Không gian sobolev các hàm một biến

Định nghĩa và tính chất cơ bản của không gian Lp.. Dovậy việc nghiên cứu quá trình động của tự nhiên cũng như xã hội thườngdẫn đến việc khảo sát một hay nhiều phương trình vi phân thường

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên

Hoàng Thị Nhung

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầyTrần Văn Bằng cùng với sự cố gắng của bản thân Trong suốt quátrình nghiên cứu và thực hiện khóa luận em có tham khảo một số tàiliệu của một số tác giả (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo)

Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận tốt nghiệp này làkết quả nghiên cứu của bản thân em, không trùng với kết quả của tácgiả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên

Hoàng Thị Nhung

Mục lục

LỜI MỞ ĐẦU 3

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5

1.1 Độ đo Lebesgue 5

1.1.1 Một số khái niệm 5

1.1.2 Độ đo Lebesgue trên R 6

1.2 Tích phân Lebesgue 8

1.2.1 Định nghĩa 8

1.2.2 Các tính chất sơ cấp 9

1.2.3 Chuyển qua giới hạn dưới dấu tích phân 10

1.3 Không gian Lp 10

1.3.1 Định nghĩa và tính chất cơ bản của không gian Lp 10

1.3.2 Không gian đối ngẫu của L p (Ω) với 1 ≤ p ≤ ∞ 11

1.3.3 Tính chập và sự chính quy hóa 12

1.3.4 Dãy chỉnh hóa 13

1.3.5 Tiêu chuẩn compact mạnh trong Lp 13

Chương 2 KHÔNG GIAN SOBOLEV CÁC HÀM MỘT BIẾN 15 2.1 Động lực 15

2.2 Không gian Sobolev W1,p(I) 17

2.3 Không gian W1,p0 36

2.4 Không gian đối ngẫu của W1,p0 (I) 38

2.5 Nghiệm yếu của bài toán biên đối với phương trình vi phânthường 40KẾT LUẬN 53TÀI LIỆU THAM KHẢO 54

LỜI MỞ ĐẦU

Toán học là một môn khoa học gắn liền với thực tiễn Sự phát triểncủa toán học được đánh dấu bằng những ứng dụng của nó vào các bàitoán thực tiễn Thế giới tự nhiên cũng như xã hội luôn biến đổi trongkhông gian và theo thời gian Nói cách khác, những đặc trưng của các đốitượng khoa học là hàm không gian, thời gian và những yếu tố khác Dovậy việc nghiên cứu quá trình động của tự nhiên cũng như xã hội thườngdẫn đến việc khảo sát một hay nhiều phương trình vi phân thường hơnphương trình đạo hàm riêng một khi các đại lượng nghiên cứu đã đượcđịnh lượng hóa bằng các đại lượng toán học

Vào những năm đầu thập kỉ 30 của thế kỉ XX, viện sĩ Toán học ngườiNga Sobolev đã đã giới thiệu một lớp không gian hàm được sử dụngrộng rãi trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng nói chung, phươngtrình vi phân thường nói riêng là không gian Sobolev Từ đó trở đi đã

có nhiều không gian khác nữa phục vụ cho sự phát triển của lý thuyếtphương trình vi tích phân

Là sinh viên năm cuối bậc đại học, để bước đầu làm quen với nghiêncứu khoa học và mong muốn hiểu biết thêm về sự phát triển của Toánhọc em đã lựa chọn đề tài: “Không gian Sobolev các hàm một biến”làm khóa luận tốt nghiệp

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận tốt nghiệpgồm hai chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.

Chương 2: Không gian Sobolev các hàm một biến

Chương này trình bày khái niệm Không gian Sobolev các hàm mộtbiến, các tính chất cơ bản của các không gian đó và ứng dụng trong việcnghiên cứu một số bài toán biên đối với phương trình vi phân thườngcấp hai theo phương pháp biến phân

Trong suốt quá trình nghiên cứu em đã nhận được sự tận tình giúp

đỡ của các thầy cô trong tổ Giải tích – Khoa Toán của trường Đại học

sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là thầy Trần Văn Bằng Một lần nữa em xinbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới các thầy cô

Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến quý báu của các thầy cô

và các bạn sinh viên để đề tài này được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

b) Hàm cộng tính

Định nghĩa 1.2 Hàm tập µ xác định trên M, các tập con của X, gọi

µ (An) thì µ được gọi là σ - dưới cộng tính

1.1.2 Độ đo Lebesgue trên R

Gọi gian ∆ trên đường thẳng R là một tập hợp điểm có một trongcác dạng sau:

(a, b) , [a, b] , (a, b] , [a, b) ,(−∞, +∞) , (−∞, a) , (−∞, a] , (a, +∞) , [a, +∞)

Gọi C là lớp tất cả các tập hợp con của R có thể biểu diễn thành hợpcủa một số hữu hạn các gian rời nhau

* Với mỗi gian ∆ đặt

|∆| =







|b − a| nếu ∆ là gian với các đầu mút a, b

âm σ - dưới cộng tính trên họ tất cả các tập con của R Theo Định lýCaratheodory (xem [4], trang 91) µ∗ cảm sinh một độ đo µ trên một σ

- đại số L Độ đo đó được gọi là độ đo Lebesgue trên R Mỗi tập A ∈ Lđược gọi là một tập đo được Lebesgue hay đơn giản là L - đo được.Hơn nữa ta còn có:

+ Mọi tập Borel đều là tập L - đo được

Định lý 1.1 Một tập hợp N trong R có độ đo 0 khi và chỉ khi với mỗi

ε > 0 có thể tìm được một hệ (hữu hạn hay đếm được) khoảng ∆k phủ

Hệ quả 1.1 Mọi tập hợp hữu hạn hay đếm được trên đường thẳng đều

có độ đo 0

1.2 Tích phân Lebesgue

1.2.1 Định nghĩa

a) Tích phân của hàm đơn giản

Định nghĩa 1.3 Trong một không gian X, với một σ - đại số F và một

độ đo µ trên F , cho một tập hợp A đo được (tức là A ∈ F ) và một hàmđơn giản không âm trên tập hợp A : f (x) =

b) Tích phân các hàm đo được bất kỳ

* f (x) ≥ 0 trên tập hợp A Cho dãy hàm số đơn giản fn ≥ 0, đơn điệutăng và hội tụ tới f Ta gọi tích phân của f (x) trên tập hợp A đối với

độ đo µ là số (hữu hạn hay vô cực)

và nếu tích phân ấy hữu hạn thì ta nói f (x) khả tích Khi X = R, F = L,

µ là độ đo Lebesgue thì tích phân định nghĩa như trên thường gọi là tíchphân Lebesgue và được ký hiệu R

A

f (x) dµ (x) hoặc (L)R

A

f (x) dx Từđây về sau các tích phân nói đến đều được hiểu là tích phân Lebesguenếu không có giải thích gì thêm

f dx

1.2.3 Chuyển qua giới hạn dưới dấu tích phân

Định lý 1.2 (Hội tụ đơn điệu) Nếu 0 ≤ fn % f thì R

1.3.1 Định nghĩa và tính chất cơ bản của không gian Lp

Cho Ω ⊂ R là một tập đo được, L1(Ω) là tập hợp tất cả các hàm đođược Lebesgue và khả tích trên Ω

Định nghĩa 1.4 Cho p ∈ R với 1 < p < ∞ Ta đặt

Lp(Ω) = f : Ω → R là đo được và |f|p ∈ L1(Ω)

với kf kLp = kf kp =

R

Ω

|f (x)|pdµ

1p.Định nghĩa 1.5 Ta đặt

L∞(Ω) = f : Ω → R là đo được và có một hằng số C để |f (x)| ≤ C

h.k.n trên Ω với kf kL∞ = kf k∞ = infC : |f (x)| ≤ C h.k.n trên Ω

Z

|f.g|dx ≤ kf kpkgkp0.+ Lp là một không gian vectơ và k kp là một chuẩn trên Lp với mỗi p,

1 ≤ p ≤ ∞

+ Lp là một không gian Banach với mỗi p, 1 ≤ p ≤ ∞

1.3.2 Không gian đối ngẫu của Lp(Ω) với 1 ≤ p ≤ ∞

Định lý 1.4 (Định lý biểu diễn Riesz) Cho 1 < p < ∞ và φ ∈ (Lp)∗.Khi đó tồn tại một hàm duy nhất u ∈ Lp0 mà

hφ, f i =

Z

uf dx ∀f ∈ Lp.Hơn nữa kukp0 = kφk(Lp )∗

1.3.3 Tính chập và sự chính quy hóa

Kí hiệu:

Nếu Ω mở thì Ck(Ω) (k = 0, 1, 2 ) là tập tất cả các hàm có đạo hàmđến cấp k liên tục trên Ω Đặc biệt C0(Ω) thường viết là C (Ω)

Với f ∈ C (Ω), giá của f là

R

ρndx = 1, ρn ≥ 0 trên R

Sau đây nói tới (ρn) thì ta luôn hiểu đó là một dãy chỉnh hóa

Hệ quả 1.2 Không gian Cc∞(Ω) là trù mật trong Lp(Ω) với mỗi 1 ≤

1.3.5 Tiêu chuẩn compact mạnh trong Lp

Định lý 1.6 (Ascoli – Arzela) Cho K ⊂ R là một tập compact và H làmột tập con bị chặn của C (K) Giả sử H liên tục đều, đồng bậc, nghĩa

là ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho

|x1 − x2| < δ ⇒ |f (x1) − f (x2)| < ε, ∀f ∈ H

Khi đó bao đóng của H trong C (K) là compact

Kí hiệu (phép dịch chuyển hàm): (τhf ) (x) = f (x + h) , x ∈ R, h ∈ R.Định lý sau đây và hệ quả của nó là “Lp – mô hình” của Định lý Ascoli– Arzela

Định lý 1.7 (Kolmogorov – M Riesz – Frechet) Cho Ω ⊂ R là tập

đo được và có độ đo hữu hạn, F là một họ bị chặn trong Lp(R) với

1 ≤ p < ∞ Giả sử

lim

|h|→0kτhf − f kp = 0 đều theo f ∈ F , (1.1)tức là ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho kτhf − f kp < ε, ∀f ∈ F , ∀h ∈ R có |h| < δ.Khi đó bao đóng của F|Ω trong Lp(Ω) là compact (ở đây F|Ω là hạn chếcủa F trên Ω)

Hệ quả 1.4 Cho F là một tập bị chặn trong Lp(R) với 1 ≤ p < ∞.Giả sử có (1.1) và ∀ε > 0, ∃Ω ⊂ R bị chặn, đo được sao cho

kf kLp

(R\Ω) < ε, ∀f ∈ F Khi đó F có bao đóng compact trong Lp(R)

Hệ quả 1.5 Cho G là một hàm cố định trong L1(R) và F = G ∗ B Ở

đó B là một tập bị chặn trong Lp(R) với 1 ≤ p < ∞ Khi đó F|Ω có baođóng compact trong Lp(Ω) với một tập đo được Ω có độ đo hữu hạn

Cho f ∈ C ([a, b]), tìm u thỏa mãn

Nhân (2.1) với ϕ ∈ C1([a, b]), lấy tích phân từng phần, ta có:

hàm suy rộng của u (định nghĩa sau) Do vậy ta có thể định nghĩa mộthàm có đạo hàm suy rộng đến cấp 1 thỏa mãn (2.2) là một nghiệm yếucủa (2.1).

Các bước của phương pháp này như sau:

Bước A: Đưa ra định nghĩa nghiệm yếu Khái niệm này liên quan tớikhông gian Sobolev

Bước B: Chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm yếu (nhờĐịnh lý Lax – Milgram)

Bước C: Nghiên cứu tính chính quy của nghiệm yếu (chứng minhnghiệm yếu khả vi theo nghĩa thông thường)

Bước D: Ta có nghiệm yếu là nghiệm cổ điển nhờ kết quả: Mọi nghiệmyếu thuộc C2 là một nghiệm cổ điển

Chứng minh của bước D là đơn giản Thật vậy, giả sử u ∈ C2([a, b]) ,

u (a) = u (b) = 0 và u thỏa mãn (2.2) Lấy tích phân từng phần của(2.2) ta có

2.2 Không gian Sobolev W1,p (I)

Giả sử I = (a, b) (có thể không bị chặn), p ∈ R, 1 ≤ p ≤ ∞

Định nghĩa 2.1 Không gian Sobolev W1,p(I) được định nghĩa bởi

Với u ∈ W1,p(I), ta kí hiệu u0 = g (đạo hàm suy rộng của u)

Chú ý 1: Trong định nghĩa W1,p(I) ta gọi ϕ là hàm thử Ta dùng Cc∞(I)

làm lớp hàm thử vì nếu ϕ ∈ Cc1(I) thì ρn∗ ϕ ∈ C∞

c (I) với n đủ lớn và

ρn∗ ϕ → ϕ trong C1 (tất nhiên ϕ = 0 bên ngoài I)

Chú ý 2: Rõ ràng nếu u ∈ C1(I)∩Lp(I) và u0 ∈ Lp(I) (với u0 là đạo hàm

thường của u) thì u ∈ W1,p(I) Hơn nữa đạo hàm thường trùng với đạo

hàm suy rộng, đặc biệt nếu I bị chặn thì C1(I) ⊂ Lp(I) ∀1 ≤ p ≤ ∞

Chứng minh: Dễ thấy u bị chặn trên I, nên u ∈ Lp(I) Hơn nữa hàm

g ∈ Lp(I) và với mọi ϕ ∈ Cc∞(I) ta có:

(ii) Hàm g ở trên không thuộc W1,p(I) , ∀1 ≤ p ≤ ∞.

Kí hiệu: Không gian W1,p(I) được trang bị với chuẩn

12.Mệnh đề 2.1 Không gian W1,p là không gian Banach với 1 ≤ p ≤ ∞

Nó là phản xạ nếu 1 < p < ∞ và tách được nếu 1 ≤ p < ∞ Không gian

H1 là không gian Hilbert tách được

Chứng minh (a) Giả sử (un) ⊂ W1,p là dãy Cauchy, khi đó (un) và(u0n) là dãy Cauchy trong Lp.

(b) W1,p – phản xạ khi 1 < p < ∞ Rõ ràng không gian E = Lp(I) ×

Lp(I) là phản xạ Toán tử T : W1,p → E xác định bởi Tn = [u, u0] là mộtđẳng cấu từ W1,p vào E Mà W1,p là không gian Banach nên T W1,p
làmột không gian con đóng của E Do E – phản xạ nên T W1,p
– phản

xạ Hệ quả là W1,p – phản xạ

(c) W1,p – tách được với 1 ≤ p < ∞ Rõ ràng không gian E = Lp(I) ×

Lp(I) – tách được Do đó T W1,p
cũng tách được Do đó W1,p – táchđược

Chú ý 3: Cần ghi nhớ điều đã sử dụng trong chứng minh của Mệnh đề2.1 là: “Giả sử {un} ⊂ W1,p sao cho un → u trong Lp và u0n → g trong

Lp thì u ∈ W1,p và kun− ukW1,p → 0” Thực tế, khi 1 < p ≤ ∞ ta chỉcần tới un → u trong Lp và ku0nkLp bị chặn là kết luận được u ∈ W1,p.Định lý 2.1 Giả sử u ∈ W1,p(I) với 1 ≤ p ≤ ∞ (I có thể không bịchặn) Khi đó tồn tại một hàm ˜u ∈ C I
sao cho u = ˜u h.k.n trên I và

Chú ý 4: Trước hết chú ý rằng nếu u ∈ W1,p thì với mọi v sao cho v = uh.k.n trên I đều thuộc W1,p (suy từ định nghĩa của W1,p) Định lý 2.1khẳng định rằng duy nhất mỗi hàm u ∈ W1,p có (duy nhất) một đại diệnliên tục trên I tức là tồn tại duy nhất một hàm liên tục trên I thuộclớp tương đương của u (v ∼ u nếu v = u h.k.n trên I) Khi đó sẽ rấthữu ích để ta thay u bởi đại diện liên tục của nó (khi đó u (x) có nghĩa

∀x ∈ ¯I) Để đơn giản kí hiệu ta viết u là đại diện liên tục của nó Cuốicùng cần chú ý rằng tính chất “u có một đại diện liên tục” không đồngnhất với “u liên tục h.k.n”

Chú ý 5: Theo Định lý 2.1 nếu u ∈ W1,p và nếu u0 ∈ C ¯I
(tức là u0 cómột mở rộng liên tục trên I) thì u ∈ C1 I¯
Cụ thể hơn, ˜u ∈ C1 I¯
vànhư đã nói trên ta không phân biệt u và ˜u

Khi đó tồn tại một hằng số C sao cho f = C h.k.n trên I

Chứng minh Cố định ψ ∈ Cc(I) sao cho R

g (t) ϕ (t) dt

(i) u ∈ W1,p.

(ii) Có một hằng số C sao cho

Z

R

u (x) [ϕ (x − h) − ϕ (x)] dx

≤ C |h| kϕkLp0 (R)

Chia hai vế cho h, rồi cho h → 0, ta có

... kpkgkp0.+ Lp không gian vectơ k kp chuẩn Lp với p,

1 ≤ p ≤ ∞

+ Lp không gian Banach với p, ≤ p ≤ ∞

1.3.2 Không gian đối ngẫu Lp(Ω)... class="page_container" data-page="18">

hàm suy rộng u (định nghĩa sau) Do ta định nghĩa mộthàm có đạo hàm suy rộng đến cấp thỏa mãn (2.2) nghiệm yếucủa (2.1).

Các bước phương pháp sau:

Bước... data-page="19">

2.2 Khơng gian Sobolev W1,p (I)

Giả sử I = (a, b) (có thể khơng bị chặn), p ∈ R, ≤ p ≤ ∞

Định nghĩa 2.1 Không gian Sobolev W1,p(I)