Quan hệ giữa đường thẳng và parabol

Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008 Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập Tự do Hạnh phúc ===***=== Họ và tên giáo viên: Đặng Ngọc Dơng Tổ: Khoa học Tự nhiên Đơn vị: Trờng THCS Giao Hà Năm học: 2007 - 2008 Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà 1 Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008 I/ Đặt vấn đề Các dạng toán về quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng rất phổ biến trong chơng trình Đại số 9 và thờng xuyên xuất hiện trong các đề thi cuối cấp đặc biệt là trong các đề thi tuyển sinh vào các trờng THPT. Bởi sự đa dạng và thú vị, sự tổng hợp của các kiến thức trong cả chơng trình đại số lớp 9 liên quan tới nó, từ các kiến thức và kĩ năng tính toán đến việc lập luận chặt chẽ về mối quan hệ giữa hàm số và đồ thị cho tới sự vận dụng linh hoạt các kiến thức của hệ thức Vi-ét hay sự lồng ghép vào việc vận dụng các phơng pháp giải phơng trình, hệ phơng trình v.v Chính vì những ứng dụng thực tế trên về quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng, trong quá trình dạy học tôi đ đúc rút đã ợc một vài dạng toán cơ bản và điển hình về mối quan hệ này. Sau đây xin giới thiệu cùng các đồng nghiệp để chúng ta cùng tham khảo và trao đổi. Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà 2 Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008 II/ Giải quyết vấn đề Trớc hết, chúng ta h y cùng nhau nhắc tới các kiến thức cơ bản thã - ờng xuyên sử dụng sau: Cho Parabol y=a'x 2 (P) và đờng thẳng y = ax + b (d) Khi đó: Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol y=a'x 2 (P) và đờng thẳng y=ax + b (d) là nghiệm của phơng trình: a'x 2 = ax + b <=> a'x 2 ax b = 0 (*) - Parabol (P) và đờng thẳng (d) không có điểm chung khi và chỉ khi phơng trình (*) vô nghiệm. - Parabol (P) và đờng thẳng (d) có đúng một điểm chung (tiếp xúc nhau) khi và chỉ khi phơng trình (*) có nghiệm kép và hoành độ của tiếp điểm chính là nghiệm kép của phơng trình đó. - Parabol (P) và đờng thẳng (d) có đúng hai điểm chung khi và chỉ khi phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt. Bây giờ, chúng ta h y cùng nhau tìm hiểu các dạng toán cơ bản củaã mối quan hệ này: Dạng 1: Tìm hoành độ giao điểm của Parabol và đờng thẳng. Ví dụ 1: Tìm hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x 2 với đờng thẳng (d) y = x + 6 Giải Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x 2 với đờng thẳng (d) y = x + 6 là nghiệm của phơng trình: x 2 = x + 6 x 2 x 6 = 0 = b 2 4ac = (1) 2 4.1.( 6) = 1 + 24 = 25 D = 5 Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà 3 Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008 Phơng trình có hai nghiệm phân biệt: 1 1 5 3 2 2 b x a - + +D = = = 2 1 5 2 2 2 b x a - - -D = = = - Vậy hoành độ giao điểm giữa (P) và (d) là: 3 và 2 Ví dụ 2: Tìm hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x 2 với đờng thẳng (d) y = 5x + 4 Giải Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x 2 với đờng thẳng (d) y = 5x + 4 là nghiệm của phơng trình: x 2 = 5x + 4 x 2 5x + 4 = 0 Vì a + b + c = 1 + (5) + 4 = 0 nên x 1 = 1; x 2 = 4 Vậy hoành độ giao điểm giữa (P) và (d) là: 1 và 4 Dạng 2: Tìm toạ độ giao điểm của Parabol và đờng thẳng. Ví dụ 3: Tìm toạ độ giao điểm giữa Parabol (P) = 2 1 2 y x và đờng thẳng (d): y = 3x 4 Giải Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) = 2 1 2 y x và đờng thẳng (d): y = 3x 4 là nghiệm của phơng trình: 2 2 1 3 4 2 6 8 0 x x x x = - - + = ' = b' 2 ac = (3) 2 1.8 = 9 8 = 1 'D = 1 Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà 4 Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008 Phơng trình có hai nghiệm phân biệt: 1 ' ' 3 1 4 1 b x a - + +D = = = 2 ' ' 3 1 2 1 b x a - - -D = = = Thay x 1 = 4 vào ta đợc y 1 = 8 Thay x 2 = 2 vào ta đợc y 2 = 2 Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (d) là: (4; 8); (2; 2) Ví dụ 4: Tìm toạ độ giao điểm giữa Parabol (P) = 2 1 3 y x và đờng thẳng (a): y = 2x 3 Giải Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) = 2 1 3 y x và đờng thẳng (a): y = 2x 3 là nghiệm của phơng trình: 2 2 1 2 3 3 6 9 0 x x x x = - - + = ' = b' 2 ac = (3) 2 1.9 = 9 9 = 0 Phơng trình có nghiệm kép: 1 2 ' 3 3 1 b x x a - = = = = Thay x = 3 vào ta đợc y = 3 Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (a) là: (3; 3) Dạng 3: Chứng minh về vị trí tơng đối giữa Parabol và đờng thẳng. Ví dụ 5: Chứng tỏ rằng Parabol (P) = - 2 4y x luôn tiếp xúc với đờng thẳng (d): y = 4mx + m 2 khi m thay đổi. Giải Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà 5 Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008 Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = 4x 2 với đờng thẳng (d) y = 4mx + m 2 là nghiệm của phơng trình: 4x 2 = 4mx + m 2 4x 2 + 4mx + m 2 = 0 = b 2 4ac = (4m) 2 4.4.m 2 = 16m 2 16m 2 = 0 m Phơng trình có nghiệm kép. Do đó Parabol (P) luôn tiếp xúc với đ- ờng thẳng (d) y = 4mx + m 2 khi m thay đổi. Ví dụ 6: Chứng tỏ rằng Parabol (P) = 2 y x luôn có điểm chung với đờng thẳng (d): y = 2(m 1)x 2m + 3 khi m thay đổi. Giải Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x 2 với đờng thẳng (d) y = 2(m 1)x 2m + 3 là nghiệm của phơng trình: x 2 = 2(m 1)x 2m + 3 x 2 2(m 1)x + 2m 3 = 0 ' = b' 2 ac = [(m 1)] 2 (2m 3) = m 2 2m +1 2m + 3 = m 2 4m +4 = (m 2) 2 0 m Phơng trình luôn có nghiệm. Do đó Parabol (P) luôn luôn có điểm chung với đờng thẳng (d): y = 2(m 1)x 2m + 3 khi m thay đổi. Dạng 4: Chứng minh về tính chất, vị trí của giao điểm trong mặt phẳng toạ độ giữa Parabol và đờng thẳng. Ví dụ 7: Chứng tỏ rằng Parabol (P) = 2 3y x cắt đờng thẳng (d): y = 5x 2 tại hai điểm nằm cùng một phía đối với trục tung. Giải Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà 6 Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008 Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = 3x 2 với đờng thẳng (d) y = 5x 2 là nghiệm của phơng trình: 3x 2 = 5x 2 3x 2 5x + 2 = 0 Ta có a + b + c= 3 + (5) + 2 = 0 Phơng trình có hai nghiệm phân biệt: 1 1x = ; 2 2 3 c x a = = Ta thấy hai nghiệm này cùng dơng. Suy ra hoành độ giao điểm đều d- ơng. Do đó giao điểm của chúng cùng nằm ở cùng một phía đối với trục tung. Ví dụ 8: Chứng tỏ rằng Parabol (P) = - 2 y x cắt đờng thẳng (d): y = 2x 2007 tại hai điểm thuộc hai phía đối với trục tung. Giải Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = -x 2 với đờng thẳng (d) y = 2x 2007 là nghiệm của phơng trình: x 2 = 2x 2007 x 2 + 2x 2007 = 0 Vì có a.c = 1.( 2007) < 0 nên phơng trình có hai nghiệm trái dấu. Do đó giao điểm thuộc hai phía đối với trục tung. Dạng 5: Biện luận số giao điểm của đờng thẳng và Parabol. Ví dụ 9: Cho Parabol (P) = 2 y x cắt đờng thẳng (D): y = 2(m +1)x m 2 9. Tìm m để: a) (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt. b) (D) tiếp xúc với (P). c) (D) không cắt (P). Giải Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x 2 với đờng thẳng (D) y = 2(m +1)x m 2 9 là nghiệm của phơng trình: x 2 = 2(m +1)x m 2 9 x 2 2(m +1)x + m 2 +9= 0 (1) ' = b' 2 ac = [(m + 1)] 2 (m 2 + 9) Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà 7 Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008 = m 2 + 2m +1 m 2 9 = 2m 8 a) (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt <=> Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt <=> ' > 0 <=> 2m 8 > 0 <=> 2m > 8 <=> m > 4 Vậy với m > 4 thì (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt. b) (D) tiếp xúc với (P) <=> Phơng trình (1) có nghiệm kép <=> ' = 0 <=> 2m 8 = 0 <=> 2m = 8 <=> m = 4 Vậy với m = 4 thì (D) tiếp xúc với (P). c) (D) không cắt (P) <=> Phơng trình (1) vô nghiệm <=> ' < 0 <=> 2m 8 < 0 <=> 2m < 8 <=> m < 4 Vậy với m < 4 thì (D) không cắt (P). Ví dụ 10: Cho Parabol (P) = 2 y x cắt đờng thẳng (D): y = 4x + 2m. a) Với giá trị nào của m thì (D) tiếp xúc với (P). b) Với giá trị nào của m thì (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm toạ độ giao điểm khi 3 2 m = Giải Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x 2 với đờng thẳng (D) y = 4x + 2m là nghiệm của phơng trình: x 2 = 4x + 2m x 2 4x 2m = 0 (*) Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà 8 Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008 ' = b' 2 ac = (2) 2 (2m) = 4 + 2m a) (D) tiếp xúc với (P) <=> Phơng trình (*) có nghiệm kép <=> ' = 0 <=> 4 + 2m = 0 <=> m = 2 Vậy với m = 2 thì (D) tiếp xúc với (P). b) (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt <=> Phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt <=> ' > 0 <=> 4 + 2m > 0 <=> m > 2 Vậy với m > 2 thì (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Khi 3 2 m = thì hoành độ giao điểm của A, B là nghiệm của phơng trình: x 2 4x 3 =0 ' = b' 2 ac = (2) 2 1(3) = 4 + 3 = 7 ' 7=D 1 ' ' 2 7 b x a - + D = = + 2 ' ' 2 7 b x a - - D = = - Thay x 1 =2 + 7 vào ta đợc y 1 = 11 +4 7 Thay x 1 =2 7 vào ta đợc y 1 = 11 4 7 Từ đó suy ra toạ độ giao điểm A, B của (P) và (D) là: Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà 9 Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008 A(2 + 7 ; 11 +4 7 ); B(2 7 ; 11 4 7 ) Dạng 6: Lập phơng trình tiếp tuyến giữa Parabol và đờng thẳng. Ví dụ 11: Cho Parabol (P) = - 2 1 2 y x a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) tại điểm M có hoành độ 2. b) Viết phơng trình tiếp tuyến của (P) viết tiếp tuyến này song song với đờng thẳng 1 1 2 y x= - c) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(1; 3 2 ) và tiếp xúc với (P). Giải Phơng trình đờng thẳng có dạng y = ax + b a) Thay x = 2 vào phơng trình Parabol ta đợc y = 2 Vậy M(2; 2) vì đờng thẳng đi qua M(2; 2) nên ta có: 2 = 2a + b => b = 2a 2 (1) Mặt khác, đờng thẳng này là tiếp tuyến của (P) nên phơng trình: - = + + + = 2 2 1 2 2 2 0 x ax b x ax b ' = 0 a 2 2b =0 (2) Thay (1) vào (2) ta đợc: a 2 2(2a 2) = 0 a 2 4a +4 =0 (a 2) 2 = 0 a = 2 Với a = 2 thay vào (1) ta đợc b = 2.2 2 = 2 Vậy phơng trình đờng thẳng đi qua M và tiếp xúc với (P) là: y = 2x + 2 b) Vì tiếp tuyên song song với 1 1 2 y x= - nên ta có a = 1 2 Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà 10 Có nghiệm kép Có nghiệm kép [...]... cùng các đồng nghiệp về bảy dạng toán quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng trong chơng trình Đại số 9 mà tôi đã nghiệm đợc trong quá trình giảng dạy Các bài toán về dạng này rất phong phú và đa dạng Song do thời gian nghiên cứu cha nhiều, bài viết có thể còn thiếu sót, tôi rất mong đợc sự trao đổi, góp ý của các đồng nghiệp về vấn này để việc dạy Toán nói chung và toán 9 nói riêng đạt đợc hiệu quả cao... = 2 Vậy với m = 2 thì đờng thẳng (D) và Parabol (P) cùng đi qua điểm có hoành độ bằng 4 b) (D) và (P) tại hai điểm phân biệt phơng trình (**) có hai nghiệm phân biệt ' > 0 (m)2 (2m 4) > 0 m2 2m +4 > 0 (m 1)2 +3 > 0 luôn đúng m Vậy (D) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt c) Ta có (x1; y1) và (x2; y2) là toạ độ các giao điểm của (D) và (P) nên x 1 và x2 là nghiệm của phơng trình... mãn điều kiện cho trớc 2 Ví dụ 12: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) y = - x và đờng thẳng (d) có phơng trình y = mx 1 a) Chứng minh rằng với mọi m (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B b) Gọi hoành độ giao điểm của A và B là x1; x2 Chứng minh x1 - x2 2 Giải a) Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x2 với đờng thẳng (d) y = mx 1 là nghiệm của phơng trình: x2 = mx 1 x2 + mx ... trị của m thì (D) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt c) Giảc sử (x1; y1) và (x2; y2) là toạ độ các giao điểm của (D) và (P) Chứng minh rằng: y1+y2 (2 2 1)(x1+x2) Giải Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x2 với đờng thẳng (D) y = 2 mx m + 2 là nghiệm của phơng trình: x2 = mx - m + 2 2 x 2 - 2mx + 2m - 4 = 0(**) a) Để (D) và (P) cùng đi qua điểm có hoành độ bằng 4 thì x = 4 phải là nghiệm của phơng... ' = a2 2b Để phơng trình (II) có nghiệm kép thì a2 2b = 0 (4) Thay (3) vào (4) ta đợc: a2 2( 3 a) = 0 2 a2 + 2a 3 = 0 Suy ra a = 1 và a = 3 * Với a = 1 thay vào (3) ta đợc b = 1 2 * Với a = 3 thay vào (3) ta đợc b = Đặng Ngọc Dơng 11 3 2 THCS Giao Hà Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008 Vậy qua A(1; 3 ) có hai tiếp tuyến với Parabol (P) là: 2 y =x + 1 ; 2 y = 3x - 3 2 Dạng 7: Tìm giá trị tham số... đờng thẳng có dạng y = x + b Vì đờng thẳng này tiếp xúc với (P) nên phơng trình: 1 1 - x2 = x + b có nghiệm kép 2 2 x2 + x + 2b = 0 (I) có nghiệm kép = b2 4ac = 12 4.1.2b = 1 8b Để phơng trình (I) có nghiệm kép thì = 0 1 8b = 0 b= 1 8 1 1 Vậy phơng trình tiếp tuyên cần tìm là: y = x + 2 8 c) Đờng thẳng (d) đi qua A(1; 3 ) nên ta có: 2 3 3 = a + b => b = a (3) 2 2 Vì đờng thẳng tiếp xúc với Parabol. .. (*) nên theo định lí Vi-ét có: x1.x2 = 1 => x 1 - x 2 = x 1 + 1 x2 1 Vì x1 và x cùng dấu nên: 1 x1 + 1 1 1 = x1 + 2 x1 =2 x2 x1 x1 Vậy x 1 - x 2 2 Đặng Ngọc Dơng 12 THCS Giao Hà Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008 Ví dụ 13: Cho Parabol (P) có phơng trình: y = x2 và đờng thẳng 2 (D) có phơng trình: y = mx m + 2 a) Tìm m để (P) và (D) cùng đi qua điểm có hoành độ x = 4 b) Chứng minh rằng với mọi giá... nói chung và toán 9 nói riêng đạt đợc hiệu quả cao hơn, góp phần giúp các em học sinh có thêm kiến thức, kĩ năng, hứng thú trong giải toán để chuẩn bị hành trang thật tốt cho kì thi cuối cấp và kì thi tuyển sinh vào các trờng THPT đạt hiệu quả cao Xin trân trọng cảm ơn! Giao Hà, ngày 20 tháng 03 năm 2008 Ngời viết Đặng Ngọc Dơng Đặng Ngọc Dơng 15 THCS Giao Hà . điểm giữa (P) và (d) là: 1 và 4 Dạng 2: Tìm toạ độ giao điểm của Parabol và đờng thẳng. Ví dụ 3: Tìm toạ độ giao điểm giữa Parabol (P) = 2 1 2 y x và đờng. của Parabol và đờng thẳng. Ví dụ 1: Tìm hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x 2 với đờng thẳng (d) y = x + 6 Giải Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol