Áp dụng phương pháp dạy học tích cực vào dạy học chủ đề phương trình và bất phương trình ở trung học phổ thông luận văn thạc sỹ giáo dục học

Do đó trong quá trình dạy học, nếu người giáo viên thường xuyên có ý thức trau dồi khả năng tìm lời giải các bài toán thì sẽ có tác dụng rất tốt trong việcphát triển tư du

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ MINH

ĐỀ CƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SỸ

ĐỀ TÀI:

ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC VÀO DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Ở THPT

CHUYÊN NGÀNH: LÍ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TOÁN

MÃ SỐ : 60.14.10

Người hướng dẫn khoa học : TS TRẦN ANH TUẤN

VINH – 2011.

Lêi c¶m ¬n

Trớc hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Trần Anh Tuấn, ngời thầy đã nhiệt tình hớng dẫn tôi hoàn thành luận văn này trong thời gian qua.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban giám hiệu, ban chủ nhiệm khoa sau Đại học trờng Đại học Vinh cùng tất cả các thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy trong suốt quá trình tôi học tập nghiên cứu và hoàn thành các chuyên đề thạc sĩ khoá 17, nghành Toán trờng Đại học Vinh.

Tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong Ban giám hiệu, tổ Toán trờng THPT Nguyễn Xuân Ôn, Diễn Châu, Nghệ An - nơi tôi đang công tác giảng dạy, đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong quá trình tôi tiến hành thực nghiệm s phạm.

Luận văn còn có sự giúp đỡ về tài liệu và những ý kiến góp ý quý báu của các thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Lý luận và Phơng pháp giảng dạy bộ môn Toán.

Cuối cùng, tôi xin đợc gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp - những ngời luôn cổ vũ động viên tôi để tôi hoàn thành tốt Luận văn này.

Tuy đã có nhiều cố gắng, Luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót cần

đợc góp ý, sửa chữa Rất mong nhận đợc những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và bạn đọc.

Tác giả

QUY ƯỚC VỀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT

SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN

M C L C ỤC LỤC ỤC LỤC

1.1.3 Những dấu hiệu đặc trưng của phương pháp dạy học tích cực. 10

1.2.1 Quan điểm về hoạt động trong Tâm lý học hiện đại 13

1.2.2 Tiếp cận khoa học luận về giáo dục Toán học. 14

1.3 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC CẦN PHÁT

1.3.1 Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề. 18

ÁP DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC VÀO

DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG

2.1 NỘI DUNG CHỦ ĐỀ PT VÀ BPT TRONG CHƯƠNG TRÌNH

2.2.1 Nguyên tắc xây dựng các HĐHT nhằm phát huy tính tích cực

2.2.2 Các biện pháp sư phạm nhằm phát huy tính tích cực của học

2.2.3 Vận dụng phương pháp dạy học tích cực vào dạy học những

TÀI LIỆU THAM KHẢO 117

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1.1 Sự phát triển của đất nước trong giai đoạn hiện nay, công cuộc công

nghiệp hóa, hiện đại hóa được đặc biệt quan tâm Để đáp ứng được yêu cầu đặt ra

về nguồn nhân lực có đủ khả năng, năng lực, trình độ làm chủ công cụ lao độngtrong nền sản xuất tự động hóa Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV Ban chấp hànhTrung ương Đảng Cộng Sản Việt Nam (khóa IV, 1993) nêu rõ: “Mục tiêu giáo dục– đào tạo phải hướng vào việc đào tạo những con người lao động tự chủ, sáng tạo,có năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp, qua đó góp phần tích cực thể hiệnmục tiêu lớn của đất nước” Trước tình hình đó, ngành giáo dục cần thay đổiphương pháp đào tạo để phù hợp với thực tiễn Nghị quyết Hội nghị lần thứ II Banchấp hành Trung ương Đảng Cộng Sản Việt Nam (khóa VIII, 1997): “Phải đổi mớiphương pháp đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư

duy sáng tạo của người học Từng bước áp dụng những phương pháp tiên tiến vàphương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện thời gian tự học, tựnghiên cứu…”.

Luật giáo dục năm 2005 quy định: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải pháthuy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểmcủa từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theonhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm,đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” Cho thấy việc “tích cực, chủđộng trong học tập” là rất cần thiết giúp rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vàothực tiễn Muốn chủ động cần phải định hướng, tìm ra phương pháp hoạt động thíchhợp để giải quyết vấn đề

Theo A A Stoliar, dạy toán là dạy hoạt động Toán học, trong đó hoạt độngcủa học sinh chủ yếu là hoạt động giải bài tập toán Bài tập toán mang nhiều chứcnăng như: chức năng giáo dục, chức năng giáo dưỡng, chức năng phát triển tư duy,chức năng kiểm tra và đánh giá Vì vậy có thể nói dạy học bài tập toán là một trongnhững tình huống điển hình trong dạy học bộ môn Toán Nội dung chương trình đạisố và giải tích ở trường phổ thông là hết sức phong phú và đa dạng Có những dạngtoán đã có thuật giải nhưng cũng có rất nhiều bài toán chưa có thuật giải Đứngtrước những bài toán chưa có thuật giải đó, giáo viên cần dẫn dắt học sinh để các

em huy động kiến thức, tìm ra lời giải phù hợp đồng thời phát triển được tư duy linhhoạt cho các em

Việc rèn luyện khả năng tìm lời giải bài toán đóng vai trò quan trọng trong quátrình giải toán Do đó trong quá trình dạy học, nếu người giáo viên thường xuyên có

ý thức trau dồi khả năng tìm lời giải các bài toán thì sẽ có tác dụng rất tốt trong việcphát triển tư duy linh hoạt cho các em học sinh

1.2 Rèn luyện, phát triển tư duy linh hoạt cho học sinh trong giải Toán có vai

trò quan trọng trong việc phát triển tư duy của học sinh, để từ đó có khả năng thíchứng khi đứng trước một vấn đề cần giải quyết Học sinh cũng thấy được mỗi lời giảibài Toán là kết quả của một quá trình suy luận, tư duy, mà phương pháp giải khôngchỉ phụ thuộc vào đặc điểm của bài Toán mà còn phụ thuộc tố chất tâm lý của bản

thân người giải Mối liên hệ, dấu hiệu trong bài Toán chỉ có thể được phát hiệnthông qua quá trình phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, so sánh, Đồng thời, quaviệc phát triển tư duy linh hoạt cho học sinh trong dạy học giải Toán làm cho họcsinh biết được tính thực tiễn của Toán học: xuất phát từ thực tiễn và quay về phụcvụ thực tiễn Nguồn gốc sức mạnh của Toán học là ở tính chất trừu tượng cao độcủa nó Nhờ trừu tượng hoá mà Toán học đi sâu vào bản chất của nhiều sự vật, hiệntượng và có ứng dụng rộng rãi Nhờ có khái quát hoá, xét tương tự mà khả năng suyđoán và tưởng tượng của học sinh được phát triển, và có những suy đoán có thể rấttáo bạo, có căn cứ dựa trên những quy tắc, kinh nghiệm qua việc rèn luyện các thaotác tư duy Cũng qua thao tác khái quát hoá và trừu tượng hoá mà tư duy độc lập, tưduy sáng tạo, tư duy phê phán của học sinh cũng được hình thành và phát triển Bởiqua việc phát triển tư duy đó học sinh tự mình phát hiện vấn đề, tự mình xác địnhđược phương hướng, tìm ra cách giải quyết và cũng tự mình kiểm tra, hoàn thiện kếtquả đạt được của bản thân cũng như của người khác Một mặt các em cũng pháthiện ra được những vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới.

Rèn luyện, phát triển tư duy linh hoạt trong dạy và học bộ môn Toán có vai tròquan trọng như vậy, tuy nhiên ở trường phổ thông hiện nay, vấn đề rèn luyện vàphát triển tư duy linh hoạt chưa được quan tâm đúng mức Nó chỉ diễn ra một cách

tự phát, chưa có sự chỉ đạo và tài liệu hướng dẫn giáo viên thực hiện Do đó, giáoviên chưa thành thạo trong việc khai thác các tình huống, các nội dung dạy họcnhằm rèn luyện và phát triển tư duy linh hoạt cho học sinh

1.3 Trong cuộc sống hiện nay có nhiều cơ hội để rèn luyện và phát triển tư

duy linh hoạt Đặc biệt chương trình Toán ở trường Trung học phổ thông có nhiềutiềm năng thuận lợi cho việc rèn luyện, phát triển tư duy linh hoạt Bài tập Toán córất nhiều dạng thuộc vào nhiều chủ đề kiến thức khác nhau Khi giải các bài tậpToán đòi hỏi học sinh phải biết định hướng, phải sử dụng một cách tổng hợp kiếnthức liên quan đến nhiều lĩnh vực khác nhau Hệ thống bài tập Đại số, Giải tích kháphong phú về chủng loại với các mức độ khó khác nhau phù hợp với các đốitượng học sinh có trình độ nhận thức khác nhau Vì vậy đây là một lĩnh vực có

thể khai thác để rèn luyện kĩ năng, phát triển tư duy cho học sinh trong quá trìnhdạy học

1.4 Mặc dù có một số công trình liên quan đến rèn luyện và phát triển tư duy

linh hoạt, nhưng việc rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy của học sinhkhi giải Toán vẫn là vấn đề cần được tiếp tục nghiên cứu cả về phương diện lý luậnvà triển khai trong thực tiễn dạy học

Từ những lý do trên đây, chúng tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu của

luận văn là: “Rèn luyện và phát triển tư duy linh hoạt cho học sinh THPT trong quá trình dạy học giải toán Đại số và Giải tích”.

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Đề xuất một số định hướng sư phạm rèn luyện và phát triển tư duy linh hoạttrong dạy học giải bài tập toán nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh, gópphần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường phổ thông

3 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Trên cơ sở nội dung chương trình SGK hiện hành nếu trong dạy học toán giáo viên chú ý rèn luyện và phát triển tư duy linh hoạt cho học sinh thì sẽ bồi dưỡng

được năng lực giải toán góp phần nâng cao chất lượng dạy học Toán ở trường phổthông

4 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

4.1 Nghiên cứu cơ sở lý luận có liên quan đến vấn đề bồi dưỡng trí tuệ và phát

triển năng lực giải toán cho học sinh

4.2 Điều tra, đánh giá thực trạng dạy học giải bài tập Toán ở trường THPT;

lựa chọn ra một số thao tác tư duy cần rèn luyện cho học sinh trong giải Toán

4.3 Nghiên cứu và đề xuất một số định hướng sư phạm về việc rèn luyện và

phát triển tư duy linh hoạt cho học sinh nhằm nâng cao năng lực giải Toán

4.4 Thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi của các định hướng sư

phạm đã đề xuất

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Luận văn sử dụng các phương pháp sau đây trong quá trình nghiên cứu:

5.1 Nghiên cứu lý luận:

- Nghiên cứu các tài liệu về triết học, giáo dục học, tâm lý học, lý luận dạy họcmôn Toán.

- Nghiên cứu các sách báo, các bài viết về khoa học Toán, các công trình khoahọc giáo dục có liên quan trực tiếp đến đề tài

5.2 Điều tra quan sát:

Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh trong quátrình khai thác các bài tập ở sách giáo khoa

5.3 Thực nghiệm sư phạm:

Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và hiệu quả của luậnvăn

6 DỰ KIẾN ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN

Góp phần làm rõ một số thành phần trong năng lực giải Toán của học sinhthông qua việc rèn luyện và phát triển tư duy linh hoạt

Đưa ra được những định hướng sư phạm nhằm góp phần bồi dưỡng năng lựcgiải Toán thông qua rèn luyện tư duy linh hoạt cho học sinh THPT trong quá trìnhgiải Toán

7 CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn có ba chương:Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Rèn luyện và phát triển tư duy linh hoạt cho học sinh THPT thông quadạy học giải bài tập Đại số và Giải tích

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.

1.1 Một số vấn đề về tư duy

1.1.1 Khái niệm về tư duy

Hiện thực xung quanh có nhiều cái mà con người chưa biết Nhiệm vụ củacuộc sống và hoạt động thực tiễn luôn đòi hỏi con người phải hiểu thấu cái chưabiết đó ngày một sâu sắc, đúng đắn và chính xác hơn, phải vạch ra những cái bảnchất và những quy luật tác động của chúng Quá trình nhận thức đó gọi là tư duy Trong tâm lý học, theo X L Rubinstêin: "Tư duy - đó là sự khôi phục trong ýnghĩ của chủ thể về khách thể với mức đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư liệucảm tính xuất hiện do tác động của khách thể"

Ngoài ra có một số định nghĩa khác, chẳng hạn: "Tư duy là một quá trình tâm

lý phản ánh những thuộc tính, bản chất mối liên hệ và quan hệ bên trong có tínhquy luật của sự vật hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết"[32]

Theo Từ điển Triết học: "Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức

một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quantrong các khái niệm, phán đoán, lý luận Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt độngsản xuất xã hội của con người và đảm bảo phản ánh thực tại một cách gián tiếp, pháthiện những mối liên hệ hợp quy luật Tư duy chỉ tồn tại trong mối liên hệ không thểtách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hộiloài người cho nên tư duy của con người được thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽvới lời nói và những kết quả của tư duy được ghi nhận trong ngôn ngữ Tiêu biểucho tư duy là những quá trình như trừu tượng hoá, phân tích và tổng hợp, việc nêulên là những vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chúng, việc đề xuất những giảthiết, những ý niệm Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nàođó"

1.1.2 Đặc điểm của tư duy

Trước hết, cần hiểu rằng tư duy là sản phẩm cao nhất của bộ não con người vàlà một quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan Do đó, tư duy thuộc nấcthang nhận thức cao nhất, đó là nhận thức lý tính Vì vậy tư duy có những đặc điểmmới về chất so với cảm giác và tri giác Có thể thấy sự khác biệt đó qua những đặcđiểm cơ bản sau:

Điều kiện nảy sinh tư duy: tư duy chỉ nảy sinh khi con người đứng trước

những hoàn cảnh có vấn đề Không phải bất cứ tác động nào của hoàn cảnh cũngđều gây ra tư duy Trên thực tế tư duy chỉ nảy sinh khi gặp những hoàn cảnh có vấn

đề mà bằng vốn hiểu biết cũ ta không thể giải quyết được nó Để nhận thức conngười phải vượt qua khỏi phạm vi những hiểu biết tri thức cũ và đi tìm cái mới đạtmục đích mới Những hoàn cảnh như thế gọi là hoàn cảnh có vấn đề Theo thuậtngữ lý thuyết tình huống thì đó là sự mất cân bằng Hoàn cảnh có vấn đề sẽ kíchthích con người tư duy Muốn vậy con người phải nhận thức được, ý thức được

hoàn cảnh có vấn đề, nhận thức được mâu thuẫn chứa đựng trong vấn đề, chủ thểphải có nhu cầu, nhu cầu nhận thức và đương nhiên phải có những tri thức cần thiếtcó liên quan đến vấn đề, chỉ trên cơ sở đó thì tư duy mới nảy sinh và diễn biến Mộttrong những người có công trình nghiên cứu nhiều nhất về tư duy là X L.Rubinstein Ông đã nhấn mạnh rằng “tư duy sáng tạo luôn được bắt đầu từ một hoàncảnh có vấn đề”

Tư duy có tính khái quát: khác với nhận thức cảm tính, tư duy có khả năng đi

sâu vào sự vật, hiện tượng nhằm vạch ra những thuộc tính chung những mối liên hệ,quan hệ có tính quy luật giữa chúng Vì thế tư duy có tính khái quát

Nhờ phản ánh khái quát, các quy luật mà tư duy giúp con người không chỉnhận thức thế giới mà c ̣òn có khả năng cải tạo thế giới

Tư duy có tính gián tiếp: ở mức độ nhận thức cảm tính, con người phản ánh

trực tiếp sự vật, hiện tượng bằng giác quan của mình trên cơ sở đó cho ta hình ảnhcảm tính về sự vật và hiện tượng đến tư duy, con người không nhận thức thế giớimột cách trực tiếp mà có khả năng nhận thức thế giới một cách gián tiếp - nhận thứcbằng ngôn ngữ, nhờ phương tiện ngôn ngữ và khả năng phản ánh khái quát; conngười có khả năng vạch ra các thuộc tính bản chất, các mối quan hệ có tính quyluật Dự đoán được chiều hướng phát triển và diễn biến của chúng để nhận thức vàcải tạo chúng

Quan hệ giữa tư duy với ngôn ngữ: “Tư duy và ngôn ngữ có quan hệ chặt chẽ

với nhau không tách rời nhau, nhưng cũng không đồng nhất với nhau Sự thốngnhất giữa tư duy và ngôn ngữ thể hiện rõ ở khâu biểu đạt kết quả của quá trình tư

duy” 29, tr.9.

Theo quan điểm của duy vật biện chứng thì tư duy và ngôn ngữ có quan hệchặt chẽ với nhau nhưng không đồng nhất với nhau Nhờ có tư duy mà ngôn ngữphát triển; ngược lại ngôn ngữ là công cụ thúc đẩy tư duy phát triển

Nét nổi bật của tư duy là quá trình tư duy bao gồm nhiều giai đoạn kế tiếpnhau đó là từ nhận thức vấn đề đến xuất hiện các liên tưởng và qua quá trình tư duy

bộ não sàng lọc các liên tưởng đó để hình thành nên các giả thuyết từ đó kiểm tragiả thuyết để chính xác hoá nhằm phủ định hay khẳng định vấn đề đó là đi đến bác

bỏ hay chấp nhận giả thuyết Trong tất cả các bước trên tư duy luôn luôn xuất hiệnkhi gặp hoàn cảnh có vấn đề, và tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính.Theo X L Rubinstêin khẳng định: “nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong tư duytrừu tượng, tựa hồ như làm chỗ dựa cho tư duy” Điều đó cũng cho ta nhận thấyrằng quá trình tư duy luôn là một hoạt động của trí tuệ và diễn ra bằng cách chủ thểtiến hành qua những thao tác nhất định và các thao tác đó tham gia vào một quátrình cụ thể như: phân tích, tổng hợp, so sánh, .

Như vậy, qua vấn đề nêu trên ta nhận thấy tư duy có tác dụng hết sức to lớntrong đời sống xã hội của con người Chúng ta dựa vào tư duy để hiểu, nhận thứccác quy luật khách quan của tự nhiên và xã hội và lợi dụng nó để phát triển xã hội.Nói như thế có nghĩa là nhờ có tư duy mà xã hội loài người phát triển ngày một cao.Có những hiện tượng trước đây con người không thể giải thích được khi tư duychưa phát triển, cho đến bây giờ tư duy càng phát triển sự giải thích ấy càng ngày,càng được sáng tỏ

Nhà Toán học Liên xô cũ K K Plantônôv đã nêu lên các giai đoạn của tư duybằng sơ đồ sau đây:

Sơ đồ 1.1 (dẫn theo Nguyễn Văn Thuận [29], tr 10)

1.1.3 Sự phân loại tư duy

Có nhiều cách phân loại tư duy

Theo Phạm Minh Hạc, Sácđacôp M N có 3 loại tư duy sau đây:

a) Tư duy trực quan hành động: đó là loại tư duy bằng các thao tác cụ thể tay

chân hướng vào việc giải quyết một vấn đề cụ thể, trực quan

b) Tư duy trực quan hình tượng: là loại tư duy phát triển ở mức độ cao hơn, ra

đời muộn hơn so với tư duy trực quan hành động, chỉ có ở người, đó là loại tư duy

mà việc giải quyết vấn đề dựa vào hình ảnh sự vật, hiện tượng

c) Tư duy trừu tượng (tư duy ngôn ngữ, lôgic): là loại tư duy phát triển ở mức

độ cao nhất, chỉ có ở người, đó là loại tư duy mà việc giải quyết vấn đề dựa trên các

khái niệm, các mối quan hệ lôgic và gắn chặt chẽ với ngôn ngữ, lấy ngôn ngữ làm

phương tiện 29, tr.11.

Khẳng định

Xuất hiện các liên tưởng

Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết

Kiểm tra giả thuyếtNhận thức vấn đề

Giải quyết vấn đề

Hoạt động tư duy mới

Vì tư duy là một hình thức phản ánh gián tiếp nên nó gắn bó với ngôn ngữmột cách hữu cơ và không có ngôn ngữ thì không có tư duy.

Theo A V Pêtrôvxki và L B Itenxơn, có 4 loại tư duy đó là: tư duy hìnhtượng, tư duy thực hành, tư duy khoa học và tư duy lôgic Việc phát triển tư duylôgic bao giờ cũng được coi là một nhiệm vụ quan trọng đặt lên hàng đầu trong quátrình dạy học Toán Nói đến tư duy lôgic người ta nhấn mạnh tư duy biện chứngnghiên cứu tư duy dưới góc độ cách thức nhận thức sự phát triển và biến đổi của các

sự vật hiện tượng

Như vậy, dựa trên cách chia đó ta thấy mối quan hệ chặt chẽ giữa các loại tưduy là có một mối quan hệ biện chứng lẫn nhau đi từ thấp đến cao từ cái đơn giảnđến phức tạp, từ những điều trông thấy đến những vấn đề cần có tư duy cao độ Mốiquan hệ đó có một ý nghĩa hết sức quan trọng trong sự phát triển xã hội loài người

Sự phát triển từ thấp đến cao đó là một quá trình nhận thức của con người phản ánhmột cách biện chứng thế giới khách quan Quá trình nhận thức bằng tư duy diễn rakhông đơn giản, thụ động, máy móc… Mà đó là một quá trình phản ánh hiện thựckhách quan vào bộ óc con người năng động sáng tạo, biện chứng Đó là quá trình đitừ cái chưa biết, chưa sâu sắc, từ cái biết ít đến cái biết nhiều, từ nhận thức cảm tínhđến nhận thức lý tính Vì vậy, quá trình tư duy của con người nói chung diễn ra ở

hai giai đoạn nhận thức cảm tính và nhận thức lý tính Quá trình đó trải qua khi gặp

tình huống có vấn đề Đó là hai giai đoạn khác nhau về chất, có đặc điểm và vai trò

khác nhau về việc nhận thức sự vật khách quan Nhận thức cảm tính là phản ánhtrực tiếp, cụ thể, sinh động sự vật, còn nhận thức lý tính là phản ánh gián tiếp, mangtính trừu tượng khái quát Nhận thức cảm tính đem lại những hình ảnh bề ngoài,chưa thật sâu sắc về sự vật; còn nhận thức lý tính phản ánh được mối quan hệ bêntrong, bản chất, phổ biến, tất yếu của sự vật Do đó nhận thức lý tính phản ánh sựvật sâu sắc hơn đầy đủ hơn

Tuy nhiên, nhận thức cảm tính và nhận thức lý tính lại thống nhất biện chứngvới nhau, liên hệ, tác động lẫn nhau, bổ sung, hỗ trợ cho nhau, không tách rời nhau.Chúng đều cùng phản ánh thế giới vật chất, có cùng một cơ sở sinh lý duy nhất là hệthần kinh của con người và đều cùng chịu sự chi phối của thực tiễn lịch sử - xã hội

Nhận thức cảm tính là cơ sở của nhận thức lý tính, không có nhận thức cảm tính thìkhông có nhận thức lý tính Trái lại, nhận thức cảm tính mà không có nhận thức lýtính thì không thể nắm bắt được bản chất và quy luật của sự vật, hiện tượng Trênthực tế, chúng thường diễn ra đan xen vào nhau trong mỗi quá trình nhận thức Phépbiện chứng khách quan của thế giới xung quanh ta được phản ánh vào phép biệnchứng chủ quan đây là vấn đề có tính chất nền tảng

1.1.4 Tư duy toán học

Cụm từ “tư duy toán học” đã được sử dụng một cách rất phổ biến, trong dạy

học, trong đánh giá kết quả học tập Tuy nhiên khái niệm này chưa được định nghĩamột cách tường minh mà thường sử dụng theo những khía cạnh của nó trong dạyhọc Toán Dường như mọi người cũng chỉ dựa vào khả năng toán học, sức học toán

để rồi đánh giá về tư duy toán học Đành rằng một học sinh yếu về Toán thì khôngthể là tốt về tư duy toán học nhưng một học sinh có kĩ năng giải Toán tốt chưa hẳn

đã là có tư duy toán học tốt Cho đến nay có rất nhiều tài liệu nghiên cứu về tư duytoán học Tuy nhiên trong một số tài liệu có nói đến thì cũng chỉ nói chung chungcòn ở một mức độ nhất định, và có nói kĩ thì cũng chỉ nói về một loại hình tư duy cụthể nào đó mà thôi Cũng từ điều đó thì “tư duy toán học được hiểu, thứ nhất là hìnhthức biểu lộ tư duy biện chứng trong quá trình con người nhận thức khoa học toánhọc hay trong quá trình áp dụng Toán học vào các khoa học khác như kỹ thuật, kinhtế Thứ hai, tư duy toán học có các tính chất đặc thù được quy định bởi bản chất củakhoa học toán học bởi sự áp dụng các phương pháp toán học để nhận thức các hiệntượng thế giới hiện thực, cũng như bởi chính các phương thức chung của tư duy mànó sử dụng Nội dung của tư duy toán học là những tư tưởng phản ánh hình dạngkhông gian và những quan hệ số lượng của thế giới hiện thực” 5, tr.5  Điều đó cho

ta thấy rằng tư duy biện chứng là một loại hình tư duy quan trọng thể hiện trong tưduy toán học, ta cũng cần hiểu tư duy biện chứng là như thế nào? Thuật ngữ tư duybiện chứng xuất hiện nhiều lần trên các sách báo tạp chí và ấn phẩm khoa học, tuynhiên hầu như chưa có một tài liệu nào đưa ra một định nghĩa tường minh về loạihình tư duy này Có tài liệu thay vì định nghĩa tư duy biện chứng thì lại nhấn mạnhvai trò của nó; có tài liệu không định nghĩa tư duy biện chứng mà chỉ nói rằng tư

duy biện chứng dựa vào lôgic biện chứng, thực ra chẳng riêng gì tư duy biện chứngmới dựa vào lôgic biện chứng mà nói như Ilencô “Tư duy toán học đáng giá nhấtthiết phải là tư duy biện chứng” Câu này có thể hiểu như sau mọi loại hình tư duytoán học trong mình nó đều có hàm lượng của tư duy biện chứng, tuy nhiên hàmlượng ấy chỗ này chỗ kia có thể khác nhau và cũng không nên hiểu rằng tư duy biệnchứng đủ để bao quát tất cả các tình huống Toán học mặc dù nó là cần thiết.

“Nhà sư phạm xô viết A X Macarencô đã từng chỉ ra rằng trong dạy học vàgiáo dục chúng ta phải theo kịp những yêu cầu mà xã hội chúng ta sẽ đề ra cho conngười trong một tương lai không xa Để giáo dục được con người lao động sáng tạocó năng lực trí tuệ cao cần phải vận dụng những phương pháp dạy học tích cực nhằmphát triển những năng lực tư duy một cách biện chứng, năng lực xem xét các đốitượng và hiện tượng trong mối quan hệ qua lại, trong quá trình vận động biến đổi,

mâu thuẫn và phát triển của chúng.” 1, tr.65.

1.2 Nhiệm vụ phát triển tư duy cho học sinh THPT trong dạy học môn toán

Chúng ta biết rằng, hoạt động nhận thức hay hẹp hơn hoạt động tư duy chỉdiễn ra trong tình huống có vấn đề Vấn đề là khái niệm mà ta thường dùng để chỉcác mâu thuẫn nảy sinh trong thực tiễn hay xét trong dạy học Toán ta thường gọi làbài toán Bài toán bao gồm hai hệ thống thông tin, hai bộ phận luôn mâu thuẫn với

nhau nhưng luôn có những liên hệ gắn bó với nhau Bộ phận thứ nhất là “điều

kiện” bao gồm tất thảy những thông tin đã cho một cách tường minh hoặc tiềm ẩn.

Tức là điều kiện có liên quan đến bài Toán sẽ biểu hiện sau những biến đổi nhất

định Bộ phận thứ hai là “yêu cầu” gồm những thông tin mà bài toán đòi hỏi phải

tìm Quá trình giải bài toán là hoạt động trí óc gồm những thao tác đa dạng, phứctạp nhưng xét đến cùng luôn là sự phân tích, tổng hợp, so sánh, đối chiếu các điềukiện với các yêu cầu của bài toán; phân tích, lý giải các mối liên hệ đã có để giảiquyết những mâu thuận giữa điều kiện và yêu cầu Quá trình phân tích, lý giải này

sẽ dẫn tư duy đến những mối liên hệ mới Cứ như thế mà dần dần làm sáng tỏ yêucầu cần đạt của bài Toán

Thông tin cần cho việc giải bài Toán còn ở dạng tiềm ẩn, cho nên, việc lý giảithông qua các thao tác tư duy, mối liên hệ giữa tập hợp các điều kiện tường minh

hay tiềm ẩn với các yêu cầu của bài Toán Việc khám phá dần dần các điều kiệntiềm ẩn cũng chính là quá trình chứng minh, bổ sung hoàn chỉnh hoặc bác bỏ giảthuyết ban đầu, bởi vì nhờ các hoạt động đó mà tư duy có thể nhìn thấy rõ hơn mốiliên hệ thực giữa điều kiện và yêu cầu Nó sẽ giúp ta thấy được con đường đi tớimục đích mà yêu cầu đặt ra là đúng hướng.

“Tiêu biểu cho tư duy là quá trình phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, việcnêu lên những vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chúng, việc đề xuất nhữnggiả thuyết, những ý niệm, kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩnào đó Khả năng phản ánh thực tại một cách gián tiếp của tư duy được biểu hiện ởkhả năng suy lý, kết luận lôgic chứng minh của con người” Hoạt động tư duy củacon người luôn hướng vào giải quyết một vấn đề, hoặc làm sáng tỏ điều nào đó mà

họ có mong muốn cần hiểu biết

1.2.1 Rèn luyện các thao tác tư duy

Trong quá trình dạy học, việc rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh cầntập trung chú ý tới việc rèn luyện một số thao tác tư duy cơ bản Đó là những hoạtđộng trí tuệ thường gặp trong dạy học Toán ở nhà trường phổ thông

Xuất phát từ yêu cầu thời gian và phạm vi nghiên cứu của đề tài, chúng tôi đi sâu vào việc tìm hiểu việc rèn luyện một số thao tác tư duy cơ bản sau:

1.2.1.1 Thao tác phân tích và tổng hợp

Theo tâm lí học các quá trình phân tích và tổng hợp là những thao tác tư duy

cơ bản, tất cả những cái tạo thành hoạt động trí tuệ đều là những dạng khác nhau

của các quá trình đó Vì vậy, để phát triển trí tuệ cho học sinh qua bộ môn Toán,

giáo viên cần phải coi trọng việc rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích và tổng

Hoàng Chúng cho rằng: Trong mọi khâu của quá trình học tập Toán học của họcsinh, năng lực phân tích, tổng hợp luôn là một yếu tố quan trọng giúp học sinh nắmvững kiến thức và vận dụng kiến thức một cách sáng tạo [5, tr.15].

Theo M N Sácđacốp thì: Phân tích là một quá trình nhằm tách các bộ phận

của những sự vật hoặc hiện tượng của hiện thực với các dấu hiệu và thuộc tính củachúng, cũng như các mối liên hệ và quan hệ giữa chúng theo một hướng nhất định.Theo ông, thì quá trình phân tích nhằm mục đích nghiên cứu chúng đầy đủ và sâusắc hơn, và chính như vậy mới nhận thức được một cách trọn vẹn các sự vật và hiện

tượng Tổng hợp (cộng) là sự tổng hợp sơ đẳng, nhờ đó mà các bộ phận của một

toàn thể kết hợp với nhau làm thành một tổng số của các bộ phận đó Ông cho rằng :

sự tổng hợp chân chính không phải là sự liên kết máy móc các bộ phận thành mộtchỉnh thể, không phải đơn thuần là sự tổng cộng các bộ phận của một toàn thể Sựtổng hợp chân chính là một hoạt động tư duy xác định, đặc biệt đem lại kết quả mới

về chất, cung cấp một sự hiểu biết mới nào đó về hiện thực

Như vậy, phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhưng lại là

hai mặt của một quá trình thống nhất Chúng là hai hoạt động trí tụê cơ bản của quátrình tư duy Những hoạt động trí tuệ khác đều diễn ra trên nền tảng của phân tíchvà tổng hợp Có thể nói không một vấn đề tổng hợp (không tầm thường) nào lạichẳng cần dùng đến phân tích trong quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề

Phân tích và tổng hợp không bao giờ tồn tại tách rời nhau Chúng là hai mặt

đối lập của một quá trình thống nhất bởi vì trong phân tích đã có tổng hợp, phân tíchcái toàn thể đồng thời là tổng hợp các phần của nó Vì phân tích cái toàn thể ra từngphần cũng chỉ nhằm mục đích làm bộc lộ ra mối liên hệ giữa các phần của cái toànthể ấy Phân tích một cái toàn thể là con đường để nhận thức cái toàn thể sâu sắchơn Sự thống nhất của quá trình phân tích- tổng hợp còn được thể hiện ở chỗ: Cáitoàn thể ban đầu (tổng hợp 1) định hướng cho phân tích, chỉ ra cần phân tích mặtnào, khía cạnh nào, kết quả của phân tích là cái toàn thể ban đầu được nhận thức sâu

sắc hơn (tổng hợp 2) Như vậy, phân tích và tổng hợp theo con đường: tổng hợp 1

-phân tích - tổng hợp 2 Các thao tác -phân tích - tổng hợp có mặt trong mọi hànhđộng trí tuệ của con người

Trong giải toán, học sinh thường phải thực hiện các thao tác phân tích, tổng

hợp xen kẽ với nhau Bằng gợi ý của G Pôlya viết trong tác phẩm “Giải bài toán

như thế nào” đã đưa ra quy trình 4 bước để giải bài toán Trong mỗi bước tác giả đã

đưa ra các gợi ý, đó chính là các thao tác phân tích, tổng hợp liên tiếp, đan xen nhau

để thực hiện được 4 bước của quá trình giải toán Có thể thấy trong giải toán, cácthao tác phân tích và tổng hợp thường gắn bó khăng khít với nhau Trong phân tíchcó sự tổng hợp (Tổng hợp thành phần) và trong quá trình tổng hợp phải có sự phântích (Để đảm bảo tính lôgic và tính định hướng của quá trình tổng hợp) Một điềuhiển nhiên là: Một bài tập mà học sinh cần phải giải chỉ có hữu hạn các phươngpháp giải, các phương pháp giải ấy tất nhiên phải sử dụng các kiến thức đã có củahọc sinh vì thế bản chất của thao tác giải một bài tập toán của học sinh thường là:

Sơ đồ 1.2

Tiến hành phân tích, tổng hợp để đưa ra

lời giải của bài tập

Định hướng tìm tòi lời giải bài tập

Nội dung và hình thức của bài

toán Vốn kiến thức Toán học, kĩ năng và kinh nghiệm giải Toán

Do vậy việc rèn luyện tư duy linh hoạt cho học sinh qua việc giải bài tập nhất

thiết phải được tiến hành thông qua sự phân loại học sinh Không có một cách “rèn

luyện” nào phù hợp cho mọi đối tượng, thậm chí có những quá trình phân tích

-tổng hợp khi giải một bài tập là có kết quả đối với học sinh này nhưng lại “vô

nghĩa” với học sinh khác Vì thế, tìm hiểu kĩ đối tượng, nghiên cứu kĩ bài tập định

truyền đạt, tự thầy giáo phải phân tích kĩ một bài tập trước khi hướng dẫn cho họcsinh quá trình phân tích - tổng hợp khi giải bài tập toán là rất quan trọng Dưới đâylà một số ví dụ minh họa

VP=1 sin 2  x  sin2x c  os2x  2sin cos x x  (sin x  cos ) x 2,

Sự phân tích này diễn ra trên cơ sở tổng hợp, liên hệ biểu thức :

1 cos sin 2x 2x và 2 sinx cosx sin 2x

VT là biểu thức đối xứng đối với sinx và cosx nên có thể phân tích được

qua sinxcosx

(sin cos )(1 sin cos )

- Hoạt động tổng hợp, ta có lời giải: Vì vậy phương trình (1) có thể biến đổi

về phương trình tích với một thừa số sinxcosx.

(1)  (sin x  cos )(1 sin cos ) (sin x  x x  x  cos ) x 2

(sin x cos )(1 sin )(1 sin ) 0 x x x

4sin cos 0

2

1 sin 0

22

Theo G Pôlya: “Phân tích và tổng hợp là 2 động tác quan trọng của trí óc Nếu

đi vào chi tiết thì có thể bị ngập vào đấy Những chi tiết quá nhiều và quá nhỏ mọnlàm cản trở ý nghĩ, không tập trung vào điểm căn bản Đó là trường hợp của mộtngười chỉ thấy cây mà không thấy rừng Trước hết, phải hiểu bài toán như một cáitoàn bộ Khi đã hiểu rõ thì ta dễ có điều kiện hơn để xem xét những điểm chi tiếtnào là căn bản Ta phải nghiên cứu thật sát và phân chia bài toán thành từng bướcvà chú ý, không đi quá xa khi chưa cần thiết” [21, tr.74]

Khi bài toán cần giải đã được hiểu trên toàn bộ (theo nghĩa xác định rõ giảthiết kết luận), đã tìm hiểu được mục đích, ý chủ đạo, thì cần phải đi vào chi tiết.Đặc biệt nếu bài toán khá khó khăn thì đôi khi cần thiết phải thực hiện xa hơn nữaviệc phân chia và khảo sát chi tiết nhỏ hơn

Ví dụ 1.2 Giải phương trình:

2(4 x  4  x ) 3(2  x  2  x ) 1 0   (1)

Đây là bài toán giải phương trình không dễ dàng với học sinh mới học, mà nóđòi hỏi một khả năng vận dụng thành thạo kỹ năng phân tích để có thể đi tới đíchbằng cách dùng nhiều lần phép rút gọn Bên cạnh đó nó còn đòi hỏi học sinh phải cókiến thức về một số dạng phương trình đơn giản, một suy nghĩ đúng hướng thì mớiphát hiện ra: 4x (2 )x 2

 và 4x (2 )x 2

Từ đó cho phép ta đặt: 2x  y y ,(  0)ta được phương trình mới theo y

2 2

Rõ ràng phương trình (2) đơn giản hơn phương trình (1)

Tiếp tục phân tích: 2 12 1 2

Nếu chúng ta phân tích mối quan hệ giữa 4 x  4  x và 2 x  2  x ta có phépphân tích : 4x 4 x (2x 2 x)2  2, điều này gợi cho ta nghĩ tới đặt:

Đối với một bài toán trong đó có giả thiết và kết luận thì sự phân tích phảihướng vào mục đích tìm cho ra các mắt xích lôgic nối giả thiết với kết luận TrongToán học, thường được sử dụng hai phép phân tích:

* Phép phân tích đi lên (suy ngược lùi)

* Phép phân tích đi xuống (suy ngược tiến)

Trong quá trình dạy học giáo viên cần hướng dẫn học sinh dùng phép suyngược để tìm lời giải, dùng phép suy xuôi để trình bày lời giải

Ví dụ 1.3 CMR: a3 + b3 > a2b +ab2 với a b , 0 và a b.

Nếu chỉ dùng phép tổng hợp để giải, suy nghĩ làm sao để từ a3 + b3 suy ra nó

lớn hơn a2b + ab2 là điều không dễ Do đó giáo viên có thể hướng dẫn học sinh kếthợp với phép phân tích để tìm lời giải:

a 3 + b 3 = (a+b)(a 2 - ab +b 2 ) = (a+b)[(a - b) 2 + ab]

= (a+b)(a - b) 2 + (a+b)ab> (a+b)ab = a 2 b +ab 2 (ĐPCM)

Khi giải Toán trước tiên phải nhìn bao quát xem bài toán thuộc loại gì, phảiphân tích cái đã cho, cái phải tìm Đó là việc xem xét, nghiên cứu bài toán đã cho.Mấu chốt vấn đề ở đây là cách nhìn bài toán Phải biết cách nhìn bài toán dưới dạng

chính quy mẫu mực Đây là cách nhìn chủ yếu vào đặc điểm chủ yếu của bài toán.Cách nhìn này giúp ta phát hiện được các điểm cơ bản, đơn giản nếu không bị chekhuất bởi những hình thức rắc rối Tuy nhiên, lại phải biết cách nhìn bài toán dướidạng đặc thù riêng lẻ Đồng thời cũng phải luyện tập thường xuyên, người giải mớibiết cách khai thác hết mọi khía cạnh biểu hiện tinh vi của bài toán, mới có đượcnhững điều muốn nói của các con số, của các kí hiệu, các điều kiện chứa đựng trongbài toán Với bài toán đại số nhưng lại phải liên tưởng đến chẳng hạn phạm vi lượnggiác, hình học, và ngược lại.

1.2.1.2 Khái quát hoá và đặc biệt hóa

a) Khái quát hoá: Theo G Pôlia, “Khái quát hoá là chuyển từ việc nghiên cứu

một tập hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cảtập hợp ban đầu” [23, tr 21]

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: “Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối

tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc

điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát” [11, tr.55].

Có thể nói trong cuộc sống và học tập, khắp nơi và mọi lúc đều cần đếnphương pháp tư duy khái quát Đúng như Đại văn hào Nga - Lep Tônxtôi đã nói:

“Chỉ khi trí tuệ của con người tự khái quát hoặc đã kiểm tra sự khái quát thì conngười mới có thể hiểu được nó” Không có khái quát thì không có khoa học; khôngbiết khái quát là không biết cách học Khả năng khái quát là khả năng học tập vôcùng quan trọng, khả năng khái quát Toán học là một khả năng đặc biệt” [32,tr.170]

Ví dụ, khái quát hoá khi chuyển từ việc nghiên cứu tam thức sang việc nghiêncứu những đa thức bậc tuỳ ý Hoặc khái quát hoá khi chuyển từ việc nghiên cứu hệthức lượng trong tam giác vuông sang việc nghiên cứu những hệ thức lượng trongtam giác thường

Trong 2 ví dụ trên khái quát hoá được thực hiện theo 2 hướng có tính chấtkhác nhau Ở ví dụ thứ nhất, khái quát hoá được thực hiện bằng cách thay hằng số 2bởi biến số n (n N) Ở ví dụ thứ 2, khái quát hoá được thực hiện bằng cách loại bỏ

điều kiện một góc của tam giác bằng 900 để nghiên cứu những tam giác với góc tuỳ

ý

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim trong Nghiên cứu giáo dục số 5/1982 thì những

dạng khái quát hoá thường gặp trong môn Toán được biểu diễn bằng sơ đồ sau:

Sơ đồ 1.3 (Dẫn theo 13, tr 6)

Với sự biểu diễn như trên, ta thấy rằng có 2 con đường khái quát: Con đườngthứ nhất trên cơ sở so sánh những trường hợp riêng lẻ, con đường thứ 2 không dựatrên so sánh mà dựa trên sự phân tích chỉ một hiện tượng trong một loạt hiện tượnggiống nhau Có thể nói rằng, khái quát hoá là một thông số quan trọng bậc nhất, mộtnăng lực đặc thù của tư duy, là cơ sở duy nhất để phân biệt giữa tư duy lý luận và tưduy kinh nghiệm, năng lực khái quát hoá ở mỗi con người luôn đóng vai trò quantrọng trong quá trình học tập, nghiên cứu; khi được phát triển đến mức độ cao chínhnăng lực này sẽ giúp mỗi con người tách được cái chung, cái bản chất, những mốiliên hệ bên trong của tài liệu nghiên cứu, học tập bằng con đường phân tích chỉ một

sự kiện điển hình mà thôi Bằng con đường đó con người sẽ tiết kiệm thời gian sứclực của mình, biết cách khám phá các tri thức khoa học bằng những phương pháptối ưu

Như vậy, khái quát hoá là thao tác tư duy nhằm phát hiện những quy luật phổbiến của một lớp các đối tượng hoặc hiện tượng từ một số các trường hợp riêng lẻ.Với nghĩa đó, khái quát hoá thuộc về các phép suy luận có lý nên các kết luận đượcrút ra từ khái quát hoá thường mang tính chất giả thuyết, dự đoán Bởi nếu khẳngđịnh chắc chắn thì đã là chứng minh

Khái quát hoá

Khái quát hóa từ cái riêng

đến cái ổ

Chúng ta thường khái quát hoá bằng cách chuyển từ chỗ chỉ xét một đối tượngsang việc xét toàn thể một lớp bao gồm cả đối tượng đó Tổng quát hoá một bài toánthông thường là sự mở rộng bài toán đó.

Ví dụ1.4 Giáo viên đưa ra bài toán sau với mục đích thông qua hoạt động giải

bài toán giúp học sinh khái quát hóa được bài toán cùng loại

Bài toán: Cho x, y, z 02 2 2

Lời giải: Do vai trò của x và y bình đẳng nên các “thao tác” đối với x và y là

như nhau và dự đoán dấu bằng xảy ra khi x = y.

Ta áp dụng BĐT Cauchy như sau:

- Vì sao trong lời giải trên lại áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số x2

với 3; y 2 với 3 và z 2 với 12 mà không là số khác ?

Đến đây nếu học sinh chưa tìm ra câu trả lời giáo viên có thể dẫn dắt như sau:

- Em hãy áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho x2 với số dương a; y 2 với số

dương a và z 2 với số dương b.

Mong đợi câu trả lời:

Ta có : x2 + a 2 a x; y2 + a 2 ay; z2 + b  2 bz

- Ta cần chọn a, b như thế nào để xuất hiện biểu thức

S = x + y+2z

Mong đợi câu trả lời:

Cần chọn a, b sao cho: 2

“Cho x, y, z  0 thoả mãn : xn + yn + zn = M (n là số tự nhiên n  2; M là sốkhông âm cho trước) Tìm GTLN của :

a) P = x + y + az b) Q = x + b(y+z) (a, b là hằng số dương)”

Từ bài toán trên, ta có thể khái quát hoá bài toán cùng loại:

“Cho a, b, c là các số dương tuỳ ý CMR  x R, ta có:

Vídụ 1.6 Cho 3 số thực x, y, z, dương và xyz = 1 CMR : x3  y3 z3   x y z 

Ta nhận xét vai trò x,y,z bình đẳng nên các đẳng thức xẩy ra  x y z    1.Vậy ta nên áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số, ta có :

Ta có thể phát biểu bài toán tổng quát:

Cho 3 số x, y, z dương và xyz = 1 CMR xn  yn  zn   x y z  (với n N  *). Trong môn Toán Trung học phổ thông, nói riêng trong môn Đại số và Giảitích, có nhiều tình huống liên quan đến hoạt động khái quát hoá

Ví dụ:

- Khái quát hoá để hình thành khái niệm;

- Khái quát hoá để hình thành định lý;

- Khái quát hoá các bài toán Toán học;

- Khái quát hoá để hình thành phương pháp giải lớp các bài toán;

- Khái quát hoá hướng suy nghĩ giải bài tập toán.

Một vấn đề vô cùng quan trọng là trong thực tế giải bài toán, GV cần làm cho HSthấy được vai trò của hoạt động này Lẽ tự nhiên là GV ai cũng biết việc tổng quáthoá một bài toán thông thường là mở rộng bài toán đó Nhưng có phải tất cả đềunhư vậy không?

Nhiều khi, phát biểu lại bài toán dưới dạng tổng quát sẽ giúp ta dễ hiểu hơnvà có khả năng tìm được hướng giải dễ dàng hơn; bởi vì, lúc đó ta sẽ chú trọng đếncác yếu tố bản chất cả bài toán và bỏ qua những yếu tố không bản chất (đây chính làgiai đoạn trừu tượng hoá)

Chẳng hạn, với bài toán:

"Giải phương trình: 2x2 2 5 x31 ", nếu để như trên, nhiều HS khôngbiết được cần tách x3 1 (x1)(x2 x1) và x2  2 (x1) ( x2 x1) để giải bàitoán này, tiếp tục cho những bài toán tương tự như vậy để HS giải thì liệu có hìnhthành cho HS kỹ năng giải khi gặp những bài toán dạng này không?

Trên cơ sở những thắc mắc này nếu ta tổng quát bài toán trên, đưa ra bài toán:

"Giải phương trình a A x  bB x  c A x B x    " thì bản chất bài toán được bộc

lộ rõ ràng hơn Tạo cho HS có hướng suy nghĩ tách biểu thức dưới dấu căn ra tích củahai biểu thức Chẳng hạn khi giải các phương trình sau :

1) 2 4

4x  2 2x 4 x 1 2)2x25x 1 7 x3 1

x4 1 x2 2x1 x2 2x1

4x4 1 2x2 2x1 2  x22x1

Tuy nhiên để quá trình khái quát hoá đạt kết quả tốt cần phải chú trọng đến

các hoạt động trí tuệ khác như: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, đặc biệt hoá

và hệ thống hoá, trong đó phân tích và tổng hợp đóng vai trò nền tảng.

b) Đặc biệt hóa : Theo G Pôlia: “Đặc biệt hoá là chuyển từ việc nghiên cứu từ một

tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tậphợp đã cho”

Chẳng hạn, chúng ta đặc biệt hoá khi chuyển từ việc nghiên cứu đa giác sangviệc nghiên cứu đa giác đều và tiếp tục đặc biệt hoá khi chuyển từ việc nghiên cứu đagiác đều n cạnh (n3) sang việc nghiên cứu tam giác đều (n=3)

Những dạng đặc biệt hoá thường gặp trong môn Toán có thể được biểu diễnbằng sơ đồ sau:

cái “chốt” giúp cho việc giải quyết các bài toán tổng quát Các trường hợp riêng đôi

Đặc biệt hoá

Đặc biệt hoá từ cái tổng

quát đến cái riêng lẻ Đặc biệt hoá từ cái riêng đến cái riêng hơn

Đặc biệt hoá tới cái

riêng lẻ đã biết Đặc biệt hoá tới cái riêng lẻ chưa biết

lúc gợi ý cho các chứng minh tổng quát Chẳng hạn, trước khi học sinh được học

khảo sát hàm số y = ax 2 + bx + c (a  0), họ đã được nghiên cứu về hàm số y =

ax 2 (a  0)

Do đó, để khảo sát hàm số bậc hai đầy đủ, ta tìm cách đưa về trường hợp đặc

biệt Y = aX 2 (bằng phép đổi trục tọa độ)

Ví dụ 1.7 Giải phương trình : x4  2 3 x2  x   3 3 0 

Bài toán này là một phương trình bậc 4 chưa có dạng quen thuộc nên việcgiải phương trình chắc chắn gặp nhiều khó khăn Nếu chúng ta đặt ngược 3 m  ,phương trình được viết lại là x4  2mx2  x m 2  m0

Thay đổi vai trò của ẩn và tham số ta đưa đến m2  (2 x2  1) m x  4  x  0

Xem đây là phương trình bậc hai ẩn m, thì do  m (2 x  1)2 ta đưa đến các

Đây là các phương trình

bậc hai đã biết cách giải

Như vậy trong bài toán này, việc đặc biệt hoá m  3 đã che dấu dạng củabài toán và làm cho bài toán trở nên khó khăn Những cách đặc biệt hoá khác sẽ dẫnđến nhiều bài toán khác nhau Nếu suy đoán được sự đặc biệt đó, khôi phục được

bài toán ban đầu thì có thể định hướng để tìm ra phương pháp giải

1.2.1.3 Trừu tượng hoá

Theo Nguyễn Bá Kim: “Trừu tượng hoá là sự nêu bật và tách những đặc điểm

bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất” Chẳng hạn trừu tượng hoá mệnhđề: “Bình phương của một số âm là một số dương” học sinh phải tách đặc điểm số

mũ chẵn khỏi đặc điểm số mũ bằng 2 để được mệnh đề: “luỹ thừa bậc chẵn của mộtsố âm là một số dương”

Trừu tượng hoá là một “hoạt động của tư duy”, hoạt động này của bộ não con

người có thể hướng tới bất kì vấn đề gì của khoa học nói chung và nói riêng là củaToán học Ở đây chúng ta chỉ bàn đến việc trừu tượng hoá một bài tập Đại số và

Giải tích trong quá trình rèn luyện các thao tác tư duy thông qua việc giải bài tậpnhư thế nào mà thôi

Không có khái quát hoá và trừu tượng hoá thì không thể có kiến thức và trithức lí thuyết được Khi trừu tượng hoá, chúng ta tách ra cái chung trong các đốitượng nghiên cứu, chỉ khảo sát cái chung này, gạt qua một bên những cái riêng phânbiệt đối tượng này với đối tượng khác, không chú ý tới những cái riêng này Chẳnghạn từ những kết quả cụ thể: Hình chữ nhật có giao của 2 đường chéo là trung điểmcủa mỗi đường Hình vuông cũng có 2 đường chéo giao nhau tại trung điểm củamỗi đường Hình thoi cũng có kết quả tương tự Tất cả 3 hình kể trên đều là hìnhbình hành Từ đó ta có thể tách một đặc điểm chung của các hình trên và có mệnh

đề khái quát sau: “Trong một hình bình hành các đường chéo giao nhau tại trung

điểm của mỗi đường”.

Học sinh cũng thường gặp khó khăn khi vận dụng kiến thức vào những điềukiện cụ thể mới, thường là do phải chuyển từ tư duy cụ thể sang tư duy trừu tượng,tìm cái chung trong cái riêng, mà cái cụ thể, cái không bản chất làm mờ nhạt, chelấp cái chung, tạo ra cái hố ngăn cánh giữa cái cụ thể và cái trừu tượng Có thể giúphọc sinh khắc phục khó khăn đó bằng cách dùng sơ đồ, hình vẽ Nhờ sự kết hợp

được cả hai mặt cụ thể và trừu tượng trong bản thân nó, sơ đồ có thể giúp làm “cầu

nối” khi chuyển từ tư duy cụ thể sang tư duy trừu tượng và ngược lại

Để giúp học sinh phát triển tư duy trừu tượng trong sự tác động qua lại với tưduy cụ thể, lại cần phải kết hợp với việc sử dụng hình vẽ, kí hiệu với phát triển ngônngữ, giúp cho kiến thức của học sinh được chính xác mà không hình thức

Trong khi đòi hỏi học sinh khái quát hoá những mệnh đề để được những mệnh

đề tổng quát hơn Chẳng hạn khi học về luỹ thừa, yêu cầu học sinh làm bài tập sau:1) Tính giá trị các luỹ thừa và so sánh:

25 và 27; 45 và 43; 8 và 83

34 và 54; 132 và 112; 74 và 94

2) Lấy một ví dụ cùng loại với ba ví dụ đầu, một ví dụ cùng loại với ba ví dụsau

3) Từ các ví dụ trên hãy nêu quy tắc so sánh hai luỹ thừa

Với bài tập này, học sinh được khuyến khích thực hiện phép tương tự coi như

sự biểu hiện của khái quát hoá Tuy nhiên, trước đó học sinh phải so sánh tìm đặcđiểm chung của từng nhóm ví dụ

Ba ví dụ đầu: Luỹ thừa, cùng cơ số, cơ số chẵn, số mũ lẻ.

Ba ví dụ sau: Luỹ thừa, cùng số mũ, cơ số lẻ, số mũ chẵn.

Khi khái quát hoá theo yêu cầu 3), học sinh phải tách những đặc điểm bản chất (haiđặc điểm đầu) khỏi những đặc điểm không bản chất (đặc điểm cuối), tức là tiếnhành trừu tượng hoá

1.2.1.4 So sánh, tương tự

a) So sánh : So sánh là xác định sự giống nhau và khác nhau giữa các sự vật và hiện

tượng Muốn so sánh hai sự vật (hiện tượng) ta phải phân tích các dấu hiệu, cácthuộc tính của chúng, đối chiếu các dấu hiệu, các thuộc tính đó với nhau rồi tổnghợp lại xem hai sự vật (hiện tượng) có cái gì giống và khác nhau

Trong hoạt động Toán học, so sánh giữ một vai trò quan trọng Usinxki chỉra: “Nếu anh muốn hiểu rõ một sự vật nào đó của thiên nhiên bên ngoài thì anhhãy phân biệt nó với các sự vật giống nó nhất và tìm trong nó những dấu hiệugiống với sự vật xa lạ với nó nhất; chỉ khi ấy anh mới hiểu rõ tất cả các dấu hiệubản chất của sự vật, chính điều đó mới có nghĩa là hiểu sự vật” [24, tr 111]

Sự so sánh các sự vật và hiện tượng của hiện thực khách quan diễn ra theo mộtgóc độ nhất định, xuất phát từ một quan điểm nào đó, nhằm giải quyết một vần đềnhất định I M Xêtsênốp viết: “Người ta đối chiếu và so sánh các sự vật, nhằmđánh giá sự giống nhau và khác nhau của chúng trong tất cả các mối quan hệ có thểcó”

Trong giảng dạy và học tập, so sánh luôn luôn phục vụ một nhận thức nào đó,nó luôn luôn có mục đích Do đó các sự vật và hiện tượng có thể giống nhau theoquan điểm này và khác nhau theo quan điểm khác Chẳng hạn khi dạy cho học sinhtính chất của luỹ thừa với số mũ nguyên dương ta đưa ra yêu cầu học sinh tính và sosánh:

(3.5)4 và 34.54;

3

1 3

(1, 2.5, 3)2 và (1, 2)2 (5, 3)2.Giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu đặc điểm của từng ví dụ cụ thể, so sánh

để rút ra đặc điểm chung: Các đẳng thức luỹ thừa, vế trái là luỹ thừa của một tích,

vế phải là tích các luỹ thừa Từ những đặc điểm chung tìm được, trên cơ sở khái

quát hoá ta có công thức tổng quát: (x.y)n = xn.yn

Rõ ràng trong quá trình giảng dạy nếu ta để ý, sử dụng thao tác so sánh mộtcách đúng lúc, thích hợp sẽ giúp học sinh nắm chắc kiến thức mới tiếp thu, củng cốđược kiến thức cũ đã học và giúp học sinh vận dụng kiến thức cũ tốt hơn

Chỉ khi nắm vững kiến thức cơ bản học sinh mới có thể tư duy một cách linhhoạt, sáng tạo khi giải quyết vấn đề

b) Tương tự : Tương tự là một kiểu giống nhau nào đó Có thể nói tương tự là giống

nhau nhưng ở mức độ xác định hơn, và mức độ đó được phản ánh bằng khái niệm[32, tr.22]

Trong “lôgic học”, D Gorki viết: “Tương tự là phép suy luận trong đó từ chỗ

hai đối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu, ta rút ra kết luận rằng các đối tượngnày giống nhau ở các dấu hiệu khác Nếu đối tượng A có dấu hiệu là a, b, c, d và đối

tượng B cũng có dấu hiệu a, b, c thì ta rút ra kết luận giả định rằng đối tượng B

cũng có tính chất d Ta có thể biểu diễn sơ đồ của phép suy luận tương tự như sau:

A có tính chất a, b, c, d

B có tính chất a, b, c -Kết luận B cũng có tính chất d” [ 21]

Chúng ta đã nghiên cứu đặc biệt hóa và thấy không có gì đáng để nghi ngờ cả.Nhưng khi bước vào nghiên cứu sự tương tự thì chúng ta có một cơ sở kém vữngchắc hơn

Trong Toán học, người ta thường xét vấn đó tương tự trên các khía cạnh sau:

- Hai phép chứng minh là tương tự, nếu đường lối, phương pháp chứng minhlà giống nhau;

- Hai hình là tương tự, nếu chúng có nhiều tính chất giống nhau Nếu vai tròcủa chúng giống nhau trong hai vấn đề nào đó, hoặc nếu giữa các phần tử tương ứngcủa chúng có quan hệ giống nhau Chẳng hạn đường thẳng trong mặt phẳng tương

tự với mặt phẳng (trong Hình học không gian), vì trong Hình học phẳng đườngthẳng là đường đơn giản nhất có vai trò giống mặt phẳng là mặt đơn giản nhất trongHình học không gian Ngoài ra, có nhiều định lý vẫn còn đúng nếu chúng ta thay từ

“đường thẳng” bởi từ “mặt phẳng”, ví dụ định lý “Nếu hai đường thẳng phân biệt

cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song” (có thể thay

“đường thẳng” bởi “mặt phẳng”)

Nói về vai trò của phép tương tự, nhà Sư phạm đồng thời là nhà Toán học nổitiếng người Mỹ G Pôlya có nhận xét: “Trong Toán học sơ cấp cũng như trong Toán

học cao cấp, phép tương tự có lẽ có mặt trong mọi phát minh Trong một số phát

minh, phép tương tự đóng vai trò quan trọng hơn cả”, còn đối với nhà Thiên vănhọc tài ba Kepler (người Đức), người đã phát minh ra ba định luật nổi tiếng trongThiên văn học thì: “Tôi vô cùng biết ơn các phép tương tự, những người thầy đáng

tin cậy nhất của tôi, các phép tương tự đã giúp tôi khám phá ra các bí mật của tự

nhiên, đã giúp tôi vượt qua mọi trở ngại” (dẫn theo 21, tr.148)

Ở đây, chúng ta chỉ xét những phép tương tự theo nghĩa là chuyển từ mộttrường hợp riêng này sang một trường hợp riêng khác của cùng một cái tổng quát.Chẳng hạn, xét các Mệnh đề:

"Trung bình cộng của hai số không âm không nhỏ hơn trung bình nhân của

³ (trung bình cộng của ba số không âm lớn hơn hoặc bằng

trung bình nhân của chúng) (b); Trung bình cộng của n số không âm lớn hơn hoặc

bằng trung bình nhân của nó (c)"

Việc chuyển từ mệnh đề (a) hay (b) sang (c) là khái quát hoá; việc chuyển từ(a) sang (b) là một phép tương tự Phép tương tự ở đây rất gần với khái quát hoá;phép tương tự có thể xem là tiền thân của khái quát hoá, bởi vì việc chuyển từ một

trường hợp riêng này sang một trường hợp riêng khác của cùng một cái tổng quát làmột bước để đi tới những trường hợp riêng bất kỳ của cái tổng quát đó.

Đối với học sinh, tương tự đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện tư duysáng tạo của người học Để giải một bài toán, chúng ta thường nghĩ về một bài toántương tự dễ hơn và tìm cách giải bài toán ấy Sau đó, để giải bài toán ban đầu, ta lạidùng bài toán tương tự dễ hơn đó làm mô hình

Ví dụ 1.8 Tính tổng: S(n) = 1.2 + 2.3+ +n(n+1).

Để tính tổng trên ta liên hệ nó với một tổng tương tự đơn giản hơn

S1(n) = 1 + 2 + 3 + + n Để cho tổng S1(n) có dạng gần gũi với tổng S(n) hơn

ta nhân S1(n) với 2 ta có:

Như vậy ta đã tính được tổng trên nhờ xét tổng tương tự.

1.2.2 Bồi dưỡng các phẩm chất trí tuệ

Môn Toán cần được khai thác để góp phần phát triển những phẩm chất trí tuệ

như: tính linh hoạt, tính sáng tạo, tính độc lập Hơn thế môn Toán có khả năng to

lớn góp phần phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh Việc bồi dưỡng cho học sinh

những phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa to lớn đối với việc học tập, công tác và trongcuộc sống

Mục đích này cần được thực hiện một cách có ý thức, có hệ thống, có kế hoạchchứ không phải là tự phát Vì vậy trong quá trình dạy học giáo viên cần có ý thứcbồi dưỡng các phẩm chất trí tuệ quan trọng sau :

- Tính linh hoạt: Tính linh hoạt của tư duy thể hiện ở khả năng chuyển

hướng quá trình tư duy Trước hết, cần rèn luyện cho học sinh khả năng đảo ngược quá trình tư duy, lấy đích của một quá trình đã biết làm điểm

xuất phát cho một quá trình mới, còn điểm xuất phát của quá trình đã biếttrở thành đích của quá trình mới

Ví dụ 1.9 Cho hàm số y  f x ( )  x3  3 x  1 (C) và q x ( )  x2  4

1 Tính tổng S  x12  x22  x32, với x x x1, ,2 3 là hoành độ giao điểm của (C) với

trục hoành

2 Tìm hoành độ giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành.

3 Gọi x x x1, ,2 3 là hoành độ giao điểm của (C) với trục hoành

Tính A q x q x q x  ( ) ( ) ( )1 2 3

Rèn luyện tư duy linh hoạt cho học sinh thông qua các định hướng giải các bài toán trên

Định hướng giải câu 1:

- Học sinh nghĩ rằng tìm x x x1, ,2 3 rồi thay vào S, hướng này thật sự khó khăn đối với học sinh

- Có học sinh lại đề nghị sử dụng định lý Viet cho phương trình bậc 3, hướng này cũng không ổn vì định lý Viet cho phương trình bậc 3 không đưa vào chương trình

- Vậy làm thế nào để giải được bài toán này?

- Ta giả sử đã có x x x1, ,2 3 là hoành độ giao điểm của (C) với trục hoành

Định hướng giải câu 2:

- Học sinh nghĩ rằng tìm x x x1, ,2 3 bằng máy tính, rồi lấy nghiệm gần đúng, hướng này không được vì đề không yêu cầu tìm nghiệm gần đúng

- Có học sinh đề xuất dùng Các đa nô, hướng này cũng không được vì khôngcó trong chương trình SGK phổ thông

- Biểu thức x3 – 3x giúp các em liên tưởng đến điều gì?

- Liên tưởng đến lượng giác được không?

- Đặt x =2cost với t [0; ]

- Khi đó ta có phương tình: 8cos3t – 6cost – 1=0

 2(4cos3t– 3cost) – 1=0

 2cos3t – 1=0  cos3t =

2 1



; 7 9

}

Vì phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm nên phương trình chỉ có 3 nghiệm:

Định hướng giải câu 3:

- Học sinh thường giải bằng cách áp dụng định lý Viet hoặc giải ra nghiệm

1, ,2 3

x x x rồi thay vào A Tuy nhiên nếu bằng lòng với 2 phương pháp đó thì

không ổn vì định lý Viet cho phương trình bậc 3 không đưa vào chương trình vàcách tính x x x1, ,2 3 phức tạp.

- Vậy làm thế nào để giải được bài toán này?

- Ta có x x x1, ,2 3 là hoành độ giao điểm của (C) với trục hoành

Suy ra f x ( )   x  x1  x  x2  x  x3

(2) được thỏa mãn khi m0  1 0   m0  1

Điều kiện đủ: với m 1thì ( m  1) x2   x 2 m  0,   x 0

Vậy m 1 thỏa mãn bài toán

Việc rèn luyện và phát triển tư duy linh hoạt cho học sinh thông qua quá trìnhdạy học giải bài tập toán là rất cần thiết bởi qua đó chúng ta giúp học sinh học tậptích cực hơn và kích thích được tính sáng tạo của học sinh trong học tập và trongcuộc sống

Ví dụ 1.11 Tính tích phân sau:

2

2 0

1(sinx cos )

Tuy nhiên đối với I trong bài toán này khi học sinh sử dụng cách giải trên sẽ sailầm vì khi chia cả tử và mẫu cho cos ,2x hoặc sin x2 để đặt t=tanx hoặc t=cotx thì

mẫu bằng không tại các cận lấy tích phân

Đối với trường hợp này học sinh cần phải tìm cách khắc phục để tiếp tục giải hoặcchuyển hướng suy nghĩ sang cách khác

Nếu tiếp tục theo hướng đặt t=tanx hoặc t=cotx thì cần phải làm gì?

Câu trả lời ta mong đợi là “ tách cận”

Hãy giải bài toán theo hướng khác?

Từ mối liên hệ công thức sinx cosx với 2 os( )

0

2( 2 os( )) ( os( ))

Như vậy tính linh hoạt của quá trình tư duy khi giải toán thể hiện trong việc dễ

dàng và nhanh chóng chuyển sang một thao tác trí tuệ khác, trong tính đa dạng củacách xử lí khi giải toán, trong việc thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của nhữngphương pháp giải rập khuôn

Vì vậy để rèn luyện khả năng tư duy nhạy bén trước những vấn đề nào đó, điềuchủ yếu là người học sinh phải có một vốn tri thức, vốn phương pháp và kỹ thuậtcần thiết để trước một vấn đề nào đó có thể có những phản xạ để phát hiện nhữngđiều bổ ích cho việc giải quyết vấn đề đó

- Tính độc lập: Tính độc lập của tư duy thể hiện ở khả năng tự mình phát hiện

vấn đề, tự mình xác định phương hướng, tìm ra cách giải quyết, tự mình kiểm tra và

hoàn thiện kết quả đạt được Tính độc lập liên hệ mật thiết với tính phê phán của tư

duy Tính chất sau thể hiện ở khả năng đánh giá nghiêm túc những ý nghĩ và tư