Rèn luyện khả năng tìm tòi lời giải bài toán Đại số ở trường THCS nhằm nâng cao chất lượng dạy học

MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong trình dạy toán học toán nhận thấy có số lươngTrong trình dạy toán học toán nhận thấy có số lượng toán đại số tương đối lớn cấp THCS có nhiều dạng hay Nhưng để giải củng giải Yếu tố tâm lý quan trọng bắt tay vào giải toán, đặc biệt toán “ngáo ộp” dạng toán kiểu lạ, thường gặp kỳ thi học sinh giỏi, học sinh bình thường nhìn vào thấy hoang mang không định hướng hướng giải Thường độc đáo tìm lời giải củng phải đọc đáo Cái độc đáo thường mối quan hệ bình thường đơn giản che lấp hình thức rắc rối có giải theo thông thường Cho nên đường giải toán bắt đầu việc nghiên cứu đặc điểm kiện nhờ đặc điểm mà sớm bóc vỏ bên rắm rối để thấy cốt lõi bình thường ẩn náu bên trong, gặp nhiều lần toán người làm toán thấy bình tĩnh, tụ tin phát hiện, tìm tòi tích lũy ngày nhiều kinh nghiệm để giải toán Để giải toán, việc nắm vững kiến thức cần phải có phương pháp suy luận khoa học với kinh nghiệm cá nhân tích lũy trình học tập, rèn luyện Trong môn toán trường THCS có nhiều toán chưa thuật toán để giải Đối với toán ấy, phải cố gắng hướng dẩn học sinh cách suy nghĩ, cách tìm tòi lời giải Nhiệm vụ khó khăn đòi hỏi phải có thời gian kinh nghiệm sư phạm, phải có lòng tận tâm phương pháp đắn Đây hội tốt để giáo viên trang bị cho học sinh số tri thức, phương pháp nhằm rèn luyện phát triển họ lực tư khoa học Tìm tòi lời giải bước quan trọng hoạt động giải toán, định thành công hay không thành công, đến thành công nhanh hay chậm việc giải toán, biết định hướng để tìm đường đúng, thuật toán tổng hợp để giải toán Đây lý định chọn nghiên cứu đề tài ”Rèn luyện khả tìm tòi lời giải toán Đại số trường THCS nhằm nâng cao chất lượng dạy học” Chúng sinh viên lần đầu bước vào công việc nghiên cứu khoa học với tài liệu với hiểu biết nhỏ bé mong đề tài không nhàm chán mà hữu ích phần nhỏ bé việc nghiên cứu, tìm tòi để giải toán cách dễ dàng, linh hoạt đắn Nội dung nghiên cứu Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo nội dung đề tài gồm chương Chương 1: Cơ sở lý thuyết Chương 2:Rèn luyện khả tìm tòi lời giải toán Đại Số trường THCS nhằm nâng cao chất lượng dạy học.Nội dung chương chình nội dung đề tài,trong chương nghiên cứu số dạng sau Sử dụng quy tắc suy luận để tìm tòi lời giải Dạng 1: Phân tích tổng hợp Dạng 2: Tổng quát hóa Tổ chức rèn luyện cho học tìm tòi lời giải toán đại số qua hoạt động Dạng 1: Quy lạ quen Dang 2: Quy nạp Dạng 3: Xét tương tự Dạng 4: Phán đoán Đối tượng nghiên cứu Khả tìm tòi lời giải ứng dụng vào giải toán Đại Số trường THCS Phương pháp nghiên cứu Trong trình nghiên cứu sử dụng ph ương pháp lập luận tài liệu sư phạm liên quan đến đề tài Trong trình nghiên cứu đề tài thân có nhiều cố gắng tránh khỏi thiếu sót mong ý kiến đóng góp thầy cô bạn sinh viên để đề tài hoàn thiện hữu ích Hà Tĩnh, Tháng năm 2012 Tác giả: Nguyễn Thị Hương Đào Thị Thanh Liên K17 Toán Lý CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT Bài toán a Polya viết: “Bài toán đặt cần thiết phải tìm hiểu cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt mục đích thấy rõ ràng đạt ngay” b Rubinstein viết: Một vấn đề tình có vấn đề trước hết chổ có chưa biết, củng tức lỗ hỏng cần lấp đầy, có x cần thay giá trị tương ứng Như tình có vấn đề luôn chứa ẩn _ quan hệ với cho _ cần xác định dạng Ông củng viết “Bài toán phát triển vấn đề lời” c Ở hiểu : “Bài toán yêu cầu cần có để đạt mục đích đó” Với cách hiểu toán đồng nghĩa với đề toán, tập, câu hỏi, vấn đề, nhiệm vụ… Mục đích nêu toán có toán tập hợp (Của số, hình, biểu thức…) đắn nhiều biện luận,vv Lời giải toán Được hiểu ập hợp xếp thứ tự thao tác cần thực để đạt mục đích nêu toán đó, nói ngắn gọn bước tiến hành sau: a Như lời giải đồng nghĩa với toán hay làm học sinh b Đáp án lời giải vắn tắt (lời giải thu gọn) c Thao tác phép tính bản, phép dựng hình bản,bước suy luận, dẫn, quy tắc d Một toán có lời giải, có nhiều lời giải cách giải e Yêu cầu lời giải + Lời giải sai lầm + Lập luận phải có xác + Lời giải phải đầy đủ Ngoài ba yêu cầu trên, dạy học tập yêu cầu lời giải ngắn gọn, đơn gian nhất, cách trình bày rõ ràng hợp lí Tìm lời giải hay toán,tức khai thác điểm riêng toán, điều làm học sinh ‘‘Có thể biết quyến rũ sang tạo niềm vui thắng lợi’’ Ý nghĩa việc giải toán Ở trường phổ thông, bải tập toán học sử dụng với dụng ý khác nhau, tạo tiền đề để xuất phát, để gợi động cơ, để làm viêc với nội dung mới, để củng cố kiểm tra Ở thời điểm cụ thể đó, tập chứa đựng tường minh hay ẩn tàng chức khác (chức dạy học, chức giáo dục, chức phát triển, chức kiểm tra) chức hướng tới việc thực mục đích dạy hoc Tuy nhiên thực tế chức không bộc lộ cách riêng rẽ tách rời nhau, nói đến chức hay chức khác toán cụ thể, tức nói đến chức đươc thực cách tường minh công khai Phân loại toán Người ta phân loại toán theo nhiều cách khác để đạt mục đích định,thường để sử dụng toán thuận tiện số cách phân loại thường gặp a Phân loại theo hình thức: Theo polya,bài toán chia thành -Bài toán tìm tòi (bao gồm tính toán, toán dựng hình, quỹ tích…) toán mà yêu cầu thường thể từ: Tìm, tính, giải, xét…Các phần toán bao gồm: Cái cho (còn gọi điều kiện kiện), phải tìm (còn gọi ẩn) Giải toán tìm tòi tìm ẩn thõa mãn điều kiện kiện cho trước - Bài toán chứng minh: Là toán mà yêu cầu thường thể cụm từ chứng minh rằng, chứng tỏ rằng, sao… Các phần toán bao gồm cho (giả thiết) phải tìm(kết luận) Giải toán chứng minh tìm mối liên hệ logic cho phải tìm Cấu trúc toán chứng minh thường có dạng A→B hay giả thuyết suy kết luận - Bài toán hỗn hợp (hay toán tổng hợp) toán có phần toán tìm tòi, có phần toán chứng minh Các toán có nội dung thực tiễn sau toán học hóa toán coi toán tổng hợp b Phân loại toán theo nội dung - Bài toán số học - Bài toán đại số - Bài toán hình học - Bài toán rời rạc c.Với tập đại số phân thành loại - Toán tính toán - Toán chứng minh - Toán quy nạp Phương pháp để giải toán Một số người tham vọng muốn có thuật giải tổng quát,đó điều ảo tưởng Ngay đối voái toán riêng biệt có trường hợp có, có trường hợp thuật giải.Tuy nhiên trang bị hướng dẫn chung, gợi ý suy nghĩ tim tòi, phát cách giải toán lại cần thiết Dựa tư tưởng tổng quát với gợi ý chi tiết cua polya (1975) vế cách thức giải toán kiểm nghiệm thực tiễn dạy học, nêu lên phương pháp chung để giải toán sau: Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề Phát biểu đề dạng thức khác để hiểu rõ nội dung môn toán Phân biệt cho phải tìm,cái chứng minh Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề Bước 2: Tìm cách giải Tìm tòi phát cách giải nhờ suy nghĩ có tính chất tìm đoán, biến đổi cho, biến đổi phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cho phải tìm với tri thức biết, liên hệ toán cần giải toán cũ tương ứng,một trường hợp riêng, toán tổng quát hay toán có liên quan, sử dụng phương pháp đặc thù với dạng toán chứng minh, phản chứng, quy nạp Kiểm tra lời giải cách xem lại kĩ bước thực đặc biệt hóa kết tìm đối chiếu kết với số tri thức có liên quan Tìm tòi cách giải, So sánh chúng để chọn cách giải hợp lí Bước 3: Trình bày lời giải Từ cách giải phát hiện, xếp việc phải làm thành chương trình gồm bước theo trình tự thích hợp thực bước Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải Nghiên cứu khả ứng dụng lời giải Nghiên cứu giải toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề Một số ý dạy học sinh tìm lời giải tập - Như biết, dạy học sinh giải tập không đơn giúp học sinh có lời giải toán đó, mà cần giúp học sinh cách tìm lời giải toán, tức thông qua dạy tri thức để truyền thụ tri thức phương pháp Với cách làm lâu dần học sinh đúc kết phương hướng giải toán, tiến tới có phương pháp học tập môn - Khi hiểu tập có dụng ý gì, việc “Dạy học sinh giải tập nào?” Việc học sinh tự trình bày lời giải toán để người học cảm thấy niềm vui chiến thắng - Có thể việc làm chiếm nhiều thời gian song không nên ngại điều + Trước hết không nên nhầm dạy học sinh giải tập với việc chữa tập, chữa tập cung cấp cho học sinh lời giải (Đúng) tập cho trước chưa hướng dẩn cho học sinh cách tìm lời giải toán đó, học học sinh tích lũy thêm, ghi nhớ máy móc thêm lời giải toán cụ thể mà chưa thể tự giải toán Tình trạng dẫn đến tải thời điểm người học + Không nên đưa nhiều tập tiết dạy cần dự kiến thời gian cho tập trọng tâm (Là có điều kiện củng cố, khắc sâu kiến thức, Kỹ năng) lựa chọn tập có cách giải tương tự để học sinh tự lực luyện tập Như tiết luyện tập có giải chi tiết, có cần hướng dẩn + Khi hiểu chức tập toán dạy học môn toán ta không nên tách bạch đáng dạy khái niệm với dạy giải tạp Trong dạy giải tập ta có điều kiện để củng cố khắc sâu, hệ thống hóa kiến thức Đồng thời muốn khắc sâu kiến thức cách tốt làm tập Do giáo viên cần cân đồi tỉ lệ Lý thuyết – Thực hành giảng cho giúp học sinh hiểu tốt kiến thức học - Chú ý rằng: “Giải toán nghệ thuật thực hành giống bơi lội, trượt tuyêt, chơi đàn Có thể học nghệ thuật đó, cần bắt chước theo mẫu mực đắn thường xuyên thực hành Không có chìa khóa thần kỳ để mở cửa ngõ, Không có đá thần kỳ để biến kim loại thành vàng” (Đề-các Leibnitz) Do để hướng dẫn học sinh tìm lời giải toán Do để hướng dẩn học sinh tìm lời giải toán, trước hết giáo viên phải đóng vai trò người học, tự tìm kiến thức bản,dạng toán,các bước tiến hành để có lời giải toán.Trên sở phân bậc hoạt động phù hợp với đối tượng học sinh cụ thể mình,dự kiến câu hỏi dẫn dắt, gợi mở cho thông qua hoạt động học sinh tìm lời giải toán mà tri thức phương pháp giải toán Vai trò tập trình dạy học Bài tập toán học có vai trò quan trọng môn toán Điều tập có giá mang hoạt động học sinh Thông qua giải tập học sinh phải thực hoạt động định bao gồm nhận dạng thể định nghĩa, định lý, quy tắc hay phương pháp, hoạt động toán học phức hợp, hoạt động trí tuệ phổ biến toán học , hoạt động trí tuệ chung hoạt động ngôn ngữ Trong thực tế cho thấy hoạt động học sinh liên hệ mật thiếttuệ chung hoạt động ngôn ngữ Trong thực tế cho thấy hoạt động học sinh liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung phương pháp dạy học, vai trò tập toán học thể ba bình diện Thứ nhất: Trên bình diện mục tiêu dạy học, tập toán học trường THCS độ đạt mục tiêu Mặt khác tập toán học củng thể chức khác hướng đến việc thực mục tiêu dạy học môn toán cụ thể là: a Hình thành củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo khâu khác trình dạy học, kể kỹ ứng dụng toán học vào thực tiễn b Phát triển lực trí tuệ, rèn luyện hoạt động tư duy, hình thành phẩm chất trí tuệ c Bồi dưỡng giới quan vật biện chứng, hình thành phẩm chất đạo đức người lao động Thứ hai: Trên bình diện nội dung dạy học, tập toán học giá mang hoạt động liên hệ với nội dung định phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho tri thức trình bày lý thuyết Thứ ba: Trên bình diện phương pháp dạy học tập toán học giá mang hoạt động tập toán học giá mang hoạt động để người học kiến tạo tri thức định sở thực mục tiêu dạy học khác Khai thác tốt tập góp phần tổ chức cho học sinh học tập hoạt động tự giác, tích cực, chủ động sang tạo thực độc lập tronđược thực độc lập giao lưu Trong thực dạy học tập thể với dụng ý khác phương pháp dạy họ đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung củng cố xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung củng cố kiểm tra dạy học, khả làm việc độc lập trình độ phát triển củaặc kiểm tra dạy học, khả làm việc độc lập trình độ phát triển học sinh CHƯƠNG 2: RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG TÌM TÒI LỜI GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐ Ở TRƯỜNG THCS NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG DẠY HỌC 2.1 Sử dụng quy tắc suy luận để tìm tòi lời giải Dạng 1: Phân tích tổng hợp Phân tích tổng hợp thao tác tư để phát triển trí tuệ cho học sinh cần phải coi trọng việc rèn luyện cho học sinh lực phân tích tổng hợp Phân tích dung trí óc để chia toàn thể thành phần, tách thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt nằm toàn thể Ngược lại, với phân tích, tổng hợp dung trí óc hợp lại phần toàn thể kết hợp lại thuộc tính hay khía cạnh khác nằm toàn thể Tuy hai thao tác trái ngược chúng liên kết chặt chẽ với nhau, hai mặt trình thống Bài toán 1: Một số chia cho dư 6, chia cho dư Hỏi số chia cho 56 số dư Giải: Em gặp toán chưa, hay gặp toán tương tự chưa Hướng giải có cách để giải nó? Ta giải theo số cách sau: Gọi số bị chia a, theo giả thiết ta có: q= 7q1 + (1) q= 8q2 + (2) Để tìm số dư r chia a cho 56, ta tìm cách biểu diễn a= 56q + r với < r < 56 Ta ý đến 56 = 7.8 8a – 7a = a, ta đến cách sau: Cách : Để tạo bội 56, ta nhân vế (1) với (2) với ta có : 8a = 56 q1 + 48 (3) 7a = 56 q1 + 35 (4) Từ (3) (4) suy : 8a -7a = 56 ( q1 – q2) + 13 Hay a = 56 ( q1 – q2) + 13 Vậy số dư cần tìm 13 Cách 2: từ (1) (2) suy ra: 7q1 + = 8q2 + (3) Từ (3) rút ra: 7q1 – 7q2 = q2 – Hay q2 − = 7(q1 − q2 )M7 Do : q2 – = 7q hay q2 = 7q + (4) Thay (4) vào (2) ta được: a= 8(7q +1) + = 56q + 13 Vậy số dư 13 Bài toán : thêm vào bên trái số 1995 chữ số bên phải chữ số để số chia hết cho 45 Giải : với toán em phân tích ? Dựa vào dấu hiệu ? Ta phân tích 45 = 5.9 tích số nguyên tố Từ suy số chia hết cho 45 số vừa chia hết cho vừa chia hết cho Dựa vào dấu hiệu chia hết cho ta tìm chữ số thêm vào bên phải, dựa vào dấu hiệu chia hết cho ta tìm chữ số thêm vào bên trái Bài toán : Một xí nghiệp có phân xưởng, phân xưởng thứ có 99 công nhân, phân xưởng thứ có 63 công nhân phân xưởng thứ có 72 công nhân Trong đợt liên hoan tổng kết cuối năm toàn xí nghiệp công nhân chia thành tổ cho số người xưởng chia cho tổ Có thể chia nhiều tổ ? Giải : Bài toán cho ta kiện ? hướng giải ? Ta phân tích toán tìm tòi, ẩn số tổ chia nhiều nhất, kiện : số người phân xưởng 99 ; 63 ; 72 Điều kiện : số người phân xưởng chia cho tổ, từ điều kiện toán ta suy số tổ chia phải ước chung 99 ; 63 ; 72 Số tổ chia nhiều ứng với ước chung lớn 99 ; 63 72 Phân tích 99 ; 63 ; 72 thành tích thừa số nguyên tố, từ suy số tổ chia nhiều Bài toán : hai bạn giỏi toán An Bảo nói chuyện với An nói : 100 số tự nhiên bạn tìm số mà ước chung lớn chúng lớn nhất, Bảo nói : đố bạn : 100 số tự nhiên tìm số mà bội chung nhỏ chúng lớn Cả bạn tìm số Giải : Với toán ta biến đổi ? Trước hết ta tìm hai số mà ước chung lớn chúng lớn Để tìm hai số ý đến số lớn số cho.Số lớn 100 số 100 Mặt khác,ước chung lớn số cungr ước số 50 ước thật 100,suy 50 số lớn ước chung lớn hai số 100 số tự nhiên Từ ta hai số cần tìm 100 va 50 Để tìm hai số mà BCNN chúng lớn số cho Ta thấy 100 99 số lớn mà chúng nguyên tố nhau, 100 99 số có BCNN chúng lớn Bài toán :Cho số a không chia hết cho b.Biết;BCNN(a,b)=630, ƯCLN(a,b)=18.tìm a b Giải:Bài toán cho ta kiện ?.Phương hướng giải nào? Ta biết BCNN(a,b)=630 UwCLN(a,b)=18.Ta biết a.b=UCLN(a,b).BCNN(a,b)=18.630.Mặt khác,ƯCLN(a,b)=18 nên a=18a1,b=18b1 a1 , b1 nguyên tố Thay a = 18 a1, b = 18 b1 vào tích a.b = 18.630 ta có : a1.b1 = 630 : 18 = 35 Phân tích 35 thành thừa số nguyên tố 35 = 5.7 Từ ta tìm a1 b1, tìm a b Dạng 2:Tổng quát hóa Tổng quát hóa la suy luận chuyển từ việc khảo sát tập hợp đối tượng đến tập hợp đối tượng lớn chứa tập hợp ban đầu Trong hoạt động giải toán, việc tổng quát hóa toán cho ta toán rộng có tính khái quát hơn, có lại giúp tìm kiếm lời giải thuận lợi dể dàng Bài toán 1: Tính tổng T=0,01+0,03+0,05+……+0,15+0,17+0,19 Giải: Với toán ta xác định hướng nào?.ta nhận thấy T tổng nhiều số hạng,nếu thực phép tính nhiều thời gian, ý đến số hạng tổng ta thấy số hạng đứng sau lớn số hạng đứng trước lớn số hạng đứng liền sau 0,02 Với đặc điểm ta vận dụng tính chất giao hoán kết hợp phép cộng ta có Tính tổng T theo phương pháp Gauss sau: T = 0,01+0,03+0,05+……+0,15+0,17+0,19 T = 0,19+0,17+0,15+……+0,05+0,03+0,01 Cộng vế theo vế ta có: 2T = 0,2+0,2+0,2+ +0,2+0,2+0,2 2T = 0,2.10 = Vậy T = Mở rộng đến toán S = a + ( a + d) + ( a + 2d) + +( a+ nd) = ( 2a + nd ) ( n + 1) Bài toán 2:Tính B = 1 1 + + + + 1.2 2.3 7.8 8.9 Đối với toán quy đồng mẫu số để thực phép tính nhiều cồng kềnh nhiều thời gian.Ta nhận thấy mẫu số có tính chất đặc biệt với tính chất ta phân tích phân số thành hiệu hai phân số đơn giản hơn: 1− = 9 1 = − n(n + 1) n n + Khi phân số đối triệt tiêu lại : B = 1− = Mở rộng tổng B ta có tổng có n số hạng: 1 1 n Bn = 1.2 + 2.3 + + n( n + 1) = − n + = n + Mở rộng đến toán: b b b 1 nb P= a(a + b) + (a + b)( a + 2b) + + [ a + (n − 1)b] [ a + nb ] = a − a + nb = a(a + nb) Bài toán 3: rút gọn : T = +2 + 22 +…+ 298 + 299 Trong toán ta nhận thấy T tổng lũy thừa số số mũ lũy thừa đứng sau số mũ lũy thừa đứng liền trước đơn vị, nghĩa số hạng đứng sau gấp lần số hạng liền trước Đặc điểm gợi cho ta xét 2T = + 22 +23+….+299 + 2100’ Và so sánh 2T với T từ ta suy ra: T = 2T – T = 2100 – Mở rộng đến tổng: Tn = 1+ + 22 + + 2n = 2n+1 – Bài toán So sánh 320 245 Giải : Ta thấy toán để so sánh lũy thừa ta thường đưa so sánh lũy thừa có số lũy thừa có số mũ Phân tích 320 245 ta thấy đưa số số mũ khác chúng bội 15 từ ta biến đổi : 330 = (32)15 = 915 245 = (23)15 = 815 Nên ta dễ thấy 915>815 Vậy 330 > 245 Mở rộng ta so sánh ank bmk Đưa so sánh an bm Nếu an > bm ank > bmk Nếu an = bm ank = bmk Nếu an < bm ank < bmk Bài toán Trục thức mẫu 2 1+ + Giải Ta thấy biểu thức chứa mẫu phức tạp, ta chưa xác định biểu thức liên hợp dạng thong thường Ta quy đồng tử mẫu dạng a + với a = + , nghĩa đem nhân tử mẫu với ( 1+ mẫu trở thành (1 + 2) − ( ) = ( + 2 + ) − = 2 Như toán giải ta có: 2 2(1 + − 3) = = 1+ − 1+ + 2 ) − Khi Mở rộng đến: a ( A + B − C )  ( A + B − C ) − AB  a a( A + B − C ) = = ( A + B + C ) − AB A + B + C ( A + B − C ) + AB 2.2 Tổ chức rèn luyện cho học sinh tìm tòi lời giải toán đại số qua hoạt đông: Dạng 1;Quy lạ quen Bài toán 1:Phân tích đa thức thành nhân tử: f(x) = x2 – 6x + Trong toán ta biến đổi giải theo nhiều cách khac nhau.Chúng ta tham khảo số cách sau: Cách 1: f(x) = x2 – x – 5x +5 = x(x-1)- 5(x-1) = (x-1)(x-5) Cách 2: f(x) = (x2 – 2x + 1) -4x +4 = (x-1)2 – 4(x-1)= (x-1)(x-5) Cách 3: f(x) = (x2 – 6x + 9) -4= (x-3)2- 22= (x-1)(x-5) Cách 4: f(x) = (x2-1)-6x+6 = (x-1) (x+1)-6(x-1)= (x-1)(x-5) Cách 5: f(x) = (3x2-6x+3) -2x2 +2= 3(x-1)2 - 2(x2-1) = (x-1)(x-5) Cách 6: f(x) = (5x2-10x +5) -4x2 + 4x = 5(x-1)2 -4 (x-1) = (x-1)(x-5) Cách 7: f(x) = (6x2 – 6x) -5x2 + = 6x (x-1) -5(x2 – 1) =(x-1)(x-5) Cách 8: dễ thấy tổng hệ số f(x)=0 nên f(x) chia hết cho x-1 ta thương la x-5.Vậy f(x)=(x-1)(x-5) Bài toán 2:Giải phương trình (x2 + 2x + 3)2 – 9( x2 + 2x +3) +18 = Ta thấy phương trình có đặc điểm đáng ý? Ta thấy biểu thức : x2 + 2x + Đặt y = x2 + 2x + ta phương trình : y2 – 9y + 18 =0 Giải phương trình ta có : y1 = y2 = Từ ta phương trình : x2 + 2x + = (a) Và x2 + 2x + = (b) Giải phương trình a b ta nghiệm X=0, x= -2, x= 1, x=-3 Bài toán rút gọn T= (a+ b+c+ d)2 + (a + b- c – d)2 + (a – b –c +d)2 + (a- b+ c- d)2 Ta thấy biểu thức T có liên quan đặc biệt, ta ghép chúng thành cặp áp dụng kết quả: ( a+ b)2 + ( a- b)2 = 2(a2 + b2) Để có: T = [( a+ b) + (c + d)] + [(a+b)- (c+d)]2 +[ (a-b) –(c-d)]2+ [(a-b) + ( c-d)]2 = 2[( a+ b)2 + (c + d)2] + 2[(a-b)2 + ( c-d)2] = 2[ (a+b)2 + (a-b)2 + ( c+d)2 + (c-d)2] = 4(a2 + b2 +c2+ d2) Từ kết toán, cho T= ta rút kết sau: Nếu a+ b+ c+d =0 a+ b– c –d =0 a- b –c +d = a- b + c–d = a= b=c=d=0 toán Giải hệ phương trình: Để giải phương trình bậc nhất,ta giải cách khác như: Cách 1:Vế trái hai phương trình cồng kềnh,ta khai triển rút gọn để có: Từ (4) rút y=3x-5 vào (3) ta x= - 13 từ y= 2 Cách 2: Ta sử dụng phương pháp cộng đại số để giải Trừ vế với vế (3) (4) ta 2x=-1 hay x= - 13 Từ y= 2 Cách 3;Phương pháp đặt ẩn phụ Đặt x+y=X x-y=Y Hệ (I) trở thành (II) Bài toán :Với giá trị m hệ phương trình sau vô nghiệm ?, vô số nghiệm ? Giải :Hệ phương trình cho hệ phương trình bậc hai ẩn.Ta giải toán cách khác Cách : phương pháp Từ (2) rut my=3-2x thau vào (1) ta 3m=3 suy m=1 hệ vô số nghiệm Nếu m#1 hệ vô nghiệm Cách : Phương pháp cộng đại số : Dể thấy m=0 hệ vô nghiệm Với m#0 hệ vô số nghiệm Cáh : Phương pháp đồ thị ; Với m#0 hệ phương trình tương đương với hệ Hai phương trình (3)và(4) hai phương trình hai đường thẳng song song trùng Khi m#1 ta có hai đường thẳng song song nên hệ vô nghiệm Khi m=1 hai đường thẳng trùng nhau,nên hệ vô số nghiệm Dạng : Phương pháp quy nạp Chứng mimh bất đẳng thức coossi với n số không âm a1, a2, an a1 + a2 + + an n ≥ a1a2 an n Đối với toán chứng minh bất đẳng thức ta áp dụng phương pháp quy nạp toán học đẻ giải, ta có : Hiển nhiên mệnh đề với n=2 tức a1 + a2 + + ak k ≥ a1a2 ak k Ta chứng minh mệnh đề với n = k+1 Giả sử a1 ≤ a2 ≤ ≤ ak ≤ ak +1 a1 ≤ a2 ≤ ≤ ak ≤ ak +1 ak +1 ≥ Đặt a1 + a2 + + ak a + a + + ak ak +1 ≥ k k a1 + a2 + + ak = x x ≥ x ≥ , ta có : ak +1 = x + y ak +1 = x + y với k y ≥ y ≥ x k ≥ a1a2 ak x k ≥ a1a2 ak (theo giả thiết quy nạp) Ta có k +1  a1 + a2 + + ak + ak +1   ÷ k +1   k +1  kx + x + y  = ÷  k +1  k +1 y   =x+ ÷ k +1   y  k ≥ x k +1 + ( k + 1)  ÷x  k +1 k +1 k k = x + x y = x ( x + y ) ≥ a1a2 ak ak +1 Suy : a1 + a2 + ak +1 k +1 ≥ a1a2 ak +1 k +1 Vậy mệnh đề với số tựu nhiên n ≥ n ≥ Xảy đẳng thức a1 = a2 = = an Bài toán : Cho a,b,c số không âm Khi a+b a+b+c ≥ ab ; ≥ abc Ta tổng quát trung bình cộng n số không âm lớn a1 + a2 + + an n ≥ a1a2 an n trung bình nhân chúng Với a1, a2,…,an số không âm Ta thấy đẳng thức xảy a1 = a2 = = an Bài toán : Cho hai hệ số a,b,c x,y,z (a Khi (a 2 + b2 ) ( x + y ) ≥ ( ax + by ) ; + b2 + c ) ( x + y + z ) ≥ ( ax + by + cz ) Ta xét với hai n số (a1, a2,…,an) (b1,b2, ,bn) Tích tổng bình phương n số số tổng bình phương n số số lớn bình phương tổng tích hai số tương ứng hai số (a + a22 + + an2 ) ( b12 + b22 + + bn2 ) ≥ ( a1b1 + a2b2 + + anbn ) Đẳng thức xảy (a1, a2,…,an) (b1,b2, ,bn) a a a a a a n n 2 số tỉ lệ với nhau, tức b = b = = b b = b = = b n n Với quy ước mẫu tử Bài toán : cho a= + b= a n + b n − Đặt S(n)= a n + b n Chứng minh rằng: s0, s4, s8,…,s24 số tự nhiên có chữ số hàng đơn vị Giải: Ta có S0 = a + b0 = Ta chứng minh Sn Sn+4 số tự nhiên có chữ số hàng đơn vị Ta có: a = 10a − 1(1) b = 10b − 1(2) Nhân (1) với a n a n Nhân (2) với a n + + b n+ = 10(a n +1 + b n+1 ) − (a n + b n ) b ta S n + = 10 Sn +1 − S n n a n + = 10.a n +1 − a n b n + = 10.bn +1 − b n Suy a n + + b n+ = 10(a n +1 + b n +1 ) − (a n + b n ) Tức là: Sn + = 10Sn +1 − Sn Từ ta rút nhận xét: ( Sn + − S n ) M10 ( Sn + S n+ ) M10 Suy : ( Sn + − S n ) M10 Ta có s0 = 2, s1 = 10 s0 = 2, s1 = 10 Nên từ nhận xét ta suy s0 , s4 , s8 , s20 s2 , s3 , s4 , sn số tự nhiên s0 , s4 , s8 , s20 có chữ số hàng đơn vị Dang : xét tương tự Bài toán : Tính A = 1 1 + + + + 1.2 2.3 7.8 8.9 Từ toán ta nhận thấy mẫu số có tính chất đặc biệt với tính chất ta phân tích phân số thành hiệu hai phân số đơn giản 1 đó: 8 = − A = 1− = A = 1− = n(n + 1) n n + 9 9 Tương tự: B= 1 + + + 1.2.3 2.3.4 n(n + 1)(n + 2) =    1   1  − − −  ÷ ÷+  ÷+ +   1.2 2.3   2.3 3.4   n(n + 1) ( n + 1)( n + 2)   =  1 1 n(n + 3) − =   1.2 (n + 1)(n + 2)  4(n + 1)(n + 2) 2 18 + + + = 1− = 1.3 3.5 17.19 19 19 C= 1 + + + 1.2.3 2.3.4 n(n + 1)(n + 2) =    1   1  − − −  ÷ ÷+  ÷+ +   1.2 2.3   2.3 3.4   n(n + 1) ( n + 1)( n + 2)   =  1 1 n(n + 3) − =   1.2 (n + 1)(n + 2)  4(n + 1)(n + 2) Bài toán : Tính khoảng thời gian từ lúc 12 đến kim kim phút gặp lần đầu Đây toán chuyển động quay tròn chiều cần tính quảng đường tốc độ theo đơn vị vòng quay.chú ý vận tốc quay kim phút nhanh gấp 12 lần kim từ lúc 12 giờ(hai kim trùng nhau) đến hai kim gặp lần đầu kim phút quay nhanh kim vòng Ta xét kim phút quay nhanh kim suy thời gian kim phút quay nhanh kim giờ,đó thời gian mà ta phải tìm Bài toán : Chứng minh số hửu tỉ Ta thấy khó mà chứng minh trực tiếp toán Ơ ta sử dụng phương pháp phản chứng : Giả sử số hữu a b tỉ,tức tồn a,b nguyên dương cho = ta phải rút điều a b vô lí ? từ = ta có 2b3 = a3 nên a3 M2 aM2 suy a = 2c 2b3 = 8c hay b3 = 4c3 nên b3 M2 , bM2 Như a b chia hết cho 2.Điều trở nên vô lí phân số giản a tối b Dạng : Phán đoán Bài toán : Tìm số nguyên p cho p+10 p+14 số nguyên tố Ban đầu ta mò mẫm,dự đoán tìm cách chứng minh.Chẳng hạn ta thử với vài giá trị nguyên tố p p=2,3,5,7 Ta thấy chi p=3 thõa mãn từ suy nghĩ đến việc chứng minh, với p#3 điều kiện toán không thõa mãn để ý đến số cho phân tích p+10=p+1+9 ,p+14=p+2+12, liên hệ với số liên tiếp p, p+1, p+2 có số chia hêt cho , từ suy p=3 Bài toán : Xét tích 10.11.12.13 20 Nếu phân tích thừa số nguyên tố có thừa số Ta ý đến tích 10.11.12.13 20 tích số liên tiếp va số nguyen tố.Từ ta thấy số thừa số hai cần tìm số thừa số phân tích thưa số nguyên tố số chẵn từ 10 đến 20(có số) Tích 26.5.6.7.8.9.10 Xét tiếp tích số chẵn từ đến 10 gồm số : 6.8.10= 23.3.4.5 = 23.22.3.5 Từ kết ta suy thừa số cần tìm 6+3+2=11 Bài toán : Số có chữ số giống mà có hai ước nguyên tố Ở toán ta nên ý đến điều kiện số cần tìm có chữ số giống nhau,ta biểu diễn số aaaa(a ∈ N , < a < 9) với điều kiện có hai ước nguyên tố,ta phân tích aaaa = a.1111 = a.11.101 11 vá 101 hai số nguyên tố.Dựa vào phân tích ta suy a=1 từ ta có số cần tìm 1111 Bài toán : Tìm tất ước số 100 Để tìm tất ước số cua 100 ta phân tích 100 thành thừa số.Ta : 100=2.2.5.5= 22.52 Từ dạng phân tích ta rút ước số lũy thừa gồm 1,2, 22 (có ước số) ;Các ước lũy thừa gồm 1,5, 52 (có ước số).Từ kết ta lấy tích 100 : 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 10 Bài tập tương tự 2.1 Sử dụng quy tắc suy luận để tim tòi lời giải Bài : Tổng hai số 253.Chia số lớn cho số nhỏ thương dư 7.Tìm hai số Bài : Trong phép chia,số bị chia 155 số dư băng 12.Tìm số chia thương số Bài :Tìm số nhỏ 100,biết chia số cho dư 3,chia cho 11 dư Bài : Tìm số dư phép chia a 19921993 cho b 19931992 cho 15 Bài 5:Tìm số tận số tận số A= 19921993 B= 19931992 2.2 Tổ chức rèn luyện cho học sinh tìm tòi lời giải toán đại số Bài Chứng minh rằng: + 32 + 33 + + 3100 chia hết cho 120 Bài Cho dãy số an = 22 n +1 + 2n + 6vàbn = 22 n +1 − 2n + Chứng minh với số tự nhiên N có số an bn có chữ số tận Bài Chứng minh rằng: a Nếu P P+10 số nguyên tố P+32 hợp số b Nếu P 8P – số nguyên tố 8P + hợp số Bài Chứng minh rằng: Với số tự nhiên n>2 số 2n − 1và2n + không đồng thời số nguyên tố Bài Chứng minh rằng: Với số tự nhiên n>1 số A = n4 + n + 1; B = n + hợp số KẾT LUẬN Đề tài giải vấn đề đặt “Rèn luyện khr tìm tòi lời giải bai toán đại số trường THCS nhằm nâng cao chất lượng dạy học” cách tìm số hoạt đọng đạt kết sau : 2.1 Sử dụng quy tắc suy luận để tìm tòi lời giải 2.2 Tổ chức cho học sinh tim toi lời giải toán đại số qua hoạt động Đề tài hoàn thành nhờ quan tâm giúp đỡ tận tình thầy cô bạn, đặc biệt thầy giáo PHAN ANH Nhóm xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo,đến thư viện trường đại học HÀ TĨNH, bạn sinh viên nhiệt tình giúp đỡ Do kinh nghiệm thiếu sót, thời gian nghiên cứu ứng dụng chưa dài nên đề tài tránh khỏi thiếu sót nhiều hạn chế Rất mong đóng góp quý thầy cô bạn để đề tài hoàn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO Tôn Thân (chủ biên) 2006 Toán tập 1, Nhà xuất giáo dục Nguyễn Bá Kim (chủ biên) 2005, phương pháp dạy học đại cương môn Toán, nhà xuất ĐHSP (tr 260 – 272) Vũ Hữu Bình (chủ biên) 2006, nâng cao phát triển toán tập 1, Nhà xuất GD (tr 36 – 42 ) Vũ Dương Thụy (chủ biên) 1999, thực hành giải toán, nhà xuất GD [...]... bai toán đại số ở trường THCS nhằm nâng cao chất lượng dạy học bằng cách tìm một số hoạt đọng chúng tôi đạt được kết quả sau : 2.1 Sử dụng quy tắc suy luận để tìm tòi lời giải 2.2 Tổ chức cho học sinh tim toi lời giải bài toán đại số qua các hoạt động Đề tài này hoàn thành nhờ sự quan tâm giúp đỡ tận tình của các thầy cô và các bạn, đặc biệt là thầy giáo PHAN ANH Nhóm chúng tôi xin gửi lời cảm ơn đến... b 19931992 cho 15 Bài 5 :Tìm số tận cùng của các số tận cùng của các số A= 19921993 B= 19931992 2.2 Tổ chức rèn luyện cho học sinh tìm tòi lời giải bài toán đại số Bài 1 Chứng minh rằng: 3 + 32 + 33 + + 3100 chia hết cho 120 Bài 2 Cho dãy số an = 22 n +1 + 2n + 6vàbn = 22 n +1 − 2n + 6 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên N có 1 và chỉ 1 trong 2 số an và bn có chữ số tận cùng bằng 0 Bài 3 Chứng minh... các số nguyên tố thì P+32 là hợp số b Nếu P và 8P – 1 là các số nguyên tố thì 8P + 1 là hợp số Bài 4 Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n>2 thì các số 2n − 1và2n + 1 không đồng thời là các số nguyên tố Bài 5 Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n>1 thì các số A = n4 + n 2 + 1; B = n 4 + 4 là hợp số KẾT LUẬN Đề tài đã giải quyết được vấn đề đặt ra Rèn luyện khr năng tìm tòi lời giải bai toán đại số. .. 4, 5, 10, 20, 25, 50, và 10 Bài tập tương tự 2.1 Sử dụng quy tắc suy luận để tim tòi lời giải Bài 1 : Tổng của hai số là 253.Chia số lớn cho số nhỏ được thương là 5 dư 7 .Tìm hai số đó Bài 2 : Trong một phép chia ,số bị chia bằng 155 và số dư băng 12 .Tìm số chia và thương số Bài 3 :Tìm số nhỏ hơn 100,biết rằng khi chia số đó cho 5 thì dư 3,chia cho 11 thì dư 5 Bài 4 : Tìm số dư trong phép chia a 19921993... Khi Mở rộng đến: a ( A + B − C )  ( A + B − C ) − 2 AB  a a( A + B − C ) = = ( A + B + C ) 2 − 4 AB A + B + C ( A + B − C ) + 2 AB 2.2 Tổ chức rèn luyện cho học sinh tìm tòi lời giải bài toán đại số qua các hoạt đông: Dạng 1;Quy lạ về quen Bài toán 1:Phân tích đa thức thành nhân tử: f(x) = x2 – 6x + 5 Trong một bài toán ta có thể biến đổi và giải theo nhiều cách khac nhau.Chúng ta có thể tham khảo.. .tìm hai số đó chúng ta chú ý đến những số lớn nhất trong các số đã cho .Số lớn nhất trong 100 số đầu tiên là 100 Mặt khác,ước chung lớn nhất của 2 số cungr là ước của mỗi số và 50 là ước thật sự của 100,suy ra 50 là số lớn nhất trong các ước chung lớn nhất của hai số trong 100 số tự nhiên đầu tiên Từ đó ta được hai số cần tìm là 100 va 50 Để tìm hai số mà BCNN của chúng là lớn nhất trong các số đã... hệ với 3 số liên tiếp p, p+1, p+2 có một số chia hêt cho 3 , từ đó suy ra p=3 Bài toán 2 : Xét tích 10.11.12.13 20 Nếu phân tích nó ra thừa số nguyên tố thì có bao nhiêu thừa số 2 Ta chú ý đến tích 10.11.12.13 20 là tích của các số liên tiếp va 2 là số nguyen tố.Từ đó ta thấy số các thừa số hai cần tìm bằng số các thừa số 2 khi phân tích ra thưa số nguyên tố của các số chẵn từ 10 đến 20(có 6 số) Tích... 20(có 6 số) Tích đó bằng 26.5.6.7.8.9.10 Xét tiếp tích các số chẵn từ 5 đến 10 gồm 3 số đó là : 6.8.10= 23.3.4.5 = 23.22.3.5 Từ những kết quả trên ta suy ra thừa số 2 cần tìm là 6+3+2=11 Bài toán 3 : Số nào có 4 chữ số giống nhau mà chỉ có hai ước nguyên tố Ở bài toán này ta nên chú ý đến điều kiện số cần tìm có 4 chữ số giống nhau,ta biểu diễn số đó là aaaa(a ∈ N , 0 < a < 9) với điều kiện chỉ có hai... số nguyên tố 35 = 5.7 Từ đó ta sẽ tìm được a1 và b1, do đó sẽ tìm được a và b Dạng 2:Tổng quát hóa Tổng quát hóa la suy luận chuyển từ việc khảo sát một tập hợp đối tượng đến một tập hợp đối tượng lớn hơn chứa tập hợp ban đầu Trong hoạt động giải toán, việc tổng quát hóa một bài toán có thể cho ta một bài toán rộng hơn có tính khái quát hơn, có khi lại giúp tìm kiếm lời giải thuận lợi dể dàng hơn Bài. .. 0,2.10 = 2 Vậy T = 1 Mở rộng đến bài toán S = a + ( a + d) + ( a + 2d) + +( a+ nd) = ( 2a + nd ) ( n + 1) 2 Bài toán 2:Tính B = 1 1 1 1 + + + + 1.2 2.3 7.8 8.9 Đối với bài toán này nếu quy đồng mẫu số để thực hiện phép tính thì sẽ rất nhiều cồng kềnh và mất nhiều thời gian.Ta nhận thấy các mẫu số có tính chất đặc biệt và với tính chất đó ta phân tích mỗi phân số thành hiệu của hai phân số đơn giản hơn: ... phần toán chứng minh Các toán có nội dung thực tiễn sau toán học hóa toán coi toán tổng hợp b Phân loại toán theo nội dung - Bài toán số học - Bài toán đại số - Bài toán hình học - Bài toán rời... thống Bài toán 1: Một số chia cho dư 6, chia cho dư Hỏi số chia cho 56 số dư Giải: Em gặp toán chưa, hay gặp toán tương tự chưa Hướng giải có cách để giải nó? Ta giải theo số cách sau: Gọi số bị... đồng thời số nguyên tố Bài Chứng minh rằng: Với số tự nhiên n>1 số A = n4 + n + 1; B = n + hợp số KẾT LUẬN Đề tài giải vấn đề đặt Rèn luyện khr tìm tòi lời giải bai toán đại số trường THCS nhằm