VÀI VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN PHỨC

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP H CH MINH L THANH HN VI VN C BN CA HM NHIU BIN PHC LUN VN THC S TON HC Thnh ph H Chớ Minh 2010 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP H CH MINH L THANH HN VI VN C BN CA HM NHIU BIN PHC Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60 46 01 LUN VN THC S TON HC NGI HNG DN KHOA HC PGS.TS U TH CP Thnh ph H Chớ Minh 2010 LI CM N Li cỏm n sõu sc nht, tụi xin trõn trng kớnh gi PGS.TS u Th Cp, TS Nguyn Vn ụng ó tn tỡnh hng dn v to mi iu kin thun li cho tụi thc hin lun ny Tụi cng xin cỏm n tt c quý Thy ó ging dy tụi sut quỏ trỡnh hc Cao hc, xin cỏm n quý Thy cụ Hi ng Khoa hc ó c v cú nhng ý kin quý bỏu Sau cựng, tụi xin chõn thnh cỏm n n quý Thy cụ Phũng Khoa Hc Cụng Ngh & Sau i Hc Trng HSP TP H Chớ Minh, Ban Giỏm Hiu, quý Thy cụ t Toỏn Tin Trng THPT Bc Bỡnh v nhng ngi thõn ó ng viờn, nhit tỡnh giỳp tụi cụng vic tụi c thun li hn quỏ trỡnh hc v lm lun ny Bc Bỡnh, ngy 15 thỏng 10 nm 2011 L Thanh Hón MC LC LI CM N T T MC LC T T M U T T 1.Lý chn ti: T T 2.Mc ớch nghiờn cu: T T 3.i tng v phm vi nghiờn cu: T T 4.í ngha khoa hc v thc tin: T T 5.Cu trỳc lun vn: T T Chng Hm chnh hỡnh nhiu bin phc T T n 1.1.Khụng gian Ê T v hm chnh hỡnh T T T 1.2.Cụng thc tớch phõn Cauchy trờn a a T T 1.3.Chui ly tha 14 T T Chng Dng Levi v m rng Hartogs 18 T T 2.1.Hm iu hũa di 18 T T 2.2.Dng Levi 28 T T 2.3.Trung bỡnh trờn loga ca bỏn kớnh Taylor ca cỏc hm chnh hỡnh 35 T T Chng Min chnh hỡnh v gi li 40 T T 3.1.Min chnh hỡnh 40 T T 3.2.Min gi li 46 T T KT LUN 53 T T TI LIU THAM KHO 54 T T Trang M U 1.Lý chn ti: Nhng tớnh cht c bn ca hm chnh hỡnh nhiu bin phc l nn tng ban u tip tc nghiờn cu cỏc sõu hn lý thuyt hm nhiu bin phc Tụi chn ti ny bc u tỡm hiu v s thỏc trin hm chnh hỡnh nhiu bin phc, mt lnh vc c s quan tõm ca cỏc nh toỏn hc trờn th gii 2.Mc ớch nghiờn cu: Tỡm hiu s thỏc trin chnh hỡnh nhiu bin phc qua vic ch hi t ca chui ly tha ca hm nhiu bin phc, cng nh ch mi liờn h gia chnh hỡnh v gi li 3.i tng v phm vi nghiờn cu: Trong lun ny, chỳng tụi nghiờn cu mt s c bn ca hm nhiu bin phc liờn quan n hm chnh hỡnh, hm a iu hũa di, chnh hỡnh v gi li 4.í ngha khoa hc v thc tin: Lun s l mt ti liu tham kho hiu thờm v s thỏc trin chnh hỡnh ca hm chnh hỡnh nhiu bin, mt cỏc c bn ca hm nhiu bin phc 5.Cu trỳc lun vn: Ni dung lun c trỡnh by theo chng: Trang Chng 1: Trỡnh by cỏc khỏi nim v tớnh cht c bn ca hm chnh hỡnh nhiu bin phc, c bit ta quan tõm vic biu din chỳng di dng tớch phõn Cauchy v dng chui ly tha Chng 2: Trỡnh by dng Levi ca mt hm thuc lp C trờn mt ca Ê n v s dng nú chng minh cỏc kt qu v thỏc trin chnh hỡnh Nờu khỏi nim trung bỡnh trờn loga ca bỏn kớnh Taylor ca hm chnh hỡnh, cỏc kin thc v hm iu hũa di, a iu hũa di v mi liờn h gia tớnh chnh hỡnh theo tng bin v chnh hỡnh ton cc Chng 3: Trỡnh by cỏc khỏi nim, cỏc tớnh cht c bn ca chnh hỡnh, gi li v mi liờn h ca hai ny Trang Chng Hm chnh hỡnh nhiu bin phc Chng ny trỡnh by cỏc khỏi nim v tớnh cht c bn ca hm chnh hỡnh nhiu bin phc, c bit ta quan tõm vic biu din chỳng di dng tớch phõn Cauchy v dng chui ly tha Ni dung chớnh ca chng l nh lý 1.3.7, ch rng mt Reinhardt y , li loga l hi t ca mt chui ly tha Nhc li mt s kớ hiu Tp hp cỏc s t nhiờn: Ơ = Tp hp cỏc s thc: Ă , Ă { 0, 1, 2, }, Ơ = Ơ \ {0} = {x Ă : x > } + Tp hp cỏc s phc: Ê 1.1.Khụng gian Ê n v hm chnh hỡnh nh = z ngha 1.1.1 ( z1 , , zn ) Ê ì ì Ê Ta gi khụng gian gm nhng im l khụng gian Ê n c bit n = thỡ Ê n Ê : mt phng phc Khi ú ta ng nht c Ă 2n ( x, y ) % Ê n xỏc nh bi hm: a z= x + iy (1.1.1) ú x1 , , xn ) , y ( y1 , , , y ) Ă n , x (= ( x= yn ) (n Ơ ) Trong phộp tng ng (1.1.1), ta vit y = Re z v y = Im z nh ngha 1.1.2 = Mi z ngha ( z1 , , zn ) Ê n , z j Ê ; j n Ta nh Trang { } z max z j ; j n l mụ un ca z = z= x iy l liờn hp ca z Ê n nh ngha 1.1.3 Hm l : Ê n Ê gi l Ă - tuyn tớnh (tng ng Ê - tuyn tớnh) nu i) l ( z + z ') = l ( z ) + l ( z '), z, z ' Ê n ; ii) l (= z ) l ( z ), Ă , z Ê n (tng ng Ê , z Ê n ) Hm f : Ê , vi l m Ê n , c gi l Ă 2n - kh vi (tng ng Ê n - kh vi) ti z nu tn ti mt ỏnh x Ă - tuyn tớnh l : Ê n Ê (tng ng Ê - tuyn tớnh) cho f ( z + h )= f ( z ) + l ( h ) + ( h ) vi Ta cng chng minh c, nu f l Ă ú: 2n (h) h h - kh vi trờn thỡ df = f + f , n f f dz j v f = dzj j =1 z j j =1 z j n f = nh ngha 1.1.4 Hm f C ( ) c gi l chnh hỡnh (gii tớch) ti z0 Ê n nu nú Ê n - kh vi ti mi im thuc mt lõn cn no ú ca z0 Hm f C ( ) c gi l (gii tớch) chnh hỡnh theo tng bin nu nú chnh hỡnh vi mi bin cỏc bin cũn li c nh Hm f C ( ) c gi l hm chnh hỡnh (hm gii tớch) df = f , ngha l f tha h phng trỡnh z j f = 0, j = 1, , n Tp hp cỏc hm chnh hỡnh trờn c kớ hiu l hol ( ) (1.1.2) Trang H phng trỡnh (1.1.2) c gi l h Cauchy Riemann (vit tt h C-R) Nh vy, df mt cỏch tng quỏt l ỏnh x Ă - tuyn tớnh, thỡ trng hp ny l mt ỏnh x Ê - tuyn tớnh, ngha l ta cú s giao hoỏn sau df Ă n Ă n P P (1.1.3) f Ê n Ê Nu chỳng ta phõn tớch= f Re f + i Im f , thỡ h C-R l h gm 2n phng trỡnh thc x j Re f y j Im f =0 y j Re f + x j Im f =0 j = 1, , n nh lý 1.1.5 Cho f ( z ) = ( f j ( z ) ) ( cn z0 , ta gi thit rng det zi f j g ( z ) = ( g j ( z )) j =1, ,n ) ji j =1, ,n (1.1.4) l hm gii tớch mt lõn ti z0 Khi ú tn ti hm gii tớch lõn cn w0 = f ( z0 ) cho g o f = id Chng minh Ta tng gp ụi bin z Ê n thnh cp ( z, w ) Ê n ì Ê n v chng minh cho trng hp tng quỏt hn Cho hm gii tớch h : Ê n ìÊ m Ê n,h = ( h j ( z, w ) ) j , gi s rng h = v det ( z h ) ti ( z0 , w0 ) , h phng trỡnh ( h ( z, w ) ) j j =1, ,n = cú nht nghim gii tớch z = ( z j ) ( w ) lõn cn w0 vi z ( w0 ) = z0 iu ny suy kt qu ca nh lý xột m = n v h= w j f j ( z ) Ta cn chng t rng dh j = v j dwk = vi j = 1,,n v k = 1,,m kộo theo dz =j 0,= j 1, , n : nhng iu ny xy det ( z h ) Do ú theo nh lý hm n, phng trỡnh h j = xỏc nh nht nghim z = ( z j ) ( w ) lõn cn w0 vi z ( w0 ) = z0 T Trang nghim z ( w ) ny, ng nht thc dh = z hdz + w hdw = suy rng dz j l t hp ca dwk , ú z j l hm chnh hỡnh W 1.2.Cụng thc tớch phõn Cauchy trờn a a Cho z = ( z10 , , zn0 ) l mt im trờn Ê n v r = ( r1 , , rn ) l mt n-bỏn ( ) kớnh trờn Ă + n Ta kớ hiu P= { z j z 0j = rj , j= 1, , n } nh ngha 1.2.1 Cho z0r = { z j Ê : z j z 0j < rj } l a tõm z 0j v j j Pz0r bỏn kớnh rj Ta nh ngha = j =1, ,n z0r l a a tõm z v n-bỏn kớnh r j j nh lớ 1.2.2 Cho f l mt hm liờn tc trờn a a P v l mt hm chnh hỡnh theo tng bin z j , vi mi j, c nh cỏc bin zk vi k j Khi ú: vi mi z P ta cú f (z) f ( ) n d d n ( i ) z1 ) ( n zn ) P( (1.2.1) Chng minh Ta chng minh bng quy np theo n chiu ca khụng gian Ê n Vi n = 1, n gin kớ hiu, ta gi s z = v r = , ú P trựng vi a n v chng minh nh lớ ta cn n b sau B 1.2.3 Cho g C ( ) , vi mi z ta cú g ( z )= g ( ) g ( ) + d d d z z i (1.2.2) Trang 41 nh ngha 3.1.1 Mt Ê n c gi l chnh hỡnh nu vi mi im biờn z0 m ti ú tn ti f z0 hol ( ) khụng m rng vt qua ti z0 Mi ca Ê u l chnh hỡnh (cú f z0 = nh l cỏc hm z z0 ti hn ti cỏc im khỏc z0 ) nh ngha 3.1.2 Nu K thỡ ta nh ngha - bao chnh hỡnh à= z : f ( z ) sup f f hol () ca K l K K K , bt chp vic la chn nh th no cng d Nu thỡ K luụn cha bao dng kim tra c mi trng hp hp K Tht vy, cho K cha H , na khụng gian li m ta kớ hiu l K z0 , cha z0 vi phỏp tuyn : K {z : Re z z0 , 0} õy , l tớch hecmit Ê n c nh ngha bi z, = j z j j B 3.1.3 rfu inf rfu = inf K (3.1.1) K Chng minh Chiu l hin nhiờn Chiu ngc li , gi s r < inf rfu Khi ú ta cú K u f ( w ) ! r vi mi w K v (3.1.2) v vỡ f hol ( ) , ta cú ng thc (3.1.2) ỳng T nh ngha ca K u iu ny kộo theo r < inf r u vi mi w K f K B 3.1.4 Cho l mt chnh hỡnh Khi ú W Trang 42 d ( z, ) = uS inf n , f hol ( ) rfu ( z ) , ú S n l mt cu 2n chiu thc Ê n Chng minh Chiu suy t bt ng thc Cauchy Ngc li, l mt chnh hỡnh, nu r > d ( z, ) thỡ phi tn ti f hol ( ) cho f hol ( n ( z, r ) ) ( n ( z , r ) l qu cu tõm z bỏn kớnh r Ê n ) Do mnh 2.3.3 nờn phi tn ti u cho rfu ( z ) < r W thỡ luụn úng nhng khụng nht thit compact Tp K Tuy nhiờn, iu ny xy l chnh hỡnh Chớnh xỏc hn, nu kớ hiu d l khong cỏch clit thỡ ta cú nh lớ sau: nh lớ 3.1.5 Cho l mt chnh hỡnh v K l mt compact Khi ú ( ) , d ( K= , ) d K Chng minh p dng b 3.1.3.v 3.1.4 ta cú: d (K = , ) inf d ( z, ) zK = inf inf rfv ( z ) zK v , f = inf inf rfv ( z ) zK v , f ( ) , = d K W nh ngha 3.1.6 Mt c gi l li chnh hỡnh nu vi mi cng compact K compact thỡ K Trang 43 c bit, nh lý 3.1.5 núi rng mt chnh hỡnh l li chnh hỡnh K dn n mt li l li chnh hỡnh Tớnh li chnh Hn na, K hỡnh n nh qua phộp giao Mnh 3.1.7 Nu j l cỏc li chnh hỡnh vi mi j thỡ giao = I j j cng l li chnh hỡnh Chng minh Ta cú ( ) ( , , d K d K j j j = d ( K , j ) , ) (3.1.3) K v ng ú bt ng thc u tiờn sinh t bao hm thc K j thc th hai l mt h qu ca nh lớ 3.1.5 Nu ta ly inf (3.1.3) j thỡ ta kt lun ( ) , = d K d ( K , ) (3.1.4) W nh lớ 3.1.8 Cỏc tớnh cht sau l tng ng i) l li chnh hỡnh ii) l mt chnh hỡnh iii) Tn ti f hol ( ) m nú khụng m rng chnh hỡnh ti mt bt kỡ ln hn Chng minh iii) ii) l rừ rng v ii) i) ó c chng minh nh lý 3.1.5 Bõy gi ta chng minh l i) iii) Tht vy, cho P l mt a a vi tõm v kớ hiu Pz vi z l a a dng P ln nht tõm z v cha Do ú, Pz= z + rP vi r > thớch hp v Pz ct ti mt Trang 44 im no ú Cho T l trự mt m c: ta mun xõy dng hm f hol ( ) m nú khụng th thỏc trin n mt lõn cn ca Pz vi mi z T Cho z1 , z2 , l mt dóy T m mi s hng c lp li T vụ hn ln v K K l mt dóy cỏc compact ca cho mi ả j nờn tn ti compact ca u thuc mt cỏc K j Do K ả j Pz cho j K j c bit, tn ti cỏc hm f j hol ( ) cho j sup f j < f j ( j ) Bng vic thay th f j bi cỏc ly tha ca nú, ta cú th Kj gi s = f j ( j ) 1, sup f j < j Kj Ta cng cú th gi s l f j ( j ) mi thnh phn ca nh ngha = f + (1 f ) j =1 j j l tớch hi t u trờn mi K l j2 j < + v xỏc nh mt hm chnh hỡnh f trờn Hm ny cú mt khụng im cp j ti j Vỡ th nú khụng cú m rng ti mt lõn cn ca cỏc Pz vi z T bi vỡ nu nh th nú s cú mt khụng im cp vụ hn v vỡ vy nú ng nht mt thnh phn ca Khụng im cp vụ hn l gii hn ca dóy bt k ca jk nu z jk l dóy m z c lp li vụ hn ln Cỏc gii hn ny l trự mt vỡ T trự mt W Chỳ ý 3.1.9 Mnh 3.1.7 kt hp vi nh lớ 3.1.8 m bo rng phn ca giao ca cỏc chnh hỡnh l mt chnh hỡnh c bit, nu l mt chnh hỡnh thỡ vi mi im biờn z0 tn ti mt h cỏc lõn cn {B}sao cho B I l mt chnh hỡnh Trang 45 Vớ d 3.1.10 Cho l mt a din chnh hỡnh cú dng = {z : f j } [...]... hình theo từng biến z j riêng biệt, ta muốn áp dụng cơng thức (1.2.1) cho mọi đa đĩa P  Ω Vì hàm biến z được sinh ra bởi các tích phân theo ς là thuộc lớp C ∞ , nên kết quả đó có thể kiểm tra qua việc lấy đạo hàm theo biến z j trong tích phân hội tụ Hệ quả 1.2.5 Nếu f là hàm thuộc lớp C 0 trên Ω và là hàm chỉnh hình ∞ theo từng biến z j riêng biệt thì nó là hàm thuộc lớp C và đặc biệt là hàm chỉnh hình... r1ei 2πθ1 , , rn ei 2πθn ) dθ1 ∧ ∧ dθ n Cơng thức (1.2.1) nói lên rằng một hàm chỉnh hình thỏa mãn tính chất giá trị trung bình: giá trị của hàm f tại z bằng giá trị trung bình của nó trên biên của đa đĩa bất kì chứa trong miền mà tại đó f là hàm chỉnh hình Nếu thay f bởi f trong cơng thức (1.2.1) thì ta thấy rằng f ( z ) được đánh giá bởi giá trị trung bình của f trên ∂ 0 P ( z, r ) : ta nói rằng... Khi đó tổng f 0 của chúng là một hàm chỉnh hình trên P ( z0 , r ) Sν = Chứng minh Tổng riêng ∑ aα ( z − z ) α ν α ≤ 0 cũng như các đạo hàm của chúng hội tụ đều trong mọi tập con compact của P Đặc biệt hệ thức ∂ z j Sν = 0 với mọi j, qua giới hạn và trở thành ∂ z j f = 0 W Bây giờ chúng ta muốn chứng minh tính chất ngược lại “Mọi hàm chỉnh hình trên một lân cận nào đó của z0 là tổng của một chuỗi lũy... phương Một cách tổng qt là hàm điều hòa dưới thì tính chất trung bình dưới và nửa liên tục trên là đối lập nhau Mệnh đề 2.1.4 Cho {ϕν } là hàm điều hòa dưới và bị chặn đều Khi đó lim sup ϕν là hàm điều hòa dưới nếu nó là nửa liên tục trên ν Chứng minh Với mọi z ta có: lim sup ϕν ( z ) ≤ ν 1 2π ∫ 2π 0 lim sup ϕν ( z + reiθ ) dθ , ν vì tính chất hàm điều hòa dưới của ϕν và bổ đề Fatou (2.1.6) W Chú ý 2.1.5... nhất của mở rộng chỉnh hình, nghĩa là có một Ω % (chứng minh kết quả này hàm chỉnh hình mà khơng thể mở rộng ra khỏi Ω có thể xem trong hệ quả 4.5.8 của [4]) Mặt khác hàm này được biểu diễn bởi một chuỗi lũy thừa duy nhất Do đó miền Reinhard lồi loga đầy đủ chính là miền hội tụ của chuỗi lũy thừa Trang 18 Chương 2 Dạng Levi và mở rộng Hartogs Nội dung chính của chương là mục 2.2, trình bày dạng Levi của. .. trình bày dạng Levi của một hàm thuộc lớp C 2 trên một miền của £ n Mục 2.3 đưa ra để vận dụng trong chứng minh các định lý về thác triển hàm chỉnh hình, đặc biệt định lý 3.2.2 Nhắc lại rằng một hàm h thuộc lớp C 2 trên miền Ω trong £ xác định bởi h ( z ) = h ( x, y ) với z= x + iy ∈Ω, được gọi là hàm điều hòa nếu ∂ z ∂ z h =0 2.1 .Hàm điều hòa dưới Định nghĩa 2.1.1 Một hàm thực ϕ trên Ω ⊂ £ có giá... ∧ ∧ d ς n  z ,   ς α  ∂0P  với sự hội tụ chuẩn tắc theo z ∈ P Do đó f là tổng của chuỗi lũy thừa có tâm tại z0 = 0 Việc lấy đạo hàm lặp lại của đồng nhất thức của f với tổng của chuỗi và việc tính đạo hàm tại z0 dẫn đến hệ số trong (1.2.7) là hệ số Taylor của hàm f tại z0 = 0, nghĩa là bằng f( α) (0) α! Việc chứng minh định lý cho ta biểu diễn các hệ số tích phân Fourier là W Trang 12 f ( )... một hàm chỉnh hình theo từng biến trên miền Ω ⊂ £ n Khi đó f chỉnh hình trên Ω Chứng minh Giả sử Ω  ∆ × ∆ trong £ 2 , ta chứng minh f là hàm chỉnh hình trên ∆ × ∆ Với một số dương đủ lớn l, ta định nghĩa   E =  z2 ∈ ∆ : sup f ( z1 , z2 ) ≤ l  Tính liên tục của hàm f ( z1 ,⋅) với z1 cố l z1∈∆   định kéo theo là nếu zν2 → z20 với zν2 ∈ El thì z20 ∈ El Do đó El là tập đóng Tính liên tục của hàm. .. đó ta áp dụng bổ đề 2.1.12 suy ra được f là hàm chỉnh hình trên 0 ∆ × El Tương tự ta xét El trên mọi tập con mở của ∆ , khi đó f là hàm chỉnh hình trên ∆ × B với B là một tập con mở trù mật trong ∆ Tập này chứa một dải nằm ngang tùy ý đóng z2 = 0 Trong bước này ta có thể khơng quan tâm tới f là hàm chỉnh hình từng biến theo z1 , trong khi đó vẫn giữ giả thiết f là chỉnh hình từng biến đối với z2 ∈... định lý 2.1.13 là hệ quả của định lý sau Định lý 2.1.14 Cho f là hàm chỉnh hình trên ∆ × ∆ε và chỉnh hình từng biến theo z2 ∈ ∆ khi z1 được cố định trên ∆ Khi đó f ∈ hol ( ∆ × ∆ ) Chứng minh Do ta cần chứng minh f là hàm chỉnh hình trên mỗi đa đĩa compact tương đối nên ta có thể giả thiết f là hàm chỉnh hình trên một dải lớn hơn ∆ × ∆ε một ít Khi đó ta xét chuỗi Taylor của hàm f đối với z2 tại z2 =