Tính duy nhất ngược của phương trình Parabolic

ệ ệ r ử õ ữỡ tự ỡ s ổ ổ rt tỷ ổ ữỡ t ữủ ữỡ tr r ữợ t ữỡ tr tr ổ rt t ữủ ữỡ tr r t t t t t ữủ q t t ự ữỡ tr r tr t t t ởt t ữủ t õ tọ õ õ t tở tử t ởt tổổ õ t ỳ t t t ởt tr ổ tọ t t õ r t t ổ ữ ố ợ t t t t ró r ự t t t t ổ ởt rt õ t t ữủ ữỡ tr r ữủ tớ ụ tr ữợ ự ữỡ tr r ữủ tớ ởt t t ổ ự t t ữủ ữỡ tr r tr ọ t ữỡ tr r ợ tớ ố t t ọ t út ữủ sỹ q t ự t ợ tr t ợ t q t t ữủ ụ t tứ ỳ t trữợ ổ tr õ tr ự ữỡ tr r ữủ tớ ữủ ổ ố t ữủ ữỡ tr r t t ợ số ổ tở tớ õ t ổ t ữ s H ởt ổ rt ợ t ổ ữợ , A : D(A) H H ởt t tỷ ổ tở tớ tỹ ủ ữỡ tr H õ u(t) C([0, T ], H), t T ữỡ tr ut + Au = 0, < t < T tọ u(T ) = t u(t) = 0, t [0, T ) t q tr ữủ t tr t ữợ s ữợ tự t ự t t ữủ ữợ t ữỡ tr ự ữỡ tr r ữợ s t ữủ ữợ t ữỡ tr õ ut Au (t) u(t) , ợ tt A t tỷ ố ự tr ổ rt r trữớ ủ t tỷ A tỹ ủ rr t t ởt ự ỡ ỡ t q s ụ ữ ởt rở t q õ ỡ õ ự rr ợ tt ỡ A t tỷ ố ự ữợ tự ự t t ữủ ữỡ tr r õ trú ự t ỡ t số ữỡ tr ỡ ữợ ổ ố t q t t ữủ ữỡ tr ut u = j j u + vu õ t tử ổ ố t q t t ữủ ữỡ tr t õ ut + Au = f (u) t t ự t s ỡ ữợ ự ú tổ t t ữủ ữỡ tr r tổ q t t tr ởt ự tt t q t ữủ q ự t t ữ ữ ự ự ỏ tt ợ õ ữủ tr t ữỡ ữỡ tr tự ỡ s ữ ổ ỳ ổ ổ rt t tỷ ổ tr ổ rt ữỡ tr tt t q tr õ ú tổ t ự t t ữủ ữỡ tr r t t ợ số số ỗ tớ tr ự tt t q tr ữủ t t trữớ ữợ sỹ ữợ ự tọ ỏ ỡ s s t tợ t ự ữớ t sỹ q t ú ù t t tr sốt q tr t ự t ụ ỷ ỡ t qỵ t ổ tr tờ t rữớ t t ộ ú ù t tr q tr t ố ũ t ỡ õ trữớ ụ ữ ỗ q t ú ù t t ủ t ứ t ứ ổ t t tốt õ t ú tớ ũ õ ố ữ ổ t tr ọ ỳ t sõt t rt ữủ sỹ õ ỵ qỵ t ổ ữủ t ỡ t ì é ổ E K ổ tỡ u : E R ữủ 0, u E u = u = u = || u , u E, K u + v u + v , u, v E ỵ x ởt tr E t d(x, y) = xy ởt tr tr E tr tọ d(x+z, y+z) = d(x, y) d(x, y) = ||d(x, y) ợ x, y, z E, K x ổ ởt ổ tỡ ũ ợ ởt tr õ ổ ổ tr ợ tr ởt s ổ ổ ợ tr s ỵ x R x ởt tử tứ E ỵ sỷ E ởt ổ õ (x, y) x + y tứ E ì E E tử (, x) x tứ K ì E E ỵ sỷ E ổ õ ợ a E x a + x ỗ ổ ỹ tự t tứ E E ợ K, = x x ỗ ổ tứ E E sỷ X t ữủ s t tr R Lp (X) K ổ tỡ tt f tứ X K s |f |p t s r ổ t ỗ t ỡ ợ p f Lp (X) t f p |f |p ) p =( X sỷ số tỹ tọ 1 + = õ ợ số tỹ 0, t õ p q p > 1, q > p q + , p q tự r p = q t tự r sỷ p > 1, q > số tỹ tọ p1 + 1q = f Lp(X), g Lq (X) t f g f p g q f g L1 (X) t tự s sỷ f, g Lp (X) õ f + g Lp (X) f +g p f p + g ợ f Lp(X) K t õ f p = || f p p p f Lp (X) ỵ ợ p Lp(X) ổ sỷ X ởt tr Rn ởt u(x) Lp (X) ữủ s rở v(x) Lp (X) u(x)(x)dx = (1)|| X v(x)D (x)dx, C0 (X), X = (1 , , , n ) tỡ ợ tồ ổ ữủ || ởt số || = + + + n D = n k số ổ p số tỹ tọ p Wpk (X) t ỗ tt u Lp (X) s ợ ộ số , || k s rở D u tỗ t tở Lp (X) u Wpk (X) t õ p (1 p < ) |D u|p dx u Wpk (X) = || k X ess sup |D u| (p = ) || k õ Wpk (X) ởt ổ ổ Wpk (X) ợ p1 u Wpk (X) = |D u|p dx , || k X ữủ ổ p = t ủ t H k (X) = W2k (X), (k = 0, 1, ) t tự r (.) ởt tử tt ố ổ tr [0, T ] tọ ợ t t tự (t) (t)(t) + (t), tr õ t ổ tr [0, T ] õ (t), (t) t (t) e ợ t T t t (s)ds (0) + (s)ds , tr [0, T ] t tự r t (t) ởt t ổ tr [0, T ] tọ ợ t t tự t tr [0, T ] (0) = t t (t) C1 (s)ds + C2 , ợ C1, C2 số ổ õ (t) C2 (1 + C1 teC1 t ) ợ t t T t t (t) C1 (s)ds ợ t t T t (t) = ợ t f : F t tr ổ E ỏ F ổ õ f t x0 tỗ t S L(E, F ) s f (x0 + h) f (x0 ) S(h) = o( h ), ởt tữỡ ữỡ > 0, > 0, h < s r f (x0 + h) f (x0 ) S(h) = h ú ỵ r ữủ t ữợ q tở lim h f (x0 + h) f (x0 ) S(h) = h t f t x0 ổ t ữủ t tữỡ ữỡ S L(E, F ) tọ t ỵ S f (x0 ) Df (x0 ) f t x0 t T L(E, F ) ụ tọ t > 0, > 0, h E, h t õ S(h) T (h) f (x0 + h) f (x0 ) S(h) + f (x0 + h) f (x0 ) T (h) h , s r S T < > õ S = T ữ tr t t õ f : L(E, F ) x f (x) L(E, F ) r tử t f ữủ tử tở ợ C t f C tr f : F t f : L(E, F ) õ t t ữ f : ì E F (x, h) f (x, h) = f (x)(h), t t tử t tự h E tự t x ố t tự t x tự h E ố t trữớ ủ E = R rữợ t ổ tự (T ) = T (1), T L(R, F ) ỳ ỳ L(R, F ) F t ỗ t T L(R, F ) ợ T (1) f : (a, b) F t x0 (a, b) õ f (x0 + h) f (x0 ) f (x0 )(1) h0 h f (x0 + h) f (x0 ) f (x0 )(h) = lim h0 h = lim ữ ỗ t f (x0 ) ợ f (x0 )(1) t õ t t f (x0 + h) f (x0 ) , h0 h f (x0 ) = lim õ q tở f : F t f tr f = S | : F ợ S L(E, F ) t f (x) = S x t s r tứ tự s f (x + h) f (x) S(h) = S(x + h) S(x) S(h) = S(x) + S(h) S(x) S(h) =0 h E, ữ t t tử t tở E t t tử õ sỷ t tr ổ E F ổ t f : F, x0 h E, h = ợ f (x0 + th) f (x0 ) t0 t tỗ t t õ ữủ t ữợ h f t x0 ỵ f (x0 ) ữ h f f (x0 + th) f (x0 ) (x0 ) = lim t0 h t lim t Au, u Au(0), u(0) |u|2 |u(0)|2 t = dt 2 dt ợ p = 2, p = t tự r t õ t t dt p dt s r p t dt p 2M t p , Au, u Mt p |u|2 ứ t õ Au, u + Re Lu, u d ln |u| = dt |u|2 t Re Lu, u , |u|2 s r d Au, u Re Lu, u ln |u| = + dt |u|2 |u|2 M t1 p (t) t t d ln |u|dt dt t ( M t1 p (t))dt p t M t2 p 2p t (t)dt, ln |u||t0 t p M t2 p N t1 p 2p t ln |u(t)| ln |u(0)| + t p M t2 p N t1 p , 2p tr õ N tở t 2 t2 p < (t + 1)2 p , 1 (t + 1)2 p = (t2 + 2t + 1)1 p > t1 p p t = max{ M, N } õ số s 2p 2 à(t + 1)2 p , ữủ ự ứ t õ d Au, u dt |u| t õ t d Au, u dt dt |u|2 t dt, Au, u t | |u|2 t dt t Au, u Au(0), u(0) t dt |u|2 |u(0)|2 t = dt t (K (t + 1)2 )dt 1 K2 (t + 1)2+1 2 + t Re Lu, u tứ |u|2 Au, u + 2Re Lu, u d ln |u|2 = , dt |u|2 s r d Au, u + Re Lu, u ln |u| = dt |u|2 1 (t + 1)2+1 (t) K2 2 + t t d ln |u|dt dt t 1 ( K (t + 1)2+1 (t))dt 2 + t 1 2+2 (t + 1) (t)dt t K 2 + + õ ln |u||t0 t 1 2+2 t K (t + 1) K(t + 1) dt 2 + + 2 1 +1 t K (t + 1)2+2 K t , 2 + + +1 1 +1 ln |u(t)| ln |u(0)| + t K (t + 1)2+2 K t 2 + + +1 t (t + 1)2+2 = (t2 + 2t + 1)+1 > t+1 1 1 t = max{ K ,K } õ số s 2 + + +1 à(t + 1)2+2 , ữủ ự t ữủ ữỡ tr r t t t ỵ H ởt ổ rt ợ t ổ ữợ A : D(A) H H ởt t tỷ ổ tở tớ tỹ ủ ữỡ tr H õ u(t) C([0, T ], H), t T ữỡ tr ut + Au = 0, < t < T tọ u(T ) = t u(t) = 0, t [0, T ) ự t h(t) = , u(t), u(T t) , t [0, T ] r h (t) = u (t), u(T t) + u(t), u (T t) = Au(t), u(T t) + u(t), Au(T t) = Au(t), u(T t) + Au(t), u(T t) = 0, t [0, T ] T õ h(t) t h(0) = h( ) t õ u(0), u(T ) = T T u( ), u( ) 2 T = u( ) T tt u(T ) = tứ t s r u( ) T u( ) = tữỡ tỹ t õ = tự T T T u( ) = 0; u( ) = 0; ; u( n ) = 0, n N s r u(0) = lim u( n T ) = 2n t g(t) = u(t) = u(t), u(t) ; t [0, T ] õ g (t) = u (t), u(t) + u(t), u (t) = Au(t), u(t) + u(t), Au(t) = Au(t), u(t) Au(t), u(t) = Au(t), u(t) 0, t [0, T ] ữ g(t) tr [0, T ] r g(t) g(0), t [0, T ] u(t) u(0) , t õ u(0) = s r u(t) = tự u(t) = 0, t (0, T ) u(t) = 0, t [0, T ) ố T0 < n N u C ([T0 , 0], H (Rn )) C([T0 , 0], H (Rn )) ữỡ tr ut u = f, ợ f C([T0 , 0], L2 (Rn )) tt r f L2 K1 u L2 f, u K3 u f, u K5 u + K2 u L2 L2 L2 , + K4 u + K6 u t [T0 , 0), L2 L2 L2 = L2 (Rn ) , t [T0 , 0), t [T0 , 0), tr õ K1 , K2 , K3 , K4 , K5 K6 r t ợ ữỡ ỗ rt t t tữỡ rt u(t) L2 Q(t) = u(t) L2 õ trỏ rt q trồ tr õ ú t t u(t) = u(., t) ỵ u C 1([T0, 0], H 1(Rn)) C([T0 , 0], H (Rn )) ữỡ tr ut u = f sỷ u(0) u(t) = 0, t [T0 , 0) K1 < K5 < t u(t) L2 u(T1 ) L2 t T1 M exp(K6 (t T1 )), t [T1 , 0) tr õ T1 = max{T0 , M= K1 }, CK1 K2 (1 K5 )(1 K1 ) CK12 ự ỵ ú t t ợ s x C 1([T0, 0), [0, )) s A + B tr [T0, 0) tr õ T0 < A > B ổ tr [T0, 0) ú õ ợ t [ 4B(1)/ A1/ > sỷ r , 0) [T0 , 0), x t õ (t) > 2(+1)/(1)|t|11/(1)A1/(1) ự ỵ (t) = 2(+1)/(1)|t|11/(1)A1/(1) sỷ ổ ú ú õ tỗ t t tọ s (t) (t) ỷ r ú t ự ữủ r tứ t ( ) 2(t), (t, 0), t t ợ tt x ổ tr [T0 , 0) P ỏ ự tứ ợ x C ([T0 , 0), [0, )) tr [t, 0) s r ữủ sỷ õ ổ ú ú õ ú t t ữủ = min{ (t, 0) : x( ) = 2(t)}, tứ t s r (t, 0) ú õ x( ) Ax( ) + B A(t) + B, [t, ] [t, 0) r t dx d d (2 A(t) + B)d, t x( )|t (2 A(t) + B) |t t x(0 ) x( ) + (2 A(t) + B)(0 t) õ x(0 ) (t) + (2 A(t) + B)(0 t), x(0 ) < (t) + (2 A(t) + B)|t| t (t) = 2(+1)/(1) |t|1/(1) A1/(1) (t)1 = , 2+1 |t|A s r A(t) = (t) 2|t| ứ tt t [ 4B (1)/ A1/ s r |t| , 0) [T0 , 0) 4B (1)/ A1/ |t|/(1) , 4/(1) BA1/(1) t B B 1 , (+1)/(1) /(1) 22 |t| A1/(1) 1 2(+1)/(1) |t|1/(1) A1/(1) 2|t| B (t) 2|t| ứ õ t s r x(0 ) < (t) + ( (t) (t) + )|t| < 2(t) 2|t| 2|t| t ữủ ự ự ỵ sỷ u(0) = u(t) = 0, t [T0 , 0) rữợ t t r Q(t) ổ tr [T0 , 0) t tứ t õ f, u = ut u, u = ut , u u, u = f, u + u L2 1d = u L2 + Q(t) u dt L2 t f, u K3 u = u L2 K4 u L2 (K3 Q(t) L2 + K4 ) t 1d u dt s r L2 + Q(t) u L2 u L2 (K3 Q(t) + K4 ), d dt u L2 + Q(t) (K3 Q(t) + K4 ), u L2 d dt u L2 (1 + K3 )Q(t) K4 u L2 t t õ t T0 d u L2 dt dt u L2 t ((1 + K3 )Q(t) K4 )dt, T0 s r t ln u |tT0 (1 + K3 ) Q( )d K4 (t T0 ), T0 t ln u(t) ln u(T0 ) (1 + K3 ) Q( )d K4 (t T0 ) T0 t t u(t) u(T0 ) exp (1 + K3 ) Q( )d K4 (t T0 ) T0 ợ t [T0 , 0) Q(t) t s r u(0) = t ợ tt Q(t) ổ tr [T0 , 0) t t ự r Q(t) K1 , 8K12 |t| t [T1 , 0), tr õ T1 = max{T0 , K1 } 4K1 K2 t tứ tt f L2 K1 u L2 + K2 u L2 , sỷ ỗ t tự 1 Q (t) + (A Q(t)I)v L2 = f, (A Q(t)I) , u L2 u tr õ A = v = s r u L2 1 Q (t)+ (A Q(t)I)v L2 = f, (A Q(t)I) u L2 f L2 (A Q(t)I) L2 u L2 f L2 (A Q(t)I)v L2 u L2 u L2 K1 + K2 (A Q(t)I)v L2 u L2 (K1 Av L2 + K2 ) (A Q(t)I)v L2 t v = t õ Av L2 = (A Q(t)I)v + (Q(t)I)v L2 (A Q(t)I)v L2 + Q(t) Iv (A Q(t)I)v L2 + Q(t) L2 õ Q (t) + (A Q(t)I)v L2 K1 (A Q(t)I)v L2 + K1 Q(t) (A Q(t)I)v L2 + K2 (A Q(t)I)v L2 K1 < K1 Q(t) + K2 Q (t) (1 K1 ) (A Q(t)I)v L2 + K1 (A Q(t)I)v 2 K1 (K1 Q(t) + K2 )2 (K1 Q(t) + K2 )2 + 4(1 K1 ) 4(1 K1 ) K1 Q(t) + K2 (K1 Q(t) + K2 )2 K1 (A Q(t)I)v L2 4(1 K1 ) K1 (K1 Q(t) + K2 ) 4(1 K1 ) t tự r t õ 2(K1 Q(t)2 + K2 ) Q (t) , 4(1 K1 ) K2 K1 2 Q(t) + Q (t) K1 K1 K1 K2 t ợ A = ,B = , = t K1 K1 õ Q(t) 1 K1 K1 = 2 = K1 8|t|K1 8tK1 8|t| K1 ợ t [T1 , 0) tr õ T1 = max{T0 , ỷ tự f, u = 1d u dt L2 K1 } 4K1 K2 + Q(t) u + K6 u L2 , tt (A3) f, u K5 u L2 L2 , s r 1d u dt L2 + Q(t) u L2 K5 u = u 2 L2 + K6 u L2 (K5 Q(t) L2 + K6 ) L2 d u dt t u L2 d u dt u L2 + Q(t) u L2 + ((1 K5 )Q(t) K6 ) u L2 L2 (K5 Q(t) L2 + K6 ) K5 < tứ s r d u dt õ L2 + (1 K5 )(1 K1 ) K6 8tK1 d u L2 dt u L2 u L2 0, (1 K5 )(1 K1 ) + K6 8tK1 ợ t [T1 , 0) t t tự tr t õ t T1 d u L2 dt dt u L2 t (1 K5 )(1 K1 ) + K6 dt 8tK1 T1 t (1 K5 )(1 K1 ) t dt + K6 dt 8K1 T1 T1 t r ln u L2 |tT1 (1 K5 )(1 K1 ) ln |t||tT1 + K6 (t T1 ) 8K1 t ln u(t) L2 ln u(T1 ) L2 + t (1 K5 )(1 K1 ) ln + K6 (t T1 ) T1 8K1 õ u(t) L2 u(T1 ) L2 (1 K5 )(1 K1 ) t 8K1 exp(K6 (tT1 )) t [T1 , 0) T1 ỵ ữủ ự t ữủ t q s tr ởt õ tố tự ỡ s ữủ sỷ tr q tr ự t t ữủ ữỡ tr r t ự tt ỵ ự tt t q õ tr ữ ự ỏ tt ữ ỵ ỵ t t ữ tỹ t t t ố r ự Pữỡ tr r t t ố t ss r t r Prrts sts r r rt qts ss Pr rr t r s qss trs r sts rt qts rt s rr Pr t P s stt sts rt qts P t r qss r sts r t r qss r qts Pr r t Pr r t r rrtss sss r rt r r s ss t srs rrt rs r tr qts ss r Prrs r s r sts rt q ts rt s Pr r t r qss r r rtrs s ts r st ts t t Prs t Pr r r qss rsts