Không gian sobolev các hàm một biến

LỜI CẢM ƠN Khóa luận em hoàn thành với giúp đỡ bảo thầy cô tổ Giải tích, khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội Nhân dịp này, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô tổ Giải tích, khoa Toán, đặc biệt thầy Trần Văn Bằng người trực tiếp hướng dẫn em trình thu thập tài liệu, nghiên cứu hoàn thiện đề tài Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Hoàng Thị Nhung LỜI CAM ĐOAN Khóa luận em hoàn thành hướng dẫn thầy Trần Văn Bằng với cố gắng thân Trong suốt trình nghiên cứu thực khóa luận em có tham khảo số tài liệu số tác giả (đã nêu mục tài liệu tham khảo) Em xin cam đoan kết khóa luận tốt nghiệp kết nghiên cứu thân em, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Hoàng Thị Nhung Mục lục LỜI MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Độ đo Lebesgue 1.1.1 Một số khái niệm 1.1.2 Độ đo Lebesgue R 1.2 Tích phân Lebesgue 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Các tính chất sơ cấp 1.2.3 Chuyển qua giới hạn dấu tích phân 10 1.3 Không gian Lp 10 1.3.1 Định nghĩa tính chất không gian Lp 10 1.3.2 Không gian đối ngẫu Lp (Ω) với ≤ p ≤ ∞ 11 1.3.3 Tính chập quy hóa 12 1.3.4 Dãy chỉnh hóa 13 1.3.5 Tiêu chuẩn compact mạnh Lp 13 Chương KHÔNG GIAN SOBOLEV CÁC HÀM MỘT BIẾN 15 2.1 Động lực 15 2.2 Không gian Sobolev W1,p (I) 17 2.3 Không gian W1,p 36 2.4 Không gian đối ngẫu W1,p (I) 38 2.5 Nghiệm yếu toán biên phương trình vi phân thường 40 KẾT LUẬN 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 LỜI MỞ ĐẦU Toán học môn khoa học gắn liền với thực tiễn Sự phát triển toán học đánh dấu ứng dụng vào toán thực tiễn Thế giới tự nhiên xã hội biến đổi không gian theo thời gian Nói cách khác, đặc trưng đối tượng khoa học hàm không gian, thời gian yếu tố khác Do việc nghiên cứu trình động tự nhiên xã hội thường dẫn đến việc khảo sát hay nhiều phương trình vi phân thường phương trình đạo hàm riêng đại lượng nghiên cứu định lượng hóa đại lượng toán học Vào năm đầu thập kỉ 30 kỉ XX, viện sĩ Toán học người Nga Sobolev đã giới thiệu lớp không gian hàm sử dụng rộng rãi lý thuyết phương trình đạo hàm riêng nói chung, phương trình vi phân thường nói riêng không gian Sobolev Từ trở có nhiều không gian khác phục vụ cho phát triển lý thuyết phương trình vi tích phân Là sinh viên năm cuối bậc đại học, để bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học mong muốn hiểu biết thêm phát triển Toán học em lựa chọn đề tài: “Không gian Sobolev hàm biến” làm khóa luận tốt nghiệp Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận tốt nghiệp gồm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Không gian Sobolev hàm biến Chương trình bày khái niệm Không gian Sobolev hàm biến, tính chất không gian ứng dụng việc nghiên cứu số toán biên phương trình vi phân thường cấp hai theo phương pháp biến phân Trong suốt trình nghiên cứu em nhận tận tình giúp đỡ thầy cô tổ Giải tích – Khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt thầy Trần Văn Bằng Một lần em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy cô Em mong nhận đóng góp ý kiến quý báu thầy cô bạn sinh viên để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Độ đo Lebesgue 1.1.1 Một số khái niệm a) Đại số σ - đại số tập hợp Định nghĩa 1.1 Cho X tập tùy ý khác rỗng Một lớp C tập X gọi đại số tập hợp thỏa mãn tính chất sau: i) X ∈ C, ii) X ∈ C ⇒ AC ∈ C, iii) A, B ∈ C ⇒ A ∪ B ∈ C Nếu hợp hữu hạn điều kiện iii) thay đếm tùy ý C gọi σ - đại số tập hợp Cho A lớp tập X Khi tồn C (A) đại số (tương ứng σ - đại số) nhỏ tập X chứa A gọi đại số (σ - đại số) sinh A Ví dụ: Trong không gian Metric X, gọi T họ tất tập mở (hay tôpô) X σ - đại số C (T ) gọi σ - đại số Borel tập X Mỗi tập thuộc C (T ) gọi tập Borel Ta thường kí hiệu C (T ) B (X) b) Hàm cộng tính Định nghĩa 1.2 Hàm tập µ xác định M, tập X, gọi cộng tính thỏa mãn: i) µ (φ) = 0, ii) A, B ∈ M, A∩B = φ, A∪B ∈ M ⇒ µ (A ∪ B) = µ (A)+µ (B) Ngoài điều kiện ii) thay ∞ iii) ∀An ⊂ M, An ∈ M, An ∩ Am = φ ∀n = m n=1 ∞ Ta có µ ∞ An n=1 = µ (An ) µ gọi σ - cộng tính n=1 Nếu ii) thay ∞ iv) ∀A ∈ M, An ⊂ M, A ⊂ ∞ Ta có µ (A) ≤ An n=1 µ (An ) µ gọi σ - cộng tính n=1 1.1.2 Độ đo Lebesgue R Gọi gian ∆ đường thẳng R tập hợp điểm có dạng sau: (a, b) , [a, b] , (a, b] , [a, b) , (−∞, +∞) , (−∞, a) , (−∞, a] , (a, +∞) , [a, +∞) Gọi C lớp tất tập hợp R biểu diễn thành hợp số hữu hạn gian rời n C= ∆i , ∆i ∩ ∆j = φ (i = j) , P :P = i=1 ∆i gian, n số tự nhiên tùy ý Ta có C đại số * Với gian ∆ đặt  |b − a| |∆| =  +∞ ∆ gian với đầu mút a, b ∆ gian vô hạn n Khi ∀P ∈ C ⇒ P = n ∆i , ∆i ∩∆j = φ (i = j) Đặt m (P ) = i=1 |∆i | i=1 Ta có m độ đo C * Với A ⊂ R Xác định hàm tập hợp: ∞ ∗ µ (A) = inf ∞ Pi ⊃ A, Pi ∈ C m (Pi ) : i=1 ∗ i=1 ∞ ∞ |∆i | : tương đương µ (A) = inf i=1 ∆i ⊃ A, ∆i khoảng mở i=1 Khi µ∗ độ đo R, tức µ∗ hàm tập không âm σ - cộng tính họ tất tập R Theo Định lý Caratheodory (xem [4], trang 91) µ∗ cảm sinh độ đo µ σ - đại số L Độ đo gọi độ đo Lebesgue R Mỗi tập A ∈ L gọi tập đo Lebesgue hay đơn giản L - đo Hơn ta có: + Mọi tập Borel tập L - đo + µ độ đo σ - hữu hạn + µ độ đo đủ + A L - đo A có biểu diễn A = B\N A = B ∪ N Trong B tập hợp Borel N tập hợp có độ đo Định lý 1.1 Một tập hợp N R có độ đo với ε > tìm hệ (hữu hạn hay đếm được) khoảng ∆k phủ ∆k ⊃ N, N có độ dài tổng cộng nhỏ ε k |∆k | < ε k Hệ 1.1 Mọi tập hợp hữu hạn hay đếm đường thẳng có độ đo 1.2 Tích phân Lebesgue 1.2.1 Định nghĩa a) Tích phân hàm đơn giản Định nghĩa 1.3 Trong không gian X, với σ - đại số F độ đo µ F, cho tập hợp A đo (tức A ∈ F) hàm n đơn giản không âm tập hợp A : f (x) = n Ai đo được, rời αi χAi (x) (các tập hợp i=1 Ai = A) Nếu Ai đoạn ∆i i=1 n αi |∆i | R tích phân f (x) số i=1 Trong trường hợp tổng quát Ai tập hợp đo thay |∆i | µ (Ai ) Vì tích phân hàm đơn giản không âm f (x) tập hợp A độ đo µ số n f (x) dµ = αi µ (Ai ) i=1 + Tính chất: Nếu hai hàm đơn giản f, g ≥ f ≤ g tập hợp A f dµ ≤ A gdµ A b) Tích phân hàm đo * f (x) ≥ tập hợp A Cho dãy hàm số đơn giản fn ≥ 0, đơn điệu tăng hội tụ tới f Ta gọi tích phân f (x) tập hợp A Φ E∗ = F Theo Định lý Riesz, tồn hai hàm f0 , f1 ∈ Lp (I) cho Φ, h = f0 h0 dx + I Dễ thấy Φ E∗ I = max f0 p , f1 p I I W01,p (I) ∀u ∈ W1,p f1 udx f0 udx + Φ, T u = F, u = Khi I bị chặn ∀h = [h0 , h1 ] ∈ E f1 h1 dx trang bị chuẩn u p (xem Mệnh đề 2.5) Lặp lại lập luận với E = Lp (I) T : u ∈ W1,p (I) → u ∈ Lp (I) Chú ý 18: Các hàm f0 , f1 xác định không F Chú ý 19: Phần tử F ∈ W−1,p (I) thường đồng với phân bố f0 −f (là phiếm hàm tuyến tính u → f0 udx + I f1 u dx Cc∞ (I)) I Chú ý 20: Khẳng định thứ Mệnh đề 2.6 phiếm hàm tuyến tính liên tục W 1,p (1 ≤ p < ∞) 1,p W1,p ta có Tức với phiếm hàm tuyến tính liên tục F W biểu diễn F, u = f0 udx + I f1 udx ∀u ∈ W1,p I p với hàm f0 , f1 ∈ L 2.5 Nghiệm yếu toán biên phương trình vi phân thường Định lý 2.6 (Stampacchia) Giả sử a (u, v) dạng song tuyến tính liên tục, H Lấy K ⊂ H, lồi đóng khác rỗng Khi với 40 ϕ ∈ H ∗ , tồn phần tử u ∈ K thỏa mãn a (u, v − u) ≥ ϕ, v − u ∀v ∈ K Ngoài a đối xứng u đặc trưng tính chất a (v, v) − ϕ, v u ∈ K a (u, u) − ϕ, u = v∈K Hệ 2.4 (Lax – Milgram) Giả sử a (u, v) dạng song tuyến tính liên tục, H Khi với ϕ ∈ H ∗ , tồn phần tử u ∈ H thỏa mãn a (u, v) ≥ ϕ, v ∀v ∈ H Ngoài a đối xứng u đặc trưng tính chất u ∈ H a (u, u) − ϕ, u = v∈H a (v, v) − ϕ, v Xét toán   −u + u = f I = (0, 1) , u (0) = u (1) = 0, (2.14) f hàm cho (chẳng hạn f ∈ C I¯ f ∈ L2 (I)) Điều kiện biên u (0) = u (1) = gọi điều kiện biên Dirichlet Định nghĩa 2.3 Nghiệm cổ điển (2.14) hàm u ∈ C I¯ thỏa mãn (2.14) theo nghĩa thông thường Nghiệm yếu (2.14) hàm u ∈ H01 (I) thỏa mãn u v dx + I uvdx = I f vdx I 41 ∀v ∈ H01 (I) (2.15) Bây ta triển khai chương trình vạch mục 2.1: Bước A Mỗi nghiệm cổ điển nghiệm yếu Điều hiển nhiên nhờ tích phân phần (đã chứng minh Hệ 2.2) Bước B Sự tồn nghiệm yếu Đây nội dung kết sau Mệnh đề 2.7 Với f ∈ L2 (I), tồn nghiệm u ∈ H01 (2.15) Hơn u nghiệm toán    1 2 v + v dx − f vdx  v∈H01  I I Đây nguyên lí Dirichlet Chứng minh Áp dụng Hệ 2.4 không gian Hilbert H = H01 (I) với dạng song tuyến tính a (u, v) = u v dx + I uvdx = (u, v)H I với phiếm hàm tuyến tính ϕ : v → f v I Chú ý 21: Với F ∈ H −1 (I), theo Định lý Riesz – Fréchet tồn u ∈ H01 (I) cho (u, v)H = F, v H −1 ,H01 ∀v ∈ H01 Ánh xạ F → u đẳng cấu Riesz – Fréchet từ H −1 lên H01 Với F = ϕ ta có u nghiệm yếu (2.14) theo nghĩa (2.15) Bước C D Tính quy nghiệm yếu Khôi phục nghiệm cổ điển Trước hết ta ý rằng, f ∈ L2 u ∈ H01 nghiệm yếu 42 (2.14) u ∈ H Thật vậy, ta có (f − u) vdx u v dx = I ∀v ∈ Cc1 (I), I u ∈ H (theo định nghĩa H f − u ∈ L2 ) tức u ∈ H Hơn nữa, ta giả sử f ∈ C I¯ nghiệm yếu u ∈ C I¯ Thật vậy, (u ) ∈ C I¯ nên u ∈ C I¯ (xem ý 5) Việc nghiệm yếu u ∈ C I¯ nghiệm cổ điển mục 2.1 Chú ý 22: Nếu f ∈ H k (I), với k nguyên ≥ ta kiểm tra quy nạp nghiệm u (2.15) thuộc H k+2 (I) Phương pháp trình bày thực với nhiều toán Sau số toán thường gặp; toán, điều quan trọng xác định không gian hàm công thức nghiệm yếu cách thích hợp Ví dụ 2.2 (Điều kiện Dirichlet không nhất) Xét toán   −u + u = f I = (0, 1) , (2.16) u (0) = α, u (1) = β với α, β ∈ R hàm f cho Mệnh đề 2.8 Với α, β ∈ R f ∈ L2 (I) cho, tồn hàm u ∈ H (I) thỏa mãn (2.16) Hơn u nghiệm toán cực tiểu v∈H (I) v(0)=α,v(1)=β  1 2 v + v dx − I I Nếu thêm giả thiết f ∈ C I¯ u ∈ C I¯ 43   f vdx  Chứng minh Ta chứng minh theo hai cách: Cách 1: Cố định hàm trơn u0 thỏa mãn u0 (0) = α u0 (1) = β Đặt u˜ = u − u0 , u˜ thỏa mãn  −˜ u + u˜ = f + u − u0 I,  u˜ (0) = u˜ (1) = Ta dẫn tới toán xét u˜ Cách 2: Xét không gian H (I), tập lồi đóng K = v ∈ H (I) ; v (0) = α v (1) = β Nếu u nghiệm cổ điển (2.14) ta có u (v − u) dx + I u (v − u) dx = f (v − u) dx ∀v ∈ K I I u (v − u) dx ≥ f (v − u) dx ∀v ∈ K Nói cách khác u (v − u) dx + I I (2.17) I Ta sử dụng Định lý Stampacchia: Để tồn hàm u ∈ K thỏa mãn (2.17), u nghiệm toán cực tiểu   1  2 v + v dx − f vdx v∈K   I I Để có nghiệm cổ điển (2.16), đặt v = u ± ω (2.17) với ω ∈ H01 , ta có u ω dx + I uωdx = I f ωdx ∀ω ∈ H01 I Chứng tỏ (như trên) u ∈ H (I) Nếu f ∈ C I¯ lập luận toán ta có u ∈ C I¯ 44 Ví dụ 2.3 (Bài toán Sturm – Liouville) Xét toán   −(pu ) + qu = f I = (0, 1) , u (0) = u (1) = 0, (2.18) p ∈ C I¯ , q ∈ C I¯ f ∈ L2 (I) với p (x) ≥ α > 0, ∀x ∈ I Nếu u nghiệm cổ điển (2.18) pu v dx + I quvdx = I ∀v ∈ H01 (I) f vdx I Ta sử dụng H = H01 (I) không gian hàm a (u, v) = pu v dx + I quvdx I dạng song tuyến tính đối xứng H01 Nếu q ≥ I dạng a (u, v) thỏa mãn điều kiện (nhờ bất đẳng thức Poincaré – Mệnh đề 2.5) Do theo Định lý Lax – Milgram, tồn u ∈ H01 cho a (u, v) = f vdx ∀v ∈ H01 (I) (2.19) I Hơn u nghiệm toán cực tiểu  1 pv + qv dx − v∈H0 (I)  I I   f vdx  (pu ) ∈ H p ¯ ¯ u ∈ H Cuối cùng, f ∈ C I pu ∈ C I Từ (2.19) ta thấy pu ∈ H ; nên (theo Hệ 2.2) u = u ∈ C I¯ , tức u ∈ C I¯ Tương tự ta thực bước D kết luận: u nghiệm cổ điển (2.18) 45 Bây xét toán tổng quát  −(pu ) + ru + qu = f I = (0, 1) ,  u (0) = u (1) = (2.20) Các giá trị p, q f trước, r ∈ C I¯ Nếu u nghiệm cổ điển (2.20) pu v dx + I ru vdx + I quvdx = I ∀v ∈ H01 f vdx I Sử dụng H = H01 (I) a (u, v) = pu v dx + I ru vdx + I quvdx I dạng song tuyến tính Dạng không đối xứng Trong số trường hợp thỏa mãn điều kiện bức, chẳng hạn, (i) q ≥ r2 < 4α, (ii) q ≥ r ∈ C I¯ với r ≤ 2; ta có rv vdx = − ∀v ∈ H01 r vdx Nếu ta áp dụng Định lý Lax – Milgram không dẫn tới toán cực tiểu Do ta cần biến đổi để có dạng song tuyến tính đối xứng: Giả sử R “nguyên hàm” r/p đặt ζ = e−R Nhân phương trình (2.20) với ζ, ta có −ζpu − ζp u + ζru + ζqu = ζf hay (vì ζ p + ζr = 0) −(ζpu ) + ζqu = ζf Khi tương ứng với ta có dạng song tuyến tính đối xứng H01 a (u, v) = ζpu v dx + I ζquvdx I 46 Khi q ≥ 0, dạng thỏa mãn điều kiện nên tồn u ∈ H01 cho a (u, v) = ∀v ∈ H01 ζf vdx I Hơn u nghiệm toán cực tiểu  1 ζpv + ζqv dx − v∈H0 (I)  I ζf vdx I    Dễ dàng kiểm tra u ∈ H f ∈ C I¯ u ∈ C I¯ nghiệm cổ điển (2.20) Ví dụ 2.4 (Điều kiện Neumann) Xét toán   −u + u = f I = (0, 1) , u (0) = u (1) = (2.21) Mệnh đề 2.9 Nếu f ∈ L2 (I) tồn hàm u ∈ H (I) thỏa mãn (2.21) Hơn u nghiệm toán cực tiểu   1  2 v + v dx − f vdx  v∈H (I)  I I Nếu thêm giả thiết f ∈ C I¯ u ∈ C I¯ Chứng minh Nếu u nghiệm cổ điển (2.21) u v dx + I uvdx = I f vdx ∀v ∈ H (I) (2.22) I Ta sử dụng H (I) không gian hàm: ví dụ trước ta sử dụng H01 biết u (0) = u (1) = Áp dụng Định lý Lax – Milgram với dạng song tuyến tính a (u, v) = u v dx + I uvdx phiếm hàm tuyến tính I 47 ϕ:v→ f vdx Ta nhận hàm u thỏa mãn (2.22)) Từ I (2.22), ta suy (như trước) u ∈ H (I) Cũng từ (2.22) ta có (−u + u − f ) vdx + u (1)v(1) − u (0)v(0) = 0, ∀v ∈ H (I) (2.23) I Trong (2.23) ta chọn v ∈ H01 Ta có −u + u = f h.k.n Quay lại (2.23) ta suy u (1) v (1) − u (0) v (0) = ∀v ∈ H (I) Vì v (0) v (1) tùy ý, nên ta phải có u (0) = u (1) = Chú ý 23: u ∈ H (I) ⇒ u ∈ C I¯ , điều kiện u (0) = u (1) = có nghĩa Nếu lấy u ∈ H điều kiện nghĩa Ví dụ 2.5 (Điều kiện Neumann không nhất) Xét toán   −u + u = f I = (0, 1) , (2.24) u (0) = α, u (1) = β với α, β ∈ R f biết Mệnh đề 2.10 Giả sử f ∈ L2 (I), α, β ∈ R Khi tồn u ∈ H (I) thỏa mãn (2.24) Hơn u nghiệm toán cực tiểu    1 2 v + v dx − f vdx + αv (0) − βv (1)  v∈H (I)  I I Nếu thêm giả thiết f ∈ C I¯ u ∈ C I¯ Chứng minh Nếu u nghiệm cổ điển (2.24) u v dx + I f vdx − αv (0) + βv (1) uvdx = I I 48 ∀v ∈ H (I) Ta sử dụng H (I) làm không gian hàm, áp dụng Định lý Lax – Milgram với dạng song tuyến tính a (u, v) = u v dx + I ϕ:v→ uvdx phiếm hàm I f vdx − αv (0) + βv (1) Phiếm hàm liên tục (theo Định lý I 2.4) Xử lí ví dụ 2.4 ta có u ∈ H (I) u (0) = α, u (1) = β Ví dụ 2.6 (Điều kiện biên hỗn hợp) Xét toán   −u + u = f I = (0, 1) , u (0) = 0, u (1) = (2.25) Nếu u nghiệm cổ điển (2.25) u v dx + I uvdx = I ∀v ∈ H (I) với v (0) = f vdx I Không gian hàm thích hợp H = v ∈ H (I) ; v (0) = trang bị với tích vô hướng H Phần lại để dành cho độc giả Ví dụ 2.7 (Điều kiện Robin loại 3) Xét toán   −u + u = f I = (0, 1) , u (0) = ku (0) , u (1) = 0, k ∈ R cho (Chú ý: Tổng quát hơn, ta xét điều kiện biên  α0 u (0) + β0 u (0) = 0,  α u (1) + β u (1) = 1 với giả thiết thích hợp α0 , β0 , α1 , β1 ) 49 (2.26) Nếu u nghiệm cổ điển (2.26) u v dx + I f vdx ∀v ∈ H (I) với v (1) = uvdx + ku (0) v (0) = I I Không gian hàm thích hợp cho áp dụng Định lý Lax – Milgram không gian Hilbert H = v ∈ H (I) ; v (1) = với tích vô hướng H Dạng song tuyến tính uvdx + ku (0) v (0) u v dx + a (u, v) = I I đối xứng liên tục Nó thỏa mãn điều kiện k ≥ (Nếu k < |k| đủ nhỏ a (u, v) thỏa mãn điều kiện Hơn ta cụ thể có giá trị k < hàm f (trơn) để toán (2.26) nghiệm.) Ví dụ 2.8 (Điều kiện biên tuần hoàn) Xét toán  −u + u = f I = (0, 1) ,  u (0) = u (1) , u (0) = u (1) (2.27) Nếu u nghiệm cổ điển (2.27) u v dx + I f vdx ∀v ∈ H (I) với v (0) = v (1) (2.28) uvdx = I I Không gian hàm thích hợp cho áp dụng Định lý Lax – Milgram không gian Hilbert H = a (u, v) = v ∈ H (I) ; v (0) = v (1) Dạng song tuyến tính uvdx Khi f ∈ L2 (I) ta có nghiệm u ∈ H (I) u v dx + I I (2.27)) Nếu thêm giả thiết f ∈ C I¯ u nghiệm cổ điển 50 Ví dụ 2.9 (Một toán biên R) Xét toán   −u + u = f R, (2.29) u (x) → |x| → ∞ với f ∈ L2 (R) Nghiệm yếu (2.9) hàm u ∈ C (R) thỏa mãn (2.9) theo nghĩa thông thường Nghiệm yếu (2.9) hàm u ∈ H (R) thỏa mãn u v dx + R uvdx = R ∀v ∈ H (R) f vdx R Trước hết ta chứng minh nghiệm cổ điển nghiệm yếu Thứ nhất: Ta chứng tỏ u ∈ H (R) Thật vậy, chọn dãy (ζn ) hàm cắt chứng minh Định lý 2.3 Nhân (2.9) với ζn u tích phân phần ta nhận ζn u2 dx = u (ζn u + ζ n u) dx + R R ζn f udx R Từ suy ζn u + u2 dx = R ζn f udx + ζ n u2 dx, (2.30) R R Nhưng ζ n u2 dx ≤ C n2 n[...]... trong Lp (R) Hệ quả 1.5 Cho G là một hàm cố định trong L1 (R) và F = G ∗ B Ở đó B là một tập bị chặn trong Lp (R) với 1 ≤ p < ∞ Khi đó F|Ω có bao đóng compact trong Lp (Ω) với một tập đo được Ω có độ đo hữu hạn 14 Chương 2 KHÔNG GIAN SOBOLEV CÁC HÀM MỘT BIẾN 2.1 Động lực Không gian Sobolev xuất hiện khi nghiên cứu các bài toán biên cho phương trình vi phân bằng phương pháp biến phân Để hình dung về điều... và bị chặn (có thể không liên tục) trên I (b) Nó là hàm u có tính chất (BC) :    Tồn tại hằng số C sao cho k−1   |u (ti+1 ) − u (ti )| ≤ C ∀t0 < t1 < < tk trên I i=1 (c) Là hàm u ∈ L1 (I) mà có đạo hàm số riêng là một độ đo bị chặn 23 Lưu ý: Các hàm với biến phân bị chặn không nhất thiết có đại diện liên tục Mệnh đề 2.3 Hàm u ∈ L∞ (I) thuộc W1,∞ (I) khi và chỉ khi tồn tại một hằng số C sao cho:... W1,p → 0 (b) W1,p – phản xạ khi 1 < p < ∞ Rõ ràng không gian E = Lp (I) × Lp (I) là phản xạ Toán tử T : W1,p → E xác định bởi Tn = [u, u ] là một đẳng cấu từ W1,p vào E Mà W1,p là không gian Banach nên T W1,p là một không gian con đóng của E Do E – phản xạ nên T W1,p – phản xạ Hệ quả là W1,p – phản xạ (c) W1,p – tách được với 1 ≤ p < ∞ Rõ ràng không gian E = Lp (I) × Lp (I) – tách được Do đó T W1,p... gọi là hàm liên tục tuyệt đối Hàm này được đặc trưng bởi tính chất (AC) :      ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho với mỗi dãy hữu hạn các khoảng đôi một rời nhau (ak , bk ) ⊂ I thỏa mãn |bk − ak | < δ, ta có     |u (b ) − u (a )| < ε k k Đồng thời hàm u thỏa mãn (ii) với p = 1 được gọi là hàm với biến phân bị chặn Hàm này có rất nhiều tính chất đặc trưng khác nhau như: (a) Nó là hiệu của hai hàm không. .. (x)| ≤ C h.k.n trên Ω Chú ý: f p , ∞ là một chuẩn b) Tính chất + Bất đẳng thức Holder: Giả sử rằng f ∈ Lp và g ∈ Lp với 1 ≤ p ≤ ∞ 1 1 và p là số mũ liên hợp của p, tức là + = 1 Khi đó p p f.g ∈ L1 và |f.g|dx ≤ f + Lp là một không gian vectơ và p p g p là một chuẩn trên Lp với mỗi p, 1 ≤ p ≤ ∞ + Lp là một không gian Banach với mỗi p, 1 ≤ p ≤ ∞ 1.3.2 Không gian đối ngẫu của Lp (Ω) với 1 ≤ p ≤ ∞ Định... ∈ C 2 ); hơn nữa (2.2) có nghĩa với ∀u, u ∈ L1 (a, b) , với u là đạo 15 hàm suy rộng của u (định nghĩa sau) Do vậy ta có thể định nghĩa một hàm có đạo hàm suy rộng đến cấp 1 thỏa mãn (2.2) là một nghiệm yếu của (2.1) Các bước của phương pháp này như sau: Bước A: Đưa ra định nghĩa nghiệm yếu Khái niệm này liên quan tới không gian Sobolev Bước B: Chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm yếu (nhờ... (Lp )∗ Khi đó tồn tại một hàm duy nhất u ∈ Lp mà φ, f = Hơn nữa u p = φ (Lp ) ∗ uf dx 11 ∀f ∈ Lp 1.3.3 Tính chập và sự chính quy hóa Kí hiệu: Nếu Ω mở thì C k (Ω) (k = 0, 1, 2 ) là tập tất cả các hàm có đạo hàm đến cấp k liên tục trên Ω Đặc biệt C 0 (Ω) thường viết là C (Ω) ∞ ∞ C k (Ω) C (Ω) = k=0 0 Nếu Ω không mở thì C k (Ω) là tập tất cả các hàm thuộc C k Ω mà mọi đạo hàm đến cấp k của nó có... ra u ∈ W1,p (R) Một số phép toán giải tích chỉ thực hiện với hàm xác định trên toàn R (như tính chập, biến đổi Fourier) Vì vậy việc có thể thác triển một hàm u ∈ W1,p (I) thành một hàm u¯ ∈ W1,p (R) có ý nghĩa rất lớn Định lý sau cho ta điều đó Định lý 2.2 (Toán tử thác triển) Cho 1 ≤ p ≤ ∞ Khi đó có một toán tử tuyến tính bị chặn P : W1,p (I) → W1,p (R), gọi là toán tử thác triển có các tính chất sau:... không phải là điểm 0), ta có hàm v2 ∈ W1,p (R) là thác triển của (1 − η) u và v2 Lp (R) ≤2 u Lp (I) , v2 28 W1,p (R) ≤C u W1,p (I) Đặt P u = v1 + v2 ta có điều phải chứng minh Một số tính chất của các C 1 – hàm vẫn đúng đối với các W1,p – hàm (xem Hệ quả 2.2 và 2.3) Để chứng minh cho các tính chất này ta cần có kết quả sau: Định lý 2.3 (Tính trù mật) Cho u ∈ W1,p (I) với 1 ≤ p < ∞ Khi đó tồn tại một. .. Phiếm hàm tuyến tính ϕ ∈ Cc1 (I) → uϕ dx I xác định trên một không gian con trù mật của Lp (vì p < ∞) và liên tục đối với Lp – chuẩn Do vậy nó được thác triển thành phiếm hàm 22 tuyến tính bị chặn F trên Lp (Định lý Hahn – Banach) Theo Định lý Riesz (Định lý 1.4) tồn tại g ∈ Lp sao cho gϕdx F, ϕ = ∀ϕ ∈ Lp I Nói riêng uϕ dx = I gϕdx ∀ϕ ∈ Cc1 I Suy ra u ∈ W1,p Chú ý 7: (Hàm liên tục tuyệt đối và hàm biến ... Chương KHÔNG GIAN SOBOLEV CÁC HÀM MỘT BIẾN 15 2.1 Động lực 15 2.2 Không gian Sobolev W1,p (I) 17 2.3 Không gian W1,p... Sobolev hàm biến Chương trình bày khái niệm Không gian Sobolev hàm biến, tính chất không gian ứng dụng việc nghiên cứu số toán biên phương trình vi phân thường cấp hai theo phương pháp biến phân... dụng vào toán thực tiễn Thế giới tự nhiên xã hội biến đổi không gian theo thời gian Nói cách khác, đặc trưng đối tượng khoa học hàm không gian, thời gian yếu tố khác Do việc nghiên cứu trình động