sử dụng phương pháp toạ độ trong phẳng vào giải toán hình học

A.ĐẶT VẤN ĐỀ Một trong các nhiệm vụ của dạy học hình học 10 chương trình THPT là dạy cho học sinh biết sử dụng phương pháp toạ độ trong mặt phẳng vào giải toán hình học. Tuy nhiên, nếu chỉ dừng lại ở những bài toán thuần tuý chỉ dùng các biểu thức toạ độ, các biến đổi phương trình, các công thức tính toán thì việc học hình học như thế sẽ kém thú vị ! Ta biết rằng có rất nhiều bài toán hình học phải giải quyết rất phức tạp, trong khi hầu hết các bài toán dạng toạ độ học sinh đều có hướng giải. Như vậy nếu ta chuyển đổi bài toán hình học về bài toán toạ độ thì việc giải toán hình học trở nên đơn giản hơn. Bởi vậy sau khi trang bị cho học sinh các kiến thức về toạ độ, phương trình chúng ta nên cho học sinh vận dụng linh hoạt, sáng tạo vào các hình qua các bài toán cụ thể. Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Việc hướng dẫn học sinh biết cách chuyển đổi ngôn ngữ toán hoc là việc làm cần thiết, thường xuyên của người thầy, có tác dụng phát triển tư duy cho học sinh, đáp ứng yêu cầu của chương trình mới. Trong đề tài này chủ yếu được đề cập đến vấn đề: “Sử dụng phương pháp toạ độ trong phẳng vào giải toán hình học” nhằm bồi dưỡng cho học sinh cách thức nhìn nhận các bài toán theo nhiều góc độ khác nhau, tạo cơ hội cho học sinh củng cố các phương pháp khác nhau giải toán hình học, đồng thời thực hiện ý tưởng góp phần bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy biện chứng, nhìn nhận vấn đề trong mối liên quan tương hỗ lẫn nhau. Vấn đề tôi đưa ra ở đây cũng là một cơ sở cho các em học sinh sau này lên lớp 12 tiếp cận một bài toán lớn: “sử dụng phương pháp toạ độ giải quyết các bài toán hình học không gian”. 1 B.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. Cơ sở lý luận của vấn đề Một trong những vấn đề cơ bản của đổi mới chương trình GDPT là đổi mới phương pháp dạy học, trong đó có đổi mới phương pháp dạy học môn toán. Việc đổi mới phương pháp dạy học môn toán hiện nay là nhằm phát huy tính tích cực của học sinh qua đó khai thác vận dụng những khả năng vốn có và phát huy trí lực của học sinh. Để tiếp cận vấn đề trong đề tài này yêu cầu học sinh phải có tính sáng tạo, tích cực, biết cách nhìn nhận bài toán theo các góc độ khác nhau: bài toán hình học thuần tuý và hình ảnh của nó khi gắn vào hệ trục toạ độ. Qua đó phát huy tư duy tổng hợp, nhằm hướng tới mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh. II.Thực trạng của vấn đề 1.Về phía học sinh a.Thuận lợi Năm học này tôi được nhà trường giao nhiệm vụ giảng dạy lớp 10A6 và 10A4 là lớp học theo chương trình nâng cao các môn KHTN, vì thế mà đa phần học sinh cũng có được lượng kiến thức khá. Các em có khả năng tiếp thu vấn đề ở dạng tổng quát và nhiều góc độ. Học sinh có khả năng chuyển đổi các loại ngôn ngữ khác nhau của bài toán. b. Khó khăn Đa phần học sinh đều có cảm giác sợ khi đứng trước các bài toán hình học ngay cả với các em có học lực khá, giỏi. Các em gần như không có định hướng, không nghĩ ra phương pháp giải cho bài toán cụ thể. 2. Về phía giáo viên Do chương trình SGK không đề cập đến vấn đề chuyển đổi các bài toán hình học thuần tuý sang bài toán sử dụng phương pháp toạ độ, nên đa phần giáo viên không đưa vấn đề này vào việc bồi dưỡng thêm cho học sinh. 2 Bản thân tôi đã đứng lớp nhiều năm, nhận thấy việc giải quyết bài toán hình học bằng phương pháp toạ độ là cách giải quyết rất hiệu quả. Vấn đề là phải hướng dẫn cho học sinh kỹ năng chuyển đổi bài toán. Thực tế ta thấy vấn đề này sẽ còn được sử dụng khá hiệu quả khi các em học lớp 12 trong phần hình học không gian. III. Giải pháp và tổ chức thưc hiện 1. Các giải pháp thực hiện - Giáo viên hướng dẫn học sinh tiếp cận “dấu hiệu” để chọn hệ trục toạ độ. - Giáo viên ra đề bài cụ thể và hướng dẫn các em suy nghĩ để phát hiện “điểm mấu chốt” của bài toán và chọn điểm trùng với gốc toạ độ. - Các bài toán được đưa ra với mức độ khó tăng dần. Ban đầu để các em tiếp cận với kỹ năng chọn hệ trục, sau đó yêu cầu được tăng dần đến việc phải suy luận để lựa chọn hệ trục phù hợp. 2.Các biện pháp để tổ chức thực hiện - Đặt vấn đề cho cả lớp suy nghĩ. - Đại diện nhóm trình bày suy luận để tìm ra “điểm mấu chốt” của bài toán. - Có thể có nhiều hướng suy luận khác nhau, giáo viên sẽ phân tích cho học sinh hiểu nên lựa chọn theo hướng nào thì thuận lợi cho bài toán. Sau khi phân tích cho học sinh nắm bắt được yêu cầu và hướng giải quyết của bài toán, ta thực hiện theo các bước sau để giải quyết vấn đề: Bước 1: Thực hiện phép toạ độ hoá các điểm trong hình, chuyển bài toán đã cho về bài toán hình giải tích. Bước 2: Giải bài toán hình giải tích vừa thu được. Bước 3: Chuyển các kết luận của bài toán hình học giải tích sang các tính chất hình học tương ứng. 3.Kiến thức chuẩn bị a.Về kỹ năng - Tìm ra “hai đường thẳng cơ sở” có quan hệ vuông góc với nhau. 3 - Xác định được “ điểm mấu chốt” của bài toán là giao của hai đường vuông góc nào đó. - Có thể bài toán có nhiều điểm là giao của hai đường vuông góc nhưng ta phải phân tích để lựa chọn điểm phù hợp, sao cho việc tìm toạ độ của các điểm còn lại trong hình dễ dàng hơn, vấn đề cần giải quyết hiệu quả hơn. b.Kiến thức yêu cầu - Sử dụng kiến thức về toạ độ trong mặt phẳng. - Phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn, phương trình các đường cônic trong mặt phẳng. c.Một số dạng toán sử dụng trong đề tài Dạng 1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng ta có thể sử dụng một trong các cách sau : Cách 1: Chứng minh hai véctơ cùng phương. Cách 2: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm, và chỉ ra điểm thứ ba thuộc đường thẳng đó. Dạng 2: Chứng minh hai véctơ vuông góc ta chỉ ra tích vô hướng của hai véctơ đó bằng không. Dạng 3: Chứng minh các biểu thức về độ dài. Sử dụng công thức tính khoảng cách của hai điểm để tính độ dài đoạn thẳng, từ đó suy ra biểu thức chứng minh. Dạng 4: Tìm quỹ tích điểm. Để giải quyết yêu cầu này ta có thể tìm ra một phương trình đường mà toạ độ của điểm đó thoả mãn. Từ đó kết luận quỹ tích của điểm cần tìm. 4 4. Nhận dạng một số hình đặc biệt khi gắn hệ trục toạ độ 1. Tam giác cân Cho D ABC cân tại A, đường cao AH = h và BC = a . Ta chọn hệ trục tọa độ Đề các Oxy sao cho: a a O H(0;0) , B( ;0) ,C( ;0) ,A(0;h) 2 2 º - 2. Tam giác vuông Đối với D ABC vuông tại A có AB = a ; AC = b. Ta chọn hệ trục tọa độ Đề các Oxy sao cho: O A(0;0) , B(0;b) ,C(c;0)º 3. Tam giác đều Đối với D ABC đều cạnh a, nhận thấy đây là trường hợp đặc biệt của tam giác cân. Có thể lựa chọn hệ trục Đề các Oxy sao cho O H(0;0)º , H là trung điểm của BC a a a 3 C( ;0),B( ;0),A(0; ) 2 2 2 - 4. Hình thang vuông 5 Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A, D có: AB = a, AD = b, DC = c. Ta chọn hệ trục tọa độ Đề các Oxy sao cho: O A(0;0) , B(a;0) ,D(0;b), C(c;b)º 5. Hình chữ nhật Đối với hình chữ nhật ABCD có các kích thước AB = a ; AD = b. Ta chọn hệ trục tọa độ Đề các Oxy sao cho: O A(0;0) , B(a;0) ,D(0;b), C(a;b)º 6. Hình thoi Đối với hình thoi ABCD có hai đường chéo AC = a ; BD = b. Ta chọn hệ trục tọa độ Đề các Oxy sao cho a a O I(0;0) , A( ;0) , C( ;0) , 2 2 b b B(0; ), D(0; ) 2 2 º - - 6 7. Hình vuông Đối với hình vuông ABCD có kích thước a. Ta chọn hệ trục tọa độ Đề các Oxy sao cho: O A(0;0) , B(a;0) ,D(0;a), C(a;a)º 5. Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho hình thang ABCD vuông tại A và B. Đường cao AH = h, các cạnh đáy AD = a, BC = b. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB và ta có · CID là góc vuông. Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa các đại lượng a, b, h của hình thang đã cho. Hướng dẫn học sinh tiếp cận vấn đề: - Ta có qua A và B có hai đường thẳng vuông góc với nhau chứa hai cạnh của hình thang . - Ta thấy vai trò của hai điểm A và B như nhau nên có chọn gốc toạ độ trùng với một trong hai điểm này. - Theo dõi phần hình thang khi gắn hệ truc toạ độ. Giải : Chọn hệ trục toạ độ Đề các vuông góc Oxy sao cho O B(0;0),C (b;0),A(0;h) D(a;h)≡ ≡ ⇒ với a, b, h > 0 ( Hình 1) I là trung điểm của OA nên h I(0; ) 2 Suy ra h h ID (a; ),IC(b; ) 2 2 = − uur uur Giả thiết · CID vuông nên . 0IC ID = uuuruur 2 2 0 4 . 4 ⇔ − = ⇔ = h ab h ab Vậy biểu thức liên hệ của các đại lượng là : 2 h 4ab.= Hình 1 Bài 2: Cho 2 điểm A, B cố định và AB=a (a > 0) .Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA=2MB. 7 Hướng dẫn học sinh phân tích đề bài: Vì A, B cố định và không bị ràng buộc bởi quan hệ cạnh nên có thể chọn một trong hai điểm A, B trùng với gốc toạ độ. Giải : Chọn hệ trục toạ độ Đề các vuông góc Oxy sao cho )0;0(AO ≡ , A, B nằm trên trục Ox và B(a;0) ( Hình 2) Giả sử M(x;y), từ giả thiết MA=2MB ta có : ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y 4 x a y 3x 3y 8ax 4a 0 4a 2a x y 3 3   + = − +   ⇔ + − + =     ⇔ − + =  ÷  ÷     Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm 4a I ;0 3    ÷   và bán kính 2a R 3 = . Hình 2 Bài 3: Cho ∆ABC cân đỉnh A và đường cao AH. Gọi D là hình chiếu vuông góc của H trên AC, M là trung điểm của HD. Chứng minh rằng AM ⊥BD. Hướng dẫn: Trong bài này nhận thấy có hai điểm H và D là giao của hai đường thẳng vuông góc . Nhưng “điểm mấu chốt” của bài toán này là điểm nào ? Vì tam giác ABC cân tại A nên nếu chọn điểm H trùng với gốc toạ độ thì ta có thể suy ra được toạ độ các điểm còn lại . Nếu ta lựa chọn điểm gốc toạ độ trùng với điểm D thì việc suy ra toạ độ của các điểm còn lại gặp khó khăn. Giải: 8 Chọn hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxy, sao cho H(0;0), A(0;a), B(-b;0), C(b;0). (Hình 3) Hình 3 Giả sử D(x,y) ta có: DH AC⊥ uuur uuur và AD uuur cùng phương với AC uuur nên: 2 2 2 2 2 2 a b x DH.AC 0 bx ay 0 a b ax by ab ab AD k.AC y a b  =   = − =    + ⇔ ⇔    + = =     =  +  uuur uuur uuur uuur Vậy 2 2 2 2 2 2 a b ab D ; a b a b    ÷ + +   . M là trung điểm của HD nên ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 a b ab M ; 2 a b 2 a b    ÷  ÷ + +   4 2 2 4 4 2 2 4 2 2 2 2 2a b a b 2a b a b BD.AM 0 2(a b ) 2(a b ) + − − ⇒ = + = + + uuur uuuur Vậy AM ⊥BD (đpcm). 9 Bài 4: Cho ∆ABC. Gọi O, G, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tâm giác đó. Chứng minh rằng 3 điểm O, G, H thuộc một đường thẳng (đường thẳng Ơle). Hướng dẫn học sinh tiếp cận vấn đề: Trước hết ta thấy đây là bài toán quen thuộc có thể giải bằng nhiều cách . Khi đưa bài toán về giải quyết bằng phương pháp toạ độ, ta cần chú ý đến “điểm mấu chốt” của bài toán chính là chân các đường cao của tam giác . Giải : Gọi K là chân đường cao AH. Chọn hệ trục Oxy sao cho K(0;0), B(b;0), C(c;0), A(0;a). ( hình 4) Hình 4 Theo giả thiết, G là trọng tâm của ∆ABC nên b c a G ; 3 3 +    ÷   Do H AK ∈ nên H(0; x). Mặt khác: bc bc BH.AC 0 ax bc 0 x H 0; a a   = ⇔ + = ⇔ = − ⇒ −  ÷   uuur uuur Do M là trung điểm của BC nên b c M ;0 2 +    ÷   . 10 [...]... là dựa vào quan hệ vuông góc của đường cac CH với cạnh đáy AB Nếu biết toạ độ các điểm A, B, C thì ta có thể tìm được toạ độ của các điểm còn lại dựa vào quan hệ vuông góc và song song Đưa bài toán về dạng : chỉ ra ba điểm thẳng hàng bằng phương pháp toạ độ Giải Chọn hệ trục tọa độ Đề các vuông góc Oxy sao cho : O ≡ H(0;0), A(a;0), B(b;0), C(0;c) ( hình 5 ) 11 Hình 5 Khi đó đường thẳng d có phương. .. FD DC 18 C KẾT LUẬN I Kết quả nghiên cứu: Qua một số tiết dạy, mà mỗi bài toán hình học đưa ra được giải quyết theo phương pháp toạ độ hoá, tôi thấy được ở một số học sinh đã có cách nhìn bài toán tổng quát và hiểu sâu hiểu kĩ hơn Tôi nghĩ phương pháp này sẽ giúp cho các em phát triển năng lực tư duy biện chứng, nhìn nhận vấn đề trong mối quan hệ tương hỗ, xác lập mối quan hệ giữa các chương mục khác... của hệ trục +) Dựa vào quan hệ vuông góc, tam giác đặc biệt có thể suy ra toạ độ của các điểm còn lại Áp dụng phần tam giác cân khi gắn hệ trục toạ độ Giải Tam giác ABC cân tại A nên AM ⊥ BC Chọn hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxy sao O ≡ M(0;0), B( −1;0), C(1;0), A(0;a), Q(q;0) với -1 < q < 1 ( hình 7 ) cho 14 Hình 7  1 Vì PB ⊥ AB và P ∈ Oy nên P  0; ÷  a y = 1 ⇔ −ax + y = a a y Phương trình đường... tọa độ hai điểm C, F hoặc C, D thì có thể tìm được toạ độ của có thể tìm được toạ độ của các điểm còn lại Giải Chọn hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxy sao cho O ≡ C(0;0),F(1;0),A(a;0) 1 3 3 3 D ; Theo bài ra ta có ÷,E  ; ÷ ( hình 6) 2 2  2 2   A Phương trình đường thẳng CD có dạng : y = 3x Phương trình đường thẳng AE có dạng : 3x + (2a − 3)y = 3a Toạ dộ điểm E là nghiệm của hệ : 13 a   x = 2 (... xuất - Do giới hạn của đề tài nên tôi chỉ trình bày được một số bài toán nhỏ Nhưng tôi rất mong nó sẽ giúp cho bạn đọc thêm được một phần kiến thức bổ ích - Tôi hy vọng các tác giả viết sách sẽ có sự đầu tư hơn ở những bài toán hình học được giải quyết bằng phương pháp toạ độ hoá Tôi nghĩ rằng đây là vấn đề sẽ thu hút được sự chú ý của học sinh 19 XÁC NHẬN CỦATHỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hoá, ngày 18 tháng... năm 2013 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác Lê Thị Liên 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO - Sách giáo khoa hình học 10 - Báo toán học tuổi trẻ - Giải toán hình học 10 của LÊ HỒNG ĐỨC - Một số đề thi học sinh giỏi và đại học 21 ... và E, F không trùng D Giả sử M, N là các trung điểm tương ứng của BC và EF Chứng minh rằng AN ⊥ NM Hướng dẫn tiếp cận vấn đề : +) Phát hiện điểm là giao của hai đường vuông góc +) Dựa vào quan hệ vuông góc, tính chất trung điểm để tìm toạ độ các điểm liên quan Giải Hình 8 Chọn hệ trục toạ độ Đề các vuông góc Oxy sao cho O ≡ D ( 0;0 ) ,A ( 0;a ) ,B ( b;0 ) ,C ( c;0 ) ( Hình 8 ) b+c  ;0 ÷ Do E,... thẳng AC nên toạ độ của M là nghiệm của hệ: a(c − m)  y = m x =  a(c − m)  ⇔ ⇒ M ;m ÷ c  cx + ay = ac c    y = m  12  a(c − m)  ;0 ÷ Q là hình chiếu vuông góc của M trên Ox nên Q  c    (a + b)(c − m) m  ; ÷ J là trung điểm của NQ nên : J  2c 2  2x 2y + =1 Dễ thấy toạ độ của J thoả mãn phương trình IK : a+b c Do đó ba điểm I, J, K thẳng hàng urur uu Chú ý : Khi biết toạ độ ba điểm... có thể chỉ ra IJ,IK cùng phương Từ đó suy ra ba điểm I, J, K thẳng hàng µ Bài 6: Cho tam giác ABC có C = 60o ; D,E,F là các điểm tương ứng nằm trên các cạnh BC, AB, AC Gọi M là giao điểm của AD và BF Giả sử CDEF là hình thoi Chứng minh rằng : DF2 = DM.DA Hướng dẫn học sinh tiếp cận vấn đề: µ Vấn đề mấu chốt của bài toán là có C = 60o Có CDEF là hình thoi vì vậy nếu biết tọa độ hai điểm C, F hoặc C,... nhiên ta có thể giải quyết bài toán này theo một hướng khác , đó là ta có thể lập phương trình GO rồi chỉ ra H thuộc đường thẳng GO Bài 5: Cho tam giác ABC có đường cao CH Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CH Một đường thẳng d di động luôn song song với cạnh AB cắt các cạnh AC, BC lần lượt ở M, N Dựng hình chữ nhật MNPQ với hai điểm P, Q nằm trên cạnh AB Gọi J là tâm của hình chữ nhật . A.ĐẶT VẤN ĐỀ Một trong các nhiệm vụ của dạy học hình học 10 chương trình THPT là dạy cho học sinh biết sử dụng phương pháp toạ độ trong mặt phẳng vào giải toán hình học. Tuy nhiên, nếu chỉ. phải giải quyết rất phức tạp, trong khi hầu hết các bài toán dạng toạ độ học sinh đều có hướng giải. Như vậy nếu ta chuyển đổi bài toán hình học về bài toán toạ độ thì việc giải toán hình học. tác dụng phát triển tư duy cho học sinh, đáp ứng yêu cầu của chương trình mới. Trong đề tài này chủ yếu được đề cập đến vấn đề: Sử dụng phương pháp toạ độ trong phẳng vào giải toán hình học