4.3.3. Định lý
Cho X là một continuum, giả sử rằng có một lân cận phẳng của X
trong C X( ) thì tồn tại một lân cận của X trong C X( ) là một 2 – tế bào. Chứng minh:
Cho µ là một ánh xạ Whitney trên C X( ). Cho là một lân cận của X
trong C X( ) sao cho nó là một phép nhúng trong 2
. Khi đó, áp dụng Bổ đề 1 tồn tại t0∈[ ]0,1 sao cho 1([ ])
0,1 t µ− ⊂. Vì vậy, 1([ ]) 0,1 t µ− là một phép nhúng trong 2. Áp dụng Định lý 4.1.1 1([ ]) 0,1 t
µ− là liên thông địa phương và áp dụng Định lý 4.1.2 1( )
0
t
Bây giờ ta giả sử rằng 1( )
0
t
µ−
chứa một triod đơn. Áp dụng Định lý 4.2.3 tồn tại t1∈[ ]t0,1 thỏa 1( )
t
µ−
chứa một triod đơn với mọi t∈[ ]t t0, 1 . Do đó, tồn tại một họ không đếm được từng đôi rời nhau các triod đơn chứa trong
, áp dụng Định lý 2.5.3 ta có không nhúng được trong 2
(mâu thuẩn với điều kiện ban đầu). Từ đó 1( )
0
t
µ−
không chứa triot đơn và nó là một continuum liên thông địa phương nên nó là một cung hoặc một đường cong đơn đóng.
Cuối cùng, áp dụng Định lý 3.2.1 tồn tại một lân cận của X trong C X( )
KẾT LUẬN
Trong Chương 1 và Chương 2 của luận văn đã trình bày về các khái niệm cơ bản trong tôpô chủ yếu là về liên thông, các khái niệm về continuum và siêu không gian. Những vấn đề mở trong lý thuyết continuum là rất nhiều, nhưng luận văn đề cặp chủ yếu đến các tính chất địa phương của X với
( )
C X là 2− tế bào địa phương.
Tiếp theo, trong Chương 3 của luận văn đã nêu lên các tính chất đặc trưng của X với X là các continuum đặc biệt hay liên quan đến bậc Whitney như:
1. C X( ) là một 2− tế bào địa phương tại X nếu và chỉ nếu tồn tại
[0,1)
t∈ sao cho 1( )
t
µ−
là một cung hoặc một đường cong đơn đóng (Định lý 3.2.1). 2. Với bậc Whitney 1( ) 0 t µ− =
sao cho là một cung (tương ứng đường cong đơn đóng) , thì 1( )
t
µ−
là một cung (tương ứng đường cong đơn đóng) với mọi t∈( )t0;1 (Định lý 3.2.2).
3. Với µ ν, là các ánh xạ Whitney trên C X( ). Giả sử rằng tồn tại một bậc Whitney 1( )
0
t
µ−
=
sao cho là một cung hoặc đường cong đơn đóng thì tồn tại s0 sao cho 1( )
s
ν−
là một cung hoặc đường cong đơn đóng với mọi s∈[s0,1) (Định lý 3.2.3).
4. Một continuum X là giả - tuyến tính nếu và chỉ nếu C X( ) có một bậc Whitney là một cung (Định lý 3.3.2).
5. Một continuum X là giả - cầu nếu và chỉ nếu C X( ) có một bậc Whitney là một đường cong đơn đóng (Định lý 3.3.4).
Từ các kết quả trên ta có một hệ quả quan trọng:
Cho X là một continuum thì các mệnh đề sau là tương đương. 1. C X( ) là 2− tế bào địa phương tại X .
2. Tồn tại một bậc Whitney trên C X( ) là một cung hoặc một đường đơn đóng.
3. X là giả – tuyến tính hoặc giả – cầu.
Cuối cùng, trong Chương 4 của luận văn đã giải quyết được bài toán đã nêu ở phần mở đầu:
Cho X là một continuum, giả sử rằng có một lân cận phẳng (nhúng được trong 2
) của X trong C X( ) thì tồn tại một lân cận của X trong C X( ) là một 2 – tế bào.
Tuy đã trả lời các vấn đề đã nêu nhưng điều đó cũng đặt ra những vấn đề mới, ví dụ như:
Trước hết ta đưa ra định nghĩa ánh xạ Size và bậc Size như sau:
Cho X là một continuum, ánh xạ Size trên C X( ) là một ánh xạ liên tục
( ) [ ) :C X 0, σ → ∞ thỏa σ( )A ≤σ( )B , ,A B∈C X( ), A⊂ B và σ( ){ }x , x X ∀ ∈ . Một bậc Size là một tập có dạng 1( ) [ ) , 0, t t σ− ∈ ∞ .
Định nghĩa này là một mở rộng của các khái niệm ánh xạ Whitney và bậc Whitney.
Bài toán 1
1. Bậc Size có phải là continuum trên C X( ) không ?
2. Bậc Size trên C X( ) có tính chất gì khi X là 2−tế bào địa phương tại ?
3. Nếu X là giả – tuyến tính hoặc giả – cầu thì bậc Size trên C X( ) có phải là đường cong đơn đóng hoặc là cung hay không ?
Bài toán 2:
Bậc Size trên C X( ) có tính chất đặc trưng gì với X là một đường cong đơn đóng, một triod đơn hay một cung?
Bài toán 3
Cho X là một continuum, giả sử rằng có một lân cận (nhúng được trong
n
) của X trong C X( ) thì tồn tại một lân cận của X trong C X( ) là một
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Anaya. José G, Making holes in hyperspaces, Topology Appl. 154 (2007), no. 10, 2000–2008.
2. Dilks Anne Marie, Structure of hyperspacesz. Ph.D. Thesis. Tulane University, 1980.
3. Hurewicz Witold and Henry Wallman, Dimension Theory. Princeton Mathematical Series, v. 4. Princeton, N. J.: Princeton University Press, 1941.
4. Illanes Alejandro, A continuum having its hyperspaces not locally contractible at the top, Proc. Amer. Math. Soc. 111 (1991), no. 4, 1177–1182.
5. Illanes Alejandro and Sam B. Nadler, Jr. Hyperspaces: Fundamentals and Recent Advances. Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, 216. New York: Marcel Dekker, Inc, 1999.
6. Illanes Alejandro, The space of Whitney levels, Topology Appl., 40 (1991),157-169.
7. Jones. F. Burton, Concerning aposyndetic and non-aposyndetic continua, Bull.Amer. Math. Soc. 58 (1952), 137–151.
8. Kato Hisao, On local contractibility at X in hyperspaces C(X) and 2X, Houston J. Math. 15 (1989), no. 3, 363–370.
9. K. Kuratowski, Topology, Vol. 2, Acad. Press, New York, 1968.
10. López Sergio, Hyperspaces locally 2-cell at the top in Continuum Theory (Denton, TX, 1999). Ed. Alejandro Illanes, Sergio Macías, and Wayne Lewis. Lecture Notes in Pure and Appl. Math., 230. New York: Dekker, 2002. 173–190.
11. Michael Ernest, Topologies on spaces of subsets, Trans. Amer. Math. Soc. 71 (1951), 152–182.
12. Montejano Luis Peimbert and Isabel Puga-Espinosa, Shore points in dendroids and conical pointed hyperspaces, Topology Appl. 46 (1992), no. 1, 41–54.
13. Moore R. L, Concerning triods in the plane and the junction points of plane continua, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 14 (1928), no. 1, 85–88. 14. Nadler Sam B, Jr. Hyperspaces of Sets. A Text with Research
Questions. Monographs and Textbooks in Pure and Applied
Mathematics, Vol. 49. New York-Basel: Marcel Dekker, Inc., 1978. 15. Whyburn Gordon Thomas, Analytic Topology. American Mathematical
Society Colloquium Publications, v. 28. New York: American Mathematical Society, 1942.