Vấn đề lớn nhất, nhỏ nhất trong không gian oxyz

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN  TRẦN THỊ HẠNH VẤN ĐỀ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG KHÔNG GIAN OXYZ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học ThS.NGUYỄN VĂN VẠN HÀ NỘI – 2015 LỜI CẢM ƠN Trong trình tìm hiểu, nghiên cứu khóa luận không khỏi lúng túng bỡ ngỡ Nhưng dự giúp đỡ, bảo tận tình Ths Nguyễn Văn Vạn bước tiền hành hoàn thành khóa luận với đề tài “Vấn đề lớn nhất, nhỏ không gian 0xyz” Qua xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy tất thầy cô khoa Toán học giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành khóa luận Mặc dù có cố gắng tìm tòi định, song khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận ý kiến đóng góp tất thầy cô bạn sinh viên Hà Nội, tháng năm 2015 Sinh viên Trần Thị Hạnh LỜI CAM ĐOAN Khóa luận hoàn thành hướng dẫn trực tiếp Ths Nguyễn Văn Vạn Tôi xin cam đoan rằng: - Khóa luận kết nghiên cứu, tìm tòi riêng - Những tư liệu trích dẫn khóa luận trung thực - Kết nghiên cứu trùng khít với công trình nghiên cứu tác giả công bố trước Nếu sai, xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2015 Sinh viên Trần Thị Hạnh MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ THUYẾT 1.1 Tích có hướng hai vectơ 1.1.1 Hệ tọa độ không gian 1.1.2 Tọa độ vectơ 1.1.3 Tọa độ điểm 1.1.4 Tích có hướng hai vectơ 1.2 Các dạng toán thường gặp không gian 0xyz 1.2.1 Viết phương trình mặt phẳng 1.2.2 Viết phương trình đường thẳng không gian 11 1.2.3 Viết phương trình mặt cầu 14 1.2.4 Bài toán cực trị không gian 15 1.2.5 Bài toán xác định tọa độ điểm, vectơ không gian 15 1.3 Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ 16 1.3.1 Định nghĩa 16 1.3.2 Phương pháp đạo hàm 16 1.3.3 Phương pháp miền giá trị hàm số 18 1.3.4 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức 18 CHƯƠNG 2: LỚP CÁC BÀI TOÁN 20 2.1 Bài toán 20 2.2 Bài toán 22 2.3 Bài toan 26 2.4 Bài toán 30 2.5 Bài toán 36 2.6 Bài toán 38 2.7 Bài toán 42 2.8 Bài toán 48 2.9 Bài toán 49 CHƯƠNG 3: BÀI TẬP ỨNG DỤNG 54 KẾT LUẬN 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 MỞ ĐẦU 1.Lí chọn đề tài Trong chương trình hình học giải tích lớp 12, bên cạnh dạng toán thường gặp như: viết phương trình mặt phẳng, viết phương trình đường thẳng hay viết phương trình mặt cầu, … ta bắt gặp toán tìm vị trí điểm, đường thẳng hay mặt phẳng liên quan đến điều kiện cực trị Có thể nói cực trị hình học phương pháp tọa độ không gian dạng toán khó, đòi hỏi học sinh vừa phải biết tư hình học, vừa phải biết kết hợp sử dụng phương pháp tọa độ không gian Trong trình học tập nghiên cứu Toán học, thấy dạng toán không khó mà hay, lôi học sinh giỏi Nếu ta biết sử dụng linh hoạt, khéo léo kiến thức hình học túy, vectơ, phương pháp tọa độ, giải tích đưa toán toán quen thuộc Chính lí trên, định sâu vào nghiên cứu đề tài “Vấn đề lớn nhất, nhỏ không gian 0xyz” nhằm mở cách nhìn nhận toán cực trị hình học không gian Đồng thời mong muốn rằng, thông qua việc nghiên cứu đem lại cho kinh nghiệm quý báu phục vụ cho công tác giảng dạy sau Mục đích nghiên cứu - Khóa luận cung cấp cho bạn đọc phương pháp giải số dạng cực trị hình học không gian - Rèn luyện kĩ sử dụng linh hoạt, sáng tạo tính chất hình học túy để giảm bới tính toán - Đồng thời khóa luận giúp bạn đọc giải tốt toán khác hình học giải tích, có nhìn dạng toán Nhiệm vụ nghiên cứu - Tuyển chọn xếp dạng toán theo trình tự hợp lí để bạn đọc tiếp nhận chúng cách dễ dàng, tạo hứng thú gặp toán - Đưa cách tiếp cận lời giải góc độ chất hình học Đối tượng phạm vi nghiên cứu 4.1.Đối tượng nghiên cứu Trong phạm vi khóa luận này, chủ yếu nghiên cứu dạng toán cực trị thường gặp đề thi đại học, cao đẳng, trung cấp chuyên nghiệp, phương pháp giải ví dụ minh họa 4.2 Phạm vi nghiên cứu Như biết sử dụng công cụ giải tích để xét biến thiên tìm cực trị đại lượng như: góc, khoảng cách, độ dài…trong toán tọa độ không gian Mặc dù cách làm rõ ràng trình tính toán phức tạp Trong khóa luận này, chủ yếu xét số toán cực trị với chất hình học nó, từ đề xuất phương pháp giải công cụ túy hình học nhằm giảm bớt tính toán trình giải Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp tổng hợp vấn đề lí thuyết - Phương pháp thống kê toán học - Phương pháp thực nghiệm - Phương pháp nghiên cứu tài liệu - Phương pháp phân tích, tổng hợp NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Tích có hướng hai vectơ 1.1.1 Hệ tọa độ không gian - Trong không gian, xét ba trục tọa độ 0x, 0y, 0z có chung điểm gốc đội vuông góc với gọi hệ trục tọa độ vuông góc không gian z  k  i  j y x - Trên trục 0x, 0y, 0z hệ tọa độ vuông góc 0xyz,    xét vectơ đơn vị i , j , k hướng với trục tương ứng Khi   thay viết hệ trục 0xyz, ta kí hiệu trục  0, i, j, k  - Điểm gọi gốc tọa độ, 0x gọi trục hoành, 0y gọi trục tung, 0z gọi trục cao - Các mặt phẳng qua hai ba trục tọa độ gọi mặt phẳng tọa độ, ta kí hiệu chúng (0xy), (0yz), (0zx) - Ta cần ý đẳng thức sau: 2   i  j k     i j  j.k  k i  1.1.2 Tọa độ vectơ - Trong không gian, xét hệ trục tọa độ 0xyz Khi với vectơ      u tồn số (x; y; z) cho: u  x.i  y j  z.k Bộ số (x; y; z)    gọi tọa độ vectơ u kí hiệu u   x; y; z  hay u  x; y; z  - Từ định nghĩa tọa độ vectơ, ta dễ dàng suy tính chất sau:   Cho vectơ u1  x1; y1 ; z1  , u  x2 ; y2 ; z2  số k tùy ý, ta có:   1) u1  u  x1  x2 , y1  y2 , z1  z2   2) u1  u2   x1  x2 ; y1  y2 ; z1  z2   3) k u1   k x1 ; k y1; k z1    4) u1.u2  x1 x2  y1 y2  z1 z2  5) u1  x12  y12  z12     u1 u2 6) cos u1 , u2     u1 u2     x1 x2  y1 y2  z1 z2 x12  y12  z12 x22  y22  z22     với u1  0, u2    7) u1  u2  u1.u2   x1 x2  y1 y2  z1 z2  1.1.3 Tọa độ điểm - Trong không gian tọa độ 0xyz, điểm M hoàn toàn xác  định vectơ OM Tọa độ điểm M định nghĩa tọa độ Lời giải Ta giải theo hai cách  Cách 1: Theo chứng minh phần phương pháp ta có:  Đường thẳng d qua A cách B khoảng lớn đường    thẳng có vectơ phương ud   nP , AB     Vì nP 1; 2; 1 , AB  1; 2; 3 nên ud   1;1;1 Phương trình đường thẳng cần tìm là: x 1 y z   1 1  Đường thẳng d qua A cách d khoảng nhỏ đường     thẳng có vectơ phương ud   nP ,  nP , AB        Vì nP 1; 2; 1 , AB  1; 2; 3 nên  nP , AB    1;1;1 , ud  12 1;0;1 x  1 t Phương trình đường thẳng cần tìm d:  y  ,  t    z  t   Cách 2:  Gọi vectơ phương đường thẳng d ud (a, b, c) , a  b2  c    Vì d  (P) nên ud nP   a  2b  c   c  a  2b    Vì AB  1; 2; 3 nên ud , AB    2a  7b; 2a  2b; 2a  b  , khoảng cách từ B đến đương thẳng d là: 46   ud , AB    d  B, d     ud   (2a  2b)  (2a  b)2 a  b  (a  2b)  2a  7b  12a  24ab  54b 2a  4ab  5b +) Nếu b = a ≠ nên d(B, d) = a b +) Nếu b ≠ đặt t  , t   , đó: d ( B, d )  Xét hàm f (t )  12t  24t  54 2t  4t  12t  24t  54 24  6 2t  4t  2(t  1)2    f (t )  14 Hay  d  B, d   14 Kết hợp hai trường hợp ta có  d  B, d   14  Giá trị nhỏ d(B, d) đạt b = 0, chọn a = x  1 t  c = nên phương trình đường thẳng cần tìm d:  y  ,  t    z  t   Giá trị lớn d(B, d) 14 đạt a = -b, chọn b = -1 a = 1, c = -1 nên phương trình đường thẳng d: 47 x 1 y z   1 1 2.8 Bài toán  Bài toán: Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz, cho đường thẳng d1, d2, mặt phẳng (P) hai điểm A, B (A không thuộc d1) Lập phương trình đường thẳng d qua A, d cắt d1  d cách B khoảng nhỏ nhất, lớn nhất?  Khoảng cách d d2 lớn nhất?  d tạo với mặt phẳng (P) góc lớn nhất, nhỏ nhất?  Phương pháp: Phương pháp chung để giải chuyển toán đại số theo bước sau:  Gọi giao điểm d d1 M (phụ thuộc ẩn t)  Tính khoảng cách góc (theo yêu cầu) tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức t  Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng d qua A(0; -1; 2) cắt đường thẳng d1: x 1 y z    cho: 1 a, khoảng cách từ B(2; 1; 1) đến đường thẳng d lớn nhất, nhỏ nhất? b, khoảng cách d d2: x 5 y z   lớn nhất? 2 Lời giải 48 Giả sử d cắt d1 M M(-1 + 2t; t; – t), t    Vectơ phương d AM  2t  1; t  1; t     a, Ta có : AB  2; 2; 1 nên  AB, AM   1  t ;1;  2t  Khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d :    AB, AM  5t  18t  18   d  B, d     6t  2t  AM Xét hàm f (t )  5t  18t  18 98(t  2) nên f ' (t )  2 6t  2t  (6t  2t  2)2 Lập bảng biến thiên ta tìm Max f(t) = f(0) = 18, Min f(t) = f(2) = +) Giá trị nhỏ d(B, d) 11  , t =  AM  3;3; 2  nên 11 phương trình đường thẳng cần tìm : x y 1 z    3 2  +) Gá trị lớn d(B, d) 18 , t =  AM  1;1; 1 nên phương trình đường thẳng cần tìm : x y 1 z    1 1 2.9 Bài toán  Bài toán : Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz, cho mặt cầu (S) tâm I (a ; b; c) bán kính R có phương trình (S) : (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 Mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = 49 Tìm điểm M, N thuộc mặt cầu cho:  khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất?  khoảng cách từ N đến (P) nhỏ nhất?  Phương pháp:  Cách 1: Sử dụng tính chất hình học - Xét vị trí tương đối mặt cầu (S) mặt phẳng (P) cách so sánh R với d (I; (P))  Nếu d (I, (P)) > R (S) (P) điểm chung Gọi (P1), (P2) mặt phẳng song song với (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Mọi điểm thuộc mặt cầu (S) thuộc miền giới hạn hai mặt phẳng (P1), (P2) nên điểm cần tìm tiếp điểm mặt cầu (S) mặt phẳng (P1), (P2) Các điểm giao đường thẳng d với mặt cầu (S), d đường thẳng qua I vuông góc với (P)  Nếu d (I, (P)) = R (P) tiếp xúc với (S) +) Giá trị nhỏ d (N, (P)) N điểm tiếp xúc (P) (S) +) Giá trị lớn d (N, (P)) 2R M điểm đối xứng với N qua I  Nếu d (I, (P)) < R (S)  (P) = (C) đường tròn +) Giá trị nhỏ d (N, (P)) N nằm đường tròn (C) +) Tìm d  (S) có hai điểm, tính khoảng cách từ hai điểm đến (P), khoảng cách lớn điểm tương ứng điểm M 50  Cách 2: Thuần túy tọa độ Có thể giải toán cách sử dụng bất đẳng thức tam giác bất đẳng thức Bunyakovsky cho hai ba số (ax + by + cz)2 ≤ (a2 + b2 + c2)( x2 + y2 + z2) Dấu đẳng thức có a b c   x y z  Ví dụ: Cho mặt cầu (S): (x – 1)2 + y2 + (z – 2)2 = mặt phẳng (P) có phương trình x – 2y + 2z + = Tìm tọa độ điểm M, N thuộc (S) cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn nhất, khoảng cách từ N đến mặt phẳng (P) nhỏ Lời giải Mặt cầu (S) có tâm I (1; 0; 2), bán kính R =  Cách 1: Ta có: d  I ,  P     2.0  2.2  43 Do mặt phẳng (P) điểm chung với mặt cầu (S) Tất điểm thuộc mặt cầu (S) nằm miền giới hạn hai mặt phẳng song song với (P) tiếp xúc với mặt cầu, nên điểm có khoảng cách lớn nhất, nhỏ giao điểm đường thẳng d với mặt cầu (S) Trong đường thẳng d qua I vuông góc với (P) 51 x  1 t Phương trình đường thẳng d:  y  2t ,  t     z   2t  Gọi J = d  (S) Ta có: J thuộc d nên J (1 + t ; -2t ; 2+2t) Mặt khác J thuộc (S) nên 2 1  t  1   2t     2t   t  9   t  1 Suy hai điểm thỏa mãn J1 (0; 2; 0), J2 (2; -2; 4) Khoảng cách từ điểm J1, J2 đến (P) là: d(J1, (P)) = 1, d (J2, (P)) = Vậy điểm cần tìm M (2; -2; 4), N (0; 2; 0)  Cách 2: Gọi J (a; b; c) điểm thuộc mặt cầu (S) Ta có: (a – 1)2 + b2 + (c – 2)2 = Khoảng cách từ J đến mặt phẳng (P) là: d(J, (P)) = a  2b  2c  Bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức T = | a – 2b + 2c + 7| Trong a, b, c số thực thỏa mãn điều kiện: 52 (a – 1)2 + b2 + (c – 2)2 = Ta có: T = |12 + (a – 1) – 2b + 2(c – 2)| Sử dụng bất đẳng thức tam giác với m, n thuộc  ta có: |m| - |n| ≤ |m + n| ≤ |m| + |n| Nên 12 - |(a – 1) - 2b + 2(c – 2)| ≤ T ≤ 12 + |(a – 1) - 2b + 2(c – 2)| Theo bất đẳng thức Bunyakovsky : |(a – 1) - 2b + 2(c – 2)| ≤ 12  (2)2  22 (a  1)  b  (c  2)2 Hay |(a – 1) - 2b + 2(c – 2)| ≤ suy 3≤ T ≤ 21  ≤ d (J, (P)) ≤  Giá trị lớn d(J, (P)) 7, đạt : (a  1)  b  (c  2)  a    a 1 b c      b  2  M (2; 2; 4)  2   c  12(a  1)  2b  2(c  2)   Giá trị nhỏ d(J, (P)) 1, đạt : (a  1)2  b  (c  2)  a    a 1 b c      b   N (0; 2; 0)   2   c  12(a  1)  2b  2(c  2)  Vậy điểm cần tìm M (2; -2; 4), N (0; 2; 0) 53 CHƯƠNG III: BÀI TẬP ỨNG DỤNG Bài 1: Cho mặt phẳng (P): 2x - 2y + z – = điểm A (0; -1; -2), B (2; 5; 0) Tìm điểm M thuộc (P) cho:   a) MA  MB đạt giá trị nhỏ nhất?   b) MA  2MB đạt giá trị nhỏ nhất? c) MA2 – 2MB2 đạt giá trị lớn nhất? d) 2MA2 + 3MB2 đạt giá trị nhỏ nhất? Bài 2: Cho mặt phẳng (P): x – y + z – = điểm A(1; 2; -1), B(2; 1; -2), C(1; ; -1) Tìm điểm M thuộc (P) cho:    a) MA  MB  MC đạt giá trị nhỏ nhất?    b) MA  3MB  2MC đạt giá trị nhỏ nhất? c) MA2 – MB2 + MC2 đạt giá trị nhỏ nhất? d) MA2 + MB2 - 3MC2 đạt giá trị lớn nhất? Bài 3: Cho mặt phẳng (P) x – 2y + 2z + = điểm A(1; -1; 0), B(-3; 2; -1), C(0; 2; 3) Tìm điểm M thuộc (P) cho: a) MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất? b) MA + MC đạt giá trị nhỏ nhất? c) MA  MC đạt giá trị lớn nhất? 54 d) MA  MB đạt giá trị lớn nhất? Bài 4: Cho đường thẳng d: x 1 y  z   điểm A(1; 4; 2), 1 B(-1; 2; 4) Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và: a) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) lớn nhất? b) Góc mặt phẳng (P) mặt phẳng (x0y) nhỏ nhất? c) Góc mặt phẳng (P) trục 0y lớn nhất? Bài 5: Cho điểm A(2; 3; 0), B(0; -1; 2), C(-2; 1; 4) đường thẳng d: x 1 y  z  Tìm điểm M thuộc đường thẳng d cho:   1   a) MA  MB đạt giá trị nhỏ nhất?    b) MA  MB  MC đạt giá trị nhỏ nhất? c) MA2 + MB2 + MC2 đạt giá trị nhỏ nhất? d) MA2 - 2MB2 đạt giá trị lớn nhất? e) Diện tích tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất? Bài 6: Cho đường thẳng d: x7 y 3 z 9 điểm A(3; 1; 1),   2 B(1; 5; -1), C(4; 3; 4) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d cho: a) MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất? b) MA + MC đạt giá trị nhỏ nhất? c) MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất? 55 Bài 7: Cho điểm A(1; -1; 2), mặt phẳng (P): x + y + z – = đường thẳng d: x 1 y z  Lập phương trình đường thẳng d’ qua A   3 a) d’ // (P) khoảng cách d d’ lớn nhất? b) d’ // (P) góc d d’ lớn nhất, bé nhất? Bài 8: Lập phương trình đường thẳng  qua điểm A(3; -2; 1) cắt đường thẳng d: x 1 y  z 1 cho:   1 a) Khoảng cách từ B(2; 1; -1) đến  lớn nhất?  x   2t b) Khoảng cách  ’:  y   t ,  t    lớn nhất?  z  1  2t  c) Góc  mặt phẳng (P): 5x +2y -3z + = lớn nhất?  x   2t Bài 9: Cho đường thẳng m:  y  (1  m)t ,  t    , m tham số Tìm giá  z  2  mt  trị m cho: a) khoảng cách từ gốc tọa độ đến m lớn nhất, nhỏ nhất? b) m tạo với mặt phẳng (x0y) góc lớn nhất? c) Khoảng cách m trục 0y lớn nhất? Bài 10: Cho mặt cấu (S): x2 + y2 + z2 - 2x + 4y + 2z - = mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 14 = 56 a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục 0x cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính 3? b) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn nhất? 1 Bài 11: Lập phương trình mặt phẳng qua điểm M  ; ;  cắt 3 3 tia 0x, 0y, 0z điểm A, B, C cho: a) OA + OB + OC nhỏ nhất? b) 1 nhỏ nhất?  OA2 OB OC c) Diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất? Bài 12: Cho đường thẳng d: x  y 1 z  hai điểm A(1; 1; 0),   1 B(3; -1; 4) Tìm điểm M thuộc dường thẳng d cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất? (Đại học Quân y – 1996) Bài 13: Cho mặt phẳng (P): x + y + z – = hai điểm A(1 ; -3 ; 0), B(5 ; -1 ; -2) a) Chứng minh đường thẳng qua A, B cắt mặt phẳng (P) điểm I Tìm tọa độ điểm I? b) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) cho |MA – MB| đạt giá trị lớn nhất? (Đại học Quốc gia – 2000) 57 Bài 14: Cho hai điểm A(-1; 3; -2), B(-9; 4; 9) mặt phẳng (P) có phương trình (P): 2x – y + z +1 = Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) cho: MA + MB nhỏ nhất? (Học viện Kĩ thuật quân - 1994) Bài 15 : Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz, cho hai điểm A(2 ; -1 ; 1), B(-2 ; ; 7) đường thẳng  có phương trình: x 1 y  z   Tìm 1 điểm M thuộc  cho MA2 + MB2 đạt giá trị nhỏ ? (Đại học, Cao đẳng – 2007) 58 KẾT LUẬN Trên toàn nội dung nghiên cứu khoa học em Trong nghiên cứu này, em trình bày hiểu biết phương pháp để giải toán cực trị hình học không gian Qua việc thực đề tài nghiên cứu này, em mở rộng tầm hiểu biết toán cực trị không gian làm quen với việc nghiên cứu khoa học Đồng thời, em mong đem lại cho bạn đọc nhìn mẻ toán cực trị hình học không gian Mặc dù có nhiều cố gắng song thời gian có hạn nên trình viết trình in ấn, khóa luận em không tránh khỏi thiếu xót Em kính mong thầy cô bạn sinh viên đóng góp ý kiến giúp em hoàn thiện khóa luận Em xin trân trọng cảm ơn thầy giáo, cô giáo khoa Toán, trường đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy Nguyễn Văn Vạn giúp đỡ tạo điều kiện để em hoàn thành tốt khóa luận 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Nguyễn Văn Dũng, Nguyễn Tất Thu (2010), 18 chủ đề hình học 12, Nxb Đại học Quốc gia, Hà Nội 2) Đỗ Thanh Sơn (2009), Phương pháp giải toán hình học 12 theo chủ đề, Nxb Giáo dục Việt Nam, Hà Nội 3) Trần Văn Tấn (2010), Bài tập nâng cao số chuyên đề hình học 12, Nxb Giáo dục Việt Nam, Hà Nội 4) Nguyễn Tất Thu, Nguyễn Văn Dũng (2010), Hướng dẫn giải nhanh tập toán hình học, Nxb Đại học Quốc gia, Hà Nội 5) Trần Vui, Lê Quang Hùng, Nguyễn Hoàng Đình Nhân (2009), Khám phá hình học 12 với the Geometer’s Sketchpad, Nxb Giáo dục Việt Nam, Hà Nội 60 [...]... miền giá trị của hàm số - Với bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D Ta gọi y0 là một giá trị bất kì của hàm số y = f(x) trên miền đã cho Khi đó phương trình y = f(x) có nghiệm trong D - Từ điều kiện có nghiệm suy ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của f(x) 1.3.4 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức - Bất đẳng thức Cauchy Cho các số không âm a1 , a2 , , an , ta có: a1  a2   an... thiết lập hệ ba phương trình ba ẩn 15 1.3 Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức 1.3.1 Định nghĩa Cho biểu thức f(x) xác định trên D - Ta nói M (không đổi) là giá trị lớn nhất của f(x) trên D nếu hai điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn:  f(x) ≤ M,  x  D   x0  D: f(x0) = M - Ta nói m (không đổi) là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D nếu hai điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn:... 2    n  MG 2  1GA12   2GA22    nGAn2 Vì 1GA12   2GA22    nGAn2 không đổi nên  Với 1   2    n  0 thì T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất  Với 1   2    n  0 thì T đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất 23 Do M thuộc mặt phẳng (P) hoặc đường thẳng d nên MG nhỏ nhất khi M là hình chiếu của G trên mặt phẳng (P) hoặc đường thẳng d  Cách 2 : Sử... +) Bán kính của đường tròn (C) là r  R 2  IJ 2  R 2  d 2 ( I , ( P)) 1.2.4 Cực trị trong không gian Bài toán cực trị trong hình học không gian thường được phát biểu dưới dạng yêu cầu xác định tọa độ của điểm, phương trình của một đường hay một mặt để một biểu thức hình học nào đó đạt giái trị lớn nhất hay nhỏ nhất Khi gặp bài toán này, ta thường sử dụng hai phương pháp sau:  Cách 1: Sử dụng các... w  0 7 1.2 Các dạng toán thường gặp trong không gian 0xyz 1.2.1 Viết phương trình của mặt phẳng Bài toán viết phương trình của mặt phẳng là bài toán cơ bản nhất trong hình học không gian Sau đây là một số kiến thức cần nhớ để giải quyết bài toán này   - Vectơ n  0 gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng   nếu giá  của n vuông góc với mặt phẳng - Trong không gian 0xyz, cho mặt phẳng   đi qua... : Trong không gian 0xyz cho điểm A, mặt phẳng (Q), đường thẳng d, d’ Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d sao cho :  Khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất ?  Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) nhỏ nhất ?  Góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d’ lớn nhất ? 30  Phương pháp:  Cách 1 : Sử dụng tính chất hình học  Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn. .. thể giải bài toán bằng cách sử dụng thuần túy tọa độ đưa bài toán về việc khảo sát giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm bậc 2 theo các bước sau: Bước 1: Vì M thuộc d nên M(x0 + at; y0 + bt; z0 + ct) Bước 2: Tính T, ta được một biểu thức phụ thuộc vào t Bước 3: Sử dụng phương pháp đại số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của tam thức bậc hai ẩn t  Ví dụ: Cho các điểm A (1; 0; -1), B (0; 2; 3), C (-1; 1;... MB  AB vần đúng nhưng không có dấu đẳng thức B A M0 P M A’ - Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (P) Ta có: MA + MB = MA’ + MB ≥ A’B = M0A’ + M0B Suy ra MA + MB nhỏ nhất bằng A’B khi M  M0 Vậy hai điểm A, B nằm cùng phía so với mặt phẳng (P) thì MA + MB nhỏ nhất khi M = A’B  (P)  MA  MB lớn nhất Ta có: MA  MB  AB , dấu đẳng thức có khi M, A, B thẳng hàng và điểm M không thuộc đoạn AB 27... MA ' MB  A ' B  M 0 A ' M 0 B Suy ra MA  MB lớn nhất bằng A’B khi M  M0 Vậy khi hai điểm A, B nằm khác phía so với mặt phẳng (P) thì MA  MB lớn nhất bằng A’B khi M = A’B  (P)  Ví dụ: Cho các điểm A(1; -1; 2), B(-2; 1; 0) và mặt phẳng (P) : 2x – y –z + 3 = 0 Tìm điểm M thuộc (P) sao cho: a, MA + MB có giá trị nhỏ nhất? b, MA  MB có giá trị lớn nhất? Lời giải Đặt f = 2x – y – z + 3 Ta có f(A)... Vậy M ( ; nhất 2.2 Bài toán 2  Bài toán: Trong không gian 0xyz, cho các điểm A1 , A2 , , An Xét biểu thức 22 T  1MA12   2 MA22    n MAn2 Trong đó 1 ,  2 , ,  n là các số thực cho trước thỏa mãn: 1   2    n  0 Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) hoặc đường thẳng d sao cho:  T đạt giá trị nhỏ nhất biết 1   2    n  0  T đạt giá trị lớn nhất biết 1   2    n  0  Phương ... thỏa mãn :  d qua A cách điểm B khoảng nhỏ nhất, lớn nhất?  d qua A khoảng cách d d’ lớn (d’ không qua điểm A)?  d qua A tạo với d’ góc nhỏ nhất, lớn nhất?  Phương pháp:  Cách : Sử dụng tính... trị lớn nhất, nhỏ biểu thức  Ví dụ: Trong không gian, cho mặt phẳng (P): x + 2y – z – = điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; -3) Lập phương trình đường thẳng d nằm (P), qua A cách B khoảng lớn nhất, nhỏ nhất? ... quen thuộc Chính lí trên, định sâu vào nghiên cứu đề tài Vấn đề lớn nhất, nhỏ không gian 0xyz” nhằm mở cách nhìn nhận toán cực trị hình học không gian Đồng thời mong muốn rằng, thông qua việc nghiên