SKKN: Vi tri giua duong thang va parabol

Lí do viết sáng kiến kinh nghiệm Môn toán có vị trí đặc biệt quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của trường THCS, đó là việc góp phần hình thành những con người có trình độ h

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẠNG GIANG

TRƯỜNG THCS DƯƠNG ĐỨC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG

VÀ ĐƯỜNG THẲNG VỚI PARABOL

GV Chu Thị Hoan

TRƯỜNG THCS DƯƠNG ĐỨC

Tháng 5 năm 2011

A ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lí do viết sáng kiến kinh nghiệm

Môn toán có vị trí đặc biệt quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của trường THCS, đó là việc góp phần hình thành những con người có trình độ học vấn phổ thông cơ bản, đó là những con người biết rèn luyện để có tính độc lập, có tư duy sáng tạo, phẩm chất đạo đức để đáp ứng yêu cầu công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước hiện nay

Để thực hiện thành công nhiệm vụ đó, người giáo viên phải có phương pháp giảng dạy phù hợp, chắt lọc những kiến thức cơ bản với từng đối tượng học sinh, biết rèn cho học sinh phương pháp học tập các môn nói chung cũng như môn toán nói riêng

Kiến thức môn toán rất rộng, các em được lĩnh hội nhiều kiến thức, các kiến thức đó lại có mối liên hệ chặt chẽ với nhau, do vậy khi học, các em cần nắm vững kiến thức cơ bản, từ đó vận dụng linh hoạt vào giải các loại toán, bài toán cụ thể Một trong các kiến thức cơ bản trong chương trình toán THCS là phần đồ thị, hàm số, mối tương giao giữa các đường thẳng với nhau, giữa các đường thẳng và parabol Nhìn chung, ở phần này, học sinh có khả năng tư duy tưởng tượng chưa tốt nên giải loại toán này khá vất vả, trình bày không chặt chẽ, rõ ràng dẫn đến điểm kém nên sợ hoặc không thích học phần đồ thị, hàm số Khi nghiên cứu việc học và giải toán của các em học sinh THCS, trao đổi với các đồng nghiệp dạy toán

ở THCS mà đặc biệt là giáo viên dạy toán 9, tôi thấy loại toán về sự tương giao giữa đường thẳng và đường thẳng, đường thẳng và parabol vẫn thường được đề cập tới trong các đề thi vào THPT, mặt khác, đây là loại toán mà các em phải nắm vững để chuẩn bị cho môn toán lớp 10 THPT

Ở dạng toán này, các em thường gặp khó khăn: Do không vẽ được đồ thị, hoặc chưa nắm được nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn, điểm chung(nếu có) của hai đường thẳng (chính là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, tìm toạ độ giao điểm), điểm chung của đường thẳng và parabol (chính là nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn tìm hoành độ giao điểm)

Vì vậy, yêu cầu của dạng toán sự tương giao của đường thẳng và đường thẳng, đường thẳng và parabol là học sinh phải nắm được hình dạng, cách vẽ đồ thị hàm

số y = ax + b (a  0) và đồ thị hàm số y = ax2 (a  0), phải nắm được vị trí tương đối của hai đường thẳng, biết cách giải phương trình bậc nhất một ẩn, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, phương trình bậc hai một ẩn… đã học ở lớp 8 và lớp 9

Để giúp các em học phần này có kết quả tốt, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm “Sự tương giao giữa các đường thẳng, đường thẳng và parabol” giúp người giáo viên không chỉ nắm chắc được kiến thức cơ bản phần này mà còn phải có phương pháp linh hoạt để truyền thụ kiến thức một cách dễ hiểu nhất tới các em học sinh

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Vấn đề 1: Sự tương giao của hai đường thẳng:

Dạng 1: Tìm toạ độ giao điểm

Ta cần nhớ lại những kiến thức cơ bản về sự tương giao của hai đường thẳng:

- Trước hết, các đường thẳng phải là đồ thị của hàm số bậc nhất: Tức là a  0

- Cho (d) là đồ thị của hàm số y = f(x) và một điểm A(xA;yA) ta sẽ có:

A ( )d Y A f X( A)

A ( )d Y A f X( A)

Muốn tìm toạ độ điểm chung của đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) ta tìm

nghiệm của hệ phương trình: y = f(x)

y = g(x)







Vì vậy hoành độ giao điểm chung của hai đồ thị chính là nghiệm của hệ phương trình trên

Ví dụ: Cho hai hàm số y = x + 3 (d) và hàm số y = 2x + 1 (d’)

a)Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ

b)Tìm toạ độ giao điểm nếu có của hai đồ thị

Nhận xét: Gặp dạng toán này học sinh thường vẽ đồ thị hai hàm số trên rồi tìm toạ

độ giao điểm (x;y), tuy nhiên gặp những bài khi x và y không là số nguyên thì tìm toạ độ bằng đồ thị sẽ khó tìm chính xác giá trị của x; y Do vậy, GV hướng dẫn HS làm như sau:

a) Vẽ đồ thị hai hàm số như đã được học

b) Toạ độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình: y y 2x x 31

 



3 2

2 1 5

x y x

x y y

   

   

   

Vậy toạ độ giao điểm của (d) và (d’) là (2;5)

Việc làm này rất thuận lợi cho HS, tránh việc HS vẽ đồ thị hai hàm số rồi từ giao điểm hai đồ thị, các em gióng vuông góc với hai trục toạ độ để tìm hoành độ, tung độ và kết luận toạ độ giao điểm, nếu không cẩn thận, thiếu chính xác, sẽ sai toạ độ giao điểm

Dạng 2: Bài toán tìm điều kiện

Ta cũng cần nhớ lại vị trí tương đối của hai đường thẳng:

Cho hai đường thẳng y = ax + b (a 0) (D), y = a x b a    ( 0) ( )D

Ta cũng chú ý: Muốn hai đường thẳng thoả mãn vị trí tương đối cho trước thì hàm số của các đường thẳng này phải là hàm số bậc nhất Do vậy GV yêu cầu HS ghi nhớ công thức sau để khi làm bài HS tránh được lỗi bỏ quên không kết hợp điều kiện a 0, a’ 0

(D) // ( )D 

0 ' 0 ' '

a a

a a

b b





 









 



(D)  ( )D 

0 ' 0 ' '

a a

a a

b b





 









 



(D)  ( )D 

0 ' 0 '

a a

a a











 



(D)  ( )D 

0 ' 0 ' 1

a a

a a











 



Ví dụ: Cho 2 đường thẳng lần lượt có phương trình:

y = (m-1)x + 2 (d)

y = (2 – m)x – n (d1)

Tìm tham số m để đường thẳng (d) và đường thẳng ( d1) cắt nhau

Nhận xét: Theo cách phân tích như trên, GV hướng dẫn HS trình bày như sau

để tránh quên kết hợp điều kiện của a 0, a’ 0

Giải: Đường thẳng (d) và đường thẳng ( d1) cắt nhau

1 0 1

1 2 3

2

m m

m m

m





  







      

    

 3

Vấn đề 2:

Vị trí tương đối giữa đường thẳng (D): y = f(x) và parabol (P): y = g(x).

Ta cần nhớ lại hoành độ điểm chung của (D) và (P) là nghiệm của phương trình f(x)= g(x) (2) Phương trình (2) là phương trình bậc hai Ta thấy:

(D) và (P) không có điểm chung phương trình(2) vô nghiệm   0

(D) tiếp xúc (P)  phương trình (2) có một nghiệm   0

(D) cắt (P) tại hai điểm phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt   0

Sau đây là một số bài toán cụ thể:

Dạng 1:Xác định toạ độ tiếp điểm.

Ví dụ: Cho parabol (P): y = x2 - 2x - 3

Tìm toạ độ giao điểm của (P) và đường thẳng (D): y = -4x

Nhận xét: Toạ độ giao điểm vừa phải thuộc (D), vừa phải thuộc (P) nên ta tìm

hoành độ giao điểm bằng phương trình hoành độ, sau đó thay hoành độ vào một trong hai phương trình (D) hoặc (P) để tìm các tung độ giao điểm Từ đó tìm toạ độ giao điểm

Giải:

Hoành độ điểm chung của (P) và (D) là nghiệm của phương trình:

x2 - 2x – 3 = -4x  x2 + 2x – 3 = 0 (2)

Phương trình (2) có nghiệm x 1 1, x 2 3

- Với x 1 1, thì y 1 4 Vậy toạ độ giao điểm thứ nhất là (1; -4)

- Với x 2 3thì y 2 12 Vậy toạ độ giao điểm thứ nhất là (-3; 12)

Dạng 2: Bài toán tìm điều kiện

Ví dụ: Cho đường thẳng (D): y = x + 2m và parabol (P): y = -x2 – x + 3m

a) Với giá trị nào của m thì (D) tiếp xúc với parabol (P)

b) Với giá trị nào của m thì (D) cắt parabol (P)tại hai điểm phân biệt A và B

Nhận xét : Tương tự như ví dụ trên ta sẽ đi xét sự có nghiệm của phương trình

bậc hai

Nếu có một nghiệm thì (D) và (P) có một điểm chung, nếu có hai nghiệm thì (D)

và (P) có hai điểm chung còn nếu vô nghiệm thì (D) và (P) không có điểm chung nào

Giải:

a) Hoành độ giao điểm của (D) và (P) là nghiệm của phương trình:

-x2 – x + 3m = x + 2m  -x2 - 2x + m = 0

Đường thẳng (D) tiếp xúc với parabol (P)  phương trình (3) có nghiệm kép

Vậy khi m = -1 thì (D) tiếp xúc với (P)

b) Đường thẳng (D) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt  phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt    0  4 + 4m > 0  m > -1

Vậy khi m > -1 thì (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Dạng 3: Bài toán chứng minh

Ví dụ: Chứng minh rằng: Đường thẳng (D): y = 4x - 3 tiếp xúc với parabol (P):

Y = 2x2 - 4(2m - 1)x + 8m2 - 3

Nhận xét:

Gặp dạng toán này GV phải làm cho HS hiểu được rằng đường thẳng

(D): y = 4x - 3 tiếp xúc với parabol (P): y = 2x2 - 4(2m - 1)x + 8m2 - 3 tại một điểm thì điểm đó phải là nghiệm của hai phương trình, vậy để chứng minh được bài toán này thì phương trình hoành độ giao điểm bắt buộc phải có nghiệm kép từ

đó ta có cách giải sau:

Giải:

Đường thẳng (D): y = 4x - 3

tiếp xúc với parabol (P): Y = 2x2 - 4(2m - 1)x + 8m– 3 khi và chỉ khi phương trình 2x2 - 4(2m - 1)x + 8m2 – 3 = 4x – 3

2x2 - 8mx + 8m2 = 0

x2 + 4mx + 4m2 = 0 có nghiệm kép

Ta có:   16m2  16m2  0 với mọi giá trị của m nên đường thẳng (D): y = 4x - 3 luôn tiếp xúc với parabol (P): y = 2x2 - 4(2m - 1)x + 8m2 – 3

Tương tự, nếu bài toán yêu cầu chứng minh đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt, ta cho phương trình hoành độ có hai nghiệm phân biệt và nếu yêu cầu chứng minh đường thẳng và parabol không có điểm chung, ta cho phương trình hoành độ vô nghiệm

C KẾT QUẢ VÀ KINH NGHIỆM

Với việc làm như đã nêu trên, bản thân tự nghiên cứu và áp dụng, qua khảo sát chuyên đề này ở các em HS lớp 9B, ban đầu, tôi thấy được kết quả như sau:

Điểm 9,10: 0

Điểm 5,6,7,8: 15

Điểm dưới trung bình: 18

Sau khi thực hiện chuyên đề này tôi thấy kết quả nâng lên rõ rệt:

Điểm 9,10: 7

Điểm 5,6,7,8: 19

Điểm dưới trung bình: 7

Ngoài kết quả mà các em đã đạt được qua khảo sát tôi còn thu được một số kết quả còn quan trọng hơn nhiều đó là:

- Phần lớn học sinh đã say mê làm dạng toán này

- Các em không còn lúng túng khi gặp dạng toán về sự tương giao giữa các

đồ thị

- Các em có niềm tin say mê, hứng thú học toán, từ đó tạo cho các em tính độc lập suy nghĩ

- Phát triển tư duy lôgíc, óc quan sát, suy luận toán học

- Trong quá trình giải bài tập đã giúp các em có khả năng phân tích suy

ngẫm khái quát vấn đề một cách chặt chẽ không ngại khó mà rất tự tin vào khả

năng học tập của mình

Tuy nhiên bên cạnh các kết quả đạt được như mong muốn thì vẫn còn một số học sinh yếu, lười học chưa có khả năng tự giải bài toán Đối với các em yếu đây là

một việc khó khăn Một phần cũng là do khả năng học toán của các em còn nhiều hạn chế, mặt khác dạng toán này cũng khó, đòi hỏi tư duy nhiều ở các em

Những điều mà bản thân đã thực hiện trên mặc dầu chưa đạt được kết quả mĩ mãn như tôi mong muốn, nhưng tôi nghĩ nó đã góp phần vào việc đổi mới phương pháp dạy và học mà ngành đang thực hiện

D KẾT LUẬN

Trên đây là một kinh nghiệm nhỏ được rút ra từ thực tế sau nhiều năm giảng dạy của bản thân Phần sự tương giao giữa các đường thẳng, đường thẳng và parabol còn nhiều bài toán và nhiều dạng nữa nhưng với khả năng của mình cũng như yêu cầu của học sinh đại trà THCS tôi chỉ đề cập đến một số dạng toán cơ bản

mà các em thường gặp phải trong các kỳ thi Quá trình xây dựng nội dung sáng kiến kinh nghiệm không tránh khỏi những thiếu sót, mong các đồng nghiệp tham gia, góp ý, để sáng kiến được hoàn thiện hơn và được vận dụng rộng rãi hơn trong quá trình dạy học

Xin chân thành cảm ơn!

Dương Đức, ngày 17 tháng 5 năm 2011

Người viết

Chu Thị Hoan

Đánh giá, nhận xét của Ban thi đua:

………

………

………

………

………

………

………

Xếp loại: (Điểm)………

HIỆU TRƯỞNG