VỀ cấu TRÚC VÀNH GOLDIE nửa NGUYÊN tố

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH -o0o - Lê Bình Phương VỀ CẤU TRÚC VÀNH GOLDIE NỬA NGUYÊN TỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH -o0o - Lê Bình Phương VỀ CẤU TRÚC VÀNH GOLDIE NỬA NGUYÊN TỐ Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành chương trình cao học hoàn thành luận văn này, nhận hướng dẫn, góp ý chân thành giúp đỡ từ quý thầy cô trường Đại học sư phạm TP Hồ Chí Minh Trước hết xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, khoa Toán Phòng sau đại học trường Đại học sư phạm TP Hồ Chí Minh tạo điều kiện để thực luận văn thời gian cho phép Tôi xin gửi lời tri ân sâu sắc đến người hướng dẫn PGS.TS Bùi Tường Trí Thầy nhiệt tình hỗ trợ hướng dẫn suốt trình làm luận văn Dù cố gắng thực hoàn thành luận văn tất tâm huyết lực luận văn không tránh khỏi mặt thiếu sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp chân thành quý thầy cô bạn TP Hồ Chí Minh, ngày 26 tháng 09 năm 2012 Lê Bình Phương MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNG KÝ HIỆU LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ CHƯƠNG 2: ĐỊNH LÝ GOLDIE 13 2.1 Điều kiện Ore phải: 13 2.2 Số chiều đều: 20 2.3 Định lý Goldie phải: 25 CHƯƠNG 3:VỀ CẤU TRÚC VÀNH GOLDIE NỬA NGUYÊN TỐ 32 3.1 Thứ tự vành thương: 33 3.2 Các iđêan nguyên tố tối tiểu: 39 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 BẢNG KÝ HIỆU Kí hiệu Đọc AR A r R A iđêan vành R A iđêan phải vành R A e R A iđêan cốt yếu vành R MR NM Mn (D ) N môđun M Vành ma trận vuông cấp n D M R-môđun phải End R M Vành tự đồng cấu R-môđun M CR (0) Tập tất phần tử quy R rann X lann X ann X Linh hóa tử phải tập X viết tắt r ( X ) Linh hóa tử trái tập X viết tắt l( X ) Linh hóa tử X {q ∈ Q/Iq ⊆ I} Thứ tự bên phải R-iđêan I Or ( I ) = Ol ( I ) = {q ∈ Q/qI ⊆ I} Thứ tự bên trái R-iđêan I LỜI NÓI ĐẦU Cho vành R giao hoán có đơn vị Một tập S ⊂ R gọi tập (con) nhân (tập đóng nhân) R 1∈ S ∀x , y ∈ S ⇒ xy ∈ S Xác định quan hệ ∼ tập R × S sau: Với a, b ∈ R; s, t ∈ S (a, s)  (b, t ) ⇔ ∃u ∈ S,(at − bs)u =0 Dễ kiểm tra ∼ quan hệ tương đương Mỗi lớp tương đương (a, s) ký hiệu: a / s gọi thương (phân số) Gọi RS −1 tập hợp tất lớp tương đương a / s (thương, phân số) Trên RS −1 xác định phép cộng nhân: a / s + b / t =(at + bs) / st , (a / s)(b / t ) = ab / st Khi RS −1 trở thành vành giao hoán Vành RS −1 gọi vành thương vành R theo tập nhân S Vậy R không giao hoán vành thưong RS −1 có thực tồn tại? Điều không R tính giao hoán kỹ thuật xây dựng không dùng nên tồn vành thương không bảo đảm Tuy nhiên với R vành Noether Goldie đưa định lý chứng tỏ vành thương xây dựng vành nửa nguyên tố Hơn R vành nửa nguyên tố có vành thương R gọi vành Goldie nửa nguyên tố vành thương vành Artin nửa đơn Vậy với điều kiện để tồn vành thương vành Noether R ? Vành Goldie nửa nguyên tố có đặc trưng nào? Luận văn tìm hiểu làm rõ vấn đề CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương nêu số định nghĩa tính chất đại số không giao hoán Quy ước chương: Không nói thêm môđun M R-môđun phải; R vành không giao hoán 1.1 Định nghĩa vành: Cho tập hợp R khác rỗng , R ta trang bị hai phép toán thường kí hiệu “+ ” (đọc phép cộng) “.” (đọc phép nhân) Ta nói R, +, vành điều kiện sau thỏa mãn: i) R, + nhóm giao hoán ii) R, nửa nhóm iii) Phép nhân phân phối phép cộng: với phần tử tùy ý x , y, z ∈ R ta có: x ( y + z) = xy + xz ( y + z) x =yx + zx Nếu phép nhân giao hoán ta gọi R vành giao hoán, phép nhân có phần tử đơn vị ta gọi R vành có đơn vị 1.2 Định nghĩa vành con: Một phận A khác rỗng vành R với hai phép toán vành R cảm sinh A thành vành ta nói A vành vành R 1.3 Định nghĩa iđêan vành: Cho R vành, vành A R gọi ideal trái (ideal phải) vành R thỏa mãn điều kiện: ∈ A (ar ∈ A), ∀a ∈ A, ∀r ∈ R Vành A R gọi ideal vành R A vừa ideal trái vừa ideal phải vành R 1.4 Định nghĩa thể: Cho R vành có đơn vị Nếu phần tử khác R khả nghịch R gọi thể hay vành chia 1.5 Định nghĩa module: Cho R vành tùy ý M nhóm cộng aben M gọi R-môđun phải có ánh xạ f : MxR → M , (m, r )  f (m, r ) = mr Sao cho ∀m, m1 , m2 ∈ M ∀a, b ∈ R thì: i) m(a + b) = ma + mb ii) (m1 + m2 )a =m1a + m2 a iii) (ma)b = m(ab) Chú ý: M R R-môđun phải, tương tự ta có R M R-môđun trái, M vừa R- môđun phải vừa R-môđun trái gọi song môđun ký hiệu: R M R 1.6 Định nghĩa môđun con: Cho R-môđun M tập ∅ ≠ N ⊂ M N gọi môđun M nếu: i) ∀x , y ∈ N : x − y ∈ N ii) ∀a ∈ A, ∀x ∈ N : xa ∈ N Tất nhiên môđun N R-môđun với phép toán cảm sinh M / N R-môđun gọi môđun thương 1.7 Định nghĩa: M gọi môđun đơn hay bất khả quy MR ≠ M có hai môđun M Môđun M tổng trực tiếp môđun đơn gọi nửa đơn, môđun đơn đôi đẳng cấu với M gọi isotypic 1.8 Định nghĩa: - Môđun M gọi thỏa điều kiện dây truyền giảm (d.c.c) dãy giảm môđun M0 ⊃ M1 ⊃ dừng sau hữu hạn bước nghĩa tồn n cho: = Mn M = Khi M gọi môđun Artin n +1 - M gọi thỏa điều kiện dây truyền tăng (a.c.c) dãy tăng môđun: M1 ⊂ M2 ⊂ dừng sau hữu hạn bước nghĩa tồn n cho: = Mn M = Khi M gọi môđun Noether n +1 Chú ý: Nếu N  M M Noether hay Artin N M / N Noether hay Artin 1.9 Định lý: (Jordan-Hólder) Môđun M thỏa hai điều kiện a.c.c d.c.c tồn cận n gọi chiều dài của dãy dây truyền môđun M Khi dây chuyền môđun M: M0 ⊃ ⊃ Mn làm mịn đến độ dài n Khi Mi / Mi +1 môđun đơn 1.10 Mệnh đề: M môđun nửa đơn điều kiện sau tương đương: i) M thỏa điều kiện d.c.c ii) M thỏa điều kiện a.c.c iii) Dây chuyền môđun có độ dài hữu hạn 1.11 Mệnh đề: Cho môđun M điều kiện sau tương đương: i) M Neother ii) Mỗi môđun M hữu hạn sinh iii) Mọi tập khác rỗng môđun M có phần tử tối đại 1.12 Định nghĩa: Nếu R R-môđun Noether R vành Noether phải Nếu R R-môđun Artin R vành Artin phải 1.13 Hệ quả: Cho vành R điều kiện sau tương đương: i) R vành Noether ii) R thỏa điều kiện a.c.c iii) Mỗi iđêan phải R hữu hạn sinh iv) Mỗi tập khác rỗng iđêan phải R có phần tử tối đại 1.14 Bổ đề: (Schur’s) Nếu M môđun đơn End R ( M ) vành chia 1.15 Định nghĩa: Vành R đơn R có hai iđêan R 1.16 Định lý: Cho vành R điều kiện sau tương đương: i) R vành Artin phải đơn ii) R  Mn ( D ) với n với vành chia D iii) R  End MS M S – môđun isotypic nửa đơn độ dài n vành S 1.17 Định nghĩa: Iđêan A vành R lũy linh A n = với n 1.18 Định lý: Cho vành R điều kiện sau tương đương: i) R tích trực tiếp hữu hạn vành Artin đơn ii) R R-môđun nửa đơn iii) R Artin phải có iđêan không lũy linh iv) R Artin phải giao iđêan phải tối đại 1.19 Định nghĩa: R đơn tích trực tiếp hữu hạn vành (Artin) đơn R 32 Lấy I ideal phải Q I = eQ , e2 = e phần tử lũy đẳng Q I ) l(= e) fQ Vì e f = − e cặp lũy đẳng trực giao nên l(= = eQ r= ( f ) r ( fQ) Do ideal phải Q linh hóa tử phải Mà Q vành Goldie phải nửa nguyên tố nên theo bổ đề 2.3.2.4 Q thoả mãn điều kiện dãy giảm hoán tử phải Q vành Artin phải * Vành Artin phải nửa nguyên tố vành nửa đơn 2.3.3 Cho R vành nửa nguyên tố Xét vành tự đồng cấu End (R R ) Vành End (R R ) sinh R kí hiệu R1 Bổ đề: i) R  R1 R iđêan cốt yếu R1 ii) R1 vành nửa nguyên tố Chứng minh: i) Rõ ràng R  R1 Cho ≠ A r R1 Chứng minh AR ⊆ R Vì R1 sinh R Hơn với a ∈ A, r ∈ R a ar xem tự đồng cấu R Nếu a ≠ a(r ) ≠ với r AR ≠ Vì R iđêan cốt yếu R1 ii) Nếu A r R1 với A2 = ( A ∩ R)2 = R1 nửa nguyên tố CHƯƠNG 3: VỀ CẤU TRÚC VÀNH GOLDIE NỬA NGUYÊN TỐ 33 Chương nghiên cứu số hệ mở rộng định lý Goldie Bên cạnh ta thấy mối quan hệ vành R vành ma trận Mn ( R) ứng với vành thương Q vành thương Mn (Q) Chương tập trung vào iđêan tối tiểu, nghiên cứu mối quan hệ đặc biệt vành Goldie nửa nguyên tố 3.1 Thứ tự vành thương: 3.1.1 Mệnh đề: Nếu Q vành Artin phải Q vành thương phải phần tử quy phải khả nghịch Chứng minh: Lấy s ∈ Q phần tử quy phải Xét chuỗi giảm {snQ} Vì Q vành Artin phải nên tồn n cho: snQ = sn+1Q hay = sn q sn+1q, q ∈ Q Vì s quy phải nên sn quy phải Do sn (sq − 1) = ⇒ sq =1 Suy s quy trái (vì as = ⇒ a.sq = ⇒ a = ) s(qs − 1) =(sq − 1)s = ⇒ qs =1 Vậy q = s−1 3.1.2 Cho vành thương Q, vành R (không cần thiết có đơn vị 1) gọi thứ tự phải Q ∀q ∈ Q có dạng q = rs−1 cho r , s ∈ R Thứ tự trái định nghĩa tương ứng Nểu R thứ tự bên phải bên trái gọi thứ tự Q Bổ đề: 34 Cho Ri vành (không thiết chứa đơn vị 1) vành thương Qi ⊕ Ri thứ tự phải ⊕Qi Ri thứ tự phải Qi 3.1.3 Có khác “ R thứ tự phải Q” “Q vành thương phải R” (quy ước vành có đơn vị 1) Vì phần tử quy phải R Q chưa quy Q Tuy nhiên kết sau chứng tỏ khác biệt không R thứ tự trái Q Q Artin phải Mệnh đề: Cho R vành (có đơn vị 1) vành Q Lấy S = {phần tử khả nghịch Q}  R i) Nếu Q vành thương phải R Q vành thương, R thứ tự phải Q S = CR (0) ii) Nếu Q vành thương R thứ tự phải Q Q = RS Hơn nữa, R thứ tự trái Q Q Artin phải S = CR (0) Q vành thương bên phải R Chứng minh: i) Nếu q ∈ Q quy, r qs ∈ CR (0) phần tử khả = q rs−1 (r , s ∈ R) = nghịch Q Do q khả nghịch Q vành thương ii) Cr (0) ⊆ CQ (0) Nếu R thứ tự trái CR (0) ⊆ CQ (0) suy CR (0) = S Do Q vành thương phải R Trong trường hợp Q Artin phải C ' (0) ⊆ CQ (0) nên CR (0) = S Q Q 35 vành thương phải R Điều rằng, Q Artin nửa đơn khác biệt xuất hiện, vành Goldie nửa nguyên tố định nghĩa với thứ tự phải có phần tử đơn vị vành Artin nửa đơn Trong trường hợp đặc biệt Q Artin nửa đơn R vành Goldie phải nửa nguyên tố đồng nghĩa với R thứ tự phải có đơn vị Q 3.1.4 Hệ quả: R vành Goldie phải nửa nguyên tố với vành thương phải Q chi Mn ( R) vành Goldie phải nửa nguyên tố với vành thương Mn (Q) Chứng minh: - Giả sử R vành Goldie phải nửa nguyên tố với vành thương Q Vì Q vành Artin nửa đơn nên Mn (Q) Artin nửa đơn Ta Mn ( R) thứ tự phải Mn (Q) Nếu x ∈ Mn (Q) lấy mẫu số chung (bất kì tập hữu hạn q1 , q2 , , qn ∈ Q có mẩu thức chung nghĩa tồn r1 ,r2 , ,rn ∈ R, qi = ri s−1 , i = 1, n ) ta viết x dạng (aijc −1 ); aij , c ∈ R Do= : x ac −1; a, c ∈ Mn ( R) Nên Mn ( R) thứ tự phải Mn (Q) tức Goldie phải nửa nguyên tố Đảo lại, hiển nhiên 3.1.5 Bổ đề: R thứ tự phải vành thương Q lấy S vành Q (không chứa phần tử đơn vị 1) Giả sử có phần tử khả nghịch a,b Q 36 cho aRb ⊆ S S thứ tự phải Q Chứng minh: Lấy q ∈ Q Xét = a −1qa rt −1 , r , t ∈ R Suy q ar= t −1a −1 arb(atb)−1 = Do S thứ tự phải Q 3.1.6 Hệ quả: i) Nếu R thứ tự phải vành thương Q S vành (không thiết s chứa đơn vị 1) cho R ⊆ S ⊆ Q S thứ tự phải Q ii) Nếu R vành Goldie phải nguyên tố, ≠ A  R , S vành R với A ⊆ S ⊆ R S vành Goldie phải nguyên tố có vành thương R Chứng minh: i) Áp dụng bổ đề 3.1.5 với a= b= ii) A  e RR A có chứa phần tử quy c ∈ R nên c phần tử khả nghịch vành thương phải Q R cR ⊆ S 3.1.7 Định lý Goldie bây mở rộng cho vành đơn vị Định lý: Vành R (không thiết có dơn vị 1) thứ tự phải vành Artin nửa đơn Q R vành Goldie phải nửa nguyên tố Chứng minh: - Giả sử R vành Goldie phải nửa nguyên tố R1 vành Goldie phải nửa nguyên tố Do R1 có vành thương Artin phải nửa đơn Suy R1 thứ tự phải Q nên R ideal cốt yếu R1 R chứa phần tử quy a ∈ R1 37 Vì aR1 ⊆ R nên theo 3.1.6 R thứ tự phải Q - Đảo lại, hiển nhiên 3.1.8 Hệ quả: Cho R vành Goldie phải nửa nguyên tố, A iđêan phải cốt yếu B iđêan trái chứa phần tử quy Thí A AB vành Goldie phải nửa nguyên tố (không có 1) có vành thương giống R Chứng minh: Do 2.3.2.6 tồn phần tử quy a ∈ A , b∈ B Ta có: aRb ⊆ AB ⊆ A ⊆ R Từ 3.1.5, 3.1.6 3.1.7 suy điều phải chứng minh 3.1.9 Cho R1 R2 thứ tự bên phải vành thương cố định Q có phần tử khả nghịch a1 , a2 , b1 , b2 ∈ Q cho a1R1b1 ⊆ R2 a2 R2 b2 ⊆ R1 R1 R2 gọi hai thứ tự phải tương đương Kí hiệu: R1  R2 Bổ đề: Giả sử R,S thứ tự bên phải tương đương Q với R ⊆ S Thì có thứ tự bên phải tương đương T ,T ' Q với R ⊆ T ⊆ S R ⊆ T ' ⊆ S phần tử khả nghịch r1 , r2 Q chứa R cho r1S ⊆ T , Tr2 ⊆ R Sr2 ⊆ T ', r1T ' ⊆ R Đặt biệt r1Sr2 ⊆ R Chứng minh: Do định nghĩa ta có aRb ⊆ R với phần tử khả nghịch a, b ∈ R a r1= s1−1 , b r2 s2−1; ri , si ∈ R = Gọi Thì r1Sr2 ⊆ r1s1−1Sr2 ⊆ Rs2 ⊆ R Dễ dàng kiểm tra được: T =R + r1S + Rr1S T ' =R + Sr2 + Sr2 R thỏa bổ đề 38 3.1.10 Định nghĩa: Giả sử R thứ tự phải trái vành thương Q R-iđêan phân thức phải môđun I QR cho aI ⊆ R bR ⊆ I với phần tử khả nghịch a, b ∈ Q Tương tự ta có R-iđêan phân thức trái Nếu I R-iđêan phân thức phải S-iđêan phân thức trái với thứ tự S I gọi (S,R)-iđêan phân thức Thứ tự bên phải R-iđêan phải (hoặc trái) I định nghĩa: Or ( I ) = {q ∈ Q/Iq ⊆ I} Thứ tự bên phải R-iđêan phải (hoặc trái) I định nghĩa: Ol ( I ) = {q ∈ Q/qI ⊆ I} 3.1.11 Bổ đề: Cho R thứ tự bên phải Q cho I R-iđêan phân thức trái phải : i) Or ( I ) Ol ( I ) thứ tự bên phải tương đương với R ii) I ( Or ( I ) , Ol ( I ) )-iđêan phân thức Chứng minh: Giả sử I R-iđêan phân thức phải i) Chọn phần tử khả nghịch a, b ∈ Q từ định nghĩa 3.1.10 ta có: abOr ( I ) ⊆ R ⊆ Or ( I ) aOl ( I )b ⊆ aOl ( I )I ⊆ aI ⊆ R bRa ⊆ Ol ( I ) bRaI ⊆ bR ⊆ I ii) Kiểm tra trực tiếp từ định nghĩa 3.1.12 Định nghĩa: Cho I R-iđêan phân thức phải Nếu I ⊆ Or ( I ) I gọi Riđêan nguyên phải Tương tự ta có R-iđêan nguyên trái 39 3.1.13 Bổ đề: Cho R thứ tự bên phải bên trái vành thương Q cho I R-iđêan phân thức phải Thì điều sau tương đương: i) I R-iđêan nguyên phải ii) I Or ( I ) -iđêan nguyên phải iii) I Ol ( I ) -iđêan nguyên trái iv) I ⊆ I 3.1.14 Mệnh đề: Cho R vành bên phải vành thương Q, I , J  QR Thì: nhúng i) I  → IQ  I ⊗ Q nhúng → HomQ ( IQ, JQ) , α  α ⊗ , mở rộng ii) HomR ( I , J )  α đến IQ JQ Chứng minh: i) Điều suy trực tiếp từ 2.1.8 3.1.3 với trường hợp Q = R ii) Suy từ i) 3.2 Các iđêan nguyên tố tối tiểu: Phần so sánh iđêan vành Goldie phải nửa nguyên tố R với iđêan Q(R) Các điều sau cố định phần này: R vành Goldie phải nửa nguyên tố Q vành thương phải R Theo k định lý Goldie Q nửa đơn Q = ⊕ Qi với Qi vành Artin đơn i =1 iđêan Q sinh tâm lũy đẳng với ei = 1Q i = Mi Với I, iđêan Ai = Qi  R Ai = Qi  R ∑{Q j | j ≠ i} iđêan tối đại Đặt Pi = Mi  R , 40 3.2.1 Mệnh đề: i) Các iđêan Pi iđêan tối tiểu R ii) Các iđêan có dạng I  R , với I  Q iđêan linh hóa tử R iii) Ai iđêan linh hóa tử khác không tối tiểu k iv) Iđêan A = ⊕ Ai iđêan phải cốt yếu R, thứ tự bên phải i =1 Q tương đương với R v) Ai thứ tự bên phải Qi Chứng minh: i) Giả sử X ,Y  R với XY ⊆ Pi suy XQ,YQ  Q Vậy XQYQ = XYQ ⊆ PQ ⊆ Mi i Do XQ ⊆ Mi YQ ⊆ Mi suy X ⊆ Pi Y ⊆ Pi Điều chứng tỏ Pi iđêan nguyên tố Ta có ∩Pi = chứng tỏ Pi iđêan nguyên tố tối tiểu ii) Nếu I  Q I giao Mi , I ∩ R giao Pi Áp dụng 2.2.10 (iii) 2.2.11 iii) Suy từ (ii) iv) Do 2.1.7 (iii), AiQ = Qi AQ = Q 2.2.9 A  e RR 3.2.2 Hệ quả: R chứa tổng trực tiếp hữu hạn vành Goldie phải nguyên tố (không thiết có đơn vị 1) có vành thương phải giống 3.2.3 Mệnh đề i) R / Pi  Ri R 41 k ⊕ ei R ii) R ⊆ R ' = i =1 iii) R’ vành Goldie phải nửa nguyên tố R '  R iv) ei R vành Goldie phải nguyên tố ei R  Ai k v) CR (0) =  CR ( Pi ) i =1 Chứng minh: → eiQ , q  → ei q i) Mi hạt nhân ánh xạ Q  Vì = Pi Mi ∩ R hạt nhân ánh xạ thu hẹp đến R ii) Hiển nhiên iii) AR'= A ⊆ R Ai = Ai ei Do mệnh đề 3.2.1 (iv), A chứa đơn vị a Q Khi aR' ⊆ R ⊆ R ' R  R' iv) Suy từ 3.1.2 (iii) k v) + CR (0) ⊆  CR ( Pi ) i =1 Nếu c ∈ CR (0) với i, ei c phần tử đơn vị eiQ nên c phần tử quy ei R Do c ∈ ∩CR ( Pi ) k + CR (0) ⊇  CR ( Pi ) hiển nhiên i =1 3.2.4 Mệnh đề: Cho R vành nửa nguyên tố với iđêan nguyên tố tối tiểu P1 , , Pk Thì R vành Goldie phải R / Pi vành Goldie phải với i Chứng minh: Nếu R vành Goldie phải mệnh đề 3.2.3 suy đpcm 42 Ngược lại R / Pi vành Goldie phải với I thì: k → S= ⊕ R / Pi R  ñoàng caáu i =1 k vành Goldie phải nửa nguyên tố với vành thương Q = ⊕ Qi i =1 k Nếu A=i Qi ∩ R A = ⊕ Ai iđêan R iđêan cốt yếu S i =1 Do 3.1.8 , A  S 3.1.6 R thứ tự bên phải Q 3.2.5 Định nghĩa: Giả sử S  Mn (T ) với vành S,T có đơn vị Gọi tập ma trận đơn vị S M= với M e / i, j {= ij } 1, , n cho 0, j ≠ k e e = ∂ e e = Trong ∂ ≡  ∑ ii ij kl jk il jk 1, j k =  { } s ∈ S / seij =∀ eijs, i, j nhóm trung tâm M S Gọi T ' = Khi S  Mn (T ') Nếu T vành chia tính định lý Artin Wedderburn chứng tỏ T  T ' 3.2.6 Định lý: (Faith – Utuni) Vành Goldie phải nửa nguyên tố R chứa thứ tự bên phải tương đương tổng trực tiếp vành ma trận miền Ore phải (không thiết có đơn vị 1) Chứng minh: Với Q vành thương phải R Từ hệ 3.2.1 Q  Mn ( D ) Đầu tiên ta chứng minh tập ma trận đơn vị M Q chọn cM ⊆ R với phần tử quy c ∈ R Do 2.1.7 i) ta chọn phần tử quy c với Mc ⊆ R 43 = Tập M ' {c } eijc / eij ∈ M tập đơn vị cM ' ⊆ R Vậy ta −1 chọn tập M Giả sử D nhóm trung tâm Q, Mb ⊆ R Với phần tử quy khác b Xét tập: C= {x ∈ R / xM ⊆ R} , B = {x ∈ R / Mx ⊆ R} Dễ thấy C  e R B r R Ta có CM = (CM ) M suy CM = C Tương tự ta có MB = B Xét vành BC R Vì bRc ⊆ BC ⊆ R , bổ đề 3.1.5 chứng tỏ BC thứ tự bên phải Q tương đương với R Hơn nữa, BC = MBCM BC = Mn ( K ) , với K nhóm trung tâm M BC Do K ⊆ D miền nguyên Từ 2.2.9 với 2.3.3 ru dim= Mn ( K ) ru = dim Q n Dễ dàng kiểm tra ru dim Mn ( K ) = n(ru dim K ) Do ru dim K = K miền Ore phải với vành thương phải D1 Ở D = D1 Thật ta có Mn ( K ) ⊆ Mn ( D1 ) ⊆ Mn ( D ) Do hệ 3.1.5, Mn ( D1 ) thứ tự bên phải Mn ( D ) Do 3.1.1 Mn ( D1 ) = Mn ( D ) D = D1 3.2.7 Hệ quả: Nếu R vành Goldie phải nguyên tố u d imR R số lũy linh lớn phần tử lũy linh R Chứng minh: Cho Q = Q( R) , Q  Mn ( D ) với D vành chia u d imR R = n Do mệnh đề 3.2.1 ta có R ⊇ Mn ( K ) phần tử k (e12 + e23 + en−1n ) với 44 ≠ k ∈ K lũy linh với số lũy linh n Mặt khác cho a ∈ R lũy linh Ta xem a tự đồng cấu M = D n , không gian D-vector phải n-chiều Dây chuyền không gian M ⊇ aM ⊇ a2 M ⊇ phải giảm cách chặt chẽ đạt tới Vì chiều dài số lũy linh a n lớn KẾT LUẬN Kết luận văn: 45 - Tìm điều kiện tồn vành thương vành không giao hoán - Định nghĩa số chiều đều, công cụ đặc biệt để nghiên cứu vành Noether - Định nghĩa vành Goldie nửa nguyên tố , lớp vành đặc biệt vành Noether - Nghiên cứu sâu cấu trúc vành Goldie nửa nguyên tố Định nghĩa thứ tự bên phải vành thương Q vành R , từ xem xét mối quan hệ Q vành R - So sánh iđêan vành Goldie phải nửa nguyên tố với iđêan vành thương - Mỗi vành Goldie phải nguyên tố tương đương với vành ma trận miền Ore phải TÀI LIỆU THAM KHẢO I.N Hersein (1968), Noncommutative Rings, The Mathematical 46 Association of America, USA J C McConnell, J C Robson (2001), Noncommutative Rings, American Mathematical Society, New York I.N Hersein, Lance W Small (1979), Some Comments on Prime Rings, Journal of Algebra 60 [...]... Mà Q là vành Goldie phải nửa nguyên tố nên theo bổ đề 2.3.2.4 thì Q thoả mãn điều kiện dãy giảm trên các hoán tử phải và vì thế Q là vành Artin phải * Vành Artin phải và nửa nguyên tố là vành nửa đơn 2.3.3 Cho R là vành nửa nguyên tố Xét vành tự đồng cấu End (R R ) Vành con của End (R R ) sinh bởi R và 1 được kí hiệu là R1 Bổ đề: i) R  R1 và R iđêan cốt yếu của R1 ii) R1 là vành nửa nguyên tố Chứng... lý: Căn nguyên tố N ( R) là nil thì N ( R) là tập hợp các phần tử lũy linh mạnh của R 1.29 Hệ quả: Cho R là vành các điều kiện sau tương đương: i) R có iđêan phải khác không, không lũy linh ii) R có iđêan khác không, không lũy linh iii) N ( R) = 0 1.30 Định nghĩa: Vành R là nửa nguyên tố khi và chỉ khi N ( R) = 0 Iđêan A của vành R là nửa nguyên tố nếu R / A là vành nửa nguyên tố Căn nguyên tố N (... tự đồng cấu của R Nếu a ≠ 0 thì a(r ) ≠ 0 với mọi r và AR ≠ 0 Vì vậy R là một iđêan cốt yếu của R1 ii) Nếu A r R1 với A2 = 0 thì ( A ∩ R)2 = 0 vì thế R1 là nửa nguyên tố CHƯƠNG 3: VỀ CẤU TRÚC VÀNH GOLDIE NỬA NGUYÊN TỐ 33 Chương này sẽ nghiên cứu một số hệ quả và mở rộng của định lý Goldie Bên cạnh đó ta sẽ thấy được mối quan hệ của vành R và vành ma trận Mn ( R) ứng với vành các thương Q và vành các... là nguyên tố đầy đủ nếu R / A là miền nguyên 1.24 Mệnh đề: Cho R là vành các điều kiện sau là tương đương i) Nếu 0 ≠ a, b ∈ R thì aRb ≠ 0 ii) Nếu 0 ≠ A, B  RR thì AB ≠ 0 iii) Nếu 0 ≠ A, B  R thì AB ≠ 0 1.25 Định nghĩa: aRb 0, a, b ∈ R thì a = 0 Vành R được gọi là vành nguyên tố nếu = hoặc b = 0 Iđêan A của vành R được gọi là iđêan nguyên tố nếu R / A là vành nguyên tố Tập của các iđêan nguyên tố. .. iđêan nguyên tố chứa A Hiển nhiên N ( R / A) = N ( A) / A và N ( A) là nửa nguyên tố 1.31 Định nghĩa: Môđun M R được gọi là trung thành khi và chỉ khi Mr = 0 nếu r = 0 với mọi r ∈ R Nếu vành R có một môđun đơn trung thành M R thì R là nguyên thủy phải 1.32 Bổ đề: i) Vành đơn thì là nguyên thủy 11 ii) Vành nguyên thủy thì nguyên tố 1.33 Định nghĩa: Căn Jacobson của vành R là giao của tất cả các iđêan nguyên. .. ),( X ⊆ A) Khi đó ta có X ⊆ l( I ) r ( X ) ⊇ r (l(I )) ⊇ I (đpcm) Vì thế I = 2.3.2 Định lý: (Điều kiện Goldie phải) Nếu R là vành Goldie phải nửa nguyên tố thì R có một vành các thương phải, và vành các thương phải này là vành nửa đơn Chứng minh: Cần các bổ đề sau 2.3.2.1 Bổ đề: R là vành nửa nguyên tố thỏa điều kiện dãy tăng trên các linh hóa tử phải Nếu I và J là ideal phải của R, I ⊆ J và l( I )... quy 2.3.2.6 Bổ đề: R là vành Goldie phải nửa nguyên tố Nếu I là ideal phải cốt yếu của R thì I chứa phần tử chính quy của R Chứng minh: *Ta chứng minh một ideal phải I ≠ 0 bất kì của vành R có chứa một phần tử x thỏa r ( x ) = r ( x 2 ) Vì R là vành nửa nguyên tố nên chứa phần tử không lũy linh Xét tập hợp các linh hóa tử phải S= {r ( y ) | y ∈ I , y n ≠ 0} Vì R là vành Goldie phải nên bất kì dãy giảm... thì điều này không được đảm bảo Tuy nhiên với các vành Noether nửa nguyên tố thì sự tạo thành vành các thương luôn có thể thực hiện được Chương này sẽ đưa ra điều kiện về sự tồn tại vành các thương và đưa ra một công cụ để nghiên cứu vành Noether đó là số chiều đều 2.1 Điều kiện Ore phải: Cho vành R với S là tập các phần tử chính quy trong R, S ≠ ∅ Vành R được gọi là thỏa điều kiện Ore phải nếu ∀a... Cho R là vành nửa nguyên tố các điều kiện sau là tương đương: i) R RR có số chiều đều hữu hạn ii) R có hữu hạn các iđêan nguyên tố tối tiểu iii) R có hữu hạn các iđêan linh hóa tử iv) R có điều kiện dây chuyền tăng trên các iđêan linh hóa tử 25 Chứng minh i) ⇒ ii) u d imR = n thì có các iđêan đều U1 , ,U n sao cho U1 ⊕ ⊕ U n  e R RR Nếu Pi = annUi thì do mệnh đề 2.2.10 iv), Pi là nguyên tố tối tiểu... của các iđêan nguyên tố của R được ký hiệu Spec R 1.26 Định nghĩa: Căn nguyên tố của R là giao của tất cả các iđêan nguyên tố của R Rõ ràng căn nguyên tố của R chứa tất cả các iđêan lũy linh của R Nếu R là vành Artin phải thì căn nguyên tố của nó trùng với N ( R) Ta vẫn kí hiệu là N ( R) 10 1.27 Định nghĩa: Một phần tử a của vành R là lũy linh nếu tồn tại n sao cho a n = 0 Nếu mỗi phần tử của tập ... nhiên với R vành Noether Goldie đưa định lý chứng tỏ vành thương xây dựng vành nửa nguyên tố Hơn R vành nửa nguyên tố có vành thương R gọi vành Goldie nửa nguyên tố vành thương vành Artin nửa đơn... nghĩa: Vành R nửa nguyên tố N ( R) = Iđêan A vành R nửa nguyên tố R / A vành nửa nguyên tố Căn nguyên tố N ( A) iđêan A giao iđêan nguyên tố chứa A Hiển nhiên N ( R / A) = N ( A) / A N ( A) nửa nguyên. .. R a = Vành R gọi vành nguyên tố = b = Iđêan A vành R gọi iđêan nguyên tố R / A vành nguyên tố Tập iđêan nguyên tố R ký hiệu Spec R 1.26 Định nghĩa: Căn nguyên tố R giao tất iđêan nguyên tố R