Hãy tìm độ dốc, phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của C tại M.. Hãy tìm thể tích lớn nhất của hình trụ tròn xoay nội tiếp trong khối cầu bán kính 6... Từ các điều trên, ta thấy hệ đẳ
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
BỘ MÔN TOÁN
ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A1
HỌC KỲ I NĂM HỌC: 2015 - 2016 Ngày thi: 26/11/2015 Thời gian làm bài: 90 phút
NỘI DUNG ĐỀ THI
(Đề thi gồm 07 câu được in trên 01 trang.) Câu 1 Tính các giới hạn sau:
(a) lim
x→ 0
1 − cos(1 − cos x)
x→ 0
x
R
0
sin(t2)dt
x3 Câu 2 Cho hàm số f(x) = −3x2+ 2x khi x ≤ 0
ax+ sin x khi x > 0
(a) Tìm a để f(x) liên tục tại x = 0 (b) Tính f0
(0) với giá trị a vừa tìm được
Câu 3 (a) Cho hàm số g(x) =
tan x
Z
0
q
t+√
t+ 1dt, với 0 ≤ x < π2 Đặt f(x) = sin(g(x)) Tính
f0 +(0)
(b) Cho đường cong (C) có phương trình x3
+ y3
− 9xy = 0 và điểm M(2, 4) ∈ (C) Hãy tìm độ dốc, phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của (C) tại M
Câu 4 Hãy tìm thể tích lớn nhất của hình trụ tròn xoay nội tiếp trong khối cầu bán kính 6 Câu 5 (a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y2
= 2x + 6 và đường thẳng x − y − 1 = 0
(b) Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành do quay miền D được giới hạn bởi các đường y = x3, y = 8 và x = 0 quanh trục Oy
Câu 6 Khảo sát tính hội tụ và phân kỳ của chuỗi
∞
X
n =1
n
n+ 1
n2
Câu 7 Tính tổng của chuỗi
∞
X
n=0
(−1)n
.x2n+1 2n + 1 trên khoảng −1 < x < 1
Cần Thơ, ngày 25 tháng 11 năm 2015
Cán bộ ra đề
LÊ HOÀI NHÂN
Trang 2ĐÁP ÁN
Câu 1 Tính các giới hạn sau:
(a) lim
x→0
1 − cos(1 − cos x)
x→0
x
R
0
sin(t2
)dt
x3 Giải (a) Khi x → 0 ta có
1 − cos (1 − cos x) ∼ (1 − cos x)
2
x 2
2
2
x4
8.
Do đó,
lim
x→ 0
1 − cos(1 − cos x)
x→ 0
x4 8x4 = 1
8. (b) Giới hạn đã cho có dạng vô đinh 0
0 Áp dụng quy tắc L’Hospital ta được
lim
x→ 0
x
R
0
sin(t2)dt
x3 = lim
x→ 0
d dx
x
R
0
sin(t2)dt
d
dxx3 = lim
x→ 0
sin(x2) 3x2 = 1
3.
Câu 2 Cho hàm số f(x) = −3x2+ 2x khi x ≤ 0
ax+ sin x khi x > 0
(a) Tìm a để f(x) liên tục tại x = 0 (b) Tính f0
(0) với giá trị a vừa tìm được Giải (a) Hàm f(x) liên tục tại x = 0 khi và chỉ khi hệ đẳng thức sau đây đúng
f(0) = lim
x→ 0−f(x) = lim
x→ 0+f(x) (1)
Ta có,
• f(0) = (−3x2
+ 2x)|x=0= 0;
• limx→0−f(x) = lim
x→0−(−3x2
+ 2x) = (−3x2
+ 2x)|x =0 = 0;
• limx→0+f(x) = lim
x→0+(ax + sin x) = (ax + sin x)|x =0= 0
Từ các điều trên, ta thấy hệ đẳng thức (1) luôn đúng với mọi giá trị của a Vậy tập hợp tất cả các giá trị a phải tìm là R
(b) Vì hàm f(x) được cho trong lân cận của x = 0 bởi hai biểu thức khác nhau nên ta tính các đạo hàm một phía của f(x) tại x = 0
• f0
−(0) = lim
∆x→0−
∆f
∆x = lim∆x→0−
f(∆x) − f(0)
∆x = lim∆x→0−(−3∆x + 2) = 2
• f0 +(0) = lim
∆x→0+
∆f
∆x = lim∆x→0+
f(∆x) − f(0)
∆x = lim∆x→0+
a+ sin ∆x
∆x
= a + 1
Vì a nhận giá trị tùy ý nên ta có một trong hai khả năng sau
• a = 1 Khi đó, f0
−(0) = f0
+(0) = 2 Suy ra f0
(0) = 2
• a 6= 1 Khi đó, f0
(0) 6= f0
+(0) Suy ra f0
(0) không tồn tại
Trang 3Câu 3 (a) Cho hàm số g(x) =
tan x
Z
0
q
t+√
t+ 1dt, với 0 ≤ x < π2 Đặt f(x) = sin(g(x)) Tính
f0 +(0)
(b) Cho đường cong (C) có phương trình x3
+ y3
− 9xy = 0 và điểm M(2, 4) ∈ (C) Hãy tìm độ dốc, phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của (C) tại M
Giải (a) • f0
(x) = cos(g(x)).g0
(x) với 0 ≤ x < π2 Suy ra f0
+(0) = cos(g(0)).g0
(0)
• g0
(0) =
p tan x +√
tan x + 1 cos2(x)
x
=0
= 1
• g(0) =
tan 0
R
0
p
t+√
t+ 1dt = 0
• Vậy f0
+(0) = cos(0).1 = 1
(b) • Đạo hàm hai vế của đẳng thức x3+ y3
− 9xy = 0 theo biến x và xem y là hàm
số theo x ta được
3x2
+ 3y2
.y0
− 9y − 9xy0
= 0
• Trong đẳng thức trên cho x = 2 và y = 4 ta có Độ dốc của đường cong C tại
M là y0
(2) = 4
5
• Phương trình tiếp tuyến y = 45x+ 12
5
• Phương trình pháp tuyến y = −54x+ 13
2 Câu 4 Hãy tìm thể tích lớn nhất của hình trụ tròn xoay nội tiếp trong khối cầu bán kính 6
• Gọi r và h là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ nội tiếp trong khối cầu bán kính 6 Suy ra r,h
2 là hai cạnh góc vuông của tam giác vuông với cạnh huyền 6 Do đó,
r2 + h
2
2
= 62 =⇒ r2 = 36 − h
2
4 .
• Thể tích khối trụ
V = πr2h= π
36 − h
2
4
h
• V0
= π
36 −3h
2
4
= 0 ⇐⇒ h = 4√3
• Lập bảng biến thiên và kết luận h = 4√3 và r = 2√
6
Câu 5 (a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y2 = 2x + 6 và đường
thẳng x − y − 1 = 0
(b) Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành do quay miền D được giới hạn bởi các đường y = x3, y = 8 và x = 0 quanh trục Oy
Trang 4Giải (a) • Miền D được biểu diễn bởi hình vẽ bên dưới (D là hình thang loại 2) Phương
trình tung độ giao điểm của parabol y2
= 2x + 6 và đường thẳng x − y − 1 = 0 là
y2
2 − 3 = y + 1 ⇐⇒ y = −2 ∨ y = 4
• Diện tích miền D là
S=
4
Z
−2
(y + 1) − y
2
2 − 3
dy= 18
(b) • Miền D được biểu diễn bởi hình vẽ bên dưới (D là hình thang loại 1) Phương
trình hoành độ giao điểm của y = x3 và y = 8 là
x3 = 8 ⇐⇒ x = 2
• Thể tích của vật thể tạo thành khi quay D quanh trục Oy là
V =
2
Z
0
(2πx)(8 − x3
)dx = 96π
5 .
Câu 6 Khảo sát tính hội tụ và phân kỳ của chuỗi
∞
n+ 1
n2
Trang 5Giải • Số hạng tổng quát của chuỗi số đã cho là un =
n
n+ 1
n
• Sử dụng tiêu chuẩn Cauchy Ta có,
lim
n→∞
n
p|un| = limn→∞
n
n+ 1
n
= en→∞lim
−n n+1 = e−1
• Vì limn→∞ n
p|un| < 1 nên chuỗi đã cho hội tụ
Câu 7 Tính tổng của chuỗi
∞
X
n =0
(−1)n
.x2n+1
2n + 1 trên khoảng −1 < x < 1
Giải • Lấy x ∈ (−1, 1) Đăt S(x) =
∞
X
n=0
(−1)n
.x2n+1 2n + 1 =⇒ S0
(x) =
∞
X
n=0
(−1)n
.x2n
• Chuỗi vừa thu được là chuỗi hình học với số hạng đầu u = 1 và công bội q = −x2
∈ (0; 1) Do đó, nó có tổng là
S0
(x) = u
1 − q =
1
1 + x2
• Lấy nguyên hàm kết quả trên ta có
S(x) =
Z dx
1 + x2 + C = arctan x + C
• Cho x = 0 Từ đề bài ta có S(0) = 0 Theo trên ta có S(0) = C Suy ra C = 0 Vậy
S(x) = arctan x
... biến thi? ?n kết luận h = 4√3 r = 2√6
Câu (a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y2 = 2x + đường
thẳng x − y − =
(b) Tính thể tích. .. =⇒ r2 = 36 − h
2
4 .
• Thể tích khối trụ
V = πr2h= π
36 − h
2... Phương trình pháp tuyến y = −54x+ 13
2 Câu Hãy tìm thể tích lớn hình trụ trịn xoay nội tiếp khối cầu bán kính
• Gọi r h bán kính đáy chiều cao hình