Bài toán về chủ đề hàm số trong đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT

Vì vậy, việc tổ chức dạy học hàm số có tầm trọng đặc biệt, ảnh hưởng sâu sắc tới việc dạy học các nội dung khác như: Phương trình, giới hạn, liên tục, đạo hàm,…Trong các kì thi tuyển sin

Mở ĐầU

1 Lí do chọn đề tài

Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn Tính trừu tượng cao độ làm cho toán học có tính thực tiễn phổ dụng, có thể ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản suất và trong đời sống xã hội hiện đại

Trong chương trình toán thì hàm số đóng một vai trò quan trọng trong việc dạy và học Theo Khinsin: “Không có khái niệm nào có thể phản ánh

được những hiện tượng của thực tế khách quan một cách trực tiếp và cụ thể như khái niệm tương quan hàm, không một khái niệm nào có thể bộc lộ được

ở trong nó những nét biện chứng của tư duy toán học hiện đại như khái niệm tương quan hàm” Đứng trên quan điểm hàm xem xét chúng ta thấy rõ tính hệ thống cùng sự liên quan giữa các phần Đại số và Giải tích, giữa Đại số và Số học, Hình học và Giải tích Vì vậy, việc tổ chức dạy học hàm số có tầm trọng

đặc biệt, ảnh hưởng sâu sắc tới việc dạy học các nội dung khác như: Phương trình, giới hạn, liên tục, đạo hàm,…Trong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10, chúng ta cũng bắt gặp các bài tập liên quan đến hàm số Bài tập về hàm số là

sự thách thức lớn đối với mỗi thí sinh trong các kì thi Các bài tập về hàm số thường chiếm từ 2 điểm đến 3 điểm Đây là kì thi có tính quyết định với các

em, nó là bước ngoặt mới Chính vì vậy để làm được các bài tập này thì chúng

ta cần phải nắm vững các vấn đề về hàm số ngay từ ban đầu, phải có một nền móng vững chắc Do đó đòi hỏi thầy giáo - người giữ vai trò chủ đạo trong hoạt động dạy và học phải có phương pháp dạy học thích hợp nhằm nâng cao hiệu quả quá trình nhận thức cho học sinh, đáp ứng yêu cầu và mục tiêu dạy học Để góp phần làm được điều đó, giáo viên cần lựa chọn những kiến thức cơ bản, trọng tâm trong từng bài học, xây dựng hệ thống câu hỏi, bài tập củng

Nghiên cứu về hàm số từ đó hệ thống lại thành các dạng bài tập tổng quát nhất là vấn đề thiết thực, góp phần giúp các em học sinh nắm chắc chủ đề hàm số hơn nữa làm tốt bài toán về chủ đề hàm số trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Khi đó, các em không còn bỡ ngỡ khi cầm đề thi trong tay Vì những lí

do nêu trên mà tôi chọn đề tài là: “Bài toán về chủ đề hàm số trong đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT”

2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu lí luận về hàm số ở cấp trung học cơ sở

- Hệ thống hóa các dạng bài tập về chủ đề “Hàm số” trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu lí luận về hàm số ở cấp trung học cơ sở

- Hệ thống hóa các dạng bài tập về chủ đề “Hàm số” trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

5 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, nội dung khóa luận gồm hai chương: Chương 1: Cở sở lí luận

1.1 Chủ đề hàm số ở cấp THCS

1.2 Chủ đề hàm số trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10

Chương 2: Bài toán về chủ đề hàm số trong đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT

2.1 Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số

2.2 Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng

2.3 Dạng 3: Mối tương quan giữa đường thẳng và đường thẳng

2.4 Dạng 4: Mối tương quan giữa đường thẳng và parabol

2.5 Dạng 5: Điểm cố định

nội dung Chương 1: Cơ sở lí luận

1.1 Chủ đề hàm số ở cấp THCS

1.1.1 Nội dung

1.1.1.1 Khái niệm về hàm số và các khái niệm có liên quan

Tuy thuật ngữ “Hàm số” và định nghĩa hàm số chỉ được đưa vào chính thức từ lớp 7 nhưng những hình ảnh và những ví dụ về hàm số đã xuất hiện một cách ngầm ẩn ngay từ bậc tiểu học Vì vậy việc nghiên cứu hàm số trong toàn bộ chương trình và sách giáo khoa phải kể đến hai giai đoạn khác nhau:

“Giai đoạn ngầm ẩn” (trước lớp 7) và “Giai đoạn tường minh” (từ lớp 7 trở đi)

Giai đoạn ngầm ẩn: Ngay từ những lớp đầu tiên của tiểu học, học sinh

đã được làm quen ngầm với khái niệm “tương ứng” Đó là những tương ứng

đơn giản giữa các phần tử của hai tập hợp Ví dụ như sự tương ứng giữa số học sinh và số ghế, tương ứng giữa số chén và số đĩa,… Các em cũng làm quen với một số bảng cộng, trừ các số tự nhiên

Giai đoạn tường minh: Những vấn đề cơ bản về hàm số như: định nghĩa hàm số, đồ thị hàm số,… được trình bày trong chương II phần đại số sách giáo khoa Toán 7 Định nghĩa về hàm số (Sách giáo khoa Toán 7 tập 1 - NXBGD

Việt Nam năm 2010) được phát biểu như sau: “Giả sử X và Y là hai tập hợp

số Một hàm số f từ tập X đến tập Y là quy tắc cho tương ứng mỗi giá trị x

thuộc X một và chỉ một giá trị y thuộc, Y mà ta kí hiệu là y f x  Người

ta viết f X:  Y

x y

Theo khái niệm này qua cách diễn đạt trên thì định nghĩa khái niệm hàm số chỉ đề cập đến đặc trưng tương ứng và ẩn đi đặc trưng biến thiên và

đặc trưng phụ thuộc của hàm số

Đến lớp 9, các em vẫn tiếp tục được nghiên cứu về hàm số nhưng ở mức

độ sâu rộng hơn Các vấn đề về hàm số được trình bày một cách khái quát hơn, chặt chẽ hơn trong chương II sách giáo khoa Toán 9 tập 1 và chương IV sách giáo khoa Toán 9 tập 2 ở đây học sinh được gặp lại khái niệm hàm số và bước đầu nghiên cứu về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số, xem xét các hàm số yaxb a 0 và 2 

0

yax a Định nghĩa hàm số được phát

biểu như sau: “Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho mỗi giá trị của x ta luôn xác định được một giá trị tương ứng của y thì y

được gọi là hàm số của x và x được gọi là biến số” Đến đây học sinh thấy

một cách đầy đủ các đặc trưng khoa học của khái niệm hàm số

Tuy nhiên, tôi chỉ tập trung chủ yếu vào giai đoạn thứ 2 ở đây, chúng

ta tìm hiểu về hàm số đến lớp 9 (Toán trung học cơ sở)

Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức yaxb (trong đó ,

a) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng f x  cũng tăng lên thì hàm số y f x  được gọi là hàm số đồng biến trên

b) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng f x  lại giảm

đi thì hàm số y f x  được gọi là hàm số nghịch biến trên

1.1.1.2 Đặc điểm của hàm số

 Hàm số mang những đặc điểm chung của toán học

Toán học luôn bắt nguồn từ thực tiễn

Ví dụ: hàm số xác định giá trị tương ứng của các đại lượng với nhau: như số người với số ghế ngồi, số bát với số đũa,…

 Mang tính lôgic, chặt chẽ cao

Toán học nói chung và hàm số nói riêng có nhiều ứng dụng trong thực tiễn và các nghành khoa học khác như vật lí, hóa học, …

Ví dụ: hàm số biểu thị mối quan hệ của các đường thẳng ( có thể song song, cắt nhau, trùng nhau)

Hàm số biểu thị sự tương ứng của các đại lượng

Hàm số nghiên cứu các dạng bài tập, tạo điều kiện phục vụ cho các nghành khác

 Ngoài ra, hàm số còn có những đặc điểm riêng sau:

Hàm số có tác dụng trực tiếp trong việc giải các bài toán và phát triển khả năng tư duy cho học sinh

ứng dụng hàm số để giải các bài toán về bất phương trình, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, giải bài toán bằng cách lập phương trình

Dùng phương pháp hàm số để giải các dạng bài tâp khác nhau

Ví dụ: sử dụng phương pháp hàm số để giải các bài toán về phương trình và hệ phương trình

Do đó việc dạy và học tốt hàm số ở cấp trung học cở sở tạo cơ sở cho việc dạy và học ở các bậc học cao hơn

1.1.1.3 Tính chất của hàm số và một số kiến thức cơ bản

Nghịch biến trên khi a 0

 Đồ thị hàm số yaxb

Đồ thị của hàm số yaxb a 0 là một đường thẳng cắt trục tung

tại điểm có tung độ bằng b và song song với đường thẳng yax nếu 0,

b trùng với đường thẳng yax nếu b  0

Đồ thị của hàm số yaxb a 0 còn được gọi là đường thẳngyaxb a 0, b được gọi là tung độ gốc của đường thẳng

Đồ thị của hàm yax a 0 là đường thẳng đi qua gốc tọa độ

Các đường thẳng có cùng hệ số góc a thì tạo với trục Ox các góc bằng

 Tính chất biến thiên của hàm số

Nếu a thì hàm số đồng biến khi 0 x và nghịch biến khi 0 x 0

Nếu a thì hàm số đồng biến khi 0 x và nghịch biến khi 0 x 0

yax a là một đường cong đi qua gốc tọa độ

và nhận trục Oy làm trục đối xứng Đường cong đó được gọi là một parabol với đỉnh

Nếu a  thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của 0

Nếu a  thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của 0

Học sinh nắm được phương pháp khảo sát hàm số bằng phương pháp sơ cấp, biết vận dụng phương pháp này để khảo sát những hàm số cụ thể như:

yaxb ; yax; y a

x

 ; yax2;… Do đó rèn luyện cho học sinh thành thạo kĩ năng vẽ hình

Học sinh nắm được mối liên hệ qua lại giữa hàm số và đồ thị

Một điều kiện thuận lợi nữa là khi học hàm số thì có rất nhiều ứng dụng trong thực tế và là căn bản để học tiếp lên các bậc học cao hơn

chỉ mang tính chất giới thiệu và hầu như các ví dụ thì đều đơn giản, cụ thể, dễ hiểu nên khi vào các kì thi tuyển sinh vào lớp 10 các em gặp không ít những

khó khăn, cụ thể như:

 Các bài tập thường là sự kết hợp của nhiều dạng bài khác nhau

 Không tìm ra hướng đi đúng cho bài toán

 Kiến thức về hàm số chưa nắm vững

 Chưa xác định được bài toán đó thuộc dạng nào

 Chưa biết phương pháp giải của dạng toán đó

………

Học sinh gặp phải khó khăn khi làm việc với những quy tắc tương ứng cho bằng bảng số

1.2 Chủ đề hàm số trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10

Hàm số giữ vị trí trung tâm trong toàn bộ chương trình toán học

Mặt khác: Hàm số trở thành câu hỏi không thể thiếu trong các đề thi vào lớp 10, là câu hỏi thách thức với mỗi thí sinh Trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trong cả nước thì hầu hết đều có một bài tập về hàm số và các bài toán có liên quan Phần bài tập về hàm số thông thường chiếm số lượng điểm

từ 2 điểm đến 3 điểm Chính vì vậy, học sinh phải làm tốt các bài tập này cũng

đồng nghĩa với việc tiến gần vào lớp 10 hơn

Các bài tập trong đề thi tuyển sinh vào 10 thường là các bài tập có sự chắt lọc dựa trên những tính chất và các kiến thức về hàm số, có thể bài được

đưa ra trong đề thi là câu vẽ đồ thị hàm số, viết phương trình đường thẳng, tìm mối tương quan nào đó,… Trong các đề thi tuyển sinh vào 10 thì chúng ta có thể phân loại bài tập về hàm số thành các dạng bài tập cụ thể khác nhau như:

Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng

Dạng 3: Mối tương quan giữa đường thẳng và đường thẳng

Dạng 4: Mối tương quan giữa đường thẳng và parabol

Trong chương này đã đi tìm hiểu cở sở lý luận về hàm số, tìm hiểu được kiến thức liên quan tới vấn đề này Những kiến thức đó là nguồn tài liệu tham khảo đối với các em học sinh Chương này đã tổng hợp lại những kiến thức lí thuyết cơ bản nhất về hàm số trong chương trình toán THCS, đặc biệt là kiến thức gắn liền với kì thi tuyển sinh vào 10 Từ đó có những dạng bài tập tương ứng Trên cơ sở đó với mục đích giúp học sinh có một tài liệu về chủ đề hàm

số trong đề thi tuyển sinh vào 10, khóa luận sẽ phân dạng các bài toán xuất hiện trong đề thi tuyển sinh vào 10 Các dạng bài tập này sẽ có phương pháp làm như thế nào, điều đó được đề cập tới trong chương 2

Chương 2: Bài toán về chủ đề hàm số trong đề thi tuyển

Thông thường chọn 2 điểm thuộc đồ thị để vẽ

Chọn x thì 0 yb, ta được điểm A0 ;b thuộc trục Oy

a thuộc trục Ox .

Vẽ đường thẳng qua ,A B ta được đồ thị của hàm số yaxb

Chú ý: Điểm M x M ;y M  thuộc đồ thị hàm số yaxb khi y M ax M b

cùng một hệ trục tọa độ

Giải

d đi qua 2 điểm 1; 1 ; 0 ; 3     

(P): Lập bảng giá trị

Ví dụ 2: (Thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán, Thái Bình, năm 2011)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho (P): y x2

Vẽ parabol (P)

Giải (P): Lập bảng giá trị

Ví dụ 3: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Quốc Học Thành Phố Huế, năm

y  x tại điểm A có tung độ bằng 1

2) Vẽ đồ thị (P) của hàm số ứng với giá trị a vừa tìm được trong câu 1 và

Lập bảng giá trị

2.1.3 Luyện tập

Bài 1: (Đề thi vào lớp 10 môn Toán, tỉnh Quảng Trị, năm 2011)

Vẽ đồ thị hàm số: y x Tìm trên 3 d điểm có hoành độ và tung độ bằng nhau

Theo giả thiết ta có tung độ và hoành độ bằng nhau nên x  y

Bài 3: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Khánh Hòa, 19/ 06/ 2009)

Cho (P): y x2 Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng tọa độ Oxy

Giải a) Vẽ (P): Lập bảng giá trị

Bài 5: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, Cần Thơ, 2009)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hàm số yax2 có đồ thị (P) Tìm

Bài 7: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, Đà Nẵng, 2010)

Cho hai hàm số: y2x2 có đồ thị (P) và y x 3 có đồ thị d

Vẽ các đồ thị (P) và d trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy

Giải ( ) đi qua 0 ; 3 và 1 ; 2 

Khi m 1 y1x  1 2x 1 d1

1

d đi qua điểm 1 ; 0 ; 0 ;1  

Bài 9: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Thành Phố Huế,12/7/2006)

Trên mặt phẳng tọa độ (hình vẽ), có điểm A thuộc (P) của hàm số

Bµi 10: (§Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 THPT Quèc Häc HuÕ, 2011)

Bài 11: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Quốc Học Huế, 25/ 06/ 2010)

Cho hàm số yax2

Xác định hệ số a biết rằng đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm M 2 ; 8 

Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ (P) của hàm số đã cho với giá trị a vừa

tìm được và đường thẳng d đi qua M 2 ; 8 có hệ số góc bằng 2

d đi qua 2 điểm 0 ; 4 ; 2 ; 0   

2.2 Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng

2.2.1 Phương pháp giải

 Lập phương trình đường thẳng d khi biết quan hệ về hệ số góc (song song

hay vuông góc) và đi qua điểm A

Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Nam Định, 2011)

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M có hoành độ bằng 2 và M

thuộc đồ thị hàm số y 2x2 Lập phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa

độ và điểm M (biết đường thẳng OM là đồ thị của hàm số bậc nhất)

Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 TP HCM đề chung vào trường chuyên,

Vì đường thẳng d song song với đường thẳng y3x1 nên

a b

Bài 1: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, Hải Phòng)

Xác định các hệ số ,a b của hàm số yaxb b 0 biết đồ thị d của hàm

số đi qua A1 ;1 và song song với đường thẳng y 3x2011

Giải Vì đồ thị c: yaxb đi qua A1 ;1 và song song với đường

thẳngy 3x2011 nên ta có

1 13

Bài 2: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Thừa Thiên Huế, 2009)

Cho hàm số yaxb. Tìm ,a b biết rằng đồ thị của hàm số đã cho

song song với đường thẳng y 3x5 và đi qua điểm (P): 1 2

Bài 3: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Thành Phố Huế, 12/7/2007)

Trên mặt phẳng tọa độ cho 2 điểm B4 ; 0và C 1; 4  Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm C và song song với đường thẳng y2x3

Xác định tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và trục Ox

Xác định các hệ số , ,a b biết đồ thị hàm số yaxb đi qua 2 điểm

,

B C Tính góc tạo bởi đường thẳng BC và trục hoành Ox

Đường thẳng d cắt trục Ox tại điểm A x ; 0 nên ta có

a b

Vậy góc tạo bởi đường thẳng BC và trục hoành Ox là 141 20 0 

Bài 4: (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Thái Bình, năm 2011)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : yk1xn và

2 điểm A0 ; 2 ; B1; 0  Tìm giá trị của k và n để:

Đường thẳng d song song với đường thẳng yx 2 k.

Đường thẳng d đi qua 2 điểm , A B

Giải

Để đường thẳng d song song với đường thẳng yx 2 k thì

1 12

Bài 5: (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT Quốc Học Thừa Thiên Huế)

Cho parabol (P) có đỉnh ở gốc tọa độ O và đi qua điểm   

1

1 ;4

Viết phương trình của parabol (P)

Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng

x y

Bài 7: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Thành Phố Huế, 12/7/2006)

Trên mặt phẳng tọa độ (hình vẽ), có điểm A thuộc (P) của hàm số

a b

Bài 8: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Hà Tĩnh, 2010)

Trên trục tọa độ Oxy, đường thẳng yaxb đi qua điểm

a b

a) d đi qua điểm A1; 4

b) d cắt trục tung tại B có tung độ bằng 3

Giải a) Vì d đi qua điểm A1; 4 nên d có phương trình y  x 4

b) Vì d cắt trục tung tại B có tung độ bằng 3 nên x0;y3

Khi đó 3a.0  b b3

Do đó phương trình đường thẳng d là: y3

2 3 Dạng 3: Mối tương quan giữa đường thẳng và đường thẳng

2.3.1: Phương pháp giải

 Cách tìm giao điểm hai đường thẳng y1 f x y( ); 2 g x .

Bước 1: Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình

y g x để tìm tung độ giao điểm

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của 2 đường thẳng trên

 Quan hệ giữa 2 đường thẳng

Để chứng minh 3 đường thẳng d d d1; 2; 3 đồng quy ta làm các bước sau:

Bước 1: Tìm giao điểm A của d d1; 2

Bước 2: Kiểm chứng A nằm trên d3

Khi đó d d d1; 2; 3 đồng quy tại A

Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT - Đề A, 2008 - 2009)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho d :  2 

133

m m m

Đối chiếu với điều kiện (**) ta được m1  1

Vậy với m1   thì đường thẳng 1 d song song với đường thẳng .d