Tiếp tuyến của các đường cong cônic

Tiếp tuyến của các đường cônic xét trước đây trong hình học 12 được trình bày nhờ khái niệm đạo hàm và tiếp tuyến với đồ thị hàm số, đã chưa được đề cập tới trong chương “Phương pháp toạ

Trường đại học sư phạm hà nội 2

khoa toán -**** -

Lời nói đầu

Trong chương trình toán phổ thông trung học mới được thực hiện từ năm

2006, phương pháp toạ độ trong mặt phẳng được đưa vào hình học lớp 10 Tiếp tuyến của các đường cônic xét trước đây trong hình học 12 được trình bày nhờ khái niệm đạo hàm và tiếp tuyến với đồ thị hàm số, đã chưa được đề cập tới trong

chương “Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng” trong hình học 10 Vậy nhằm

để gới thiệu với các em học sinh lớp 10 về khái niệm tiếp tuyến của các đường cônic, cũng như phương pháp để xác định tiếp tuyến của các đường cônic nên

em đã chọn đề tài:

“Tiếp tuyến của các đường cônic”

Và thực hiện đề tài trên cơ sở đưa ra khái niệm tiếp tuyến của ba đường

cônic ((E), (H), (P)) chỉ dựa vào phương trình đại số và các tính chất hình học

của ba đường này

Đây là lần đầu tiên em làm quen với việc NCKH Nên bản thân em dù đã rất cố gắng nhưng sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được

sự góp ý, nhận xét, đánh giá của thầy cô và bạn đọc

Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô trong

khoa, trong tổ, đặc biệt là sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của Thầy Phan Hồng

Trường đã giúp em hoàn thành khoá luận này

2.3 Phương trình tiếp tuyến của đường Hypebol 14

3.3 Phương trình tiếp tuyến của đường parabol 23

C Parabol 34

Chương 1: tiếp tuyến của đường elip

1.1 elip

1.1.1 Định nghĩa đường elip

Cho hai điểm cố định F và 1 F với 2 F F1 2 2c (c>0) Đường elip (còn gọi là

elip) là tập hợp các điểm M sao cho MF1MF2 2a , trong đó a là số cho trước lớn hơn c Kí hiệu elip bởi (E)

Hai điểm F , 1 F gọi là các tiêu điểm của elip Khoảng cách 2c được gọi là 2

tiêu cự của elip

1.1.2 Phương trình chính tắc của elip

Cho elip (E) như trong định nghĩa trên Ta chọn hệ trục toạ độ Oxy gốc là

trung điểm của đoạ thẳng F F và 1 2 F nằm trên tia Ox 2

Điểm M x y   , E x22 y22 1

(b2 a2 c2) (1) được gọi là phương trình

chính tắc của elip đã cho

Lưu ý: Elip (E) : x22 y22 1,b a 0

a  b    có hai tiêu điểm F , 1 F nằm trên 2

trục lớp Oy

1.2 Tiếp tuyến của đường elip

1.2.1 Định nghĩa

Cho elip (E) và đường thẳng d Đường thẳng d được gọi là tiếp tuyến của

elip (E) nếu d và (E) có một điểm chung duy nhất

Khi đó ta cũng nói d tiếp xúc với (E) hay d và (E) tiếp xúc nhau Điểm chung duy nhất của d và (E) gọi là tiếp điểm

Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E):

Vì A 2 +B 2 >0 nên A0 hoặc B0, không mất tính tổng quát giả sử B0

Khi đó rút y từ (2) thay vào (1), ta được:

B 2 b 2 x 2 +a 2 (-Ax-C) 2 =a 2 b 2 B 2

(B 2 b 2 +A 2 a 2 )x 2 +2a 2 ACx+a 2 c 2 -a 2 b 2 B 2 =0 (3)

Đường thẳng d tiếp xúc với elip (E) khi và chỉ khi hệ (I) có nghiệm duy

nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất Suy ra

2 2 2 2 2' 0 C A a B b

Nhận xét :

Mặc dù lời giải trên vai trò của x và y là bình đẳng, nhưng sự bình đẳng

này không được xem xét một cách đầy đủ trong suốt quá trình giải Vì vậy theo hướng trên ta nhận được lời giải đúng nhưng không đẹp

Để khắc phục được tình trạng trên, chúng ta sử dụng phương pháp sau:

Viết lại hệ (I) dưới dạng:

Như vậy ta có một lời giải hoàn toàn mới, trong lời giải trên sự bình đẳng của

x và y được duy trì trong suốt quá trình giải

Hệ quả 1: Đường thẳng y=kx+m là tiếp tuyến của (E) khi và chỉ khi

a  b   tức d 0, là tiếp tuyến của

elip (E) Vậy d 0 là tiếp tuyến của elip (E) tại M 0 (x 0 ,y 0 ) thuộc (E)

Phương pháp thành lập phương trình d 0 dạng trên gọi là phương pháp phân đôi toạ độ

1.3 phương trình tiếp tuyến của đường elip

Cách 1: Ta thực hiện các bước sau:

b1, Dựa vào điều kiện K ta giả sử đường thẳng d có phương trình

d: Ax+By +C=0

b2, Xác định điều kiện tiếp xúc của d và (E)

b3, Kết luận về tiếp tuyến đó

Chú ý Điều kiện K thường gặp là:

1 Tiếp tuyến đi qua một điểm M cho trước, khi đó:

a Nếu M 0 (x 0 ,y 0 ) thuộc (E) ta có ngay phương trình tiếp tuyến

bằng phương pháp phân đôi toạ độ

b Nếu M 0 (x 0 ,y 0 ) không thuộc (E) ta giả sử

d : A(x-x 0 )+B(y-y 0 )=0 (A 2 +B 2 >0) d: Ax+By – (Ax 0 +By 0 )=0 (2)

2 Tiếp tuyến có hệ số góc cho trước

a Tiếp tuyến song song với đường thẳng :AxBy C 0

u v cos

Cách 2 Đi tìm tiếp điểm rồi sử dụng phương pháp phân đôi toạ độ để giải

Ta thực hiên theo các bước sau:

b1, Giả sử M 0 (x 0 ,y 0 ) là tiếp điểm, khi đó phương trình tiếp tuyến có

x  y  Viết phương trình tiếp tuyến của (E)

đi qua điểm M(2,1)

Giải

Nhận xét rằng điểm M(2,1) thuộc elip, do đó phương trình tiếp

tuyến d của (E) có dạng

đường thẳng đi qua hai tiếp điểm của (E) với hai tiếp tuyến trên

ngoài (E) Suy ra qua M có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến (E)

b Ta lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1 Đường thẳng d qua M có dạng d: A(x-3)+B(y+4)=0

Cách 2 Gọi M 0 (x 0 ,y 0 ) là tiếp điểm của (E) với tiếp tuyến d cần tìm khi đó

M 0 (x 0 ,y 0 ) thuộc (E) khi và chỉ khi

Nhận xét rằng toạ độ hai tiếp điểm đều thoả mãn phương trình (*) Do đó

phương trình đường thẳng đi qua hai tiếp điểm có dạng x-3y-3=0

Nhận xét Với đòi hỏi của bài toán trên việc lựa chọn cách giải 2 lời giải đơn

a Tiếp tuyến song song với đường thảng :x2y 6 0

b Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng :x y 0

d vuông góc với đường thẳng :x y 0 nên có phương trình

d x:   y C 0

d là tiếp tuyến của (E) nên suy ra 1.16+1.9=C2 5

5

C C





   Vậy ta có hai tiếp tuyến d x1:   y 5 0, d2:x  y 5 0thoả mãnn yêu cầu bài toán

VD4 Viết phương trình tiếp tuyến của elip (E) :

k  ta được phương trình đường thẳng d 1 : x-3y+3m=0

d 1 là tiếp tuyến của (E) khi 1.9+9.4=9m2

55

m m

 

 

 



Vậy ta được hai tiếp tuyến d 1,1 : x-3y+3 5=0, d 1,2 : x-3y-3 5=0

Với k=-3 ta được phương trình đường thẳng d 2 : 3x+y-m=0

d 2 là tiếp tuyến của (E) khi 9.9+1.4=m2 85

85

m m

Kết luận Tồn tại bốn tiếp tuyến d 1,1 , d 1,2 , d 2,1 , d 2,2 tới (E) thoả mãn yêu cầu

x  y  Lập phương trình tiếp tuyến của (E), biết

tiếp tuyến tạo với đường thẳng : 2x y 0 một góc 450

a Tiếp tuyến qua điểm A(3,0)

b Tiếp tuyến đi qua B(4,2)

c Tiếp tuyến song song với đường thẳng :x  y 6 0

d Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : 2x  y 2 0

Đáp án: a x-3=0; b y-2=0 và 16x-7y-50=0; c x-y- 41=0 và x-y+ 41 =0: d x+2y+5=0 và x+2y-5=0

3 Viết phương trình tiếp tuyến của (E):

Chương2: tiếp tuyến của đường hypebol

2.1 Hypebol

2.1.1 Định nghĩa đường Hypebol

Cho hai điểm cố định F và 1 F với 2 F F1 2 2c (c>0) Đường hypebol (còn gọi là hypebol) là tập hợp các điểm M sao cho MF1MF2 2a , trong đó a là số cho trước nhỏ hơn c Khí hiệu hypebol bởi (H)

Hai điểm F , 1 F gọi là các tiêu điểm của hypebol 2

Khoảng cách 2c được gọi là tiêu cự của hypebol

2.1.2 Phương trình chính tắc của hypebol

Cho hypebol (H) như trong định nghĩa trên Ta chọn hệ trục toạ độ Oxy

gốc là trung điểm của đoạ thẳng F F và 1 2 F nằm trên tia Ox 2

F 1 c,0)

(-M(x, y)

F 2 (c, 0)

O

Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của hypebol

Gốc toạ độ O là tâm đối xứng của hypebol

Ox, Oy là hai trục đối xứng của hypebol

Trục Ox (chứa hai tiêu điểm) gọi là trục thực, trục Oy gọi là trục ảo của

hypebol Người ta cũng gọi đoạn thẳng nối hai đỉnh của hypebol là trục thực, khoảng cách 2a giữa hai đỉnh là độ dài trục thực, 2b gọi là độ dài trục ảo

Hypebol gồm hai phần nằm hai bên trục ảo, mỗi phần gọi là một nhánh của hypebol

Hai đường thẳng bx+ay=0 và bx-ay=0 là hai đường tiệm cận của

Khi d là tiếp tuyến của (H), ta cũng nói d tiếp xúc với (H) hay d và (H) tiếp xúc nhau Điểm chung duy nhất của d và (H) gọi là tiếp điểm

Đường thẳng d tiếp xúc với (H) khi và chỉ khi hệ sau :

a  b   tức d 0, là tiếp tuyến của

hypebol (H) Vậy d 0 tiếp xúc với (H) tại M 0 (x 0 ,y 0 ) thuộc (H)

Phương pháp tìm ra phương trình đường thẳng d 0 có dạng trên gọi là phương pháp phân đôi toạ độ

2.3 phương trình tiếp tuyến của đường Hypebol

a b  Để xác định phương trình tiếp tuyến của

(H) ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1 Ta thực hiện theo các bước sau:

b1, Dựa vào điều kiện K của giả thiết, ta giả sử được đường thẳng d có

phương trình d Ax: By C 0

b2, Giải điều kiện tiếp xúc A 2 a 2 - B 2 b 2 =C 2

b3, Kết luận về tiếp tuyến d

Chú ý: Điều kiện K thường gặp là:

1 Tiếp tuyến đi qua một điểm M cho trước, khi đó:

a Nếu M 0 (x 0 ,y 0 ) thuộc (H) ta có ngay phương trình tiếp tuyến bằng

phương pháp phân đôi toạ độ

b Nếu M 0 (x 0 ,y 0 ) không thuộc (H) ta giả sử

d : A(x-x 0 )+B(y-y 0 )=0 (A 2 +B 2 >0) d: Ax+By – (Ax 0 +By 0 )=0 (2)

2 Tiếp tuyến có hệ số góc cho trước

a Tiếp tuyến song song với đường thẳng :AxBy C 0

Cách 2 Đi tìm tiếp điểm rồi sử dụng phương pháp phân đôi toạ độ để giải

Ta thực hiên theo các bước sau:

b1, Giả sử M 0 (x 0 ,y 0 ) là tiếp điểm, khi đó phương trình tiếp tuyến có

12

b Lập phương trình tiếp tuyến của (H) vuông góc với 

Giải:

a Ta có thể chọn một trong hai cách sau:

Cách 1 Đường thẳng d song song với  có phương trình:

C





      Với C=2 ta có tiếp tuyến d 1 : x-y+2=0

Với C=-2 ta có tiếp tuyến d 2 : x-y-2=0

Vậy tồn tại hai tiếp tuyến d 1 và d 2 tới (H) thoả mãnn yêu cầu bài toán

Cách 2 Giả sử tiếp điểm cần tìm là M 0 (x 0 ,y 0 ), khi đó phương trình tiếp

0

4

4, 24

2

x

M x

Với M1 4,2 thay vào (1) ta được tiếp tuyến d 1 : x-y-2=0

Với M2 4, 2 thay vào (1) ta được tiếp tuyến d 2 : x-y+2=0

Vậy tồn tại hai tiếp tuyến d 1 và d 2 tới (H) thoả mãnn yêu cầu bài toán

Nhận xét: Nếu ta chọn cách 2 thì từ (3) ta có ngay phương trình đường

thẳng đi qua hai điểm M 1 , M 2 tức là: M M1 2:x2y0 Tuy nhiên khi bài toán không đòi hỏi tới tiếp điểm thì cách 2 lại trở lên cồng kềnh, dễ gây nhầm lẫn khi giải toán

b Ta cũng có thể lựa chọn một trong hai cách giải sau

C





     

Với C=2 ta có tiếp tuyến d 1 : x+y+2=0

Với C=-2 ta có tiếp tuyến d 2 : x+y-2=0

Vậy tồn tại hai tiếp tuyến d 1 và d 2 tới (H) thoả mãnn yêu cầu bài toán

Cách 2 Giả sử tiếp điểm cần tìm là M 0 (x 0 ,y 0 ), khi đó phương trình tiếp

0

4

4, 24

2

x

M x

Với M24, 2  thay vào (1) ta được tiếp tuyến d 2 : x+y-2=0

Vậy tồn tại hai tiếp tuyến d và d tới (H) thoả mãnn yêu cầu bài toán

VD3 Cho hypebol (H) có phương trình  : 2 2 0

16 9

trình tiếp tuyến của (H) biết:

a Tiếp tuyến đi qua điểm A(2,1)

b Tiếp tuyến tạo với đường thẳng : 2x y 2007 một góc 450

Vậy tồn tại hai tiếp tuyến d 1 và d 2 tới (H) thoả mãnn yêu cầu bài toán

b Giả sử tiếp tuyến d có hệ số góc k Khi đó:

0

12

1 2

3

k k

m m

 

 

 



Với m 135 ta được tiếp tuyến d2,1: 3x y 1350

Với m  135 ta được tiếp tuyến d2,2: 3x y 1350

Vậy tồn tại hai tiếp tuyến d2,1và d2,2 tới (H) thoả mãnn yêu cầu bài toán

C Bài tập đề nghị

1 Cho hypebol  : 2 2 1

9 16

H   Lập phương trình tiếp tuyến của (H),

biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng :x3y20070 một góc 450

a Tiếp tuyến đi qua điểm A(1,-1)

b Tiếp tuyến song song với đường thẳng 1: 3x2y20070

3.1.1 Định nghĩa đường parabol

Cho một điểm F cố định và một đường thẳng  cố định không đi qua F Tập hợp các điểm M cách đều F và  được

gọi là đường parabol (hay parabol).Khi hiệu (P)

Điểm F được gọi là tiêu điểm của Parabol

Đường thẳng  được gọi là đường chuẩn

của parabol

Khoảng cách từ F đến  được goị là tham số tiêu của

parabol

3.1.2 Phương trình chính tắc của parabol

Cho parabol với tiêu điểm F và đường chuẩn , kẻ FP vuông góc với 

( P), đặt FP=p (tham số tiêu) Ta chọn hệ toạ độ Oxy sao cho O là trung điểm

Phương trình (1) được gọi là phương trình

Chú ý: Ngoài phương trình có dạng chính tắc (1), parabol còn có các dạng

phương trình sau: y 2 =-2px (p<0); x 2 =2py (p>0); x 2 =-2py (p<0)

3.2 Tiếp tuyến của đường parabol

3.2.1 Định nghĩa

Cho parabol (P) và đường thẳng d Đường thẳng d được gọi là tiếp tuyến

của parabol (P) nếu d không song song với trục của (P) và d có điểm chung duy

nhất với (P)

Khi d là tiếp tuyến của parabol (P), ta cũng nói d tiếp xúc với (P) hay d và

(P) tiếp xúc nhau

3.2.2 Định lí

Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P): y 2 =2px (p>0) đường thẳng d:

Ax+By+C=0 là tiếp tuyến của parabol (P) khi và chỉ khi:

Đường thẳng d tiếp xúc với parabol (P) khi và chỉ khi hệ (I) có nghiệm

duy nhất và A0 Từ phương trình (2) ta suy ra x By C

A

Chú ý: Bằng cách chứng minh tương tự đối với các parabol có dạng:

(P 1 ): y 2 =-2px d tiếp xúc với (P 1 ) khi và chỉ khi pB2  2AC

(P 2 ): x 2 =2py d tiếp xúc với (P 2 ) khi và chỉ khi pA2 2BC

(P 3 ): x 2 =-2py d tiếp xúc với (P 3 ) khi và chỉ khi pA2  2BC

Hệ quả 2 Cho parabol (P): y 2 =2px (p>0), đường thẳng d 0 tiếp xúc với

parabol (P) tại M 0 (x 0 ,y 0 ) P khi và chỉ khi d 0 có phương trình dạng

d 0 : y 0 y=p(x+x 0 )

Chứng minh:

Viết lại phương trình của d 0 : px-y 0 y-px 0 =0

Dễ thấy d 0 đi qua M 0 (x 0 ,y 0 ) , mặt khác

Chú ý: Bằng cách tương tự đối với các parabol có dạng:

(P 1 ): y 2 =-2px tiếp tuyến tại M 0 (x 0 ,y 0 ) P1 có dạng

3.3 phương trình tiếp tuyến của đường parabol

A Cách xác định

Cho parabol (P): y 2 =2px Để xác định phương trình tiếp tuyến của (P) ta

có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1 Ta thực hiện theo các bước sau:

b1, Dựa vào điều kiện K của giả thiết, ta giả sử được đường thẳng d có

phương trình d Ax: By C 0

b2, Giải điều kiện tiếp xúc dựa vào dạng của Parabol

b3, Kết luận về tiếp tuyến d

Chú ý: Điều kiện K thường gặp là:

1 Tiếp tuyến đi qua một điểm M cho trước, khi đó:

a Nếu M 0 (x 0 ,y 0 ) thuộc (P) ta có ngay phương trình tiếp tuyến bằng

phương pháp phân đôi toạ độ

b Nếu M 0 (x 0 ,y 0 ) không thuộc (P) ta giả sử

d : A(x-x 0 )+B(y-y 0 )=0 (A 2 +B 2 >0) d: Ax+By – (Ax 0 +By 0 )=0 (2)

2 Tiếp tuyến có hệ số góc cho trước

a Tiếp tuyến song song với đường thẳng :AxBy C 0

Cách 2 Đi tìm tiếp điểm rồi sử dụng phương pháp phân đôi toạ độ để giải

Ta thực hiện theo các bước sau:

b1, Giả sử M 0 (x 0 ,y 0 ) là tiếp điểm, khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng:

y y p xx (1)

Điểm M 0 (x 0 ,y 0 ) thuộc (P) nên y o2 2px0 (2)

b2, Sử dụng điều kiện K của giả thiết ta thiết lập thêm một phương trình

theo x0, y0 (3)

3b, Giải hệ tạo bởi (2) và (3) ta được toạ độ điểm M 0 , từ đó thay vào (1)

ta được phương trình tiếp tuyến cần xác định

a Qua điểm A(2,-2)

b Đi qua điểm B(1,2)

c Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

1: 2x y 2007 0

d Tiếp tuyến tạo với đường thẳng 2: 2x y 20070 một góc 450

e Tiếp tuyến song song với đường thẳng

Giải:

a Dễ dàng kiểm tra thấy điểm A(2,-2) thuộc Parabol Suy ra phương

trình tiếp tuyến tại A có dạng