Tích phân phức khóa luận tốt nghiệp

Trang 1

Lời cảm ơn!

Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong Tổ Giải Tích - Khoa Toán — Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2

Cho phép em được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong Tổ Giải Tích, đặc biệt là thầy Nguyễn Văn Hùng, người trực tiếp hướng dẫn em trong quá trình thu nhập tài liệu, nghiên cứu để em hoàn thành khóa luận

Bước đầu nghiên cứu khoa học, hơn nữa thời gian nghiên cứu còn hạn

chế em khó tránh khỏi những thiếu sót nhất định Em rất mong nhận được sự

Trang 2

Lời Cam Đoan

Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự giúp đỡ hướng dẫn của thầy Nguyễn Văn Hùng cùng sự cố gắng nghiên cứu, tìm tòi, học tập của bản thân Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận em có tham khảo một số tài liệu của một số tác giả (đã nêu trong mục Tài liệu tham khảo)

Trang 3

Mục Lục Trang 080921005 4

1 Lí do chợn đề tải sex xxx EEEEEESEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEESEkerkerkrrreererrk 4 2 Muc dich nghién CUU "a5 4 3 NhiGm Vu NGHIEN CUU oe eeeeeeecseeseeeeeeeseeseeeeeeesetseeaeeeceeaeeaceessesseeaeeasenees 4

4 Phương pháp nghiên CỨU .- 5 5 + + SE EEeekerrekreererererre 4

5 Cấu trúc khóa luận . -2- 5t E+EE+EEEEESESEESEESEESEESEEEEEEeEkrrkerkererrrrree 4

)/9)89)0)6 5 Chương 1: Một số khái niệm mở đầu . - 2-22 +22 ++£Ee+zxe+rveee 5 1.1 Sơ lược vỀ số phức . +-+©+++E++tSE+ECEEEEtEEEEEEEEErEkkrrrrkrrrrrerrvee 5 1.2 Hàm biến phức . 2-22 2e +E+EEE+EEE+EEESEEEEEEEEE211211711711 71x ELxee §

1.3 Ham i0 a.a Ò 10

Chương 2: Tích phân pỨC - + + + xxx +xEEvEekskerkrrrekererrererrkre 12 2.1 Tích phân phức

2.2 Tích phân đường

2.3 Các định lí Cauchy và tích phân các hàm phức giải - 18 tích trên đường cong kín - + xxx Evxexerrreereerrrrrrerrerrrrsrrsre 2.4 Lý thuyết Cauchy -2sc xxx EE2E1E211E22112111 111.11 cree 24 2.5 Một số định lí quan trọng hàm giải tích 2 <©cxc+ccxevcrs 28 2.6 Hàm điều hòa

; 0 0“

Bài tập về tích phân và tính tích phân nhờ tham số hóa

B00 50v: 1177 Bài tập về tích phân Cauchyy -22- 22+ EE EEEEEEEEEEEEEErrkrrrkrrrrerrree 41 Chương 3 Ứng dụng tích phân tích phân phức . ¿2 +2 43 3.1 Thặng dư của hàm giải tích và áp dụng .- c s5 s5 s+csssessrers 43 3.2 Ứng dụng tích phân phức vào lý thuyết trường phẳng 50 3.3 Ứng dụng tích phân phức trong các bài toán cơ bản của phương trình vật

Trang 4

LOI MO DAU

1 Li do chon dé tai

Ta đã biết tích phân là một đạng toán cơ bản của toán học giải tích nhưng hầu hết chúng ta chỉ làm quen phần nhiều các tích phân ở trên trường số thực Như vậy nếu tính tích phân trên trường số phức thì sẽ như thế nào?

Do tính rộng lớn của trường số phức nên tích phân phức cũng được áp dụng vào thực tế để nghiên cứu những ứng dụng trong toán học, vật lý, kỹ thuật, mà trên trường số thực chưa thê thực hiện, hoặc thực hiện khó khăn

Các sách tham khảo và tài liệu nghiên cứu về hàm phức và tích phân phức cho sinh viên cũng như những người yêu thích về tích phân phức chưa nhiều bởi vậy việc nghiên cứu về tích phân phức là cần thiết và quan trọng với sinh viên

Do vậy em đã chọn đề tài “ Tích phân phức” để thực hiện khóa luận tốt

nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu tìm hiểu sâu hơn về công việc nghiên cứu khoa học, về việc nghiên cứu hàm giải tích và tích phân phức của các hàm phức Một số ứng dụng của tích phân phức

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu tích phân phức, trình bày về tích phân dọc theo một đường cong của hàm giải tích, đó là một trong những mặt đặc sắc của hàm giải tích 4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp, và đánh giá 5 Cấu trúc khóa luận

Trang 5

NỘI DUNG

CHUONG I: MOT SO KIEN THỨC MỞ ĐẦU

1.1 SO LUGC VE SO PHUC

1.1.1 Trường số phức

Trường số thực R nhận được từ việc “ làm đầy” trường số hữu tỉ Q Ta xét một phương trình đơn giản sau:

x +1=0

phương trình trên không có nghiệm trong R

Trong giải tích nếu chỉ giới hạn trong R ta cũng không thê giải thích tại sao hàm: 1 I+a ƒŒœ)=

không thẻ khai triển thành chuỗi lũy thừa trên toàn bộ đường thang Như vậy chứng tỏ rằng trường số thực R vẫn chưa đầy đủ

Với lí do trên ta cần đi xét một trường C nào đó hoàn thiện hơn và đó là trường số phức

Trước tiên trường C phải có một phần tử ¡ để ¡?=—] Do RCC nên C chứa các phần tử dạng: a+bi;a,bc R

Xét tập C= (a,b):a,beR sau đó đưa các quan hệ bằng nhau và các phép toán sao cho với chúng C là một trường chứa trường R:

(1) Quan hé bang nhau: (a,b) =(c,d)<@ a=c va b=d

(ii) Phép cộng : (a,b) + (c,d) =(a+ec,b+d)

(iii) Phép nhan: (a,b) (c,d) = (ac - bd, ad +bce )

Trang 6

z=a+bi với abe R a là phần thực, kí hiệu Rez = a b là phần ảo, kí hiệu Imz = b ii) Số phức liên hợp:

Cho số phức có dạng đại số z=a +bi với a,beR

Xét số : z =a— bi e C được gọi là số phức liên hợp của số phức z Ta có: +z=z với VzeRCC +Z=z VỚI VzeC 4 Z42%,=2+22 +zz=a?+b?>0 + ta = Ziữ2 + Âz=Âz với VÂeR,VzeC iii) Mat phẳng phức Lập tương ứng: RoC M(x,y)a z=x+iy

Mặt phẳng R” tương ứng như vậy được gọi là mặt phẳng phức iv) Mô đun của số phức:

Trang 7

v) Argument cua mot sỐ phức Đặt r=|z| taco: He) ~ Vi vay tồn tại duy nhất số thực ớ (0<, <2Z) sao cho : x y_e —=cosp, , —=SiNg, r r Nói cách khác : z=|z| cosp,+ising, , OSg,<27 (1.1.1) Số thực gy, thoa man (1.1.1) được gọi là argument chinh cua z và kí hiệu là: argz

Nói chung mọi số thực ø thỏa mãn z=|2| cosØ2+Isinø ,0<ø@<2Zz được gọi là argument của Z

Ta có tập các argument của z là:

Argz= argz+ 2kZ :k =0,+l,+2, vi) Dạng lượng giác của số phức:

Ta có thê viết số phức dưới dạng thuận tiện hơn đó là :

z=|z| cosptising , ye Argz (1.1.2)

Dạng (1.1.2) là đạng lượng giác của số phức z Ta có:

Argz,Z, = Argz, + Argz, (1.1.3)

Arg ^L= Arga,— Args, (1.1.4)

“2

Argz, Z, = Argz, + + Argz,, (1.1.5)

Cong thirc Moivre:

cosp + ising "=cosng + isinng (M)

vii) Dạng mũ của số phức

Trang 8

Với mọi số thực gy dat

e” =cosm + ising (1.1.6) Như vậy ta có: z= øe” (1.1.7) được gọi là dạng mũ của số phức z Công thức Euler: lp» cosp= = ev te” (E) sing = i ev -e® 2i

viii) Phép khai căn một sô phức

Ta nói w là căn bậc n của số phức z nếu w" = z Đặt z= re”,w = øe”

Khi đó :

"r= text 7kZ +isin?” =)ù = 0ị nl|

n n

1.2 HAM BIEN PHUC

1.2.1 Khái niệm hàm biến phức

Cho A là tập con của Cc (C =CU®) Một hàm biến phức xác định trên A là một quy luật đặt tương ứng mỗi ze A với I phần tử w= ƒ(z),ƒ(z)e C Kí hiệu w= ƒ(z).zeA

+) Nếu ƒ(z)#œ Vze A thì hàm gọi là hữu hạn

+) Nếu 3M e Ñ, : ƒ(z)|<MYze A thì hàm gọi là bị chặn

Trang 9

Vz, CA, z„ >z¿ đềucó: ƒ(„)= ƒŒ) +) Néu zo # 00 thi Sf (%)#® thì định nghĩa trên tương ứng với: |[ƑŒ)- ƒ#Œ)|<# +) Nếu hàm số f{z) liên tục tại mỗi điểm thuộc A thi f(z) được gọi là liên tục trên A

+) Ham f(z) = u(x,y) + iv(x,y) liên tục tại Zo = Xọ + Iyo © u(x,y) và

v(x,y) liên tục tại (Xo,yo)

+) Tổng, hiệu, tích, thương (nếu mẫu khác 0) của hai hàm số liên tục tại Zp € A la ham sé lién tuc tai zo

+) Ham w = f(z) được gọi là liên tục đều trén A néu

IƑŒ~ƒŒ)|<#

Ve>0,3ö>0,Vz,z

1.2.3 Một số hàm phức cơ bản:

ƒŒ)= az+b - hàm phân tuyến tính

ƒ(Œ)= z" (n là số nguyên không âm) — hàm lãy thừa + , fG an « 7 - ham phan tuyén tinh v2 án, +d, 4 3 = eT _ gam hitu ti ƒŒ)= bạc” + bị my +b, am huu th f(ee =1t4 = Wo” > ~ - hàm mũ, Sa! gl _ ee iz iz Zz =sinz= 1= — = — - ham sinz ƒ@) to “Gnd! 2i

ƒŒ)= _ -1" mm - ham cosz 2! a" On! 2

Trang 10

ƒŒœ)= I ham nghich dao

z

f= at + 4 - ham Jukowsky Z

1.3 HÀM GIẢI TÍCH

Tap hop B(z,r)= zeEC: lz - Zo| <r_ được gọi là lân cận Zp (r là số

dương nào đấy) nếu zạ # œ Còn tập Ð œ,r = z€ C:|s| >r được gọi là lân

cận của điểm xa vô tận

1.3.1 Đạo hàm của hàm phức

Cho hàm w = f(z) xác định trên miền ©, zạ e© Cho zạ có sé gia Az sao cho z, +AzeQ Khi do số gia của hàm là Aw = #Œ+Az)— ƒŒ) Nếu tôn tại và hữu hạn: iim ~~ thì hàm gọi là có dao ham tai Zp va gidi han do

> Z

được gọi là đạo hàm của hàm f(z) tại zọ Kí hiệu ƒ 'ạ)

A Như vậy: f'(z)= lim=—-

Ham f(z) co dao ham tai zp thi Aw = f (z,)Az+ (Az)

Ø(Az) là vô cùng bé bậc cao hơn Az khi Az—>0 Do đó f{z) cũng khả vi tại Z0 Ta gọi dw = ƒ '()Az= f (zy )dz là vi phân của ham f(z) tai Zo

Chú ý: Đạo hàm của hàm phức có các công thức, quy tắc tương tự hàm

thực

1.3.2 Hàm giải tích

Định lí Cauchy — Riemann:

Ham s6 f(z) = u(x,y) + iv(x,y) kha vi tai diém z =u(x, y)+iv(x, y) #0 (như là hàm số của biến số phức z) © các hàm u(x,y) va v(x,y) kha vi tai

(Xo,yo) và các đạo hàm riêng của chúng tại điểm (Xo.yo) thỏa mãn điều kiện:

_ oy ou = _— (điều kiện Cauchy — Riemanm)

Oz oy oy Ox

Trang 11

Định nghĩa hàm giải tích:

+) Hàm w = f(z) xac định trên ‹3 C được gọi là hàm giải tích (hay chỉnh hình) tai z, €Q néu ham f(z) có đạo hàm tại mỗi điểm trong một lân

cận nào đó của điểm zụ

Hay: néu Je >0 sao cho f(z) co dao ham tai Vze B(.£)

+) Ham sé w = f(z) duoc gọi là được gọi là hàm giải tích trên miền Q

nếu f(z) giải tích tại mỗi điểm thuộc miền ©

+) Nhận xét:

Ta có thể mở rộng định nghĩa trên tới trường hợp © là miền tùy ý trong C còn f là ánh xạ từ O vào € bởi phép nghịch đảo

1

f()

Nhu vay Zp htru han con f(z,)=% ta noi f giai tich tai Zp nếu

Trang 12

CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN PHỨC 2.1 TICH PHAN PHUC 2.1.1 Dinh nghia Cho miền _C hàm phức f(z) xác định trên © : ƒ:O2>C za f(z)=u(x,y)+iv(x, y) Và tham số cung trơn từng khúc : z: a,b >Q ¡ a 7)=x()+iy0) Tích phân: b [4= [7 zœ)y0)# (2.1.1) Được gọi là tích phân của hàm phức f(z) dọc theo tham số cung 7 Giả sử ⁄: a,b, —>@ Soa ¥,(s)=x(s)+iy(s)

là tham số cung cùng hướng với 7 Tức có phép biến đổi bảo toàn hướng

@:a,ba a,b, với pŒ)>0 và 2(s)=#,(@0))

khi đó ta có:

[rp rorwar= fF no) rsa

Suy ra tích phân hàm phức không phụ thuộc vào lớp các cung tham số cùng hướng

Nếu Z là đường cong định hướng ta có tích phân của hàm f trên đường cong y (xem phan sau tích phân đường)

Nếu tích phân (2.1.1) tồn tại hữu han thì hàm f được gọi là khả tích 2.1.2 Cách tính tích phân phức

Trang 13

Để tính tích phân phức ta thay

zŒ)=x)+iy0) và ƒ 7) =u x),yứ) +iv x),yŒ) =u()+ivữ)

Trang 14

2.2 TICH PHAN DUONG

2.2.1 Dinh nghĩa tích phân đường

Cho z là đường cong trong mặt phẳng (z) không kín với hai đầu mút A và B va ham f(z) xác định trên 7 Chia 7 thành các cung nhỏ bởi các điểm chia

lần lượt A= sạs, „82 9„ = B và lập tổng tích phân

S=S(s,s)= Š ru X,¡— 8) (2.2.1)

ởđây s„ là các điểm của đường cong 7 nằm giữa s, và s„„,,v=0,l, n-l vtl 3

Nếu khi |s vel -S,

thuộc vào phép chia và cách chọn điểm s„ thì giới hạn đó được gọi là tổng tích phân của hàm f(z) theo đường cong Z từ A tới B và kí hiệu là j f(@adz hay [r (z)dz

n-1

va Ir Œ)đ:= Jim VCH 4-5,) max|s, e178) J>0v= 0 (2.2.2)

Thay cho tổng tích phân (2.2.1) ta có thể xét tổng tích phân: S= © £63) Suy] —

Nếu khi |s,„— s,|—>0 họ $ có giới hạn là 7 thì 7 được gọi là tích

phân đường loai | cua f(z) theo z Kí hiệu

1= [ƒ(z)|4|

Nếu f có tích phân doc theo Z thì còn gọi là khả tích trên Z

Néu dat: f(z) = u(z) + iv(z),

So yị 7 Sy = Ga — XI FIO ~ Y= Ax, +iAy,, v=0,n-1

Trang 15

Thì tổng (2.2.1) có thể viết dưới dạng: nÌ_ S=S(s,5,)= » u(s.)+ iv(s’) | Ax, + iAy, vẽ0 - = $ (u(s) Ax, — v(s;)Ay, | + S[us?yAy, — v(s,)Ax, | v=0— (2.2.3) r0

Phần thực và phần ảo trong (2.2.3) là tổng các tích phân đường loại 2 theo đường cong Z7

fuax —vdy,va fuay —vdx Y ⁄É Do đó tích phân (2.2.4) tồn tại khi và chỉ khi tồn tại tích phân đường loại 2 Như vậy nếu Z trơn từng khúc và f liên tục trên z thì tích phân (2.2.2) ton tai và [f@az = fudx— vdy + i fudy + vảy (2.2.4) y ữ 2.2.2 Tính chất Tính chất I: Định hướng

Trang 16

[#s= [#4z+ |: (2.2.7) Tính chất 4: Ước lượng tích phân l, (2.2.8) [faz < Ï|/@)||<sup|/(Œ) Với I là độ dài của 7 Tính chất 5:

Nếu z= Ø(s) là khả vi liên tục ánh xạ 1 — I đường Ï` lên y va ø(A)= A,0(B)= B với A', B' là hai đầu mút của T thì [raz= [r@ono'yas Y r Noi riéng néu z= z(t), t€ a,b 1a phuong trinh cha đường cong 7 thì b [#s= [7(0))z'0)& (2.2.9) ⁄É a Tích phân của hàm f lấy theo đường cong 7 nối A với B sẽ được viết b là: [faz nếu nó chỉ phụ thuộc vào hai đầu mút A, B chứ không phụ thuộc vào đường + nối A và B Tính chất 6:

Nếu đường cong z là đường cong B

kín (không tự cắt) trước hết theo lẽ thông thường định hướng Z theo chiều đương sau đó chọn tùy ý hai điểm A, B nằm trên + khác nhau sao cho chiều từ A tới B cùng chiều với chiều 7 Khi đó f là hàm bat ki

trên y ta đặt:

Trang 17

Ỉ ƒd:= Ỉ fdz+ Ỉ fdz Nếu về phải tồn tai

⁄ XB BA

(Lưu ý về phải không phụ thuộc vào việc chon A, B)

Tính chất 7: B

Trong trường hợp Z là đường cong tự cắt ta phân ra một số hữu hạn các đường cong kín và

xác định như ở tính chất 6 :

[#ö= | @s+ f fac= | fact | fac +

Ỹ B BA RC CA C

Tính chất 8:

Nếu tồn tại hàm giải tích g trong mién Q chita 7 sao cho g’(z) = f(z) voi moi z€/7, thì g được goi la nguyén ham cua f

[faz = g(B)- g(A) (2.2.10)

ƑÉ

(Công thức Newton — Leibniz)

Từ (2.2.10) ta thấy nếu z là đường cong kín tức A trùng B thì [Z£= s(8)~ g(A)= g(1)- g(A)=0 (2.2.11) v Định lí 1: Giá sử các hàm ƒ, liên tục trên miền © và chuỗi hàm Ð_ ƒ, hội tụ đều n=l

trên © tới hàm f Khi đó với mọi đường cong trơn (hay trơn từng khúc) yc©Ð tacó: [faz = Io poaz = » kua

y y ml ml y

2.2.3 Bé dé Goursat

Dinh li 2: (Bé dé Goursat) Néu ham @ = f (z) lién tục trong miền đơn liên © và 7 là một đường cong kín, trơn từng khúc nằm trong ©, thì với mọi £ >0 tổn tại một hình đa giác PO có các định trên 7 sao cho:

Trang 18

7 [#z- [ @|<e Tp (2.2.12) 2.2.4 Các ví dụ Vi du I: Tinh tich phan feds trong đó là đoạn thang nối điểm đầu 7 z= ] và điểm cuối z = ¡ Giải: Sử dụng công thức (2.2.4) [#@& = [ed = Juax —vdy+i fuay + vdx= [za+ ydy +i [xay — ydx y ⁄ ⁄ ữ 7 ⁄ 7

Đường thắng 7 đi qua điểm z =1 và z = ¡ có phương trình: x+y= l1 hay y= 1 —x do đó x biến thiên từ I -> 0 thay vào ta được: 0 0 [š4&= [@x-Dax=i[ax=i x 1 1 Vi du 2: Tinh tich phan Í( —a)”dz trong đó 7 là đường tròn tâm a bán kính ? r>0 Giải: Viết z=a+re”(0<@<2z) đỗi với zez Khi đó 2z [cc -a)'dg=r"i [et "ae ⁄É 0 ` 0 nế nz -Í

Vậy: ; li 2z¡ nện = -Í oo,

2.3 CÁC ĐỊNH LÝ CAUCHY VE TiCH PHAN CAC HÀM PHỨC GIẢI

TÍCH TRÊN ĐƯỜNG CONG KÍN

2.3.1 Định lí Cauchy cho miền đơn liên

Định li 1: (dinh li Cauchy) Néu ham ø = ƒ(z) giải tích trong miền đơn liên © thì với chu tuyến trơn từng khúc z ta có

Trang 19

[=0 (2.3.1)

7 Chứng minh:

1) Truong hop y = ôA với A là tam giác mà Ac ©

Nối trung điểm các cạnh của A , tam giác A được chia thành 4 tam giác A“, k= 1,2,3,4 bằng nhau với biên ôA* Ta có:

4

[#z=}3) J faz

; k=1 aq

Thật vậy, nếu viết về phải thành tông tích phân theo cạnh của A“® thì mỗi cạnh của A“' không nằm trên cạnh của tam giác A được tính hai lần

nhưng với chiều ngược nhau vì thế về phải bằng về trái (hình 1) ZN 2⁄4 (2.3.2) Do đó các tam giác A* phải có ít nhất một tam giác mà ta kí hiệu là A, > M (2.3.3) Ị Jd: 4 aa,

Như vậy bằng quy nạp toán học ta xây đựng được một dãy các tam giác A, trong 2 sao cho:

Trang 20

(i) Ana CA, CQVn= 1

(ii) Chu vi tam gidc A, 1a = (1 là chu vi tam giác A ) > (iii) |Ƒ &|> a OA, M 4"

Khi đóvì A 1 n>0 là day các tam giác đóng lồng nhau với chu vi tiến tới 0, nên tồn tại duy nhất ze A,,Ao=A

n=0

Vì f giải tich tai z, nén cd

FO= Sf Zo) + FM Z = 2) + Z = Z)A(Z) (2.3.4) Với z đủ gần z„ và lim h(z)= 0

Từ đó với mọi n ta có

J fac = Pe) fact f Œạ) [ (—s2)dz+ [(Œ— s,)hŒG3đ:

Theo công thức (2.2.11) phần 2.2 thì tích phân đầu trong về phải bằng 0

vì thế: f faz= [ (2- )h(@adz (2.3.5)

eA,

aA,

Do limh(z)=0 nén với mọi £ > 0 tùy ý ta tìm được số ở,0<ổ<1 sao

cho nếu |z— zạ|< ở thì zeA và |h()|<£ Chọn N đủ lớn để 2y Sổ: Vì Zạ€ Aw và chu vi của Ax nhỏ hơn ổ nên Á„ c D(z,,ö) Từ đó theo công thức (2.3.5) ta nhận được : 2 1 < sup|h(z)|max_|< — “alsa < nh Mà am J fdz BA

Điều đó có nghĩa là M < øi? và vì vậy M = 0 do tính bé tùy ý của # Như vậy ta chứng minh được trong trường hợp này | fdaz=0

7

Trang 21

2) Trường hợp z=ơƠP với P là đa giác

Chia đa giác thành một số hữu hạn tam giác A,, k = I,2, N Và xét

tưng tự các tam giác giống như trường hợp l) ta có:

N

fraz=>, J faz=0

£ k=l dA,

3) Trường hợp tong quat y 1a chu tuyến trơn từng khúc tùy ý Theo bố đê Goursat với mọi £ tôn tại đa giác P sao cho [#ms- | faz <é

Y oP

Vi [=0 và # bé tùy ý nên [#:=0

P 7

Định lí 2: Giả sử © là miền đơn liên bị chặn, với biên ôO là một chu tuyến trơn từng khúc Khi đó nếu f là hàm liên tục trên O=QU/2O và giải

tích trên Q thi:

[=0

ao

Chứng minh:

1) Trường hợp 1: Tén tai z¿ 6© sao cho moi tia xuất phát từ zạ chi cắt @@ có dang: Z=2Z+A(t),t€ 0,2, với 4 là hàm trơn từng khúc

Trang 22

6Q | faz < (I= p)MI+ 2apm max |ƒ(sạ + Ä))— ƒ( + 2Â@)|| (2.3.6)

Trong đó: M = max| f(z) ,m= max A(t) j= leo 0</S2Z Vì f liên tục đều trên Ô nên khi ø—> I thì về phải (2.3.6) tiễn đến 0 Như vậy f ƒdz=0 ao 2) Trường hợp tổng quát:

Vì Q don liên và bị chặn với biên trơn từng khúc nên ta có thé chia © thành các miền nhỏ ©,, ,©,„ có tính chất như trường hợp riêng Khi đó

N

[fac=> | #s=0

AQ, k=l ôO,

2.3.2 Định lí Cauchy cho miền đa liên Ta gọi © là miền n — liên (hay đa liên bậc n)

nếu biên của © gồm chu tuyến ngoài + và các chu tuyến Z,, 7„ đôi một không giao nhau nằm trong nl Q, nhu vay: Q=9,\UQ,, k=l va C=y~Uy,V UY,4 chiều dương của ôO như quy ước hình 2:

Định lí 3: Nếu © là một miền n — liên ,

Trang 23

Khi đó Ổ trở thành miền đơn liên với các biên của nó là: 0B =6QULYV VI,, Bởi vì | fdz=— | fdz nên theo định lí 2 hy h | fac= | faz=0 6Q a8

2.3.3 Sự tồn tại của nguyên hàm

Giả sử f là hàm giải tích trên miền đơn liên © và zọ, z là các điểm trong

Ó Khi đó tích phân

B(29,2)= | f(s)ds (2.3.7)

Không phụ thuộc vào hình dạng đường cong nối zọ với z trong ©

Chứng minh: Thật vậy, giả sử 7, và 7; là hai đường cong nối zạ với z Bởi vì

y, +7; la chu tuyén trong ©, theo định lí 1 ta có 0= ƒ #s= [/s+ f fas 7192 yy Vi thé [a= [a ? 1

Ø(z¿.z) là nguyên hàm của hàm f trong mién Q và Ø(z¿,zạ) = Ö

Dinh li 4: Gia str f là hàm liên tục trên mién don diéu Q sao cho tich

Trang 24

ý z+Ấz -bz)_ 1 °F ¬— ly s ds ở đây Az đủ bé để đoạn thắng z,z+Az c© Từ đó ta có @ zt+Az -@z 1 —————— Az f z |= mae | — fz jas id < ek Af sof z | Vì f liên tục nên ta có n ỐC @ zt+Az - z _ ý z = lim Az =f z

Định lí 5: Giả sử O là miền đơn liên còn f là hàm giải tich trên Q khác không tại mọi điểm Khi đó tồn tại ham g giai tich tren Q dé e® =f Chứng minh: Giả thiết của định lí suy ra ƒ`/ ƒ chỉnh hình trên © vì vậy theo định lí 4 nó có một nguyên hàm ge # © Mat khac vi logf giai tích trên

O\ƒ `” o,+œ và cũng là một nguyên hàm của ƒ / ƒ trênO\ƒ ” „+, nên có thể chọn g sao cho g = logf trên một tập hợp con mở khác rỗng của

O\/' o,+e Nguyên lí duy nhất suy ra f= e trên ©

2.4 LY THUYET CAUCHY 2.4.1 Công thức tích phân Cauchy

Trang 26

Trường hợp f liên tục trên Q và giải tích trên Q cé thé lay GQ thay cho 7 trong chứng minh trên Khi đó với mọi ze© các điều kiện của trường hợp nói trên đều được thỏa mãn Vì thế ta có công thức (2.4.2)

Hình 3

2.4.2 Tích phân loại Cauchy

Giả sử L' là đường cong Jordan trơn từng khúc, ƒ s là hàm liên tục

trén [ Voi moi zEC\T, ham

Lién tuc trén I Do dé néu dat

Fz = fl as (2.4.5)

2ni = S—Z

Ta nhận được hàm F xác định trên CAI"

Ham F(z) dugc gọi là tích phân loại Cauchy

Trang 27

tatnhién FO z =F z

Chứng minh : Quy nạp

Do hàm f liên tục trên F và z£ F nên F xác định và đơn trị trên miền C\D Voi Vae So y taco:

= —: —Í f(s) _[_ 9,

2Zi (s— asa” ” Omi r(s—4@)Ÿ

Suy ra hàm F có đạo hàm cấp | trong mién C\T tính theo công thức (2.4.6)

ds(z—> a)

Do đó giải tích trong mién C\T

Giả sử F có đạo hàm cấp n-1 trong miền C\T` Ta chứng minh F có đạo hàm cấp n trong CÁ” Thay vay: voi VaeC\T n-I-k Ft“Đ(g)— F“"Đ(a) — (n— DỊ fOLO- a (sz) zZ-a 27L r (nay (s—z)" TT f(s) " 2i ra)” ds ———ds(z > a)

Vậy F cũng có đạo hàm cấp n trong C\T

Hệ quả 1: Cho miền © có biên định hướng dương, hữu hạn, trơn từng khúc Hàm f giải tích trên miền đó Khi đó f có đạo hàm mọi cấp trên Q va các đạo hàm này cũng là hàm giải tích trên €2 Và các đạo hàm của f tại

ze© cho bởi cơng thức :

wits 4 ds, n=0,1,2 (2.4.7)

~ Oni: ;(—

trong đó Z là chu tuyến tùy ý vây quanh z sao cho Q, <Q,

Hệ quả 2: (được coi như định lí đảo của định lí Cauchy) Giả sử f là hàm liên tục trên miền đơn liên © sao cho tích phân của nó theo chu tuyến

trong © đều bằng 0 Khi đó f giải tích trén Q

Trang 28

Chứng minh: Theo định lí 4 phần 2.3.3 ta có f là hàm liên tục trên miền đơn liên © sao cho tích phân của nó theo chu tuyến trong © đều bằng 0 Khi đó

F(z)= J f(s)ds la hàm giải tích trong mién Q

va F(z) = f(z)

Ap dung hé qua | ta co F(z) la hàm giải tích thì F”(z) cũng là hàm giải tich Vay f(z) giai tich

Vi dy : Tinh tich phan: = [—“—dz voi I la during tron |z|= 2 định

fo ztl

hướng dương Giai:

Ta đặt: ƒ(s)=e` xét thấy f(s) lién tục trên hình tròn |z| <2 nên giải tích trên hình tròn H <2.Lấy Ze=l Z¿€ || <2 ta thấy áp dụng hệ quả từ định lí tích phân Cauchy † f" % "1 201 5 (S— 2) Suy ra: ! s fr-ps2) [© as,n=2 271", (s+ 1) |z|E2 ®1= Í cà 2#Lƒ CD — y1 ea (s+ 1) 2!

2.5 MOT SO DINH Li QUAN TRONG CUA HAM GIAI TICH

2.5.1 Bat dang thire Cauchy

Trang 29

Khi đó ta có bất đẳng thức sau đây ,n=0,1,2, (2.5.1) n | nM a,r Ir ni< Chứng minh Theo công thức (2.4.7) hệ quả I phần 2.4.2 với z=ôO a,r ta có no | fs f “lami ——r ds n! M a,r mi nÌM a,r =———— n=.l „ 2.5.2 Định lí Liouville

Dinh lí 2 Nếu hàm f(z) giải tích và bị chặn trên C, thi f= const

Chứng minh Giả sử ze C tùy ý Theo bất đẳng thức Cauchy (với n = 1) ta có lf Z so với mọi R >0

ở đây M =sup|ƒ z|<œ

Cho #->œ,tacó ƒ' z =0 Vì thế f= const

Hệ quả (dinh li D’alembert) Moi da thức bậc m> 1 có đúng m nghiệm nếu mỗi nghiệm được tính bằng một số lần bằng đúng bội của nó Chứng minh Giả thiết đầu tiên đa thức P bậc z> 1 không có nghiệm Khi đó

1/PŒ) là hàm giải tích và bị chặn trên C và do do theo dinh li Liouville 1/P(z) và vậy thì P(z) là hằng số Trái với giả thiết m> 1

Vay P(z) có ít nhất một nghiệm z= zạeC Khi đó P z = là đa

Z— %

thức bậc m— I Nếu m— 1 > 0 thi P; lai cé it nhat mét nghiém Tiép tuc lập

luận như vậy ta thu được m nghiệm của P

Trang 30

2.5.3 Định lí về giá trị trung bình Định lí 3 Nếu f là hàm giải tích trên miền © và hình tròn Q z,,7 CQ, thi 1 2z , fm=— Ỉ ƒ zạ+re” dọ (2.5.2) 2n 5 Chứng minh Theo công thức tích phân Cauchy ta có foe j Be 2lạa tự Z— 2 Viết z=za+ie”,zecØQ zạ,r ta cÓ 1 2z £ạ =—— |ƒ ss+ỉe” d đu Can J f % 9

2.5.4 Nguyên lí môđun cực đại

mạlf z|>|f | |9

Trang 31

Và do đó xl ztre” |-l⁄ 2 |laip=0 Bởi tính liên tục nên |/ z tre” |=|/ 2p |=M

Với mọi 0<ø@<2Z

Tương tự có đẳng thức trên với mọi z'<z, do đó l Zz |= M với mọi zeO Zor

compact t6n tại các điểm zạ,z¡„ z„ = z` trên L và r > 0 sao cho

LrceUo zpr VÀ g¡C6Q z,r CÓ,j=0,1, ,n—], J=0

Bởi vì |f Zz |=M trên Q z¿,r nên ý Z¡ |= M Vi vay theo lap luận

Theo diéu kién Cauchy — Riemann

Trang 32

Khi M =0 thì hiển nhiên f = const Con khi # 0 thì 2 =0 Thay điều x

ô

kiện này vào một trong hai về của 2.5.5 ta cũng có ¬ =0 Từ đó ø= cons/ trong miền Q vậy thi f= const

2.5.5 BO dé Schwarz

Trang 33

lp Z |<|sl với mọi ze€2(0,1)

-ứ ol 1 voi z, € (0,1), z, #0 thì theo nguyên lí

môđun cực đại

f z

Ẩ

= conSí

Tue 1a f(z) = az voi z€ Q(0,1) va lai = 2.5.6 Tự đẳng cấu của hình tròn đơn vị

@—Ø _—_0

7: o>

1-a,0

của hình tron Q(0,1) bién diém @, thanh diém 0 xét anh xạ hợp thành h=Aof Dé ciing là một tự đẳng cấu của ©(0,I) với h(0) = 0 Vi lh z|<1 voi moi zEQ 0,1 , theo bổ đề Schwarz ta cd

lh z |<|z| với mọi zeO 0,1 (2.5.6)

Trang 34

Nhưng hiển nhiên ánh xạ ngược z = h' cũng thỏa mãn bổ đề Schwarz,

nên la! @ |<ø với mọi @e@© 0,1 Đặt @ = h(z), ta có : |z|<° z Với mọi ze(€) 0,l (2.5.7) Từ (2.5.6) và (2.5.7) rút ra |w z |=|z| với mọi ze© 0,1 Và cũng theo bổ đề Schwarz ta có h z =e”z với mọi ze© 0,1 Nhưng khi đó ƒ=Â'`h=Â ` e”z với mọi zeO© 0,1 Nhưng khi đó:

ƒ=Â'(”z)_ với mọi zeO(0,1) là ánh xạ phân tuyến tính

Như vậy kí hiệu AvtQ(0,1) là nhóm các tự đẳng cấu (với các phép toán hợp thành) thì AutQ(0,1) = {z > 24 ; l-az d|<kac RÌ 2.5.7 Định lí Weierstrass

Giả sử ƒ, là dãy các hàm liên tục trên miền Q Ta noi day f, hội

với mọi £ >0 tìm được W=M K,£ sao cho

f, 2—-f z |<z với mọi ze K và mọin>N

Định lí7 Giảsử ƒ„ hội tụ đều trên mọi tập compact trong Ô tới

tích phân Cauchy với mọi ze( z¿,r ta có

Trang 35

J đi 2M se Zor s—n

f, 2 =

Do f, héitudéu tdi ftrénQ z¿,r , bằng cách tiến đến giới hạn dưới dấu tích phân ta nhận được

fz Ỉ đổ với mọi ze€ zr “ng, rar STH

Vi thé f giai tich trén Q z,,r 2.6 HAM DIEU HOA

2.6.1 Dinh nghia

Hai hàm biến thực u(x,y) trên miền OC R? được gọi là hàm điều hòa

nếu có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục và thỏa ,mãn điều kiện: w= =o (2.6.1) Au được gọi là toán tử Laplace Ou 0z0z Au=4

2.6.2 Cac dinh li:

Định lí I: Các phần thực và phần ảo của hàm giải tích là hàm điều hòa Chứng minh:

Trang 36

Dinh lí 2: Giả sử u là hàm điều hòa trên miền đơn liên © Khi đó u là phần thực hoặc phần ảo của một hàm giải tích Chứng minh: cà ở? a ôu Vì u điều hòa nên Az=4-~—==0 suy ra “=0 nén giai tich Ơzơz Ơzơz Oz

trén Q Theo gid thiét mién Q don lién ta có thé tim duge ham chinh hinh f trén Q sao cho df = ae Lay liên hợp hai về ta có: < — au- df =—d f ma“ Cộng hai về hai đẳng thức trên ta được d(f + f= 4+ ta; = du Oz Ồz

Như vậy u là phần thực của hàm giải tích f

Lập luận tương tự phần ảo của hàm giải tích f

Vi du: Cho ham u= x’ — y’ tim ham f giải tích sao cho u = Ref Giai: Ta kiểm tra thấy ngay hàm u là hàm điều hòa Tìm hàm v liên hợp với u: v(,y)= [t#x= [2ydx=2xy+Ø() Đạo hàm theo biến y : vy =2x+0(y)=2x>ø'` y =0>9@ y =c Suy ra hàm phức cần tìm là hàm:

f(2) =O? = y)+iQxy te)

Dinh li 3: (Dinh li về giá trị trung bình) Giá sử u là hàm điều hòa trong

miền Q va z,€Q Khi đó

Trang 37

1% -

u(z,)=— |u za+re” (su) oz | 0 d p voimoi r<d z,0D

Chứng minh:

Do u là hàm điều hòa nên ta sẽ tìm được một hàm giải tích f sao cho

u = Ref Theo định lí 3 phần 2.5( định lí giá trị trung bình) 17% - 4% ==— z, tie” d f@ => Ir ọ 9 2z Vậy u(Z) = Ref (z)=—- [Ref Zp tre” do 2Z 5

Định lí 4: Hàm u điều hòa thì u đạt giá trị lớn nhất và bé nhất trén GQ Chứng minh: Chứng minh tương tự như nguyên lí mô đun cực đại

Định lí 5: Hàm điều hòa và bị chặn trên toàn tập số phức là hàm hằng

Chứng minh: Do u là hàm điều hòa nên ta tìm được hàm f giải tích sao cho

u= Ref Do u bi chặn nên f bị chặn nhờ công thức Schwarz bên dưới Theo định lí Liouville f là hàm hằng do đó u là hàm hằng

Dinh li 6: (Cong thirc schwarz): Cho f= utiv la ham giải tích trên mién Q 0,z và liên tục trên Q 0,r_ khi do 2z 1 0= Ju 0 ẹ” re”

ado iv(0) với zeO 0,r (2.6.2)

Chú ý: Công thức trên cho phép ta xác định hàm giải tích f(z) trén hinh tron Q(0,r) khi biết giá trị phần thực và phần ảo tại O

Trang 40

BÀI TẬP

BAI TAP VE TICH PHAN PHUC VA TINH TICH PHAN NHÒ THAM

SO HOA DUONG CONG

1 Tính các tích phân sau đây dọc đường cong L„ trong đó L là một phần của đường tròn H = 2 nằm trong nửa mặt phẳng đưới Imz < 0 với điểm đầu z¡ = -

2, điểm cuối z; = 2

a) lá b) Íl:k: c) fic zdz

L L L

2 Tính các tích phan doc theo L, trong do L 1a doan thang voi diém dau z¡ = 1, điểm cuối z; = ¡ của các hàm số sau đây:

a) f czdz b) [zImz 4 c) Ỉ Rezdz

|:EI |:F2 |:-IFI

3 Tính các tích phân J, = za:.! = f ydz trong các trường hợp sau:

L L

a) L là bán kính vectơ của điểm z = 2 + ¡

b) L là nửa đường tròn {z| =1,0<argz<Z, điểm đầu là z = 1 c) L là nửa đường tròn |z— a|= R theo hướng dương

4.Tính tích phân J z-a ‘dz trong đó n là số nguyên, L là chu tuyến đóng,

L

trơn từng khúc không đi qua điểm a, sao cho miền hữu hạn giới hạn bởi L là

miên đơn liên

5 Tính các tích phân:

a) je dọc theo cung parabol y” = x + l

b) Ỉ de dọc theo cung của đường tròn H =I,Rez>0_ nối điểm -i với điểm Z

Định dạng
Số trang	54
Dung lượng	6,32 MB