Hàm một biến

Trường ĐHSP Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA: TOÁN  MAI THẢO LOAN TÊN ĐỀ TÀI: HÀM MỘT BIẾN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN VĂN HÙNG HÀ NỘI – 2012 GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng SVTH: Mai Thảo Loan - K34B Trường ĐHSP Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Sau thời gian miệt mài nghiên cứu hoàn thành khoá luận trước tiên cho em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô giáo tổ Giải tích – Khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội động viên giúp đỡ em suốt trình thực hoàn thành khoá luận Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn T.s Nguyễn Văn Hùng tạo điều kiện tốt bảo tận tình để em hoàn thành khoá luận tốt nghiệp Do thời gian kiến thức có hạn nên vấn đề trình bày khoá luận không tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy cô bạn sinh viên để khoá luận em hoàn thiện Một lần em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Mai Thảo Loan GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng SVTH: Mai Thảo Loan - K34B Trường ĐHSP Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp LỜI CAM ĐOAN Khoá luận tốt nghiệp em hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo T.s Nguyễn Văn Hùng với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu em kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với trân trọng biết ơn Em xin cam đoan kết nghiên cứu khoá luận tốt nghiệp kết nghiên cứu thân, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Mai Thảo Loan GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng SVTH: Mai Thảo Loan - K34B Trường ĐHSP Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN… …………………………………………………….… LỜI CAM ĐOAN……………………………………………………………….2 MỤC LỤC……………………………………………………………………… MỞ ĐẦU…………………………………………………… .… Lý chọn đề tài…………………………………………………………… Mục đích nghiên cứu……………………………………………………….….7 Đối tượng nghiên cứu………………………………………………………….7 Phương pháp nghiên cứu………………………………………………… Cấu trúc khóa luận…………………………………………………….… NỘI DUNG…………………………………………………………………… Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM MỘT BIẾN…………….9 1.1 Các khái niệm hàm biến………………………………… 1.1.1 Khái niệm biến số……………………………………………………….….9 1.1.2 Các biến số kinh tế……………………………………………………… 1.1.3 Khái niệm hàm số……………………………………………………… 10 1.1.4 Quan hệ hàm số biến số……………………………………… 11 1.1.5 Đồ thị hàm số……………………………………………………… 12 1.1.6 Khái niệm hàm ngược………………………………………………… 12 1.2 Một số hàm đặc biệt………………………………………………… … 14 1.2.1 Hàm số đơn điệu……………………………………………………….14 1.2.2 Hàm số bị chặn………………………………………………………… 14 1.2.3 Hàm số chẵn hàm số lẻ…………………………………………….….14 1.2.4 Hàm tuần hoàn………………………………………………………… 15 1.3 Các hàm số sơ cấp phép toán sơ cấp hàm số……15 1.3.1 Các hàm số sơ cấp bản……………………………………………… 15 1.3.2 Các phép toán sơ cấp hàm số……………………………… .16 GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng SVTH: Mai Thảo Loan - K34B Trường ĐHSP Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp 1.4 Một số mô hình hàm số phân tích kinh tế…………………….… 17 1.4.1 Hàm cung hàm cầu……………………………………………………17 1.4.2 Hàm sản xuất ngắn hạn………………………………………………… 18 1.4.3 Hàm doanh thu, hàm chi phí hàm lợi nhuận………………………….19 1.4.4 Hàm tiêu dùng hàm tiết kiệm……………………………………… 20 Chương GIỚI HẠN CỦA HÀM MỘT BIẾN…………………………….20 2.1 Khái niệm giới hạn hàm số biến số…………………………….20 2.1.1 Định nghĩa giới hạn hàm số…………………………………… … 20 2.1.2 Giới hạn phía……………………………………………………… 21 2.2 Giới hạn hàm số sơ cấp bản………………………………….22 2.2.1 Giới hạn điểm thuộc miền xác định…………………………… 22 2.2.2 Giới hạn đầu mút khoảng xác định giới hạn x → ∞… 22 2.3 Các định lý giới hạn………………………………………… 23 2.3.1 Tính chất hàm số có giới hạn hữu hạn……………………………….23 2.3.2 Các quy tắc tính giới hạn……………………………………………… 28 2.3.3 Các dạng vô định……………………………………………………… 30 2.4 Vô bé vô lớn……………………………………………… 31 2.4.1 Khái niệm vô bé……………………………………………………31 2.4.2 Bậc vô bé…………………………………………………….31 2.4.3 Khái niệm vô lớn………………………………………………… 33 2.4.4 Bậc vô lớn…………………………………………………… 34 2.5 Một số tập…………………………………………………………… 34 Chương TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN…………………… 38 3.1 Khái niệm hàm số liên tục……………………………………………… 38 3.1.1 Hàm số liên tục điểm………………………………………….…38 3.1.2 Hàm số liên tục miền………………………………………… 40 3.2 Các phép toán sơ cấp hàm số liên tục………………………41 3.3 Các tính chất hàm số liên tục……………………………… 43 3.3.1 Định lý giá trị trung gian…………………………………………… 43 GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng SVTH: Mai Thảo Loan - K34B Trường ĐHSP Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp 3.3.2 Tính bị chặn hàm số liên tục khoảng đóng…………… .44 3.3.3 Tính liên tục hàm số đơn điệu với miền giá trị khoảng… 45 3.3.4 Tính liên tục hàm ngược…………………………………………… 46 3.4 Một số tập…………………………………………………………… 46 Chương ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ………………………………………47 4.1 Khái niệm đạo hàm……………………………………………………….47 4.1.1 Khái niệm đạo hàm…………………………………………………… 47 4.1.2 Tính liên tục hàm số có đạo hàm……………………………….… 50 4.1.3 Đạo hàm độ dốc đường cong…………………………………… 50 4.2 Đạo hàm hàm số sơ cấp ……………………………… 51 4.3 Các quy tắc tính đạo hàm……………………………………………… 52 4.3.1 Đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương hàm số……………………… 52 4.3.2 Đạo hàm hàm hợp………………………………………………… 53 4.3.3 Đạo hàm biểu thức luỹ thừa mũ phương pháp logarit hoá……….54 4.4 Ứng dụng đạo hàm toán học………………………………….55 4.4.1 Tính giới hạn dạng vô định……………………………………… …55 4.4.2 Đạo hàm hướng biến thiên hàm số…………………………… 59 4.4.3 Đạo hàm cấp cao……………………………………………………… 61 4.5 Tìm điểm cực trị hàm số………………………………………63 4.5.1 Khái niệm cực trị địa phương………………………………………… 63 4.5.2 Điều kiện cần cực trị……………………………………………… 63 4.5.3 Bài toán cực trị toàn thể……………………………………………… 66 4.6 Liên hệ đạo hàm cấp hai tính lồi, lõm hàm số………… 67 4.6.1 Định nghĩa hàm số lồi hàm số lõm……………………….……… .67 4.6.2 Liên hệ với đạo hàm cấp hai………………………………………….….69 4.6.3 Điểm uốn hàm số……………………………………………….……70 4.7 Sử dụng đạo hàm phân tích kinh tế………………………………70 4.7.1 Ý nghĩa đạo hàm kinh tế học………………………… …… 70 4.7.2 Sự lựa chọn tối ưu kinh tế………………………………… …… 74 GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng SVTH: Mai Thảo Loan - K34B Trường ĐHSP Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp 4.8 Một số tập…………………………………………………………… 78 Chương VI PHÂN CỦA HÀM SỐ……………………………………….79 5.1 Khái niệm vi phân……………………………………………………… 80 5.2 Các quy tắc tính vi phân……………………………………………… 80 5.2.1 Vi phân tổng, hiệu, tích, thương hàm số………………………81 5.2.2 Tính bất biến biểu thức vi phân………………………………… .81 5.3 Các định lý hàm số khả vi………………………………… 81 5.4 Vi phân cấp cao………………………………………………………… 84 5.4.1 Định nghĩa……………………………………………………………… 84 5.4.2 Công thức Taylor……………………………………………………… 85 5.5 Một số tập…………………………………………………………… 88 KẾT LUẬN…………………………………………………………………….89 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………….90 GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng SVTH: Mai Thảo Loan - K34B Trường ĐHSP Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp I MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Mọi vật xung quanh biến đổi theo thời gian Chúng ta nhận thấy điều qua chuyển động học vật thể: ô tô, máy bay,… thay đổi đại lượng vật lý: hàng hoá, lãi suất tiết kiệm Tất loại hình gán tên chung đại lượng hay hàm số, phụ thuộc vào đối số chẳng hạn thời gian Xem xét hàm số tức quan tâm đến giá trị, tính chất biến thiên Việc đặt nhu cầu khách quan cho người xã hội Do với hướng dẫn tận tình thầy giáo T.s Nguyễn Văn Hùng em chọn đề tài “ HÀM MỘT BIẾN ” để nghiên cứu luận văn tốt nghiệp MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu hàm biến NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Nghiên cứu số sở lý thuyết liên quan đến hàm biến: giới hạn, tính liên tục, đạo hàm vi phân đưa mô hình sử dụng toán học phân tích kinh tế PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Phương pháp đọc sách - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm CẤU TRÚC KHOÁ LUẬN Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khoá luận gồm Chương : Các khái niệm hàm biến Chương 2: Giới hạn hàm biến GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng SVTH: Mai Thảo Loan - K34B Trường ĐHSP Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp Chương 3: Tính liên tục hàm biến Chương 4: Đạo hàm hàm số Chương 5: Vi phân hàm số GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng SVTH: Mai Thảo Loan - K34B Trường ĐHSP Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp II NỘI DUNG Chương CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM MỘT BIẾN 1.1 Các khái niệm hàm biến 1.1.1 Khái niệm biến số Biến số ký hiệu mà ta gán cho số thuộc tập số X   cho trước (X  R) Tập hợp X gọi miền biến thiên (MBT) số thực x0  X gọi giá trị biến số Từ biến số gọi tắt biến Các biến số thường ký hiệu chữ cái: x, y, z, …trong toán học người ta thường xét biến số thay đổi giá trị cách liên tục với miền giá trị khoảng số Các khoảng số ký hiệu sau: Khoảng đóng (đoạn): (a; b] = x: a  x  b Khoảng mở : (a; b) = x: a < x < b Các khoảng nửa mở : [a; b) = x: a  x < b (a; b] = x: a < x  b Các khoảng vô hạn : (-; b] =x: x  b (-; b) = x: x < b [a; + ) = x: x  a (a; +) = x: x > a (-; +) = R 1.1.2 Các biến số kinh tế Trong lĩnh vực kinh tế người ta thường quan tâm đến đại lượng như: giá cả, lượng cung, lượng cầu, doanh thu,… Khi phân tích xu hướng thay đổi giá trị số GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng SVTH: Mai Thảo Loan - K34B Trường ĐHSP Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp Xét trường hợp doanh nghiệp cạnh tranh tiến hành sản xuất với hàm sản xuất ngắn hạn Q = f(L), điều kiện giá sản phẩm thị trường p giá lao động w Khi tổng lợi nhuận hàm số biến số L:  = pf(L) – wL – C0 (C0 chi phí cố định); Bài toán đặt ra: chọn L để  đạt cực đại Điều kiện cần để thu lợi nhuận tối đa là:  ' = pf ' (L) – w =  p.MPPL = w Vậy điều kiện cần để đạt lợi nhuận tối đa là: giá trị tiền sản phẩm vật cận biên lao động giá lao động Tại điểm L0 mà điều kiện cần thoả mãn điều kiện đủ để đạt lợi nhuận tối đa là:  ' = pf ' (L0) <  f ' (L0) < Do Q ' = f ' (L) < tức điều kiện đủ đảm bảo Ví dụ 1: Giả sử doanh nghiệp cạnh tranh có hàm sản xuất ngắn hạn Q =50 L , giá sản phẩm $4 giá lao động $5 Điều kiện cần để đạt lợi nhuận tối đa là: 4.MPPL =  Điều kiện đủ thoả mãn : Q ' =  25 =  L = 400 L 12,5 < Để đạt lợi nhuận tối đa doanh L L nghiệp phải sử dụng 400 đơn vị lao động Ví dụ 2: Cho hàm tổng chi phí TC = 2Q2 – 5Q + 11 hàm tổng doanh thu TC = Q3 – 5,5Q2 + 150Q + 675, TR = 4350Q – 13Q2 a) Hãy tìm hàm chi phí bình quân, chi phí cận biên b) Hãy tìm hàm doanh thu bình quân, doanh thu cận biên GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng 78 SVTH: Mai Thảo Loan - K34B Trường ĐHSP Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp c) Hãy xác định mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa Giải: a) Ta có: Chi phí bình quân: AC  TC ( Q ) 675  Q  5, Q  150  Q Q Chi phí cận biên: MC  TC (Q)  3Q  11Q  150 TR ( Q )  4350  13Q Q Doanh thu bình quân: AR  b) Doanh thu cận biên: MR  TR(Q)  4350  26Q c) Điều kiện cần để lợi nhuận tối đa MC = MR  3Q2 – 11Q + 150 = 4350 – 26Q  3Q2 + 15Q – 4200 = Q  40  Q  35 Do Q > nên ta có Q = 35 Tại điểm Q = 35 ta có: TR  26; TC   199  TR  TC  Vậy mức sản lượng tối đa Q = 35 4.8 Một số tập 1) Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = ln  sin x  sin x d) y = ln  x2 e) y = arccos  x2 1 x b) y = arctan 1 x GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng (1  x)( x  3)3 ( x  2)3 ( x  4) 79 SVTH: Mai Thảo Loan - K34B Trường ĐHSP Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp x a2 x a  x  arcsin c) y = 2 a f) y = sin(lnx).cos(lnx) – lnx2 2) Xác định khoảng tăng, giảm hàm số: a) y = xln2x b) y = x2e-x 3) Tìm điểm cực trị hàm số: a) y = xe 3x b) y =  x 1 ( x  1) arctan x  x  c) y = 1  ( x  ) arcsin x  x  x  x 2 12 4) Xác địmh khoảng lồi, lõm điểm uốn hàm số: a) y = ln(1 + x2) b) y = ln x x c) y = earctanx 5) Cho biết tổng doanh thu nhà sản xuất độc quyền mức sản lượng Q TR = 500Q – 4Q2 Hãy tính hệ số co dãn theo giá cầu sản phẩm nhà sản xuất mức giá p = 300 giải thích ý nghĩa 6) Cho biết hàm lợi nhuận nhà sản xuất sau:    Q  14Q  60Q  54 Hãy chọn mức sản lượng tối ưu (cho lợi nhuận tối đa) 7) Hãy xác định mức sản lượng tối ưu nhà sản xuất, cho biết hàm doanh thu cận biên hàm chi phí cận biên sau: MR = 5900 – 20Q; MC = 6Q2 – 8Q + 140 GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng 80 SVTH: Mai Thảo Loan - K34B Trường ĐHSP Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp 8) Một nhà sản xuất tiêu thụ sản phẩm thị trường cạnh tranh với giá $20 Cho biết hàm sản xuất Q = 12 L2 giá thuê lao động $40 Hãy xác định mức sử dụng lao động cho lợi nhuận tối đa Chương VI PHÂN CỦA HÀM SỐ 5.1 Khái niệm vi phân Cho hàm số số f(x) xác định liên tục khoảng X  R f(x) liên tục điểm x0  X số gia: f(x0) = f(x0 + x) – f(x0) vô bé x  Định nghĩa: Hàm số f(x) gọi hàm khả vi điểm x0 tồn số thực k cho: f(x0) = k.x + 0(x) (5.1) Tích k.x biểu thức (5.1) gọi vi phân hàm số f(x) điểm x0 ký hiệu df(x0) df(x0) = k.x Ví dụ: Xét hàm số f(x) = x3 Tại điểm x0 ta có: f(x0) = (x0 + x)3 – x30 = 3x02.x + 30(x)2 + (x)3 = 3x02.x + 0(x) Theo định nghĩa f(x) hàm khả vi điểm x0 df(x0) = 3x02.x  Liên hệ với đạo hàm Định lý: Hàm số f(x) khả vi điểm x0 có đạo hàm điểm Khi đó, số k hệ thức (5.1) đạo hàm hàm số f(x) điểm x0, tức là: df(x0) = f ' (x0).x GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng 81 SVTH: Mai Thảo Loan - K34B Trường ĐHSP Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp  Biểu thức vi phân Theo định lý vi phân hàm số f(x) điểm x (nếu khả vi) tính theo công thức: df(x0) = f ' (x0).x (5.2) Nếu hàm số f(x) khả vi điểm thuộc khoảng X biểu thức (5.2) hàm đối số x, xác định khoảng X Áp dụng biểu thức cho f(x) = x ta có: dx = (x) ' x = x Vậy, vi phân biến độc lập x số gia biểu thức (5.2) người ta thường viết dx thay vào chỗ x Biểu thức vi phân hàm số y = f(x) thường viết dạng df(x) = f ' (x).dx dy = y ' xdx Ví dụ: (5.3) + d(x5 + 2x) = (x5 + 2x) ' dx = (5x4 + 2)dx + d(  x )     x dx =  xdx  x2 5.2 Các quy tắc tính vi phân 5.2.1 Vi phân tổng, hiệu, tích, thương hàm số Định lý: Nếu hàm số u = u(x) v = v(x) khả vi điểm x điểm ta có: 1, d(u  v) = du  dv; 2, d(ku) = kdu (k số); 3, d(uv) = vdu + udv; GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng 82 SVTH: Mai Thảo Loan - K34B Trường ĐHSP Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp  u  vdu  udv 4, d    (v  0) v2 v 5.2.2 Tính bất biến biểu thức vi phân Nếu f(x) hàm số khả vi biến độc lập x vi phân tính theo công thức (5.3) Xét x hàm số khả vi biến độc lập t : x = (t) Khi y hàm số biến độc lập t: y = f[(t)] Theo công thức tính vi phân quy tắc tính đạo hàm hàm hợp ta có: dy = y ' tdt = (y ' xx ' t)dt = y ' x(x ' tdt) = y ' xdx Vậy biểu thức vi phân (5.3) giữ nguyên dạng trường hợp x biến độc lập mà phụ thuộc vào biến độc lập khác Hay biểu thức vi phân (5.3) bất biến phép đổi biến số x = (t) 5.3 Các định lý hàm số khả vi  Định lý Fermat Định lý: Giả sử hàm số f(x) xác định khoảng X nhận giá trị lớn (giá trị nhỏ nhất) điểm c bên khoảng X (c không trùng với đầu mút khoảng X) Khi đó, c hàm số có đạo hàm f ' (c) =  Định lý Rolle Định lý: Giả sử hàm số f(x) thoả mãn điều kiện: Xác định liên tục [a; b]; Khả vi khoảng (a; b); f(a) = f(b) Ý nghĩa hình học: Nếu hai điểm A B có tung độ nối với đường cong liên tục y = f(x), có tiếp tuyến điểm GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng 83 SVTH: Mai Thảo Loan - K34B Trường ĐHSP Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp đường cong có điểm mà tiếp tuyến song song với trục hoành Ví dụ: Cho hàm số f(x) liên tục [a; b], có đạo hàm khoảng (a; b) f(a) = f(b) = Chứng minh với k số phương trình f ' (x) = kf(x) có nghiệm Giải: Đặt g(x) = f(x).e-kx, x thuộc (a; b) Với giả thiết hàm số f(x), hàm số g(x) thoả mãn điều kiện: - Liên tục [a; b]; - Có đạo hàm khoảng (a; b): g ' (x) = e-kx[f ' (x) – kf(x)], x  (a; b), - g(a) = g(b) = Theo định lý Rolle, tồn điểm c  (a; b) cho: g ' (c) = e-kc[f ' (c) - kf(c)] =  f ' (c) – kf(c) =  f ' (c) = kf(c) Vậy phương trình f ' (x) = kf(x) có nghiệm c (a; b)  Định lý Lagrange Định lý: Giả sử hàm số f(x) thoả mãn điều kiện: 1, Xác định liên tục [a; b]; Khả vi khoảng (a; b); Khi tồn điểm c  (a; b) cho: f '(c )  GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng f (b )  f ( a ) ba 84 (5.4) SVTH: Mai Thảo Loan - K34B Trường ĐHSP Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp Ý nghĩa hình học: Nếu hai điểm A B nối với đường cong liên tục y = f(x), có tiếp tuyến điểm đường cong có điểm mà tiếp tuyến song song với đường thẳng AB Nhận xét: Khi f(a) = f(b) đẳng thức (5.4) trở thành f ' (c) = Điều chứng tỏ định lý Rolle trường hợp riêng định lý Lagrange Công thức (5.4) viết dạng: f(b) – f(a) = f ' (c).(b – a) (5.5) c điểm nằm a b gọi công thức Lagrange hay công thức số gia hữu hạn Đặt a = x0, b = x0 + x, ta có: f(x0) = f ' (c).x (5.6) Công thức (5.6) nói số gia hàm số số gia đối số nhân với giá trị đạo hàm điểm trung gian x0 x0 + x Ví dụ 1: Chứng minh < a < b thì: ba b ba  ln  b a a Giải: Áp dụng định lý Lagrange cho hàm số f(x) = lnx [a; b] ta có: ln b  ln b  ln a  (b  a ) a c Do < a < c < b b – a > 0, ta có: 1 ba b ba ba     ln   b c a b a c a Ví dụ 2: Chứng minh hàm số f(x) khả vi không bị chặn khoảng hữu hạn (a; b) f ' (x) không bị chặn khoảng Giải: ta chứng minh phản chứng Giả sử f ' (x) bị chặn khoảng (a; b), tức tồn số K > cho: GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng 85 SVTH: Mai Thảo Loan - K34B Trường ĐHSP Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp f ( x)  K , x  (a; b); Lấy điểm x0 thuộc khoảng (a; b) cố định x0 Theo công thức Lagrange với x  (a, b) ta có: f(x) = f(x0) + f ' (c)(x – x0) Với c điểm x0 x, từ suy ra: f ( x)  f ( x0 )  f '(c) x  x0  f ( x0 )  K (b  a) điều mâu thuẫn với giả thiết f(x) không bị chặn khoảng (a; b)  Định lý Cauchy Định lý: Giả sử hàm số f(x) g(x) thoả mãn điều kiện sau: Xác định liên tục [a; b]; Khả vi khoảng (a; b); g ' (x)  với x  (a, b) Khi tồn điểm c  (a, b) cho: f '(c) f (b)  f (a )  g '(c) g (b)  g (a) (5.7) 5.4 Vi phân cấp cao 5.4.1 Định nghĩa: Vi phân cấp n hàm số y = f(x) vi phân vi phân cấp n – hàm số (ta gọi vi phân dy vi phân cấp 1) Vi phân cấp n hàm số y = f(x) ký hiệu dny dnf(x) dny = d(dn-1y) Ta có : d2y = d(dy) = d[y ' (x)dx] = dx.d[y ' (x)]; Bằng quy nạp ta chứng minh được: dny = y(n)(dx)n GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng 86 SVTH: Mai Thảo Loan - K34B Trường ĐHSP Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp Vi phân cấp cao tính bất biến biểu thức vi phân cấp 1, tức n > công thức x biến độc lập Ví dụ: Tính vi phân cấp hàm số y = ln(1 + x2) tai điểm x = 0, biến độc lập x thay đổi lượng x = 0,3 Giải: Ta tính đạo hàm cấp 2: 2x 2(1  x ) y'  , y ''   x2 (1  x ) Vậy với y ' (0) = 2, dx = x = 0,3 ta có: d2y(0) = y ' (0)(dx)2 = 2.(0,3)2 = 0,18 5.4.2 Công thức Taylor a) Công thức Taylor đa thức Cho đa thức p(x) có dạng: p(x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)2 + a3(x – x0)3 + …+ an(x- x0)n, (5.8) x0 số cho trước Từ (5.7) lấy đạo hàm liên tiếp đến cấp n ta có: p ' (x) = a1 + 2a2(x – x0) + 3a3(x – x0)2 +… +nan(x – x0)n-1, p ' (x) = 1.2.a2 + 2.3.a3(x – x0) +…+ (n-1).n.an(x – x0)n-2, ……………………………………………………… p(n) = 1.2….(n – 1).n.an Thay x = x0 ta xác định hệ số ak: p ''( x0 ) p ( n ) ( x0 ) p '( x0 ) a0 = p(x0), a1 = , a2 = , …, an = 2! n! 1! Vậy đa thức p(x) dạng: p '( x0 ) p ''( x0 ) p ( n ) ( x0 ) p ( x)  p ( x0 )  ( x  x0 )  ( x  x0 )   ( x  x0 ) n 1! 2! n! GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng 87 (5.9) SVTH: Mai Thảo Loan - K34B Trường ĐHSP Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp Công thức (5.8) gọi công thức khai triển Taylor đa thức p(x) Trường hợp x0 = công thức (5.8) có dạng: p '( x0 ) p ''( x0 ) p ( n ) ( x0 ) n p ( x)  p ( x0 )  x x   x 1! 2! n! b) Công thức Taylor hàm số Cho hàm số f(x) xác định khoảng (a; b) có đạo hàm cấp n điểm x0  (a; b) Với hàm số f(x) ta lập đa thức bậc n: p ( x)  f ( x0 )  f '( x0 ) f ''( x0 ) f ( n ) ( x0 ) ( x  x0 )  ( x  x0 )   ( x  x0 ) n 1! 2! n! Từ ta có: p(x0) = f(x0), p ' (x0) = f ' (x0), …., p(n)(x0) = f(n)(x0) Vậy f(x) đa thức bậc n f(x)  g(x) Trường hợp f(x) không đồng p(x) Đặt r(x) = f(x) – p(x), ta có: f '( x0 ) f ''( x0 ) f ( n ) ( x0 ) f ( x)  f ( x0 )  ( x  x0 )  ( x  x0 )   ( x  x0 ) n  r ( x) 1! 2! n! (5.10) Công thức (5.9) gọi công thức khai triển Taylor hàm số f(x) Hàm số r(x) gọi phần dư công thức khai triển (5.9) Trườnghợp x0 = công thức (5.9) có dạng: f '(0) f ''(0) f ( n ) (0) n f ( x)  f (0)  x x   x  r ( x) 1! 2! n! (5.11) Công thức (5.10) gọi công thức Maclaurin c) Các biểu thức phần dư f '( x0 ) f ''( x0 ) f ( n ) ( x0 ) f ( x)  f ( x0 )  ( x  x0 )  ( x  x0 )   ( x  x0 ) n  1! 2! n! (5.12) n 0[( x  x0 ) ] GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng 88 SVTH: Mai Thảo Loan - K34B Trường ĐHSP Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp Công thức Taylor với phần dư dạng Peano với r(x) = 0[(x – x0)n] phần dư dạng Peano Trường hợp x0 = ta có: f '(0) f ''(0) f ( n ) (0) n f ( x)  f (0)  x x   x  0( x n ) 1! 2! n! (5.13) Công thức khai triển Maclaurin với phần dư dạng Peano d) Khai triển số hàm đơn giản  Với f(x) = ex ta có: f(k)(x) = ek k  N f(0) = f ' (0) = f ' (0) =… = f(n)(0) = Thay giá trị vào (5.11) ta công thức khai triển hàm số f(x) = ex theo luỹ thừa x, với phần dư dạng Peano: ex   x x2 xn     0( x n ) 1! 2! n!  Với f(x) =sinx ta có: f ( k ) ( x)  sin( x  (k ) f(0) = 0, f (0)  sin( k ), k  N ; 0, k  2n k ) n 1 (1) , k  2n  Thay giá trị vào (5.11) ta công thức khai triển x x3 x5 x n 1 n 1  0( x n 1 ) sinx =     (1) 1! 3! 5! (2n  1)!  Với f(x) =cosx ta có: f ( k ) ( x)  cos( x  GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng 89 k ), k  N ; SVTH: Mai Thảo Loan - K34B Trường ĐHSP Hà Nội (k ) f(0) = 0, f (0)  cos( Khoá luận tốt nghiệp 0, k  2n  k ) n (1) , k  2n Thay giá trị vào (5.11) ta công thức khai triển 2n x x2 x4 n x  0( x n ) cosx =     (1) 1! 2! 4! (2n)!  Với f(x) = ln(1+x) ta có f ( k ) ( x)  ( 1) k 1 ( k  1)! , k  N (1  x ) k f(0) = 0, f(k)(0) = (- 1)k-1(k – 1)! Thay giá trị vào (5.11) ta công thức khai triển n x2 x3 n 1 x  0( x n ) ln(1+x) = x     (1) n 5.5 Một số tập 1) Lập biểu thức vi phân cấp hàm số y  ln( x  x  4) 2) Lập biếu thức vi phân cấp hàm số y = arctanx 3) Khai triển hàm số f(x) = x theo công thức Taylor đến luỹ thừa bậc x – 1, với phần dư dạng Peano 4) Khai triển hàm số f(x) = esinx theo công thức Maclaurin đến luỹ thừa bậc 3, với phần dư Peano KẾT LUẬN GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng 90 SVTH: Mai Thảo Loan - K34B Trường ĐHSP Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp Trong trình tìm hiểu, nghiên cứu khoá luận em bước đầu làm quen với cách thức làm việc khoa học, hiệu Qua đó, em củng cố thêm kiến thức Giải tích đồng thời thấy phong phú , lý thú toán học Trong khoá luận kiến thức bổ trợ hàm biến, liên tục, giới hạn, đạo hàm vi phân em đưa thêm lý thuyết số toán kinh tế Hy vọng tài liệu góp chút cho bạn sinh viên quan tâm đến Giải tích nói riêng toán học nói chung Qua em xin bày tỏ cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo T.s Nguyễn Văn Hùng người trực tiếp hướng dẫn giúp đỡ em hoàn thành khoá luận tốt nghiệp đồng thời em xin trân trọng cảm ơn thầy cô giáo khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khoá luận tốt nghiệp Do bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học chắn không tránh khỏi thiếu sót Vậy, em kính mong thầy cô bạn sinh viên đóng góp ý kiến, trao đổi để khoá luận hoàn thiện GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng 91 SVTH: Mai Thảo Loan - K34B Trường ĐHSP Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Huy Hoàng (2011), Hướng dẫn giải tập toán cao cấp cho nhà kinh tế (phần II: Giải tích toán học), NXB Thống Kê Nguyễn Đình Trí (2007), Toán cao cấp - Tập hai (Phép tính giải tích biến số), NXB Giáo Dục Lê Đình Thúy (2010), Toán cao cấp cho nhà kinh tế (phần II: Giải tích toán học), NXB Đại Học Kinh Tế Quốc Dân Trần Đức Long – Nguyễn Đình Sang – Hoàng Quốc Toàn (2001), Giáo trình giải tích – Tập 1, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng 92 SVTH: Mai Thảo Loan - K34B [...]... nhiều hơn, do đó hàm tiêu dùng là hàm đồng biến Hàm tiết kiệm là hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của biến tiết kiệm S (Saving) vào biến thu nhập: S = S(Y) Chương 2 GIỚI HẠN CỦA HÀM MỘT BIẾN 2.1 Khái niệm giới hạn của hàm số một biến số 2.1.1 Định nghĩa giới hạn của hàm số  Nếu với mọi dãy số xn có giới hạn bằng a, dãy giá trị tương ứng của hàm số, tức là dãy số yn = f(xn), luôn luôn có cùng một giới hạn... g(x) Hàm số y = g(x) = f[(x)] đặt tương ứng mỗi giá trị của biến số x với một giá trị duy nhất của biến số y theo quy tắc trên được gọi là hàm hợp của các hàm số y = f(u) và u = (x) Ví dụ: Hàm số y = cos5x là hàm hợp của hai hàm số y = u5 và u = sinx Ta cũng có thể nói g(x) = cos5x là hàm hợp của hai hàm số f(x) = x5 và (x) = sinx 1.4 Một số mô hình hàm số trong phân tích kinh tế 1.4.1 Hàm cung và hàm. .. một biến số này vào một biến số khác thường được biểu diễn dưới dạng hàm số Cho hai biến số x và y với miền biến thiên là các tập hợp số thực X và Y, trong đó biến x có thể nhận giá trị tuỳ ý trong miền biến thiên X của nó Ta gọi x là biến độc lập hay đối số Định nghĩa: Ta nói biến số y phụ thuộc hàm số vào biến số x hay biến số y là hàm số của biến số x, khi và chỉ khi tồn tại một quy tắc hoặc quy luật... luật f sao cho mỗi giá trị của biến số x trong miền biến thiên X của nó được đặt tương ứng với một và chỉ một giá trị của biến số y Theo định nghĩa thì quy tắc f chính là một hàm số xác định trên miền biến thiên X của biến x và giá trị của hàm số f tại điểm x chính là giá trị tương ứng của biến số y: x  y = f(x) Để nói một cách khái quát rằng y là hàm số của x (y phụ thuộc hàm số vào x) ta có thể viết:... niệm hàm số Định nghĩa: Một hàm số f xác định trên một tập hợp X  R là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x  X với một và chỉ một số thực y Tập hợp X được gọi là miền xác định (MXĐ) của hàm số f Số y tương ứng với x theo quy tắc f gọi là giá trị của hàm số f tại điểm x Giá trị của hàm số f tại điểm x được ký hiệu là f(x) Miền giá trị của một hàm số f là tập hợp tất cả các số thực là giá trị của hàm. .. : y = f(x)  x=f -1 (y) (x  X, y  Y) Khi đó ta gọi hàm số x = f -1(y) là hàm ngược của hàm số y = f(x) hay hàm số f -1 (xác định trên miền Y = f(X)) là hàm ngược của hàm số f (xác định trên miền X) Ví dụ:  Hàm số y = x5 với miền xác định X = R có hàm ngược là hàm số x = y = x5  x = 5 y 5 y: (x  R, y  R)  Hàm ngược của hàm số mũ y = ax là hàm logarit x = logay: y = ax  x = logay ( x  R, y... Một số hàm đặc biệt 1.2.1 Hàm số đơn điệu  Hàm đồng biến Hàm số f(x) gọi là đơn điệu tăng (đồng biến) trên một miền X  R nếu với mọi cặp điểm x1, x2 thuộc X, nếu x1 < x2 thì f(x1) < f(x2). x1, x2  X  Hàm nghịch biến Hàm số f(x) gọi là đơn điệu giảm (nghịch biến) trên một miền X  R nếu với mọi cặp điểm x1, x2 thuộc X, nếu x1 < x2 thì f(x1) < f(x2)  x1, x2  X 1.2.2 Hàm số bị chặn GVHD: Ts Nguyễn... hàm số f(x) trong miền X  Hàm số f(x) được gọi là hàm bị chặn dưới trong một miền X nếu tồn tại hằng số m sao cho: f(x) ≥ m, x  X Hằng số m được gọi là cận dưới của hàm số f(x) trong miền X 1.2.3 Hàm số chẵn và hàm số lẻ Hàm số f(x) xác định trên miền X được gọi là hàm chẵn nếu với mọi x  X ta luôn có -x  X và f(-x) = f(x) Hàm số f(x) xác định trên miền X được gọi là hàm lẻ nếu với mọi x  X ta... định nghĩa hàm số trên đây tương đương với nhau Khi cho một hàm số f với miền xác định là tập hợp X, các cách diễn đạt sau đây có ý nghĩa như nhau:  Cho hàm số f xác định trên tập X (X là một tập số cho trước);  Cho hàm số f(x), x  X;  Cho hàm số y = f(x), x  X; 1.1.5 Đồ thị của hàm số Định nghĩa: Đồ thị của hàm số f là tập hợp tất cả các điểm M(x, y) của mặt phẳng toạ độ có hoành độ x là một số thực... biểu diễn như vậy tương ứng với việc đảo ngược hàm cung và hàm cầu Trong kinh tế học người ta gọi hàm ngược của hàm Qs = S(p) là hàm cung và hàm ngược của hàm Qd = D(p) là hàm cầu: Qs = S(p)  p = S 1 (Qs); 1 Qd = D(p)  p = S (Qd) GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng 18 SVTH: Mai Thảo Loan - K34B Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khoá luận tốt nghiệp Đồ thị của hàm cung và hàm cầu có dạng như hình vẽ: ( H- 2) Điểm cân bằng ... hơn, hàm tiêu dùng hàm đồng biến Hàm tiết kiệm hàm số biểu diễn phụ thuộc biến tiết kiệm S (Saving) vào biến thu nhập: S = S(Y) Chương GIỚI HẠN CỦA HÀM MỘT BIẾN 2.1 Khái niệm giới hạn hàm số biến. .. gọi hàm số x = f -1(y) hàm ngược hàm số y = f(x) hay hàm số f -1 (xác định miền Y = f(X)) hàm ngược hàm số f (xác định miền X) Ví dụ:  Hàm số y = x5 với miền xác định X = R có hàm ngược hàm. .. trị biến số y theo quy tắc gọi hàm hợp hàm số y = f(u) u = (x) Ví dụ: Hàm số y = cos5x hàm hợp hai hàm số y = u5 u = sinx Ta nói g(x) = cos5x hàm hợp hai hàm số f(x) = x5 (x) = sinx 1.4 Một