Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 trường THPT Tam Quan năm 2015 - 2016

TRƯỜNG THPT TAM QUAN TỔ TOÁN Bài 1: a) Cho tan ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN K11 Năm học 2015-2016 THỜI GIAN: 150 phút (không kể thời gian phát đề) b a ba 3sin a  tan Chứng minh: tan  2  3cos a 1   cos 290 sin 2500 35 c) sin x  cos8 x  cos x  cos x  64 16 64 b) Chứng minh : Bài 2: a) Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm: 2m sin x  cos x  m  ( m tham số) b)Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: y   cos x.sin x Bài Giải phương trình sau: a) sin6 x  3sin x cos x  cos6 x  b) 12 cos x  5sin x  8  12 cos x  5sin x  14  cot2x tan x   6(1  sin 2 x ) ; cos x Bài 4: Tìm giá trị  để phương trình: (cos   3sin   3)x  ( cos   3sin   2)x  sin   cos    có nghiệm x =1  Bài 5: a).Trong mặt phẳng 0xy ,cho vectơ v =(-2;1), đường thẳng d có phương trình 2x –3y +3 =0  Hãy xác định phương trình d’ ảnh d qua phép tịnh tiến theo vectơ v b) Trong mặt phẳng 0xy , cho đường tròn ( C) co phương trình : x  y  2x  4y   Tìm  ảnh ( C) qua phép tịnh tiến theo vec tơ v =(-2;5) c) HƯỚNG DẪN ĐÁP ÁN b a tan  tan ba a b 2  3t  Bài 1: a) Đặt tan = t tan = 4t ,do : tan a b  4t 2 2  tan tan 2 2t ba 3sin a  t  3t Từ suy điều phải chứng minh   Mặt khác : tan  t  4t 2  3cos a 53 1 t2 1 1    0 cos 70 sin 20 sin 70 cos 200   0 cos 20  sin 20   2 cos 200  sin 200 4sin 400    = = ( đpcm)  0 sin 20 cos 20 3 sin 40 sin 40 c) VT = (sin x  cos x)  2sin x cos x = (1  2sin x cos x)  2sin x cos x b)VT =  cos x   cos x    =  sin x cos x  sin x cos x =   =… 8  35 cos8 x  cos x  = 64 16 64 m  2 Bài 2: a) Pt có nghiệm  4m   (m  1)  3m  2m    m   b)  cos x sin x   sin 2 x    sin 2 x    y 2 2    ymax  x  k ; ymin  x  k 2 6 Bài 3: a) sin x  3sin x cos x  cos x   (sin x  cos x )3  3sin x cos x (sin x  cos x )  3sin x cos x  k  3sin x cos x  3sin x cos x  giải phương trình ta nghiệm x  b)Đặt y = 12cosx +5 sinx + 14 ,ta có phương trình y    giải phương trình ta y y =1vày =5 Do : 12 cos x  5sin x  8  12 cos x  5sin x  14 12 cos x  5sin x  13 (1) 12 cos x  5sin x  14      12 cos x  5sin x  9 (2) 12 cos x  5sin x  14  12  9 Giải (1) (2) ta : x      k2 ; x    arccos     k2 với cos   sin   13 13  13  cos x   cot2x.tan x    3sin 2 x   6(1  sin 2 x )  c)ĐK: x  k ; sin x.sin x.cos x cos x 2 2 4   3sin 2 x  3t  5t   (t  sin 2 x) sin x    x    k   sin 2x    cos 2x        x  k sin 2x  cos 4x    cos    3    x    k    Bài 4: x= nghiệm phương trình cho ta có đẳng thức cos   sin    cos   sin   Đẳng thức xảy    k2 2  Bài 5: a) Lấy M(0;1) thuộc d Khi M '  Tv (M)  (2; 2)  d ' Vì d’ song song với d nên d’ có hay phương trình dạng : 2x-3y + C = Thay toạ độ M’vào pt d’ ta C =10 Vậy phương trình d’ : 2x –3y +10 =0 b) Đường tròn ( C) có tâm I (1;-2) ,R= 3.Gọi I '  Tv (I)  (1;3) ( C’) ảnh ( C) qua phép tịnh  tiến theo vectơ v ( C’) có tâm I’ bán kính R’= có pt : (x  1)  (y  3)  ... với d nên d’ có hay phương trình dạng : 2x-3y + C = Thay toạ độ M’vào pt d’ ta C =10 Vậy phương trình d’ : 2x –3y +10 =0 b) Đường tròn ( C) có tâm I (1 ;-2 ) ,R= 3.Gọi I '  Tv (I)  (1;3) ( C’)