Ánh xạ Whitney

2.8.1. Định nghĩa

Cho X là một continuum, một ánh xạ Whitney trên C X( ) là một ánh xạ

( ) [ ] :C X 0;1 µ → thỏa: • µ( ){ }p = ∀ ∈0, p X . • µ( )X =1. •Nếu A B, ∈C X( ) và AB thì µ( )A <µ( )B .

Hình 2.8.1.1.

Nhận xét: Nếu X là continuum thì luôn tồn tại ánh xạ Whitney trên

( )

C X .

2.8.2. Định lý

Cho X là một continuum, µ là một ánh xạ Whitney trên C X( ). Ta có các khẳng định sau đây: • Nếu t∈[ ]0,1 thì 1( ) t µ− là không suy biến. • Nếu t∈[ ]0,1 thì 1( ) t X µ− =  . • Nếu 1([ ]) 0,1 A∈µ− thì ( ) 1( ) C A µ− t =A       . • µ là một ánh xạ mở từ C X( ) lên [ ]0,1 .

2.8.3. Mệnh đề

Cho X Y, là hai continuum và f X: →Y là liên tục thì

( ) ( ) * : f C X →C Y cũng liên tục, trong đó *( ) ( ) ( ) , f A = f A ∀ ∈A C X [5, 106].

Chương 3. CÁC CONTINUUM X VỚI C(X) LÀ 2-TẾ BÀO ĐỊA PHƯƠNG TẠI X

Trong chương này tôi sẽ trình bày các tính chất đặc trưng của các continuum X với C X( ) là 2−tế bào địa phương tại X thông qua bậc Whitney xét trong các continuum đặc biệt như giả - tuyến tính (Định nghĩa 3.3.1, Định lý 3.3.2) và giả - cầu (Định nghĩa 3.3.3, Định lý 3.3.4).

3.1. Ánh xạ Whitney

Ánh xạ Whitney đã được định nghĩa đầu tiên bởi H. Whitney vào năm 1930. Và vào năm 1971, S.B.Nadler đã chứng minh được 1( )

t

µ−

là một continuum con của C X( ) với t∈[ ]0;1 . Và tên gọi của nó là Bậc Whitney. Việc phát hiện ra Bậc Whitney đã giúp cho các nhà toán học tìm ra các tính chất địa phương tại X . Và trong chương này của luận văn, ta sẽ trình bày các tính chất địa phương của continuum X thông qua Bậc Whitney và mối quan hệ giữa Bậc Whitney xét trong các continuum đặc biệt.

3.1.1. Định nghĩa

Cho X là một continuum và µ là một ánh xạ Whitney, một bậc Whitney

trên C X( ) là các tập có dạng 1( )

t

µ−

với t∈[ ]0;1 .

Ta có mệnh đề sau:

3.1.2. Mệnh đề

Cho X là một continuum và µ là một ánh xạ Whitney trên C X( ).Thì

( )

1

t

µ−

luôn là các continuum con của C X( ) với t∈[ ]0,1 . Chứng minh: Với mỗi t∈[ ]0;1 , đặt 1([ ]) 0; t =µ− t  và 1( )[ ] ;1 t =µ− t  . Do t và t là các continuum con của C X( ) và  t  t =C X( ). Suy ra  t  t là continuum con của C X( ), mà 1( )

t  t =µ− t   nên 1( ) t µ− là các continuum con của C X( ). 3.1.3. Định nghĩa

Cho X là một continuum, ⊂C X( ) được gọi là một phản xích nếu với mọi A B, ∈, A⊂B thì A=B.

3.1.4. Định lý

Cho X là một continuum, ⊂C X( ) { }\( X F X1( )), thì các mệnh đề sau đây là tương đương:

1.  là một bậc Whitney.

2.  là một compact phản xích, là giao của của mọi cung thứ tự rộng trên C X( ).

3.  là một phản xích và tách C X( ).

3.1.5. Mệnh đề

Cho X là một continuum, µ là một ánh xạ Whitney trên C X( ).Đặt

( ) 1 0 t µ− =

 là một bậc Whitney dương trên C X( ). Lấy A B, ∈ sao cho ,

A≠B AB≠ ∅, C là một thành phần của AB. Áp dụng Mệnh đề 2.6.2 tồn tại các ánh xạ α β, : 0,1[ ]→C X( ) sao cho α( )0 = =C β( ) ( )0 ,α 1 = A,

( )1 B

β = và nếu s<t thì α( )s α( )t và β( )s β( )t . Với t∈[ ]0,1 tồn tại

[ ]0,1

t

s ∈ sao cho α( )st β( )t ∈. Định nghĩa η( )t =α( )st β( )t , η là một ánh xạ được định nghĩa tốt, η( )0 = A,η( )1 =B và C ⊂η( )t ⊂ AB với mọi t∈[ ]0,1 . Từ đó ta suy ra η([ ]0,1 ) là một cung trên .