Tiếp tuyến của các đường cong cônic

Trường đại học sư phạm hà nội khoa toán -**** - Trần Huy Mạnh Tiếp tuyến đường cônic Tóm tắt Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Hình học Giáo viên hướng dẫn: Phan hồng trường Hà Nội -2007 Lời nói đầu Trong chương trình toán phổ thông trung học thực từ năm 2006, phương pháp toạ độ mặt phẳng đưa vào hình học lớp 10 Tiếp tuyến đường cônic xét trước hình học 12 trình bày nhờ khái niệm đạo hàm tiếp tuyến với đồ thị hàm số, chưa đề cập tới chương “Phương pháp toạ độ mặt phẳng” hình học 10 Vậy nhằm để gới thiệu với em học sinh lớp 10 khái niệm tiếp tuyến đường cônic, phương pháp để xác định tiếp tuyến đường cônic nên em chọn đề tài: “Tiếp tuyến đường cônic” Và thực đề tài sở đưa khái niệm tiếp tuyến ba đường cônic ((E), (H), (P)) dựa vào phương trình đại số tính chất hình học ba đường Đây lần em làm quen với việc NCKH Nên thân em dù cố gắng không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận góp ý, nhận xét, đánh giá thầy cô bạn đọc Cuối em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ thầy cô khoa, tổ, đặc biệt giúp đỡ, hướng dẫn tận tình Thầy Phan Hồng Trường giúp em hoàn thành khoá luận Mục lục Lời nói đầu Trang Mục lục Chương 1: tiếp tuyến đường elip 1.1 Elip 1.2 Tiếp tuyến đường elip 1.3 Phương trình tiếp tuyến đường elip A Cách xác định B Các ví dụ C Bài tập đề nghị 10 Chương 2:tiếp tuyến đường hypebol 12 2.1 Hypebol 12 2.2 Tiếp tuyến đường hypebol 13 2.3 Phương trình tiếp tuyến đường Hypebol 14 A Cách xác định 14 B Các ví dụ 16 C Bài tập đề nghị 20 Chương 3: tiếp tuyến đường parabol 21 3.1 Parabol 21 3.2 Tiếp tuyến đường parabol 22 3.3 Phương trình tiếp tuyến đường parabol 23 A Cách xác định 23 B Ví dụ 25 C Bài tập đề nghị 28 Chương 4: Bài tập thêm 29 4.1 Kiến thức 29 4.2 Bài tập 30 A Elip 30 B Hypebol 33 C Parabol 34 Chương 1: tiếp tuyến đường elip 1.1 elip 1.1.1 Định nghĩa đường elip Cho hai điểm cố định F1 F2 với F1F2  2c (c>0) Đường elip (còn gọi elip) tập hợp điểm M cho MF1  MF2  2a , a số cho trước lớn c Kí hiệu elip (E) Hai điểm F1 , F2 gọi tiêu điểm elip Khoảng cách 2c gọi tiêu cự elip 1.1.2 Phương trình tắc elip Cho elip (E) định nghĩa Ta chọn hệ trục toạ độ Oxy gốc y trung điểm đoạ thẳng F F F nằm tia Ox Điểm M  x, y    E   x2 y   (1) a b2 ( b  a  c ) (1) gọi phương trình 2 F1 O x F2 tắc elip cho Lưu ý: Elip (E) : x2 y   1,  b  a   có hai tiêu điểm F1 , F2 nằm a b2 trục lớp Oy 1.2 Tiếp tuyến đường elip 1.2.1 Định nghĩa Cho elip (E) đường thẳng d Đường thẳng d gọi tiếp tuyến elip (E) d (E) có điểm chung Khi ta nói d tiếp xúc với (E) hay d (E) tiếp xúc Điểm chung d (E) gọi tiếp điểm 1.2.2 Định lí Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E): x2 y   đường thẳng a b2 d: Ax+By+C=0 (A2+B2>0) Điều kiện cần đủ để đường thẳng d elip (E) tiếp xúc là: A2a2+B2b2=C2 Chứng minh: Xét hệ phương trình tạo d (E)  x2 y   1 (I) b a  Ax  By  C   Vì A2+B2>0 nên A  B  0, không tính tổng quát giả sử B  Khi rút y từ (2) thay vào (1), ta được: B2b2x2+a2(-Ax-C)2=a2b2B2  (B2b2+A2a2)x2+2a2ACx+a2c2-a2b2B2=0 (3) Đường thẳng d tiếp xúc với elip (E) hệ (I) có nghiệm (3) có nghiệm Suy  '   C  A2a  B 2b2 Nhận xét : Mặc dù lời giải vai trò x y bình đẳng, bình đẳng không xem xét cách đầy đủ suốt trình giải Vì theo hướng ta nhận lời giải không đẹp Để khắc phục tình trạng trên, sử dụng phương pháp sau: Viết lại hệ (I) dạng:  x 2  y 2        a   b   aA  x   bB  y   C      a  b Đặt  x  aX   y  bY Ta được:  X  Y  1T   aAX  bBY  C   d  Khi hệ có nghiệm  d tiếp xúc (T)  d(O,d)=1 (O tâm đường tròn (T))  A2a2+B2b2=C2 Như ta có lời giải hoàn toàn mới, lời giải bình đẳng x y trì suốt trình giải Hệ 1: Đường thẳng y=kx+m tiếp tuyến (E) k2a2+b2=m2 x2 y Hệ Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E):   Phương trình tiếp a b tuyến với (E) M0(x0,y0) thuộc (E) có dạng: d0: x0 x y0 y  1 a2 b Chứng minh: Hiển nhiên đường thẳng d0 qua M0(x0,y0) Mặt khác 2  x0   y0  x0 y0 a    b     1 b a  b  a Theo định lí 1.2.2, đường thẳng x0 x y0 y    tức d0, tiếp tuyến a2 b elip (E) Vậy d0 tiếp tuyến elip (E) M0(x0,y0) thuộc (E) Phương pháp thành lập phương trình d0 dạng gọi phương pháp phân đôi toạ độ 1.3 phương trình tiếp tuyến đường elip A Cách xác định x2 y Cho elip (E):   a b Để lập phương trình tiếp tuyến d elip (E) ta lựa chọn hai cách sau: Cách 1: Ta thực bước sau: b1, Dựa vào điều kiện K ta giả sử đường thẳng d có phương trình d: Ax+By +C=0 b2, Xác định điều kiện tiếp xúc d (E) b3, Kết luận tiếp tuyến Chú ý Điều kiện K thường gặp là: Tiếp tuyến qua điểm M cho trước, đó: a Nếu M0(x0,y0) thuộc (E) ta có phương trình tiếp tuyến phương pháp phân đôi toạ độ b Nếu M0(x0,y0) không thuộc (E) ta giả sử d : A(x-x0)+B(y-y0)=0 (A2+B2>0)  d: Ax+By – (Ax0+By0)=0 (2) Tiếp tuyến có hệ số góc cho trước a Tiếp tuyến song song với đường thẳng  : Ax  By  C  Khi d: Ax+By+C’=0 b Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  : Ax  By  C  Khi d: Bx-Ay+C’=0 c Tiếp tuyến có tạo với đường thẳng  góc  Khi linh hoạt vận dụng công thức  u.v  cos    , với u, v thứ tự vectơ phương d  u.v tan   k1  k2 , với k1, k2 thứ tự hệ số góc d   k1k2 Cách Đi tìm tiếp điểm sử dụng phương pháp phân đôi toạ độ để giải Ta thực hiên theo bước sau: b1, Giả sử M0(x0,y0) tiếp điểm, phương trình tiếp tuyến có x0 x y0 y   (1) a2 b dạng: x02 y02 Điểm M0(x0,y0) thuộc (E) nên   (2) a b b2, Sử dụng điều kiện K giả thiết ta thiết lập thêm phương trình theo x0, y0 (3) b3, Giải hệ tạo (2) (3) ta toạ độ điểm M0 , từ thay vào (1) ta phương trình tiếp tuyến cần xác định Nhận xét: Trong trường hợp riêng cách tỏ hiệu B Các ví dụ x2 y   Viết phương trình tiếp tuyến (E) VD1 Cho elip (E): qua điểm M(2,1) Giải Nhận xét điểm M(2,1) thuộc elip, phương trình tiếp tuyến d (E) có dạng d: x 1y  1 d : x  2y   VD2 Cho điểm M(3,-4) elip (E): x2 y  1 a Chứng minh rằng: Qua M kẻ hai tiếp tuyến đến (E) b Xác định phương trình hai tiếp tuyến lập phương trình đường thẳng qua hai tiếp điểm (E) với hai tiếp tuyến Giải a Với M(3,-4) elip (E): x2 y   Ta có PM E    M nằm (E) Suy qua M kẻ hai tiếp tuyến đến (E) b Ta lựa chọn hai cách sau: Cách Đường thẳng d qua M có dạng d: A(x-3)+B(y+4)=0  d: Ax+By-3A+4B=0 Đường thẳng d tiếp tuyến elip (E) A2+4B2= (-3A+4B)2  12B2-24AB=0 B   B  2A Với B=0 ta tiếp tuyến d1: x-3=0 toạ độ điểm M1 nghiệm hệ  x2 y  x      M  3,0   y   x    Với B=2A ta tiếp tuyến d2: x+2y+5=0 toạ độ điểm M2 nghiệm hệ   x2 y x   1     8   M2   ,     5 x  y    y     Phương trình đường thẳng qua hai điểm M1, M2 là: M1M : x  y   Cách Gọi M0(x0,y0) tiếp điểm (E) với tiếp tuyến d cần tìm M0(x0,y0) thuộc (E) trình d: x02 y02   (1) đường thẳng d có phương x0 x y0 y  1 9 Vì M thuộc d nên 3x0 y0    x0  y0  (*) Thay vào (1) ta  8 M1  3,0  , M   ,    5 Với M1  3,0 ta tiếp tuyến d1: x-3=0  8 Với M   ,   ta tiếp tuyến d2: x+2y+5=0  5 Nhận xét toạ độ hai tiếp điểm thoả mãn phương trình (*) Do phương trình đường thẳng qua hai tiếp điểm có dạng x-3y-3=0 Nhận xét Với đòi hỏi toán việc lựa chọn cách giải lời giải đơn giản x2 y   Viết phương trình tiếp tuyến d VD3 Cho elip (E): 16 (E) biết : a Tiếp tuyến song song với đường thảng  : x  y   b Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  : x  y  Giải a.Gọi d tiếp tuyến (E) song song với đường thẳng  : x  2y   d song song với đường thẳng  : x  y   nên có phương trình d : x  2y  C  C  52 d tiếp tuyến (E) nên suy 1.16+4.9=C2   C   52 Vậy ta có hai tiếp tuyến d1 : x  y  52  , d : x  y  52  thoả mãnn yêu cầu toán b Gọi d tiếp tuyến (E) vuông góc với đường thẳng :x  y  10 Một đường kính cửa elip (E): x2 y   cắt elip M N a b2 Chứng minh tiếp tuyến elip M N song song với x2 y Cho elip (E):   Tìm tập hợp điểm từ kẻ hai tiếp a b tuyến vuông góc với tới (E) Viết phương trình tiếp tuyến chung hai elip  E1  : x2 y x2 y    E2  :  1 5 Chứng minh tiếp tuyến elip điểm M0(x0,y0) thuộc elip phân giác tam giác MF1F2 (F1, F2 tiêu điểm elip) x2 y   Trong tất hình chữ nhật ngoại tiếp 10 Cho elip (E): elip (E) a Xác định hình chữ nhật có diện tích nhỏ b Xác định hình chữ nhật có diện tích lớn x2 y 12 Cho elip (E):   (a>b>0) Tiếp tuyến M elip (E) cắt a b trục toạ độ A B Xác định toạ độ M để OAB có diện tích nhỏ x2 y 13 Cho elip (E):   (a>b>0) Gọi A1A2 trục lớn elip a b Dựng tiếp tuyến At1, At2 Một tiếp tuyến qua T  E  cắt At1, At2 M, N a Chứng minh tiêu điểm F1, F2 (E) nhìn đoạn MN góc vuông b Chứng minh tích A1M.A2N không phụ thuộc vào T c Xác định tiếp tuyến cho FMN có diện tích nhỏ nhất, F hai tiêu điểm (E) d Tìm quỹ tích giao điểm I A1M A2N T thay đổi 33  x  2 14 Cho elip (E):  y  1  1 a Viết phương trình cạnh hình chữ nhật ngoại tiếp (E) có diện tích b Viết phương trình cạnh hình vuông ngoại tiếp (E) B Hypebol Cho điểm M(-2,9) hypebol (H):  x  1  y  1  16  Lập phương trình tiếp tuyến hypebol (H) qua điểm M Hypebol (H) có trục trùng với trục toạ độ tiếp xúc với đường thẳng d1: 5x-6y-16=0 d2: 13x-10y-48=0 Hãy xác định phương trình (H) x2 y Cho hypebol (H):   tiếp tuyến (H) a b d: Ax+By+C=0 tiếp xúc với hypebol (H) T Gọi M, N giao điểm tiếp tuyến d với đường tiệm cận (H) a Chứng minh T trung điểm doạn MN b Chứng minh diện tích OMN không phụ thuộc tiếp tuyến d x2 y Cho hypebol (H):   a b a Tiếp tuyến với (H) M0(x0,y0) nằm (H) cắt hai đường tiệm cận A B Tìm toạ độ A B b Chứng minh rằng: M0 trung điểm đoạn AB c Chứng minh rằng: diện tích OAB không phụ thuộc vào vị trí M0 Cho hypebol (H): x2 y   Tìm tập hợp điểm từ kẻ hai tiếp tuyến vuông góc với tới (H) Tiếp tuyến hypebol M0(x0,y0) thuộc hypebol cắt hai tiệm cận 34 A B Chứng minh MA=MB Lập phương trình tiếp tuyến chung E: x2 y x2 y    H  :  1 27 Lập phương trình tiếp tuyến chung x2 y x2 y  H1  :    H  :   4 9 Lập phương trình tiếp tuyến chung H : x2 y2    P  : y  x C Parabol Cho parabol  P  :  y  1  16  x   Viết phương trình tiếp tuyến (P) biết: a Tiếp tuyến qua điểm A(3,-3) b Tiếp tuyến qua điểm B(0,0) c Tiếp tuyến tạo với đường thẳng  : 3x  y  2007  góc 900 Cho parabol (P): y=x2-2x+3 đường thẳng d phương với đường thẳng  : x  y  cho d cắt (P) hai điểm phân biệt A,B a Viết phương trình tiếp tuyến (P) A B b.Viết phương trình đường thẳng d hai tiếp tuyến (P) A B vuông góc với x2  15 27  Cho parabol (P): y  điểm A  ,  8   1 a Viết phương trình đường thẳng qua M  1,  vuông góc với  2 tiếp tuyến (P) M1 35 b Tìm điểm M (P) cho AM vuông góc với tiếp tuyến (P) M Cho (P): y2=2px Chứng minh rằng: Hai tiếp tuyến hai đầu mút dây cung qua tiêu vuông góc với điểm đường chuẩn cho parabol (P): x2=4y a Chứng minh rằng: Từ điểm N tuỳ ý đường chuẩn (P) kẻ hai tiếp tuyến đến (P) mà hai tiếp tuyến vuông góc với b Gọi T1, T2 hai tiếp điểm hai tiếp tuyến nói Chứng minh rằng: T1, T2 qua điểm cố định N thay đổi đường chuẩn (P) c Cho M điểm thuộc (P) (M khác đỉnh (P)) Tiếp tuyến M (P) cắt hai trục Ox, Oy A, B Tìm quỹ tích trung điểm I AB M thay đổi (P) Lập phương trình tiếp tuyến chung x2 y  E  :    P  : y  12 x Lập phương trình tiếp tuyến chung  P  : y  x  H  : x2 y2  1 Lập phương trình tiếp tuyến chung  P1  : y  x  x   P2  : y  x 4.3 Hướng dẫn đáp số A Elip d1 : x  y   d2 : x  y  11  a Phương trình tiếp tuyến qua A(5,6) có dạng d: 5.x    y      d : x  y  50 50 32 b d   có phương trình d : x  y  C  36 C  82 d tiếp xúc với (E) khi: 12.50  12.32  C   C   82 Vậy có hai tiếp tuyến: d1 : x  y  82  d : x  y  82  c Có hai tiếp tuyến: d1 : y  32  d : y  32  Giả sử hình vuông ABCD ngoại tiếp elip (E) Khi đó:  AB  BC 1   BCtx  E     ABtx  E  3 d  O, AB   d  O, BC    Dễ thấy AB song với Oy, nên có dạng AB: y=kx+a  AB: kx-y+a=0 Từ (1) suy đường thẳng BC : y   x  b  BC : x  ky  bk  k Từ (2) suy ra: 6+3k2=b2k2 (5) Từ (3) suy ra: 6k2+3=a2 (6) Từ (4) suy ra: a 1 k  bk 1 k  a  b k (7) Giải hệ tạo (5), (6), (7), ta k  1 Với k=1  a  3 Ta phương trinh AB: x-y+3=0 CD: x-y-3=0 Với k=-1  a  3 Ta phương trinh BC: x+y-3=0 AD: x+y+3=0 37 Có bốn tiếp tuyến chung d1 : 3x  y  55  d : 3x  y  55  d3 : 3x  y  55  d : 3x  y  55  Đường kính (E) cắt (E) M, N nên M, N đối xứng qua gốc toạ độ O Vậy M(x0,y0) N(-x0,-y0) Phương trình tiếp tuyến (E) M(x0,y0) thuộc (E) có dạng d1 : x0 x y0 y  1 a2 b Phương trình tiếp tuyến (E) N(-x0,-y0) thuộc (E) có dạng d1 :  x0 x y0 y  1 a2 b Từ (1) (2) cho thấy d1//d2 Giả sử từ điểm M(x0,y0) kẻ hai tiếp tuyến vuông góc với đến (E) Hai đường thẳng qua M vuông góc với d1 : y  k  x  x0   y0  d1 : kx  y  kx0  y0  d2 : y   1  x  x0   y0  d : x  ky  x0  y0  k k Điều kiện để d1 d2 tiếp xúc với (E) k a  b   y0  kx0 2 k a  b   y0  kx0 2  (1)  1 2   2  2   a  b   y0  x0  a  k b   x0  ky0  k    k  Khử k từ hệ ta x02  y02  a  b2 10 Để lập phương trình cạch hình chữ nhật ngoại tiếp (E) ta thực theo bước sau: 38 b1, Không tổng quát ta giả sử phương trình hai cạnh hình chữ nhật là: Ax  By  C   A2  B2  1 Điều kiện tiếp xúc A2a2+B2b2=C2(1) b2, Phương trình hai cạnh lại hình chữ nhật Bx  Ay  D  Điều kiện tiếp xúc B2a2+A2b2=D2(2) b3, Lấy (1)+(2) với  A2  B2  1 Ta a  b  C  D b4, Kết luận: Với điều kiện  A2  B2  1 a  b  C  D ta có phương trình bốn cạnh hình chữ nhật ngoại tiếp (E) Ax  By  C  Bx  Ay  D  áp dụng : Ta có phương trình bốn cạnh (E) Ax  By  C  Bx  Ay  D  Khoảng cách hai cạnh đối Ax  By  C  2C A B 2 2C Khoảng cách hai cạnh đối Bx  Ay  D  2D A B 2 2D Vậy diện tích hình chữ nhật ngoại tiếp (E) cho S  C D  CD a S đạt giá trị nhỏ CD đạt giá trị nhỏ hay C D đạt giá trị nhỏ Xét C D2   A2a  B2b2  B2a  A2b2   a 2b2   a  b2  A2 1  A2   A2  B2  1 39 C D đạt giá trị nhỏ  A    A    B  1 2 A 1  A        A  1 A      B  Khi cách cạnh hình chữ nhật song song với trục elip, suy S=4ab=180(đơn vị diện tích) b C D đạt giá trị lớn A2   A2  A2  1  B  C  D 2 Khi hình chữ nhật hình vuông, suy S  a 2b  2 a  b   2039  11 Lấy M(x0,y0) thuộc elip (E) với x0>0, y0>0, ta có x02 y02   (1) a b2 Phương trình tiếp tuyến M dạng d : x0 x y0 y  1 a2 b Giả sử d  Ox   A toạ độ A nghiệm hệ  x0 x y0 y  a2  a2   1  A  ,0   OA  b a x0  x0   y  d  Oy  B toạ độ B nghiệm hệ  x0 x y0 y  b2  b2   1  B  0,   OB  b a y0  y0   x  1 a 2b2 Khi SABC  OA.OB  (2) 2 x0 y0 40 Từ (1) ta suy  x02 y02 x0 y0 ab    x0 y0  (3) Thay (3) vào (2) a b ab ta SABC  ab Vậy Smin=ab đạt  x02 y02  a  b   x0  y0  a b   a b  ,   M1  2     a b  ,  M    2      a b  , M   2     a b  , M    2   Vậy Smin=ab đạt bốn điểm B Hypebol 1: d1 : x   d : x  y  17  3: a Đường thẳng d : Ax  By  C   A2  B   tiếp xúc với hypebol (H) A2a2- B2b2=C2 Toạ độ tiếp điểm T nghiệm hệ  a2 A  x02 y02 x     a A b2 B    1 C  T   , b a  C C  b B   Ax  By  C   y    C Toạ độ giao diểm M d đường tiệm cận y  hệ 41 b x nghiệm a aC  b x    M  aC bC   yM  xM  aA  bB   M  , a    aA  bB aA  bB   AxM  ByM  C   y   bC M aA  bB  b Toạ độ giao diểm N d đường tiệm cận y   x nghiệm a hệ aC  b xN     aC bC   y N   xN   aA  bB   M  , a    aA  bB aA  bB   AxN  By N  C   y  bC  N aA  bB  aC aC 2a A  xN  xM   aA  bB  aA  bB   C  x0 Nhận xét  bC bC b B y  y      y0 M  N aA  bB aA  bB C Suy T trung điểm MN b Ta có: SABC  OM ON sin 2 , 2 2 2 aC   bC  C  a  b   OM           aA  bB aA  bB      aA  bB  2 2 2 aC   bC  C  a  b   ON           aA  bB   aA  bB   aA  bB   góc tạo đường tiệm cận y  tan   b với trục Ox , suy ra: a b tan  2ab  sin 2  a  tan  a  b Thay (2), (3), (4) vào (1) ta SOMN  C a  b C a  b 2ab  ab aA  bB aA  bB a  b Nghĩa diện tích tam giác OMN không phụ thuộc tiếp tuyến d 42 Trong mặt phẳng Oxy Giả sử qua điểm M(x0,y0) kẻ hai tiếp tuyến tới (H) vuông góc với d1 d2 Ta có : d1 : y  k  x  x0   y0  d1 : kx  y  kx0  yo  d2 : y    x  x0   y0  d1 : x  ky  x0  kyo  k d1 d2 tiếp xúc với (H) : 5k    y0  kx0 2   k  1   k  1  x02  k  1  y02  x02  y02   2 5  4k   x0  ky0  Vậy quỹ tích M đường tròn x2  y  C Parabol 2: a Đường thẳng d phương với  có phương trình d: 2x-y+C=0 d cắt (P) hai điểm phân biệt hệ sau có nghiệm  y  x  x  31 (I)  2 x  y  C    Rút y từ (2) vào (1) ta x2-4x+3-C=0 hệ (I) có nghiệm C>-1(1) Gọi hai giao điểm A, B, đó: A xA ,2 xA  C  , B  xB ,2 xB  C  Parabol  P  : y  x  x    P  :  x  1  y  2 Suy phương trình tiếp tuyến A, B là:  y  y A    d A : y   xA  1 x   xA  1  y A  d B :  xB  1 x  1   y  yB    d B : y   xB  1 x   xB  1  yB  d A :  x A  1 x  1  b d A  d B 43   x A  1  xB  1  1   x A xB   x A  xB   1  1   4    C   1  1 C  Vậy phương trình đường rhẳng d là: d :8 x  y   3: a Nhập thấy M1 thuộc (P), suy tiếp tuyến M1 có hệ số góc k=-1  1 Gọi d đường thẳng qua M  1,  vuông góc với tiếp tuyến  2 (P) M1 ta có: d : y   x  1   d : 2x  y   b Lấy M  xM , yM    P  Suy ra: yM  xM Phương trình tiếp tuyến M có dạng xM x   y  yM  Suy hệ số góc tiếp tuyến M k=xM y A  yM 27  xM2 Đường thẳng AM có hệ số góc kM   x A  xM 15  xM Vậy AM vuông góc với tiếp tuyến (P) M   1   M  1,   xM  1     27  xM2   9 kM k  1  xM  1   xM     M   ,   15  xM  8     25   xM  M  ,      Vậy tồn ba điểm M1, M2, M3 thuộc (P) thoả mãnn yêu cầu toán p  d Phương trình đường thẳng d qua tiêu điểm F  ,0  (P) có 2  44 dạng d: 2Ax+2By-pA=0 toạ độ giao điểm A x A , y A  , B  xB , y B  (P) d  y  px nghiệm hệ  x theo y ta 2 Ax  By  pA  Ay  pBy  p A  1 pB   y A  yB   Phương trình (1) có hai nghiệm yA, yB thoả mãn  A  y y   p2  A B Phương trình tiếp tuyến tA (P) điểm A xA , y A  có dạng : t A : y A y  p  x  xA  Suy hệ số góc tiếp tuyến A k A  p yA Phương trình tiếp tuyến tB (P) điểm B  xB , yB  có dạng tB : yB y  p  x  xB  Suy hệ số góc tiếp tuyến B k B  Ta có k Ak B  p yB p p  1  t A  tB Vậy hai tiếp tuyến A,B vuông góc y A yB với Toạ độ giao điểm I tA tB nghiệm hệ phương trình: 45 Tài liệu tham khảo Lê Hồng Đức (chủ biên)-Đào Thiện Khải-Lê Bích Ngọc-Lê Hữu Trí: Các phương pháp giải Ba đường cônic - NXB Hà Nội SGK hình học nâng cao 10 - NXBGD 2006 Nguyễn Minh Hà (chủ biên)-Nguyễn Xuân Bình: Bài tập nâng cao số chuyên đề hình học 10 Trần Phương-Lê Hồng Đức : Tuyển tập chuyên đề luyện thi đại học môn toán Hình học giải tích - NXB Hà Nội Đoàn Quỳnh(tổng chủ biên)-Văn Như Cương(chủ biên)-Phạm Vũ Khúc-Bùi Văn Nghị: Hình Học 10 nâng cao 46 47 [...]... trình tiếp tuyến của (E) 2 Cho elip (E): 9 4 biết a Tiếp tuyến qua điểm A(3,0) b Tiếp tuyến đi qua B(4,2) c Tiếp tuyến song song với đường thẳng  : x  y  6  0 d Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  : 2 x  y  2  0 Đáp án: a x-3=0; b y-2=0 và 16x-7y-50=0; c x-y- 41 =0 và x-y+ 41 =0: d x+2y+5=0 và x+2y-5=0 x2 y 2   1 Biết tiếp tuyến 3 Viết phương trình tiếp tuyến của (E): 9 16 tạo với đường. .. Lập phương trình tiếp tuyến của (H) song song với  17 b Lập phương trình tiếp tuyến của (H) vuông góc với  Giải: a Ta có thể chọn một trong hai cách sau: Cách 1 Đường thẳng d song song với  có phương trình: d :x yC 0 d là tiếp tuyến của (H) khi : C  2 1.8  1.4  C 2   C  2 Với C=2 ta có tiếp tuyến d1: x-y+2=0 Với C=-2 ta có tiếp tuyến d2: x-y-2=0 Vậy tồn tại hai tiếp tuyến d1 và d2 tới... y2=-2px tiếp tuyến tại M0(x0,y0)  P1  có dạng d: y0y=-p(x+x0) (P2): x2=2py tiếp tuyến tại M0(x0,y0)  P2  có dạng d: x0x=p(y+y0) (P3): x2=-2py tiếp tuyến tại M0(x0,y0)  P3  có dạng d: x0x=-p(y+y0) 24 3.3 phương trình tiếp tuyến của đường parabol A Cách xác định Cho parabol (P): y2=2px Để xác định phương trình tiếp tuyến của (P) ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1 Ta thực hiện theo các. ..  1 21 Lập phương trình tiếp tuyến của (E) song song với  x2 y 2   1 Lập phương trình tiếp tuyến của (E) biết 2 Cho Elip (E): 50 32 a Tiếp tuyến đi qua điểm A(5,6) b Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 : 2007 x  2007 y  2006  0 c Tiếp tuyến tạo với đường thẳng 2 : x  y  2007  0 một góc 450 3 Hình chũ nhật được gọi là ngoại tiếp elip nếu mỗi cạch của nó đều tiếp xúc với elip Cho elip... trình tiếp tuyến chung của E: x2 y 2 x2 y 2   1 và  H  :  1 9 4 8 27 8 Lập phương trình tiếp tuyến chung của x2 y 2 x2 y 2  H1  :   1 và  H 2  :   1 9 4 4 9 9 Lập phương trình tiếp tuyến chung của H : x2 y2   1 và  P  : y 2  2 x 9 4 C Parabol 1 Cho parabol  P  :  y  1  16  x  2  Viết phương trình các tiếp 2 tuyến của (P) biết: a Tiếp tuyến đi qua điểm A(3,-3) b Tiếp tuyến. .. thì cách giải này có ưu diểm hơn Vậy tuỳ yêu cầu bài toán mà ta chọn cách giải sao cho đơn giản C Bài tập đề nghị 1 Cho parabol (P) có phương trình (P): y2=9x Lập phương trình tiếp tuyến của (P) biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng  : 2 x  y  2007  0 một góc 600 2 Cho parabol (P): y2=8x Viết phương trình tiếp tuyến của (P) biết a Tiếp tuyến đi qua điểm A(2,4) b Tiếp tuyến đi qua điểm B(-3,0) c Tiếp. .. (1), parabol còn có các dạng phương trình sau: y2=-2px (p0); x2=-2py (p ... 10 khái niệm tiếp tuyến đường cônic, phương pháp để xác định tiếp tuyến đường cônic nên em chọn đề tài: Tiếp tuyến đường cônic Và thực đề tài sở đưa khái niệm tiếp tuyến ba đường cônic ((E),... lục Chương 1: tiếp tuyến đường elip 1.1 Elip 1.2 Tiếp tuyến đường elip 1.3 Phương trình tiếp tuyến đường elip A Cách xác định B Các ví dụ C Bài tập đề nghị 10 Chương 2 :tiếp tuyến đường hypebol... Tiếp tuyến đường hypebol 13 2.3 Phương trình tiếp tuyến đường Hypebol 14 A Cách xác định 14 B Các ví dụ 16 C Bài tập đề nghị 20 Chương 3: tiếp tuyến đường parabol 21 3.1 Parabol 21 3.2 Tiếp tuyến