Hàm nhiều biến

Khóa luận tốt nghiệp đại học Vũ Thị Hiền K34C SP Toán LờI CảM ƠN Để hoàn thành khóa luận trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô giáo tổ Giải tích - khoa Toán- trường ĐHSP Hà Nội động viên giúp đỡ em suốt trình làm khóa luận Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hùng tạo điều kiện tốt bảo tận tình để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Do thời gian kiến thức có hạn nên vấn đề trình bày khóa luận không tránh khỏi thiếu xót Vì vậy, em mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy cô bạn sinh viên Một lần em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Vũ Thị Hiền Hàm nhiều biến Khóa luận tốt nghiệp đại học Vũ Thị Hiền K34C SP Toán Lời cam đoan Khóa luận tốt nghiệp em hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo TS Nguyễn Văn Hùng với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu, em đã kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với trân trọng biết ơn Em xin cam đoan kết khóa luận kết nghiên cứu thân, không trùng kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm! Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Vũ Thị Hiền Hàm nhiều biến Khóa luận tốt nghiệp đại học Vũ Thị Hiền K34C SP Toán Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Lời mở đầu Chương 1: Các khái niệm 1.1 H àm số biến số 1.2 H àm số n biến số 10 1.3 P hép hợp hàm 13 1.4 M ột số hàm số phân tích kinh tế 14 Chương 2: Giới hạn tính liên tục 23 2.1 Giới hạn hàm số biến số 23 2.2 Giới hạn hàm số n biến số 25 2.3 Hàm số liên tục 27 Chương 3: Đạo hàm riêng vi phân 32 3.1 Đạo hàm riêng 32 3.2 Vi phân toàn phần 33 3.3 Đạo hàm hàm số hợp 35 3.4 Đạo hàm vi phân cấp cao 37 3.5 Hàm số 40 3.6 Công thức Taylor 41 3.7 ứng dụng kinh tế 42 Chương 4: Cực trị hàm nhiều biến 52 4.1 Cực trị điều kiện ràng buộc 52 4.2 Cực trị có điều kiện ràng buộc 57 Hàm nhiều biến Khóa luận tốt nghiệp đại học Vũ Thị Hiền K34C SP Toán 4.3 Các toán lựa chọn người tiêu dùng 68 4.4 Các toán lựa chọn nhà sản xuất 73 Kết luận 96 Tài liệu tham khảo 97 Lời mở đầu Toán học nói chung toán giải tích nói riêng có ứng dụng đa dạng nhiều nghành khoa học khác nhau, đặc biệt khoa học kinh tế Các nghiên cứu phân tích kinh tế mặt định lượng thường tiến hành thông qua mô hình kinh tế toán (dùng toán học để mô tả, phân tích mối quan hệ, trình hay đối tượng kinh tế) Vì vậy, nhà nghiên cứu kinh tế ngày có nhu cầu sử dụng nhiều công cụ toán học, đặc biệt công cụ toán giải tích (như hàm số, đạo hàm, vi phân) phương pháp tối ưu hóa Đề tài khóa luận đề cập tới kiến thức toán giải tích hàm số nhiều biến số, toán ứng dụng kinh tế Việc tìm hiểu kiến thức hoàn toàn cần thiết hữu ích, giúp hiểu sâu kiến thức hàm số nhiều biến số ứng dụng giảng dạy toán cho đối tượng kinh tế Mục tiêu khóa luận tìm hiểu trình bày khái quát kiến thức hàm số nhiều biến số cần dùng nghiên cứu kinh tế Các nội dung đề cập tới khóa luận trình bày không hình thức mà gần gũi với tư kinh tế với nhiều ví dụ tập minh họa cụ thể, giữ tính xác, chặt chẽ mặt toán học Nội dung khóa luận chia làm chương: Chương 1: Các khái niệm Chương 2: Giới hạn tính liên tục Chương 3: Đạo hàm riêng vi phân Hàm nhiều biến Khóa luận tốt nghiệp đại học Vũ Thị Hiền K34C SP Toán Chương 4: Cực trị hàm số nhiều biến số ChƯơng kháI niệm 1.1 Hàm hai biến số 1.1.1 Khái niệm hàm số hai biến Khái niệm hàm số biến phản ánh phụ thuộc hàm số biến số vào biến khác: giá trị biến độc lập đặt tương ứng với giá trị xác định biến phụ thuộc.Trong thực tế, nhiều biến số không phụ thuộc vào mà phụ thuộc đồng thời vào nhiều biến số khác Chẳng hạn, sản lượng, tức số lượng sản phẩm đầu nhà sản xuất, phụ thuộc vào mức sử dụng yếu tố đầu vào (gọi yếu tố sản xuất) lao động, vốn v.v Khái niệm hàm số n biến số phản ánh phụ thuộc hàm số biến số vào n biến số khác Để cho đơn giản, trước hết ta đề cập đến trường hợp Như ta biết, việc thiết lập hệ tọa độ Cho cặp biến có thự tự x, y mặt phẳng cho phép ta đồng cặp số thực có thứ tự x0 , y0 với điểm M x0 , y0 mặt phẳng.Mặt phẳng tọa độ gọi không gian hai chiều kí hiệu R2 Theo quan điểm này, cặp biến số x, y xem biến điểm M x, y với miền biến thiên tập hợp D không gian R2 khái niệm hàm hai biến định nghĩa ngôn ngữ hình thức toán học sau: Hàm nhiều biến Khóa luận tốt nghiệp đại học Vũ Thị Hiền K34C SP Toán Định nghĩa: Một hàm số f biến điểm M x, y , với miền biến thiên D , quy tắc (quy luật) đặt tương ứng điểm M x, y D với số thực w Miền D gọi miền xác định hàm số f , số thực w tương ứng với điểm M x, y gọi giá trị hàm số f điểm M x, y kí f M , f x, y Một hàm số biến điểm hai chiều M x, y gọi hàm số hai biến số x y Trong lĩnh vực khoa học người ta thờng thiết lập phụ thuộc biến số w vào hai biến số x y dạng hàm hai biến Chẳng hạn, hình học diện tích S tam giác phụ thuộc vào cạnh đáy a đường cao h theo quy luật hàm số: S a h Để nói biến số w hàm số hai biến x y ta dùng kí hiệu w f x, y , f quy tắc cho phép ta xác định giá trị tương ứng w biết giá trị x y Trong trường hợp người ta nói biến số w phụ thuộc hàm số vào biến số x y Các biến x, y gọi biến số độc lập, hay đối số hàm số Trong toán học, kí hiệu biến số mang ý nghĩa hình thức Khi nói đến hàm số khác người ta dùng kí hiệu biến số nhau, phân biệt kí hiệu biểu diễn quy luật hàm số: w f x, y , w g x, y , w h x, y Khi cho hàm hai biến, cách diễn đạt sau có nghĩa nhau: Hàm số f xác định miền D R Hàm số f M , M D Hàm số f x, y , x, y D Hàm số w f x, y , x, y D Hàm nhiều biến Khóa luận tốt nghiệp đại học Vũ Thị Hiền K34C SP Toán 1.1.2 Miền xác định hàm số dạng biểu thức Miền xác định (MXĐ) hàm hai biến w f x, y miền biến thiên biến điểm M x, y Nếu biểu diễn hình học tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ Về nguyên tắc, cho hàm số ta phải cho trước miền xác định D rõ quy tắc f đặt tương ứng điểm M x, y D với số thực w định Thông thường hàm số hai biến x, y cho dạng biểu thức f x, y Mỗi biểu thức hai biến số x y có MXĐ tự nhiên Miền xác định tự nhiên biểu thức f x, y tập hợp tất cặp số thực x0 , y0 mà biểu thức ta gán x x0 y y0 Hàm số cho dạng biểu thức hai biến f x, y đặt tương ứng điểm M x0 , y0 thuộc MXĐ tự nhiên biểu thức với giá trị tính toán gán x x0 , y y0 Nói chung MXĐ hàm hai biến cho dạng biểu thức tập D MXĐ tự nhiên biểu thức (tùy theo ý nghĩa biến số) Tuy nhiên, toán học người ta thường xét biểu thức hàm số toàn MXĐ tự nhiên Ví dụ: MXĐ tự nhiên hàm số w y x tập hợp tất điểm M x, y thỏa mãn điều kiện y x Nếu biểu diễn hình học nửa mặt phẳng phía đường thẳng y x , kể đường thẳng Y Y=x Y Hàm nhiều biến X Khóa luận tốt nghiệp đại học Vũ Thị Hiền K34C SP Toán MXĐ tự nhiên hàm số w ln x y tập hợp tất điểm M x, y thỏa mãn điều kiện x y Đó hình tròn có tâm gốc tọa độ có bán kính r = ( không kể điểm đường tròn) Y X -2 O 1.1.3 Miền giá trị Tương tự trường hợp hàm biến, ta dùng kí hiệu f x0 , y0 f M để giá trị tương ứng hàm hai biến w f x, y điểm M x0 , y0 thuộc MXĐ Ví dụ: Với f ( x, y ) x y , x, y R , ta có: f 0,0 0, f 2, 5, f (3,4) Định nghĩa: Miền giá trị (MGT) hàm số f x, y tập hợp tất giá trị hàm số điểm M x, y thay đổi miền xác định Hàm nhiều biến Khóa luận tốt nghiệp đại học Vũ Thị Hiền K34C SP Toán Ví dụ: Miền giá trị hàm số f ( x, y ) x y , x, y R khoảng 0; 1.1.4 Đồ thị hàm hai biến Để biểu diễn hình học quan hệ hàm số w f x, y , không gian ba chiều ta dùng hệ tọa độ vuông góc với trục hoành Ox biểu diễn biến số x, trục tung Oy biểu diễn biến số y trục cao Ow biểu diễn biến phụ thuộc w Miền xác địnhDcủa hàm số w f x, y tập hợp điểm mặt phẳng (Oxy) Theo quy tắc f, điểm M x, y cho tương ứng số w giá trị hàm số điểm M x, y theo ta có tương ứng điểm P x, y , w không gian với cao độbằng w Định nghĩa: Đồ thị hàm số w f x, y tập hợp tất điểm P x, y , w không gian, M x, y điểm thuộc miền xác định D w giá trị hàm số điểm Thông thường, đồ thị hàm hai biến mặt không gian chiều Ví dụ: Đồ thị hàm số w x y nửa mặt cầu có tâm gốc tọa độ bán kính R = 1.1.5 Đường mức Cho w f x, y hàm số xác định miền D w0 giá trị cố định hàm số Định nghĩa: Đường mức hàm số w f x, y tập hợp tất điểm M x, y thỏa mãn điều kiện: Hàm nhiều biến Khóa luận tốt nghiệp đại học Vũ Thị Hiền K34C SP Toán f x, y w0 Nói cách khác, đường mức hàm hai biến w f x, y tập hợp tất điểm mặt phẳng (Oxy) mà điểm M x, y biến thiên tập hợp đó, hàm số nhận giá trị w0 cố định Thông thường, đường mức hàm hai biến đường mặt phẳng Mỗi giá trị w0 cố định cho tương ứng đường mức Ví dụ: Các đường mức hàm số w x y đường thẳng x y w0 , với w0 số y x O 1.2 HM S n BIN S 1.2.1 Không gian điểm n chiều Theo phương pháp tọa độ, điểm mặt phẳng đồng với hai số thực có thự tự ( x, y ) điểm không gian ba chiều đồng với ba số thực có thự tự x, y, z Trên mặt phẳng (trong không gian hai chiều) khoảng cách hai điểm M x, y M x, y xác định theo công thức: d ( M , M ') ( x ' x) ( y ' y ) Hàm nhiều biến 10 Khóa luận tốt nghiệp đại học Vũ Thị Hiền K34C SP Toán Trường hợp không phép phân biệt giá, ta giải toán cực đại hóa hàm tổng lợi nhuận với điều kiện ràng buộc p1 p2 , tức là: 210 10Q1 125 2,5Q2 10Q1 2,5Q2 85 Hàm số Lagrange là: L 200Q1 115Q2 10Q12 2,5Q22 2000 (85 10Q1 2,5Q2 ) Điều kiện cần là: Q1 13,4 L1 200 20Q1 10 L2 115 5Q1 2,5 Q2 19,6 L 85 10Q 2,5Q 6,8 Điều kiện đủ cực đại có điều kiện trường hợp thỏa mãn với Q1 , Q2 Vậy trường hợp không phép phân biệt giá nhà sản xuất thu lợi nhuận tối đa bán 13,4 sản phẩm thị trường thứ 19,6 sản phẩm thị trường thứ hai Giá tối ưu p1 p2 76 , lợi nhuận thu 178 Bài tập chương Bài 1: Tìm cực trị hàm số w x y z xy y 16 z 20, với x, y, z R3 Giải: Ta có: w w x y , wy 10 y x x y w wz z 16 z wx Ta có: Hàm nhiều biến 84 Khóa luận tốt nghiệp đại học Vũ Thị Hiền K34C SP Toán wxx 2, wyy 10, wzz 4, wxy wyx 4, wyz wzy wxz wzx Giải hệ phương trình: x y 10 y x z 16 Hệ có nghiệm: x 6, y 3, z Ta có H 10 0 Khi đó: D1 0, D2 4 10 0, D3 H 16 Vậy x 6, y 3,z điểm cực tiểu hàm số cho wmin w 6,3,4 21 Bài 2: Tìm điểm cực trị hàm số sau: a ) w 10 x y xy 24 x b)w x y z xy 10 y 12 z Bài 3:Tìm điểm cực trị hàm số u x 15 y 28 (1) x y 107 (2) với điều kiện Giải: Hàm số Lagrange: L x 15 y 28 107 x y Giải hệ phương trình: Hàm nhiều biến 85 Khóa luận tốt nghiệp đại học Vũ Thị Hiền K34C SP Toán L x x x 2y (3) Ly 15 y 2 x y 107 x y 107 Từ phương trình thứ (3) ta có, y 5x Thay vào phương trình thứ hai được: x 4; Hàm số Lagrange có điểm dừng: ( x 4, y 5, 0,5) ( x 4, y 5, 0,5) Ta có g x y Khi đó: L11 Lxx , L12 Lxy 0, L21 Lyx 0, L22 Lyy g1 g x x, g g y y Ta có: 4x D x 6y 6y 144 y 96 x (144 y 96 x ) Nhận thấy 144 y 96 x 0, x, y Nên dấu D theo dấu Do D điểm (x 4, y 5, 0,5) D điểm (x 4, y 5, 0,5) Vậy hàm số (1), với điều kiện (2) có hai điểm cực trị: Điểm cực đại: x 4, y Điểm cực tiểu: x 4, y Bài 4: Tìm cực trị hàm số u x 0,4 y 0,8 Với điều kiện Hàm nhiều biến 86 Khóa luận tốt nghiệp đại học Vũ Thị Hiền K34C SP Toán x y 240 Giải: Hàm số Lagrange: L x 0,4 y 0,8 (240 x y ) Giải hệ phương trình: L 0,4 x 0,6 y 0,8 0,4 y 0,8 0, x 0,4 x 0,4 0,2 x 0,6 y 0,2 Ly 0,8 x y x y 240 x y 240 Từ phương trình thứ ta có, y x Thay vào phương trình thứ hai được: x 16 0,4 hàm Lagrange có điểm dừng: x 16, y 80, 0,4 16 80 0,2 Ta có g x y Khi đó: L11 Lxx 0,24 x 1,6 y 0,8 , L12 Lxy 0,32 x 0,6 y 0,2 L21 Lyx , L22 Lyy 0,16 x 0,4 y 1,2 g1 g x 5, g g y Khi x 16, y 80 ta có: L11 0; L12 0; L22 0 Nên D L11 L21 L12 20 L12 L11 25 L22 L22 Vậy hàm số u x 0,4 y 0,8 , với điều kiện x y 240 đạt giá trị cực đại điểm: x 16, y 80 Bài 5: Tìm cực trị hàm số w 3x 5xy với điều kiện: Hàm nhiều biến 87 Khóa luận tốt nghiệp đại học Vũ Thị Hiền K34C SP Toán x y 16 Bài 6: Tìm cực trị hàm số w x y z với điều kiện: x y z Bài 7:Một người tiêu dùng có thu nhập hàng tháng 200.000 đồng để mua hàng hóa X Y Giá hàng hóa x 4000 đồng, Y 2000 đồng a) Giả sử hàm lợi ích người tiêu dùng U X Y Người nên kết hợp X , Y để tối đa hóa lợi ích b) Cửa hàng có khuyến đặc biệt Nếu mua 20 đơn vị hàng hóa Y với giá 2000 đồng 10 đơn vị hàng hóa không tiền Điều áp dụng cho 20 sản phẩm Y đầu tiên, đơn vị sản phẩm sau phải mua với giá 2000 đồng Hỏi phương trình ngân sách nào? Giải: a) Để tối đa hóa lợi ích ta có: MU x MU y mà U X Y px py Do ta có Suy lợi ích cận biên tính người chi mua X Y , nên kết hợp X , Y thỏa mãn đường ngân sách tối đa hóa lợi ích b) Phương trình đường ngân sách cũ là: 4000 x 2000 y 200000 x y 100 y 100 x Phương trình đường ngân sách : y 10 100 x 110 x Hàm nhiều biến 88 Khóa luận tốt nghiệp đại học Vũ Thị Hiền K34C SP Toán Bài 8:Cho biết hàm lợi ích U x1 x2 , x1 lượng hàng hóa A, x2 lượng hàng hóa B Hãy chọn túi hàng lợi ích tối đa điều kiện giá hàng hóa A $ 5, giá hàng hóa B $ 20, ngân sách tiêu dùng là $ 185 Giải: Ta có: p1 5, p2 20, m 185 U1 x2 ,U x1 Khi ta có: U1 U x2 x1 x 20 x2 15 x1 17 20 p1 p2 x 20 x 185 x2 p x p x m x1 20 x2 185 1 2 Vậy x1 17, x2 túi hàng lợi ích tối đa Bài 9: Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng: U x1 x2 x1 x2 Trong điều kiện hàng hóa thứ bán với giá $ 2, hàng hóa thứ hai bán với giá $ 5, thu nhập dành cho tiêu dùng $ 51, xác định lượng cầu mặt hàng người tiêu dùng tối đa hóa lợi ích Giải: Ta có: p1 2, p2 5, m 51 U1 x2 1,U x1 Khi ta có: U1 U x2 x1 x1 x2 x 13 p1 p2 x1 x2 51 x2 p x p x m x1 x2 51 1 2 Vậy x1 13, x2 túi hàng lợi ích tối đa Hàm nhiều biến 89 Khóa luận tốt nghiệp đại học Vũ Thị Hiền K34C SP Toán Bài 10: Cho hàm lợi ích tiêu dùng: U x10,6 x20,25 Trong điều kiện hàng hóa thứ bán với giá $ 8, hàng hóa thứ hai bán với giá $ 5, thu nhập dành cho tiêu dùng $ 680, xác định lượng cầu mặt hàng người tiêu dùng tối đa hóa lợi ích Giải: Ta có: p1 8, p2 5, m 680 U1 0,6 x10,4 x20,25 ,U 0,25 x10,6 x20,75 Khi ta có: U1 U 0,6 x10,4 x20,25 0,25 x10,6 x20,75 x 3x2 x 60 p1 p2 x1 x2 680 x2 40 p x p x m x x 680 1 2 Vậy x1 60, x2 40 túi hàng lợi ích tối đa Bài 11: Lập hàm cầu Mashall người tiêu dùng, cho biết hàm lợi ích:U x1 x2 x1 Giải: Ta có U x1 x2 x1 phương trình ràng buộc ngân sách p1 x1 p2 x2 m Mặt khác, U1 x2 3,U x1 Khi có: U1 U x2 x1 x p p2 x1 p1 p2 p1 2 p1 p2 p1 x1 p2 x2 m p x p x m p x p x m 1 1 2 2 m p2 x1 p x m p2 m 2 p2 p2 Hàm nhiều biến 90 Khóa luận tốt nghiệp đại học Vũ Thị Hiền K34C SP Toán m p2 m Vậy x1 , x2 hàm cầu Mashall hàng hóa p p Bài 12: Một doanh nghiệp có hàng sản xuất: Q K 0,3 L0,5 Giả sử giá thuê tư $ 6, giá thuê lao động $ doanh nghiệp tiến hành sản xuất ngân sách cố định $ 4800 Hãy cho biết doang nghiệp sử dụng đơn vị tư đơn vị lao động thu sản lượng tối đa? Giải: Ta có: Q K 0,3 L0,5 wK 6, wL 2, B 4800 QK 0,6 K 0,7 L0,5 , QL K 0,3 L0,5 Để thu sản lượng tối đa điều kiện cần: QK QL 0,6 K 0,7 L0,5 K 0,3 L0,5 1,2 K L wK wL K L 4800 w K w L B K L 4800 K L K 300 L 1500 Điều kiện đủ: Ta có QKK 0,42 K 1,7 L0,5 , QLL 0,5 K 0,3 L1,5 QKL 0,3K 0,7 L0,5 , QK 0,6 K 0,7 L0,5 QL K 0,3 L0,5 Ta có: 2QK QLQKL QL2QKK QK2 QLL với K 0, L Do QK 0, QL 0, QKL 0, QKK 0, QLL Vậy K 300, L 1500 doanh nghiệp thu sản lượng tối đa Bài 13: Một doanh nghiệp có hàng sản xuất: Q 10 K 0,8 L0,6 Giả sử giá thuê tư $ 30, giá thuê lao động $ 10 doanh nghiệp tiến hành sản xuất ngân Hàm nhiều biến 91 Khóa luận tốt nghiệp đại học Vũ Thị Hiền K34C SP Toán sách cố định $ 2100 Hãy cho biết doang nghiệp sử dụng đơn vị tư đơn vị lao động thu sản lượng tối đa? ĐS: K 40, L 90 Bài 14: Một công ty sản xuất loại sản phẩm với hàm sản xuất sau: Q K ( L 5) Công ty nhận hợp đồng cung cấp 5600 sản phẩm Hãy cho biết phương án sử dụng yếu tố K, L cho việc sản xuất lượng sản phẩm theo hợp đồng tốn chi phí nhất, điều kiện giá thuê tư wK 70 giá thuê lao động wL 20 Giải: Ta có: wK 70 , wL 20 QK L 5, QL K Khi ta có điều kiện cần: QK QL L K 70 K 20 L 100 w w 70 20 L K K L 5600 K L 5600 K L 5600 K 40 L 135 Điều kiện đủ: Ta có: QKK 0, QLL 0, QKL 1, QK L 5, QL K Ta có: 2QK QLQKL QL2QKK QK2 QLL với K 0, L Do QK 0, QL 0, QKL 0, QKK 0, QLL Vậy K 40, L 135 doanh nghiệp sản xuất lượng sản phẩm theo hợp đồng tốn chi phí Bài 15: Một doanh nghiệp cạnh tranh túy sản xuất kết hợp loại sản phẩm với hàm chi phí sau (Qi lượng sản phẩm i): TC 3Q12 2Q1Q2 2Q22 10 Hàm nhiều biến 92 Khóa luận tốt nghiệp đại học Vũ Thị Hiền K34C SP Toán Hãy chọn mức sản lượng kết hợp Q1 , Q2 để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa giá sản phẩm $ 160 giá sản phẩm $ 120 Giải: Ta có: TC 3Q12 2Q1Q2 2Q22 10 p1 160, p2 120 Khi đó, hàm tổng lợi nhuận là: p1Q1 p2Q2 TC (Q1 , Q2 ) 160Q1 120Q2 3Q12 2Q1Q2 2Q22 10 Điều kiện cần để đạt lợi nhuận tối đa là: Q 160 6Q1 2Q2 Q1 20 120 2Q 4Q Q2 20 Q2 6, 22 4, 12 Ta có: 11 Q12 Q2 Q1Q2 Điều kiện đủ: D 11 22 122 24 20 0, 11 thỏa mãn với Q1 , Q2 Do đó, lợi nhuận lớn doanh nghiệp sản xuất 20 sản phẩm thư 20 sản phẩm thứ hai Bài 16: Một công ty độc quyền sản xuất kết hợp loại sản phẩm với hàm chi phí (Qi lượng sản phẩm i): TC 3Q12 2Q1Q2 2Q22 55 Hãy chọn mức sản lượng kết hợp Q1 , Q2 giá bán sản phẩm để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa, cầu thị trường sản phẩm công ty sau: Hàm nhiều biến 93 Khóa luận tốt nghiệp đại học Vũ Thị Hiền K34C SP Toán Sản phẩm 1: Q1 50 0,5 p1 ; Sản phẩm 2: Q2 76 p2 Giải: Hàm lợi nhuận là: p1Q1 p2Q2 TC (Q1 , Q2 ) 100 2Q1 Q1 76 Q2 Q2 3Q12 2Q1Q2 2Q22 55 100Q1 5Q12 76Q2 3Q22 2Q1Q2 55 Điều kiện cần: Q 100 10Q1 2Q2 Q Q2 10 76 2Q 6Q Q2 Ta có: 11 10, 22 6, 12 Q12 Q2 Q1Q2 Điều kiện đủ: D 11 22 122 60 58 0, 11 10 thỏa mãn với Q1 , Q2 Do đó, lợi nhuận lớn doanh nghiệp sản xuất 20 sản phẩm thư 20 sản phẩm thứ hai, giá bán để đạt lợi nhuận tối đa p1 100 2Q1 84, p2 76 Q2 66 Bài 17: Một công ty độc quyền sản xuất loại sản phẩm hai nhà máy với hàm chi phí cận biên sau ( Qi lượng sản phẩm sản xuất nhà máy i, MCi chi phí cận biên nhà máy i; i 1,2 ): MC1 0,1Q1 , MC2 0,08Q2 Hàm nhiều biến 94 Khóa luận tốt nghiệp đại học Vũ Thị Hiền K34C SP Toán Công ty bán sản phẩm thị trường với biểu cầu p 58 0,05Q Nếu công ty muốn tối đa hóa lợi nhuận phải sản xuất sản phẩm bán với giá bao nhiêu? Giải: Tổng lợi nhuận công ty là: p Q TC1 (Q1 ) TC2 (Q2 ) (58 0,05Q ) Q TC1 (Q1 ) TC2 (Q2 ) Với Q Q Q , ta có: 58(Q1 Q2 ) 0,05(Q1 Q2 ) TC1 (Q1 ) TC2 (Q2 ) ' 58 0,1(Q Q ) MC (Q ) Q 1 58 0,1(Q1 Q1 ) (2 0,1Q1 ) 56 0,2Q1 0,1Q2 ' 58 0,1(Q Q ) MC (Q ) Q 2 2 58 0,1(Q1 Q2 ) (4 0,08Q2 ) 54 0,1Q1 0,18Q2 Điều kiện cần để đạt cực đại là: 0,2Q1 0,1Q2 56 56 0,2Q1 0,1Q2 Q 180 54 0,1Q1 0,18Q2 0,1Q1 0,18Q2 54 Q2 200 Ta có: 11 Q'' Q 0,2; 22 Q'' Q 0,18;12 Q'' Q 0,1 1 2 D 11 22 12 0,2 0,18 0,12 0,026 11 0,2 Điều kiện đủ để đạt cực đại thỏa mãn với Q1> 0, Q2> Vậy công ty đạt lợi nhuận tối đa sản xuất 180 sản phẩm nhà máy 200 sản phẩm nhà máy 2.Tổng sản lượng là: Q = 180 + 200 = 380 Theo hàm cầu ngược ta xác định giá tối ưu là: p = 58 0,05(380) = 39 Hàm nhiều biến 95 Khóa luận tốt nghiệp đại học Vũ Thị Hiền K34C SP Toán Kết luận Trong trình tìm hiểu nghiên cứu khóa luận, em bước đầu làm quen với cách thức làm việc khoa học, hiệu Qua đó, em củng cố thêm kiến thức giải tích, đồng thời thấy phong phú, lí thú toán học Trong khóa luận này, kiến thức bổ trợ hàm nhiều biến, giới hạn, tính liên tục, cực trị em đưa lí thuyết số toán kinh tế ứng dụng Hy vọng tài kiệu giúp chút cho bạn sinh viên quan tâm đến hàm nhiều biến nói riêng toán học nói chung Qua em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Nguyễn Văn Hùng - người trực tiếp giúp đỡ em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Đồng thời em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo tổ giải tích, thầy cô giáo khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Do bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, chắn khóa luận không tránh khỏi thiếu xót Em kính mong thầy cô bạn đóng góp ý kiến, trao đổi để khóa luận hoàn thiện tốt Hàm nhiều biến 96 Khóa luận tốt nghiệp đại học Vũ Thị Hiền K34C SP Toán Tài liệu tham khảo Lê Đình Thúy (2010), Toán Cao Cấp Cho Các Nhà Kinh Tế (phần 2), NXB Đại Học Kinh Tế Quốc Dân Nguyễn Đình Trí, Toán Cao Cấp (tập ba), NXBGDVN Nguyễn Đình Trí, Bài Tập Toán Cao Cấp (tập ba), NXBGDVN Hàm nhiều biến 97 Khóa luận tốt nghiệp đại học Hàm nhiều biến Vũ Thị Hiền K34C SP Toán 98 [...]... là hàm hợp của các hàm số w f (u1 , u2 ,, um ) và uk k ( x1 , x2 ,, xn ) Hàm hợp còn được gọi là hàm kép Ví dụ: Hàm số w e xy 1 x 2 y 2 là hợp của các hàm số w u v, u e xy , v 1 x 2 y 2 Tiếp theo, hàm số u e xy là hợp của các hàm số u et và t xy; hàm số v 1 x 2 y 2 là hợp của các hàm số w z , z 1 x 2 y 1.4 Một số hàm số trong phân tích kinh tế 1.4.1 Hàm số sản xuất Hàm. .. ta định nghĩa đạo hàm riêng của f đối với y tại M 0 , kí hiệu là f y x0 , y0 hay f u (x0, y0)hay (x0, y0) y y Các đạo hàm riêng của hàm số n biến số (n 3) được định nghĩa tương tự Khi tính đạo hàm riêng của một hàm số theo biến số nào, chỉ việc xem như hàm số chỉ phụ thuộc vào biến số ấy, các biến số khác được coi như không đổi, rồi áp dụng các quy tắc tính đạo hàm của hàm số một biến số Ví dụ 1:... 0 y 0 x2 y2 f (0,0) Hàm số đã cho liên tục tại điểm 0,0 x2 y 2 Hàm nhiều biến 31 Khóa luận tốt nghiệp đại học Vũ Thị Hiền K34C SP Toán Chương 3 đạo hàm riêng và vi phân 3.1 Đạo hàm riêng Cho hàm số u f x, y xác định trong một miềm D; M 0 x0 , y0 là một điểm của D Nếu cho y y0 , hàm số một biến số x f x0 , y0 có đạo hàm tại x x0 ,thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng của f đối với... định của hàm số f và số w được gọi là giá trị của hàm số f tại điểm X ( x1 , x2 ,, xn ) và được kí hiệu là f ( x1 , x2 ,, xn ), hoặc f X Hàm số f của biến điểm n chiều X ( x1 , x2 ,, xn ) còn được gọi là hàm số của n biến số x1 , x2 ,, xn Khi dùng quan hệ hàm số f để biểu diễn sự phụ Hàm nhiều biến 12 Khóa luận tốt nghiệp đại học Vũ Thị Hiền K34C SP Toán thuộc của một biến số w vào n biến số x1... a1 xn an áp dụng định nghĩa giới hạn của hàm số n biến số cho trường hợp n 1 ta có định nghĩa cho hàm một biến số Các quy tắc tính giới hạn (giới hạn của tổng, Hàm nhiều biến 26 Khóa luận tốt nghiệp đại học Vũ Thị Hiền K34C SP Toán hiệu, tích, thương) của hàm một biến số có thể áp dụng cho hàm số với số biến bất kỳ: Định lý: Nếu các hàm số f X và g X có giới hạn hữu hạn khi X A thì: 1... các biến độc lập hay các đối số ) ta dùng kí hiệu: w f ( x1 , x2 ,, xn ) Các cách gọi tên hàm số sau đây được sử dụng với nghĩa như nhau: Hàm số f xác định trên miền D R n ; Hàm số f X , X D Hàm số f ( x1 , x2 ,, xn ),( x1 , x2 ,, xn ) D; Hàm w f ( x1 , x2 ,, xn ),( x1 , x2 ,, xn ) D Thông thường một hàm n biến được cho dưới dạng một biểu thức n biến Các khái niệm MXĐ, MGT của hàm số n biến. .. dưới tên gọi là bất đẳng thức Bunhiacopxki 1.2.2 Khái niệm hàm số n biến số Ta có thể xem mỗi bộ n biến số có thứ tự ( x1 , x2 ,, xn ) như một biến điểm X ( x1 , x2 ,, xn ) của không gian n chiều Khái niệm hàm số n biến số được định nghĩa tương tự như hàm số hai biến số Định nghĩa: Một hàm số f của biến điểm n chiều X ( x1 , x2 ,, xn ) với miền biến thiên D R n , là một quy tắc (quy luật) đặt tương ứng... lim g ( X ) lim nếu lim g ( X ) 0 X A X A 2.3 Hàm số liên tục Khái niệm hàm số liên tục nhiều biến số được định nghĩa tương tự như trong trường hợp hàm số một biến Định nghĩa: Hàm số f ( x1 , x2 ,, xn ) được gọi là hàm số liên tục tại điểm X ( x1 , x2 , , xn ) khi và chỉ khi: lim f ( x1 , x2 , , xn ) f ( x1 , x2 , , xn ) x1 x1 x2 xn Nếu hàm số w f ( x1 , x2 ,, xn ) liên tục tại mọi... R n thì ta nói rằng nó liên tục trong miền đó Một hàm số không liên tục được gọi là hàm số gián đoạn Định lý: Nếu các hàm số f X và g X của biến điểm n chiều , xn ) thì: X ( x1 , x2 ,, xn ) liên tục tại mọi điểm X ( x1 , x2 , 1 Các hàm số f X g X , f X g X , f X g X liên tục tại điểm X 2 Với giả thiết g ( X ) 0 hàm số Hàm nhiều biến f (X ) cũng liên tục tại X g( X ) 27 Khóa luận... Như vậy TC là hàm số của n biến số: Hàm nhiều biến 15 Khóa luận tốt nghiệp đại học Vũ Thị Hiền K34C SP Toán TC TC (Q1 , Q2 ,, Qn ) 1 3 Hàm số (1.3) được gọi là hàm chi phí kết hợp 1.4.4 Hàm lợi ích (Utility function) Sở thích của người tiêu dùng là một trong các yếu tố quan trọng chi phối quyết định mua sắm, tức là ảnh hưởng tới phía cầu của hoạt động kinh tế Các nhà kinh tế học dùng biến số lợi ích ... phân Hàm nhiều biến Khóa luận tốt nghiệp đại học Vũ Thị Hiền K34C SP Toán Chương 4: Cực trị hàm số nhiều biến số ChƯơng kháI niệm 1.1 Hàm hai biến số 1.1.1 Khái niệm hàm số hai biến Khái niệm hàm. .. nào, việc xem hàm số phụ thuộc vào biến số ấy, biến số khác coi không đổi, áp dụng quy tắc tính đạo hàm hàm số biến số Ví dụ 1: z x y x z z yx y , x y ln x x y Hàm nhiều biến 32 Khóa luận... 3.4 Đạo hàm vi phân cấp cao Cho hàm số hai biến số z f x, y Các đạo hàm riêng f x ,f y đạo hàm riêng cấp Các đạo hàm riêng đạo hàm riêng cấp tồn gọi đạo hàm riêng cấp hai Ta có bốn đạo hàm riêng