Phương pháp tọa độ trong phẳng

Chuyên đề: Phương pháp tọa độ mặt phẳng Chủ đề Tọa độ điểm, phép tính véc tơ I Tóm tắt lí thuyết Ngoài kiến thức quen thuộc, cần chó ý hệ sau: M trung điểm AB, thì: x A + xB y + yB yM = A 2 G trọng tâm ∆ABC , thì: x + xB + xC y + yB + yC xG = A yG = A 3 r r Cho u = ( x1; y1 ) v = (x ; y ) r r r r 2 r r * u , v phương ( v ≠ ) ⇔ tồn k ∈ R : u = kv r r x1 y1 =0 u , v phương ⇔ x2 y2 uuur uuur * AB, AC phương A, B, C thẳng hàng r r rr * u ⊥ v ⇔ u.v = r r r rr r x1 x2 + y1 y2 * cos(u , v ) = , ( u ≠ 0, v ≠ ) x12 + y12 x2 + y2 xM = II Các ví dụ dụ tiêu biểu Vídụ1: Trong mặt phẳng với hệ Oxy vuông góc cho hình thoi ABCD có A(3;1), B (−2;4) giao hai đường chéo thuộc Ox Tìm toạ độ C, D? Hướng dẫn: Gọi I tâm hình thoi Giả sử I ( a ;0) ∈ Ox uur uur Ta có: IA ⊥ IB nên IA.IB = ⇔ a − a − = có nghiệm a = −1 a = * Với a = −1 hay I ( −1;0) Do C, D đối xứng với A B qua I suy C (−5; −1) D(0; −4) * Với a = hay I (2;0) ⇒ C (1; −1) D (6; − 4) Vậy có kết C, D Ví dụ 2: Trong mặt phẳng cho hệ Oxy vuông góc có A( −6;2) B (2;6) C (7; −8) Tìm D ∈ Ox cho ABDC hình thang có đáy AB? Hướng dẫn: uuur uuur D ∈ Ox , giả sử D( x;0) suy CD = ( x − 7;8) uuur uuur Tứ giác ABCD hình thang có đáy AB CD nên AB, CD phương x−7 Do đó: = ⇔ x = 23 Vậy D(23;0) Ví dụ 3: a) Cho A( −3;2) B (4;3) Tìm M ∈ O x cho ∆MAB vuông M b) ∆ABC có A(1;5) B ( −4; −5) C (4; −1) Tìm toạ độ chân đường phân giác trong, Ta có AB = (8;4) ; góc A c) ∆ABC có A(1; −1) B (5; −3) đỉnh C thuộc Oy, trọng tâm G thuộc Ox Tìm C G? Hướng dẫn: a) M ∈ Ox , giả sử M ( x0 ;0) ; uuur uuur  x0 = ∆MAB vuông M ⇔ MA.MB = ⇔  Vậy có điểm M  x0 = −2 M (3;0), M (−2;0) Chó ý: Có thể dùng Pitago tam giác vuông b) I - chân phân giác Ta có AB = 5 AC = Theo tính chất ta có BI AB BI = = hay = IC AC IC uur uur 5  Do I phân giác nên BI = IC => I  1; −  2  Chứng minh tương tự suy chân phân giác J (16;5) c) Gọi C (0; y0 ), G ( x0 ;0) Theo công thức tính toạ độ trọng tâm suy ra: 1+ +  x =   xo = Vậy C (0;4) G (2;0) ⇒   y y − − + =  0 =  Ví dụ 4: Cho điểm A(-1;3) B(0;4) C(3;5) D(8;0) CMR: ABCD tứ giác nội tiếp Hướng dẫn: uuur uuur AB AD Ta có: cos BAD = uuur uuur = , AB AD uuur uuur CB.CD −1 cos BCD = uuur uuur = CB CD ⇒ cos BAD + cos BCD = ⇒ BAD + BCD = 1800 Vậy ABCD tứ giác nội tiếp Cách khác: I(x;y) cách A, B, C, D x = y = Ta có: IA = IB = IC = ID, tìm  Vậy I(3;0) tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD III Bài tập luyện tập 1) (ĐH, CĐ khối D - 2004) Trong mặt phẳng với hệ Oxy vuông góc cho ∆ABC có A(-1;0) C(0;m) m ≠ Tìm toạ độ trọng tâm G theo m Tìm m để ∆GAB vuông G B(4;0) Đáp số: m = ±3 2) Cho A(-3;2) B(4;3) Tìm C thuộc Ox cho ∆ABC vuông C 3) Trong mặt phẳng hệ Oxy vuông góc cho A(-2;1) B(1;1) C(0;1).Tìm M để ∆MAB, ∆OMC cân M a) Tìm B ∈ Ox, C ∈ Oy cho ∆ABC nhận I trọng tâm b) Tính S∆ABC ? 4) Cho A(6;6) I ( ;1) 5) (ĐH, CĐ khối B - 2003) Trong mặt phẳng hệ Oxy vuông góc cho tam giác ABC có AB = AC, góc A = 900 M(1;-1) trung điểm BC G ( ;0) trọng tâm ∆ABC Tìm A, B, C? Đáp số: A(0;2) B(4;0) C(-2;-2) (B, C đổi cho nhau) 6) Trên hệ Đề Oxy cho A(3;1) Tìm B, C cho OABC hình vuông B nằm góc phần tư thứ nhất? 7) (ĐH,CĐ khối A - 2004): Trong mặt phẳng với hệ Oxy vuông góc cho A(0;2) độ trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp OAB? B(− 3; −1) Tìm toạ Đáp số: Tâm I ( − 3;1) ; Trực tâm H ( 3; −1) 8) Cho A(2;5) B(1;1) C(3;3) Tìm D cho ABCD hình bình hành? 9) ∆ABC có: A(0;6) B(-2;0) C(2;0) Gọi G trọng tâm ∆ACM , với M trung điểm AB a) Tìm G b) Tìm toạ độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC c) CMR: GI ⊥ CM Đáp số: a) G ( ;3) b) I (0; ) 10) Tam giác ABC có A(2;5) B(4;-3) C(-1;6) uur uur uur r uuur uuur r b) Tìm D cho 3DB − 2CD = a) Tìm I cho IA + 3IB − IC = c) CMR: A, I, D thẳng hàng? uuur uuur d) Gọi E - trung điểm AB, N điểm cho AN = k AC Tìm k để AD, EN, BC đồng quy uuur uuur uuur uuur uuur uuur MA + 3MB − MC = MA − MB − MC e) Tìm quỹ tích M cho Đáp số: a) I(8;-8) b) D(14;-21) d) k = e) Quỹ tích M đường tròn tâm I(8;-8) bán kính 50 11) ∆ABC với A(1;0) B(0;3) C(-3;-5) Tìm quỹ tích M trường hợp sau: uuur uuur uuur uuur a) (2 MA − 3MB )( MA − MB) = 2 b) MA + MB = MC −3 15 ; ), R = 10 2 b) Quỹ tích M đường tròn tâm J(8;13) R = 290 12) Tam giác ABC vuông A với B(-3;0) C(7;0) bán kính đường tròn nội tiếp r = 10 − Tìm tâm I đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết y I > 0? Đáp số: a) Quỹ tích M đường tròn tâm I ( Đáp số: I1 (2 + 10;2 10 − 5) , I (2 − 10;2 10 − 5) Chủ đề 2: Phương trình đường thẳng I-Lý Thuyết A-Phương trình đường thẳng r + )vtpt n = (a; b) 1.Nếu đường thẳng (d) biết  ⇒ Phương trình tổng quát (d) : + ) di qua M(x ;y ) a( x − x0 ) + b( y − y0 ) = r + )vtcp u = (a; b)  x = x0 + at Nếu đường thẳng (d) biết  ⇒ Phương trình tham số (d) :  + ) di qua M(x ;y )  y = y0 + bt r 3.Nếu đường thẳng (d) có phương trình tổng quát: ax+by+c=0 (d) có vtpt n = (a; b) nghiệm phương trình tọa độ điểm thuộc (d) r  x = x0 + at 4.Nếu (d) có phương trình tham số  (d) có vtcp u = (a; b) ứng với giá trị t  y = y0 + bt cho ta tọa độ điểm thuộc (d) r r 5.Nếu u = (a; b) vtcp (hoặc vtpt)của đường thẳng (d) u = (−b; a ) vtpt (hoặc vtcp)của đường thẳng (d) 6.Cho đường thẳng (d): ax+by+c=0 - Nếu (d1)//(d) phương trình (d1)có dạng :ax+by+m=0 - Nếu (d2) ⊥ (d) phương trình (d2)có dạng :-bx+ay+n=0 7.Phương trình đường thẳng (d) qua hai điểm A(a;0) B(0;b) có dạng x y + = 1(a ≠ 0; b ≠ 0) a b 8.Phương trình đường thẳng (d) qua hai điểm A(xA;yA);B(xB;yB) có dạng: x − xA y − yA = xB − x A y B − y A - Nếu xB − x A =0 (d) có phương trình : x − xA =0 - Nếu yB − y A =0 (d) có phương trình : y − y A =0  x = x0 + at 9.Nếu đường thẳng (d)có phương trình tham số  với a ≠ 0; b ≠ ta có phương trình chớnh  y = y0 + bt tắc (d) : x − x0 y − y0 = a b B-Vị trí tương đối hai đường thẳng : Cho (d1): a1 x + b1 y + c1 = (d2): a2 x + b2 y + c2 = Để xét vị trí tương đối hai đường thẳng (d1) (d2) ta lập hệ a1x+b1 y+c1 =0 (I )  a x+b y+c =0 - Hệ (I) vụ nghiệm ⇔ (d1)// (d2) - Hệ (I) có nghiệm (x0;y0) ⇔ (d1)cắt (d2) điểm M(x0;y0) - Hệ (I) vụ số nghiệm ⇔ (d1) trựng (d2) C-Góc hai đường thẳng : Góc hai đường thẳng kề bù với góc hai vtpt (hoặc góc hai vtcp) Suy ra: Nếu (d1): a1 x + b1 y + c1 = a1a +b1b (d2): a2 x + b2 y + c2 = cosα = a12 + b12 a2 + b2 ( α góc hai đường thẳng (d1) (d2)) D-Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng Cho (d): ax+by+c=0 điểm M ( x0 ; y0 ) Khi khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng (d): dM / d = ax +by +c a + b2 Lưu ý: Cho (d): ax+by+c=0 hai điểm M ( x0 ; y0 ) , N ( x1 ; y1 ) Đặt t = (ax +by +c)(ax1 +by1 +c) Nếu t < M,N nằm hai phớa (d) Nếu t>0 M,N nằm cựng phớa với (d) II- Bài tập: Dạng 1:viết phương trình đường thẳng Bài 1:Viết phương trình tổng quát,phương trình tham số ,phương trình chớnh tắc (nếu có) đường thẳng (d) trường hợp sau: r a) (d) có vtpt n =(2;-3) qua điểm M(1;2) b) (d) qua điểm A(3;2) vuông góc với (d1):2x-y-1=0 c) (d) qua hai điểm A(1;2) B(3;4) Giải : a) Ta có : qua M (1; 2) r (d):  ⇒ phương trình tổng quát (d): 2(x-1)-3(y-2)=0 vtpt n(2; −3) ↔ (d): 2x-3y+4=0 r r  x = + 3t +) (d) có vtpt n(2; −3) suy (d) có vtcp u(3; 2) ⇒ phương trình tham số (d) là:   y = + 2t +) phương trình chớnh tắc (d) là: x −1 y − = b) Do (d) ⊥ (d1):2x-y-1=0 nờn (d) có dạng : x+2y+m=0 Vì A(3;2) ∈ (d) nờn ta có :3+2.2+m=0↔m=-7 Vậy phương trình tổng quát (d) :x+2y-7=0 +) Phương trình tham số (d): Đặt y=t suy x=7-2t  x = − 2t Vậy phương trình tham số (d):  y = t +)Phương trình chớnh tắc (d): x−7 y = −2 qua A(1; 2) uuur c) Cách 1:Do (d) qua A B nờn (d):  ⇒ phương trình tham số (d) vtcp AB(2; 2)  x = + 2t   y = + 2t +) Phương trình tổng quát (d):Khử tham số t p tham số ta được: x-y+1=0 Cách 2: Phương trình tổng quát (d): x −1 y − = ⇔ x − y +1 = −1 −  x = −1 + t Từ suy phương trình tham số (d):  y = t Bài 2:Viết phương trình cạnh tam giác ABC biết trung điểm cạnh M(2;1),N(5;3),P(3;-4) Giải: Giả sử M,N,P theo thứ tự trung điểm cạnh BC,AC,AB Ta có: +) phương trình BC xác định qua M(2;1) qua M(2;1) uuur ( BC ) :  ⇔  vtcp PN(−2; −7) BC//PN x − y −1 ⇔ ( BC ) : = ⇔ ( BC ) : x − y − 12 = −2 −7 +) phương trình AC xác định qua N(5;3) qua N(5;3) uuur ( AC ) :  ⇔  vtcp PM(1; −5) AC//PM x −5 y −3 ⇔ ( AC ) : = ⇔ ( AC ) : x + y − 28 = −5 +) phương trình AB xác định qua P(3;-4)  qua P uuuur ( AB ) :  ⇔  vtcp MN(3; 2)  AB//MN x−3 y +4 ⇔ ( AB ) : = ⇔ ( AB ) : x − y − 18 = Kết luận: Vâỵ phương trình ba cạnh tam giác là: (AB):2x-3y-18=0 (BC):7x-2y-12=0 (AC):5x+y-28=0 Bài 3:lập phương trình cạnh tam giác ABC biết B(-4;-5) phương trình hai đường cao tam giác (d1):5x+3y-4=0 (d2): 3x+8y+13=0 Giải: Nhận xột:B(-4;-5) khụng thuộc vào đường cao.giả sử đường có phương trình :5x+3y-4 =0 đường cao xuất phát từ A +) phương trình cạnh AB: Vì (AB) ⊥ (d2):3x+8y+13=0 ⇒ phương trình (AB) có dạng:8x-3y+c=0 Mặt khác: Do B(-4;-5) thuộc (AB) nờn :8(-4)-3(-5)+c=0↔c=17 Vậy phương trình (AB): 8x-3y+17=0 +) phương trình cạnh BC: Vì (BC) ⊥ (d1):5x+3y-4=0 ⇒ phương trình (BC) có dạng:3x-5y+m=0 Mặt khác: Do B(-4;-5) thuộc (BC) nờn :3(-4)-5(-5)+m=0↔m=-13 Vậy phương trình (BC): 3x-5y-13=0 +) phương trình cạnh AC: Điểm A = (d1 ) ∩ ( AB ) nên tọa độ A (-1;3) Điểm C = (d ) ∩ ( BC ) nên tọa độ C (1;-2) Suy :phương trình cạnh AC x +1 y − = ⇔ 5x − y −1 = + −2 − Kết luận : phương trình cạnh tam giác ABC: (AB):8x-3y+17=0 (BC):3x-5y-13=0 (AC):5x+2y-1=0 Dạng 2:xét tương giao hai đường thẳng Bài 1:xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau: a) (d1): x+2y+1=0 (d2): x+4y+3=0 b) (d1):x+y+1=0 x = 1+ t (d2):   y = −1 − t  x = 2t c) (d1):  y = 4+t  x = 2u (d2):   y = 2u Giải: x + y +1 = x = a) xột hệ  ⇔ Vậy (d1)cắt (d2) điểm A(1;-1) x + y + =  y = −1 b) phương trình tổng quát (d2)là :x+y=0 x + y = Xột h ệ :  Hệ vụ ngiệm Suy (d1)//(d2) x + y +1 = c) phương trình tổng quát của(d1):x-2y+4=0 (d2):x-y=0 x − y + = x = Xột h ệ  ⇔ Vậy (d1)cắt (d2) điểm A(4;4) x − y = y = Bài 2: a) Biện luận theo m vị trí tương đối (d1):mx+y+2=0 (d2):x+my+m+1=0  x = x1 + mt  x = x2 + pu b) Cho hai đường thẳng (d1):  (d2):   y = y1 + nt  y = y2 + qu Tìm điều kiện m,n,p,q để (d1)và(d2): +) cắt +) song song +) trựng +) Vuông góc với Giải mx + y + = a) xột hệ  (I).Ta có  x + my + m + = D= m 1 −2 = m2 − 1; Dx = = − m; m −m − m Dy = m −2 = m2 − m + −m −  x = −m −  TH1:Nếu D ≠ ⇔ m ≠ ±1 Hệ phương trình (I)có nghiệm  − m nờn (d1) cắt (d2) A(y =  m +1 m-1; 2−m ) m +1 TH2:Nếu D=0↔ m = ±1 Với m=1 ta có Dx=Dy=0↔ hệ có vụ số nghiệm↔(d1)trựng(d2) Với m=-1 ta có Dx=2↔hệ vụ nghiệm↔(d1)//(d2)  x1 + mt = x2 + pu mt − pu = x2 − x1 b)xét hệ phương trình  ⇔  y1 + nt = y2 + qu nt − qu = y2 − y1 D= Ta có : Du = m −p n −q = np − mq; Dt = m x2 − x1 n y2 − y1 x2 − x1 −p y2 − y1 − q = p ( y2 − y1 ) − q ( x2 − x1 ); = m( y2 − y1 ) − n( x2 − x1 ) a) (d1) cắt (d2) ⇔ D ≠ ⇔ np − mq ≠ D = np − mq =  b) (d1)//(d2) ⇔   Dt ≠ ⇔   p ( y2 − y1 ) − q ( x2 − x1 ) ≠  D ≠  u D = np − mq =  c) (d1) trựng (d2) ⇔  Dt = ⇔   p ( y2 − y1 ) − q ( x2 − x1 ) = D =  u r r d) Ta có (d1)có vtcp u1 = (m; n) (d2)có vtcp u = ( p; q ) r r Khi (d1 ) ⊥ (d ) ⇔ u1 ⊥ u ⇔ mp + nq = Dạng 3:Một số toán góc khoảng cách Bài1:Tính góc hai đường thẳng (d1) (d2) trường hợp sau a) x+2y+1=0 x+4y+3=0  x = 2t b)  y = 4+t x+2y+7=0  x = 2t  x = 2u  c)  y = 4+t  y = 2u Giải : r r a) Ta có: (d1) có vtpt n1 = (1; 2) (d2) có vtcp n = (1; 4) Khi đó:gọi α góc hai đường thẳng ta có: cosα = 1.1+2.4 + 16 + = 85 r r b) Ta có: (d1) có vtpt n1 = (−1; 2) (d2) có vtpt n = (1; 2) Khi đó:gọi α góc hai đường thẳng ta có: cosα = -1.1+2.2 + + = r r c) Ta có: (d1) có vtcp u1 = (2;1) (d2) có vtpt u = (2; 2) Khi đó:gọi α góc hai đường thẳng ta có: cosα = 2.2+2.1 + 4 + = 40 Bài 2:Viết phương trình đường thẳng (d) trường hớp sau a) (d) qua M(1;1) tạo góc 300 với đường thẳng (d1):x-2y+8=0 x = t b) (d) qua M(1;1) tạo góc 450 với đường thẳng (d2):   y = −2 + t Giải: r r a) Gọi u1 = (2;1) vtcp (d1) u = (a; b) vtcp (d) Theo giả thiết:góc (d) (d1) 300 nờn ta có 2a + b a + b = ⇔ 4(2a + b) = 15(a + b ) ⇔ a − 16ab − 11b =  k = − 75 Giải phương trình trờn cách đặt a=kb ta k + 16k − 11 = ⇔   k = + 75 Với k = − 75 đường thẳng (d) có vtcp có tọa độ (kb;b) chọn (k;1).Khi đó: x −1 y −1 qua M(1;1) r (d):  ⇔ (d ) : = ⇔ (d ) : x − (8 − 75) y + − 75 = k  vtcp u (k ;1) Tương tự với k = + 75 r r b) Gọi u1 = (1;1) vtcp (d1) u = (a; b) vtcp (d) Theo giả thiết:góc (d) (d1) 450 nờn ta có a+b a + b = a = ⇔ 2ab = ⇔  b = Với a=0 đường thẳng (d) có vtcp có tọa độ (0;b) chọn (0;1).Khi đó: qua M(1;1) r (d):  ⇔ (d ) : x − =  vtcp u (0;1) Tương tự với b=0 Bài 3:Tính khoảng cách từ M tới đường thẳng (d) biết a) M(1;1) đường thẳng (d):x-y-2=0  x = 2t b) M(2;1) đường thẳng (d):  y = 4+t Giải: a) Ta có dM / d = 1−1 − 1+1 = b) ta có:phương trình tổng quát (d):x-2y+8=0 dM / d = − 10 + 1+ = Bài 4:Cho hai điểm P(2;5) Q(5;1).Lập phương trình đường thẳng qua P cho khoảng cách từ Q tới đường thẳng Giải: Gọi (d):ax+by +c=0 đường thẳng tháa đề Điểm P(2;5) thuộc (d) nên ta có:2a+5b+c=0 Khoảng cách từ Q(5;1) tới (d) nờn : Vậy ta có hai tiếp tuyến : 4x+3y-8=0 4x+3y-18=0 Lưu ý :Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường trũn: B1:xột tiếp tuyến vuông góc với 0x : x=a+R x=a-R.Kiểm nghiệm lại tiếp tuyến tháa điều kiện đầu B2:Xột tiếp tuyến khụng vuông góc với 0x có dạng: y=kx+m Để tìm k m: Ta giải hệ lập từ điều kiện tiếp xóc  Chỳ ý: Nếu (C1) (C2) nhau:có tiếp tuyến chung  Nếu (C1) (C2) tiếp xỳc ngoài:có tiếp tuyến chung  Nếu (C1) (C2) cắt nhau:có tiếp tuyến chung  Nếu (C1) (C2) tiếp xỳc trong:có tiếp tuyến chung  Nếu (C1) (C2) lồng nhau:khụng có tiếp tuyến chung Bài 3: Cho hai đường trũn (C1): x + y − 10 x + 24 y − 56 = (C2): x + y − x − y − 20 = Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường trũn Giải: Ta có : (C1): có tõm I1(5;-12),bán kớnh R1=15 (C2): có tõm I2(1;2),bán kớnh R2=5 Vì :I1I2= 212 x = 2 2 2 Ví dụ 2: CMR: a + b + c + d ≥ ( a − c) + (b − d ) Hướng dẫn: Trong hệ Oxy vuông góc lấy A(a;b) B(c;d) uuur uuur uuur uuur uuur áp dụng tính chất ta có: OA + OB ≥ OA − OB = BA 2 2 hay a + b + c + d ≥ ( a − c) + (b − d ) Ví dụ 3: (ĐH, CĐ khối A - 2003) Cho x, y, z dương x + y + z ≤ 1 + y + + z + ≥ 82 x y z r r r Hướng dẫn: Trong hệ Đề Các Oxy, xét a = ( x; ); b = ( y; ); c = ( z; ) x y z r r r r r r Theo tính chất ta có: a + b + c ≥ a + b + c x2 + CMR: hay 1 1 1 x + + y + + z + ≥ ( x + y + z )2 +  + +  x y z x y z 2 (1) Ta có: 2 1 1  1 1  ( x + y + z ) +  + +  = 81( x + y + z ) +  + +   − 80( x + y + z )  x y z    x y z   1 1 ≥ 18( x + y + z )  + +  − 80( x + y + z ) (2) x y z 1 1 + +  ≥ < x + y + z ≤ x y z Dễ dàng chứng minh ( x + y + z )  1 1 nên từ (2) suy ( x + y + z ) +  + +  ≥ 162 − 80 = 82 x y z Thay vào (1) suy điều phải chứng minh r r r r r r Khi a + b + c = a + b + c Vậy đẳng thức xảy x = y = z = Dấu "=" xảy x = y = z = C Bài tập luyện tập 1) CMR: (a + c) + b + (a − c)2 + b ≥ a + b2 2) CMR: x + y + x + + x + y − x − 12 y + 10 ≥ r r Gợi ý: u = ( x + 3;2 y ) v = (1 − x;3 − y ) x + xy + y + x + xz + z ≥ y + yz + z r r r r r r y 3y z − 3y Gợi ý: Vận dụng u + v ≥ u − v với u = ( x + ; ) v = (x + ; ) 2 2 2 2 2 4) CMR: 4cos x.cos y + sin ( x − y ) + 4sin x.sin y + sin ( x − y ) ≥ với ∀x, y ∈ R 3) CMR: a2 + a + + a2 − a + , a ∈ R uuur uuur uuur uuur − 3 Gợi ý: Vận dụng OA + OB ≥ OA − OB với A( a + ; ) B(a − ; ) 2 2 5) Tìm GTNN: A = 6) (ĐH, CĐ khối B - 2006): Cho x, y số thực thay đổi Tìm GTNN biểu thức A = ( x − 1)2 + y + ( x + 1) + y + | y − | uuuur uuur uuuur Gợi ý: M ( x − 1; − y ) N ( x + 1; y ) Ta có OM + ON ≥ MN => A ≥ + y + | y − | Khảo sát h/s: f ( y ) = + y + | y − | suy Min f ( y ) = + MinA = + x = y = II Sử dụng phương trình đường thẳng, đường tròn giải biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình đại số A Phương pháp chung ví dụ tiêu biểu Phương pháp chung: Sử dụng phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn tính chất đường tròn (hình tròn) mặt phẳng toạ độ để khảo sát tương giao hình Từ dẫn tới kết Xét tương giao đường thẳng đường tròn để giải toán 4 x − y + ≤ Ví dụ 1: Tìm a để hệ có nghiệm:  2 x + y = a Giải: + Nếu a ≤ , hệ vô nghiệm + Nếu a > , số nghiệm hệ (nếu có) số giao điểm nửa mặt phẳng biểu diễn x − y + ≤ đường tròn tâm O(0;0), R = a Vậy hệ có nghiệm R ≥ OH ⇔ a ≥ (H hình chiếu vuông góc O lên đường thẳng x − y + = ) 25  x + y + xy + m ≥ Ví dụ 2: Tìm a để hệ có nghiệm nhất:   x + y ≤ Giải: ( x − 1)2 + ( y − 1) ≤ m + (1) Hệ ⇔  (2) x + y ≤ + Với m + ≤ hay m ≤ −1 , hệ vô nghiệm + Với m + > hay m > −1 (1) biểu diễn hình tròn tâm I (1;1), R = m + hệ toạ độ Oxy (2) biểu diễn nửa mặt phẳng bờ đường thẳng x + y = Hệ có nghiệm 1 x + y = tiếp xóc đường tròn ( x − 1) + ( y − 1) = m + , đó: = m +1 ⇔ m = − 2 Sự tương giao đường tròn đường tròn để giải toán  x + y + = 4( x + y ) Ví dụ 3: Tìm a để hệ sau có nghiệm nhất:  2 ( x − 3) + ( y − 4) = a Hướng dẫn: ( x − 2) + ( y − 2) = Hệ ⇔  2 ( x − 3) + ( y − 4) = a (1) (2) Rõ ràng (1) (2) phương trình đường tròn có tâm I1 (2;2), R1 = I (3;4), R2 =| a | Hệ có nghiệm đường tròn tiếp xóc I1I = R1 + R2 I1I =| R1 − R2 | suy a = ± ( ± 2) B Bài tập luyện tập  x2 + y − x ≤ 1) Tìm a để hệ có nghiệm nhất:  x − y + a = ( x − 1)2 + ( y − 1) ≤ 2) Cho hệ  x − y + m = Tìm m để hệ nghiệm đóng với ∀x ∈ [ 0;2]  x2 + y − x = 3) Tìm a để hệ có nghiệm phân biệt:   x + ay − a = Đáp số: a = −1 ± Đáp số: m = Đáp số: < a < | x | + | y |= 4) Tìm m để hệ có nghiệm:  Đáp số: m ≥ x + y ≤ m x − y + m = 5) Tìm m để hệ có nghiệm:  2 x + 2x + y ≤ 6) Giải biện luận: Đáp số: −1 ≤ m ≤ | x | − x2 = m 7) Tìm m để phương trình có nghiệm nhất: 4− x + x+5 =m u + v = m  2 Hướng dẫn: Đặt − x = u , x + = v đưa hệ: u + v = u , v ≥  ( x − − 4m)2 + ( y − − 3m) = 9m 8) Tìm m để hệ có nghiệm nhất:  2  x + y − 10 x − y + 30 = ± 33 Đáp số: m = , m = 9) Tìm b cho với giá trị a, hệ có nghiệm phân biệt:  x + y − x + y + = (1)  (2)  ax + y + ab = Hướng dẫn: (2) qua M(-b;0) Hệ có nghiệm phân biệt MI < R ⇔ −4 < b < −1 ((1) có tâm I bán kính R) 2  x + y + y ≤ a − 10) Tìm a để hệ có nghiệm nhất:  2  x + x + y ≤ a − 2  x + ( y + 1) = a Hướng dẫn: Hệ có nghiệm đường tròn  2 ( x + 1) + y = a tiếp xóc Kết quả: a = 2  x + y = 2(1 + m) 11) Tìm m để hệ có đóng nghiệm:  Đáp số: m = ( x + y ) = Chủ đề 5: ba đường Cônic A Đường elip Tóm tắt lí thuyết * Định nghĩa: ( E ) = {M : MF1 + MF2 = 2a} x2 y2 + =1 (a > b > 0) với a = b + c 2 a b Trục lớn: độ dài 2a, trục bé độ dài 2b Tiêu điểm: F1 (−c;0) F2 (c; 0) (c > 0) c Tâm sai: e = a * Phương trình tắc (E): Phương trình cạnh hình chữ nhật sở: x = ± a, y = ± b Bán kính qua tiêu điểm M ( xM ; yM ) ∈ ( E ) : MF1 = a + exM ; Đường chuẩn x = ± MF2 = a − exM a e  x = a sin t * Phương trình dạng tham số (E):  với ≤ t ≤ 2π  y = bcost Các dạng toán tiêu biểu Loại 1: Phương trình elip, yếu tố liên quan elip Ví dụ 1: Lập phương trình tắc elip biết: a) Trục lớn có độ dài 8, trục nhá có độ dài 12 b) Độ dài trục lớn 26, tâm sai e = 13 c) Đi qua M (4; 0) N (0;3) Hướng dẫn: x2 y2 Giả sử phương trình tắc elip là: + = (a > b > 0) a b x y2 a) Ta có a = 4, b = Phương trình + =1 16 2a = 26 a = 13 x2 y2  b) Ta có  c 12 ⇒  Phương trình elip: + =1 169 25 b =  a = 13 16  a = a = 16 x2 y ⇒ Phương trình elip là: + =1 c) Ta có  16 b =   =1   b Ví dụ 2: Lập phương trình tắc elip trường hợp sau: − a) Khoảng cách đường chuẩn 6, elip qua M (2; ) b) MF1 − MF2 = , elip qua M ( 2; 3) Hướng dẫn: x2 y2 Giả sử phương trình tắc elip là: + = (a > b > 0) a b a a) Khoảng cách đường chuẩn hay ta có: = => a = 3e ⇔ a = 3c e − x2 y x2 y (E) qua M (2; ) ta có: + = => elip: + = + =1 24 14 a 3b 2 + =1 2 2  M ∈ ( E )  a b  + = b = ⇔ ⇔ a b ⇔ b)   MF1 − MF2 = a =  a + cxM  −  a − cxM  = cxM =  a = 2c   a   a  a Loại 2: Các toán liên quan tính chất elip Ví dụ 3: (Đề thi tốt nghiệp THPT - 2004) x2 y + = có tiêu điểm F1 , F2 A, B điểm thuộc (E) 25 16 cho AF1 + BF2 = Tính AF2 + BF1 = ? Ví dụ 4: (ĐH, CĐ khối D - 2005) x2 Cho (E): + y = C (2; 0) Tìm toạ độ A, B thuộc (E) biết A, B đối xứng qua Ox ∆ABC tam giác Hướng dẫn: Giả sử A( x0 ; y0 ) B (− x0 ; y0 ) giả sử y0 > Cho phương trình (E): Khi AB = y0 Rõ ràng ∆CAB cân C nên ∆ABC AC = AB suy ra: (2 − x0 ) = y0 x0 + y0 = 4 −4 Vậy A(2; ) B (2; ) Từ suy ra: x0 = ⇒ y0 = ± 7 7 x2 x2 y Ví dụ 5: Cho elip (E1): + y = 1, ( E2 ) : + =1 16 Viết phương trình đường tròn qua giao điểm elip Hướng dẫn:  x0 + y0 =  16 Giao điểm elip có toạ độ thoả mãn  2  x0 + y0 =  432 28 92 Giải hệ tìm x0 = y0 = Vậy x0 + y0 = phương trình cần tìm 25 55 11 x2 y Ví dụ Cho phương trình (E): + = (∆) : x − y + = cắt (E) B, C Tìm A ∈ ( E ) cho diện tích tam giác ABC lớn nhất? Hướng dẫn: Gọi toạ độ A theo tham số A( x A ; y A ) = (2 cos t ; 2sin t ) với ≤ t ≤ 2π π Diện tích tam giác ABC lớn ⇔ d ( A; ∆) = | 2cos (t + ) + | lớn Mặt khác A ∈ ( E ) nên Max d ( A; ∆) = ⇒ A(2; − 2) Bài tập luyện tập Bài 1: Cho A(4; − 3) B (2 2;3) Viết phương trình tắc elip qua A, B 3 ;1) tâm sai e = 2 a) Lập phương trình tắc (E) Bài 2: Cho (E) qua A(− b) Tìm M ∈ ( E ) cho F1MF2 = 1200 Đáp số: a) x2  19     4 + y2  19     16  =1  19  b) M  0; ±    Bài 3: (ĐH, CĐ khối A - 2008) Lập phương trình tắc (E) biết (E) có tâm sai hình chữ nhật sở có chu vi 20? x2 y + =1 B (0; 2sin t ) với ≤ t ≤ 2π Xét quỹ tích M Đáp số: Bài 4: Trên mặt phẳng Oxy cho điểm di động A(3cos t ;0) uuuur uuur r thoả mãn: AM + 5MB = x2 y + =1 100 Bài 5: Lập phương trình tắc (E) có độ dài trục lớn đỉnh trục nhá với tiêu điểm (E) nằm đường tròn? x2 y Đáp số: + =1 Bài 6: Tìm tâm sai (E) trường hợp sau: a) Mỗi tiêu điểm nhìn trục nhá góc vuông? b) Khoảng cách đỉnh trục lần tiêu cự? 34 Đáp số: a) e = b) e = 17 Bài 7: (CĐ Tài kế toán - 2006) x2 y Trong Oxy vuông góc cho (E): + = tiêu điểm F1, F2 (F1 có hoành độ âm) Tìm M ∈ ( E ) cho MF1 − MF2 = Đáp số: Quỹ tích M Đáp số: M ( 2; 3) M (− 2; − 3) 2 x y + = (d ) : x + 15 y − 10 = 25 16 a) CMR: (d) cắt (E) A, B A ∈ Ox Tìm độ dài AB b) Tìm C ∈ ( E ) cho tam giác ABC cân A Bài 8: Cho (E): 229 Đáp số: a) A(5;0) B (−4; ) AB = 5 −6 b) C (−4; ) Bài 9: Phương trình tắc (E) qua A(0;3) có tiêu điểm F1(-4;0) F2 (4; 0) Tìm M ∈ ( E ) cho MF2 = 2MF1 25 119 Đáp số: Có điểm M ( ; ± ) 12 12 x2 y Bài 10: (E) có phương trình: + = M(1;1) 25 Viết phương trình (d) qua M cắt (E) A, B phân biệt cho M trung điểm AB? Đáp số: x + 25 y − 34 = (d) x2 + y = C(2;0) Tìm A, B thuộc (E) biết A, B đối xứng qua Ox tam giác CAB vuông? Bài 11: Cho (E): x2 y + = M ∈ (E) 25 CMR: Khi M chạy (E) tâm đường tròn nội tiếp ∆MF1 F2 chạy elip Bài 12: Cho (E): x2 y Đáp số: Tâm thuộc + =1 16 Bài 13: Trong mặt phẳng cho đường tròn (ε1 ) : x + y = (ε ) : x + y = Tìm Ot chuyển động quanh O cắt (ε1 ) (ε ) tương tứng P Q Đường (d) qua P song song Oy cắt đường thẳng (d') qua Q song song Ox M CMR: M nằm (E) Viết phương trình (E)? x2 Đáp số: + y2 = B Đường Hypebol Lý thuyết * Định nghĩa: ( H ) = {M :| MF1 − MF2 |= 2a} x2 y2 − =1 (a > b > 0) với c = a + b 2 a b Trục thực: độ dài 2a, trục ảo độ dài 2b Tiêu điểm F1 (−c;0) F2 (c; 0) (c > 0) c Tâm sai e = a Phương trình cạnh hình chữ nhật sở: x = ± a, y = ±b b Phương trình hai đường tiệm cận y = ± x ; a * Phương trình tắc (E): Đường chuẩn x = ± a e Bán kính qua tiêu điểm M ( xM ; yM ) ∈ ( H ) : MF1 =| a + exM |; MF2 =| a − exM | Các dạng toán tiêu biểu Loại 1: Phương trình (H), yếu tố liên quan Ví dụ 1: Lập phương trình tắc (H) thoả mãn trường hợp sau: a) Có độ dài tiêu cự 10, đường tiệm cận có phương trình 3x - 4y =  34  b) Đi qua M  ;  F1MF2 = 900  5 Hướng dẫn: 2c = 10 c =   a) Ta có:  Từ đó: a = 16, b = b =>  b  y = x = a x  a = b) Tam giác F1MF2 vuông M nên c = OM = xM + yM = suy F1 (−5;0) F2 (5; 0) Từ định nghĩa: 2a =| F1M − F2 M | => a = 16, b = Loại 2: Các toán liên quan tính chất (H) x2 y − = CMR: Tích khoảng cách từ điểm tuỳ ý (H) đến hai đường tiệm 16 cận số không đổi Hướng dẫn: (H) có a = 4, b = => Hai đường tiệm cận y = ± x Giả sử M ( x0 ; y0 ) ∈ ( H ) , ta có: Ví dụ 2: Cho (H): x0 − 16 y0 = 144 Khoảng cách d1, d2 từ M đến hai tiệm cận là: | x0 − y0 | | x0 + y0 | d1 = d2 = 5 144 Vì d1d = = co nst 25 y2 Ví dụ 3: (H) có phương trình: x − = (d): 2x - y + m = a) CMR: (H) (d) cắt A, B thuộc nhánh khác (H) với m (và giải sử xA < xB) b) Tìm m cho BF2 = 2AF1 Hướng dẫn: a) Hoành độ A, B nghiệm phương trình: x − 4mx − m − = (1) Rõ ràng phương trình có nghiệm phân biệt − m − < 0, ∀m ∈ R nhánh (H) xác định (−∞, −1] [1; +∞) Ta có: f ( x) = x − 4mx − m − = 4( x − x A )( x − xB ) f (1) = −(m + 2) < f (−1) = −(m − 2) < (1 − x A )(1 − xB ) < suy ra:  => x A < −1 < < xB => đpcm (1 + xA )(1 + xB ) < cxB cx b) BF2 = 2AF1 ⇔ −a = a+ A a a hay xA + xB + = (chó ý xB > 1, xA < -1)  x A + xB = m  Mà xA, xB nghiệm (1) nên  m2 + x x = − (2)  A B  −3m −   x A = 18 ± 4608 vậ y  thay vào (2) tìm m = 63  x = 6m + B  x y2 Ví dụ 3: Cho (H) − = M(x0;y0) thuộc nhánh phải (H) không trùng với đỉnh Đường a b thẳng qua M song song với Oy cắt Ox P cắt đường tiệm cận Q Gọi E, E' giao điểm đường tròn tâm O bán kính a với đường tiệm cận CMR: QE = MF2 , QE' = MF1 Hướng dẫn: Đặt POQ = α Ta thấy đường chéo hình chữ nhật sở 2c cx a OP ; OP = x0 => OQ = = c cosα a cx0 −a (1) QE = OQ - OE = a cosα = Theo công thức bán kính qua tiêu (khi x0 > a): MF2 = cx0 −a a (2) Từ (1) (2) suy ra: QE = MF2 Chứng minh tương tự suy ra: QE' = MF1 Bài tập luyện tập Bài 1: Lập phương trình tắc (H) trường hợp sau: a) Phương trình cạnh hình chữ nhật sở y = ±1 2x ± = b) Một đỉnh (-3;0), phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật sở x + y − 16 = c) Một tiêu điểm (-10;0), phương trình tiệm cận 4x ± 3y = d) Qua M (1; 5) hai tiệm cận vuông góc 32 e) Trục ảo có độ dài 6, khoảng cách đường chuẩn 2 Bài 2: Cho (H): x − y − = Tìm điểm thuộc (H) cho a) Nhìn tiêu điểm góc 900 b) Nhìn tiêu điểm góc 600 c) Có toạ độ nguyên x2 y Bài 3: Cho (H): − = Viết phương trình elip có tiêu điểm trùng với tiêu điểm (H) qua 16 đỉnh hình chữ nhật sở (H) x2 y Đáp số: + =1 40 15 x2 y Bài 4: (H): − = M(2;1) Viết phương trình (d) qua M cắt (H) A, B cho M trung điểm AB Đáp số: 3x - y - = 2 x y Bài 5: (H): − =1 64 36 a) Tính diện tích hình chữ nhật sở (H) b) Xét M (16;6 3) N (8; 0) ∈ ( H ) Viết phương trình đường thẳng (d) qua M, N Tìm giao điểm P, Q (d) với hai tiệm cận c) CMR: PQ MN có trung điểm Đáp số: a) S = 192 b) P (12 − 3;3 − 9) Q(12 + 3;3 + 9) c) Cùng trung điểm I (12;3 3) 2 x y − = Gọi (d) đường thẳng qua O có hệ số góc k, d' qua O vuông góc với d a) Tìm k để d', d cắt (H) b) Tính diện tích tứ giác có đỉnh giao điểm d d' với (H) Tìm k cho diện tích nhá Đáp số: a) < | k | < Bài 5: (H): b) S = 72(1 + k ) (9 − 4k )(9k − 4) 144 MinS = k = ± Bài 6: Cho (E) ≥ 144 (Vận dụng CôSi) x2 y y2 + = (H) x − = Lập phương trình đường tròn qua giao điểm (E) 4 (H) Đáp số: x + y = Bài 7: F1(-1;0), F2(1;0) Điểm M không nằm Ox cho MF2 F1 − MF1 F2 = 900 CMR: M thuộc (H) Viết phương trình (H) Đáp số: x − y = Bài 8: Trên mặt phẳng vuông góc Oxy cho A(-2;0) B(2;0) (d): x − = a) Tìm tập hợp điểm P cho 3PB = PK với K hình chiếu vuông góc P lên (d) b) Tìm tập hợp M cho đường thẳng AM, BM có tích hệ số góc x2 x2 y Đáp số: a) − y = b) − = bá đỉnh C Parabol Lý thuyết * Định nghĩa: ( P) = {M : MF = d ( M ; ∆ )} * Phương trình tắc (P): y = px ( p > 0) Đỉnh O(0;0); Tham số tiêu p −p p Tiêu điểm F ( ; 0) Đường chuẩn: ∆ : x = 2 Bán kính qua tiêu M: MF = xM + p 2 Các dạng toán tiêu biểu Ví dụ 1: (Đề thi tốt nghiệp THPT 2005) Cho (P): y = x a) Tìm F viết phương trình đường chuẩn (P)? b) (d) qua F cắt (P) A, B phân biệt có hoành độ tương ứng x1, x2 CMR: AB = x1 + x2 + Hướng dẫn: a) 2p = ⇔ p =4, F(2;0), đường chuẩn x = -2 b) áp dụng công thức bán kính qua tiêu: MF = xM + p  AF = x1 + => AB = AF + BF = x1 + x2 + BF = x +  Ta có  Ví dụ 2: (ĐH, CĐ khối D - 2008) Trên Oxy cho (P): y = 16 x A(1;4) Hai điểm B, C phân biệt (khác A) di động (P) cho góc BAC = 900 CMR: BC qua điểm cố định Hướng dẫn: b2 c2 B ( ; b) C ( ; c) b ≠ c b, c ≠ 16 16 uuu r uuur BAC = 900 nên AB AC = ⇔ 272 + 4(b + c) + bc = (1) Phương trình (BC): 16 x − (b + c ) y + bc = (2) Từ (1) (2) suy (BC) qua điểm cố định I(17;- 4) Ví dụ 3: Cho (P): y = 16 x Xét đường thẳng (d) qua F cắt (P) M, N phân biệt CMR: Tích khoảng cách từ M, N tới Ox không đổi Hướng dẫn: p = 8, F(4;0) Xét trường hợp: a) (d) qua F song song với Oy, (d): x = Lóc M(4;8) N(4;- 8) => d(M;Ox).d(N;Ox) = 64 b) (d) có dạng: y = k(x - 4) với k ≠  y = 16 x Toạ độ M, N nghiệm   y = k ( x − 4) => ky − 16 y − 64k = (1) −64k Theo Viet: yM y N = = −64 k Rõ ràng d ( M ; Ox ).d ( N ; Ox ) =| yM | | y N |= 64 => đpcm Ví dụ 4: Cho (P): y = x A(0;- 4) B(- 6;4) Tìm C ∈ ( P) cho tam giác ABC có diện tích bé Hướng dẫn: AB.CH Với H hình chiếu C lên AB | xC + yC + 12 | CH = d (C ; AB ) = Do C ∈ ( P ) nên 1   39  CH = ( yC + yC + 12) =  yC +  +  5  2  Do AB không đổi S∆ABC bé CH nhá => MinS −3 9 −3 yC = => xC = Vậy C ( ; ) 16 16 S∆ABC = Bài tập luyện tập Bài 1: Lập phương trình tắc (P) biết a) (P) nhận x = −2 đường chuẩn b) Một dây cung (P) vuông góc Ox có độ dài khoảng cách từ đỉnh O (P) đến dây cung Bài 2: Dùng định nghĩa (P) để lập phương trình (P) có tiêu điểm F(2;1) đường chuẩn (∆) : x + y + = 2 Đáp số: x + y − xy − 10 x − y + = Bài 3: (P): y = x A(0;- 4) B(- 6;4) Tìm C ∈ ( P) cho tam giác ABC vuông A? 16 −8 C2 ( ; ) uuur uur Bài 4: Cho (P): y = x I(0;2) Tìm M, N thuộc (P) cho IM = IN Đáp số: C1 (16;8) Đáp số: Có cặp M1(4;-2) N1(1;1) M2(36;6) N2(9;3) 2 Bài 5: Giả sử có Parabol y = a x + b x = cy + d ( ac ≠ 0) cắt A, B, C, D phân biệt CMR: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Bài 6: Cho (P): y2 = 2x (d): 2my - 2x + = a) CMR: ∀m ∈ R , (d) qua tiêu điểm F (P) cắt (P) A, B phân biệt b) Tìm quỹ tích trung điểm I AB m thay đổi Đáp số: b) Qũy tích I x = y + Bài 7: Cho (P): y2 = 4x Lập phương trình cạnh tam giác có đỉnh thuộc (P), biết đỉnh trùng với đỉnh (P) trực tâm tam giác trùng với tiêu điểm (P) Đáp số: y = ± x x − = Bài 8: Cho y2 = x A(1;- 1) B(9;3) thuộc (P) Gọi M thuộc cung AB Xác định vị trí M cung AB cho tam giác MAB có diện tích lớn Đáp số: Max S ∆ABC = M(1;1) Bài 9: A, B thuộc (P): y = 2px (p > 0) cho tổng khoảng cách từ A B tới đường chuẩn (P) AB Chứng minh đường AB qua tiêu điểm (P) [...]... MinA = 2 + 3 khi x = 0 và y = 1 3 II Sử dụng phương trình đường thẳng, đường tròn giải và biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình đại số A Phương pháp chung và các ví dụ tiêu biểu Phương pháp chung: Sử dụng phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn và tính chất của đường tròn (hình tròn) trong mặt phẳng toạ độ để khảo sát sự tương giao giữa các hình Từ... ra r=1 Vậy phương trình (C):(x-1)2+(y-1)2=1 Cách 2: Gọi I(a;b) là tõm của (C) Ta có I thuộc các đường phân giác trong của góc AOB và BAO Phõn giác trong của AOB là :x-y=0 x y Phương trình của AB là + = 1 ⇔ 3 x + 4 y − 12 = 0 4 3 Suy ra phương trình đường phõn giác trong của góc BAO là :3x+9y-12=0 Tọa độ của I là nghiệm của hệ tạo bởi hai đường phân giác nên I(1;1) Bán kính r=kc(I,OA)=1.Vậy phương trình... 0x:Giả sử phương trình tiếp tuyến chung là :y=kx+m↔kxy+m=0(d) - (d) tiếp xỳc với (C1)↔kc(I1,(d))=R1↔(5k+12+m)2=225(1+k2) - (d) tiếp xỳc với (C2)↔kc(I2,(d))=R2↔(k-2+m)2=25(1+k2)  14 + 10 7 35+10 7 và m= k = 21 21 Giải hệ ta được:   14 − 10 7 35-10 7 và m= k =  21 21 Vậy ta có hai tiếp tuyến chung Chủ đề 4 ứng dụng phương pháp toạ độ phẳng vào bài toán đại số I ứng dụng phương pháp toạ độ véc tơ... A(7/4;3),B(1;2),C(-4;3).Viết phương trình đường phân giác trong của góc A Giải: Đường thẳng AB và AC có phương trình là lượt là: 4x-3y+2=0 và y-3=0 Các đường phõn giác trong và ngoài của góc A là: 4x+2y-13=0 và 4x-8y+17=0 Do hai điểm B,C nằm cùng phía với đường phân giác ngoài và nằm khác phía với đường phân giác trong của góc A nên ta chỉ cần xét vị trí của B,C với một trong hai đường,chẳng hạn :4x+2y-13=0.Thay tọa độ B,C... hai trục tọa độ nên ta có : a = b =R TH1:a=b.Khi đó (C) có dạng :(x-a)2+(y-a)2=a2 A(2;-1) thuộc (C) nờn (2-a)2+(-1-a)2=a2↔vụ nghiệm TH2:a=-b.Khi đó (C) có dạng (x-a)2+(y+a)2=a2 A(2;-1) thuộc (C) nờn (2-a)2+(-1+a)2=a2↔a=1 hoặc a=5  Với a=1 phương trình (C): (x-1)2+(y+1)2=1  Với a=5 phương trình (C): (x-5)2+(y+5)2=25 Bài 4:Viết phương trình đường trũn (C) nội tiếp tam giác OAB với O:gốc tọa độ, A(4;0),B(0;3)... Viết phương trình của d biết rằng PA = PB 8: Cho ∆ ABC ,biết trung điểm của BC, CA, AB lần lượt là M1(2;1), M2(5;3), M3(3;-4) 1/ Lập phương trình các cạnh của tam giác? 2/ Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác? 9: Cho ∆ ABC có A(1;3), trung tuyến BM: x – 2y + 1 = 0, CN: y – 1 =0 Tìm toạ độ các đỉnh của ∆ ABC? 10: Trong mặt phẳng Oxy cho I(3;2), đường thẳng d đi qua I, cắt Ox, Oy tại M và N (sao cho I trong. .. liên quan của elip Ví dụ 1: Lập phương trình chính tắc của elip biết: a) Trục lớn có độ dài 8, trục nhá có độ dài 6 12 b) Độ dài trục lớn là 26, tâm sai e = 13 c) Đi qua M (4; 0) N (0;3) Hướng dẫn: x2 y2 Giả sử phương trình chính tắc elip là: 2 + 2 = 1 (a > b > 0) a b 2 x y2 a) Ta có a = 4, b = 3 Phương trình là + =1 16 9 2a = 26 a = 13 x2 y2  b) Ta có  c 12 ⇒  Phương trình elip: + =1 169 25 b... toạ độ đỉnh C ? 16 - Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(2; 1), tạo với đường thẳng 2x + 3y + 4 = 0 một góc 450 17 – Lập phương trình các cạnh của một tam giác nếu biệt một đỉnh A(1; 3), và hai trung tuyến lần lượt có phương trình là: x- 2y+ 1= 0, y- 1 =0 18 – Một tam giác có M(-1; 1) là trung điểm của một cạnh và phương trình của hai cạnh kia là: x+ 2y- 2= 0; 2x+ 6y+ 3 = 0 Hãy xác định toạ độ. .. AB = 2 AD Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C,D biết A có hoành độ âm Chủ đề 3:Đường trũn A-lý thuyết  tâm I(a;b) 1.Cho đường trũn (C) có  ⇒ phương trình đường trũn (C) là : ( x − a )2 + ( y − b)2 = R 2 bán kính R  2.Cho phương trình : x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 (1) Với điều kiện a 2 + b 2 − c > 0 thì (1) là phương trình của ột đường trũn tõm I(a;b) bán kớnh R= a 2 + b2 − c 3.Để viết phương trình tiếp... lớn: độ dài 2a, trục bé độ dài 2b Tiêu điểm: F1 (−c;0) F2 (c; 0) (c > 0) c Tâm sai: e = a * Phương trình chính tắc (E): Phương trình các cạnh hình chữ nhật cơ sở: x = ± a, y = ± b Bán kính qua tiêu của điểm M ( xM ; yM ) ∈ ( E ) : MF1 = a + exM ; Đường chuẩn x = ± MF2 = a − exM a e  x = a sin t * Phương trình dạng tham số của (E):  với 0 ≤ t ≤ 2π  y = bcost 2 Các dạng toán tiêu biểu Loại 1: Phương ... ứng dụng phương pháp toạ độ phẳng vào toán đại số I ứng dụng phương pháp toạ độ véc tơ để chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN, GTNN A Các công thức độ dài đoạn thẳng kết hợp bất đẳng thức độ dài... II Sử dụng phương trình đường thẳng, đường tròn giải biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình đại số A Phương pháp chung ví dụ tiêu biểu Phương pháp chung:... 3x-5y-13=0 +) phương trình cạnh AC: Điểm A = (d1 ) ∩ ( AB ) nên tọa độ A (-1;3) Điểm C = (d ) ∩ ( BC ) nên tọa độ C (1;-2) Suy :phương trình cạnh AC x +1 y − = ⇔ 5x − y −1 = + −2 − Kết luận : phương