Tích phân phức

Khóa luận tốt nghiệp đại học Lời cảm ơn! Khóa luận em hoàn thành giúp đỡ thầy cô giáo Tổ Giải Tích – Khoa Toán – Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội Cho phép em bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô giáo Tổ Giải Tích, đặc biệt thầy Nguyễn Văn Hùng, người trực tiếp hướng dẫn em trình thu nhập tài liệu, nghiên cứu để em hoàn thành khóa luận Bước đầu nghiên cứu khoa học, thời gian nghiên cứu hạn chế em khó tránh khỏi thiếu sót định Em mong nhận đóng góp, bảo thầy cô giáo, bạn để khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Vĩnh Phúc , tháng năm 2011 Sinh viên Trần Thị Thu Khuyên Sinh viên Trần Thị Thu Khuyên Lớp: k33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Lời Cam Đoan Khóa luận em hoàn thành giúp đỡ hướng dẫn thầy Nguyễn Văn Hùng cố gắng nghiên cứu, tìm tòi, học tập thân Trong trình nghiên cứu thực khóa luận em có tham khảo số tài liệu số tác giả (đã nêu mục Tài liệu tham khảo) Em xin cam đoan kết khóa luận tốt nghiệp kết nghiên cứu thân không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Vĩnh Phúc , tháng năm 2011 Sinh viên Trần Thị Thu Khuyên Sinh viên Trần Thị Thu Khuyên Lớp: k33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Mục Lục Trang LỜI MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu 4 Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận NỘI DUNG Chương 1: Một số khái niệm mở đầu 1.1 Sơ lược số phức 1.2 Hàm biến phức 1.3 Hàm giải tích 10 Chương 2: Tích phân phức 12 2.1 Tích phân phức 12 2.2 Tích phân đường 14 2.3 Các định lí Cauchy tích phân hàm phức giải 18 tích đường cong kín 2.4 Lý thuyết Cauchy 24 2.5 Một số định lí quan trọng hàm giải tích 28 2.6 Hàm điều hòa 35 Bài tập 40 Bài tập tích phân tính tích phân nhờ tham số hóa 40 đường cong Bài tập tích phân Cauchy 41 Chương Ứng dụng tích phân tích phân phức 43 3.1 Thặng dư hàm giải tích áp dụng 43 3.2 Ứng dụng tích phân phức vào lý thuyết trường phẳng 50 3.3 Ứng dụng tích phân phức toán phương trình vật lý – toán 53 Sinh viên Trần Thị Thu Khuyên Lớp: k33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học LỜI MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Ta biết tích phân dạng toán toán học giải tích hầu hết làm quen phần nhiều tích phân trường số thực Như tính tích phân trường số phức nào? Do tính rộng lớn trường số phức nên tích phân phức áp dụng vào thực tế để nghiên cứu ứng dụng toán học, vật lý, kỹ thuật,… mà trường số thực chưa thể thực hiện, thực khó khăn Các sách tham khảo tài liệu nghiên cứu hàm phức tích phân phức cho sinh viên người yêu thích tích phân phức chưa nhiều việc nghiên cứu tích phân phức cần thiết quan trọng với sinh viên Do em chọn đề tài “ Tích phân phức” để thực khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Bước đầu tìm hiểu sâu công việc nghiên cứu khoa học, việc nghiên cứu hàm giải tích tích phân phức hàm phức Một số ứng dụng tích phân phức Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tích phân phức, trình bày tích phân dọc theo đường cong hàm giải tích, mặt đặc sắc hàm giải tích Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo nội dung gồm có chương: Chương 1: Một số khái niệm mở đầu Chương 2: Tích phân phức Chương 3: Ứng dụng tích phân phức Sinh viên Trần Thị Thu Khuyên Lớp: k33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học NỘI DUNG CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC MỞ ĐẦU 1.1 SƠ LƢỢC VỀ SỐ PHỨC 1.1.1 Trƣờng số phức Trường số thực R nhận từ việc “ làm đầy” trường số hữu tỉ Q Ta xét phương trình đơn giản sau: x2 phương trình nghiệm R Trong giải tích giới hạn R ta giải thích hàm: f ( x) 1 x2 khai triển thành chuỗi lũy thừa toàn đường thẳng … Như chứng tỏ trường số thực R chưa đầy đủ Với lí ta cần xét trường C hoàn thiện trường số phức Trước tiên trường C phải có phần tử i để i Do R C nên C chứa phần tử dạng : a + bi ; a,b R Xét tập C = (a, b) : a, b R sau đưa quan hệ phép toán cho với chúng C trường chứa trường R: (i) Quan hệ nhau: (a,b) = (c,d)  a = c b = d (ii) Phép cộng : (a,b) + (c,d) = ( a + c, b + d ) (iii) Phép nhân: (a,b) (c,d) = ( ac - bd , ad + bc ) Trường C với hai phép cộng nhân trường số phức số i C gọi đơn vị ảo Chú ý: i) Dạng đại số số phức: Sinh viên Trần Thị Thu Khuyên Lớp: k33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học z = a + bi với a,b R a phần thực, kí hiệu Rez = a b phần ảo, kí hiệu Imz = b ii) Số phức liên hợp: Cho số phức có dạng đại số z = a + bi với a,b Xét số : z = a – bi R C gọi số phức liên hợp số phức z Ta có: + z = z với z R + z = z với z C + z1 z2 z1 + z.z a b2 + z1 z2 z1 z + z với z C z2 R, z C iii) Mặt phẳng phức Lập tương ứng: R C M ( x, y ) a z x iy Mặt phẳng R tương ứng gọi mặt phẳng phức iv) Mô đun số phức: Với z = x+iy ta đặt : z x2 y2 z z gọi mô đun số phức z Ta có: + z với + z1z2 + z1 z C z = z = z1 z2 ; z2 z1 z2 + Mô đun số thực giá trị tuyệt đối nó; + z z z.z , z C ; Sinh viên Trần Thị Thu Khuyên Lớp: k33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học v) Argument số phức Đặt r z ta có : x r y r Vì vây tồn số thực x r cos , y r sin , 0 (0 ) cho : Nói cách khác : z Số thực z cos 0 isin (1.1.1) thỏa mãn (1.1.1) gọi argument z kí hiệu là: argz Nói chung số thực thỏa mãn z z cos isin ,0 gọi argument z Ta có tập argument z là: Argz arg z 2k : k 0, 1, 2, vi) Dạng lượng giác số phức: Ta viết số phức dạng thuận tiện : z z cos isin Argz , (1.1.2) Dạng (1.1.2) dạng lượng giác số phức z Ta có: Argz1 Argz2 (1.1.3) Argz1 Argz2 (1.1.4) Argz1 Argzn (1.1.5) Argz1z2 Arg Argz1 zn z1 z2 Công thức Moivre: cos isin n cosn isin n (M) vii) Dạng mũ số phức Sinh viên Trần Thị Thu Khuyên Lớp: k33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Với số thực đặt ei isin cos (1.1.6) Như ta có: ei z (1.1.7) gọi dạng mũ số phức z Công thức Euler: cos sin i e i e 2i e i (E) e i viii) Phép khai số phức Ta nói w bậc n số phức z w n z Đặt z rei , w ei Khi : n z n 2k n z cos isin 2k n :k 0,1, , n 1.2 HÀM BIẾN PHỨC 1.2.1 Khái niệm hàm biến phức Cho A tập C (C C ) Một hàm biến phức xác định A quy luật đặt tương ứng z Kí hiệu w f ( z ), z f ( z ), f ( z ) C A +) Nếu f ( z ) +) Nếu M A với phần tử w A hàm gọi hữu hạn z R : f ( z) A hàm gọi bị chặn M z +) Đặt z = x + iy Khi đó: f(z) = u(x,y) + iv(x,y) u(x,y) v(x,y) hàm biến thực gọi tương ứng phần thực ảo 1.2.2 Hàm số liên tục Hàm w = f(z), z A gọi liên tục z0 Sinh viên Trần Thị Thu Khuyên A Lớp: k33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học zn A, z0 có: f ( zn ) zn +) Nếu z0 f ( z0 ) 0, A, z z0 0, z f ( z0 ) định nghĩa tương ứng với: suy f ( z ) f ( z0 ) +) Nếu hàm số f(z) liên tục điểm thuộc A f(z) gọi liên tục A +) Hàm f(z) = u(x,y) + iv(x,y) liên tục z0 = x0 + iy0 u(x,y) v(x,y) liên tục (x0,y0) +) Tổng, hiệu, tích, thương (nếu mẫu khác 0) hai hàm số liên tục z0 A hàm số liên tục z0 +) Hàm w = f(z) gọi liên tục A 0, 0, z, z ' A, z z ' f ( z) f (z' ) 1.2.3 Một số hàm phức bản: f ( z ) az b - hàm phân tuyến tính f ( z) z n ( n số nguyên không âm) – hàm lũy thừa f ( z) az b - hàm phân tuyến tính cz d f ( z) a0 z n a1 z n an - hàm hữu tỉ b0 z m b1 z m bm f ( z) ez f ( z ) sin z f ( z ) cosz f ( z ) s hz f ( z ) chz z 1! z 1! n zn - hàm mũ n ! z3 3! n z z2 1! 2! z 1! z3 3! z 1! z2 2! Sinh viên Trần Thị Thu Khuyên n n n z 2n eiz e (2n 1)! 2i z 2n eiz e (2n)! n z 2n ez e (2n 1)! n z 2n ez e (2n)! iz - hàm sinz iz - hàm cosz z i sin iz - hàm shz z cos iz - hàm chz Lớp: k33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học f ( z) z f ( z) (z - hàm nghịch đảo ) - hàm Jukowsky z 1.3 HÀM GIẢI TÍCH Tập hợp B(z0,r) = z C : z z0 dương đấy) z0 r gọi lân cận z0 (r số Còn tập B ,r r gọi lân z C: z cận điểm xa vô tận 1.3.1 Đạo hàm hàm phức Cho hàm w = f(z) xác định miền cho z0 , z0 Khi số gia hàm w z f ( z0 z) f ( z0 ) Nếu w hàm gọi có đạo hàm z0 giới hạn z tồn hữu hạn: lim z Cho z0 có số gia z gọi đạo hàm hàm f(z) z0 Kí hiệu f ' ( z0 ) Như vậy: f ' ( z0 ) lim z w z Hàm f(z) có đạo hàm z0 w f ' ( z0 ) z ( z ) vô bé bậc cao z z z0 Ta gọi dw f ' ( z0 ) z ( z) Do f(z) khả vi f ' ( z0 )dz vi phân hàm f(z) z0 Chú ý: Đạo hàm hàm phức có công thức, quy tắc tương tự hàm thực 1.3.2 Hàm giải tích Định lí Cauchy – Riemann: Hàm số f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi điểm z0 (như hàm số biến số phức z) u( x, y) iv( x, y) hàm u(x,y) v(x,y) khả vi (x0,y0) đạo hàm riêng chúng điểm (x0,y0) thỏa mãn điều kiện: u z y ; y u y v x Sinh viên Trần Thị Thu Khuyên (điều kiện Cauchy – Riemanm) 10 Lớp: k33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học i sin zdz c) i z.e z dz d) Tính tích phân: i ln z dz dọc theo đường cong không cắt nửa đường thẳng x a) i trục thực i b) Ln1 z dz , Ln1z kí hiệu nhánh đơn trị Lnz nhận giá trị z i điểm z = tích phân lấy dọc đường cong nằm mặt phẳng khía dọc phần âm trục thực BÀI TẬP VỀ TÍCH PHÂN CAUCHY Chứng minh hàm số f(z) giải tích miền đơn liên D, l đường cong Jordan đóng, trơn khúc nằm D, f ( z )dz L Chứng minh L đường tròn đơn vị z ezd z thì: i L Tính tích phân sau: z2 a) z z i z cosz c) z 1 z b) dz dz sin z dz z z d) z z 2 dz Sinh viên Trần Thị Thu Khuyên 41 Lớp: k33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học dz Tính tích phân L z L đường cong Jordan đóng, trơn khúc trường hợp sau: a) Điểm 3i nằm bên trong, điểm -3i nằm bên miền hữu hạn giới hạn L không thuộc L b) Điểm -3i nằm bên trong, điểm 3i nằm bên miền hữu hạn giới hạn L không thuộc L c) Hai điểm 3i nằm bên miền hữu hạn giới hạn L không thuộc L Tính tích phân sau: a) z a zdz z4 a (a 1) e z dz b) , hình tròn z i L z a2 a chưa miền hữu hạn giới hạn đường cong Jordan đóng, trơn khúc L c) z sin( z )e z dz z ( z 1) d) z e) L z2 cos( z )e z dz z ( z 3) ze z dz , L đường cong Jordan đóng, trơn khúc không 3z qua 0-điểm z2 – 3z + Chứng minh hàm số giải tích f(z) khác số miền D, không nhận giá trị D, cực tiểu f ( z ) không đạt điểm miền D (Nguyên lý modun cực tiểu hàm số giải tích) Sinh viên Trần Thị Thu Khuyên 42 Lớp: k33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học CHƢƠNG 3: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN PHỨC Ta thấy có số dạng tích phân mà trường số thực R tính tính trường số phức C tính Hoặc có vài dạng tích phân ta tính toán trường số thực phải biến đổi khó khăn vất vả so với việc tính toán C Do tính rộng lớn trường số phức nên ta áp dụng tính tích phân vào thực tế ngành vật lý hay toán hoc… 3.1 Thặng dƣ hàm giải tích áp dụng 3.1.1 Định nghĩa cách tính thặng dƣ 3.1.1.1 Định nghĩa Giả sử hàm f(z) giải tích vành khăn res f , z0 z z0 r Xét: f (s )ds i (3.1.1) Được gọi thặng dư f z0 chu tuyến vây quanh z0 nằm vành khăn (Không phụ thuộc vào việc chọn chu tuyến) Giả sử hàm f(z) giải tích vành khăn R z Thì thặng dư f số : res f , i f ( s)ds f ( s)ds i Định lí Cauchy suy res f , z0 (3.1.2) z0 C f giải tích z0 3.1.1.2 Cách tính thặng dƣ i) Nếu biết khai triển Laurent hàm f vành khăn R z res f , z0 z z0 r (tại z0 ) theo định lí Laurent ta có: f ( s)ds C i Sinh viên Trần Thị Thu Khuyên (3.1.3) 43 Lớp: k33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học i res f , f (s)ds C (3.14) Chú ý: (Định lí Laurent) Nếu hàm f(z) giải tich vành khăn r z z0 f(z) biểu diễn dạng tổng R chuỗi Laurent : f ( z) Cn ( z z0 ) n n Các hệ số chuỗi xác định công thức : Cn i f ( s) ds, n 0, 1, ( s z0 ) n đường tròn z z0 ,r R ii) Nếu z0 cực điểm cấp hàm f res f , z0 lim( z z0 ) f ( z ) z (3.1.5) z0 Chú ý: Cực điểm điểm z0 thỏa mãn lim f ( z ) z iii) Nếu f ( z ) z0 ( z) với ( z0 ) 0, ( z0 ) 0, '( z0 ) thì: ( z) ( z0 ) '( z0 ) res f , z0 (3.1.6) iv) Nếu z0 cực điểm bậc m >1 f res f , z0 (m 1)! z v) Nếu f giải tích res f , vi) Nếu lim ( z z0 ) m f ( z ) ( m 1) (3.1.7) lim z f ( ) z (3.1.8) f ( z) không điểm bậc m >1 hàm f(z) tức là không điểm bậc m hàm f , C0 z C C m : Sinh viên Trần Thị Thu Khuyên 44 Lớp: k33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học res f , C1 Nếu m =1, tức C0 res f , lim f ( z ) thì: z lim f ( z ) z 3.1.1.3 Các định lí thặng dƣ Định lí 1: Giả sử hàm f giải tích miền trừ số hữu hạn điểm z1, z2 , zN nằm miền Khi N f ( s)ds i res f ; zk k chu tuyến tùy ý nằm cho z1 , z2 , z N Định lí 2: Giả sử hàm f giải tích toàn mặt phẳng trừ số hữu hạn điểm z1, z2 , zN Khi N res f ; zk k 3.1.2 Ứng dụng tính tích phân i) Tính tích phân I P( x) dx P(x), Q(x) hai đa thức thực Q( x) Cách tính: Áp dụng định lý để tính toán Định lí 3: Giả sử hàm f giải tích mặt phẳng Imz trừ số hữu hạn điểm bất thường cô lập thỏa mãn: lim Im z 0; z Khi lim R f ( z )dz zf ( z ) 0 , CR z C/ z (3.1.9) R,Im z CR Định lí 4: Giả sử P(z), Q(z) hai đa thức hệ số thực biến phức, bậc P(z) lớn bậc Q(z) Nếu Q( x) 0, x R , , n cực điểm nằm nửa mặt phẳng Imz > phân thức R(z) với R( z ) P( z ) Khi đó: Q( z ) Sinh viên Trần Thị Thu Khuyên 45 Lớp: k33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học n R( x)dx i R esR( z ); k k Ví dụ: Tính tích phân I dx ( x 1)2 Giải: Hàm R ( z ) (z 1) có cực điểm kép z = i nằm nửa ( z i )( z i ) 2 mặt phẳng Imz > Vậy: I dx ( x 1)2 1 i R es ;i ( z 1) ii) Tích phân dạng i lim z i d dz ( z 1) i (2i)3 R( x)cos xdx, R( x)sin xdx, Cách tính: Hai tích phân phần thực phần ảo tích phân: R( x)ei x dx Định lí 5: (Bổ đề Jordan) Giả sử hàm f(z) giải tích nửa mặt phẳng Imz , trừ số điểm bất thường cô lập mà thỏa mãn: f ( z) lim ei z f ( z )dz R CR M , z CR ; k Rk , M số với (3.1.10) Trong CR z C/ z R,Im z Định lí 6: Giả sử P( x) phân thức hữu tỷ thỏa mãn điều kiện Q( x) sau: a R(z) giải tích nửa mặt phẳng Imz > ngoại trừ số hữu hạn cực điểm a1, , an Sinh viên Trần Thị Thu Khuyên 46 Lớp: k33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học b R(z) có m cực điểm b1, , bm trục thực R( x)ei x khả tích điểm c Bậc Q(z) lớn bậc P(z) Khi đó: n i x R( x)e dx m i x i R esR(z)e ; ak k Ví dụ: R esR(z)ei x ; bk i (3.1.11) k 1.Tính tích phân: I cos x dx, ( , a > 0) x2 a2 Giải: Vì hàm dấu tích phân hàm chẵn nên : I ei cos x d x= Re x2 a2 x x2 a2 ei x Re i R es ; x a2 dx I Tính tích phân Euler: e a 2a sinx dx x ( trường số thực ta không tính tích phân này) Giải: Với < r < R ta kí hiệu Cr CR nửa đường tròn tâm O bán kính r R nằm nửa mặt phẳng Kí hiệu biên miền G giới hạn Cr CR đoan [- R, - r ], [r, R] lấy theo chiều dương Xét hàm f(z) = e iz Vì f giải tích C\{0}, theo định lí Cauchy ta có: z r fdz fdz R fdz R CR fdz CR fdz (3.1.12) r Theo bổ đề Jordan lim fdz R CR lim R CR eiz dz z (3.1.13) Mà : Sinh viên Trần Thị Thu Khuyên 47 Lớp: k33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học (iz ) 2! z iz fdz CR CR i2 z 2! P ( z ) i dz dz z Cr P( z )dz Cr Đặt z ei ta tính dz z Cr i Mặt khác P( z )dz r max P( z ) z Cr Cr P(0) Do Khi max P( z ) z Cr lim r fdz i lim r P( z )dz Cr i (3.1.14) Cr Từ (3.1.12), (3.1.13), (3.1.14) ta có r i lim r R eix Vì R eix dx x R e ix x sinx dx x eix dx x z dx 2i sinx dx x i 2i eix dx x eix dx x i) Tích phân dạng R(cosnx,sin nx)dx , R hàm hữu tỉ Cách tính: Bằng phép biến đổi z ei Bởi vì: cos z z , sin z 2i z , d dz iz Tích phân loại có dạng: Sinh viên Trần Thị Thu Khuyên 48 Lớp: k33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học R * ( z )dz z Trong R* hàm hữu tỉ việc tính tích phân (3.1.9) đưa việc tính thặng dư cực điểm R* z Ví dụ : 1.Tính tích phân Poisson Với < p [...]... lớp các cung tham số cùng hướng Nếu cong là đường cong định hướng ta có tích phân của hàm f trên đường (xem phần sau tích phân đường) Nếu tích phân (2.1.1) tồn tại hữu hạn thì hàm f được gọi là khả tích 2.1.2 Cách tính tích phân phức Sinh viên Trần Thị Thu Khuyên 12 Lớp: k33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Để tính tích phân phức ta thay '(t ) x '(t ) iy '(t ) và f (t ) u x(t ), y(t ) iv x(t ),... C bởi phép nghịch đảo Như vậy z0 hữu hạn còn f ( z0 ) giải tích tại z0 còn khi z0 là miền tùy ý ta nói f giải tích tại z0 nếu ta nói f – giải tích tại z0 nếu f 1 f ( z) 1 giải tích z tại 0 Sinh viên Trần Thị Thu Khuyên 11 Lớp: k33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN PHỨC 2.1 TÍCH PHÂN PHỨC 2.1.1 Định nghĩa Cho miền C hàm phức f(z) xác định trên : f: C .z a f ( z ) u ( x, y ) iv(... là tổng tích phân của hàm f(z) theo đường cong từ A tới B và kí hiệu là f ( z )dz AB hay f ( z )dz n 1 Và f (sv* )(sv lim f ( z )dz max sv sv 1 1 (2.2.2) sv ) 0v 0 Thay cho tổng tích phân (2.2.1) ta có thể xét tổng tích phân: n 1 : f (sv* ) sv S sv 1 v 0 Nếu khi sv : 1 : : 0 họ S có giới hạn là I thì I được gọi là tích sv phân đường loại 1 của f(z) theo Kí hiệu : I f ( z ) dz Nếu f có tích phân dọc... cho tích phân của nó theo chu tuyến trong liên với mọi z0 đều bằng 0 Khi đó cố định, hàm z f ( s)ds là hàm giải tích trong miền F ( z) z0 F’(z) = f(z) Và Áp dụng hệ quả 1 ta có F(z) là hàm giải tích thì F’(z) cũng là hàm giải tích Vậy f(z) giải tích ez Ví dụ : Tính tích phân : I z 1 3 dz với là đường tròn z 2 định hướng dương Giải: Ta đặt : f (s) es xét thấy f(s) liên tục trên hình tròn z 2 Lấy z0 tích. .. .t a (t ) x(t ) iy (t ) Tích phân: b f ( z )dz f (2.1.1) (t ) '(t )dt a Được gọi là tích phân của hàm phức f(z) dọc theo tham số cung Giả sử 1 : a1 , b1 s a 1 (s) x( s ) iy ( s ) là tham số cung cùng hướng với : a, b a a1, b1 với Tức có phép biến đổi bảo toàn hướng '(t ) 0 và 1 ( s) 1 ( (t )) khi đó ta có: b1 b f a (t ) '(t )dt f 1 (s) 1 '( s)ds a1 Suy ra tích phân hàm phức không phụ thuộc vào... vdx Do đó tích phân (2.2.4) tồn tại khi và chỉ khi tồn tại tích phân đường loại 2 Như vậy nếu trơn từng khúc và f liên tục trên thì tích phân (2.2.2) tồn tại và f ( z )dz udx vdy i udy vdx (2.2.4) 2.2.2 Tính chất Tính chất 1: Định hướng ` Giả sử là đường cong thì lấy theo chiều ngược lại (B là điểm đầu, A là điểm cuối) Khi đó: fdz fdz (2.2.5) Tính chất 2: Tuyến tính Nếu f và g là các hàm khả tích trên... Ω và ( z0 , z0 ) 0 Định lí 4: Giả sử f là hàm liên tục trên miền đơn điệu Ω sao cho tích phân của f dọc theo mọi chu tuyến bất kì nằm trong với mọi z đều bằng 0 Khi đó Ω cố định, hàm z ( z) f ( s)ds là giải tích trong miền Ω và z0 ' z f z z Chứng minh: Vì tích phân (2.3.7) không phụ thuộc vào đường cong tích phân, nên: Sinh viên Trần Thị Thu Khuyên 23 Lớp: k33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học... hàm g \f 1 o, Mặt khác vì logf giải tích trên H và cũng là một nguyên hàm của f ' / f trên \f 1 o, , nên có thể chọn g sao cho g = logf trên một tập hợp con mở khác rỗng của \f 1 o, Nguyên lí duy nhất suy ra f = eg trên Ω 2.4 LÝ THUYẾT CAUCHY 2.4.1 Công thức tích phân Cauchy Định lí 1: Giả sử f là hàm giải tích trên miền và z0 mọi chu tuyến ta có công thức tích phân Cauchy sao cho z0 f z0 f s 1 ds... Khuyên R ne int 2 i, n 1 0 n 1 13 Lớp: k33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học 2.2 TÍCH PHÂN ĐƢỜNG 2.2.1 Định nghĩa tích phân đƣờng Cho là đường cong trong mặt phẳng (z) không kín với hai đầu mút A và B và hàm f(z) xác định trên lần lượt A s0 s1 , s2, sn thành các cung nhỏ bởi các điểm chia Chia B và lập tổng tích phân n 1 S ( sv sv* ) S f (sv* )( sv sv ) 1 (2.2.1) v 0 ở đây sv* là các điểm của đường... hàm f, thì f là hàm giải tích trong Ω Chứng minh Cho z0 Chọn r > 0 đủ bé để tích phân Cauchy với mọi z Sinh viên Trần Thị Thu Khuyên z 0 ,r Theo công thức z0 , r ta có 34 Lớp: k33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học 1 2 i fn z fn s ds s n z0 ,r Do f n hội tụ đều tới f trên z0 , r , bằng cách tiến đến giới hạn dưới dấu tích phân ta nhận được 1 2 i f z z0 ,r Vì thế f giải tích trên fn s ds với mọi ... giải tích tích phân phức hàm phức Một số ứng dụng tích phân phức Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tích phân phức, trình bày tích phân dọc theo đường cong hàm giải tích, mặt đặc sắc hàm giải tích. .. nghiên cứu hàm phức tích phân phức cho sinh viên người yêu thích tích phân phức chưa nhiều việc nghiên cứu tích phân phức cần thiết quan trọng với sinh viên Do em chọn đề tài “ Tích phân phức để thực... Bài tập tích phân tính tích phân nhờ tham số hóa 40 đường cong Bài tập tích phân Cauchy 41 Chương Ứng dụng tích phân tích phân phức 43 3.1 Thặng dư hàm giải tích