Đang tải... (xem toàn văn)
Trong quá trình giải toán, học sinh thường mắc những sai lầm, cho dù những sai lầm đó thường xảy ra hoặc có thể xảy ra đều là điều đáng tiếc cho bản thân học sinh và giáo viên dạy. Nếu trong quá trình dạy học toán, giáo viên đưa ra những tình huống sai lầm mà các em dễ bị mắc phải, phân tích và chỉ rõ cho các em thấy được những nguyên nhân dẫn đến sai lầm, điều đó sẽ giúp cho các em không những khắc phục được sai lầm mà còn hiểu kĩ hơn bài mình đang học. Chính vì thế trong khi giảng dạy môn đại số 8, kết hợp với việc trao đổi kinh nghiệm, tham khảo ý kiến của bạn bè đồng nghiệp, việc phát hiện ra những sai lầm thường gặp của học sinh, tìm ra nguyên nhân của nó và biện pháp khắc phục là rất quan trọng đối với người học và người dạy. Tôi đã đúc rút thành SKKN: “Giúp học sinh lớp 8 phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải bài tập đại số ở Trường THCS Nga Thanh, Huyện Nga Sơn”.
GIÚP HỌC SINH LỚP PHÁT HIỆN VÀ KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM KHI GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ Ở TRƯỜNG THCS NGA THANH, HUYỆN NGA SƠN A ĐẶT VẤN ĐỀ Toán học môn học khó học toán, học sinh thường gặp phải sai lầm Ở phần đại số có nhiều kiến thức học lớp dưới, em không nắm vững kiến thức bản, em lại thói quen ôn tập lại kiến thức cũ, … nên có nhiều nội dung kiến thức học em quên hết, giải tập gặp nhiều khó khăn, sai lầm trình học toán nhiều Trong trình giải toán, học sinh thường mắc sai lầm, cho dù sai lầm thường xảy xảy điều đáng tiếc cho thân học sinh giáo viên dạy Nếu trình dạy học toán, giáo viên đưa tình sai lầm mà em dễ bị mắc phải, phân tích rõ cho em thấy nguyên nhân dẫn đến sai lầm, điều giúp cho em khắc phục sai lầm mà hiểu kĩ học Chính giảng dạy môn đại số 8, kết hợp với việc trao đổi kinh nghiệm, tham khảo ý kiến bạn bè đồng nghiệp, việc phát sai lầm thường gặp học sinh, tìm nguyên nhân biện pháp khắc phục quan trọng người học người dạy Tôi đúc rút thành SKKN: “Giúp học sinh lớp phát khắc phục số sai lầm giải tập đại số Trường THCS Nga Thanh, Huyện Nga Sơn” B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ Về yêu cầu chương trình đại số lớp sách giáo viên toán 8, rõ: Học sinh cần nắm vững thực hành tốt quy tắc nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức Nắm vững bảy đẳng thức đáng nhớ vận dụng đẳng thức tính nhẩm, việc phân tích đa thức thành nhân tử, rút gọn biểu thức Học sinh nắm vững vận dụng phương pháp thông dụng để phân tích đa thức thành nhân tử: Phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp dùng đẳng thức, phương pháp nhóm hạng tử phối hợp phương pháp Việc biến tổng thành tích chủ yếu hình thành hai nhân tử, không nên đưa dạng có ba nhân tử Học sinh nắm vững quy tắc chia đơn thức cho đơn thức, chia đa thức cho đơn thức, chia hai đa thức xếp (chủ yếu phép chia đa thức có biến) Trên sở ôn tập củng cố kiến thức phân số học lớp 6, cho học sinh tiếp nhận điều tương tự phân thức đại số: hai phân thức nhau, tính chất phân thức, rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, phép toán cộng, trừ, nhân, chia phân thức Việc quy đồng mẫu thức nhiều phân thức áp dụng cho không ba phân thức Cần tận dụng thời gian để rèn luyện kĩ làm phép toán phân thức, đặc biệt kĩ phân tích đa thức thành nhân tử để rút gọn phân thức quy đồng mẫu thức Trong chương trình có nêu định nghĩa hai phương trình tương đương không đưa vào định lí phép biến đổi tương đương mà giới thiệu phép biến đổi tương đương số dạng phương trình cụ thể thông qua việc trình bày cách giải dạng phương trình Yêu cầu chủ yếu chương học sinh biết cách đặt giải phương trình bậc ẩn, phương trình tích (không nhân tử), phương trình chứa ẩn mẫu thức (mỗi vế phương trình có không hai phân thức việc tìm tập xác định phương trình hạn chế chỗ tìm nghiệm phương trình bậc một) Học sinh nắm vững bước giải toán cách lập phương trình bậc giải toán đa dạng, vừa sức, có nội dung gắn với thực tế gắn với môn khác Trong chương trình có giới thiệu vài tính chất thứ tự tập hợp số thực (tính bắc cầu, liên hệ thứ tự phép cộng, liên hệ thứ tự phép nhân) Đó tính chất bất đẳng thức số Cũng chương trình này, có nêu định nghĩa hai bất phương trình tương đương không đưa vào định lí phép biến đổi tương đương Các phép biến đổi giới thiệu qua việc trình bày cách giải bất phương trình bậc ẩn Về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, đưa dạng |ax+b| = m dạng |ax +b|= cx II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Thực trạng việc dạy môn đại số Trong trình giảng dạy cho học sinh, giáo viên nghiên cứu bài, lựa chọn phương pháp phù hợp cho loại trước lên lớp, thực tế có nhiều giáo viên truyền đạt đủ nội dung kiến thức sách giáo khoa cho học sinh, chưa có đổi mới, chưa tạo hứng thú cho em nên việc tiếp cận kiến thức học sinh nhiều khó khăn Giáo viên chưa xử lý hết tình tiết dạy, việc tổ chức hoạt động mang tính hình thức chưa phù hợp; Phương pháp giảng dạy chưa phù hợp, lực tổ chức học theo nhóm đối tượng hạn chế; Chưa động viên, tuyên dương kịp thời học sinh có biểu tích cực hay sáng tạo dù nhỏ; Chưa quan tâm đến tất học sinh lớp, giáo viên trọng vào em học sinh khá, giỏi Thực trạng việc học môn đại số Tóm tắt nội dung chương trình môn đại số 8: - Nhân chia đa thức: + Nhân đơn thức với đa thức Nhân đa thức với đa thức Nhân hai đa thức xếp + Những đẳng thức đáng nhớ + Phân tích đa thức thành nhân tử + Chia đơn thức cho đơn thức Chia đa thức cho đơn thức Chia hai đa thức xếp - Phân thức đại số: + Định nghĩa phân thức đại số Phân thức Tính chất phân thức Rút gọn phân thức Quy đồng mẫu nhiều phân thức + Cộng, trừ, nhân, chia phân thức + Biến đổi biểu thức hữu tỉ Giá trị phân thức - Phương trình bậc ẩn: + Khái niệm phương trình ẩn Định nghĩa hai phương trình tương đương + Cách giải phương trình bậc ẩn Phương trình tích Phương trình chứa ẩn mẫu thức + Giải toán cách lập phương trình bậc ẩn - Bất phương trình bậc ẩn: + Nhắc lại thứ tự điểm trục số Khái niệm bất đẳng thức + Khái niệm bất phương trình ẩn, bất phương trình tương đương + Bất phương trình bậc ẩn Biểu diễn tập hợp nghiệm trục số + Phương trình chưa dấu giá trị tuyệt đối Để thực phép toán nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức yêu cầu học sinh cần thuộc quy tắc, quy tắc em không nhớ, có nhớ thực bị lẫn thực nào, em chưa hình thành kỹ nhân nên hay bị nhầm lẫn sai sót Khi học đẳng thức, giáo viên lưu ý công thức, có nhiều công thức, em tiếp cận thời gian ngắn, nên chưa ghi nhớ hết được, vận dụng hay bị nhầm lẫn dẫn đến sai sót Trong phần phân tích đa thức thành nhân tử, em nói phân tích đa thức thành nhân tử gì; liệt kê phương pháp, vận dụng vào giải tập, em lại lúng túng, không xác định phải dùng phương pháp để giải toán cho phù hợp có xác định lại mắc sai sót dấu nhân tử Khi học phân thức, cụ thể giải toán rút gọn phân thức, giáo viên lưu ý thực tương tự rút gọn phân số, em lúng túng, lẫn lộn “hạng tử”, “nhân tử” nên làm sai Trong trình học môn đại số 8, học sinh lười việc đọc - hiểu; định nghĩa, khái niệm, công thức, … không nhớ, nhớ mang máng, nên thường dẫn đến sai lầm giải tập Có nhiều học sinh cảm thấy khó học phần định nghĩa, khái niệm, tính chất, … mà lại vấn đề trọng tâm, yêu cầu học sinh phải nắm hiểu trước làm tập.Vẫn có học sinh có tư tưởng chờ làm tập học kĩ định nghĩa, khái niệm, nên dễ dẫn đến sai lầm Trong nhiều năm học, Tôi nhà trường THCS Nga Thanh phân công giảng dạy môn toán 8, qua điều tra cách cho học sinh làm viết 15 phút, 45 phút, chấm tập đại số học sinh, nhận thấy làm học sinh có nhiều sai sót, chẳng hạn: Trong kiểm tra 15 phút, kiểm tra lớp Bài 1: Làm tính nhân a 2x(x - 3) b x2(3y –x2 -5) Bài 2: Tính a (2+x)2 b (3y -1)3 Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 -3x + xy -3y Các lỗi sai chủ yếu là: Bài 1: a 2x(x - 3) = 2x2 – 6x = - 4x (có 12 HS làm sai) b x2(3y –x2 -5) = 3x2y - x4 - 5x2 = 3x2y – 6x6 (có 17 HS làm sai) Bài 2: a (2+x)2 = + 4x + x2 b (3y -1)3 = 3y2 – 6y +1 (có 11 HS làm sai) Bài 3: x(x -3) + x -3 = (x -3)(x + 0) = x(x - 3) (có HS làm sai) Kết thu sau: Loại Lớp, SL 8A 31 8B 28 Tổng 59 Giỏi SL 2 % 6,5 7,1 6,8 Khá SL % 9,6 17,9 13,5 Trung bình SL % 19 48,4 32,1 24 40,7 Yếu SL 7 14 % 22,6 25 23,7 Kém SL % 12,9 17,9 15,3 III GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN Sai lầm dấu thực nhân đơn thức, đa thức * Bài toán 1: Làm tính nhân: a -2(4x - 3) b (x-7)(x-5) * Lời giải sai: a -2(4x - 3) = -8x – b (x-7)(x-5) = x2 -5x – 7x -35 = x2 +12x -35 * Nguyên nhân: - Không nhớ quy tắc nhân hai số nguyên học lớp 6, nên nhầm: (-2).(-3) = (-6) hoặc: (-7).(-5) = -35 - Lẫn lộn quy tắc cộng với quy tắc nhân hai số nguyên dấu nên nhầm -5x – 7x = 12x * Biện pháp khắc phục: - Yêu cầu học sinh nhắc lại quy tắc cộng, quy tắc nhân số nguyên học lớp - Giáo viên lắng nghe nhắc lại xác cho học sinh, sau giáo viên đưa tập đơn giản chương trình lớp yêu cầu học sinh làm để nhớ lại quy tắc này, sau đưa tập vận dụng chương trình toán * Lời giải đúng: a -2(4x - 3) = -8x + b (x-7)(x-5) = x2 - 5x - 7x +35 = x2 - 12x + 35 * Bài tập tương tự: Bài 1: Tính xy(2x3 - xy2 - 1) a 4x(5x - 2) b –xy(x2 + 2xy -3) c Bài : Tính a.(x -5)(4x - 3) b (3y + 5)(2y - 7) c (5x – 2y)(x2 – xy +1) d (x - 5)(-x2 + x - 1) e (2x - 1)(x2 -5x + 3) f ( − x + )(2x2- 4x -6) Như trước học nhân đơn thức, đa thức, giáo viên nên cho học sinh ôn lại quy tắc cộng số nguyên; quy tắc nhân số nguyên; quy tắc nhân đơn thức, đa thức Sai lầm thu gọn hạng tử không đồng dạng * Bài toán 1: Rút gọn: a 2x- 3xy + x(x+y) b 4xy +3x +5y- 3xy+2x * Lời giải sai: a 2x- 3xy+ x(x+y) = 2x- 3xy+ x2+xy = 3x3- 2xy b 4xy+3x+5y-3xy+2x = xy+5x+5y = xy + 10xy = 11xy Trong câu a) học sinh nhầm 2x x hai đơn thức đồng dạng, em nghĩ đơn thức 2x x có phần biến x, nên cộng chúng với để 2x + x2 = 3x3; câu b) học sinh nhầm 5x 5y hai đơn thức đồng dạng có hệ số 5, nên cộng chúng với để 5x + 5y = 10xy * Nguyên nhân: Những sai lầm học sinh không nhớ định nghĩa đơn thức đồng dạng; không phân biệt hai đơn thức đồng dạng; không nhớ quy tắc cộng trừ đơn thức đồng dạng nên thực sai * Biện pháp khắc phục: - Giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại: định nghĩa; quy tắc cộng trừ đơn thức đồng dạng học môn đại số - Giáo viên lắng nghe nhắc lại xác định nghĩa; quy tắc cộng trừ đơn thức đồng dạng cho học sinh - Giáo viên cần làm rõ cho học sinh hiểu được: “Hai đơn thức đồng dạng hai đơn thức có hệ số khác có phần biến” Ở giáo viên cần cho học sinh thấy: “hệ số khác 0” có nghĩa hệ số đơn thức cần khác 0, khác nhau; “có phần biến” có nghĩa có thành phần biến, số mũ biến tương ứng phải Ở giáo viên nên đưa ví dụ để nhắc lại cho học sinh dễ nhớ: Ví dụ: - Đơn thức 5x 5y hai đơn thức không đồng dạng có phần biến khác (x y), có hệ số - Đơn thức 2x x2 hai đơn thức không đồng dạng phần biến có chứa biến x, số mũ chúng khác nhau, nên không coi phần biến - Giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh: “Để cộng (hay trừ) đơn thức đồng dạng, ta cộng (hay trừ) hệ số với giữ nguyên phần biến” Cũng cần lưu ý thêm là: tuyệt đối không cộng hay trừ phần biến * Lời giải đúng: a 2x- 3xy+ x(x+y) = 2x- 3xy+ x2+xy = 2x+ x2 +(- 3xy+ xy) = 2x+ x2 - 2xy b 4xy+3x+5y-3xy+2x = (4xy-3xy)+(3x+2x) +5y = xy+5x+5y * Bài tập tương tự: Bài 1: Rút gọn a 4x2- (x +3)(x -5) + x b 3x(x - 5) -5x(x + 7) 2 c 4x(x –x +1) –x(3x -2x -5) d 7y(y -5) + 3(y - 2) Đối với dạng tập giáo viên cần nhắc học sinh trước thực thu gọn hạng tử đồng dạng đa thức, em không vội vàng thu gọn mà nên nhớ lại định nghĩa đơn thức đồng dạng - để xác định hạng tử đồng dạng đa thức; quy tắc cộng (hoặc trừ) đơn thức đồng dạng - để thực cộng (hoặc trừ ) cho Một số sai lầm vận dụng đẳng thức 3.1 Không bình phương (hoặc lập phương) phần hệ số (hoặc phần chữ) biểu thức A B * Bài toán 1: Tính: a (5 – 3x)2 b (2 + xy)2 * Lời giải sai: a (5 – 3x)2 = 52 – 2.5.3x + 3x2 = 25 – 30x + 3x2 b (2 + xy)2 = 22 + 2.2.xy + xy2 = + 4xy + xy2 3.2 Nhận dạng đẳng thức sai * Bài toán 2: Tính a (x + 2)3 b 8x3 - * Lời giải sai: a (x + 2)3 = x3 + 23 = (x + 2)(x2 – 2x + 4) b 8x - = (2x)3 3 1 1 ÷ = 2x − ÷ 2 2 Sai lầm toán là: Không bình phương (hoặc lập phương) phần hệ số (hoặc phần chữ) biểu thức A B Sai lầm toán là: Nhận dạng đẳng thức sai * Nguyên nhân: Không hiểu, không nhớ đẳng thức nên vận dụng sai * Biện pháp khắc phục: - Giáo viên cần làm rõ để học sinh hiểu ghi nhớ nội dung sau: + Các đẳng thức chương trình công thức, công thức có hai vế, vế dạng tích, vế lại dạng tổng + Trong đẳng thức A, B số chữ (A, B đơn thức) A, B biểu thức + Việc vận dụng đẳng thức thực biến đổi biểu thức theo hai chiều: Biến đổi từ tích thành tổng biến đổi tổng thành tích - Khi dạy lý thuyết: Giáo viên cần chứng minh đẳng thức để học sinh thấy tính đắn đẳng thức Sau tìm đẳng thức giáo viên phải khái quát đẳng thức với biểu thức tuỳ ý, hướng dẫn em cách ghi nhớ, yêu cầu em phát biểu thành lời theo hai chiều từ tích thành tổng tổng thành tích Giáo viên cần ý hướng dẫn em cách đọc biểu thức : Ví dụ: (A -B)2: Bình phương hiệu; (A+B)2: Bình phương tổng; A2 – B2: Hiệu hai bình phương; … Giáo viên nên so sánh giống khác đẳng thức: Ví dụ: (A+B)2 = A2 +2AB + B2 (A-B)2 = A2 -2AB + B2; Giống nhau: Vế phải có hạng tử giống Khác nhau: Dấu hạng tử 2AB Giáo viên nên cho học sinh thấy mối quan hệ đẳng thức: Ví dụ: (A-B)2 = (B-A)2 ; (A+B)2 = (A-B)2 +4AB ; (A-B)2 = (A+B)2 - 4AB; … - Khi vận dụng lý thuyết vào giải tập: Giáo viên cần đưa tập đơn giản trước đến tập phức tạp Ví dụ: Vận dụng đẳng thức (A + B)2 giải tập, giáo viên nên đưa tập mà A, B số cụ thể để học sinh vận dụng, sau lại cho A, B chữ (chỉ có chữ), lại cho A, B tích số chữ, em quen lúc đưa A, B biểu thức Giáo viên nên đưa làm sai để em học sinh phát lỗi sai tự sửa lại cho đúng, qua giúp cho em tránh sai lầm tương tự Giáo viên để học sinh kiểm tra chéo làm nhau, giúp em vừa củng cố kiến thức vừa rèn luyện kỹ làm bài, thông qua để học hỏi cách làm trình bày bạn * Lời giải toán 1: a (5 – 3x)2 = 52 – 2.5.3x + (3x)2 = 25 – 30x + 9x2 b (2 + xy)2 = 22 + 2.2.xy + (xy)2 = + 4xy + x2y2 * Lời giải toán 2: a (x + 2)3 = x3 + 3x2.2 + 3.x.22 + 23 = x3 + 6x2 + 12x + 1 1 b 8x - = (2x) - ÷ = x − ÷ x + x + ÷ 4 2 * Bài tập tương tự: Bài 1: Tính a (x + y)2 b (x - 3y)(x + 3y) ) e (3 -y)2 f (x - Bài 2: Tính a (2x + y)2 b (5x – 3y)2 d (3a + b)2 e (2x - ) c (5 - x)2 d (x - 1)2 g (m - n)3 h (x -7)(x - 5) c (3x - 1)2 f m3 - n3 Trong học sinh giải tập có liên quan đến đẳng thức, trước hết giáo viên cần yêu cầu em phải nhớ xác đẳng thức : tên gọi hẳng đẳng thức ; phát biểu bẳng lời đẳng thức ; viết hẳng đằng thức ;… sau em nhớ đẳng thức tuỳ vào yêu cầu tập, giáo viên yêu cầu em vận dụng để làm, em lúng túng, giáo viên gợi ý Một số sai lầm phân tích đa thức thành nhân tử 4.1 Đổi dấu, đặt dấu sai * Bài toán 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a (2x - 1)2 – (x + 3)2 b x2 – 2x – 4y2 – 4y * Lời giải sai: a (2x - 1)2 – (x + 3)2 = [(2x – 1)+ (x + 3)][(2x – 1) - (x + 3)] = (2x -1 + x + 3)(2x -1 - x + 3) = (3x + 2)(x + 2) 2 b x – 2x – 4y – 4y = (x2 – 4y2) – (2x – 4y) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) = (x – 2y)(x + 2y – 2) Sai lầm học sinh câu a) đổi sai dấu hạng tử thứ hai nhân tử thứ hai; câu b) đặt dấu sai ngoặc thứ hai * Nguyên nhân: Sai lầm em không nhớ nhớ không xác quy tắc dấu ngoặc nên áp dụng vào bị sai * Biện pháp khắc phục: Giáo viên nhắc lại xác quy tắc dấu ngoặc, để học sinh nhớ lại, sau giáo viên lấy số ví dụ minh hoạ, đưa tập yêu cầu học sinh vận dụng để phá dấu ngoặc đặt dấu ngoặc để nhóm số hạng * Lời giải đúng: a (2x - 1)2 – (x + 3)2 = [(2x – 1)+ (x + 3)][(2x – 1) - (x + 3)] = (2x -1 + x + 3)(2x -1 - x - 3) = (3x + 2)(x - 4) 2 b x – 2x – 4y – 4y = (x2 – 4y2) – (2x + 4y) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x - 2y - 2) 4.2 Bỏ sót hạng tử sau đặt nhân tử chung * Bài toán 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 – xy + x – y * Lời giải sai: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y) = (x – y)(x + 0) = x(x – y) Sai lầm toán bỏ sót hạng tử * Nguyên nhân: Các em tưởng hạng tử thứ hai có nhân tử (x y), sau đặt nhân tử chung hết * Biện pháp khắc phục: Giáo viên phải nhấn mạnh phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung, trường hợp hạng tử thứ hai thứ ba … có nhân tử, sau đặt nhân tử chung nhân tử -1, Giáo viên nên cho học sinh nhân tích vừa nhận đối chiếu với đa thức trước phân tích để kiểm tra xem hay sai * Lời giải đúng: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y) = (x – y)(x + 1) * Bài tập tương tự: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a 5x – 20y b 5x(x-1) -3x(x-1) c x(x + y) - 5x - 5y 2 d 2x - 6xy +5x -15y e x +xy -2x -2y f x2- xy +2x -2y Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x(a - b) + a – b b x(a + b) + a + b c m(x + y) +x +y d ax + ay +2x + 2y e -2x – 2y +ax + ay f 3a2x – 3a2y +abx – aby Tóm lại giải toán phân tích đa thức thành nhân tử: Giáo viên cần phải khẳng định để học sinh thấy được: Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử toán ngược toán nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức Giáo viên, phải nắm toán cần dùng phương pháp học để phân tích, từ nhanh chóng định hướng cho học sinh phương pháp làm Hướng dẫn để em tự xác định phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (có thể xác định theo thứ tự sau: Đặt nhân tử chung; Dùng đẳng thức; Nhóm hạng tử; Tách hạng tử; Thêm bớt hạng tử; …) Luôn nhắc nhở học sinh phân tích triệt để Rèn kỹ sử dụng đẳng thức, quy tắc dấu ngoặc cách thường xuyên (Giáo viên thêm tập đơn giản để học sinh tự luyện yêu cầu em phải xem lại ví dụ minh hoạ, tập chữa), nên lỗi sai hay mắc phải để học sinh rút kinh nghiệm Đối với học sinh cần vận dụng thành thạo quy tắc dấu ngoặc, công thức luỹ thừa, học thuộc bảy đẳng thức đáng nhớ Nhớ xác phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Rút gọn phân thức tử mẫu chưa phân tích thành nhân tử * Bài toán: Rút gọn phân thức: a xy + x2 + x + x2 + b y + * Lời giải sai: x2 + 2x + = 2x x2 + xy + 3 xy x b y + = y = Sai lầm không phân tích tử mẫu thành nhân tử mà thực gạch bỏ hạng tử giống tử mẫu a 10 * Nguyên nhân: - Chưa nắm bước rút gọn phân thức - Không biết vận dụng tính chất phân thức để rút gọn phân thức * Biện pháp khắc phục: - Yêu cầu học sinh nhắc lại tính chất phân thức - GV nhắc lại tính chất phân số phân thức, yêu cầu học sinh so sánh điểm giống khác nhau, để em nhớ lại kiến thức cũ từ ghi nhớ kiến thức - Giáo viên đưa tập, yêu cầu học sinh thực nhân tử mẫu với đa thức đơn giản yêu cầu học sinh thực chia tử mẫu phân thức với nhân tử chung đó(nhân tử chung lúc đầu giáo viên đưa ra) Sau em thành thạo nhân chia lúc giáo viên đưa tập rút gọn phân thức, tập phải có mức độ từ dễ đến khó, để em luyện tập - Giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh: rút gọn phân thức thực chất thực phép chia tử mà mẫu cho nhân tử chung, rút gọn gạch bỏ hạng tử giống tử mẫu - Giáo viên cần yêu cầu học sinh ôn lại phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, phương pháp đặt nhân tử chung, dùng hẳng đẳng thức, nhóm hạng tử,… * Bài tập tương tự: Bài 1: Rút gọn phân thức 12 a 24 36 b 27 −3 xy d 6x 2x c 3x 20 x y e 15 xy −45 x y f 18 x y Bài 2: Rút gọn phân thức a 3x + y 3x b x − xy + y 9x2 − y2 c 15ab + 5b 9a − b d x2 − y ax − ay e m − 4m + 2m − Bài toán rút gọn phân thức xuất nhiều trình giải toán, giáo viên cần phải hướng dẫn, rèn cho học sinh để em có kỹ tốt rút gọn phân thức Để làm việc yêu cầu giáo viên phải tổ chức cho học sinh luyện tập nhiều, làm từ đơn giản đến phức tạp; hình thức tổ chức linh động: giáo viên yêu cầu học sinh làm; giáo viên yêu cầu học sinh đề cho học sinh khác làm, kiêm tra; tập đưa có kết hợp tự luận trắc nghiệm khách quan,… Một số sai lầm giải phương trình 6.1 Chuyển vế không đổi dấu hạng tử; bỏ dấu ngoặc không đổi dấu hạng tử dấu ngoặc; đưa dấu trừ phân thức lên tử thức chưa * Bài toán 1: Giải phương trình: a 3x – + x = – x 11 b (x – 1) – (2x – 1) = – x * Lời giải sai: a ⇔ 3x + x – x = – (chuyển vế không đổi dấu) ⇔ 3x = ⇔x=1 Vậy phương trình có nghiệm x =1 b (x – 1) – (2x – 1) = – x ⇔ x – – 2x – = – x (bỏ dấu ngoặc sai) ⇔ x – 2x – x = – (chuyển vế không đổi dấu) ⇔ –2x = (sai từ trên) ⇔ x= −7 Vậy phương trình có nghiệm x = −7 Sai lầm chuyển vế hạng tử, không thực đổi dấu (câu a) bỏ dấu ngoặc không đổi dấu hạng tử dấu ngoặc (câu b) * Nguyên nhân: Do em không nhớ, không hiểu quy tắc nên vận dụng vận dụng sai * Bài toán 2: Giải phương trình: x −1 x −1 x −1 + − =2 x −1 x −1 x −1 + − =2 3( x − 1) + 2( x − 1) − x − 12 ⇔ = (sai hạng tử thứ ba) 6 ⇔ 3( x − 1) + 2( x − 1) − x − = 12 (sai từ trên) ⇔ x = 18 (sai từ trên) ⇔ x = 4,5 (sai từ trên) * Lời giải sai: Vậy phương trình có nghiệm x = 4,5 Sai lầm đưa dấu trừ phân thức lên tử thức không đổi dấu hạng tử tử thức * Nguyên nhân: Không nhớ quy tắc đổi dấu, nên vận dụng quy tắc đổi dấu Không hiểu dấu trừ phân thức đưa lên tử dấu chung tử thức, đổi dấu, phải đổi dấu tất hạng tử tử thức * Biện pháp khắc phục: - Giáo viên khẳng định cho học sinh: Đây phương trình mà hai vế chúng hai biểu thức hữu tỉ, không chứa ẩn mẫu, ta đưa dạng 12 ax + b = hay ax = -b Để giải phương trình này, dùng hai quy tắc: Quy tắc chuyển vế; quy tắc nhân với số; cần áp dụng: Quy tắc dấu ngoặc - Giáo viên tóm tắt lại phương pháp giải dạng phương trình - Giáo viên yêu cầu học sinh ôn lại quy tắc dấu ngoặc; quy tắc chuyển vế; quy tắc nhân với số; cách giải phương trình bậc ẩn; cách quy đồng mẫu thức nhiều phân thức Trong học sinh ôn lại, giáo viên nên theo dõi để hỗ trợ cho em, giáo viên nên lấy thêm ví dụ đơn giản làm mẫu cho em theo dõi, sau đưa tập tương tự để em tự luyện, trình cần lặp lại (nếu có nhiều học sinh chưa hiểu) * Lời giải toán 1: a 3x – + x = – x ⇔ 3x + x + x = + ⇔ 5x = 15 ⇔x=3 Vậy phương trình có nghiệm x = b (x – 1) – (2x – 1) = – x ⇔ x – – 2x + = – x ⇔ x – 2x + x = +1-1 ⇔ 0x = Phương trình vô nghiệm Vậy phương trình cho vô nghiệm x −1 x −1 x −1 + − =2 3( x − 1) + 2( x − 1) − ( x − 1) 12 ⇔ = 6 * Lời giải toán 2: ⇔3(x – 1) + 2(x – 1) – (x -1)= 12 ⇔ 3x – + 2x – – x + 1= 12 ⇔ 4x = 16 ⇔x=4 Vậy phương trình có nghiệm x = * Bài tập tương tự: Bài 1: Giải phương trình sau a 7x + 21 = b 5x -2 = Bài 2: Giải phương trình sau a 3x + = 7x -11 b - 3x = 6x + Bài 3: Giải phương trình sau a 3x =6 b x = −12 c 12 - 6x = d.-2x + 14 = c 11 - 2x =x -1 d 4x -3 = 2x + c + 5x = x−2 d x + = x − 13 Bài 4: Giải phương trình sau x x − =9 x −3 1− 2x = 6− d a 2x −1 x +1 − =0 3x − − 2( x + 7) −5 = e b c 2x 2x + − = 6.2 Khi giải phương trình chứa ẩn mẫu không đặt điều kiện cho mẫu khác * Bài toán: Giải phương trình: x2 − 5x = (1) x−5 * Lời giải sai: (1) ⇔ x2 -5x = 5(x - 5) (2) (tại bước dùng ký hiệu ⇔ không xác) ⇔ x2 -5x =5x – 25 ⇔ x2 - 10x +25 = ⇔ (x - 5)2 = ⇔ x = Vậy tập nghiệm phương trình là: S = { } (kết luận sai) Sai lầm giải phương trình là: Không đặt điều kiện xác định phương trình; dùng ký hiệu “ ⇔ ” không xác; kết luận nghiệm sai * Nguyên nhân: - Không nhớ bước giải phương trrình chứa ẩn mẫu - Không hiểu phải tìm điều kiện xác định phương trình trước giải * Biện pháp khắc phục: - Giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại bước giải phương trình chứa ẩn mẫu Bước 1: Tìm ĐKXĐ phương trình: Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế phương trình khử mẫu Bước 3: Giải phương trình vừa nhận Bước 4: Kết luận.(Giá trị thoả mãn ĐKXĐ phương trình, nghiệm phương trình) - Giáo viên cần củng cố cho học sinh: Tìm điều kiện xác định phương trình tìm giá trị ẩn để mẫu khác Cách tìm: Cho mẫu thức 0, tìm giá trị ẩn cho ẩn khác giá trị này- điều kiện xác định phương trình Tuyệt đối không quy đồng khử mẫu chưa tìm điều kiện xác định phương trình Khi giải phương trình chứa ẩn mẫu để không sót điều kiện phương trình nên cho học sinh tìm trước mẫu thức chung (MTC) cho MTC khác 0, điều kiện xác định phương trình Rèn cho học sinh kỹ thực bước giải phương trình, kỹ phân tích đa thức thành nhân tử để tìm MTC, quy tắc quy tắc đổi dấu, quy tắc dấu ngoặc việc triển 14 khai tích có dấu trừ đằng trước Rèn cho học sinh kỹ nhận dạng phương trình có mẫu đa thức dạng x + 1; 3x2 + 2; x2 + x + 3;… bình phương thiếu tổng, hiệu luôn dương với giá trị x Do gặp phải mẫu thức có dạng ta không cần phải đặt điều kiện cho mẫu thức khác Khi khử mẫu ta thu phương trình hệ phương trình cho, nên ta dùng ký hiệu “ ⇒ ” hay nói cách khác tập nghiệm phương trình (2) chưa tập nghiệm phương trình (1) Sau giải phương trình tìm nghiệm, phải đối chiếu nghiệm tìm với điều kiện xác định phương trình kết luận * Lời giải đúng: ĐKXĐ: x ≠ (1) ⇒x2 -5x = 5(x - 5) ⇔ x2 -5x = 5x – 25 ⇔ x2 - 10x +25 = ⇔ (x - 5)2 = ⇔ x = (Không thoả mãn điều kiện xác định) Vậy phương trình cho vô nghiệm * Bài tập tương tự: Bài 1: Giải phương trình sau a = x b =3 x+2 c 3x =2 5x −1 d 2x = −3 3x + Bài 2: Giải phương trình sau a = x − x + 12 b x+2 = +3 x −3 x −3 1 c y + + y + = Bài 3: Giải phương trình sau x + 2x − − = 3x − 2 x − x + x +1 = − c x −1 x − x − 4x + a 12 − 3x + x = − 1− 9x + 3x − x x +1 12 − = +1 d x−2 x+2 x −4 b Khi dạy cho học sinh giải phương trình, giáo viên cần cho em thấy được, thực chất em giải phương trình từ sớm (ở lớp đến lớp 7- toán tìm x, tìm y), từ giúp em thấy giải phương trình mới, khó khăn, tạo cho em hứng thú giải phương trình Giáo viên phải liên tục yêu cầu học sinh ôn lại quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân, cách giải phương trình đưa dạng ax + b = 0; trước toán giải phương trình, yêu cầu em nhận dạng phương trình, để từ đưa cách giải cho phù hợp Giáo viên cần đặc biệt lưu ý cho em khử mẫu hai vế phương trình chứa ẩn ta cần lưu ý phương trình hệ phương trình ban đầu 15 ta dùng dấu suy ra; sau tìm nghiệm phải đối chiếu với điều kiện xác định phương trình kết luận tập nghiệm phương trình Một số sai lầm giải bất phương trình b − x > 12 * Bài toán: Giải bất phương trình: a -2x < 23 * Lời giải sai: a -2x < 23 ⇔ x < 23 +2 ⇔ x < 25 Vậy nghiệm bất phương trình x < 25 7 7 b − x > 12 ⇔ − ÷ − x ÷ > − ÷.12 ⇔ x > −28 3 3 Vậy nghiệm bất phương trình x >-28 Sai lầm câu a) học sinh coi -2 hạng tử chuyển vế hạng tử (trong -2 thừa số x) Sai lầm câu b) nhân hai vế bất phương trình với số âm ( − ) mà không đổi chiều bất phương trình * Nguyên nhân: - Xác định hệ số a, b bất phương trình không xác - Nhớ quy tắc biến đổi tương đương bất phương trình không xác - Nhầm lẫn quy tắc chuyển vế quy tắc nhân * Biện pháp khắc phục: - Trước hết giáo viên cho học sinh ôn lại định nghĩa bất phương trình bậc ẩn, sau giáo viên đưa ví dụ; yêu cầu học sinh tự đưa ví dụ để học sinh nhận biết bất phương trình - Sau em nhận biết bất phương trình bậc ẩn rồi, giáo viên yêu cầu em nhắc lại hai quy tắc biến đổi bất phương trình Khi nhắc lại quy tắc có học sinh nhớ vận dụng được, có nhiều học sinh không nhớ được, nên không vận dụng vào giải bất phương trình Lúc giáo viên nên nhắc lại liên hệ thứ tự phép cộng, liên hệ thứ tự phép nhân, đặc biệt nhân với số âm Trong nhắc lại liên hệ thứ tự phép cộng, phép nhân giáo viên nên dùng trục số để lần giúp cho em nhớ hiểu tính chất - Kiến thức bất phương trình nội dung khó giáo viên phải thường xuyên yêu cầu học sinh ôn lại lý thuyết, làm tập đơn giản để em dần hình thành kỹ giải bất phương trình * Lời giải đúng: a -2x < 23 ⇔ x > − 23 Vậy nghiệm bất phương trình x > − 23 16 7 7 b − x > 12 ⇔ − ÷ − x ÷ < − ÷.12 ⇔ x < −28 3 3 Vậy nghiệm bất phương trình x < -28 * Bài tập tương tự: Bài 1: Giải bất phương trình sau: a x – > b x + < c x – < -8 e 3x < 2x +5 f 2x + < x +4 g -2x > -3x + d x + > -6 h -4x-2> -5x +6 Bài 2: Giải bất phương trình sau: a 3x > 18 3 c − x < −2 b x > −4 d − x > Bài 3: Giải bất phương trình sau: a 3x +2 >8 b 4x -5 < d x + > 5 e − x < IV KIỂM NGHIỆM Sau thời gian nghiên cứu tìm hiểu hướng dẫn em học sinh khắc phục sai sót giải toán đại số cho học sinh, nhận thấy học sinh hạn chế không để xảy sai lầm đáng tiếc làm tập nhà, lớp kiểm tra Ví dụ: Trong đề kiểm tra 45 phút, kiểm tra lớp Bài 1: Tính b (5x + y)2 a (2x - 3)(x +1) c (x -1)(x2+x+1) Bài 2: Giải phương trình a x – 12 + 4x = 25+ 2x -1 b x 2x +1 x − = −x c x +1 x −1 − = x −1 x +1 x −1 c 3x − >2 Bài 3: Giải bất phương trình sau a 2x - < b 7x -2,2 > 0,6 Kết cụ thể đạt sau: Loại Giỏi Khá Trung bình SL % SL % SL % 8A 31 12,9 25,8 16 51,6 8B 28 14,8 26 13 48,1 Tổng 59 13,8 15 25,9 29 50 Yếu SL % 9,7 7,4 8,6 Kém SL % 1 3,7 1,7 C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 17 Kết luận Trên số sai lầm mà học sinh thường mắc phải giải toán đại số Cụ thể là: - Sai lầm dấu thực nhân đơn thức, đa thức - Sai lầm thu gọn hạng tử không đồng dạng - Một số sai lầm vận dụng đẳng thức + Không bình phương (hoặc lập phương) phần hệ số (hoặc phần chữ) + Nhận dạng đẳng thức sai - Một số sai lầm phân tích đa thức thành nhân tử + Đổi dấu, đặt dấu sai + Bỏ sót hạng tử sau đặt nhân tử chung - Rút gọn phân thức tử mẫu chưa phân tích thành nhân tử - Một số sai lầm giải phương trình + Chuyển vế không đổi dấu hạng tử; bỏ dấu ngoặc không đổi dấu hạng tử dấu ngoặc; đưa dấu trừ phân thức lên tử thức chưa + Khi giải phương trình chứa ẩn mẫu không đặt điều kiện cho mẫu khác - Một số sai lầm giải bất phương trình + Xác định hệ số bất phương trình không xác + Khi nhân hai vế bất phương trình với số âm, không đổi dấu bất phương trình Để khắc phục sai sót đó, điều đặc biệt quan trọng là: Giáo viên phải cho học sinh thấy nguyên nhân dẫn đến sai lầm cách sửa chữa sai lầm cho học sinh; Thông qua tập tương tự để học sinh luyện tập, khắc sâu kiến thức tránh mắc phải sai lầm Đó giải pháp mà áp dụng có hiệu trình giảng dạy môn đại số cho học sinh lớp Qua tạo cho em hứng thú hơn, say mê học tập môn toán Đề xuất Đối với giáo viên dạy đại số 8: Trước giảng phải nghiên cứu thật kỹ, tham khảo thêm sách giáo viên, chuẩn kiến thức kỹ để xác định mục tiêu học, chọn phương pháp phù hợp cho Trong dạy tiết luyện tập, ôn tập cần phải rõ sai lầm mà học sinh thường mắc phải, phân tích kỹ lập luận sai lầm để học sinh lưu ý rút kinh nghiệm làm tập Sau giáo viên cần tổng hợp dạng tập phương pháp giải cho dạng bài, để học sinh xác định hướng giải dễ dàng 18 Giáo viên cần thường xuyên trao đổi với đồng nghiệp đặc biệt đồng nghiệp dạy toán 8, để học hỏi rút kinh nghiệm cho thân, vận dụng phương pháp dạy học phù hợp với nhận thức học sinh trực tiếp giảng dạy, không ngừng đổi phương pháp giảng dạy để nâng cao chất lượng dạy học Trên số phát trình giảng dạy môn đại số, cho em học sinh khối 8, cố gắng nghiên cứu vấn đề này, song tránh hết thiếu sót Vì vậy, mong quan tâm góp ý đồng nghiệp nội dung hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hoá, ngày 12 tháng năm 2015 CAM KẾT KHÔNG COPY Mai Thanh Hải 19 [...]... gian nghiên cứu tìm hiểu và hướng dẫn các em học sinh khắc phục những sai sót khi giải một bài toán đại số 8 cho học sinh, tôi nhận thấy học sinh đã hạn chế hoặc không để xảy ra những sai lầm đáng tiếc trong khi làm bài tập ở nhà, ở lớp hoặc trong bài kiểm tra Ví dụ: Trong một đề kiểm tra 45 phút, kiểm tra ở 2 lớp 8 Bài 1: Tính b (5x + y)2 a (2x - 3)(x +1) c (x -1)(x2+x+1) Bài 2: Giải các phương trình... 4 Bài 3: Giải các bất phương trình sau a 2x - 4 < 0 b 7x -2,2 > 0,6 Kết quả cụ thể đạt được như sau: Loại Giỏi Khá Trung bình SL % SL % SL % 8A 31 4 12,9 8 25 ,8 16 51,6 8B 28 4 14 ,8 7 26 13 48, 1 Tổng 59 8 13 ,8 15 25,9 29 50 Yếu SL % 3 9,7 2 7,4 5 8, 6 Kém SL % 0 1 1 3,7 1 1,7 C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 17 1 Kết luận Trên đây tôi đã chỉ ra một số sai lầm mà học sinh thường mắc phải khi giải toán đại số 8. .. Để khắc phục những sai sót đó, điều đặc biệt quan trọng đó là: Giáo viên phải chỉ ra cho học sinh thấy được nguyên nhân dẫn đến sai lầm và cách sửa chữa những sai lầm đó cho học sinh; Thông qua các bài tập tương tự để học sinh luyện tập, khắc sâu kiến thức tránh mắc phải những sai lầm đã được chỉ ra Đó chính là những giải pháp mà tôi đã áp dụng có hiệu quả trong quá trình giảng dạy môn đại số cho học. .. - Sai lầm về dấu khi thực hiện nhân đơn thức, đa thức - Sai lầm khi thu gọn các hạng tử không đồng dạng - Một số sai lầm khi vận dụng các hằng đẳng thức + Không bình phương (hoặc lập phương) phần hệ số (hoặc phần chữ) của + Nhận dạng hằng đẳng thức sai - Một số sai lầm khi phân tích đa thức thành nhân tử + Đổi dấu, đặt dấu sai + Bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung - Rút gọn phân thức khi tử và. .. học sinh lớp 8 Qua đó đã tạo ra cho các em hứng thú hơn, say mê hơn khi học tập môn toán 8 2 Đề xuất Đối với những giáo viên dạy đại số 8: Trước mỗi một bài giảng phải nghiên cứu thật kỹ, tham khảo thêm sách giáo viên, chuẩn kiến thức kỹ năng để xác định đúng mục tiêu bài học, chọn ra phương pháp phù hợp cho từng bài Trong khi dạy các tiết luyện tập, ôn tập cần phải chỉ rõ những sai lầm mà học sinh. .. lập luận sai lầm để học sinh lưu ý và rút kinh nghiệm trong khi làm bài tập Sau đó giáo viên cần tổng hợp từng dạng bài tập và phương pháp giải cho từng dạng bài, để học sinh xác định được hướng và giải dễ dàng hơn 18 Giáo viên cần thường xuyên trao đổi với đồng nghiệp đặc biệt là những đồng nghiệp đang cùng dạy toán 8, để học hỏi và rút ra kinh nghiệm cho bản thân, vận dụng phương pháp dạy học phù... pháp khắc phục: - Yêu cầu học sinh nhắc lại tính chất cơ bản của phân thức - GV nhắc lại tính chất cơ bản của phân số và của phân thức, yêu cầu học sinh so sánh các điểm giống nhau và khác nhau, để các em nhớ lại kiến thức cũ từ đó ghi nhớ được kiến thức mới - Giáo viên có thể đưa ra các bài tập, yêu cầu học sinh thực hiện nhân cả tử và mẫu với một đa thức đơn giản nào đó hoặc yêu cầu học sinh thực hiện. .. nhân tử - Một số sai lầm khi giải phương trình + Chuyển vế không đổi dấu hạng tử; bỏ dấu ngoặc không đổi dấu hạng tử trong dấu ngoặc; đưa dấu trừ của phân thức lên tử thức chưa đúng + Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu không đặt điều kiện cho mẫu khác 0 - Một số sai lầm khi giải bất phương trình + Xác định các hệ số của bất phương trình không chính xác + Khi nhân hai vế của bất phương trình với số âm,... sẽ có học sinh nhớ và vận dụng được, nhưng cũng sẽ có nhiều học sinh không nhớ được, nên cũng không vận dụng vào giải bất phương trình được Lúc này giáo viên nên nhắc lại về liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, liên hệ giữa thứ tự và phép nhân, đặc biệt là khi nhân với số âm Trong khi nhắc lại liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, phép nhân giáo viên nên dùng trục số để một lần nữa giúp cho các em nhớ và hiểu... 2m − 4 Bài toán rút gọn phân thức xuất hiện rất nhiều trong quá trình giải toán, chính vì vậy giáo viên cần phải hướng dẫn, rèn cho học sinh để các em có kỹ năng tốt về rút gọn phân thức Để làm được việc này yêu cầu giáo viên phải tổ chức cho học sinh luyện tập nhiều, làm từ bài đơn giản đến bài phức tạp; hình thức tổ chức linh động: giáo viên ra bài yêu cầu học sinh làm; giáo viên yêu cầu học sinh ra ... em học sinh khắc phục sai sót giải toán đại số cho học sinh, nhận thấy học sinh hạn chế không để xảy sai lầm đáng tiếc làm tập nhà, lớp kiểm tra Ví dụ: Trong đề kiểm tra 45 phút, kiểm tra lớp Bài. .. viên phải cho học sinh thấy nguyên nhân dẫn đến sai lầm cách sửa chữa sai lầm cho học sinh; Thông qua tập tương tự để học sinh luyện tập, khắc sâu kiến thức tránh mắc phải sai lầm Đó giải pháp mà... SL % SL % 8A 31 12,9 25 ,8 16 51,6 8B 28 14 ,8 26 13 48, 1 Tổng 59 13 ,8 15 25,9 29 50 Yếu SL % 9,7 7,4 8, 6 Kém SL % 1 3,7 1,7 C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 17 Kết luận Trên số sai lầm mà học sinh thường