Các điểm đặc biệt trên đồ thị của hàm số

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong chương trình tốn phổ thơng điểm đặc biệt đồ thị hàm số (các điểm cực trị, điểm uốn, điểm cố định họ đồ thị, điểm không qua họ đồ thị,…) phần hấp dẫn, lôi tất người học toán làm toán Các tập phong phú đa dạng.Vì toán liên quan đến điểm đặc biệt hàm số thường xun có mặt kì thi phổ thơng trung học kì thi học sinh giỏi đề thi đại học cao đẳng Để giải đòi hỏi người học tốn làm toán phải linh hoạt vận dụng cách hợp lý toán Tuy nhiên đứng trước toán điểm đặc biệt đồ thị hàm số người phải có hướng xuất phát riêng Nói có nghĩa có nhiều phương pháp để đến kết cuối toán Điều quan trọng ta phải lựa chọn phương pháp cho lời giải tối ưu nhất.Thật khó thú vị ta tìm đường lối đắn để giải Với lý trên, đam mê thân với hướng dẫn nhiệt tình thầy thạc sĩ Phạm Lương Bằng, em mạnh dạn thực khóa luận với tựa đề: “ Các điểm đặc biệt đồ thị hàm số” Mục đích nghiên cứu Nhận dạng thể việc quan trọng trình rèn luyện khả làm tốn người Lời giải toán tốt ta xác định đối tượng Đinh Thị Quế Lớp K35C Tốn Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày sở lí thuyết - Nghiên cứu loại điểm đặc biệt đồ thị hàm số - Xây dựng hệ thống tập minh họa Đối tượng phạm vi nghiên cứu  Đối tượng nghiên cứu - Các điểm đặc biệt đồ thị hàm số  Phạm vi nghiên cứu - Chương trình tốn phổ thơng - Các vấn đề điểm đặc biệt đồ thị hàm số Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tài liệu - So sánh, phân tích, tổng hợp - Phương pháp đánh giá Cấu trúc khóa luận Ngồi lời cám ơn, mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo khóa luận em gồm chương : Chương : Các điểm cực đại, cực tiểu hàm số Chương : Tính lồi, lõm điểm uốn đồ thị Chương : Một số điểm đặc biệt khác Do trình độ kinh nghiệm hạn chế nên luận văn nhiều hạn chế, khơng tránh khỏi sai sót.Em mong đóng góp ý kiến thầy giáo khoa toán bạn sinh viên NỘI DUNG CHƯƠNG I CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1.1 Điều kiện cần để hàm số có cực trị : Định lý Fecmat: Giả thiết hàm số y = f(x) liên tục (a,b) x0 (a,b) Nếu hàm số y= f(x) có đạo hàm x0 đạt cực trị điểm f’(x0) = Chú ý: Điều ngược lại nói chung khơng Có hàm số có đạo hàm f ' x   = xo không đạt cực trị xo (VD y = x3), có hàm số đạt cực trị xo khơng có đạo hàm xo ( VD y = |x|) Ví dụ: y = x có tập xác định D  □ y '= 3x => y ' = x = x > : f(x) > f(0) x < : f(x) < f(0) => f khơng có cực trị x = 1.2 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị : - Dấu hiệu 1: Cho hàm số y = f x có đạo hàm lân cận điểm x (có thể   khơng có đạo hàm x0) Nếu f ' x  đổi dấu từ + sang – x tăng qua x0 hàm số đạt cực đại x0 Nếu f ' x đổi dấu từ – sang + x tăng qua x0 hàm số đạt cực tiểu x0 - Dấu hiệu : Cho hàm số y = f  x có đạo hàm cấp cấp x0 f ' x0   , f(x) xác định lân cận x0 Nếu f '' x  > hàm số y =f(x) đạt cực tiểu x0 Nếu f '' x  < hàm số y= f(x) đạt cực đại x0 1.3 Qui tắc tìm cực trị 1) Qui tắc Bước Tính f ' x  Bước Tìm điểm tới hạn hàm số (nghiệm điểm f ' x f ' x không xác định) Bước Xét dấu f ' x kết luận cực trị hàm số (nếu có) 2) Qui tắc Bước Tính f ' x  Bước Giải phương trình f ' x  = 0, tìm nghiệm xi (i = 1, 2, .) điểm x0 TXĐ mà y' không xác định Bước Tính f ' xi  , xác định dấu kết luận cực trị hàm số VD Tìm cực trị hàm số : y = x - 2x Chú ý: Phân tích tính khả dụng qui tắc 1.4 Cực trị hàm số thường gặp y y y  ax4  bx2  c O x O x y  ax3  bx2  cx  d y O x y ax  bx  c dx  e 1.4.1 Cực trị hàm đa thức bậc 1.4.1.1 Tìm cực trị hàm số đa thức bậc ba a) Phương pháp chung Hàm đa thức bậc ba : y  f  x   ax  bx  cx  d Bước 1: Tập xác định D  □ Bước 2: Tính đạo hàm y ' y  f   x  3ax  2bx  c , giải phương trình y ' = Bước 3: Lập bảng biến thiên đưa kết luận a>0 a 0, x,x với x1,2  b  b  3ac 3a f   x  có nghiệm phân biệt hàm số đạt cực trị x1, x2 Theo định nghĩa ta có cực trị hàm số là:  b  b  3ac  ; y  f  x1   f  3a   y  fx f  b  b  3ac  3a Trong trường hợp x1, x2 số vơ tỉ cực trị f (x1), f (x2) 2 tính theo định nghĩa phức tạp so với cách tính theo thuật toán sau đây: Bước 1: Thực phép chia f (x) cho f (x) ta có: f  x   x  b      b    f x  c  x  d  bc   9a  3a 9a  hay   f  x  f   x q x  r  x Bước 2:  1   với bậc r  x 1  f   x  0       y  f x r x  c b  x  d  bc 9a 3a   x 0 nên y  f  x  r x   c b2 x  d  bc f    2 3a      b) Ví dụ Tìm khoảng tăng giảm cực trị hàm số y  x  3x  9x  Giải: Tập xác định D  □ Đạo hàm: 9a 2 y '  3x  6x   y '   3x  6x    lim y   x  x  1   x3 lim y   x Bảng biến thiên x - -1 y’ + y - + + 10 - + -22 Vậy, ta được: ● Hàm số đồng biến khoảng (–; –1) (3, +) ● Hàm số nghịch biến khoảng (–1, 3) ● Hàm số đạt cực đại x = –1 giá trị cực đại yCĐ = 10 ● Hàm số đạt cực tiểu x= giá trị cực tiểu yCT = – 22 1.4.1.2 Tìm điều kiện để hàm số có cực trị a) Phương pháp chung: Ta có: + Tập xác định: D  □ + Đạo hàm: 2 y '  3ax  2bx  c, y '   3ax  2bx  c  (1) i Hàm số khơng có cực trị: ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu a = y '  2bx  c Điều kiện y ' không đổi dấu  b = &c = Trường hợp 2: Nếu a  điều kiện y’ không đổi dấu  '  ii Hàm số có cực trị: Ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu a = (1)  2bx  c  Điều kiện : b  Trường hợp 2: Nếu a  thì: Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  iii  a     '  Hàm số có cực đại cực tiểu  phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt   iv  a    '  Hàm số có cực đại, cực tiểu với hồnh độ thỏa mãn điều kiện K Ta thực theo bước: Bước 1: Hàm số có cực đại, cực tiểu  phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt   a     '  Khi phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức vi-et Bước 2: Kiểm tra điều kiện K v Hàm số có cực đại,cực tiểu khoảng I  phương trình (1) có hai nghiệm khoảng I vi Hàm số có cực đại khoảng I Ta xét hai trường hợp: (1)  2bx  c  Trường hợp Nếu a = thì: (2) Điều kiện phương trình (2) có nghiện thuộc I qua y’ đổi dấu từ dương sang âm  b   c   Trường hợp 2: Nếu a  Ta thực theo bước: Bước 1: Hàm số có cực đại 2b I Giải Gỉa sử M(x0, y0) điểm cố định họ (Cm) Khi đó:  mx 1 ,m  1 y  ,m  1  x0  m   x0  m  x0  y0  m 1 x0 y0     x0  m    x0   x  y   x  1    0   0  1 x y   y x  M (1,1)   M (1, 1) Vậy, họ (Cm) có hai điểm cố định M1(1,0) M2(-1, 2) c) Bài tập tương tự Cho họ hàm số y  x3 (m 1)x2  (2m2  3m  2)x  2m(m 1) , m_tham số.Tìm điểm cố định hàm số Gợi ý: - Áp dụng phương pháp - Đáp án: Điểm cố định M(2, 0) Cho hàm số y  x3  (m  m )x  4x   m  m  , m_tham số Chứng minh rằng: Mọi đồ thị họ hàm số qua hai điểm cố định Gợi ý: - Đặt a  m  m , f (x, a)  x3  ax2  4x  4a - Hàm số có hai điểm cố định M(2, 0), M(-2, 0) 3.1.2 Điểm mà khơng có đồ thị họ qua a) Phương pháp: Gọi A(x0,y0) điểm mà khơng có đồ thị họ qua Khi y0  f(m,x0) (  m) hay phương trình y0 - f(m,x0) = vơ nghiệm ( ẩn m) Từ điều kiện vơ nghiệm phương trình suy quan hệ tung độ y0 hồnh độ x0 điểm A b)Ví dụ : Cho họ (Cm): y  (x  2)(x2  2mx  m2 1) , m_tham số Tìm điểm mà họ (Cm) qua Giải Gỉa sử M(x0, y0) điểm mà họ (Cm) qua Khi đó: Phương trình y 2  (x  2)(x  2mx  m  1) vô nghiệm 0 ẩn m  (x0  2)m  2x 0(x  2)m  (x  2)(x 0 1)  y 0 với ẩn m   x0      y0     x0       x0 (x0  2)  (x0  2) (x0  2)(x0  1)  y0     x0     y0    x0     (x0  2)(x0   y0 )  vô nghiệm Vậy, tập điểm M(x0, y0) thỏa mãn hệ điểm mà họ (Cm) qua Cho họ (Cm): y  2x  (m  2)x , m_tham số Tìm điểm mà x 1 họ (Cm) qua Giải Gỉa sử M(x0, y0) điểm mà họ (Cm) qua Khi đó: 2x 02  (m  2)x0 Phương trình y  vô nghiệm ẩn m (1) x0 1 Trường hợp 1: x0 1   x0 1 Khi M thuộc đường thẳng x = Trường hợp 2: x 1   x  0 Thì (1)  y0 (x0 1)  2x0  (m  2)x0  mx0  2x0  2x0  y0 (x0 1)  Phương trình vô nghiệm   x0   x0   y0 2x2  2x – y 1)  (x  0  0  M thuộc đường thẳng x = trừ gốc O Vậy, tập điểm M(x0, y0) thuộc đường thẳng x = x = trừ gốc tọa độ O điểm mà họ (Cm) qua c) Bài tập tương tự x2  mx  , m_tham số Tìm điểm mà họ y xm Cho họ (Cm): (Cm) qua Gợi ý: - Ycbt  y0  x0  mx  vô nghiệm x0  m - Đáp án: Tập hợp điểm thỏa mãn ycbt đường thẳng y  x bỏ điểm (2, -2), (-2, 2), (2, 6), (-2, -6) (m 1)x2  m2 Cho họ (Cm): y  x m , m_tham số Tìm điểm mà tiệm cận xiên họ hàm số (Cm) qua Gợi ý: - Tiệm cận xiên y  (m 1)x  m2  m - Ycbt  y  (m  1)x  m2  m vô nghiệm 0 Đáp án: Những điểm nằm bên parabol y  1 (x 1) 3.1.3 Điểm mà có số đồ thị họ cho qua a) Phương pháp Điểm A(x0,y0) điểm có số đồ thị họ cho qua tọa độ (x0,y0) thõa mãn phương trình y = f(m,x) ứng với số giá trị thích hợp m Tức phương trình y0 - f(m,x0) = có số nghiệm Phương trình có nghiệm có nhiêu đồ thị hàm số cho qua điểm A ( Chú ý: đa thức bậc n có khơng q n nghiệm) b) Ví dụ Cho họ (Cm): y  x  3mx  m , m_tham số Chứng minh mx  không tồn điểm cho có nhiều hai đồ thị họ hàm số qua Giải Gỉa sử M(x0, y0) mà có nhiều hai đồ thị họ hàm số qua m có hai nghiệm với Khi phương trình: y0  x0  3mx mx0  ẩn m 3x0m  (1  x0 y0 )m  x0  y0   có hai nghiêm với ẩn m  1 m  x0 Điều vơ lí phương trình phương trình bậc hai Vậy khơng tồn điểm M0(x0, y0) mà có nhiều hai đồ thị họ hàm số qua 3.2 Chứng minh đồ thị có ba điểm cố định thẳng hàng Bài toán: Chứng minh họ đồ thị hàm số y = (x, m) qua ba điểm cố định ba điểm nằm đường thẳng a) Phương pháp chung: Bước 1: Gỉa sử M(x, y) điểm cố định họ (Cm) Khi đó: y  f (x, m),m  Nhóm theo bậc m cho hệ số 0, hệ (I) Bước 2: Xét hai khả năng: Khả Tìm cặp nghiệm phân biệt (I) Khi đó: ● Đồ thị hàm số ln qua ba điểm cố định M1, M2, M3 ● Xác định tọa độ:  M1 M  M 1M  ● Nhận xét  M1M  k M M ● Kết luận: Ba điểm cố định M1, M2, M3 thẳng hàng Khả 2:Không ba cặp nghiệm phân biệt (I) (hoặc (I) có nghiệm lẻ) Khi đó: - Chứng minh hệ (I) có ba cặp nghiệm phân biệt, từ suy đồ thị hàm số ln qua ba điểm cố định M1, M2, M3 - Từ hệ (I) suy phương trình hệ quả: Ax+By+C=0 - Nhận xét rằng: Tọa đọ ba điểm cố định nghiệm phương trình đường thẳng Ax+By+C=0 , nên ba điểm cố định họ đồ thị thẳng hàng b) Ví dụ Chứng minh họ đồ thị hàm số: (Cm ) : y  (m  2)x3  2(m  2)x2 (m  3)x  2m 1, m_tham số Luôn qua ba điểm cố định ba điểm cố định nằm đường thẳng Giải Gỉa sử M(x0, y0) điểm mà họ (Cm) qua Khi đó: y  (m  2)x3  2(m  2)x2  (m  3)x  2m 1,m  (x3  4x  x 1)m  3x3 12x  x  y  0,m  x3  4x  x 1    y  3x 12x  x Xét hàm số g(x)  3x3 12x2  x hàm liên tục R g (-1) = -3 < 0; g(0) = > 0; g(1) = -3 < 0; g(5) = 21 > Suy phương trình g(x) = có ba nghiệm phân biệt: -1 < x1 < < x2 < < x3 < Vậy họ (Cm) có ba điểm cố định M1, M2, M3 Từ hệ suy ra: y  3(x3  4x2  x 1)  4x   4x  Tọa độ ba điểm cố định nghiệm phương trình đường thẳng y = -4x+3 Nên ba điểm cố định họ đồ thị thẳng hàng c) Bài tập tương tự Chứng minh họ đồ thị hàm số: (Cm ) : y  (m 1)x3  2(m 1)x  m 1, m_tham số Luôn qua ba điểm cố định ba điểm cố định nằm đường thẳng Gợi ý: Đáp án: y = x+2 3.3 Tìm điểm thuộc đồ thị thỏa mãn điều kiện cho trước cho trước Tìm điểm M thuộc đồ thị (C): y = f(x) thỏa mãn tính chất K a) Phương pháp chung: Bước Lấy điểm M(x0, y0)  (C) ta có: y0 = f(x0) Bước Kiểm tra điều kiện K Đinh Thị Quế 74 Lớp K35C Tốn b) Ví dụ Cho hàm số y  x x 1 (H), m_tham số x 1 Tìm k cho (H) có hai nhánh khác P, Q thỏa mãn điều kiện:  xP  y P  m  (I )  x Q  yQ  m Giải Điểm P, Q thuộc đồ thị hàm số  ta có P x  P   , x P  x 1  x Q  xP 1  xQ  x 1  ,  Q x 1  Q Thay tọa độ P, Q vào hệ (I) ta được:  Px  xP  x 1  m x P 1    x  xQ  x 1 m  Q xQ 1  hoành độ P, Q thỏa mãn phương trình: với x  x  x 1 x x 1 m (1) Để có hai điểm phân biệt P, Q phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác  0 m2   m 1  k   2    f 1   10  m  8m     Vậy với k   2 k   2 thỏa mãn điều kiện đầu  k   2 (H) có hai điểm P, Q 2.Cho hàm số y  x  x 1 x2 Tìm đồ thị hàm số tất điểm có tọa độ nguyên Giải yx 1 x2 Điểm A(x0, y0)(x0  -2) thuộc đồ thị hàm số có hồnh độ ngun  x0 +2 ước Ta có bảng liệt kê sau: x0 +2 -1 x0 -3 -1 y0 -5 -1 Điểm A1(-3, -5) A2(-1, -1) Vậy điểm A1(-3, -5) A2(-1, -1) a Bài tập tương tự Cho hàm số y  x  2x  x (H) Tìm k cho (H) có hai nhánh khác P, Q thỏa mãn điều kiện:  xP  yP  m   x Q  yQ  m Gợi ý: - Tương tự ví dụ - Đáp án: với k   2 k   2 Q thỏa mãn điều kiện đầu (H) có hai điểm P, 2 Cho hàm số y  x  3x  x2 Tìm đồ thị hàm số tất điểm có tọa độ nguyên Gợi ý: - Tương tự ví dụ - Đáp án: A1  6, 6  , A2  4, 5 , A3  3, 6 , A4  1, 4 , A5  0,3 A6  2,  KẾT LUẬN Qua trình tìm hiểu nghiên cứu khóa luận, em bước đầu làm quen với cách làm việc khoa học, hiệu Qua đó, em củng cố thêm cho kiến thức “Các điểm đặc biệt đồ thị hàm số”, đồng thời thấy phong phú, lý thú tốn học Đặc biệt khóa luận em nghiên cứu cách khái quát định nghĩa “Các điểm đặc biệt đồ thị hàm số” Bên cạnh tập áp dụng Hi vọng tài liệu giúp ích cho bạn sinh viên quan tâm đến môn Đại số Mặc dù có nhiều cố gắng, song hạn chế thời gian kiến thức nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp q báu thầy bạn sinh viên TÀI LIỆU THAM KHẢO Trong khóa luận em sử dụng tài liệu tác giả sau với tất trân trọng biết ơn [1] Nguyễn Huy Đoan (2001), giải tốn ơn tập giải tích, nhà xuất giáo dục [2] Lê Hồng Đức, phương pháp giải toán hàm số, Đại số sơ cấp, nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội [3] Trần Văn Hạo (2001), Khảo sát hàm số, nhà xuất giáo dục [4] Trần Thành Minh(2001), giải toán khảo sát hàm số 12, nhà xuất giáo dục [5] Trần Phương_Lê Hồng Đức (2010), Đại số sơ cấp, nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội [6] Tạp chí tốn học tuổi trẻ, nhà xuất giáo dục ... thuyết - Nghiên cứu loại điểm đặc biệt đồ thị hàm số - Xây dựng hệ thống tập minh họa Đối tượng phạm vi nghiên cứu  Đối tượng nghiên cứu - Các điểm đặc biệt đồ thị hàm số  Phạm vi nghiên cứu... I CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1.1 Điều kiện cần để hàm số có cực trị : Định lý Fecmat: Giả thiết hàm số y = f(x) liên tục (a,b) x0 (a,b) Nếu hàm số y= f(x) có đạo hàm x0 đạt cực trị điểm. .. liệu tham khảo khóa luận em gồm chương : Chương : Các điểm cực đại, cực tiểu hàm số Chương : Tính lồi, lõm điểm uốn đồ thị Chương : Một số điểm đặc biệt khác Do trình độ kinh nghiệm hạn chế nên luận