Cho A và B là hai continua con của X với A⊂ B. Khi đó, A được gọi là điểm mút trong B nếu có C và D là các continuum con của B và A⊂
CD thì C⊂ D hoặc D⊂C.
3.3.1. Định nghĩa
Một continuum X được gọi là giả - tuyến tính nếu có X1 và X2 thỏa các điều kiện sau:
1. X = X1 X2.
2. Tập X1X2 là liên thông và nó là điểm mút của cả X1 lẫn X2. 3. Với mọi L là một continuum con của X thì X1 X2
( )
(L X \ X1
⊂ (X \ X2)) .
Khái niệm này được Krasinkewwicz và Nadler giới thiệu đầu tiên và các ông ấy đã chứng minh được: Nếu X là giả - tuyến tính thì C X( ) có một bậc Whitney là một cung. Phần tiếp theo chúng ta sẽ chúng minh chiều ngược lại cũng đúng.
3.3.2. Định lý
Một continuum X là giả - tuyến tính nếu và chỉ nếu C X( ) có một bậc Whitney là cung.
Chứng minh:
Ta chứng minh chiều nghịch. Tức là, giả sử rằng tồn tại một ánh xạ Whitney µ: ( )C X →[ ]0;1 và t0∈[ ]0;1 sao cho µ−1( )t0
là một cung. Cho [ ] 1 0 : 0;1 ( ) g →µ− t là một đồng phôi. Chọn t∈[t0;1). Điều kiện 1
Với mỗi 1
( )
A∈µ− t thì tồn tại 0≤ ≤ ≤a b 1 sao cho A={g r( ):
}
a≤ ≤r b .
Để chứng minh Điều kiện 1, ta đặt { ( ) } 1( )( )
0 0
: C A
B A µ B t µ− t
= ⊂ = =
.
Áp dụng Mệnh đề 3.1.2 ta có là continuum con của 1 0
( )t
µ− . Do đó tồn tại
[ ]0
, ;1
a b∈ t sao cho =g a b([ , ]). Hiển nhiên, A=. Do đó,
( ) { : } A= g r a≤ ≤r b . Cho 0≤ ≤ ≤a b 1, đặt A a b( ), ={g r( ):a≤ ≤r b}. Điều kiện 2 1. Nếu 0≤ ≤ ≤ ≤a b c 1, thì A a b( ), A b c( ), =g b( ).
2. Nếu 0≤ ≤a 1 thì A( )0,a và A a( ),1 là các continuum con thật sự của
X .
Trước hết ta có bổ đề sau:
Bổ đề 5: Cho X là một continuum, µ là một ánh xạ Whitney trên
( )
C X , cố định t0 <1, nếu 1( )
0
,
A B∈µ− t sao cho AB≠ ∅,A≠ B thì tồn tại một cung α trong 1( )
0
t
µ−
nối từ A đến B. Hơn nữa, nếu K là một thành phần của AB, α có thể được chọn nằm trong C A( B) sao cho
K ⊂L,∀ ∈L α [5, 160].
Bây giờ ta sẽ chứng minh Điều kiện 2
Chứng minh 1, lấy p∈A a b( ), A b c( ), thì tồn tại r≤ ≤b s sao cho
p∈g r( ) g s( ). Áp dụng Bổ đề 5, tồn tại một vết 1 0
( )t
( )
g r và g s( ) và p∈B với mỗi B∈α. Vì µ−1( )t0
là cung g([0,1]), do đó ta có g b( )∈α và p∈g b( ).
Điều này chứng minh rằng A a b( ), A b c( ), ⊂g b( ). Chiều ngược lại chứng minh trực tiếp. Nên ta có A a b( ), A b c( ), =g b( ).
Chứng minh 2, giả sử rằng A( )0,a =X thì g a( )= A( )0,a A a( ),1
( ),1
A a
= . Điều này chứng minh rằng g(1)⊂ g a( ) và µ( (1))g =µ( ( ))g a . Do đó, g(1)= g a( ) , điều này mâu thuẩn với g là ánh xạ 1 1− . Nên ta có 2. Vậy Điều kiện 2 được chứng minh.
Bây giờ ta sẽ chứng minh chiều nghịch của định lý. Đặt 1
1 , 2 X = A a và 2 1 ,1 , 2 X A = rõ rằng X1 và X2 là các continuum thực sự và X1 X2 là liên thông. Để chứng minh 1 2 1 2 g = X X là điểm mút trong X2. Ta giả sử rằng 1 2 g
⊂ KL với K và L là các continuum con của X2. Áp dụng Điều kiện 1 với K = A a b( , ) và L= A c e( , ), trong đó a≤b và c≤e ta có: Nếu 1 2 a≥ thì 1 (0, ) (0, ) ( ,1) ( ) 2 g ⊂ A a K ⊂ A a A a = g a . Vì 1 , 2 g ( ) g a ∈µ−1( )t0 nên ta có 1 ( ) 2 g = g a hay 1 2 a= . Nếu 1 2 a≤ thì ( ) 0,1 2 1 2 2 g a ⊂ A X =g . Từ đó ta cũng có 1 2 a= .
Trong trường hợp 1 2 a= , chứng minh tương tự ta cũng có 1 2 c= . Vì vậy 1 , 2 K A b = và 1 , 2 L A e =
. Điều này chứng minh rằng K ⊂L hoặc
L⊂ K. Hay 1 2 g là điểm mút trong X2. Chứng minh tương tự ta cũng có 1 2 g là điểm mút trong X1.
Tiếp theo, giải sử rằng L=K (X \ X1) ( X \ X2) với K là continuum con của X . Đầu tiên ta thấy rằng µ( )A ≥t0, ta giả sử ngược lại µ( )A <t0. Lấy một cung khác từ L đến X nên tồn tại 1
0
( )
M ∈µ− t sao cho L⊂M . Do đó ( )
M =g c với c∈[0,1].Điều này chứng minh rằng M ⊂ X1 ( nếu 1 2
c≤ ) hoặc
2
M ⊂ X ( nếu 1 2
c≥ ). Nên L⊂ X1 hoặc L⊂ X2. Điều này mâu thuẩn với cách đặt L và chứng minh được rằng µ( )A ≥t0.
Áp dụng Điều kiện 1, L=A a b( , ) với 0≤ ≤ ≤a b 1. Bằng cách chọn L, 1 2 a< và 1 2<b nên 1 2 1 2 X X =g ⊂ L
. Vậy ta đã chứng minh được X là giả - tuyến tính.
3.3.3. Định nghĩa
Một continuum X được gọi là giả - cầu nếu tồn tại hai continuum con thật sự X1 và X2 thỏa các điều kiện sau đây:
a. X = X1 X2.
c. Mỗi tập K1 và K2 đều là điểm mút trong X1 lẫn X2.
d. Mỗi continuum con của X giao với K1 và K2 thì chứa X1 hoặc X2. e. Tồn tại ε >0 sao cho nếu L là một continuum con của X và
( , )
X
X ⊂ N ε L thì K1 ⊂L hoặc K2 ⊂L.
Nhận xét: các điều kiện a, b và c trong Định nghĩa 3.3.3 là một mở rộng tự nhiên của điều kiện a và b trong Định nghĩa 3.3.1, còn các điều kiện d và e thì không được tự nhiên.
Bây giờ ta sẽ đưa ra ví dụ chứng minh sự cần thiết của điều kiện d. Lấy Y1 và Y2 là hai bản sao tôpô của continuum sin 1
x
. Giải sử rằng p1
và p2 (tương ứng q1 và q2) là điểm cuối giới hạn đoạn L1 (tương ứng L2) của
1
Y ( tương ứng Y2). Cho X là continuum thu được bằng cách đồng nhất điểm
1
p thành điểm q1 và điểm p2 thành điểm q2. Ta đồng nhất Y1 và Y2 với bản sao của chúng trong X .
Cho X1 =Y1L2, X2 =Y2 L1 và K = X1X2 =L1L2. Hiển nhiên X1,
2
X và K thỏa các điều kiện a, b và c của Định nghĩa 3.3.1. Áp dụng Định lý 3.2.3 và Định lý 3.3.2 với mỗi ánh xạ Whitney µ: ( )C X →[0,1] tồn tại một số t1 <1 sao cho 1
( )t
µ−
là một cung với mỗi t1< <t 1. Do đó, từ Định lý 3.2.3 suy ra không có bậc Whitney nào trên C X( ) là một đường cong đơn đóng.
Mặt khác, nếu X1′=Y X1, ′2 =Y K2, 1 ={ }p1 và K2 ={ }p2 thì X1′, X2′, K1 và
2
K thỏa các điều kiện a, b, c và e nhưng không thỏa điều kiện d. Trên thực tế, đây như là một hệ quả của Định lý 3.3.4 ở phần sau, X không là giả - cầu.
Đối với điều kiện e trong Định nghĩa 3.3.3 thì ví dụ sau đây sẽ chứng minh rằng không thể thay đổi được điều kiện:
f. Nếu L là một continuum con của X và X \X1 ≠ ∅ ≠ L X\ 2 thì
1
K ⊂L hoặc K2 ⊂L.
Cho P là giả - cung. Cố định hai điểm p q, ∈P sao cho p và q ở trong các bộ phận hợp thành khác nhau của P. Cho Y là continuum thu được bằng cách thay p bởi một cung L trong một cách mà Y là hợp của L và bản sao tôpô của P\ { }p và L có phần trong là rỗng trong Y. Ta đồng nhất P\ { }p
với bản sao của nó trong Y. Cho J là một cung con thật sự không suy biến của L chứa một điểm cuối u của L. Cho Y Y1, 2 là các continuum rời nhau đồng phôi với Y. Giả sử rằng L L1, 2, J J1, 2, u u1, 2 và q q1, 2 là các tập con và điểm tương ứng nằm trong Y Y1, 2.
Cho h J: 1→J2 là đồng phôi thỏa h u( )1 =u2. Lấy X là continuum thu được từ hợp rời nhau của Y1, Y2 và đồng nhất điểm q1 với điểm q2, mỗi điểm
1
x∈J với điểm h x( )∈J2. Ta đồng nhất Y1 và Y2 với bản sao của nó trong X . Cho K1 =J1 ⊂ X và K2 ={ }q1 ⊂ X , thì Y1Y2 =K1K2. Dễ dàng chứng minh được rằng Y Y K1, ,2 1 và K2 thỏa 5 điều kiện đầu nhưng không thỏa e. Đặc biệt, X là giả - cầu.
Bây giờ, ta sẽ chứng minh không có sự phân tích X = X1X2 thỏa các điều kiện a, b, c, d và f. Để chứng minh điều này ta sẽ chứng minh rằng nếu
1
X và X2 là các continuum thỏa các điều kiện a, b, c và d thì X1 =Y1, X2 =Y2
hoặc X1 =Y2, X2 =Y1. Lấy K1′ và K2′ là hai continuum con của X sao cho
1 2 1 2
X X =K′K′. Chú ý rằng, với mỗi i∈{1, 2}, nếu Xi là không giao với
j
là không gian đầy đủ X (mâu thuẩn). Do đó, Xi giao với các continuum Kj. Áp dụng điều kiện d, ta có thể giả định rằng Y1⊂ X1 và Y2 ⊂ X2 và ta cũng có thể giả định rằng K1 ⊂K1′ và K2 ⊂K2′. Lại áp dụng điều kiện d với K1′ và K2′
ta thu được X1 ⊂Y1 và X2 ⊂Y2. Do đó, X1 =Y1 và X2 =Y2.
3.3.4. Định lý
Một continuum X là giả - cầu nếu và chỉ nếu C X( ) có một bậc Whitney là một đường cong đơn đóng [10, 179 – 189].
3.3.5. Hệ quả
Cho X là một continuum thì các mệnh đề sau là tương đương. 1. C X( ) là 2− tế bào địa phương tại X .
2. Tồn tại một bậc Whitney trên C X( ) là một cung hoặc một đường đơn đóng.
3. X là giả - tuyến tính hoặc giả - cầu.
Một câu hỏi đặt ra: giả sử rằng X có một lân cận trong C X( ) sao cho
nhúng được trong 2
thì C X( ) có là 2− tế bào địa phương tại X hay không?
Chương 4. CÁC CONTINUUM X VỚI C(X) CÓ MỘT LÂN CẬN PHẲNG TẠI ĐỈNH
Trong chương này ta sẽ giải quyết bài toán được nêu trong phần mở đầu. Nếu tồn tại một lân cận của X trong C X( ) sao cho là nhúng được trong 2
thì X có một lân cận trong C X( ), lân cận đó 2 – tế bào.
Đầu tiên, chúng tôi xét mối quan hệ giữa bậc Whitney với liên thông địa phương. Với X là một continuum và µ là một ánh xạ Whitney trên C X( ). Nếu 1( )[ ]
,1
t
µ− là liên thông địa phương với t<1 thì 1( )
t
µ−
có liên thông địa phương hay không?