Dạy học phương trình và bất phương trình ở trường phổ thông

Làm cho học sinh ý thức được diễn biến của tập hợp nghiệm khi biến đổi phương trình, bất phương trình... ý thức được những căn cứ để biến đổi phương trình, bất phương trình và để nhận bi

Lời cam đoan

Khóa luận này là kết quả của bản thân em qua quá trình học tập và nghiên cứu Bên cạnh đó em được sự quan tâm và tạo điều kiện của các thầy cô giáo trong khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2, đặc biệt là sự hướng dẫn nhiệt tình của cô giáo -

Hà Nội, ngày 10 tháng 4 năm 2012

Sinh viên thực hiện

Phan Thị Quyên

Lời cam đoan

Khóa luận này là kết quả của bản thân em qua quá trình học tập và nghiên cứu Bên cạnh đó em được sự quan tâm và tạo điều kiện của các thầy cô giáo trong khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2, đặc biệt là sự hướng dẫn nhiệt tình của cô giáo -

Hà Nội, ngày 10 tháng 4 năm 2012

Sinh viên thực hiện

Phan Thị Quyên

động học tập để học sinh chủ động tham gia các hoạt động

Do đó để đảm bảo việc giảng dạy có hiệu quả những nội dung môn Toán ở nhà trường phổ thông, mỗi sinh viên trước khi ra trường cần chuẩn bị cho mình những hành trang tri thức, kĩ năng, kĩ xảo cần thiết về phương pháp dạy học Một trong những tri thức đó là phương trình và bất phương trình

Khái niệm phương trình, bất phương trình là một trong những khái niệm quan trọng của toán học Theo Ăngghen thì toán học nghiên cứu những mối quan hệ số lượng và hình dạng không gian của thế giới khách quan Quan

hệ bằng nhau, lớn hơn hoặc nhỏ hơn giữa hai đại lượng, giữa hai số lượng là một quan hệ rất cơ bản Điều đó nói lên phương trình và bất phương trình chiếm một vai trò quan trọng trong toán học nói chung và môn toán ở nhà trường phổ thông nói riêng

Do đó, từ những lí do trên, để có thể dạy tốt phần kiến thức này khi ra

trường tôi đã chọn đề tài “ Dạy học phương trình và bất phương trình ở

trường phổ thông”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu việc dạy học một số yếu tố của phương trình và bất phương trình trong chương trình toán phổ thông, nhằm nâng cao chất lượng và hiệu quả dạy học môn Toán trong trường phổ thông

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu ý nghĩa, vai trò của việc dạy học phương trình và bất phương trình

- Phân tích nội dung, chương trình sách giáo khoa về dạy học phương trình và bất phương trình

- Đề xuất những lưu ý về phương pháp dạy học khi dạy nội dung phương trình và bất phương trình

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lí luận; quan sát, điều tra; tổng kết kinh nghiệm

5 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo khóa luận gồm 2 chương Chương 1 Nội dung dạy học phương trình và bất phương trình

1.1 ý nghĩa

1.2 Nghiên cứu về phương trình và bất phương trình

1.3 Mục đích, yêu cầu của dạy học phương trình và bất phương trình ở trường phổ thông

1.4 Nội dung triển khai phương trình và bất phương trình ở trường phổ thông

Chương 2 Dạy học phương trình và bất phương trình ở trường phổ thông

2.1 Dạy học khái niệm phương trình, bất phương trình và những khái niệm có liên quan

2.1.1 Dạy học phương trình, bất phương trình dựa vào hàm mệnh đề

2.1.2 Sử dụng hợp lí ngôn ngữ của lí thuyết tập hợp và logic toán trong việc dạy học khái niệm phương trình, bất phương trình và những khái niệm có liên quan

2.2 Dạy học giải phương trình, bất phương trình

2.2.1 Làm cho học sinh ý thức được diễn biến của tập hợp nghiệm khi biến đổi phương trình, bất phương trình

2.2.1.1 ý thức được những khả năng diễn biến của tập hợp nghiệm khi biên đổi phương trình, bất phương trình

2.2.1.2 ý thức được những căn cứ để biến đổi phương trình, bất phương trình và để nhận biết những mối quan hệ giữa các tập hợp nghiệm

2.2.1.3 Biết cách xác định tập hợp nghiệm của phương trình, bất phương trình xuất phát dựa vào tập nghiệm của phương trình, bất phương trình cuối và mối quan hệ giữa hai tập hợp đó

2.2.2 Giải quyết hợp lí mối liên hệ giữa hai phương diện ngữ nghĩa và cú pháp trong dạy học giải phương trình, bất phương trình

2.3 Dạy học giải bài toán bằng cách lập phương trình, bất phương trình

2.3.1 Rèn luyện cho học sinh khả năng phát hiện những hệ thức liên hệ giữa những

đại lượng

2.3.2 Rèn luyện cho học sinh khả năng sử dụng những biểu thức chứa biến để biểu thị những tình huống thực tế

Phần 2 nội dung

Và BấT PHƯƠNG TRìNH1.1 ý nghĩa

Phương trình, bất phương trình là một trong bốn nội dung cơ bản trong chương trình toán phổ thông Dạy học nội dung này giúp nghiên cứu những mối quan hệ số lượng và hình dạng không gian của thế giới khách quan Đó là những mối quan hệ số lượng như : quan hệ bằng nhau, lớn hơn hoặc nhỏ hơn giữa hai đại lượng, hai số lượng

Lí thuyết phương trình, bất phương trình không chỉ là cơ sở để xây dựng đại

số học mà còn giữ vai trò quan trọng trong các phân môn khác của toán học : phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình toán lí, phương trình hàm…

Bên cạnh đó việc dạy học nội dung này còn giúp tìm hiểu thêm các bài toán lập phương trình, bất phương trình; các bài toán về hàm số như : xét tính đồng biến, nghịch biến xác định cực đại, cực tiểu, tìm điểm uốn, xác định sự tương giao giữa các đồ thị… các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất…

1.2 Nghiên cứu về phương trình, bất phương trình

Ví dụ : 0

1 (0 # )

a  aR , 0! 1 

- Chỉ sự thay thế : chẳng hạn “thay x 3 vào biểu thức 2x 5 ta được: 2.3 5  ”

- Chỉ sự toàn đẳng giữa hai hình

Ví dụ : ABC A B C' ' '

1.2.2 Những cách hiểu khác nhau về đẳng thức

- Cách hiểu thứ nhất : Hai số hoặc hai biểu thức đại số bằng nhau nối với nhau

bởi dấu “” thì gọi là đẳng thức (Đại số phổ thông, 1968)

Còn x 2 chẳng hạn thì không phải là phương trình vì đó không phải là đẳng 5thức (x  và 5 không phải là biểu thức đồng nhất) 2

- Số học và đại số, lớp 6 phổ thông, 1974 có đưa ra định nghĩa về phương

trình như sau: “Một đẳng thức có chứa chữ mà ta phải tìm giá trị thì gọi là một phương trình, chữ đó gọi là ẩn số ” Từ đây ta suy ra : x2x không thể là 3phương trình (vì nó không phải là đẳng thức) chứ không thể gọi là phương trình vô nghiệm Nhưng trang 63 của sách người ta ra chú ý về phương trình vô nghiệm như vậy đã mâu thuẫn với định nghĩa trên ( theo  6 )

- Trong sách toán Quân đội nhân dân Việt Nam, 1960, có định nghĩa về

phương trình như sau : “Phương trình là đẳng thức có chứa chữ và chỉ đúng với mọi

số giá trị của các chữ” Định nghĩa này dựa vào cách hiểu thứ ba về khái niệm đẳng thức, tức là có xét tới cả những “đẳng thức đúng” lẫn “đẳng thức sai” Cách hiểu

đẳng thức như vậy làm cho khái niệm phương trình bao gồm được cả những đối tượng như : x   ( không đòi hỏi hai vế phải là những biểu thức đồng nhất) 3 8

Tuy nhiên cụm từ “chỉ đúng với một số giá trị của các chữ” lại thu hẹp khái

niệm phương trình và gây ra nhiều sự rắc rối Theo định nghĩa đó thì x2x 3không phải là phương trình (vì đẳng thức này không đúng với giá trị nào của x ) và

5(x1)5x cũng không là phương trình ( vì đẳng thức này đúng với mọi giá trị 5của x )

Nhiều điều rắc rối và phức tạp sẽ xảy ra, chẳng hạn :

 Gặp một đẳng thức chữ, ta không biết nó có phải là một phương trình hay

không nếu chưa biết gì về nghiệm (ở đây ta tạm dùng khái niệm “nghiệm” vì trong

sách chỉ định nghĩa nghiệm của phương trình chứ không định nghĩa nghiệm của những đẳng thức nói chung)

 Khi cho một phương trình chứa tham biến ta phải kèm theo điều kiện để nó là phương trình

Ví dụ : Cho phương trình ax b  ,0 ax2 bx  thì phải kèm theo điều kiện c 00

a 

Như vậy thì định nghĩa này không thể chấp nhận được

Ngoài các định nghĩa trên, phương trình còn có các định nghĩa sau :

+ “Khi nói đến phương trình ta hiểu rằng đó là hai biểu thức chứa biến số nối với nhau bởi dấu “  ” mà ta phải tìm giá trị của biến số để các giá trị tương ứng của hai biểu thức bằng nhau”( Nguyễn Duy Thuận,1998,tr 77)

+ “Đẳng thức f x( )g x( ) trong đó f x và ( )( ) g x là những biểu thức theo x , được gọi là phương trình một ẩn số, x được gọi là ẩn số” (Trần Văn Hạo)

+ “Xem các đẳng thức (có thể đúng hoặc sai) sau đây :

có một phương trình, khi đó mỗi biến được gọi là một ẩn số” (Phan Đức Chính- Ngô

Hữu Dũng- Hàn Liên Hải,1990)

Các định nghĩa trên cũng dựa vào cách hiểu thứ ba về khái niệm đẳng thức, bao gồm cả đẳng thức đúng, đẳng thức sai và cách hiểu như vậy làm cho khái niệm phương trình bao gồm được cả phương trình không đòi hỏi hai vế là những biểu thức

đồng nhất

Theo “Từ điển toán học thông dụng” (Ngô Thúc Lanh, NXB GD 1999) thì phương trình được định nghĩa là “Một hệ thức dạng f x g x  trong đó f và g

là hai hàm số được xét trên miền xác định chung DD f D g Giải phương trình

là tìm tập hợp các phần tử aD sao cho đẳng thức f a g a đúng” Như vậy

định nghĩa phương trình gắn với miền xác định (hay tập xác định D) của nó Định nghĩa này được sử dụng trong SGK Toán 10 (năm 2000) vì sau này việc giải nhiều phương trình đòi hỏi trước hết việc xem xét tập xác định D như : giải phương trình, bất phương trình chứa căn thức, phương trình, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

ở bậc THCS, việc xem xét TXĐ là chưa cần thiết phải đặt ra, vì chỉ giới hạn trong việc giải phương trình bậc nhất và bậc hai (đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, chỉ cần đặt được điều kiện của ẩn để mẫu khác 0 ) Do đó có sách ở bậc THCS

trình bày khái niệm phương trình gần với định nghĩa sau :“Phương trình là kí hiệu

giải tích của bài toán tìm giá trị của các đối số để cho hai hàm số cho trước có các giá trị bằng nhau”

Như vậy khái niệm phương trình gắn liền với việc giải phương trình và phương trình có hai đặc tính:

là đi tìm số chưa biết Tuy nhiên trong phạm vi trường phổ thông định nghĩa phương trình dựa trên định nghĩa đẳng thức theo cách hiểu thứ ba là chấp nhận được vì nó không phạm sai lầm về mặt logic và nó xuất phát từ việc giải bài toán bằng cách lập phương trình

1.2.4 Định nghĩa phương trình, bất phương trình dựa vào hàm mệnh đề

“Mệnh đề là một câu có tính chất hoặc đúng, hoặc sai”

Ví dụ : “ 2 là một số nguyên tố” là mệnh đề đúng

“10 chia hết cho 4 ” là mệnh đề sai

“Hàm mệnh đề xác định trên một tập hợp M là một câu có chứa biến tự do,

tức là biến không chịu sự tác động của lượng từ tồn tại hoặc lượng từ toàn thể và trở thành mệnh đề khi ta thay biến tự do bởi những phần tử thuộc tập hợp M” (Theo 1 )

Ví dụ : “ x là số nguyên tố”

“Số trị của 2a  bằng 9 ” 3

là những hàm mệnh đề xác định chẳng hạn trên tập số tự nhiên

a Khái niệm phương trình dưới góc độ hàm mệnh đề :

Trong SGK Đại số 10 nâng cao hiện nay đưa ra định nghĩa phương trình như sau :

“Cho hai hàm số y f x( ) và yg x( ) có tập xác định lần lượt là D và f D Đặt g

DD D

Mệnh đề chứa biến “ f x( )g x( )” được gọi là phương trình 1 ẩn; x gọi là ẩn số (hay ẩn); và D gọi là tập xác định của phương trình

Số x0D gọi là một nghiệm của phương trình f x( )g x( ) nếu f x( )0 g x( )0 là một mệnh đề đúng”

Như vậy khái niệm nghiệm của phương trình cũng phụ thuộc vào tập xác

định D Có thể xảy ra các khả năng sau:

 Nếu thay các phần tử của D vào mỗi vị trí của x trong hàm mệnh đề “Số

trị của f x và ( )( ) g x bằng nhau” đều được một mệnh đề sai thì tập hợp nghiệm của

phương trình f x( )g x( ) là tập rỗng Khi đó ta nói phương trình f x( )g x( ) vô nghiệm trên D

 Nếu tồn tại ít nhất một phần tử thuộc D sao cho khi thay phân tử đó vào mỗi vị trí của x trong hàm mệnh đề “Số trị của ( ) f x và ( ) g x bằng nhau” được một

mệnh đề đúng thì tập hợp nghiệm của phương trình f x( )g x( ) là khác rỗng Khi

ấy ta nói phương trình đó có nghiệm

 Nếu thay mỗi phần tử của D vào các vị trí của x trong hàm mệnh đề “Số

trị của f x và ( )( ) g x bằng nhau” đều được một mệnh đề đúng thì tập hợp nghiệm

của phương trình trùng với tập D Khi đó ta nói phương trình đó trở thành hằng

đẳng thức

Định nghĩa phương trình dựa vào hàm mệnh đề như trên áp dụng vào mọi trường hợp cụ thể Cả phương trình mà ta phải tìm nghiệm lẫn phương trình biểu thị những đại lượng vật lí như: sv t cũng như phương trình biểu diễn đường :y2x2 đều có thể hiểu theo nghĩa đó

b Định nghĩa bất phương trình dựa vào hàm mệnh đề

Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao hiện nay cũng đưa ra khái niệm bất phương trình như sau:

một ẩn, x gọi là ẩn số (hay ẩn) và D gọi là tập xác định của bất phương trình đó

Số x0D gọi là một nghiệm của bất phương trình f x( )g x( ) nếu

1.2.5 Quan niệm phương trình, bất phương trình như một dãy kí hiệu

Định nghĩa phương trình dựa vào hàm mệnh đề là đã nhìn nó về phương diện ngữ nghĩa Tuy nhiên khái niệm phương trình cũng như khái niệm biểu thức, đẳng thức, bất phương trình còn có thể hiểu theo quan điểm cú pháp, được coi như một dãy kí hiệu có một dạng nhất định

Việc định nghĩa phương trình theo quan điểm này giúp nghiên cứu được cấu trúc của những dãy kí hiệu trừu xuất khỏi những nội dung cụ thể Nó thuộc một trong các loại hình tư duy giữ gìn vị trí trung tâm của toán học : tư duy cú pháp

Trong trường phổ thông người ta nhìn khái niệm phương trình, bất phương trình cả về hai phương diện : khi thì coi phương trình, bất phương trình như một dãy

kí hiệu (phương diện cú pháp), chẳng hạn khi giải phương trình, bất phương trình nhờ một thuật toán Khi thì coi phương trình, bất phương trình như một hàm mệnh

đề ( phương diện ngữ nghĩa), như khi thử xem một số hay một bộ số có phải là

nghiệm của một phương trình, bất phương trình cho trước hay không

1.2.6 Phương trình chứa tham bién

Một phương trình nhiều biến số có thể được xem xét dưới nhiều góc độ khác nhau, như :

- Tìm tất cả các bộ số là nghiệm phương trình đó

- Dùng như một công thức để biểu thị sự tương quan giữa nhiều đại lượng

Ví dụ : sv t biểu thị mối quan hệ giữa quãng đường, vận tốc, thời gian trong chuyển động đều

- Dùng để đặc trưng cho một dạng phương trình nhất định

a b có vai trò khác nhau về căn bản so với biến x Biến x là biến cần được biểu thị

qua các biến còn lại, còn các biến a b dùng để biểu thị dạng phương trình nên còn ,gọi là biến chỉ dạng hay tham biến

ở trường phổ thông người ta dùng thuật ngữ “tham biến” chứ không gọi là

“biến chỉ dạng”, phương trình ax được gọi là phương trình một ẩn chứa hai b

tham biến là a b Dưới góc độ người thầy giáo, ta cần hiểu đây là phương trình 3 ,biến, trong đó có sự phân biệt giữa hai loại biến : x là biến cần biểu thị qua hai biến

còn lại, a và b là các biến chỉ dạng phương trình Khi giải một phương trình có

chứa tham biến, các biến được xem như đại diện cho những số đã biết và ta phải biểu thị các nghiệm qua các tham biến số

1.3 Mục đích, yêu cầu của dạy học phương trình, bất phương trình

a Về kiến thức:

Học sinh nắm vững khái niệm phương trình, bất phương trình một cách chính xác theo quan điểm của mệnh đề chứa biến và những khái niệm có liên quan, nghiệm của phương trình hoặc bất phương trình, giải phương trình hoặc bất phương trình, quan hệ tương đương giữa 2 phương trình hoặc bất phương trình, điều kiện của phương trình, bất phương trình; phương trình, bất phương trình tương đương và

hệ quả

Thông qua chủ đề phương trình và bất phương trình, cần củng cố và đào sâu một

số kiến thức về tập hợp và logic toán, cụ thể là : những khái niệm tập hợp, phần tử, quan hệ bao hàm; quan hệ giao nhau giữa hai tập hợp; các phép toán tập hợp; các phép toán logic “kéo theo” và “tương đương”

b Kĩ năng:

Học sinh có kĩ năng giải và biện luận phương trình, bất phương trình, thành thạo với việc giải phương trình, bất phương trình theo thuật giải, theo công thức hoặc theo một hệ thống qui tắc biến đổi xác định, chẳng hạn như : phương trình, bất

phương trình bậc nhất một ẩn, hai ẩn; hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, phương trình trùng phương đồng thời biết linh hoạt vận dụng kiến thức về giải phương trình như : phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình mũ, phương trình logarit biết nhìn khái niệm phương trình, bất phương trình cả về mặt ngữ nghĩa lẫn cú pháp trong quá trình giải

Học sinh biết cách giải phương trình, bất phương trình bằng đồ thị, thông qua đó thấy được mối quan hệ giữa phương trình, bất phương trình và hàm số

c Về thái độ:

Học sinh được phát triển tư duy thuật giải trong việc giải phương trình, bất phương trình theo thuật giải hoặc theo một hệ qui tắc xác định, được rèn luyện tính linh hoạt và khả năng sáng tạo, đặc biệt là trong việc giải những phương trình, bất phương trình theo nội dung, những phương trình, bất phương trình không mẫu mực Học sinh được rèn luyện về tính qui củ, tính kế hoạch, tính kỉ luật trong việc giải phương trình, bất phương trình theo thuật giải, theo công thức hoặc theo một hệ thống qui tắc biến đổi xác định, được giáo dục về tính cẩn thận, chính xác và thói quen tự kiểm tra trong việc giải phương trình, bất phương trình nói chung, đó là những phẩm chất không thể thiếu của con người lao động

Học sinh thấy rõ ý nghĩa thực tế của phương trình, bất phương trình thông qua việc giải những bài toán có nội dung vật lí, kĩ thuật và thực tế thấy được quan hệ mật thiết giữa toán học và đời sống, toán học xuất hiện do nhu cầu từ đời sống

1.4 Nội dung triển khai phương trình và bất phương trình ở trường phổ thông

Phương trình, bất phương trình là một trong những nội dung cơ bản của chương trình môn Toán ở nhà trường phổ thông

Cùng với sự mở rộng của hệ thống số là việc giải phương trình, bất phương trình trong từng tập hợp số tương ứng Trước khi học tường minh về phương trình, bất phương trình học sinh đã được làm quen một cách ẩn tàng với những phương trình, bất phương trình, kể cả việc giải chúng ngay từ bậc tiểu học

- ở lớp 1 có các bài toán “điền vào ô trống”:

1

 3  8

5



- ở lớp 2 có các bài toán “tìm x trong các biểu thức” dạng :

ax  , ax b  , b x b

a  (trong ) hay dạng bài “tìm số tự nhiên x sao cho x 4 10 ”

- Chương trình lớp 7 có : Khái niệm biểu thức đại số, giá trị của một biểu thức đại

số Khái niệm đơn thức, đơn thức đồng dạng, các phép toán cộng, trừ, nhân các đơn thức Khái niệm đa thức nhiều biến Nghiệm của đa thức một biến Học những nội dung này học sinh biết khái niệm nghiệm của đa thức một biến, biết tìm nghiệm của

đa thức một biến bậc nhất Đó là những kiến thức ẩn tàng về phương trình

- ở lớp 8 : Khái niệm phương trình, bất phương trình được chính thức định nghĩa,

ẩn số, nghiệm phương trình và giải phương trình; học sinh còn được học về hai phương trình, bất phương trình tương đương, một số định lí về phếp biến đổi tương

đương, nhưng chưa được học về phương trình hệ quả

Dạng phương trình tương ứng : phương trình bậc nhất, phương trình có ẩn ở mẫu thức, phương trình có hệ số bằng chữ, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Đồng thời trong chương trình này học sinh cũng được học về giải bài toán bằng cách lập phương trình Cũng ở lớp này học sinh được học sơ lược về bất phương trình và những định lí về biến đổi tương đương đối với bất phương trình, bất phương trình bậc nhất một ẩn số

- ở lớp 9 : học sinh được học về phương trình bậc nhất 2 ẩn; hệ phương trình bậc nhất hai ẩn; giải toán bằng cách lập hệ phương trình; phương trình bậc hai một ẩn; phương trình qui về phương trình bậc hai như: phương trình trùng phương, phương trình tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu thức; giải toán bằng cách lập phương trình

- Lớp 10 : Tổng kết và nâng cao những kiến thức về phương trình mà học sinh đã học ở trường THCS Cụ thể :

Trình bày lại đại cương về phương trình và bất phương trình ( gồm khái niệm nghiệm, nghiệm gần đúng, điều kiện, phương trình nhiều ẩn, phương trình chứa tham số ) phương trình tương đương, các phép biến đổi tương đương phương trình, phương trình hệ quả và các phép biến đổi hệ quả; phương trình qui về phương trình

bậc nhất, bậc hai (phương trình chứa dấu trị tuyệt đối, phương trình chứa căn thức, phương trình và hệ phương trình nhiều ẩn )

Trong khi ở trường THCS học sinh làm việc chủ yếu với những phương trình, bất phương trình có hệ số bằng số thì ở lớp 10 học sinh còn được học về những phương trình có tham biến đòi hỏi học sinh phải biện luận khi giải

Các phép biến đổi tương đương học sinh được học trong lớp 10 : chuyển vế và đổi dấu một biểu thức; nhân hai vế phương trình, bất phương trình với cùng một biểu thức khác 0 (xác định trong điều kiện phương trình, bất phương trình)

- Chương trình lớp 11: học sinh được học về phương trình lượng giác

- Lớp 12 : Học sinh học về phương trình, bất phương trình mũ, logarit, phương trình nghiệm phức

Chương 2 Dạy học giải phương trình

và bất phương trình ở trường phổ thông2.1 Dạy học phương trình, bất phương trình và những khái niệm có liên quan

2.1.1 Dạy học phương trình, bất phương trình dựa vào hàm mệnh đề

Dựa vào quan điểm hàm mệnh đề trong việc xây dựng khái niệm phương trình,

bất phương trình, mỗi thầy cô cần chú ý :

Thứ nhất: Cần hình thành cho học sinh quan niệm về đẳng thức (bất đẳng thức) căn

cứ vào dấu “  ”(dấu     ) một cách hình thức, tức là làm cho học sinh hiểu , , ,

đẳng thức (bất đẳng thức) là hai biểu thức nối với nhai bởi dấu “  ”(    ) Do , , ,

đó ta nên dưa ngoài những ví dụ về đẳng thức (bất đẳng thức) chữ nên đưa cả những

ví dụ về đẳng thức (bất đẳng thức) chữ mà cả hai vế là hai biểu thức không đồng nhất

Thứ hai : Cần làm cho học sinh hiểu đúng thực chất dấu “  ” trong phương trình và

khái niệm phương trình chỉ là một trường hợp riêng của khái niệm đẳng thức Nên sớm đưa ra những phương trình vô nghiệm như : 2x72x để học sinh thấy rõ 1tính chất của dấu “  ”

Cần phân biệt cho học sinh dấu “  ” trong phương trình và dấu “  ” trong biến đổi đồng nhất Nếu như dấu “ ” trong phương trình chỉ có tính hình thức thì dấu “  ” trong những phép biến đổi đồng nhất lại nối liền hai biểu thức, biểu thị hai hàm số có cùng giá trị với mọi giá trị của đối số lấy trong phần chung của miền xác

định của hai hàm số

Để tránh lẫn lộn hai loại dấu “  ” trong khi giải phương trình : 3(x 1)24 : 6 5 giáo viên nên lưu ý cho học sinh tránh cách viết sau : 3(x1)3x 3 24 : 6 5    4 5 9

Cách viết này khó phân biệt, nhìn ra đâu là dấu “  ” của phương trình, đâu là dấu

“  ” của phép biến đổi đồng nhất Mà nên viết tách thành những phương trình riêng biệt theo từng dòng :

Đồng thời giáo viên cũng cần đưa ra khái niệm bất đẳng thức : Các mệnh đề dạng

a  , a b  , a b  , a b  gọi là các bất đẳng thức Trong những bất đẳng thức trên b

a gọi là vế trái, b gọi là vế phải của đẳng thức

Giúp học sinh hiểu được thế nào là các bất đẳng thức cùng chiều : Các bất đẳng thức

a  và c b d , a  và c b d , a  và c b d , a  và c b d gọi là các bất đẳng thức cùng chiều

Bên cạnh đó giáo viên nên nhấn mạnh giúp học sinh hiểu chính xác về hai

phương trình, bất phương trình tương đương : “Hai phương trình được gọi là tương

Ví dụ : Phương trình 2 x   vô nghiệm trên hệ thống số tự nhiên 5 0 nhưng lại

Cụ thể : Học sinh phải thường xuyên làm việc với các yếu tố về tập hợp như : Tìm tập xác định, viết tập nghiệm của phương trình, bất phương trình dưới dạng tập hợp, kết hợp các tập nghiệm… các yếu tố về logic như : biến đổi tương đương, kéo theo, nếu…thì…, và, hoặc,…

Do đó trong quá trình dạy học môn toán giáo viên cần chú ý quán triệt cho học sinh sử dụng hợp lí ngôn ngữ của lí thuyết tập hợp và logic toán Học chủ đề phương trình, bất phương trình tạo điều kiện cho học sinh:

- Làm quen với cách viết nghiệm của một phương trình, bất phương trình dưới dạng tập hợp

Ví dụ : Tập nghiệm của phương trình x2 4x  là 3 0  1,3

Tập nghiệm của bất phương trình x2 3x  là 2 0 S x :1x2

- Gặp cách viết nghiệm của một hệ phương trình dưới dạng bộ số để họ làm quen với khái niệm tích Đềcác của nhiều tập hợp

- Sau khi học xong về quan hệ bao hàm giữa hai tập hợp đưa ra khái niệm phương trình hệ quả : phương trình f x2( )g x2( ) là phương trình hệ quả của phương trình

“hội” của hai mệnh đề, giáo viên cần cho học sinh hiểu khái niệm nghiệm của hệ phương trình và hệ bất phương trình cả về hai phương diện tập hợp và logic

+ Về phương diện tập hợp cần làm cho học sinh hiểu tập nghiệm của hệ phương trình:

bằng giao của hai tập hợp nghiệm của hai phương trình trong hệ

Tập nghiệm của hệ bất phương trình:

   

( ) ( )( )

+ Về phương diện logic cần cho học sinh thấy một số là nghiệm của    I , II khi và

chỉ khi nó là nghiệm của phương trình f x1  g x1 (bất phương trình f x1  g x1 )

và là nghiệm của phương trình f2 x g2 x ( bất phương trình f2 x g2 x

Tập nghiệm của  2 là 1, 2, 2 

Do đó tập nghiệm của hệ  I là  1

Đối với hệ bất phương trình  II với f x ,1  f2 x , g x ,1  g2 x là các bất phương

trình một ẩn giáo viên có thể hướng dẫn học sinh biểu diễn tập nghiệm của từng bất phương trình trên trục số, sau đó lấy giao của chúng là tập nghiệm của hệ bất phương trình đã cho

Đối với bất phương trình bậc nhất hai ẩn, như bất phương trình : 3xy 5

ta có thể giải như sau 3xy 5 y3x 5

Suy ra tập nghiệm của bất phương trình đã cho ( , ) |x y x ,y3x5

Cách giải này có ít ý nghĩa và khó áp dụng để giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn Do đó giáo viên nên hướng dẫn cho học sinh cách biểu diễn tập nghiệm hay cách xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ Cách xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

được trình bày cụ thể trong SGK

áp dụng cho xác định miền nghiệm bất phương trình : 3xy 5

Giải ; Trên mặt phẳng tọa độ đường, thẳng  d : 3xy  chia mặt phẳng tọa 5 0

độ thành hai nửa

-15 -10 -5

5 10 15

x y

5/3

(d)

M

Chọn M0, 0 không thuộc  d

Ta thấy 0, 0 không phải là nghiệm của bất phương trình đã cho Vậy miền nghiệm 

cần tìm là nửa mặt phẳng bờ  d không chứa M0, 0(trong hình vẽ là nửa mặt

Đối với hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta lấy giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ bằng cách lần lượt gạch bỏ các nửa mặt phẳng không phải là nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ Nhưng cách làm này không thể hiện được trên hình vẽ rằng trong số các điểm trên biên, điểm nào thuộc, điểm nào không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình Do đó giáo viên có thể dùng màu vẽ hình để khắc phục nhược điểm trên : đối với các bất phương trình

Ví dụ : Giải bất phương trình : (x24)(x3)0 (*)

Ta có thể phát biểu : + Tập hợp nghiệm của phương trình  * là hợp của tập nghiệm của phương trình x   với tập nghiệm của phương trình 2 4 0 x   3 0 + Một số là nghiệm của phương trình  * khi va chi khi nó là

1 nghiệm của phương trình x   hoặc 1 nghiệm của phương trình 2 4 0 x   3 0 + (x2 4)(x3)  (0 x   )  (2 4 0 x   ) 3 0

Ví dụ: Bất phương trình : 2x  1 3 1 

- Tập nghiệm của bất phương trình này là hợp của tập nghiệm của bất phương trình2x   và tập nghiệm của bất phương trình 21 3 x    1 3

- Một giá trị x là nghiệm của bất phương trình (1) khi nó là nghiệm của bất

phương trình 2x   hoặc là nghiệm của bất phương trình 21 3 x    1 3

- Hoặc có thể biểu diễn dưới dạng

x x

2.2 Dạy học giải phương trình, bất phương trình

2.2.1 Làm cho học sinh ý thức được diễn biến của tập hợp nghiệm khi biến đổi phương trình, bất phương trình

Trong quá trình dạy giáo viên cần làm cho học sinh thấy đa số các trường hợp khi giải phương trình, bất phương trình là biến đổi nó đưa về phương trình, bất phương trình đơn giản hơn Dựa vào tập hợp nghiệm của phương trình, bất phương trình tìm được và dựa vào mối quan hệ “ trùng nhau”, “bao hàm”, của hai tập hợp ta xác định được tập nghiệm của phương trình, bất phương trình xuất phát Chẳng hạn khi gặp một phương trình, bất phương trình lượng giác thông thường biến đổi về phương trình, bất phương trình cơ bản: sinxm, cosxm, cotxm, tanxm

hay sinxm, sinxm, cosxm, cosxm, phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác, phương trình dạng asinx b cosxc,

Việc sử dụng các phép biến đổi phương trình, bất phương trình: Đặt ẩn phụ, logarit hoá, mũ hoá, bình phương hai vế, khai căn hai vế, thêm bớt một biểu thức, thì

điều quan trọng là phải làm cho học sinh ý thức được mối quan hệ giữa các tập hợp nghiệm của các phương trình, bất phương trình Trong quá trình biến đổi phương trình, bất phương trình xác định được tập hợp nghiệm của phương trình, bất phương trình xuất phát dựa vào tập hợp nghiệm của phương trình, bất phương trình cuối cùng Cụ thể là cần hình thành cho học sinh những nhận thức và rèn luyện những kĩ năng sau:

2.2.1.1 ý thức được khả năng, diễn biến của tập hợp nghiệm khi biến đổi phương

trình, bất phương trình

Khi biến đổi phương trình, bất phương trình có một số khả năng sau dẫn đến thay đổi tập hợp nghiệm:

a Khả năng 1: Sau khi biến đổi ta được một phương trình, bất phương trình tương

đương với phương trình, bất phương trình trước Trong trường hợp này hai tập hợp nghiệm trùng nhau:

x x x x x

x x

+ Tập nghiệm của bất phương trình một ẩn thường là một tập vô hạn số

b Khả năng 2: Phương trình, bất phương trình sau là hệ quả của phương trình, bất

phương trình trước tức là phép biến đổi làm mở rộng điều kiện xác định của phương trình, bất phương trình Trong trường hợp này thì tập hợp nghiệm của phương trình, bất phương trình trước là bộ phận của tập hợp nghiệm của phương trình, bất phương trình sau, thường dẫn tới thừa nghiệm

 2

2 2

5 11

5 121 22

23 126 014

* Nhận xét: Với cách giải trên ta không quan tâm tới điều kiện của phương trình

đang xét Tuy nhiên sau khi tìm được nghiệm cần thử lại vào phương trình để có kết luận chính xác





 

+) Nguyên nhân ở đây: Phép thế 3 3

2x 1 x  để được phương trình 1 1(*) là phép biến đổi hệ quả, không phải là phép biến đổi tương đương nên dẫn tới xuất hiện nghiệm ngoại lai x  0

Do đó, khi tìm được các giá trị của x ta thay trở lại phương trình để kết luận nghiệm

3 3

11

* Bình luận: Bất phương trình      

 

00

c Khả năng 3: Phương trình, bất phương trình cho trước là hệ quả của phương

trình, bất phương trình sau Phép biến đổi làm thu hẹp điều kiện xác định dẫn tới thiếu nghiệm Tức tập nghiệm của phương trình, bất phương trình sau là bộ phận của tập hợp nghiệm của phương trình, bất phương trình cho trước

2 2

3

x x

Suy ra với x  3 thì phương trình  * vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 0 và 28

3

x 

3sin x4sin cosx xcos x3 *

- Học sinh thường mắc sai lầm sau:

3 tan 4 tan 1 3 1 tan 0

cos x dẫn đến thiếu nghiệm

3 tan 4 tan 1 3 1 tan 0

d Khả năng 4: Giao của hai tập nghiệm khác rỗng, nhưng không tập nghiệm nào

là bộ phận của tập nghiệm kia Tức là phép biến đổi phương trình vừa làm mất nghiệm lại vừa thêm nghiệm

- Sai lầm của học sinh ở đây : phương trình  2 chỉ là hệ quả của phương trình

 1 và phép biến đổi từ  2 sang  3 không phải là phép biến đổi tương đương

- Khắc phục lời giải :

11

Ví dụ : Giải bất phương trình : 6 4  1

Nhân cả hai vế của (1) với 3(2x)(2x1) ta được :

- Sai lầm của học sinh ở đây là :

 Học sinh chưa đặt điều kiện cho mẫu số ở cả 2 vế của biểu thức

 Nếu như tồn tại x để 3(2x)(2x1) thì khi nhân cả hai vế của bất 0phương trình với cùng một biểu thức trên thì bất phương trình sẽ đổi dấu Do đó phép biến đổi tương đương của học sinh trên là sai

- Nguyên nhân : Do HS chưa nắm vững các kiến thức đã học để vận dụng vào giải toán Cụ thể ở đây là phép biến đổi tương đương bất phương trình

03(2 )(2 1)