Trong chương trước ta đã giới thiệu các khái niệm về liên thông như liên thông, liên thông địa phương, liên thông địa phương yếu trong một không gian tôpô và các mối quan hệ giữa chúng. Và trong mục này ta sẽ giới thiệu các khái niệm đó trong một continuum.
2.7.1. Định nghĩa
Cho X là một continuum và x∈X , ta nói X là hầu liên thông địa phương yếu tại x nếu mọi tập con mở U của X chứa x luôn tồn tại một continuum con W của X sao cho Int W( )≠ ∅ và W ⊂U .
2.7.2. Định nghĩa
Cho X là một continuum và x∈X , ta nói X là liên thông địa phương yếu tại x nếu mọi tập con đóng F của X sao cho F ⊂ X \{ }x thì luôn tồn tại một continuum con W của X sao cho x∈Int W( )⊂W ⊂ X F\ .
Nhận xét: nếu X là hầu liên thông địa phương yếu nếu và chỉ nếu nó
liên thông địa phương yếu tại mọi điểm của nó. Đây là một định nghĩa khác của liên thông địa phương yếu.
2.7.3. Định lý
Cho X là một continuum và x∈X các mệnh đề sau đây là tương đương:
1. X là liên thông địa phương yếu tại x.
2. Với mọi tập con mở U của X sao cho x U∈ luôn tồn tại một tập con mở V của X sao cho x V∈ ⊂U và với mọi y V∈ luôn tồn tại một tập con mở liên thông Cy của X sao cho { }x y, ⊂Cy ⊂U.
3. Với mọi tập con mở U của X sao cho x U∈ luôn tồn tại một continuum con W của X sao cho x∈Int W( )⊂W ⊂U .
Chứng minh:
Giả sử X là liên thông địa phương yếu tại x, ta chứng minh 2. Lấy U
là một tập con mở của X sao cho x U∈ thì X U\ là một tập con đóng của
X không chứa x. Từ giải thuyết nên tồn tại một continuum con W của X
sao cho x∈Int W( )⊂W ⊂ X \(X U\ )=U. Do đó chọn V =Int W( ) thỏa tính chất được nêu ở 2.
Tiếp theo, giả sử ta có 2. Lấy tập con mở U của X sao cho x U∈ và U' là tập con mở của X sao cho x U∈ ′⊂cl U( )′ ⊂U . Từ giả thuyết nên tồn tại một tập con mở V của X sao cho x V∈ ⊂U′ thỏa với mọi y V∈ luôn tồn tại tập con liên thông Cy sao cho { }x y, ⊂Cy ⊂U′. Đặt y
y V
W cl C
∈
= thì W là một continuum con của X sao cho x V∈ ⊂W ⊂cl U( )′ ⊂U .
Cuối cùng, ta giả sử có 3. Ta cần chứng minh X là liên thông địa phương yếu tại x. Lấy F là một tập con đóng của X sao cho F ⊂ X \{ }x
thì X F\ là một tập con mở của X chứa x. Từ giả thuyết nên tồn tại một continuum con W của X sao cho x∈Int W( )⊂W ⊂ X F\ . Và do đó X là liên thông địa phương yếu tại x.
2.7.4. Định nghĩa
Cho X là một continuum và x∈X . Ta gọi X là liên thông địa phương
tại x nếu với mọi tập con mở U của X , x U∈ thì luôn tồn tại một tập con mở V của X sao cho x V∈ ⊂U . Ta gọi X là liên thông địa phương nếu và chỉ nếu nó liên thông tại mọi điểm trong nó.
2.7.5. Bổ đề
Một X là một continuum là liên thông địa phương nếu và chỉ nếu các thành phần của các tập con mở của X là mở.
Chứng minh:
Chiều thuận: giả sử X là liên thông địa phương, lấy U là một tập con mở của X và C là thành phần của U. Với mọi điểm x∈C thì tồn tại một tập liên thông Vx sao cho x V∈ ⊂x U. Do đó ta có CVx là một tập con liên thông của U. Hay x∈Int W( )⊂W ⊂U . Vì vậy mọi điểm của C luôn nằm trong là một điểm trong của C. Hay C là mở.
Chiều nghịch: giả sử các thành phần của tập mở là là mở, lấy x∈X là
U là một tập con mở của X sao cho x U∈ . Từ giả thuyết ta có thành phần
C của U chứa x là mở. Do đó C là tập mở liên thông thỏa x∈ ⊂C U . Vì vậy X là liên thông địa phương.
2.7.6. Định lý
Một continuum X là liên thông địa phương yếu tại mọi điểm của nó nếu và chỉ nếu nó liên thông địa phương.
Chứng minh:
Dễ thấy, nếu X là liên thông địa phương thì X là liên thông địa phương yếu tại mọi điểm của nó.
Ngược lại, giả sử X là liên thông địa phương yếu tại mọi điểm của nó. Ta lấy X là một tập con mở của X và C là một thành phần của U. Nếu
x∈C thì tồn tại một continuum con W sao cho x∈Int W( )⊂W ⊂U (Định lý 2.7.3). Vì W là một tập con liên thông của U và WC ≠ ∅, W ⊂C nên
x là một điểm trong của C. Hay C là mở. Cuối cùng áp dụng Bổ đề 2.7.5 ta được X là liên thông địa phương.
Một công cụ nghiên cứu tính chất của siêu không gian hiệu quả chính là ánh xạ Whitney. Trong mục này ta sẽ giới thiệu định nghĩa và các tính chất cần thiết của nó để phục vụ cho chứng minh các tính chất trong các chương kế tiếp.