Các iđêan nguyên tố tối tiểu:

L ỜI NĨI ĐẦU

3.2 Các iđêan nguyên tố tối tiểu:

Phần này sẽ so sánh các iđêan của vành Goldie phải nửa nguyên tố R với các iđêan của Q(R). Các điều sau sẽ được cố định trong phần này: R là vành Goldie phải nửa nguyên tố và Q là vành các thương phải của R. Theo định lý Goldie Q là nửa đơn do đĩ Q ik1Qi

=

= ⊕ với Qi là vành Artin đơn như

mỗi iđêan của Q được sinh bởi tâm lũy đẳng với 1

i

i Q

e = .

Với mỗi I, iđêan Mi =∑{Q |j j i≠ } là iđêan tối đại. Đặt P Mi = i R,

i i

3.2.1 Mệnh đề:

i) Các iđêan Pi là các iđêan tối tiểu của R.

ii) Các iđêan cĩ dạng I R , với I Q chính là các iđêan linh hĩa tử của R.

iii) Ai là các iđêan linh hĩa tử khác khơng tối tiểu. iv) Iđêan A ik1Ai

=

= ⊕ là iđêan phải cốt yếu của R, và là thứ tự bên phải trong Q tương đương với R.

v) Ai là thứ tự bên phải trong Qi. Chứng minh:

i) Giả sử X Y R,  với XY ⊆Pi suy ra XQ YQ Q,  . Vậy thì XQYQ XYQ PQ M= ⊆ i ⊆ i.

Do đĩ XQ M⊆ i hoặc YQ M⊆ isuy ra X ⊆Pi hoặc Y ⊆Pi. Điều này chứng tỏ Pi là iđêan nguyên tố.

Ta cĩ ∩ =Pi 0 chứng tỏ Pi là iđêan nguyên tố tối tiểu.

ii) Nếu I Q thì I là giao các Mi, do đĩ I ∩R là giao của các Pi. Áp dụng

2.2.10 (iii) và 2.2.11 . iii) Suy ra từ (ii).

iv) Do 2.1.7 (iii), AQ Qi = ivì AQ Q= do 2.2.9 Ae RR.

3.2.2 Hệ quả:

R chứa tổng trực tiếp hữu hạn của các vành Goldie phải nguyên tố (khơng nhất thiết cĩ đơn vị 1) cĩ vành các thương phải giống nhau.

3.2.3 Mệnh đề

ii) 1 ' k i . i R R e R = ⊆ = ⊕

iii) R’ là vành Goldie phải nửa nguyên tố và R'R.

iv) e Ri là vành Goldie phải nguyên tố và e R Ai  i.

v) 1 (0) k ( ). R R i i C C P = = Chứng minh: i) Mi là hạt nhân của ánh xạ Q→eQi , q→e qi .

Vì P Mi = i ∩R là hạt nhân của ánh xạ thu hẹp đến R. ii) Hiển nhiên.

iii) AR'= ⊆A R vì Ai = A ei i. Do mệnh đề 3.2.1 (iv), A chứa đơn vị a của Q. Khi đĩ aR'⊆ ⊆R R' và RR'.

iv) Suy ra từ 3.1.2 và (iii). v) + 1 (0) k ( ). R R i i C C P = ⊆

Nếu c C∈ R(0) thì với mỗi i, eic là phần tử đơn vị của eiQnên c là phần tử chính quy trong e Ri . Do đĩ c∈∩C PR( )i . + 1 (0) k ( ) R R i i C C P = ⊇ hiển nhiên . 3.2.4 Mệnh đề:

Cho R là vành nửa nguyên tố với các iđêan nguyên tố tối tiểu P1,...,Pk. Thì R là vành Goldie phải nếu và chỉ nếu R P/ i là vành Goldie phải với mọi i.

Chứng minh:

Ngược lại nếu R P/ i là vành Goldie phải với mọi I thì: 1 / . k đồngcấu i i R S R P = → = ⊕

là vành Goldie phải nửa nguyên tố với vành các thương

1 k i i Q Q = = ⊕ . Nếu A Qi = i ∩R thì 1 k i i A A =

= ⊕ là iđêan của R và cũng là iđêan cốt yếu của S. Do 3.1.8 , A S do 3.1.6 R là thứ tự bên phải của Q.

3.2.5 Định nghĩa:

Giả sử S M T n( ) với các vành S T, cĩ đơn vị 1.

Gọi tập ma trận đơn vị của S là M vớiM ={e i jij/ , =1,...,n} sao cho

1 ii e = ∑ và eijekl = ∂jk ile . Trong đĩ 0, . 1, jk j k j k  ≠ ∂ ≡  = 

Gọi T'= ∈{s S se/ ij =e s i jij , ,∀ } là nhĩm con trung tâm của M trong S. Khi đĩ S M T n( ').

Nếu T là vành chia thì tính duy nhất trong định lý Artin Wedderburn chứng tỏ T T '.

3.2.6 Định lý: (Faith – Utuni)

Vành Goldie phải nửa nguyên tố R chứa thứ tự bên phải tương đương là tổng trực tiếp của các vành ma trận trên các miền Ore phải (khơng nhất thiết cĩ đơn vị 1).

Chứng minh:

Với Q là vành các thương phải của R. Từ hệ quả 3.2.1 Q M D n( ). Đầu tiên ta chứng minh rằng tập các ma trận đơn vị M của Q cĩ thể chọn được cM R⊆ với mọi phần tử chính quy c R∈ .

Tập { 1 }

ij ij

' /

M = c e c e− ∈M là tập đơn vị và cM'⊆R. Vậy ta cĩ thể chọn được tập M như trên.

Giả sử D là nhĩm con trung tâm trong Q, Mb R⊆ . Với mọi phần tử chính quy khác b. Xét tập:

C ={x R xM R∈ / ⊆ }, B={x R Mx R∈ / ⊆ }.

Dễ thấy Ce R và Br R.

Ta cĩ CM =(CM M) suy ra CM C= . Tương tự ta cĩ MB B= .

Xét vành con BC của R. Vì b c BC RR ⊆ ⊆ , bổ đề 3.1.5 chứng tỏ rằng

BC là thứ tự bên phải của Q tương đương với R.

Hơn nữa, vì BC MBCM= thì BC M K= n( ), với K là nhĩm con trung tâm của M trong BC.

Do K D⊆ và là miền nguyên.

Từ 2.2.9 cùng với 2.3.3 thì rudimM Kn( )=rudimQ n= . Dễ dàng kiểm tra được rudimM Kn( )=n ru( dim )K . Do đĩ

dim 1

ru K = và K là miền Ore phải với vành các thương phải D1. Ở đây D D= 1. Thật vậy ta cĩ M Kn( )⊆M Dn( )1 ⊆M Dn( ). Do hệ quả 3.1.5, M Dn( )1 là thứ tự bên phải trong M Dn( ). Do 3.1.1 M Dn( )1 =M Dn( ) và D D= 1.

3.2.7 Hệ quả:

Nếu R là vành Goldie phải nguyên tố thì ud imRR là chỉ số lũy linh lớn nhất của phần tử lũy linh trong R.

Chứng minh:

Cho Q Q R= ( ), Q M D n( ) với D là vành chia và ud imRR =n.

0≠ ∈k K là lũy linh với chỉ số lũy linh là n.

Mặt khác cho a R∈ là lũy linh. Ta cĩ thể xem a như tự đồng cấu của

n

M D= , khơng gian D-vector phải n-chiều. Dây chuyền của khơng gian con

2 ...

M aM a M⊇ ⊇ ⊇ phải giảm một cách chặt chẽ khi nĩ đạt tới 0. Vì vậy chiều dài của nĩ và chỉ số lũy linh của a là n lớn nhất.

KẾT LUẬN

- Tìm ra điều kiện tồn tại vành các thương của một vành khơng giao hốn.

- Định nghĩa số chiều đều, đây là một cơng cụ đặc biệt để nghiên cứu về vành Noether.

- Định nghĩa vành Goldie nửa nguyên tố , đây là một lớp vành đặc biệt của vành Noether.

- Nghiên cứu sâu hơn về cấu trúc của vành Goldie nửa nguyên tố. Định nghĩa thứ tự bên phải của vành các thương Q của vành R , từ đĩ xem xét mối quan hệ của Q và vành R.

- So sánh các iđêan của vành Goldie phải nửa nguyên tố với các iđêan của vành các thương của nĩ.

- Mỗi vành Goldie phải nguyên tố tương đương với vành ma trận trên miền Ore phải.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Association of America, USA.

2. J. C. McConnell, J. C. Robson (2001), Noncommutative Rings, American Mathematical Society, New York .

3. I.N. Hersein, Lance W. Small (1979), Some Comments on Prime Rings, Journal of Algebra 60.