp dụng với bổ đề 2.3) = l (Y , X ) 2.9 Mệnh đề k N ( p ) không phụ thuộc vào việc chọn sở p r r r r Chứng minh Giả sử X p , Yp sở khác p Khi có X , Y lấy { } điểm p có giá trị p X , Y Ta có biểu diễn X p = X p + 2Yp Y p = X p + 2Y p Bằng tính toán trực tiếp ta nhận đợc l N ( X p , Y p ).lN (Y p , Y p ) (l N ( X p , Y p )) = [lN ( X p , X p ).l N (Yp , Yp ) (lN ( X p , Yp )) ] Tơng tự ta có: Xp = 2 Y p ( X p Y p )2 [ Xp 2 Yp ( X p Yp ) ] Từ đó, ta suy ra: l N ( X p , X p ).lN (Y p , Y p ) (lN ( X p , Y p )) Xp Yp ( X p Y p ) 28 = lN ( X p , X p ).lN (Yp , Yp ) (lN ( X p , Yp )) Xp Yp ( X p Yp ) 2.10 Chú ý Trong trờng hợp M mặt R3 đợc cho tham số hóa (u, v) r (u, v); u, v R Ta xét X = Ru , Y = Rv Khi l N ( Ru , Ru ) = S N ( Ru ).Ru = ( DRu N ).Ru = L Tơng tự l N ( Rv , Rv ) = N l N ( Ru , Rv ) = M Khi đó: k N ( p ) = LN M2 EG F Hay k N ( p ) độ cong Gauss mặt M điểm p Nh ta biết giáo trình hình học vi phân (xem [ ]) E = Ru Ru , F = Ru Rv , G = Rv Rv hệ số dạng thứ I hay k N ( p ) = K p , p M III Độ cong pháp dạng Trong mục này, ta xét ánh xạ sau đây: B : B(M ) ì B( M ) N (M ) ( X ,Y ) a B ( X , Y ) = ( X Y ) N Và ánh xạ hX : N ( M ) ( X N )T với X B ( M ) 2.11 Nhận xét a, B ánh xạ song tuyến tính thực b, B đối xứng; nghĩa là: B ( X , Y ) = B (Y , X ); X , Y B ( M ) c, B ( X , Y ).N = hX ( N ).Y ; Y B ( M ); N N ( M ) 29 Thật vậy: a, Do tính chất song tuyến tính thực nên B ánh xạ song tuyến tính thực b, Ta có: B ( X , Y ).N = ( X Y ) N N = ( X Y ).N = (Y X + [ X , Y ]).N = (Y X ) N = (Y X ) N N = B (Y , X ).N ; N N ( M ) Từ ta suy ra: B ( X , Y ) = B (Y , X ); X , Y B ( M ) c, Ta có: B ( X , Y ).N = ( X Y ).N = S N ( X ).Y (theo bổ đề 2.3) = ( X N )T Y = hX ( N ).Y 2.12 Định nghĩa ánh xạ: : B ( M ) ì N ( M ) N ( M ) ( X , N ) X N = ( X N ) N Đợc gọi liên thông pháp dạng M 2.13 Mệnh đề Với X B ( M ), Y B ( M ); N1 , N , N N ( M ), F ( M ); a ) X ( N1 + N ) = X N1 + X N ; b) X ( N ) = X [ ].N + X N ; c ) X +Y ( N ) = X N + Y N d )X N = X N e) X [ N1 , N ] = ( X N1 ).N + ( X N ).N1 Chứng minh: 30 a ) X ( N1 + N ) = ( X ( N1 + N )) N N = ( X N1 + X N ) N = ( X N1 ) N + ( X N ) N = X N1 + X N b) X ( N ) = ( X ( N )) N = ( X [ ]N + X N ) N = ( X [ ]N + X N ) N c ) X +Y N = ( X +Y N ) N = ( X N + Y N ) N = X N + Y N d )X N = ( X N ) N = ( X N ) N = X N e) X [ N1 , N ] = ( X N1 ) N + ( X N ) N1 = [( X N1 ) N + ( X N1 )T ]N + [( X N ) N + ( X N )T ] N1 = ( X N1 ) N N + ( X N ) N N1 = ( X N1 ).N + (Y N ).N1 Giả sử {N1 , , N k } trờng mục tiêu trực chuẩn N(M), từ 3.13.e, ta có ( X N i ) N j = ( X N j ) N i ; i, j = 1, k đặc biệt M mặt R3 X N = 0; với N pháp tuyến đơn vị M 2.14 Ví dụ Mặt M R4 đợc cho tham số hóa r : R2 R4 31 (u , v) a (cos u ,sin u, u, v) Bây ta tính X N mặt M Ru = ( sin u ,cos u ,1,0) Rv = (0,0,0,1) Ta có: {Ru , Rv } sở B(M) Ta xét trờng mục tiêu trực chuẩn N(M) là: sin u cos u , , ,0) N1 = ( 2 N = (cos u ,sin u ,0,0) Ta suy N1 = X N = 0; X B ( M ) (ở =0) Giả sử X = X Ru + X Rv N = (u , v) N1 + (u , v ).N Khi X N = (X1Ru + X Rv ) ( N1 + N ) = X Ru ( N1 ) + X 1. Ru ( N ) + X Rv ( N1 ) + X Rv ( N ) = X Ru [ ].N1 + X Ru [ ].N + X Rv [ ].N1 + X Rv [ ].N Từ ta thu đợc X N = ( X u' + X v' ).N1 + ( X 1.u' + X v' ).N 2.15 Định nghĩa Độ cong pháp dạng M ánh xạ R R : B( M ) ì B(M ) ì N (M ) N (M ) ( X , Y , N ) a R ( X , Y , N ); Với R ( X , Y , N ) = X (Y N ) Y ( X N ) [X ,Y ] N Ta ý rằng, với mặt M đợc cho ví dụ ta có: R ( Ru , Rv , N ) = Rv ( Rv N ) Rv ( Rv N ) [Rv , Rv ] N = (uv" N1 + uv' N ) (vu" N1 + vu' N ) =0 2.16 Mệnh đề Giả sử R độ cong M Khi ta có: 32 R ( X , Y , N ) = R( X , Y , N ) Chứng minh: R ( X , Y , N ).N = ( X (Y N ) Y ( X N ) [X ,Y ] N ).N = ( X (Y N )).N (Y ( X N )).N [X ,Y ] N ).N = ( X (Y N ).N Y ( X N ).N [X ,Y ] N ).N = [ X (Y N + hY ( N ))].N [Y ( X N + hX ( N ))].N ([ X ,Y ] N ).N = ( X Y N Y X N [ X ,Y ] N ).N + [ X hY ( N ) Y hX ( N )].N = R ( X , Y , N ).N + [( X N ).hY ( N ) (Y N ).hX ( N )] = R ( X , Y , N ).N + [( X N )T hY ( N ) (Y N )T hX ( N )] = R ( X , Y , N ).N + ( hX ( N ).hY ( N ) + hY ( N )hX ( N ).hY ( N )) = R ( X , Y , N ).N Từ mệnh đề ta nhận thấy thành phần pháp dạng theo hớng N R(X,Y,N) độ cong pháp dạng R ( X , Y , N ) Mệnh đề nói lên mối liên hệ độ cong pháp dạng M độ cong R 33 Kết luận Luận văn đạt đợc kết sau: - Trình bày chi tiết tính chất liên thông Lêvi Sivita (mệnh đề 1.2, 1.4, 1.5, 1.6), độ cong đa tạp Riemann (mệnh đề 1.9, 1.10, 1.11), dạng Weigarten (mệnh đề 2.3), dạng thứ II (mệnh đề 2.8, 2.9) - Đa số ví dụ tính độ cong đa tạp Riemann, độ cong pháp dạng đa tạp Riemann - Phát biểu chứng minh hệ 2.5 - Phát biểu chứng minh tính chất độ cong pháp dạng đa tạp Riemann - Phát biểu chứng minh mối liên hệ độ cong pháp dạng M độ cong R / Trong thời gian tới tiếp tục nghiên cứu độ cong pháp dạng đa tạp chiều TI LIU THAM KHO Tai liờu Tiờng Viờt 34 [1] Khu Quc Anh - Nguyờn Doan Tuõn, Lý thuyt liờn thụng v Hỡnh hc Riemann, NXB HSP Hà Nội, (2005) [2] Nguyờn Hu Quang, M u v Hỡnh hc Riemann, Bai giang chuyờn Sau i hoc, Vinh, (2005) [3] oan Qunh, Hỡnh hc vi phõn, NXB Giao dc, (2000) [4] oan Qunh, Bi hỡnh hc vi phõn, NXB Giao dc, (2000) [5] Nguyờn th Diờu Thuý, cong c bn trờn a Riemann, Luõn thc s, (2006) [6] Nguyờn th Qunh Xuõn, Tenx cong, tenx xon v cong thit din trờn a Riemann, Luõn thc s, (2004) [7] Gromoll.D, Klingenberg.W, Meyer.W (1971), Hỡnh hc Riemann ton cc, Ban dch t tiờng Nga, ngi dch Trng c Hinh Tai liờu Tiờng Anh [8] Chern S.S, Chen W.H, Lam K.S Lecturs on differential geometry, copyright @2000 by world, scientific [9] Oneill.B (1966) Elementary differential Geometry, Academic press, New-york and London [10] Sigmundur Gudmundsson (2009), An Introdution to Riemannian Geometry, Lund university [...]... X% 1.6 Mệnh đề (xem [4]) Giả sử M là đa tạp khả song và {E 1, ,En} là các trờng mục tiêu trực chuẩn trên M n Khi X Y = X [Yi ]Ei là một liên thông Lêvi-Sivita trên M ở đây i =1 n X , Y B ( M ) và Y = Yi Ei i =1 Chứng minh Theo cách xác định nh trên thì rõ ràng là một liên thông tuyến tính trên M 14 ở đây, ta chỉ cần kiểm tra các tính chất Lêvi-Sivita của n n i =1 i =1 X Y Y X [ X , Y ] =... Z , X ) + R( Z , X , Y )).T = 0.T = 0 22 Chơng 2 Độ CONG PHáP DạNG TRÊN ĐA TạP CON RIEMANN Trong chơng này chúng tôi trình bày về dạng weigarten, dạng cơ bản thứ hai và độ cong các dạng I Dạng weigarten Giả sử M là đa tạp con định hớng của M , ta kí hiệu N(M) là không gian các trờng vectơ pháp tuyến của đa tạp Riemann con M và {N 1, ,Nk} là trờng mục tiêu trực chuẩn trong N(M) Và N là trờng vectơ đơn... X = X 1Ru + X 2 Rv , N = 1 N1 + 2 N 2 ; ở đây X 1 , X 2 ,1 ,2 đều là các hàm số khả vi trên M Ta có: S N X = S N ( X 1Ru + X 2 Rv ) = X 1S N ( Ru ) + X 2 S N ( Rv ) = X 1 ( DRu (1 N1 + 2 N 2 ))T + X 2 ( DRv (1 N1 + 2 N 2 ))T = 1 X 1Ru 2.5 Hệ quả Giả sử S N / p có n giá trị riêng 1 , , n phân biệt Khi đó các vectơ riêng tơng ứng với các giá trị riêng ấy đôI một vuông góc Thật vậy: Ta giả sử li là vectơ... = ( X N )T đợc gọi là ánh xạ dạng Weingarten của đa tạp M theo hớng N Ta nhận thấy rằng: Vì X N chỉ phụ thuộc giá trị XP tại p nên SN(X) cũng chỉ phụ thuộc r vào giá trị X P tại p (điều này có nghĩa là ánh xạ S N(Xp) hoàn toàn xác định với X p Tp M ) Trong trờng hợp M là mặt trong R3, khi đó SN là ánh xạ Weigarten mà ta đã quen biết trong các giáo trình học vi phân, thật vậy Khi M là mặt trong R3... Gauss của M tại p theo hớng N II Dạng cơ bản thứ II Trong mục này, chúng tôi trình bày một số tính chất cơ bản của dạng cơ bản thứ II của đa tạp Riemann con M trong đa tạp Riemann M 2.6 Định nghĩa Giả sử N là trờng vectơ pháp tuyến đơn vị của M 26 ánh xạ l N : B( M ) ì B ( M ) F ( M ) đợc cho bởi l N ( X , Y ) = S N ( X ).Y ; X , Y B ( M ) đợc gọi là dạng cơ bản thứ II của M theo hớng N 2.7 Nhận... )hX ( N ).hY ( N )) = R ( X , Y , N ).N Từ mệnh đề trên ta nhận thấy rằng thành phần pháp dạng theo hớng N của R(X,Y,N) chính là độ cong pháp dạng R ( X , Y , N ) Mệnh đề trên nói lên mối liên hệ giữa độ cong pháp dạng của M và độ cong R 33 Kết luận Luận văn đã đạt đợc những kết quả sau: - Trình bày chi tiết các tính chất cơ bản của liên thông Lêvi Sivita (mệnh đề 1.2, 1.4, 1.5, 1.6), độ cong của đa... đa tạp Riemann (mệnh đề 1.9, 1.10, 1.11), dạng Weigarten (mệnh đề 2.3), dạng cơ bản thứ II (mệnh đề 2.8, 2.9) - Đa ra một số ví dụ về tính độ cong của đa tạp Riemann, độ cong pháp dạng trên đa tạp con Riemann - Phát biểu và chứng minh hệ quả 2.5 - Phát biểu và chứng minh các tính chất của độ cong pháp dạng trên đa tạp con Riemann - Phát biểu và chứng minh mối liên hệ giữa độ cong pháp dạng của M và... Y [ N X ] = 0 Y X N + Y N X = 0 Y N X = Y X N S N (Y ) X = Y X N 2.3 Mệnh đề a) Với mỗi N N ( M ) , ánh xạ SN là đồng cấu môdun từ: B ( M ) B ( M ) b) SN là ánh xạ tự liên hợp Chứng minh a) Theo định nghĩa SN, ta có: S N ( X + Y ) = ( ( X +Y ) N )T = ( X N + Y N )T = ( X N )T + (Y N )T = S N ( X ) + S N (Y ); X ,Y B ( M ) S N ( X ) = ( X N )T = ( X N )T = ( X N )T = S N ( X ); F (... ta xét điểm p M và kí hiệu p là không gian vectơ con 2 chiều trong Tp M Số k N ( p ) = l N ( X p , X p ).lN (Yp , Yp ) (l N ( X p , X p )) 2 Xp 2 Yp 2 ( X p Yp ) 2 đợc gọi là độ cong Gauss của p theo hớng N (ở đây { X p , Yp } là cơ sở trong p ) 2.8 Mệnh đề l N có tính chất đối xứng Chứng minh Ta cần chứng minh l N ( X , Y ) = lN (Y , X ); X , Y B( M ) Ta có: l N ( X , Y ) = S N ( X ).Y 27 =... = M 2 Khi đó: k N ( p ) = LN M2 EG F Hay k N ( p ) chính là độ cong Gauss của mặt M tại điểm p Nh ta đã biết trong giáo trình hình học vi phân (xem [ ]) ở đây E = Ru Ru , F = Ru Rv , G = Rv Rv là các hệ số của dạng cơ bản thứ I hay k N ( p ) = K p , p M III Độ cong pháp dạng Trong mục này, ta xét ánh xạ sau đây: B : B(M ) ì B( M ) N (M ) ( X ,Y ) a B ( X , Y ) = ( X Y ) N Và ánh xạ hX : N ( ... đó: ( ) X Y.Z = Y X + [ X,Y ] Z (theo (4)) = Y X.Z + [ X,Y ] Z = Y Z.X + Y [ Z.X ] + [ X,Y ] Z ( ) = Z Y + [ Y,Z ] X + Y [ Z.X ] + [ X,Y ] Z (theo (9)) (theo (5)) = Z Y.X [ Y, Z ] X + Y... Z X.Y Z [ X.Y ] [ Y, Z ] X + Y [ Z.X ] + [ X,Y ] Z ( (theo (2)) ) = X Z + [ Z, X ] Y Z [ X.Y ] [ Y, Z ] X + Y [ Z.X ] + [ X, Y ] Z (theo (6)) = X Z.Y + [ Z, X ] Y Z [ X.Y ] [ Y, Z ] X... Khi X Y = X [Yi ]Ei liên thông Lêvi-Sivita M i =1 n X , Y B ( M ) Y = Yi Ei i =1 Chứng minh Theo cách xác định nh rõ ràng liên thông tuyến tính M 14 đây, ta cần kiểm tra tính chất Lêvi-Sivita