Các điểm đặc biệt trên đồ thị của hàm số

Lí do chọn đề tài Trong chương trình toán phổ thông các điểm đặc biệt trên đồ thị hàm số các điểm cực trị, điểm uốn, điểm cố định của họ đồ thị, điểm không đi qua của họ đồ thị,… là phần

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong chương trình toán phổ thông các điểm đặc biệt trên đồ thị hàm số (các điểm cực trị, điểm uốn, điểm cố định của họ đồ thị, điểm không đi qua của họ đồ thị,…) là phần hấp dẫn, lôi cuốn tất cả những người học toán và làm toán Các bài tập này rất phong phú và đa dạng.Vì vậy các bài toán liên quan đến các điểm đặc biệt của hàm số thường xuyên có mặt trong các kì thi phổ thông trung học cũng như trong các kì thi học sinh giỏi và các đề thi đại học cao đẳng

Để giải quyết nó đòi hỏi người học toán và làm toán phải linh hoạt

và vận dụng một cách hợp lý trong từng bài toán Tuy nhiên đứng trước một bài toán về các điểm đặc biệt trên đồ thị hàm số thì mỗi người đều phải có hướng xuất phát riêng của mình Nói như vậy có nghĩa là có rất nhiều phương pháp để đi đến kết quả cuối cùng của bài toán Điều quan trọng là ta phải lựa chọn phương pháp nào cho lời giải tối ưu nhất.Thật là khó nhưng cùng thú vị nếu ta tìm được đường lối đúng đắn để giải quyết

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Trình bày cơ sở lí thuyết

- Nghiên cứu các loại điểm đặc biệt trên đồ thị của hàm số

- Xây dựng hệ thống bài tập minh họa

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

 Đối tượng nghiên cứu

- Các điểm đặc biệt trên đồ thị của hàm số

 Phạm vi nghiên cứu

- Chương trình toán phổ thông

- Các vấn đề về các điểm đặc biệt trên đồ thị của hàm số

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu

- So sánh, phân tích, tổng hợp

- Phương pháp đánh giá

6 Cấu trúc khóa luận

Ngoài lời cám ơn, mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo khóa luận của em gồm 3 chương :

Chương 1 : Các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số

Chương 2 : Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị

Chương 3 : Một số điểm đặc biệt khác

Do trình độ và kinh nghiệm còn hạn chế nên bài luận văn này còn nhiều hạn chế, không tránh khỏi những sai sót.Em rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo trong khoa toán và các bạn sinh viên

Chú ý: Điều ngược lại nói chung là không đúng Có hàm số có đạo

hàm f' x = 0 tại xo nhưng không đạt cực trị tại xo (VD y = x3), có hàm

số đạt cực trị tại xo nhưng không có đạo hàm tại xo ( VD y = |x|)

Cho hàm số y = f x có đạo hàm cấp 1 và cấp 2 tại x  0

và f ' x0  , f(x) xác định tại lân cận x0 0

Nếu f '' x > 0 thì hàm số y =f(x) đạt cực tiểu tại x0

Nếu f '' x < 0 thì hàm số y= f(x) đạt cực đại tại x0

Bước 3: Lập bảng biến thiên rồi đưa ra kết luận

33

Theo định nghĩa ta có các cực trị của hàm số là:

33

Bước 1: Thực hiện phép chia f (x) cho f (x) ta có:

   lim

  

Bảng biến thiên

x - -1 3 +

y’ + 0 - 0 +

y 10 +

- -22

Vậy, ta được:  Hàm số đồng biến trong các khoảng (–; –1) và (3, +)  Hàm số nghịch biến trong khoảng (–1, 3)  Hàm số đạt cực đại tại x = –1 và giá trị cực đại yCĐ = 10  Hàm số đạt cực tiểu tại x= 3 và giá trị cực tiểu yCT = – 22 1.4.1.2 Tìm điều kiện để hàm số có cực trị a) Phương pháp chung: Ta có: + Tập xác định: D  + Đạo hàm: y'3ax22bxc y, '03ax2 2bx c 0 (1)

i Hàm số không có cực trị: ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu a = 0 thì ' 2y  bx c Điều kiện là 'y không đổi dấu  b = 0 &c = 0 Trường hợp 2: Nếu a  0 thì điều kiện là y’ không đổi dấu    ' 0 ii Hàm số có cực trị: Ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu a = 0 thì (1)2bx c  0

Điều kiện là : b  0

Trường hợp 2: Nếu a  0 thì:

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 0

 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 0

iv Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thỏa mãn điều kiện

K Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Hàm số có cực đại, cực tiểu

 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 0

Bước 2: Kiểm tra điều kiện K

v Hàm số có cực đại,cực tiểu trong khoảng I

 phương trình (1) có hai nghiệm trong khoảng I

vi Hàm số có cực đại trong khoảng I Ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1 Nếu a = 0 thì: (1)2bx c  (2) 0

Điều kiện là phương trình (2) có nghiện duy nhất thuộc I và qua

đó y’ đổi dấu từ dương sang âm

02

b c I b

Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Hàm số có cực đại

 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 0

Bước 2: Tùy theo a ta lập bảng biến thiên của hàm số

Từ bảng biên thiên suy ra hoành độ điểm cực đại: xCĐ

Bước 3: Hàm số có cực đại trong khoảng I  xCĐ  I

Tương tự cho trường hợp cực tiểu

vii Hàm số có cực đại, cực tiểu và xCĐ < xCT

 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và a > 0 0

 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và a < 0 0

Đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có phương trình là: y  r(x)

Đối với hàm số tổng quát :

0

yax bx cxd aThì đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có phương trình:

cos 3sin 16 1 cos 2

9 8cos 6sin cos

a) Phương pháp tìm đường thẳng đi qua hai cực trị của hàm

Đó chính là hoành độ điểm cực đại và cực tiểu

Để xác định phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số, ta thực hiện theo các cách sau:

 Thực hiện phép chia đa thức y cho y’ ta được:

Giải

y  x  m x mHàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi

 2  2 

y  m x m  m

- Sử dụng điều kiện song song để tìm m

- Đáp án: nếu a < 0 thì m    ; nếu a  0 thì không tồn tại m 3 a

- Cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng (d): y  4x thì ()  (d)

- Từ đó suy ra điều kiện của m

Khi đó (1) có hai nghiện phân biệt x1, x2 thỏa mãn :

1 2

1 2

233

b

a c

    9 3m2  0 m  3 Thực hiện phép chia f (x) cho f (x)

05

Bước 1: Thực hiện phép chia f (x) cho f (x) ta có:

ii Hàm số có cực đại, cực tiểu (hoặc hàm số có ba điểm cực trị)

 Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt

Lựa chọn một trong hai cách:

Cách 1 Nếu (1)  (x x g x 0) ( ) thì điều kiện là g(x) = 0 có hai 0nghiệm phân biệt khác x0

0

0( ) 0

 Đồ thị hàm số 3 2

y ax  bx  cx d cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

K Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Hàm số có cực đại, cực tiểu

 phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt

Khi đó (1) có 3 nghiệm x1, x2, x3 thỏa mãn hệ thức viet

Bước 2: Kiểm tra điều kiện K

iv Hàm số có cực đại,cực tiểu trong khoảng I

 phương trình (1) có ba nghiệm trong khoảng I

v Hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu

 phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt và a > 0

vi Hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu

 phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt và a < 0

vii Hàm số chỉ có một cực trị

Nếu (1) (x x g x 0) ( ) thì điều kiện là: 0

0

( ) 0( ) 0( ) 0

Bước 1: Biến đổi phương trình (1) về dạng: (x-x0).g(x) = 0

Bước 2: Hàm số chỉ có cực đại và không có cực tiểu

0

000( ) 0

Xét các khả năng sau đây:

Nhìn bảng biến thiên suy ra:

Hàm số y  f (x) chỉ có cực tiểu mà không có cực đại

Nhìn bảng biến thiên suy ra:

Hàm số y  f (x) có cực đại nên không thoả mãn yêu cầu bài toán

Khi đó (1) có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3 thỏa mãn hệ thức viet :

1 2 2 3 3 1

1 2 3

34244

b

a c

x x x x x x

a d

' ( ) ( )

y y g x h x

Do đó y y x( )1 h x( ),1 y y x( )2 h x( ) &2 yy x( )3 h x( )3

Vậy tọa độ các điểm cực trị là A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)

Bước 4 : Kiểm tra điều kiện K

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0

b) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ O

Giải

a) Bạn đọc tự giải

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -1

b) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân

Ta thấy AB = AC nên tam giác ABC cân tại A

Do đó tam giác ABC vuông cân khi và chỉ khi ABC vuông cân tại A, hay

2(t 1)(t t 2) 0

có 2 nghiệm phân biệt  ACd > 0

Bước 3 Xét dấu 'y và xác định cụ thể tọa độ điểm CĐ CT theo m:

u x y

Bước 4 Trả lời các câu hỏi cụ thể

i Hàm số không có cực trị: ta xét hai trường hợp:

Điều kiện là 'y không đổi dấu  B = 0 & C  0

Trường hợp 2: Nếu A  0 thì điều kiện là 'y không đổi dấu    g 0

ii Hàm số có cực trị: Ta xét hai trường hợp:

 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác e

d



A

e g

iv Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thỏa mãn điều kiện

K Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Hàm số có cực đại, cực tiểu

 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác e

d



000

A

e g

v Hàm số có cực đại,cực tiểu trong khoảng I

 phương trình (1) có hai nghiệm khác e

Bước 2: Tùy theo A ta lập bảng biến thiên của hàm số

Từ bảng biên thiên suy ra hoành độ điểm cực đại: xCĐ

Bước 3: Hàm số có cực đại trong khoảng I  xCĐ  I

Tương tự cho trường hợp cực tiểu

vii Hàm số có cực đại, cực tiểu và xCĐ < xCT

phương trình(1)có hai nghiệm phân biệt e

d

 và A> 0

000

A

e g

viii Hàm số có cực đại, cực tiểu và xCĐ > xCT

phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt e

d

 và A<0

000

A

e g

ix Hàm số đại cực tiểu tai x0  

Cho hàm số:

2

21

2

2 2

Trường hợp 1 Nếu m = 0 khi đó: 'y  2 , 'x y 0x0

Vì qua x = 0 y đổi dấu, do đó m = 0 thỏa mãn '

Trường hợp 2 Nếu m  0, điều kiện là phương trình (1) có hai

ii Hàm số có cực đại, cực tiểu

 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1

1

00

m m

m m

f

m m

    thỏamãn điều kiện () c) Bài tập tương tự

Ta có

1,2 1

 Viết phương trình đường thẳng đi

qua cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số

a) Phương pháp chung:

Bước 1 Tìm miền xác định của hàm số

Bước 2 Tình đạo hàm y , thiết lập phương trình ' y  , giả sử ' 0

  0

f x  (1)

Bước 3 Hàm số có cực đại, cực tiểu

 (1) có hai nghiệm phân biệt khác e

d



00

ad

e f d

 Gọi (x0, y0) là tọa độ cực đại hoặc cực tiểu của đồ thị thì 0

 Thấy ngay tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu cùng thỏa mãn:

2ax b y

d



b) Ví dụ

Khi đó (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Ta có lập luận:

 Gọi (x0, y0) là tọa độ cực đại hoặc cực tiểu của đồ thị thì 0

 Tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu cùng thỏa mãn:y2x2m

Vậy đường thẳng qua cực đâị, cực tiểu của đồ thị có dạng:

y x m

CHƯƠNG 2 TÍNH LỒI, LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ.

2.1 Tính lồi lõm của đồ thị

Định nghĩa: Gọi (C) là đồ thị hàm số y = f x trong khoảng (a, b) ' 

và f có đạo hàm trong khoảng ấy

- Nếu tại mỗi điểm của (C), tiếp tuyến luôn ở phía trên (C), ta nói (C) là đồ thị lồi

- Nếu tại mỗi điểm của (C), tiếp tuyến luôn ở phía dưới (C), ta nói (C) là đồ thị lõm

Định lí 1 Giả sử hàm số y= f x có đạo hàm cấp hai trong khoảng  

(a, b),có đồ thị là (C)

a Nếu f'' x  với mọi x  (a, b) thì (C) là đồ thị lồi 0

b Nếu f '' x  với mọi x  (a, b) thì (C) là đồ thị lõm 0

2.2 Điểm uốn

Định nghĩa: Gọi (C) là đồ thị hàm số y = f x có phần lồi và phần  

lõm Điểm Ux0; f x  ngăn cách giữa phần lồi và phần lõm của (C)  0được gọi là điểm uốn của đồ thị (C)

Định lí 2: Gỉa sử hàm số y =f x có đạo hàm cấp hai trong khoảng  

(a, b), có đồ thị là (C) và điểm uốn x0  (a, b).Nếu đạo hàm cấp hai đổi dấu khi x qua x0 thì điểm Ux0; f x  là điểm uốn của (C)  0

Nhận xét

a Tại điểm uốn, tiếp tuyến của đồ thị phải xuyên qua đồ thị

b Điểm x0 không nhất thiết phải là nghiệm của phương trình y = 0 ''

2.2.1 Tính lồi, lõm, điểm uốn của đồ thị hàm số

2.2.1.1 Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị

Bài toán 1: Tìm điểm uốn và xét tính lồi lõm của đồ thị hàm số

y = f(x)

a) Phương pháp chung:

Cho hàm số y =f x Để tìm khoảng lồi, lõm của   f x trong miền  

xác định và điểm uốn của đồ thị ta thực hiện theo quy trình sau :

1) Tìm miền xác định D của f(x)

2) Tính f”(x) và xét dấu f ' x trên từng khoảng

- Nếu f' x > 0 , x(a,b) thì (a,b) là khoảng lõm của f

- Nếu f ' x < 0 , x(a,b) thì (a,b) là khoảng lồi của f

- Nếu f' x đổi dấu khi x tăng qua x0 thì (x0,f(x0)) là điểm uốn của đồ thị hàm số f x (nếu hs không có đạo hàm f” tại x  0 ).Hoặc

 

''

f x =0 thì (x0,f(x0)) là điểm uốn của hs f x (trường hợp hàm số có  

đạo hàm tại f” tại x 0 )

b) Ví dụ

1 Tìm các khoảng lồi, lõm, điểm uốn của đồ thị hàm số

y = 3

x Giải : Tập xác định D 

Ta có : y' f ' x =

2 3

1

3 x

; y” = f”(x) =

2 3

y f x = 4(sin cos )(cos 4 sin ) 4(cos sin )3

Bài toán 2: Chứng minh đồ thị hàm số y = f(x) có ba điểm uốn

và ba điểm uôn đó nằm trên một đường thẳng

a) Phương pháp chung

Chúng ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm miền xác định của D

Bước 2: Tính đạo hàm ', ''y y , thiết lập phương trình ' y = 0 (1)

Bước 3: Xét hai khả năng:

Khả năng 1 tìm được ba nghiệm phân biệt của (1) thuộc D Khi đó:

 Lập bảng xét dấu y’’, từ đó đưa ra tọa đọ ba điểm uốn U1; U2; U3

 Chứng minh phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt

Cách 1: Tìm các điểm a, b, c, d (a< b < c < d) sao cho:

Vậy đồ thị hàm số có ba điểm uốn

 Ba điểm uốn U1, U2, U3 có tọa độ thỏa mãn hệ:

( )'' 0

y f x y

Từ hệ (I) suy ra phương trình hệ quả: Ax +By + C = 0

Nhận xét rằng: Tọa độ ba điểm uốn nghiệm đúng phương trình đường thẳng Ax + By + C = 0, nên ba điểm uốn thẳng hàng

b) Ví dụ

1 Chứng minh đồ thị hàm số 2

1

x y x



 có ba điểm uốn và ba điểm uốn đó nằm trên một đường thẳng

Giải Tập xác định D 



  có ba điểm uốn và ba điểm uốn đó nằm trên một đường thẳng

Chú ý:

 Các phép biến đổi trên, thực chất được biên đổi như sau:

- Lây VT của (2) chia cho mẫu số của (3), ta được:

x x  x  x   x x x  x

- Thay (4) vào (3) ta được : x3y 0

 Phương pháp trên cũng được mở rộng để tìm đường cong đi qua các điểm uốn cua đồ thị

3 Chứng minh rằng các điểm uốn của đồ thị hàm số yx.cosx

nằm trên đường cong (C) có phương trình: 2 2 2

y

x x





  có ba điểm uốn thẳng hàng

Viết phương trình đường thẳng đi qua ba điểm uốn

y x Kiểm tra B  (D) và kết luận

2 Chứng minh rằng các điểm uốn của đồ thị hàm số yx.sinxnằm trên đường cong (C) có phương trình: 2 2 2

Gợi ý: Tương tự ví dụ 3

Tính cosx và sinx Sau đó kiểm tra sin2xcos2x 1

2.2.2 Tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số chứa tham số

Bài toán : Cho hàm số y = f(x,m) Tìm điều kiện để hàm số có điểm uốn

a) Phương pháp chung

Ta có:

 Tìm miền xác định D

 Tính đạo hàm '; ''y y rồi thiết lập phương trình '' y = 0 (1)

i Hàm số có điểm uốn  tồn tại điểm x0  D sao cho:

y không tồn tại và qua đó ''y đổi dấu

ii Hàm số có k điểm uốn  tồn tại k diểm thuộc D sao cho:

và qua đó ''y đổi dấu

iii Hàm số có điểm uốn với tọa độ thỏa mãn điều kiện K Ta thực hiện các bước:

Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có điểm uốn

Bước 2: Xác định tọa độ điểm uốn

Trường hợp 1: Nếu m = 0, khi đó: ''y e x  ,0 x, nên đồ thị hàm

số không số có điểm uốn

Trường hợp 2: Nếu m > 0 ,ta nhận xét:

Phương trình (1) có nghiệm và qua đó y’’ đổi dấu  g CT  0

c) Bài tập tương tự

1 Tìm m để (C): m_tham số

3 2

Chia hai vế của bất phương trình (1) cho 23 x 4

Đặt t 3x x4 đưa bất phương trình về dạng 2 8t  t  9 0

Đáp án: m > 6

CHƯƠNG 3 MỘT SỐ ĐIỂM ĐẶC BIỆT KHÁC

ĐỐI VỚI HỌ ĐỒ THỊ CHO TRƯỚC

3.1 Số đồ thị đi qua một điểm

Cho họ (Cm) có phương trình y = f(x, m) trong đó tham số m  Điểm M(x0, y0) cho trước trên (Cm) khi và chỉ khi: y0 = f(x0, m) (1) Xem phương trình (1) là phương trình theo ẩn số m thì nghiệm của (1) chính bằng số đồ thị của họ (Cm) đi qua M Cụ thể:

- Phương trình (1) vô nghiệm (theo m) thì không có đường nào của họ (Cm) đi qua M.( Điểm mà không có đồ thị nào của họ đi qua)

- Phương trình (1) có k nghiệm thì có k đường cong trong họ (Cm)

đi qua M (Điểm mà chỉ có một số đồ thị của họ đã cho đi qua)

- Phương trình (1) nghiệm đúng với mọi m  , thì mọi đồ thị của

họ (Cm) đi qua M Khi đó M gọi là điểm cố định của họ đồ thị (C m )

3.1.1 Điểm cố định của đồ thị:

a) Phương pháp:

- Phương pháp 1:

Giả sử A(x0,y0) là điểm cố định của đồ thị Chuyển phương trình

y0 = f(m, x0) đã cho về phương trình y0 – f(m,x0) = 0 với ẩn là m Sau đó nhóm các thành phần ứng với cùng bậc n của m, tìm điều kiện để phương trình với ẩn là m luôn nghiệm đúng với mọi m

- Phương pháp 2:

- Gọi A(x0,y0) là điểm cố định của đồ thị Khi đó y0 = f(m,x0)

Xem vế phải của đẳng thức là hàm số đối với m : F(m) = f(x,m0) thì F(m) = y0 (m) Tức F(m) là hằng số đối với m Từ đây suy ra

F’(m) = 0 (m)