continua x với c(x) có một lân cận phẳng tại đỉnh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phạm Võ Thanh Quí CONTINUA X VỚI C(X) CÓ MỘT LÂN CẬN PHẲNG TẠI ĐỈNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phạm Võ Thanh Quí CONTINUA X VỚI C(X) CÓ MỘT LÂN CẬN PHẲNG TẠI ĐỈNH Chuyên ngành : Hình Học Tôpô Mã số : 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÁI SƠN Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 MỤC LỤC Trang phụ bìa Mục lục LỜI MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian tôpô 1.2 Không gian Haussdorff Cơ sở 1.3 Ánh xạ liên tục 1.4 Compact 1.5 Liên thông Chương CONTINUUM VÀ SIÊU KHÔNG GIAN 15 2.1 Các khái niệm continuum 15 2.2 Các khái niệm siêu không gian 16 2.3 Cung 17 2.4 n - tế bào 17 2.5 Triod đơn 19 2.6 Cung thứ tự 20 2.7 Liên thông continuum 21 2.8 Ánh xạ Whitney 24 Chương CÁC CONTINUUM X VỚI C(X) LÀ 2-TẾ BÀO ĐỊA PHƯƠNG TẠI X 27 3.1 Ánh xạ Whitney 27 3.2 Các tính chất thu thông qua bậc Whitney 29 3.3 Các tính chất thu thông qua continuum đặc biệt 34 Chương CÁC CONTINUUM X VỚI C(X) CÓ MỘT LÂN CẬN PHẲNG TẠI ĐỈNH 41 4.1 Mối quan hệ bậc Whitney với liên thông địa phương 41 4.2 Mối quan hệ bậc Whitney với liên thông địa phương 43 4.3 Các continuum X với C(X) có lân cận phẳng đỉnh 47 KẾT LUẬN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 LỜI MỞ ĐẦU Hình học – Tôpô ngành quan trọng toán học với nhiều ứng dụng lớn có vai trò quan trọng toán học đại số, giải tích mà học lý thuyết, học lượng tử, vật lý hạt nhân Trong lĩnh vực Hình học – Tôpô nghiên cứu lý thuyết continuum siêu không gian phận Hình học – Tôpô mà tiếp tục xây dựng phát triển thêm Một continuum không gian compact, liên thông metric Khái niệm continuum giới thiệu lần Georg Cantor vào năm 1893 Trong [9], tác giả chứng minh khái niệm continuum Georg Cantor định nghĩa continuum Những tính chất continuum suy từ tính liên thông không gian tôpô Từ khái niệm continuum Georg Cantor đời nay, nhiều nhà toán học tên tuổi nghiên cứu thu kết quan trọng có ứng dụng cao toán học thực tiễn Cho đến nay, nhiều toán lí thuyết continuum toán mở Giải toán mở hướng nghiên cứu ứng dụng to lớn Do việc nghiên cứu lí thuyết continuum thu hút quan tâm nhiều nhà toán học Cho continuum X , siêu không gian continuum X ký hiệu C ( X ) với metric Hausdorff H Trong siêu không gian C ( X ) , phần tử X có vị trí đặc biệt ta gọi X đỉnh Và câu hỏi đặt rằng: X có tính chất địa phương C ( X ) hay không? Câu trả lời nhà toán học đưa nghiên cứu Đầu tiên, Alejandro Illanes, Sam Nadler [5] chứng minh C ( X ) liên thông địa phương Chiều ngược lại, có tồn continuum X cho C ( X ) liên thông địa phương X Anne Marie Dilks trả lời [2] năm 1980 Ông xây dựng continuum X Tiếp theo, năm 1989 Hisao Kato [8] năm 1991 Alejandro Illanes [4] đưa ví dụ X với C ( X ) không co rút địa phương X Mặt khác, vào năm 1992 Luis Montejano-Peimbert Isabel Puga-Espinosa [12] đưa điều kiện hình dendroid trơn X có lân cận C ( X ) đồng phôi với nón tôpô vài continuum Một công cụ để nghiên cứu tính chất địa phương đỉnh X ánh xạ Whitney bậc Whitney Một ánh xạ Whitney C ( X ) ánh xạ liên tục µ : C ( X )  → [ 0,1] cho µ ({ p} ) = 0, ∀p ∈ X , µ ( X ) = A, B ∈ C ( X ) A chứa thật B ( A  B) µ ( A ) < µ ( B ) Trong [5] Alejandro Illanes Sam Nadler chứng minh với continuum X tồn ánh xạ Whitney siêu không gian C ( X ) Còn bậc Whitney tập có dạng µ −1 ( t ) với µ ánh xạ Whitney C ( X ) t < Và Alejandro Illanes Sam Nadler [5] chứng minh bậc Whitney continuum C ( X ) Trong [5] Alejandro Illanes Sam Nadler chứng minh siêu không gian C ( X ) − tế bào địa phương X tồn lân cận đóng  X C ( X ) cho  − tế bào Alejandro Illanes Sam Nadler mở vấn đề liệu continuum X với C ( X ) − tế bào địa phương X continuom X có tính chất đặc trưng gì? Ngoài ra, với số continuum X đặc biệt bậc Whitney C ( X ) có tính chất gì? Giải vấn đề đưa ta đến toán mới: Bài toán: Nếu tồn lân cận  X C ( X ) cho  nhúng  lân cận có phải 2–tế bào hay không? Xuất phát từ vấn đề trên, nội dung luận văn gồm phần mở đầu, ba chương phần kết luận Cụ thể sau: Phần mở đầu: Đặt vấn đề trình bày sơ lược hướng phát triển vấn đề Phần nội dung: Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương trình bày khái niệm tôpô đại cương tính chất nó, đặc biệt tính chất liên thông quan tâm đặc biệt để làm tảng cho chương Chương CONTINUUM VÀ SIÊU KHÔNG GIAN Trong chương trình bày khái niệm cần thiết continuum, siêu không gian để phục vụ cho chương III chương IV Chương CÁC CONTINUUM X VỚI C ( X ) LÀ MỘT − TẾ BÀO ĐỊA PHƯƠNG TẠI X Trong chương trình bày tính chất đặc trưng continuum X thông qua bậc Whitney xét số continuum đặc biệt Chương CÁC CONTINUUM X VỚI C ( X ) CÓ MỘT LÂN CẬN PHẲNG TẠI ĐỈNH Trong chương ta giải toán nêu: Nếu tồn lân cận  X C ( X ) cho  nhúng  X có lân cận C ( X ) , lân cận – tế bào Phần kết luận: Tổng kết lại kết nghiên cứu luận văn đưa vấn đề mở cho hướng nghiên cứu tới Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học Tiến sĩ Nguyễn Thái Sơn; người thầy dẫn dắt bước vào đường nghiên cứu khoa học nhiệt tình giúp đỡ việc soạn thảo luận văn LaTex Sự tận tình hướng dẫn lời động viên, bảo Thầy giúp hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh tận tình hướng dẫn suốt trình học tập động viên giúp tiếp cận hướng toán học đại, vấn đề lớn toán mở lý thuyết continuum Thầy giúp đỡ việc hoàn thành luận văn mà giúp có nhìn tích cực vấn đề xã hội Tôi xin trân trọng cảm ơn: Ban lãnh đạo chuyên viên phòng Sau đại học với giảng viên khoa Toán trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, giảng viên trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Hình học Tôpô khóa 23 tạo điều kiện học tập tốt cho suốt khóa học Ban giám hiệu trường THPT Nguyễn Văn Linh tạo điều kiện tốt cho hoàn thành khóa học Anh Trương Tấn Duy (tổ trưởng tổ Toán trường THPT Nguyễn Văn Linh) động viên, trao đổi hỗ trợ việc tìm kiếm tài liệu khoa học Các bạn lớp Cao học Hình học Tôpô khóa 23 chia khó khăn trình học tập Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn người thân yêu gia đình bên cạnh động viên, hổ trợ mặt để hoàn thành tốt khóa học Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nội dung chương chủ yếu trình bày khái niệm kết nghiên cứu tôpô Chủ yếu liên thông địa phương nhằm phục vụ cho chứng minh định lý chương sau 1.1 Không gian tôpô 1.1.1 Định nghĩa Một không gian tôpô cặp ( X , T ) X tập khác rỗng T họ tập X (được gọi tôpô X ) mà phần tử gọi tập mở cho: ∅, X ∈ T (tập rỗng X mở) Nếu {U α }α∈A ⊂ T Nếu {U i }i =1 ⊂ T k  Uα ∈ T (hợp vô hạn tập mở mở) α ∈A k U i =1 i ∈ T (giao hữu hạn tập mở mở) Nếu x ∈ X tập mở chứa x gọi lân cận x Ta thường bỏ qua T ký hiệu thường nói đơn giản không gian tôpô X 1.1.2 Ví dụ  với họ tập mở xây dựng từ khoảng mở không gian tôpô Cho tập X khác rỗng thì: • P ( X ) họ tất tập X tôpô X , tôpô lớn X gọi tôpô rời rạc • T0 = {∅, X } tôpô X , tôpô nhỏ X gọi tôpô thô 39 Đối với điều kiện e Định nghĩa 3.3.3 ví dụ sau chứng minh thay đổi điều kiện: f Nếu L continuum X X \ X ≠ ∅ ≠ L \ X K1 ⊂ L K ⊂ L Cho P giả - cung Cố định hai điểm p, q ∈ P cho p q phận hợp thành khác P Cho Y continuum thu cách thay p cung L cách mà Y hợp L tôpô P \ { p} L có phần rỗng Y Ta đồng P \ { p} với Y Cho J cung thật không suy biến L chứa điểm cuối u L Cho Y1 , Y2 continuum rời đồng phôi với Y Giả sử L1 , L2 , J1 , J , u1 , u2 q1 , q2 tập điểm tương ứng nằm Y1 , Y2 Cho h : J1  → J đồng phôi thỏa h(u1 ) = u2 Lấy X continuum thu từ hợp rời Y1 , Y2 đồng điểm q1 với điểm q2 , điểm x ∈ J1 với điểm h( x) ∈ J Ta đồng Y1 Y2 với X Cho K= J1 ⊂ X = K {q1} ⊂ X , Y1  Y2 = K1  K Dễ dàng chứng minh Y1 , Y2 , K1 K thỏa điều kiện đầu không thỏa e Đặc biệt, X giả - cầu Bây giờ, ta chứng minh phân tích X = X  X thỏa điều kiện a, b, c, d f Để chứng minh điều ta chứng minh X X continuum thỏa điều kiện a, b, c d X = Y1 , X = Y2 X = Y2 , X = Y1 Lấy K1′ K 2′ hai continuum X cho X  X = K1′  K 2′ Chú ý rằng, với i ∈{1,2} , X i không giao với K j phần X i X rỗng Điều chứng tỏ X l khác 40 không gian đầy đủ X (mâu thuẩn) Do đó, X i giao với continuum K j Áp dụng điều kiện d, ta giả định Y1 ⊂ X Y2 ⊂ X ta giả định K1 ⊂ K1′ K ⊂ K 2′ Lại áp dụng điều kiện d với K1′ K 2′ ta thu X ⊂ Y1 X ⊂ Y2 Do đó, X = Y1 X = Y2 3.3.4 Định lý Một continuum X giả - cầu C ( X ) có bậc Whitney đường cong đơn đóng [10, 179 – 189] 3.3.5 Hệ Cho X continuum mệnh đề sau tương đương C ( X ) − tế bào địa phương X Tồn bậc Whitney C ( X ) cung đường đơn đóng X giả - tuyến tính giả - cầu Một câu hỏi đặt ra: giả sử X có lân cận  C ( X ) cho  nhúng  C ( X ) có − tế bào địa phương X hay không? 41 Chương CÁC CONTINUUM X VỚI C(X) CÓ MỘT LÂN CẬN PHẲNG TẠI ĐỈNH Trong chương ta giải toán nêu phần mở đầu Nếu tồn lân cận  X C ( X ) cho  nhúng  X có lân cận C ( X ) , lân cận – tế bào Đầu tiên, xét mối quan hệ bậc Whitney với liên thông địa phương Với X continuum µ ánh xạ Whitney C ( X ) Nếu µ −1 ([t ,1]) liên thông địa phương với t < µ −1 ( t ) có liên thông địa phương hay không? 4.1 Mối quan hệ bậc Whitney với liên thông địa phương 4.1.1 Định lý Cho X continuum µ ánh xạ Whitney C ( X ) Giả sử µ −1 ([t ,1]) nhúng  với t < µ −1 ([t ,1]) liên thông địa phương 4.1.2 Định lý Cho X continuum µ ánh xạ Whitney C ( X ) Giả sử µ −1 ([t ,1]) liên thông địa phương với t < µ −1 ( t ) liên thông địa phương Chứng minh: 42 Ta cần chứng minh µ −1 ( t ) liên thông địa phương yếu điểm Cho A ∈ µ −1 ( t ) cho ε > , tồn δ > cho B ∈ µ −1 ( t ) B ⊂ N (δ , A ) H ( A, B ) < ε δ  Cho  thành phần B H  , A   µ −1 ([t ,1]) cho  Từ 2  µ −1 ([t ,1]) liên thông liên thông đại phương yếu A , A nằm phần  µ −1 ([t ,1]) Mặt khác, = E {D : D ⊂ } continuum X  = µ −1 ( t )  C ( E ) continuum µ −1 ( t ) Bây ta chứng  chứa B H ( ε , A ) Từ  thành δ  phần B H  , A  ta có E ⊂ N (δ , A ) Vì vậy, M ∈  M ∈ µ −1 ( t ) 2  M ⊂ N (δ , A ) Bằng cách chọn δ ta thu H ( M , A ) < ε Do đó,  chứa B H ( ε , A ) Từ  ⊂  ( E ) ta có   µ −1 ( t ) ⊂  Từ A nằm phần  µ −1 ([t ,1]) Từ  continuum µ −1 ( t ) chứa B H ( ε , A ) , ta kết luận µ −1 ( t ) liên thông địa phương yếu A Do đó, µ −1 ( t ) liên thông địa phương  Tiếp theo, xét mối hệ bậc Whitney với triod đơn Ta chứng minh: với X continum, µ ánh xạ Whitney C ( X ) tồn t0 ∈ [ 0,1) cho µ −1 ( t0 ) chứa triot đơn tồn t1 ∈ ( t0 ,1) cho µ −1 ( t ) chứa triot đơn ∀t ∈ [t0 , t1 ] 43 4.2 Mối quan hệ bậc Whitney với liên thông địa phương Trước hết ta xây dựng ánh xạ β sau: 4.2.1 Xây dựng Cho X continum, µ ánh xạ Whitney C ( X ) cho t0 ∈ [ 0,1] Giả sử A0 , A1 ∈ µ −1 ( t0 ) tồn cung [ A0 , A1 ] nối điểm A0 A1 Ta giả [A , A ] trang bị thêm thứ tự tự nhiên < với A0 < A1 Cho B, C ∈ [ A0 , A1 ] B ≤ C , [ B, C ] [ A , A ] với hai điểm cuối B C khoảng [ B, C ] hợp phần tử [ B, C ] { } Hàm ϕ : [ B, C ] ∈ C ([ A0 , A1 ]) : B, C ∈ [ A0 , A1 ] , B ≤ C  →C ( X ) xác định sau ϕ ([ B, C ]) =  [ B, C ] định nghĩa tốt liên tục [5, 122] Cho D ∈ [ A0 , A1 ] \ { A1} s ∈ t0 , µ (  [ A0 , D ])  , với B ∈ [ D, A1 ] ta có µ (  [ A0 , B ]) ≥ µ (  [ A0 , D ]) ≥ s ≥ t0 = µ (  [ B, B ] ) Do đó, tồn CB ∈ [ A0 , B ] cho µ ([CB , B ]) = s Định nghĩa β : [ D, A1 ]  → µ −1 ( s ) với β ( B ) =  [CB , B ] 4.2.2 Bổ đề Ánh xạ β định nghĩa định nghĩa tốt liên tục Chứng minh: Với B ∈ [ D, A1 ] , ta có = β ( B)  [C B , B ] ∈ µ −1 ( s ) Bây ta giả sử tồn C ∈ [ A0 , B ] cho µ (  [C , B ]) = s Không tính tổng quát ta 44 giả sử C ≤ CB Vì [C , B ] ⊂ [CB , B ] suy  [C B , B ],  [C , B ] ∈ µ −1 ( s ) = β ( B)  [C B , B ] ⊂  [C , B ] [C , B ] [C , B ] Do = B đó, β định nghĩa tốt Chứng minh liên tục β , cho { Bn }n =1 dãy [ D, A1 ] hội ∞ tụ đến phần tử B ∈ [ D, A1 ] Với n ∈  , cho CB ∈ [ A0 , Bn ] phần n tử cho β ( Bn ) =  CB , Bn  ta giả sử CB = C với vài C ∈ [ A0 , A1 ] n n Áp dụng tính liên tục phép hợp ta có lim  CB , Bn  =  [C , B ] Do áp n dụng tính liên tục µ ta có có  [C B  [C , B ] ∈ µ ( s ) −1 Áp dụng phần ta , B ] =  [C , B ] , dó β liên tục 4.2.3 Định lý Cho X continum, µ ánh xạ Whitney C ( X ) Giả sử tồn t0 ∈ [ 0,1) cho µ −1 ( t0 ) chứa triot đơn, tồn t1 ∈ ( t0 ,1) cho µ −1 ( t ) chứa triot đơn ∀t ∈ [t0 , t1 ] Chứng minh: Giả sử T = [ A0 , A1 ]  [ A0 , A2 ]  [ A0 , A3 ] triot đơn µ −1 ( t0 ) , [ A0 , Ai ] cung nối A0 đến Ai [ A0 , Ai ]   A0 , Aj  = { A0 } , ∀i ≠ j , i, j ∈ {1,2,3} Cho ε > { } thỏa 2ε < H ( Ai , A ) : A ∈  A0 , Ai , ∀i ≠ j , i, j ∈ {1,2,3} Với i ∈ {1,2,3} (chú ý A0   [ A0 , Ai ] ) ta suy µ (  [ A0 , Ai ]) ≤ 45 { } t0 > Cho t1 m (  [ A0 , Ai ]) : i ∈ {1,2,3} Áp dụng Bổ đề 1, ta chọn = δ > với hai tính chất sau: i t0 + δ < t1 ii Nếu A, B ∈ C ( X ) cho A ⊂ B, µ ( B ) − µ ( A ) < δ , H ( A, B ) < ε Cho t ∈ [t0 , t0 + δ ] ta xây dựng triot đơn µ −1 ( t ) Từ µ ([ A0 , Ai ]) > t > µ ([ Ai , Ai ]) với i ∈ {0,1,2,3} , ta cần cố định phần tử Li ∈ [ A0 , Ai ] D ∈ [ A0 , Ai ] cho  [ Li , Ai ] ,  [ A0 , D1 ] ∈ µ −1 ( t ) Điều kiện 1: Các phần tử  [ A0 , D1 ] ,  [ L1 , A1 ] ,  [ L2 , A2 ]  [ L3 , A3 ] khác Ta chia chứng minh điều kiện thành bước Bước một:  [ A0 , D1 ] ≠  [ Li , Ai ] , ∀i ∈ {1,2,3} Cho i ∈ {1,2,3} giả sử  [ A0 , D1 ] =  [ Li , Ai ] A0 , Ai ⊂  [ A0 , D1 ] µ (  [ A0 , D1 ]) − µ ( A0 ) = µ (  [ A0 , D1 ]) − µ ( Ai ) < (t + δ ) −t0 = δ Với cách chọn δ ta kết luận H (  [ A0 , D1 ] , A0 ) < ε H (  [ A0 , D1 ] , Ai ) < ε Do H ( A0 , Ai ) < 2ε mâu thẩu với cách chọn ε Bước hai:  [ Li , Ai ] ≠   L j , Aj  , ∀i ≠ j; i, j ∈ {1,2,3} 46 Cho i, j ∈ {1,2,3} với i ≠ j giả sử  [ Li , Ai ] =   L j , Aj  Ai , Aj ⊂  [ Li , Ai ] ta thu giống bước 1, ta có H ( Ai , Aj ) < 2ε mâu thẩu với cách chọn ε Ta chứng minh xong Điều kiện  Ta sử dụng Xây dựng 4.2.1 với cung [ A0 , A1 ] , s = t D1 Thì tồn ánh xạ β1 : [ D1 , A1 ]  µ −1 ( t ) cho  [ A0 , D1 ] ,  [ L1 , A1 ] ∈ β1 ([ D1 , A1 ]) Bây giờ, ta cần chọn phép nhúng α1 : [ 0,1] → β1 ([ D1 , A1 ]) cho α1 ( ) =  [ A0 , D1 ] α1 (1) =  [ L1 , D1 ] Ta sử dụng Xây dựng 4.2.1 với cung [ D1 , A0 ]  [ A0 , A2 ] = [ D1 , A2 ] s=t Thì tồn ánh xạ β : [ A0 , A2 ]  µ −1 ( t ) cho  [ D1 , A0 ] ,  [ L2 , A2 ] ∈ β ([ A0 , A2 ]) Vì ta cần chọn phép nhúng α : [ 0,1] → β ([ A0 , A2 ]) cho α ( ) =  [ D1 , A0 ] α (1) =  [ L2 , D2 ] Cuối cùng, ta sử [D , A ]  [ A , A ] = [D , A ] 0 3 dụng s=t Xây Thì dựng tồn 4.2.1 với ánh cung xạ β : [ A0 , A3 ]  µ −1 ( t ) cho  [ D1 , A0 ] ,  [ L3 , A3 ] ∈ β ([ A0 , A3 ]) Vì ta cần chọn phép nhúng α : [ 0,1] → β ([ A0 , A3 ]) cho α ( ) =  [ D1 , A0 ] α (1) =  [ L3 , A3 ] Điều kiện 2:  [ Li , Ai ] ∉ α j [ 0,1] , ∀i ≠ j; i, j ∈ {1,2,3} Chứng minh: 47 Giả sử tồn i, j ∈ {1,2,3} với i ≠ j cho  [ Li , Ai ] ∈ α j [ 0,1] Từ ( ) α j [ 0,1] ⊂ β j  A0 , Aj  , tồn E ∈  A0 , Aj  cho β j ( E ) =  [ Li , Ai ] Bằng định nghĩa β j , ta có β j ( E ) =  [CE , E ] ; đó, E , Ai ⊂  [ Li , Ai ] Chú ý µ (  [ Li , Ai ]) − µ ( E ) =t − t0 < δ µ (  [ Li , Ai ]) − µ ( Ai ) = t − t0 [...]... nghĩa Một không gian tôpô X được gọi là liên thông địa phương nếu với mọi x ∈ X và mọi lân cận  của x luôn tồn tại một lân cận liên thông  của x sao cho  ⊂  1.5.13 Định nghĩa Một không gian tôpô được gọi là liên thông địa phương yếu tại điểm x nếu mỗi lân cận  của x chứa một lân cận mở  của x sao cho hai điểm bất kỳ trong  nằm trong một tập con liên thông của  Một định nghĩa khác: một không... phương yếu tại x 2 Với mọi tập con mở U của X sao cho x ∈U luôn tồn tại một tập con mở V của X sao cho x ∈V ⊂ U và với mọi y ∈V luôn tồn tại một tập con mở liên thông C y của X sao cho { x, y} ⊂ C y ⊂ U 3 Với mọi tập con mở U của X sao cho x ∈U luôn tồn tại một continuum con W của X sao cho x ∈ Int (W ) ⊂ W ⊂ U Chứng minh: Giả sử X là liên thông địa phương yếu tại x , ta chứng minh 2 Lấy U là một tập... continuum con W của X sao cho x ∈ Int (W ) ⊂ W ⊂ X \ F Và do đó X là liên thông địa phương yếu tại x 23 2.7.4 Định nghĩa Cho X là một continuum và x ∈ X Ta gọi X là liên thông địa phương tại x nếu với mọi tập con mở U của X , x ∈U thì luôn tồn tại một tập con mở V của X sao cho x ∈V ⊂ U Ta gọi X là liên thông địa phương nếu và chỉ nếu nó liên thông tại mọi điểm trong nó 2.7.5 Bổ đề Một X là một continuum... nếu có nhiều hơn một điểm Một continuum đồng phôi với một tập con của mặt phẳng Euclide  2 được gọi là một continuum phẳng Một continuum X được gọi là thuần nhất nếu với hai điểm x, y bất kỳ trong X tồn tại một phép đồng phôi h : X → X sao cho h( x) = y Một continuum được gọi là continuum Peano nếu continuum đó liên thông địa phương tại mỗi điểm Một continuum X được gọi là phân tích được nếu X có. .. của X sao cho x ∈U thì X \ U là một tập con đóng của X không chứa x Từ giải thuyết nên tồn tại một continuum con W của X sao cho x ∈ Int (W ) ⊂ W ⊂ X \ ( X \ U ) = U Do đó chọn V = Int (W ) thỏa tính chất được nêu ở 2 Tiếp theo, giả sử ta có 2 Lấy tập con mở U của X sao cho x ∈U và U ' là tập con mở của X sao cho x ∈U ′ ⊂ cl (U ′ ) ⊂ U Từ giả thuyết nên tồn tại một tập con mở V của X sao cho x ∈V... thông địa phương tại mọi điểm x ∈ X Ta có mệnh đề sau: 1.5.15 Mệnh đề Nếu X là liên thông địa phương yếu tại mọi điểm x ∈ X thì X là liên thông địa phương Chứng minh: Lấy  là một tập mở trong X ,  là một thành phần của  Nếu x ∈  thì có một tập mở x chứa x và nằm trong  sao cho mỗi hai điểm trong x 14 nằm trong tập con liên thông của  Suy ra x ⊂  Vì vậy  là một tập mở và X liên thông địa... ⊂ U ′ thỏa với mọi y ∈V luôn tồn tại   tập con liên thông C y sao cho { x, y} ⊂ C y ⊂ U ′ Đặt W = cl   C y  thì W là  y∈V  một continuum con của X sao cho x ∈V ⊂ W ⊂ cl (U ′ ) ⊂ U Cuối cùng, ta giả sử có 3 Ta cần chứng minh X là liên thông địa phương yếu tại x Lấy F là một tập con đóng của X sao cho F ⊂ X \ { x} thì X \ F là một tập con mở của X chứa x Từ giả thuyết nên tồn tại một continuum... địa phương yếu tại x nếu với mọi tập mở  chứa x luôn tồn tại một tập con liên thông  của  sao cho x nằm trong phần trong của  Không gian tôpô X được gọi là liên thông địa phương yếu nếu nó liên thông địa phương yếu tại mọi điểm x ∈ X 1.5.14 Chú ý Liên thông địa phương tại x là liên thông địa phương yếu tại x Ngược lại không gian tôpô X là liên thông địa phương yếu tại mọi điểm x ∈ X thì nó liên... p Trong đó p được gọi là đỉnh của triod đơn và các cung đó được gọi là cánh tay 2.5.2 Định lý Cho X là một continuum và cho x0 , x1 , x2 , x3 là bốn điểm khác nhau Giả sử rằng tồn tại một phép nhúng γ i : [ 0,1] → X với= γ i ( 0 ) x= , γ i (1) xi , i ∈ 0 {1,2,3} và xi ∉ γ j ([ 0,1]) , i ≠ j thì X chứa một triod đơn Chứng minh: { } Đặt t2 = x2 γ (1) ∉ γ 1 ([ 0,1]) , ta có max t ∈ [ 0,1] : γ 2 ( t )... yếu trong một không gian tôpô và các mối quan hệ giữa chúng Và trong mục này ta sẽ giới thiệu các khái niệm đó trong một continuum 2.7.1 Định nghĩa Cho X là một continuum và x ∈ X , ta nói X là hầu liên thông địa phương yếu tại x nếu mọi tập con mở U của X chứa x luôn tồn tại một continuum con W của X sao cho Int (W ) ≠ ∅ và W ⊂ U 2.7.2 Định nghĩa Cho X là một continuum và x ∈ X , ta nói X là liên ... ( X ) có − tế bào địa phương X hay không? 41 Chương CÁC CONTINUUM X VỚI C (X) CÓ MỘT LÂN CẬN PHẲNG TẠI ĐỈNH Trong chương ta giải toán nêu phần mở đầu Nếu tồn lân cận  X C ( X ) cho  nhúng  X. .. thông địa phương với x ∈ X lân cận  x tồn lân cận liên thông  x cho  ⊂  1.5.13 Định nghĩa Một không gian tôpô gọi liên thông địa phương yếu điểm x lân cận  x chứa lân cận mở  x cho hai điểm... phẳng đỉnh 4.3.3 Định lý Cho X continuum, giả sử có lân cận phẳng X C ( X ) tồn lân cận X C ( X ) – tế bào Chứng minh: Cho µ ánh x Whitney C ( X ) Cho  lân cận X C ( X ) cho phép nhúng  Khi