một số bài toán giá trị biên liên quan đến phương trình parabolic

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN SP TOÁN HỌC  LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Đề tài: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC Giáo viên hướng dẫn TS Phùng Kim Chức Sinh viên thực Hồ Văn Bằng MSSV: 1110006 Lớp: SP Toán K37 Cần Thơ, 2015 DANH MỤC KÍ HIỆU Rn không gian Euclide n-chiều x   x , , x n  điểm thuộc R n xy  n x y i i  x y    n tích vô hướng x, y  R n i 1  i 1 1/   x i  y i    khoảng cách x, y  R n miền R n      bao đóng  QT    0, T  trụ với chiều cao T R n 1 ST    0, T  mặt xung quanh trụ Q T    , , n  đa số với  i số nguyên không âm D   Dx    x  x       , , xn   x1 k tk u    toán tử đạo hàm suy rộng cấp  ,       n vectơ gradient đạo hàm suy rộng cấp k theo biến t * chuẩn phần tử không gian tuyến tính định chuẩn C k ,l Q T  không gian hàm có đạo hàm liên tục theo biến x đến cấp k , theo biến t đến cấp l C k Q T   tập hàm có giá compact có đạo hàm liên tục đến cấp k i LỜI CẢM ƠN Lời xin cảm ơn tất thầy cô môn toán thuộc khoa Sư phạm trường Đại học Cần Thơ hết lòng dạy bảo trình học tập Và xin cám ơn toàn thể lớp Sư phạn Toán học khóa 37 giúp đỡ, động viên học tập sống, thành thật cảm ơn Trên hết, trình hoàn thành luận văn, nhận hướng dẫn tận tình từ thầy Phùng Kim Chức, từ việc chọn đề tài việc chỉnh sửa để hoàn thành luận văn Xin gửi đến thầy lời cảm ơn chân thành lời chúc sức khỏe ii MỤC LỤC DANH MỤC KÍ HIỆU i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC ii PHẦN MỞ ĐẦU iv PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 KHÔNG GIAN HILBERT 1.1.1 KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH ĐỊNH CHUẨN 1.1.2 PHIẾM HÀM TUYẾN TÍNH 1.1.3 KHÔNG GIAN HILBERT .2 1.2 TÍCH PHÂN LEBESGUE CHƯƠNG CÁC KHÔNG GIAN HÀM VÀ BÀI TOÁN PHỔ ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC 2.1 KHÔNG GIAN L p   ,  p   2.1.1 ĐỊNH NGHĨA 2.1.2 MỘT VÀI TÍNH CHẤT CỦA KHÔNG GIAN L p   ,  p   12 2.2 TRUNG BÌNH HÓA VÀ ĐẠO HÀM SUY RỘNG 13 2.2.1 TRUNG BÌNH HÓA 13 2.2.2 ĐẠO HÀM SUY RỘNG 14 2.3 KHÔNG GIAN W pm  ,  p   ( không gian Sobolev) 15  2.4 KHÔNG GIAN W pm   ,  p   17 2.5 KHÔNG GIAN W2m, l Q T  17 2.6 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER VÀ KHÔNG GIAN H 2s  H 2s R n  .20 2.6.1 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER TRONG KHÔNG GIAN SCHWART 20 2.6.2 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER TRONG KHÔNG GIAN L R n  21 iii 2.6.3 KHÔNG GIAN H 2s  H 2s R n  21 2.7 VẾT CỦA HÀM TRONG KHÔNG GIAN W 21   22 2.8 BÀI TOÁN PHỔ ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC 24 CHƯƠNG CÁC BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN 28 3.1 PHƯƠNG TRÌNH LOẠI PARABOLIC …………………………… 28 3.2 CÁC BÀI TOÁN VÀ NGHIỆM SUY RỘNG 29 3.2.1 BÀI TOÁN CAUCHY .29 3.2.2 CÁC BÀI TOÁN BIÊN BAN ĐẦU .30 3.3 BẤT ĐẲNG THỨC NĂNG LƯỢNG 32 3.4 BÀI TOÁN CAUCHY 36 3.4.1 TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM SUY RỘNG .36 3.4.2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM SUY RỘNG 40 3.5 BÀI TOÁN BIÊN THỨ NHẤT 44 3.5.1 TRƯỜNG HỢP CÁC HỆ SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN 44 3.5.2 TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT 48 3.6 BÀI TOÁN BIÊN THỨ HAI VÀ THỨ BA 55 PHẦN KẾT LUẬN .63 TÀI LIỆU THAM KHẢO .64 iv PHẦN MỞ ĐẦU Lượt sử vấn đề Phương trình đạo hàm riêng kỉ 18 tác phẩm Euler, d’Alembert, Lagrange Laplace Đầu kỉ 19, đặc biệt tác phẩm Riemann, phương trình đạo hàm riêng trở thành công cụ thiết yếu nhánh khác toán học Và giai đoạn 1890 đến 1900 giai đoạn bắt đầu phương trình đạo hàm riêng đại với đóng góp to lớn H.Poincaré Một khái niệm phương trình đạo hàm riêng đại nghiệm suy rộng, tức nghiệm “thô” lúc đầu nghiệm “khá gần” với nghiệm hầu khắp cổ điển Sau đó, nhờ công cụ giải tích hàm ta làm nghiệm suy rộng dần đến nghiệm thông thường Mặc dù có nhiều nghiên cứu từ nhà toán học khắp thới giới vẫ số vấn đề chưa giải triệt để, cụ thể việc nghiên cứu tính trơn nghiệm suy rộng Vấn đề giải cho toán Ellipic miền với biên tùy ý, toán biên phương trình Parabolic hay Hyperbolic miền trụ mà đáy với biên không trơn vấn đề thách thức nhà toán học Lí chọn đề tài Phương trình đạo hàm riêng, lý thyết có nhiều ứng dụng thực tiễn Và chương trình đào tạo bậc đại học, bước đầu làm quen với với lý thuyết này, cụ thể môn học “Phương trình đạo hàm riêng” Với mong muốn tìm hiểu thêm phần kiến thức lý thuyết này, giúp cho bạn sinh viên có thêm nguồn tài liệu tham khảo trình học tập, mạnh dạn hoàn thành luận văn với đề tài: “Một số toán giá trị biên có liên quan với phương trình loại parabolic” Đối tượng, phạm vi, phương pháp nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng cấp hai thuộc loại parabolic v 3.2 Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm tài liệu, đọc hiểu tài liệu sở phân tích, tổng hợp, diễn giải, trình thành hệ thống để giải vấn đề đặt 3.3 Phạm vi nghiên cứu Bài toán Cauchy, toán biên ban đầu phương trình đạo hàm riêng cấp hai thuộc loại parabolic trường hợp hệ số phương trình phụ thuộc thời gian không phụ thuộc thời gian Cấu trúc kết luận văn Phần nội dung luận văn bao gồm ba chương, chương điểm lại số kiến thức trọng tâm không gian Hilbert tích phân Lebesgue Trong chương hai, giới thiệu số không gian hàm quan trọng lí thuyết phương trình đạo hàm riêng đại Và chương ba trọng tâm luận văn, trình toán giá trị biên liên quan đến phương trình đạo hàm riêng cấp hai thuộc loại parabolic vi PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 KHÔNG GIAN HILBERT 1.1.1 KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH ĐỊNH CHUẨN Trước hết ta định nghĩa khái niệm không gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 1.1 Một tập hợp không rỗng E gọi không gian tuyến tính định chuẩn trường K (trường số thực trường số phức) i) Tập hợp E không gian tuyến tính, ii) Mỗi phần tử x thuộc E gán tương ứng với số thuộc trường K , kí hiệu x , gọi chuẩn phần tử x thỏa mãn điều kiện  x  0, x   x  , x  E ,   x   x ,   K , x  E ,  x  y  x  y , x, y  E Sự hội tụ không gian tuyến tính định chuẩn xác định sau: dãy x , x , , x n , phần tử E gọi hội tụ đến phần tử x  E x n  x  n   Kí hiệu tắt x n  x Sau số khái niệm cần thiết cho phần Một tập E '  E gọi trù mật không gian E với phần tử thuộc E tồn dãy phần tử thuộc E ' cho dãy hội tụ phần tử E Không gian E gọi khả li tồn tập đếm trù mật E Một dãy phần tử x , x , , x n , gọi dãy Cauchy (hay dãy bản) E x p  x q  p, q   Không gian tuyến tính định chuẩn E gọi đầy dãy Cauchy E hội tụ phần tử thuộc Khi đó, không gian gọi không gian Banach 1.1.2 PHIẾM HÀM TUYẾN TÍNH Giả sử E không gian tuyến tính định chuẩn trường K Định nghĩa 1.2 Một phiếm hàm tuyến tính ánh xạ liên tục  : E  K xác định không gian tuyến tính định chuẩn E cho    x   y      x      y , x, y  E ,  ,   K Một phiếm hàm tuyến tính  gọi bị chặn tồn số không âm C cho   x  C x , x  E , Trong không gian tuyến tính định chuẩn, tính liên tục tính bị chặn tương đương Cận số C bất đẳng thức gọi chuẩn phiếm hàm tuyến tính liên tục kí hiệu  Ta có    x    sup   x0  x  (1.1) Tập hợp tất phiếm hàm tuyến tính liên tục E không gian Banach với chuẩn xác định công thức (1.1), gọi không gian liên hợp với E kí hiệu E  Nếu ta giả sử thêm E không gian Banach E  không gian khả li tập bị chặn E chứa dãy x1 , x , , x n , cho với   E  dãy số   x ,   x , ,   x n , hội tụ 1.1.3 KHÔNG GIAN HILBERT Một trường hợp đặc biệt không gian Banach không gian Hilbert Định nghĩa 1.3 Một không gian Banach H trở thành không gian Hilbert ta xác định tích vô hướng, xác định H , cặp phần tử x, y  H , kí hiệu x, y cho i) x, y  y, x , x, y  H ii) x1   x2   x1 , y   x2 , y ,  ,   K , x1 , x , y  H iii) x, x  x  , x  H Trong không gian Hilbert H , chuẩn phần tử lấy x  x, x 1/ Đối với x, y  H , ta có bất đẳng thức Cauchy-Bunhiakovsky-Schwartz x, y  x y a Sự trực giao không gian Hilbert Hai phần tử x, y không gian Hilbert H gọi trực giao x, y  Tập B   x , x , , x n ,  phần tử H gọi hệ trực chuẩn hai phần tử x i , x j trực giao e x k  với k Tập tổ hợp tuyến tính phần tử B trù mật H Định lí 1.1 Một không gian Hilbert khả li có sở trực chuẩn Chứng minh Vì H không gian khả li nên tồn  x , x , , x n ,  tập đếm trù mật Kí hiệu e1 phần tử khác không x j tập  x1  x2   x j 1  0 , e phần tử tập  x j 1 , x j  ,  tạo với e1 thành cặp độc lập tuyến tính Tiếp tục trình ta nhận hệ  e1 , e , , e n ,  độc lập tuyến tính Bây ta sử dụng trình trực giao hóa Schmidt để tạo hệ trực chuẩn H , đặt y1  e1 e1 y  e2  e2 , y1 y1  e2  e2 , y1 y1 … y k  ek  ek , y1 y1   ek , y k 1 y k 1  ek  ek , y1 y1   ek , y k 1 y k 1 Dễ thấy y1 , y1   n 1  2   bi t x   dxdt  i  Q b  i 1  b i 1       bi xi  t  dx  dt  n b n      bi        bi  dx  dt   t xi      xi t   i 1 Cuối ta có  Qb  t n   n a ij   dxdt  aij  x,0 dx   dxdt i , j 1  x j xi i , j 1 Q t x j xi   b    n    t x i 1 Q b bi      dxdt  c  dxdt xi t  t Qb   i Từ bất đẳng thức Cauchy điều kiện (3.10) suy  t  Qb dxdt     x,0  dx  C1      dxdt Qb   t  Qb  dxdt  C   c Qb   dxdt t   đủ bé, số C1  , C   không phụ thuộc vào  Từ ta có  Qb  t dxdt    b   x,0  dx  C     2 L2    dt   L2 Q b     Trong C  const  Mặt khác từ cách chọn hàm  ta nhận t t    dt  d u d  dt     0 b b b  b   b  t b b b    t  b  u d  dt  b u dt  b u dt     b 0    Lấy tích phân  hai vế bất đẳng thức trên,  L2 Q b  b u L2 Q b  b  t  Qb dxdt Từ chọn b  / 2C0 , (2.16) ta nhận  Q t  b dxdt     x,0 b dx  C   50   x , t  L2    dt (3.36) Do vậy, b   x,0 L2     C0    x , t  L2    dt (3.37) Đặt t vi  x, t    u  x ,   d xi Khi đó,    vi  x, t   vi  x, b  ,  x,0  vi  x, b  xi xi Từ bất đẳng thức viết lại sau: b v  x, b  L2     2C  b v x, t  L2    dt  2C 0  v x , b  L2    dt b  2C  v x , t  L2    dt  2bC v x, b  L2    v   v1 , ,  Chọn b  C1   / 2C , / 4C  ta nhận b v  x, b  L2     4C0  v  x, t  L2    dt Đặt b yb    v x, t  L2    dt Khi đó, từ bất đẳng thức (3.37) rút dy  C0 yb , b  C1 db Áp dụng bổ đề 3.1, ta y b   với  b  C1 Từ suy u  x, t   trụ    0, C1  Bởi số C0 , C1 không phụ thuộc vào u nên lặp lại lí luận sau hữu hạn bước, ta nhận u  x, t   RT , tức u  u Định lí □ chứng minh 51 Chú ý bổ đề 3.1 ta không đề cặp đến tính bị chặn miền  , chứng minh định lí nghiệm sử dụng công thức tích phân phần để đánh giá số hạng đồng thức tích phân Do áp dụng cho  hàm thuộc không gian W21, QT  lặp lại chứng minh định lí nghiệm ta có định lí sau Định lí 3.6 Giả sử hệ số toán tử L (3.2) thỏa mãn điều kiện (3.10), (3.11) giả sử   x   L   , f  x, t   L 2, Q T  Khi đó, toán (3.2),   (3.5) (3.6) có nghiệm suy rộng không gian W21, Q T Hơn nữa, có bất đẳng thức u W21, ( QT )  C[  L2 (  )  f L2 ,1 ( QT ) ] , C  const   Chứng minh Giả sử   k k 1 hệ hàm W21   cho hệ  trực chuẩn L   Ta tìm nghiệm xấp xỉ dạng u N  x, t   N C N k t  k  x  k 1 Trong C kN t  nghiệm hệ  n u N u N  l  l  x  dx   a ij  t x j xi    i , j 1   n  i 1 bi  u N  l  cu N  l  dx x i    f  dx, l  1, , N (3.38) l  với điều kiện ban đầu  C kN 0    l dx   , l , l  1, , N   , tích vô hướng L   Do   k k 1 trực chuẩn L   , nên ta viết lại hệ thành  52 (3.39) dC lN t  dt    n  k  l a ij    x j x i    i , j 1 N  k 1 n b i i 1    k  l  a k  l  dx  C kN t  xi     f l (3.40) dx  C lN t 0     l dx   , l , l  1, , N (3.41)  Đây hệ phương trình vi phân thường tuyến tính hàm cần tìm C lN t  , l  1, , N Các số hạng có dạng dC lN t  / dt , hệ số C kN t  hàm bị chặn biến t Các số hạng tự hàm khả tổng 0, T  Do từ kết hệ phương rình vi phân thường tuyến tính suy hệ (3.40), (3.41) có nghiệm C lN t  , nữa, C lN t  hàm liên tục tuyệt đối 0, T  Vì ta hoàn toàn xác định u N  x, t  Bây ta nhân (3.38) với C lN t  , sau lấy tổng theo l từ đến N Cuối lấy tích phân 0, t  hai vế Kết nhận N u  x, t  2 L     n u N u N a  ij   x  x j i i , j  Qt   bi  u N N u  c u N u N  dxdt xi   N u  x,0  n  i 1 L     fu N dxdt Qt Q t    0, t  Do hàm u N  x, t  thỏa mãn giả thiết định lí 3.1 Từ ta có bất đẳng thức lượng u N  x, t  Cụ thể u Qt  C [ u N ( x,0) L2 (  )  f L2 ,1 ( Qt ) ] C số không phụ thuộc vào N u N Ta có u  x,0  N L2    N  C      ,  k 1 k 0 k  x  dx k 1 N N k  k dx    53  dx   L   (3.42) Do u N  x,0  L2   L     (3.43) Từ (3.42), (3.43) suy uN Qt  C[  L2 (  )  u L Q t   f L2 ,1 ( Qt ) ] Tức max u N  x,  0 t L    C[  L2 (  )  f L2 ,1 ( Qt ) ] Do u N  x,t  L    u  C[  L Q t  L2 (  )  f L2 ,1 ( Qt ) ] t  0,T  Từ ta nhận uN W21, ( QT )  C1[  L2 (  )  f L2 ,1 ( QT ) ] (3.44) C1 số không phụ thuộc vào u N N o Từ (3.44) ta suy  u N  dãy bị chặn không gian Hilbert W21 Q T  Do tồn dãy mà ta kí hiệu u N , hội tụ yếu đến phần tử o u  x, t   W21 Q T  Ta chứng minh u  x, t  nghiệm suy rộng cần tìm Thật vậy, nhân (3.38) với hàm d l t   W 21 0, T , d l T   , sau lấy tổng đẳng thức nhận theo l từ đến N lấy tích phân theo t từ đến T Kết ta  n u N u N   dxdt   a ij   t  x  x j i QT Q T  i , j 1     n  bi i 1  u N   cu N   dxdt  f  dxdt x i  Q  T N  d t   x Lấy tích phân phần số hạng đẳng l l l 1 thức theo t ta nhận n  N  u N   u  a  ij   t  x  x j i i , j 1 QT    n  i 1 bi  u N   cu N   dxdt xi    u N  t 0 dx   54  f  dxdt QT Theo định lí 2.10 chương 2, tập M   M N N 1  MN    N d k t  k  x  d k t   W 21 0, T , d k T   0  k 1 o trù mật không gian W21,,00 Q T  Khi cố định hàm   M p ta chuyển qua giới hạn (3.43) N   Kết n   u   u  a ij    t  x  x j i i , j 1 QT    n  u  b x   cu dxdt i i 1 i   u t 0 dx    f  dxdt QT Đồng thức tích phân với hàm   M p Do M trù mật o o W21,,00 Q T  , nên (3.44) với hàm   W21,,00 Q T  Vậy u  x, t  o nghiệm suy rộng không gian W21,,00 Q T  toán (3.2), (3.5) (3.6) Bất đẳng thức định lí nhận từ (3.44) cho N   Định lí chứng □ minh hoàn toàn 3.6 BÀI TOÁN BIÊN THỨ HAI VÀ THỨ BA Trong phần ta xét  miền bị chặn R n , với biên  trơn khúc Ta xét hai toán biên sau Lu  f  x,t  ,  x,t   QT u t 0   x  u    s,t u     N  ST (3.45) (3.46) 0 (3.47) Trong toán tử L cho (3.2) Định lí 3.7 Giả sử hệ số toán tử L thỏa mãn điều kiện (3.10), (3.11) thỏa bi    aij max  , ,    ,   const  QT t t   t 55 Khi đó, toán (3.45), (3.46) (3.47) có không nghiệm suy rộng không gian W21,0 Q T  Chứng minh Giả sử toán (3.45), (3.46) (3.47) có hai nghiệm suy rộng không gian W21, QT  Đặt u  u  u Ta có Lu  f  x,t  , Lu  f  x,t  Nên Lu  Lu  u   Lu  Lu  Và ta có u1 nên u  u  t 0  u t 0 t 0   x , u t 0    x 0  Khi u  W21, QT  thỏa mãn đồng thức tích phân n   u   a ij   u  t  x  x j i i , j   QT   n  bi i 1   u   cu  dxdt  ,   W21,,00 QT  (3.48) xi  Chọn hàm  (3 48) hàm: bt T  0, t   x, t    u  x,  d ,0  t  b  b  Trong b số cố định tùy ý thuộc đoạn 0,T  Do t    u  x, d  u với  t  b ,  t t b  nên từ (3.48) thay  / t  u ta nhận n      2    a  ij     t  x  t  x   j i i , j   Qb   n  bi i 1  2u     c   dxdt xi t t      dsdt   t S  b Do a ij  a ji nên 56 (3.49) n  2  a ij   x j t  xi i , j 1    2  bi  x i t i , j 1 n  n  i 1 n     aij    a ij   t   x j  x i  i , j 1 t  x j  xi          t t t n  i 1      b ij  t   x i  n  i 1 bi   t  xi   i t n b  x i i 1 Do từ (3.49) ta nhận     n   a ij       t  x   j xi  i , j   Qb   1 n    a ij  2  x j  xi i , j      n  bi i 1 n  i 1   bi  xi t n  i 1 bi      c   dxdt  t  xi t    t b      t 0 dx     dsdt     xi   t  Sb     t b t o ds  (3.50) Mặt khác,  n      a ij     t  x j xi    i   Qb  n  i 1       dxdt  bi t   xi  b  1 n      a  ij  t   x  x i j i , j   0  b  x  dt dx 1 n     a ij  2 xi x j   i , j 1     x i      n  bi i 1 n i  i 1   i t b t 0 dx Từ giả thiết định lí, ta nhận đánh giá     x,0 dx    dxdt   t  Q   b    1 1     C      1     1    dxdt  1   Q b   t             x,0    x,0 dx   dsdt    x,0ds  2     Sb  (3.51)    Trong  ,  số dương đủ bé, C số phụ thuộc vào  57 Do biên  trơn khúc, nên theo bất đẳng thức (2.5) chương 2, ta có      s.0ds  C1 1    s,0     s,0  dx 3        (3.52) C1 số không phụ thuộc vào  ,   const  Hơn nữa,  Sb         s.0ds  C1 1    s,0     s,0  dx  Qb (3.53) Ngoài cách chọn hàm  ta có t   x,t    b   x, d , t  0, b t Do   t  x, d   x,0  b Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Bunhiakovsky-Schwart, ta b      x,t   b    x, d t    (3.54) Tương tự áp dụng cho   x,0  , nhận b      x,0  b    x, d t    Lấy tích phân  hai vế bất đẳng thức trên, suy      x,0 dx  b   dxdt t   Qb    (3.55) Từ bất đẳng thức (3.54) lấy tích phân  hai vế sau lấy tích phân 0,b ,     dxdt  b   dxdt t  Qb Qb   2  (3.56) Thay (3.52), (3.53) vào (3.51) sau sử dụng (3.54), (3.55) (3.56) để đánh giá Kết ta nhận 58 2          dxdt  C   b      dxdt  t   t      Qb  b    x,0  dx  4 2Q    (3.57) Trong C2 số không phụ thuộc vào  Chọn b  C2 , từ (3.57) rút      x,0  dx    dxdt  C3  dxdt  Q  t   Qb b    (3.58) Trong C3 số không phụ thuộc vào  t  Kí hiệu v x,t   u  x, d Khi đó,   x,t   v x,t   v x,b , t  0, b Từ (3.58) với kí hiệu ta nhận  v x,0  dx  C3   v x,t   v x,b  dxdt Qb  2C3   v x,t  2   v x,b  dxdt (3.59) Qb    2C3b v x,t  dxdt  2C3b v x,b  dxdt  Qb Nếu b  C3 , từ (3.59) suy  v  x ,0   dx  4C3  v x,t  (3.60) dxdt Qb   Bất đẳng thức với b  0, b1  , b1  C ; C3 Bởi v x,0   0, 4 nên v x,0   Do từ (3.60) rút v x,b   0, b  0,b1  (do bổ đề 3.1) Nhưng   x,b   v x,b   v x,b   0, t  0,b1  Từ từ (3.58) ta nhận u  x, t   0, b1  , u  x   Q b Lặp lại lí luận đoạn b1 ,2b1 , 2b1 ,3b1  ,…, sau số hữu hạn bước ta có u  x, t   0,T  , tức u 1 u QT Định lí chứng minh 59 □ Định lí 3.8 Giả sử hệ số toán tử L (3.2) thỏa điều kiện (3.10), (3.11) giả sử    Khi toán (3.45), (3.46) (3.47) có nghiệm suy rộng không gian W 21,0 Q T  Chứng minh Chọn  k k 1 hệ hàm W 21   trực chuẩn  L   Nghiệm xấp xỉ tìm dạng u  x, t   N N C N k t  k  x  k 1 Trong C kN t  nghiệm hệ vi phân thường sau  n u N u N  l   l  x  dx   a ij t x j xi    i , j 1   n  bi i 1  u N  l  cu N  l  dx x i     u N  l ds    f  dx, l  1, , N (3.61) l  với điều kiện ban đầu  C lN 0     l dx   , l , l  1, , N (3.62)   , l tích vô hướng L   Do   k k 1 trực chuẩn L   , nên ta viết lại hệ thành dC lN t  dt  N   n  k  l a ij       i , j 1 x j x i  k 1 n  bi i 1     k  l  c k  l  dx  C kN t  xi   N   C N k t 0   t  k  l  f  l dx k 1  C lN (3.63)    l dx   , l , l  1, , N  (3.64)  Đây hệ phương trình vi phân thường tuyến tính hàm cần tìm C lN t  , l  1, , N Các số hạng có dạng dC lN t  / dt , hệ số C kN t  hàm bị chặn biến t Các số hạng tự hàm khả tổng 0, T  Do từ kết hệ phương trình vi phân thường tuyến tính suy hệ (3.63), (3.64) có 60 nghiệm C lN t  , nữa, C lN t  hàm liên tục tuyệt đối 0, T  Vì ta hoàn toàn xác định u N  x, t  Bây ta nhân (3.61) với C lN t  , sau lấy tổng theo l từ đến N Cuối lấy tích phân 0, t  hai vế Kết nhận N u  x, t  2 L     n u N u N   a ij  x  x j i Q t  i , j 1     u N  dsdt  St N u  x,0  n b i i 1 L    u N N u  cu N u N  dxdt xi    fu N (3.65) dxdt Qt Q t    0, t  Đặt uN Nếu     u N Qt  max u N  x,t  0 t L   u N L Q t   dsdt  Do vậy, từ (3.65) ta nhận St N u  x, t  2 L    n u N u N   a ij   x j xi i , j   Qt  bi  u N N u  c u N u N  dxdt xi   N u  x ,0  n  i 1 L     fu N dxdt Qt Từ dây lí luận tương tự chứng minh bất đẳng thức lượng định lí 2.1, ta có uN Qt   C u N  x,0  L 2   f L ,1 Q t  , (3.66) C số không phụ thuộc vào u N f Nếu không xảy   ta sử dụng bất đẳng thức (2.5) chương Khi   u St  dsdt   u N 2 dsdt    u N  C  u N 2 dxdt ,    N  St  Qt Từ (3.65) ta nhận 61 N u  x, t  L     n u N u N   aij  x j xi i , j 1 Qt   n  i 1 bi  u N N 2 u  C  C  u N    u N  dxdt xi   N u  x,0  2 L     fu N dxdt Qt Lặp lại lí luận chứng minh định lí 2.1 ta nhận bất đẳng thức (3.66) Như hàm  cho, ta có đánh giá (3.66) Từ lí luận chứng minh định lí 2.3 tồn nghiệm toán Cauchy suy tồn dãy dãy u N  hội tụ yếu đến hàm u  W 21,0 QT  u  x,t  nghiệm suy rộng cần tìm Định lí chứng minh 62 □ PHẦN KẾT LUẬN Trong thời gian vừa qua, cố gắng nổ lực thân, hoàn thành luận văn với kết đạt sau: - Tìm hiểu khai thác khái niệm đạo hàm suy rộng làm sở cho việc nghiên cứu không gian hàm (không gian Sobolev) - Tìm hiểu toán biên phương trình parabolic cấp Công việc tìm hiểu bao gồm tính nghiệm tồn nghiệm Sắp tới, cố gắng tìm hiểu sâu làm luận văn này, tìm hiểu thêm số kiến thức khác có liên quan mật thiết với 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Mạnh Hùng (2006), Phương trình đạo hàm riêng (phần 2), NXB Đại Học Sư Phạm [2] Nguyễn Mạnh Hùng (2008), Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, NXB Đại Học Sư Phạm Tiếng Anh [3] Y.Egorov and V.A.Kondratiev (1996), On spectral theory of elliptic operators, Springer-Verlag, Berlin-New York 64 [...]... trong luận văn này chỉ trình bài các bài toán biên liên quan đến phương trình loại parabolic 3.1 PHƯƠNG TRÌNH LOẠI PARABOLIC Đầu tiên ta xét các phương trình parabolic cấp hai, sau đó xét bài toán Cauchy và các bài toán biên ban đầu đối với phương trình này Ở đây, trình bài sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng của các bài toán trong các không gian Sobolev Xét trong R n 1 phương trình tuyến tính dạng... nghiệm suy rộng bất kì của bài toán (2.11) với    k Khi đó nghiệm suy rộng của bài toán (2.8) không duy nhất Nghiện suy rộng tổng quát có dạng: Nk C v s s  k  x , s 1 Trong đó C s là các hệ số tùy ý, còn vk s   x  là nghiệm suy rộng của các bài toán (2.10) với    k 27 CHƯƠNG 3 MỘT SỐ BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN Có rất nhiều bài toán biên liên quan đến phương trình loại parabolic và hyperbolic...  f , xi trong đó có một số  k  x 0  (giả sử  n1  x 0  bằng không), các số  k  x 0  còn lại mang cùng một dấu và b n 1  x 0   0 Phương trình (3.1) được gọi là parabolic trong một miền nào đó, nếu nó là parabolic tại mọi điểm của miền này Nếu các hệ số của phương trình (3.1) là các hàm trơn và (3.1) là parabolic trong một miền, thì trong một lân cận (đủ nhỏ) của một điểm bất kì của miền... (2.10) ii) Mỗi số  k có bội hữu hạn, tức là số nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình (2.10) với    k là hữu hạn Điểm giới hạn duy nhất của  k , k  1, 2, có thể là 26  Cùng với  k là phổ của bài toán (2.10) ,  k cũng thuộc phổ của bài toán (2.11) và tập  k , k  1, 2, tạo thành phổ của bài toán (2.11) Bội của  k và  k đối với bài toán (2.10) và (2.11) trùng nhau iii) Bài toán (2.8)... là toán tử liên hợp với toán tử L Khi đó, bài toán liên hợp với bài toán (2.10) có dạng L *    ,    0 (2.11) Nghiệm suy rộng của bài toán (2.11) trong không gian W21   là hàm    x   W21   thỏa mãn đồng nhất thức tích phân   L *  ,  a ij dx  xi x j i , j 1  n   n    b  x dx   c dx i i 1  i       dx,   W21    Giả sử bài toán (2.10) có các giá. .. gian Để thuận tiện ta nghiên cứu các phương trình dạng Lu  n u   t i , j 1 xi   u  aij  x, t  x j      n u  b  x, t  x i i 1  c x, t  u  f  x, t  , (3.2) i trong đó aij  a ji 3.2 CÁC BÀI TOÁN VÀ NGHIỆM SUY RỘNG 3.2.1 BÀI TOÁN CAUCHY Kí hiệu RT  R n  0, T  là một dải trong R n 1 Bài toán Cauchy đối với phương trình (3.2) là bài toán tìm hàm u  x, t  thỏa mãn (3.2)... , j 1 Trong đó  ,  là các hằng số dương Xét phương trình với tham số phức Lu   u  f , (2.8) với u  0 ở đây toán tử L được giả thiết là Elliptic đều trong  và thỏa mãn điều kiện    n  i 1 1/ 2  b    1,  2  c   3 2 i (2.9) và xem các hệ số của toán tử L là các hàm thực Trong phần này nghiệm u  x  của phương trình (2.8) được xem là hàm giá trị phức u  x   u 1  x   iu... x j   u dx   n u   b x  dx   cu dx i i i 1   f  dx,   W   1 2  Xét bài toán phổ ứng với bài toán (2.8) 25  Lu   u , u  0 (2.10) Giá trị  được gọi là phổ suy rộng của bài toán (2.10) nếu tương ứng với nó có ít nhất một hàm u  x  không tầm thường là nghiệm suy rộng của bài toán (2.10) trong  không gian W21   , tức là tồn tại hàm u  W21   không đồng nhất bằng...  0, , 0, 1  còn hằng số C được xác định bởi hàm f  x'  Như vậy, nếu u  W21   và biên  (hoặc một phần của nó là  ) là mặt trơn, thì từ các đẳng thức (2.1) và (2.2) ta có thể xác định được giá trị của hàm u  x  ở trên biên  (hoặc  ) chính là vết của hàm u  x  trên biên  (hoặc  ) Điều này cũng có được nếu  trơn từng khúc, tức biên  được phân thành một số hữu hạn các khúc không... này là một hàm thuộc L 2   , phụ thuộc liên tục khi  dịch chuyển liên tục và đúng các bất đẳng thức (2.1), (2.2) Nếu  (hoặc một phần của nó là  ) là mặt trơn hoặc trơn từng khúc, thì trên nó xác định được vết của hàm u  x  như một hàm thuộc L 2   (tương ứng L 2   ) và đối với các vết này đúng các bất đẳng thức (2.3), (2.4) (tương ứng (2.1), (2.2)) 2.7 BÀI TOÁN PHỔ ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ... văn trình toán biên liên quan đến phương trình loại parabolic 3.1 PHƯƠNG TRÌNH LOẠI PARABOLIC Đầu tiên ta xét phương trình parabolic cấp hai, sau xét toán Cauchy toán biên ban đầu phương trình. .. s 1 Trong C s hệ số tùy ý, vk s   x  nghiệm suy rộng toán (2.10) với    k 27 CHƯƠNG MỘT SỐ BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN Có nhiều toán biên liên quan đến phương trình loại parabolic hyperbolic... 2.8 BÀI TOÁN PHỔ ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC 24 CHƯƠNG CÁC BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN 28 3.1 PHƯƠNG TRÌNH LOẠI PARABOLIC …………………………… 28 3.2 CÁC BÀI TOÁN VÀ NGHIỆM SUY RỘNG 29 3.2.1 BÀI