Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 46 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
46
Dung lượng
1,17 MB
Nội dung
B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI
» HỌC
» s u PHẠM
» HÀ NỘI
• 2
KHOA: VẬT LÝ
VŨ THỊ LAN
•
LÝ THUYẾT CHUYẺN PHA LOẠI II TRONG MÔ
HÌNH GINZBURG - LANDAU HAI THAM SỐ
TRẬT T ự
Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
T.s NGUYỄN TRÍ LÂN
HÀ NỘI 2015
i
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bảy tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới T i ế n sĩ N g u y ễ n T r í L â n - Viện
Vật lý thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Thầy đã hướng dẫn tận
tình, đầy hiệu quả, thường xuyên chỉ bảo. giúp đỡ, động viên, tạo môi trường làm việc
tốt nhất cho tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài.
Tôi xin chân th àn h cảm ơn Ban Giám hiệu Trường ĐHSP Hà Nội II, các thầy cô trong
khoa vật lý đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và làm luận
văn tốt nghiệp.
Xin cảm ơn các thầy cô trong Viện Vật Lí đã giúp đỡ, đóng góp, cung cấp cho tôi những
kiến thức bổ ích về vấn đề nghiên cứu.
Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân trong gia đình và
bạn bè đã cổ vũ động viên, tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt thời gian học tập vả làm
khóa luận.
H à N ội, tỉiáng 05 năm 20ỉ 5
Tác giả
Vũ Thị Lan
ii
LỜI C A M Đ O A N
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của Tiến
sĩ Nguyễn Trí Lân. Luận văn không hề trùng lặp với những đề tài khác.
H à N ội, tháng 05 năm 2015
Tác giả
Vũ Thị Lan
Mục lục
Lời cảm ơ n ............................................................................................................................................................................
i
Lời cam đ o a n ......................................................................................................................................................................
ii
Mục
ii
l ụ c .....................................................................................................................................................................................
Mở đầu
1
Lý do chọn đề t à i ................................................................................................................................................................
1
Mục đích nghiên c ứ u .....................................................................................................................................................
2
Nhiệm vụ nghiên c ứ u .....................................................................................................................................................
2
Đối tượng nghiên c ứ u .....................................................................................................................................................
3
Phương pháp nghiên c ứ u ...............................................................................................................................................
3
Tổng quan về hiện tượng chuyển pha.
4
1.1
Hiện tượng chuyển pha.......................................................................................................................................
4
1.2
Phân loại chuyển pha...........................................................................................................................................
7
1.3
Các lý thuyết chuyển pha.................................................................................................................................
8
1.3.1
1.4
Lý thuyết chuyển pha của Landau.................................................................................................
Lý thuyết chuyển pha trong hệphức hợp................................................................................................ 13
1.4.1
Lý thuyết Landau trong hệ phức hợp............................................................................................ 13
1.4.2
Lý thuyết Ginzburg - Landau...............................................................................................................16
Lý thuyết chuyển pha bậc hai Ginzburg - Landau
18
2.1
Tham số trật t ự ...................................................................................................................................................18
2.2
Phiếm hàm Ginzburg - Landau một tham số trật t ự ................................................................19
2.2.1
2.3
9
Các nghiệm không đồng đều của lý thuyết Ginzburg Landau
.............................20
Phiếm hàm Ginzburg - Landau hai tham số trật t ự ....................................................................... 25
2.3.1
“ Một hàm sóng vĩ mô” ..........................................................................................................................25
2.3.2
Trật tự tầm xa ngoài đường chéo và các trạng thái kếth ợ p ....................................... 27
2.3.3
Tính chất cứng pha và tính siêu chảy (Phase rigidity
2.3.4
andsuper flow)
. . .
Các xoáy và tính on định tôpô của siêu chảy (Vortices and topological
stability of s u p e r f l o w ) ........................................................................................................................ 33
31
ii
Mục lục
2.4 Một số ứng dụng của lý
số trật tự đối vói các hệ
3
A
thuyết chuyển pha bậc haiGinzburg - Landau hai tham
phức hợp.......................................................................................................... 35
Kết luận
37
Tài liệu tham khảo
38
Tích phân Gaussian và tích phân phiếm hàm
39
M ở đầu
Lí do chọn đề tài
Hiện tượng chuyển pha có thể được tìm thấy khắp nơi trong tự nhiên. Các pha khác nhau
của nước HọO (hơi nước, lỏng và băng) được biết đến thường xuyên nhất cũng với sự
biến đổi qua lại giữa các pha này trong các vận động của tự nhiên. Những thay đổi của
các pha (lược gọi là chuyên pha. Các hiện tượng chuyên pha có ý nghĩa quan trọng không
chỉ trong các quá trình vận động của tự nhiên, mả còn trong cả các ngliảnh công nghiệp.
Những ví dụ hàng ngày về hiện tượng chuyển pha có thể được kể tới bao gồm sự bay hơi
của chất lỏng, sự hình thành của các khối băng, lớp nước dạng lỏng trên các bề m ặt, sự
chế tạo các vật liệu khác nhau trong công nghiệp luyện kim ...
Nghiên cứu chuyển pha lả một chủ đề có tầm quan trọng đặc biệt cung cấp các hiểu
biết sâu sắc về tự nhiên và về xã hội. Trong nhiều th ập k}r, các nỗ lực nghiên cứu đã,
đang và sẽ được thực hiện nhằm phát triển và thúc đẩy nhận thức về hiện tượng chuyển
pha trong các khoa học truyền thống và trong các khoa học liên ngành mới nổi trên các
khía cạnh lý thuyết vả thực nghiệm.
về mặt lịch sử. các nghiên cứu về hiện tượng chuyên pha được bắt đầu từ những nghiên
cứu vật lý. Sự hiểu biết mang tính vi mô tiên phong về hiện tượng chuyển pha được thiết
lập bởi Van Der Waals, người đã vào năm (1873) đã trình bày một lý thuyết nguyên thủy
về sự chuyển pha khí - lỏng. Trong luận án tiến sĩ của mình, ông đã trình bày phương
trình trạng thái Van Der Waals, và liên kết các thông số của phương trình với một mô
hình phân tử. Mặc dù đó mới chỉ là nỗ lực đầu tiên, nghiên cứu của Van Der Waals đặt
ra những ý tưởng cơ bản mà sự hiểu biết lý thuyết hiện đại lấy làm nền tảng. Sau đó,
Landau (1937) đã đề xuất một cách tiếp cận (không hoàn toàn vi mô) đặc biệt có ý nghĩa
đồi với việc hiểu biết về chuyển pha bậc hai và đối với sự phát triển sau này của lý thuyết
chuyên pha. Một bước phát triển tối quan trọng được (lưa ra do Wilson (1971) và những
người khác, những người đã phát triến một tập hợp m ạnh mẽ và thống nhất các khái
niệm (về cơ bản, ý tưởng về mở rộng quy mô gần điểm tới hạn và nhóm tái chuẩn hoá)
đối với chuyển pha bậc hai.
Vê m ặt lý thuyết vi mô, chuyển pha bậc một chưa có được những hiểu biết đầy đủ như
chuyển pha bậc hai, và các nghiên cứu hiện tại hầu như chỉ dựa trên lý thuyết trường
trung bình, mà trong khuôn khổ cuả luận văn sẽ chỉ được đề cập trong lý thuyết chung
1
M ở đầu
về chuyển pha.
Hiện tượng chuyển pha bậc hai xảy ra khi một trạng thái mới với đối xứng rút gọn phát
triển một cách liên tục từ trạng thái m ất trậ t tự tại Iihiệt độ cao. P ha trật tự mới hình
thành có tính đối xứng thấp hơn trong mô tả vi mô ban đầu
hiện tượng phá vỡ đối xứng
tự phát. Theo hình thức luận Landau, để mô tả trạng thái trậ t tự, một vài tham số trậ t
tự vĩ mô được định nghĩa nhằm phản ánh các đặc trưng và cường độ của tính đối xứng
bị phá vỡ. Hệ thức năng lượng tự do phụ thuộc vào tham số trậ t tự, do vậy, được gọi là
phiếm hàm năng lượng Ginzburg
Landau, ghi nhận ý tưởng nguyên thuỷ của Landau
và Ginzburg trong lý thuyết chuyên pha bậc hai.
Lý thuyết chuyên pha bậc hai Ginzburg
cứu chuyển pha kim loại
Landau đặc biệt thành công trong các nghiên
siêu dẫn, thuận từ
sắt từ, ngưng tụ Bose - Einstein, lỏng
rắn trong các vật liệu hai chiều, tinh thể lỏng, ... Những nghiên cứu gần đây trong các
khoa học liên ngành và vật lý hệ phức hợp cũng đã chỉ ra tính hiệu quả của các ứng dụng
lý thuyết chuyển pha bậc hai Ginzburg
Laudau trong việc mô tả hàng loạt hiện tượng
chuyển pha và tính tới hạn không chỉ trong các khoa học tự nhiên mà còn cả trong các
khoa học kinh tế
xã hội, những lĩnh vực dường như không tìm được các liên hệ trực
tiếp với vật lý.
Một cách tổng quát, các hiện tượng chuyến pha của hệ phức hợp trong vật lý nói riêng
và trong tự nhiên và xã hội nói chung (tòi hỏi được mô tả một cách đồng thời bởi nhiều
tham số trậ t tự (vô hướng và có hướng), phản ánh nhiều pha trậ t tự đồng xuất hiện và
đồng tồn tại trong các hệ phức hợp. Do vậy, việc nghiên cứu lý thuyết chuyển pha bậc
hai Ginzburg - Landau với nhiều tham số tham số trậ t tự được đặt ra như một đòi hỏi
tấ t yếu của sự p h á t triển lý thuyết tổng quát về chuyển pha.
Vì những lí do trên, đề tài ”L ý th u yế t chu yên pha loại hai trong m ô hỉnh
Ginzburg - La n d a u hai th a m số tr ậ t tự ” được chọn làm khóa luận tốt nghiệp của
sinh viên Vũ Thị Lan.
Mục đích nghiên cứu
• Tìm hiểu m ột cách tổng quát về lý thuyết chuyển pha.
• Tìm hiếu ứng (lụng của lý thuyết chuyên pha bậc hai Ginzburg
Landau trong
nghiên cứu các hệ phức hợp nói chung và các hệ vật lý nói riêng.
Nhiệm vụ nghiên cứu
• Xây (lựng phiếm hàm Ginzburg
Landau hai tham số trậ t tự trong một số hệ phức
hợp.
2
M ở đầu
• Thực hiện một số tính toán giải tích đồi với phiếm hàm Ginzburg
Landau hai
tham số trậ t tự tổng quát.
Đối tượng nghiên cứu
• Lý thuyết chuyên pha bậc hai Ginzburg
• Phiếm hàm Ginzburg
Landau.
Landau hai tham số trậ t tự.
• Tính tới hạn và các hiện trượng tập thể trong các hệ phức hợp.
Phương pháp nghiên cứu
• ứ n g dụng các công cụ vật lý lý thuyết hiện đại như lý thuyết hệ nhiều hạt, lý thuyết
các hệ phức hợp, vật lý thống kê, ...
• Sử dụng các phần mềm tính số và xây dựng đồ thị thể hiện các kết quả giải tích thu
được trong và sau quá trình tính toán giải tích đồi với các đối tượng thuộc phạm vi
nghiên cứu.
• Thảo luận, trao (toi với những nhà nghiên cứu cỏ cùng đối tượng nghiên cứu nhằm
làm rõ và nâng cao nhận thức và kỹ năng trong lĩnh vực nghiên cứu
3
CHƯƠNG 1
Tổng quan về hiện tượng chuyển pha.
- SECTION 1.1 -------------------------------------------------------------------
Hiện tượng chuyển pha.
Nghiên cứu hiện tượng tới hạn và sự chuyển pha là một phần quan trọng trong vật lý vật
chất Iigưng tụ hiện đại. Sự chuyến pha liên q u a il tới sự thay đổi pha của một hệ. dẫn tới
sự thay đối của những tham số bên ngoài như nhiệt độ. (lẫn điện... Đặc biệt, sự chuyến
pha lượng tử là sự chuyến tiếp khi nhiệt độ giảm đến nhiệt độ nào đó thì (tiện trở của hệ
tiến về 0, và quá trình chuyển pha của hệ được biểu diễn bằng một hàm Hamilton. Qúa
trình chuyển pha của hệ khi đi qua điểm tới hạn, thì có một số tính chất của chúng như độ
dài tương quan (correlation length), độ dài kết hợp, nhiệt dung riêng và độ cảm từ trỏ lên
phân kỳ. Sự chuyển pha liên tục của hệ được miêu tả trong lý thuyết Ginzburg-Landau.
Đầu tiên chúng ta nghiên cứu về hiện tượng chuyển pha từ chất khí sang chất lỏng (
hay còn gọi là hiện tượng ngưng tụ của chất khí ). Các giai đoạn chuyển pha của hiện
tương này được mô tả bằng biểu đồ pha như hình vẽ
Trong đồ thị (P , T ), hiện tượng chuyên pha được mô tả theo đường cong có (lạng một
nửa hình Parabol và đi qua điểm tới hạn có tọa độ là (TC, P C).
Trong đồ thị ( P , v — V Ị N ) quá trình chuyến pha (liễn ra trong một khoảng
ngắn, khi hỗn hợp chất khí và chất lỏng có mật độ
pg = 1/vg,
và ở nhiệt độ
T < Tc.
Không phân biệt được mật độ chất khí và chất lỏng khi ở gần Tc,
4
thời gian
Tổng quan về hiện tượng chuyển pha.
p
Hình 1.1.1.: Chuyển pha Lỏng - Khí
Hình 1.1.2.: Chuyển pha Lỏng - Khí
5
Tổng quan về hiện tượng chuyển pha.
tức là ,
pl ->• pg,
giống như ,
Đường đẳng nhiệt là đường biểu diễn sự phụ thuộc của áp suất vào thể tích sẽ thẳng
hơn nếu ở gần Tc. Điều này có nghĩa
1 ỠV
k,T = - — — ,
V dP
cũng như
T
TỊ.
Làm thế nào để phân biệt giai đoạn chuyển pha trong chất thuận từ và trong chất sắt
từ trong Sắt. Những vật liệu này sẽ trở thành nam châm tự nhiên khi nó ở nhiệt độ Curie
”7V’. Đường biểu diễn cường độ từ trường đi qua điểm này bằng 0, giống với đường đắng
nhiệt. Moomen từ trường M ( H ) có nhiều điểm chung giống như hiện tượng ngưng tụ.
Hình dạng của biêu đồ pha rất đơn giản bởi vì các (tối xứng H — y —H. ta biết rằng có
điểm tới hạn khi H c = M c = 0.
Bằng trực giác ta thấy rằng chuyến pha sắt. từ và chuyến pha lỏng khí là khác nhau.
Chuyển pha sắt từ mà chúng ta quan sát được là chuyển pha loại I I , khối lượng m đóng
vai trò là tham số trậ t tự, hiện tượng chuyển pha diễn ra liên tục trong quá trình chuyển
pha. Mặt khác, khi chúng ta đun sôi nước ta thấy nước chuyển đổi từ chất lỏng sang chất
khí gọi lả chuyển pha loại / , tham số trậ t tự là m ật độ xác định và mật độ tại điểm tới
hạn, p — pc có bước nhảy tại điểm tới hạn và kèm theo một nhiệt lượng (entropy của hệ
Q l = TCA S ).
Tuy nhiên chúng ta có thể nhận thấy sự khác nhau trong hai trường lìỢp trên bằng
thực nghiệm:
Đối với chất sắt từ giá trị cường độ từ trường
6
Tổng quan về hiện tượng chuyển pha.
H = 0.
Ờ nhiệt độ ,
T > Tc,
mooinen từ trung bình ,
M = 0.
Đối với nhiệt (tộ .
T < Tc,
rnoornen từ tăng liên tục từ 0. Đây là chuyến pha loại I I .
Còn đối với chất lỏng nhiệt độ không phụ thuộc vào áp suất mà phụ thuộc vào m ật độ.
Đây là chuyển pha loại I .
- SECTION 1.2 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Phân loại chuyển pha.
Bây giờ chúng ta xét sự chuyến pha, tức là sự chuyến trạng thái của hệ từ pha
I1Ọ
qua
pha kia. Có hai loại chuyến pha, lả chuyển pha loại một và chuyến pha loại hai.
Chuyển pha loại I: Chuyển pha loại một là chuyển pha trong đó có các đại lượng quảng
tính như thể tích, nội năng, entropy,... biến đổi gián đoạn. Vì các đại lượng như thế đều
là đạo hàm bậc nhất của các hàm thế nhiệt động lực nên cũng có thể nói chuyển pha
loại một là chuyển pha trong đó đạo hàm bậc nhất của các hàm thế nhiệt động lực là
gián đoạn, còn bản thân các hàm thế thì vẫn liên tục. Sự tan chảy của băng hoặc nước
7
Tổng quan về hiện tượng chuyển pha.
từ trạng thái lỏng sang trạng thái hơi đều là chuyển pha loại ỉ.
Chuyển pha loại II: Các loại chuyển pha mà khi năng lượng của hệ thay đổi liên tục
nhưng đạo hàm của năng lượng theo nhiệt độ thay đổi kliông liên tục. Nhớ rằng nhiệt
dung Cy vả Cp lả đạo hàm của năng lượng theo nhiệt độ.
Cv = (ỡf)
k
và
r
p
= ( d- ị \ ,
\ ỹ T ) 'p
Vì thế chuyển pha loại I I là nhiệt dung ( hoặc nhiệt dung riêng ) không liên tục.
Hình 4. chuyến pha loại 1 và chuyển pha loại 2
Thí dụ đặc trưng nhất về chuyển pha loại hai lả chuyến pha từ chất (lẫn điện thường
sang chất siêu clẫn. Như chúng ta đã biết, ở nhiệt độ đủ thấp, trong rất nhiều kim loại
xảy ra hiện tượng chuyển pha sang rạng thái mới, trạng thái siêu dẫn. Ớ trạng thái này
các tính chất nhiệt động và điện tử của kim loại khác xa so với tính chất của nó ở trạng
thái thường. Có thể hầu hết các vấn đề này là, khi kim loại bị làm lạnh xuống dưới một
nhiệt độ tới hạn xác điịnh nào đó, nó chấm dứt ngay lập tức sự có m ặt của điện trở đối
với dòng điện..., không có sự tiêu hao năng lưựng xảy ra khi dòng đi qua vật siêu dẫn.
Chuyển pha từ trạng thái thường sang trạng thái siêu dẫn là chuyển pha loại I I với đặc
trưng là nhiệt dung của kim loại có bước nhảy tại nhiệt độ chuyến pha.
- SECTION 1.3 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Các lý thuyết chuyển pha.
Các định luật đơn lẻ trong vùng lân cận của điểm tới hạn được đặc trưng bởi tập hợp
các hàm số mũ. Các hàm số mũ mô tả hiện tượng chuyển pha là các hàm tích phân nhiệt
động lực học. Đáng chú ý là một số quá trình chuyên pha khác nhau như chuyến pha chất
8
Tổng quan về hiện tượng chuyển pha.
lỏng sang chất khí và chuyển pha sắt từ có thể được mô tả bằng cùng một hàm mũ tổng
quát.
Hàm mũ xác định luật tới hạn có thể được xác định bằng lý thuyết xác suất thống kê.
Đầu tiên ta xét hàm m ật độ xác suất theo hàm số mũ như sau:
P ( x ) = ae~ax,
Với
X <
o,
ta có:
(x) = 1/ a , {x2) = 2Ịa.
vì vậy xác định một hàm phân bố điển hình là I/o,, ta được:
P(x) = —
v '
x 1+li
Với
/V, < 1, (x) —> oo,
nó không bị chặn, đối với
/y, < 2, (x) —> oo.
bị chặn nên nó bị giới hạn.
- SUBSECTION 1.3.1 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Lỷ thuyết chuyển pha của Landau.
- SUBSUBSECTION 1.3 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ánh hưởng của thế nhiệt động học:
Tại điểm tới hạn (là điểm ở đó xảy ra liiện tượng chuyển pha liên tục vói tham số không
gian) các tham số biến mất trong quá trình liên tục, khi đó cấu trúc của quá trình chuyển
pha đối xứng. Trong lý thuyết Landau tham số trậ t tự tp được coi là một biến vĩ mô, mô
9
Tổng quan về hiện tượng chuyển pha.
tả một trạng thái cân bằng chưa đầy đủ. giá trị cân bằng được tìm thấy nhỏ đúng bằng
thế nhiệt động học
Xét hệ kín tại điểm giới hạn thì các tham số trậ t tự là nhỏ nhưng xa điểm tới hạn hệ
có thể được giả định là một hàm đồng nhất và thế nhiệt động lực học là hàm của các
tham số thứ tự và các biến trạng thái. Thế nhiệt động lực học được khai triển bằng hàm
của tham số trậ t tự và các biến số trạng thái ban đầu là nhiệt độ và áp suất như sau:
G (p , T, ip) = Go (P , T ) + a , và, m ặ c d ù h à m c ủ a p và T đ ư ợ c coi là k h ô n g đổi. với A > 0 giá
trị tối thiểu của 2.3.1 là (p = 0. Tuy nhiên trong trường hợp A < 0 . Kì dị không biến
m ất mà ở giữa hai giá trị tối thiểu. Đường biểu diễn giá trị A — 0 là đường đi qua điểm
chuyển pha. Các giá trị nằm trên đường chuyển pha biểu diễn sự phụ thuộc nhiệt độ là
A = a(T — Tc).
- SUBSUBSECTION 1.3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tham số sắt từ:
Y tưỏng cơ bản của lý tlmyen Landau (lược chứng minh trong các ví (lụ về chuyến pha
sắt từ. Biếu hiện từ hóa bằng m nhấn m ạnh đó là th am số trậ t tự biếu biễn giá trị của
quá trình từ hóa cân bằng. Trong đó có mối liên hệ:
d ư sys = T d S + ị io V h .d m ,
(1.3.2)
d Faya = —S d T + tioVh.dm,
(1.3.3)
đại lượng fi, — h(T, m) là đạo hàm của thế nhiệt động lực học theo các tham số trậ t tự.
Trong quá trình cân bằng.
I1Ó
được biếu (liễn bằng cưòng độ từ trường H . Tham số trậ t
tự của năng lượng tự do phụ thuộc và T và m . .. Fsyÿ = F SÿS(T, m). Thế nội năng Gibbs
hàm sắt từ là hàm biểu diễn sự phụ thuộc của các tham số trật tự:
G sys (T, H \ m) = Fsys (T, m) - ạ 0V H . m .
(1.3.4)
Chọn m nhỏ
10
Tổng quan về hiện tượng chuyển pha.
G : ỒGỊỗĩìì, = ỖFsyaỊỏm — ụ,0V H = Ị-IqV ỉĩ — fi0V H —>■0.
Trong quá trình cân bằng chúng ta có h (T, m ) = H và trong đó m = m (T, H ) = M ì ầ
moomen từ hóa trong quá trình cân bằng và lấy đạo hàm ta được kết quả
dGgys = —S d T - ị i o V M A H .
(1.3.5)
Năng lượng phụ thuộc vào tham số trậ t tự m =1 711 I . Khi đó có thế I11 Ở rộng F
F (T, m) = Ftì (T ) + a 2 (T) m 2 H— ữ 4 (T) m 4 + ....
(1.3.6)
Gỉa sử
a 2 {T)
= a (T — Tc ) ;
a A{T)
= b = const > 0
a> 0
(1.3.7)
Hình biếu (liễn sự phụ thuộc năng lượng tự (lo vào tliam số tr ậ t tự trong lý thuyết của
Landau.
Đầu tiên H = 0 giá trị cực tiểu của G là giá trị cực tiểu của F. Từ điều kiện:
-í
—— = 2a (T — T c ) m + 2ỏm = 0,
ốm
từ đây độ cân bằng từ hóa (tược tìm thấy là:
T > T c{ .
M o (T)
=0,
M „ (T)
= ± ự l (Tc - T ) ,
(1-3.8)
T < T ,c
Mối quan hệ được xác định bằng hàm mũ giới hạn Ị3, nó mô tả tham số trậ t tự ọ giống
như hàm biểu diễn sự phụ thuộc của tham số trậ t tự vào nhiệt độ của điểm tới hạn
Tc
(1.3.10)
F (T, M o) = F0 (T ) - ^ { T c - T ) 2 ;T < Tc
r SUBSUBSECTION 1.3
Năng lượng tự do Landau
Lý thuyết Landau tập trung vào miền ĩp nhỏ, khai triển năng lượng tự do của hệ nhiều
hạt như một đa thức đơn giản:
1
T
h [’/>] = y F m =
U
(1.3.11)
• Năng lượng tự do Landau mô tả sự phụ thuộc chủ yếu của năng lượng tự do toàn
phần vào 1 ‘p. Năng lượng tự do toàn phần được cho bởi
ftoi = fn ( T ) + f M
+ oiip*},
trong đó f n là năng lượng của ’’trạng thái thường” không kể đến trậ t tự tầm xa.
• Đối với tham số trậ t tự Ising, cả hamiltonian và năng lượng tự do đều là hàm chẵn
của ĩp
= H[—ĩp]. Ta nói rằng hệ sở hữu một “tính đối xứng z 2 toàn p h ầ n ”
(global Z -2 symmetry), bởi vì Hamiltonian bất biến đối với phép biến đổi của nhóm
Zọ thực hiện ĩị) —> ±ĩị).
Với điều kiện r và u lớn hơn không, cực tiểu của/lỊV’] nằni tại •0 = 0. Lí thuyết Lanđau
giả thiết rằng tại nhiệt độ chuyến pha, r thay đối dấu, vì vậy
(1.3.12)
r = a (T -T c)
Cực tiểu năng lượng tự do xuất hiện khỉ
(T > Ta)
(1.3.13)
(■T < Tc)
vì vậy khi T < Tc, có hai cực tiểu của hàm năng lượng tự do. Lưu ý rằng
12
Tổng quan về hiện tượng chuyển pha.
• Nếu chúng ta làm lạnh hệ trong một trường ngoài nhỏ, dấu của tham số trậ t tự cho
biết dấu của trường :
(1.3.14)
Nhánh cắt này dọc theo trục nhiệt độ của giản đồ pha, là một ví dụ về điều kiện biên
chuyển pha loại một. Điểm T — Tc , h — 0 ở đây nằm ở cuối đường cắt nhánh gọi là
” điểm tới h ạ n ” .
Nếu u < 0 năng lượng tự do trở nên không bị giới hạn bên dưới. Đế xử lí vấn đề này,
năng lượng tự do Landau phải đưực khai triển theo ĩị) tới bậc sáu:
/ m = y F M
(1.3.15)
ru ,
u & f.
= -ĩị> + —lị) + — 'ìp
2
4
6
Khi u < 0 đường cong năng lượng tự (lo tiến triển ba cực tiếu và sự chuyến pha trở
thành loại một; (tiếm đặc biệt tại r = ÌI = u = 0 lả m ột tụ (liếm của các điếm tới hạn gọi
là điểm ba.
I - SECTION 1.4 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Lý thuyết chuyển pha trong hệ phức hợp.
r SUBSECTION 1.4.1
Lý thuyết Landau trong hệ phức hợp.
Các hàm nhiệt động lực học khác có thê lấy (tược từ các hàm phân bố tương ứng.
Kí hiệu / D m ( x ) dùng để chỉ tích phân phiếm hàm
Ị
D m (x ) Z [ m { x ) ,ỡ m .. .] — lim
I
dmiz[mi, { m i+1 — n i ị ) / a , ...].
ỉ=\
ước tính của z bằng cách áp dụng một điểm cực tiểu hoặc gần đúng trường trung bình
cho các thành phần phiếm hàm:
13
Tổng quan về hiện tượng chuyển pha.
Với
m i n m [/3H[m,h]]
là cực tiểu m ật độ năng lượng tự do Landau.
2+, um 4—_hm.
7
tft( m ,1 h)J = ---v = —
2m
Trong vùng lân cận điểm tới hạn m là nhỏ và ta xác định được giá trị của m bằng cách
chỉ việc giữ lại năng lượng thấp nhất của sự khai triển của /(m ,/z ) phụ thuộc nhạy cảm
vào dấu của t.
1, Đ ối với t > 0, cực tiể u x ả y r a k h i m — h .t , m —)• o kh i h —»■ 0 b á o h iệ u đ â y là h à n h
vi thuận từ.
2, Đối với t < 0, hàm f ( m , h ) bây giờ suy biến cực tiểu tại một giá trị khác 0 nào đó
của m. Do đó, m ột giá trị cực tiểu của hàm Hanilton Ginzburg - Landau cho thấy hành
vi thuận từ ứng với t > 0 và hành vi sắt từ ứng với t < 0, chúng ta có thế xác định được
các tham số trậ t tự ứng với nhiệt độ giảm (t = T — Tc / T c )- Tổng quát hơn có thể thấy
biến đối pha Hamilton Ginzburg - Landau bằng cách thiết lập:
t (T , ...) = (T - Tc )/ Tc + 0(T - Tc ) \
U( T , ...) = U„ + U1( T - Tc) + 0(T - T c ) \
K ( T , ...) = A'„ + K ^ T - T c ) + ü ự - T c ) \
Trong đó
t=(T-Tc)/Tc,
là hằng số (lương chưa biết, phụ thuộc vào tính chất vật liệu của hệ.
Từ tính: giá trị trung bình của từ tính
77/,
có thể tìm được trong điều kiện tĩnh:
df_
dm
till + 4urn - h.
14
Tổng quan về hiện tượng chuyển pha.
Trong trường không tĩnh chúng ta tìm
[0,
m = \ --------{ V —í / ,
t> 0
t < 0
Nhiệt năng: cho h = 0 , m ật độ năng lượng tự do được xác định bởi:
ị
f ( m , h = 0)X =
,
|/t=0= í°’
*
ự 2/ 1 6 u ,
1> 0
t
23
Lý thuyết chuyển pha bậc hai Ginzburg - Landau.
ta suy ra ” vận tốc:
dĩp
*
d*
(2.2.11;
2 (e + ĩĩAý])s
ỶỊỊ_ ( , _
V ĩ e V ĩỊ>ỉ)
Thay
,2 = M
'I
và
t a được:
dx = ( V 2 e / ^ 0) [ì - (ĩp/ĩp0)2]
lấy tích phân 2 vế
V2ç f
X — Xq —
*0
í
{
dĩị)
i- ( « Ã M , r >
(2.2.12)
= \ / 2 £ t a n h -1 (ijj/îjj 0 )
trong (tó
X
= Xq là điếm mà ở (tó tharn số trậ t tự (ti qua 0, vì vậy
ĩỊ) (.7;) = ĩỊj0 tanh
>
(2.2.13)
biếu thức này mô tả một nghiệm của phương trình Ginzburg - Landau định vị tại
X =
X q.
24
Lỷ thuyết chuyển pha bậc hai Ginzburg - Landau.
- SECTION 2.3 --------------------------------------------------------------------------------------------
Phiếm hàm Ginzburg - Landau hai tham số trật tự.
- SUBSECTION 2.3.1 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------
“Một hàm sóng vĩ mô” .
Bây giờ ta đi nghiên cứu lí thuyết Ginzburg - Landau về tham số trậ t tự phức hay tham
số trậ t tự hai th àn h phần. Trong luận văn này, ta sẽ tập trung vào sử dụng lí thuyết
Ginzburg Landau để hiểu các hiện tượng siêu chảy và siêu dẫn. Trọng tâm của bài thảo
luận, là sự nổi lên của một loại “hàm sóng vĩ m ô” trong đó các toán tử trường vi mô của
chất lỏng lượng tử lị) (x)có giá trị trung bình
{ ị {x)) = ĩỊj 0 )
( 2 . 0 . 1j
•
= \ĩ,(x)\e‘**
Độ lớn của tham số trậ t tự này xác định m ật độ các hạt trong chất siêu lỏng
I ĩị) (x) |2= n s (x) ,
(2.3.2)
trong khi đó sự xoắn, hay gradien của pha xác định vận tốc siêu lỏng.
Vs ix ) = — V (x) .
m
(2.3.3)
Ý tưỏng rằng hàm sóng có thế được coi là phương trình Newtonian trong một siêu lỏng
hoặc siêu dẫn đã đi đến sự đối lập sâu sắc với những gì đã biết trong vật lý lượng tử:
thoạt nhìn, nó có vẻ như không tuân theo sự giải thích Copenhagen của cơ học lượng
tử, trong đó ĩp (x) là một biến không quan sát được. Ginzburg Landau đã đề xuất một
ý tưởng táo bạo rằng ĩp (x) là một sự biểu hiện vĩ mô của 1030 hạt boson - tấ t cả ngưng
vào trong cùng trạng thái lượng tử. Thậm chí con số to lớn của trường từ Landau - tìm
thấy là khó để m à chấp nhận, và sự tranh luận vẫn tiếp diễn cho tới ngày nay.
Vitalii Ginzburg and Lev Landau đưa ra lí thuyết của họ năm 1950, như một lí thuyết
h iện tư ợ n g lu ậ n về tí n h siêu (lẫn. tr o n g đó Ip (:/;) đ ó n g vai tr ò c ủ a m ộ t h à m só ng vĩ 1110
mà nguồn gốc vi Ĩ11 Ô của
I1Ó
lúc (tó vẫn chưa (tược biết. Ta sẽ bắt đầu bằng cách minh
họa ứng (lụng của phương pháp nảy cho các chất siêu lỏng. Với một chất siêu lỏng, mật
độ năng lượng tự do Ginzburg - Landau là
fcL [i>,Vh\
=
2m
I V ÿ I2 + r I ị I2 +
^
2
I
I4 .
(2.3.4)
Ta có một vài nhận xét về năng lượng tự do Ginzburg - Landau như sau:
25
Lý thuyết chuyển pha bậc hai Ginzburg - Landau.
• Năng lượng tự do Ginzburg Landau được hiểu như m ật độ năng lượng của chất
boson ngưng tụ trong đó toán tử trường có hành vi như một tham số trật tự phức.
Điều này đưa chúng ta tới đồng nhất hệ số của số hạng gradien
s I V?/> |2= ---2m
(2.3.5)
như là động năng, vì vậy 5 = 2
• Trong trường hợp của trậ t tự Ising, “độ dài tương quan” , hay “ độ dài kết hợp” chi
phối các tính chất thăng giáng biên độ được biểu diễn bằng tham số trậ t tự được
cho bởi
£—
ri2
(2.3.6)
2m I r
■1/2
M I
trong đó
ío = í ( T = 0)
là độ dài kết hợp. Vượt quá phạm vi độ dài kết hợp này, chỉ có các thăng giáng pha
tồn tại.
• Nếu chúng ta cho các thăng giáng trong biên độ ra ngoải
4>(x) =
thì
= ỉ ( V ộ) ĩl>,
và
I
|2= n s (Vì/;)'2 .
26
Lỷ thuyết chuyển pha bậc hai Ginzburg - Landau.
Sự phụ thuộc thặng dư của động năng vào sự xoắn trong pha là
h2n s ___
.7
mns ( h _ .
= ^
-V *
.
2
lĩìi
,
(2.3.7)
\ rn
Vì m n s là m ật độ khối lượng, nên ta thấy rằng một sự xoắn pha dẫn đến sự tăng động
năng mà ta có thể gắn liền với một vận tốc ’’siêu lỏng”
ws = - ( v ự > ) .
(2.3.8)
m
SUBSECTION 2.3.2 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trật tự tầm xa ngoài đường chéo và các trạng thái kết hợp
Ý nghĩa của tham số trậ t tự phức ìp là gì? Sẽ thú vị khi liên tưởng đến giá trị trung bình
của toán tử trường
( ị (x,t)) = lị) (x,t)
(2.3.9)
Vậy mà, nghịch lí là, một toán tử trường, liên kết các trạng thái với số hạt khác nhau,
đến mức mà một giá trị trung bình có thể không bao giờ tiến triển theo một trạng thái
với một số hạt xác định. Một cách để tránh vấn đề này, được đề xuất bởi Penrose and
Onsager, đó là định nghĩa tham số trậ t tự theo các hàm tương quan. Các tác giả lưu ý
rằng ngay cả trong một trạng thái với một số hạt xác định, phá vỡ đối xứng xuất hiện
như một hệ số hóa tầm xa của hàm tương quan
(?/>f (x)
{x))
Tính chất này được gọi là “trậ t tự tầm xa ngoài đường chéo” .
Tuy nhiên, một quan điểm hiện đại hơn là trong các hệ vĩ mô, ta không cần chú ý tới
giới hạn của các trạng thái có số hạt xác định, và thực chất, ngay khi ta đưa một hệ tiếp
xúc với một bình hạt, thì các trạng thái lượng tử có số hạt xác định xuất hiện, v ấ n đề
này cũng xảy ra đối với một vật liệu sắt từ là ở đó độ từ hóa được bảo toàn. Một vật liệu
sắt từ có N spin phân cực theo hướng 2 có hàm sóng là
I z t) =
n
lì).
(2.3.10)
t= 1,iV
Tuy nhiên, nếu ta làm lạnh một nam châm đặt trong một trường dọc theo trục
X,
kết
27
Lý thuyết chuyển pha bậc hai Ginzburg - Landau.
cặp qua Hamiltonian
H = -2B S X = - B (s+ + s~)
thì ngay khi ta làm mất trường ngoài ở nhiệt độ thấp, nam châm vẫn phân cực theo
hướng
X.
\X)=
n
,= f
lì)j
N
(2.3.11)
Vì vậy sự trao đổi của spin với môi trường dẫn tới một trạng thái chứa đựng một hỗn
hợp các trạng thái có S z khác nhau. Một cách tương tự, ta có thể xét sự làm lạnh một
chất lỏng lượng tử trong một trường kết cặp với th am số trậ t tự siêu lỏng. Một trường
như thế được tạo ra bởi một “hiệu ứng gần” (proximity effect) của sự trao đổi các hạt với
một chất siêu lỏng đã được lảm lạnh trước ở gần nhau, đưa đến sự xuất hiện một số hạng
trường trong Hamiltonian chang hạn
(2.3.12)
Khi ta làm lạnli xuống dưới nhiệt độ chuyến pha siêu lỏng Tc, bỏ đi trường lân cận ở
nhiệt độ thấp, thì giống như một nam châm, trạng thái sinh ra đạt được một tham số
trậ t tự hình thành một trạng thái bền của số hạt không xác định. Đe mô tả các trạng
thái như vậy đòi hỏi hệ nhiều hạt tương tự ”các bó sóng” , trạng thái đó gọi là ”trạng thái
kết hợp” . Các trạng thái kết hợp là các trạng thái riêng của các toán tử trường.
ị (:/;) I ị ) =
(:/.:) I ĩp),
(2.3.13)
Các trạng thái này hình thành một cơ sở vô giá cho việc Ĩ11 Ô tả các trạng thái siêu lỏng
của vật chất. Một trạng thái kết hợp có thê (lược viết đơn giản như sau
I t ) ~ ^ Nsi' I 0),
(2.3.14)
trong đó
(2.3.15)
28
Lỷ thuyết chuyển pha bậc hai Ginzburg - Landau.
ỏ đây,
Ns =
Ị
dứx \ ý ( X ) I2,
là giá trị trung bình các hạt boson trong chất lỏng và hệ thức tiêu chuẩn được chọn
sao cho [/;, frt] = 1.
Tương tự, trạng thái liên hợp
»
1= j (x) = ĩịj* (x) (ĩỊj I .
(2.3.16)
Tuy nhiên, không thể chéo hóa đồng thời cả toán tử sinh vả toán tử hủy bởi vì chúng
không giao hoán. Vì vậy 1^) chỉ chéo hóa toán tử hủy và (^*1 chỉ chéo hóa toán tử sinh.
Các trạng thái kết hợp thực sự là hệ nhiều hạt tương tự như ”các bó sóng” , với vai trò
của động lượng và tọa độ thay thế tương ứng bởi N và 4>. ơ đ â y p tạ o ra sự tịnh tiế n
không gian,
e~iPa/ìi |Ý ) = | æ + o>,
N tịnh tiến pha,
e‘“ * \ ậ) =\ ệ + o).
Với một sự dịch chuyển pha nhỏ vô cùng,
(ộ + ỏệ \— (ộ I ( l — ỈÔỘN) ,
sao cho
áộ
(ộ\ N,
29
Lý thuyết chuyển pha bậc hai Ginzburg - Landau.
, đưa đến
d
N = i—
(2.3.17)
dộ
Ilệ thức nhiều hạt này tương tự đồng nhất thức p =
Đúng như (liều kiện biên tuần hoàn trong không gian đưa đến sự xuất hiện các giá trị
lượng tử gián đoạn của xung lượng, bản chất tuần hoàn của pha, đưa đến sự xuất hiện
một số hạt bị lượng tử hóa. Suy ra rằng
[n , ộ ] = ì .
(2.3.18)
Hệ thức này nói lên rằng pha và số hạt là các biến liên hợp tuân theo hệ thức bất định
A ệ A N > 1.
(2.3.19)
Một trạng thái kết hợp trao đổi trong một sự bất định rất nhỏ theo số hạt để đạt được
một sự chính xác mức độ cao trong pha
của
nó. Đối với
các
hệ lượng tử
định theo số hạt là nhỏ, pha trở nên kém rõ ràng. Nếu ta viết nguyên lí bất định dưới
dạng sai số tương đối
Ae =
AN/N,
thì
A ộ A e > 1/ N .
Ta thấy rằng khi N ~ 1o23, sự bất định nhỏ trong số hạt và pha có thể được biết tới
độ chính xác bậc 1 e r 11. Trong giới hạn nhiệt động lực học điều này có nghĩa là ta có thể
định vị và đo cả pha và m ật độ hạt với độ chính xác Newtonian.
- SUBSUBSECTION 2.3 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Năng lượng Ginzburg Landau đối với một trạng thái kết hợp
Bây giò' chúng ta sẽ liên kết hàm sóng một hạt của phần ngưng với tham số trậ t tự của lí
t h u y ế t Ginzburg Landau. Trong khi các t r ạ n g t h á i k ế t lìỢp k h ô n g p h ả i là các t r ạ n g t h á i
riêng năng lượng chính xác, thì ỏ m ật độ cao chúng cung cấp một sự mô tả chính xác
tăng (lần của hàm sóng trạng thái cơ bản của phần ngưng. Để tính giá trị trung bình của
các toán tử tr ậ t tự chuắn giữa các trạng thái kết hợp. Iigười ta thay thế đơn giản các
30
nhỏ ởđó độ bất
Lý thuyết chuyển pha bậc hai Ginzburg - Landau.
trường bởi tham số trậ t tự, sao cho nếu
i ì = ---- V '0 t (x) VĩỊ> (X) + [U (X) — ụ] '0t (x) ĩp (X) + —
2m
2
(ar) ĩp (ar)) ,
(2.3.20)
là m ậ t (tộ n ă n g lượng c ủ a các tr ư ờ n g vi Ĩ11 Ô, t r o n g (tó u ( x ) là t h ế n ă n g m ộ t h ạ t , th ì khi
đó m ật độ năng lượng của phần ngưng tụ
*,iỊ>]
(2.3.21)
= Ẹ - |vự- (z )|2 + (U (x) - / M |2 + £ ụ (^)l2’
2m
2
ta thừa nhận như là m ật độ năng lượng Ginzburg - Landau với
_
2m
(2.3.22)
r (íc) = ư (x) — //
Tại một nhiệt độ hữu hạn, sự phân tích này cần phải sửa đổi. Chang hạn nilư,fi sẽ
đạt được một sự phụ thuộc nhiệt độ mả nó cho phép r (T) triệt tiêu tại Tc, trong khi
phiếm hàm liên quan trở thảnh năng lượng tự đo F = E — T S . Cuối cùng lưu ý rằng tại
một nhiệt độ hữu hạn,n s(T) chỉ xác định thành phần siêu lỏng của m ật độ toàn phần
của hạt n, một đại lượng chứa cả thành phần thông thường và thành phần siêu lỏng
n = n s(T) + n n (T).
- SUBSECTION 2.3.3 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------Tính chất cứng pha và tính siêu chảy (Phase rigidity and super flow)
Trong lí thuyết Ginzburg - Landau năng lượng nhạy cảm đối với quá trình ”xoắn” pha.
Nếu ta thay thế
ĩjj = \tp\
vào trong biểu thức năng lượng tự do Ginzburg - Landau, thì số hạng gradient trở
thành
Vĩp = (V\ĩỊj\ + iVộịĩp\)eiậ
31
Lý thuyết chuyển pha bậc hai Ginzburg - Landau.
vì vậy
KE-.pha.se r i g i d i t y
r------------------^----------------- N
ÍGL
=
amplitude
/»
ị l uct s
A
s
(vự>)2 + ệ - (V I t I)2+ r I h I2+1 I ý r
2m
2m 2
Số hạng thứ hai tương tự phiếm hàm Ginzburg
(2.3.23)
Landau đối với một tham số trậ t tự
Ising, và mô tả sự m ất m át năng lượng của những biến đổi theo độ lớn của tham số trậ t
tự. Số hạng thứ nhất là một số hạng mới. số hạng này mô tả ”tính chất cứng p h a ” . Như
ta đã biết trong mục trước, các thăng giáng biên độ của tham số trật tự bị giam hãm
trong các phạm vi ngắn hơn (tộ dài tương quan £. Với quy II1 Ô (lài hơn vật lí được điều
khiển hoàn toàn bởi bậc tự do pha, vì vậy
f GL = Y
( V ộ )2 + c o n s t a n t ,
(2.3.24)
Đại lượng
ti2
Pệ
_
2m
^8)
thường được gọi là “độ quánh pha siêu lỏng” .
Từ một quan điểm vi mô, số hạng pha không linh động đơn giản là động năng của hạt
trong phần ngưng tụ, Iihưng từ quan điếm vĩ II1Ô,
I1Ó
là một năng lượng đản hồi gắn liền
với pha bị xoắn. Cách duy nhất (lung hòa hai quail điếm này. là nếu có một sự xoắn của
hàm sóng ngưng thì dẫn đến một sự chảy dính liền của các hạt.
Đe thấy được điều này một cách tường minh, ta hãy tính toán tử dòng trong một trạng
thái kết hợp. Một cách vĩ mô thì, toán tử dòng là
J=
— —
(ỷvị - v&ị)
2m v
7
(2.3.25)
vì vậy trong một trạng thái kết hợp,
thay thế
ijj{x) — \J n s(x)ei^ x'i
32
Lý thuyết chuyển pha bậc hai Ginzburg - Landau.
ta tìm được
h
J s = n„ — V ệ
m
(2.3.27)
vì vậy sự xoắn không đổi của pha sinh ra một sự chảy của vật chất.
Viết
ta có thể đồng nhất
h V0,
(2.3.28)
m
như là ”vận tốc siêu lỏng” được sinh ra bởi pha bị xoắn của phần ngưng. Dòng chảy
hạt thông thường đạt được bằng sự thêm vào các kích thích ở trên trạng thái cơ bản,
nhưng tính siêu chảy xuất hiện nhờ bởi một sự biến dạng của pha trạng thái cơ bản và
mỗi đơn hạt chuyển động trong một sự đồng thời hoàn hảo.
- SUBSECTION 2.3.4 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Các xoáy và tính ổn định tôpô của siêu chảy (Vortices and topological stability
of superflow)
Tính siêu chảy ổn định do bởi tínli chất tô pô cơ bản của một tham số trật tự bị xoắn.
Nếu ta quấn quanh hệ thì bản chất đơn trị của tham số trậ t tự kéo theo rằng sự thay đổi
trong pha quanli mẫu phải là một số nguyên nhân với 2 t ĩ :
(2.3.29)
2 tt X Iĩệ
=
tương ứng với Uệ vòng xoắn của tham số trậ t tự. Nhưng vì
Vs =
h V
m
điều này kéo theo rằng tích phân đường, hay “lưu số” của siêu chảy quanh mẫu bị lượng
33
Lý thuyết chuyển pha bậc hai Ginzburg - Landau.
tử hóa
^Ị) d x v s
(2.3.30)
h
= — X nệ
m
là lượng tử hóa của vận tốc (quantization of velocity), một hiện tượng mà nó được tiên
đoán đầu tiên bởi Onsager and Feynman, số vòng xoắn của tham số trậ t tự nậ là một
“bất biến tỗ pô” của sự ngưng tụ siêu lỏng, vì nó cố thế không bị thay đối bởi bất kì sự
biến dạng liên tục nào của pha. Chỉ có cách phân rã siêu chảy là tạo ra các václi miền
năng lượng cao: một tiến trình mà nó bị triệt theo quy luật hàm số mũ trong giới hạn
nhiệt động. Vì vậy tính ổn định về mặt tô pô của th am số trậ t tự bị xoắn duy trì một sự
siêu chảy bền bỉ.
Một dạng bền vững về m ặt tô pô khác của một siêu chảy là một “xoáy” . Một cái xoáy
là một đường đặc biệt trong chất siêu lỏng mà pha của tham số trậ t tự tiến động bằng
một số nguyên nhân với 27r. Nếu chúng ta lấy một đường tròn bán kính r vòng quanh cái
xoáy thì sự lượng tử hóa của lưu số đưa đến
h
CJ = n'fi
ni
(2.3.31)
= 27TTVg
(2.3.32)
Công thức này, vận tốc siêu lỏng xuất hiện phân kì ở những khoảng cách ngắn, sẽ không
đ á n g tin cậy n ữ a k h i r < £, ở đó các biến th iê n biên độ tr o n g t h a m số t r ậ t tự trở nên
quan trọng. Bâv giờ ta hãy tínli năng lượng của một xoáy. Giả sử xoáy được tập trung
vào giữa một hình trụ lớn bán kính R, khi đó năng lượng của mỗi đơn vị dài là
R
(2.3.33)
Theo cách này, ta thấy rằng năng lượng củanự, được phân tách ra các xoáy với lưu số
34
Lý thuyết chuyển pha bậc hai Ginzburg - Landau.
đơn vị, là ĩiệ lần nhỏ hơn một xoáy với lưu số gấp riộ lần. Vì lí do này, các xoáy xuất hiện
với các lượng tử đơn của lưu số, và sự tương tác của chúng là lực đẩy.
- SECTION 2.4 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Một sổ ứng dụng của lý thuyết chuyển pha bậc hai Ginzburg - Landau hai
tham số trật tự đối với các hệ phức hợp.
Lý thuyết chuyển pha bậc hai Ginzburg - Landau hai tham số trật tự được ứng dụng rất
nhiều trong các lĩnh vực như sinh học, hóa học, xã hội học, vật lý học, kinh tế nhờ khả
năng hồi đáp nhanh với sự tác dụng của từ trường bên ngoài.
Siêu thuận từ được sử dụng trong các hạt nano từ tính, đặt trong các chất lỏng từ. .
. . Trong lu ậ n v ă n n à y chúng t a chỉ nghiên cứu ứ ng d ụ n g c ủ a lý thuyết c h u y ể n p h a b ậ c
hai Ginzburg - Landau hai tham số trậ t tự đối với lĩnh vực vật lý.
Đầu tiên là ứng dụng lý thuyết chuyển pha bậc hai Ginzburg Landau
hai tham
số
trậ t tự đối với các chất sắt từ siêu dẫn.
ữ n g dụng vật lý
• Sử (lụng các chất lỏng từ làm tăng tính truyền dẫn trong các hệ (lẫn lực, dẫn nhiệt,
(lẫn từ, làm giảm nhiễu ồn ỏ loa điện động...
• Làm nhân cho các hê hat tư lắp ghép.
Ưng (lụng y - sinh học
• Dẫn thuốc,
• Làm tăng độ tương phản của ảnh chụp cộng hưởng từ hạt nhân,
• Điều trị ung thư bằng đốt nóng thân nhiệt cục bộ...
Hai là ứng dụng lý thuyết chuyển pha bậc hai Ginzburg - Landau hai tham số trậ t tự đối
với phản sắt từ siêu dẫn
• Vật liệu phản sắt từ trong các ứng dụng từ tính thường không được sử dụng độc
lập mà thường dùng làm các chất bổ trợ, ví dụ lớp ngăn cách Cr trong các màng
đa lớp F e / C r có hiệu ứng từ điện trở khổng lồ. ứ n g dụng lớn nhất của phản sắt
từ là trong các mảng vail spill (valse-spin) từ điện trở khống lồ trong các đầu đọc
0 đĩa cứng.
• Liên kết phản sắt từ: Sử (lụng trong các cấu trúc màng mỏng đa lớp có các lớp sắt
từ xen kẽ bởi các lớp không từ tính hoặc các lớp phản sắt từ làm cho mômen từ giữa
các lớp sắt từ sắp xếp phản song song với nhau, thường sử dụng trong các màng từ
điện trở.
35
Lỷ thuyết chuyển pha bậc hai Ginzburg - Landau.
Ba là ứng dụng lý thuyết chuyển pha bậc hai Ginzburg
Landau hai tham số trậ t tự đối
với chuyển pha của DNA:
• Hoạt động của DNA cũng là chuyển pha loại hai. Chu kì dao động của DNA đạt
cực tiểu vào 3h đến 4h sáng. Lúc này hoạt động của các bộ phận như nhịp tim,
huyết áp giảm. Tiếp theo thời (liếm nảy, chu kì (lao động đạt cực (tại trong khoảng
thời gian từ 8h đến 9h sáng và trong khoảng 191i đến 20h. Lúc nảy khả năng làm
việc của con người thường đạt hiệu quả cao nhất. Hơn thế nữa, vào thời điểm 13h,
chu kì dao động lại đi xuống cực tiểu. Theo các nghiên cứu, trong thời gian này con
người thường ỏ tron trạng thái thiếu tỉnh táo, não bộ hoạt dộng rất kém. Dựa trên
chu kì hoạt động của DNA, các công ty hay doanh nghiệp có chế độ, và giờ giấc
làm việc hợp lý sao cho đạt được hiệu quả cao nhất.
• Ngoài ra có thể vận dụng cơ chế hoạt đông của DNA vào trong chữa bệnh. Trong
châm cứu người ta thấy rằng, mỗi (tường kinh vượng và suy vào một giờ nhất (tịnh.
Do (tó có thê tăng thêm tác (lụng của điều trị châm cứu nếu châm cứu kích thích
vào giờ kinh vượng.
Bốn là ứng dụng lý thuyết chuyển pha bậc hai Ginzburg
Landau hai tham số trậ t tự
t r o n g nóng c hảy:
• Vạn dụng trong công nghệ hàn nóng chảy, công nghệ mạ kẽm nóng chảy, luyện kim
đen . . . .
Năm là ứng dụng lý thuyết chuyển pha bậc hai Ginzburg
Landau hai tham số trậ t tự
đối với Helium3.
• Hầu hết các vật liệu có tính sắt từ đều là các vật liệu ỏ' trạng thái rắn như là các
nam châm vĩnh cửu, nam châm điện bởi vì, nói chung, các vật liệu từ có nhiệt độ
Curie (nhiệt (tộ mả tại đó vật liệu m ất (ti tính chất sắt từ đế chuyến sang tính thuận
từ) nhỏ hơn nhiều nhiệt độ nóng chảy của chúng, ơ nhiệt độ rất thấp, Heliuin3 có
từ tính khi nhiệt độ dưới 2,7 111 K. Ớ nhiệt độ rất cao, hợp kim dạng lỏng có thành
phần CoSị)P d 2 0 cũng có từ tính tốt. Tuy nhiên, các chất đó không thể có những ứng
dụng thực tế. Nước từ là chất từ duy nhất ở trạng thái lỏng trong điều kiện bình
thường. Không giống như H e 3 và Co80P(Ỉ 2 0 , nước từ là m ộtchất lỏng có cấu trúc,
đó là một sản phẩm hoàn toàn nhân tạo mà từ trước đến nay, người ta chưa thấy
có trong tự nhiên.
36
CHƯƠNG 3
Kết luận
1. Viết phương trình phiếm hàm năng lư ợng Ginzburg - Landau một tham số trậ t tự
và biểu diễn được sự phụ thuộc của quá trình chuyển pha loại //v à o tham số trậ t
tự ĩp trên đồ thị chuyển pha. Tìm được các nghiệm không đồng đều của phương
trình phiếm hàm năng lượng Ginzburg
Landau, phân tích được sự phụ thuộc của
ĩỊj vảo nhiệt độ (lựa trên đồ thị chuyên pha.
2. Viết phương trình phiếm hàm năng lượng Ginzburg - Landau hai tham số trậ t tự và
biểu d iễ n đ ư ợ c sự p h ụ th u ộ c c ủ a q u á t r ì n h c h u y ể n p h a loại / / v à o t h a m số t r ậ t tự ĩp
trên đồ thị chuyển pha trong các trường hợp: hàm sóng vĩ mô, trậ t tự tầm xa ngoài
đường chéo và các trạng thái kết hợp, tính chất cứng pha và tính siêu chảy (Phase
rigidity and super flow), các xoáy và tính on định tôpô của siêu chảy (Vortices and
topological stability of superflow).
3. Trình bảy các ứng (lụng của lý thuyết chuyến pha loại I I hai tham số trậ t tự như:
sắt từ siêu dẫn, nóng chảy, chuyển pha DNA, phản sắt từ siêu dẫn...
37
Tài liệu tham khảo
[1] L. Serra, F. Garcias and M. Barranco, 3D plasm on, PRB 44, 1492, 1991.
[2] P. C. Hohenberg and A. p. Krekhov, An introduction to the Ginzburg - Landau theory
of phase transitions and nonequilibrium patterns.
[3] Ginzburg and Lanclau, Ginzburg - Landau Functionals.
[4] Ginzburg and Landau, Ginzburg - Landau Theory.
[5] P. Coleman, Introduction to Many Body Physics.
[6] L.D. Landein, Landau Fermi Liquid Theory.
[7] Julien G araud, Notes on Multi-component Ginzburg - Landau Theory.
[8] Anson Cheung, Phase Transitions and Collective Phenomena.
[9] Ricard V. Sole, Usanna
c.
Manrubia. Bartolo Luque. Jordi Delgao and Jordi Bas-
compte, Phase Transitions and Complex Systems.
[10] James Crutchfieldand Karoline Wiesner, Simplicity and Complexity.
[11] Ginzburg and Landau, The world of the complex Ginzburg-Landau equation.
[12] Lương Duyên Bình, Nhiệt động lực học, 2008.
[13] Wikipedia.
[14] Nguyễn Thế Khôi and Nguyễn Hữu Mình, Vật lí chất rắn.
38
CHƯƠNG
Tích phân Gaussian và tích phân phiếm hàm
Ta bắt đầu với tích phân Gausian bao hàm biến đơn (thực) ộ,
+00
Zị =
Ị
cì0exp ------ hộ
2G
exp
Gỉr
Đạo hàm logarit có thể được sử dụng để đưa ra mooment ộ.
d ln Zị
w
s
Oìv
0H
= hG-
- (ộ)2 = G,
dr
{ộr)c= d ĩ ? u=0= ln (e
ẢỊ) (lụng với Iiửa b ấ t b iến đầu tiê n , thu được
( ệ) c = (ệ) = Gh
và
(ộ)c = (ậ2) - (ậ)2 = G.
39
A
Phụ lục A.
Trong khi (ộ r)c = 0 với r = 2.
Trung bình (ek)ăược biết đến như hàm đặc trưng liên kết.
Tích phân Gaussian liên quan đến biến N ,
+00 r
Ị n
Z N =
—
00
dội
- ộ 1 G 1ậ + hậ
exp
(A.o.l)
7=1
Sử dụng đồng nhất thức.
1
2
T
_1
hộ = ỵ TG ~1x - - h T U~l G ư h .
- ậ G~ ộ
ở đây
ỵ = U ộ - ỠUh
và thay đổi các biến tích phân ta nhận được:
/+ 00 .N
z,
—
00
Ẻ
- X TG~ l ỵ + - h T U~l GUh
Ớ X i ex p
2
/=1
1 T
-//7 2
= d e t (27rG')1/2 exp
2
(A.0.2)
Gh
Z Ariihư là hàm phân bố của tập hợp N biến ngẫu nhiên phân bố Gausian.{(j6ị}. việc mở
rộng nửa bất biến tương ứng với :
ỡ
ỡ
dkị
dkj
7
u = 0 = ln (e fc0)>
Trong đó đặc trưng liên kết bằng với:
( e k4>) — e x p
h 1 Gk + - k Gk
2
(A.0.3)
Ap (lụng kết quả này ta thấy rằng hai nửa đầu tiên được cho bỏi:
(A.0.4)
40
Phụ lục A.
Áp dụng phương trình (5) chúng ta suy ra những kết quả quan trọng khác nhau cho
bất kì sự kết hợp tuyến tính nào của các biến phân bố kiểu Gaussian: A = a.ộ,
(eA) =
Trong giới hạn miền liên tục, tập {ậị} chuyển thành một hàm ộ x vả ma trận G ^ đ ư ợ c
thay thế bằng một hạt nhân điều khiển hoặc hàm truyền G~ ĩ ( x , x ) . Tổng quát hóa
phương trình (4) lả:
I D ộ(x)exp
X ex p
2 .
dx / dx ' ỷ ( x ) G 1(x, x')ộ(x') + / d x h ( x ) ộ ( x
- Ị dx Ị d x ' h ( x ) G ( x ' , x") = ỗd(X
oc (det Ở ) 1/2
— X
0 đây là nghịch đảo hạt nhân G (x.x’) thỏa mãn phương trình:
Ị
dx'G 1{ x ,x ')G {x ', x" ) = ỗd(x — x").
(A.0.5)
Sau đó trong việc sử lí đối với các dao động nhỏ trong hàm Hamilton Ginzburg
Landau, ta thường xuyên gặp dạng bậc hai.
ph w = ị [ )2 + í ~ 2ệ 2}
(A.0.6)
= - I dx I ủ x rệ ( x r)ỏd{x — x'){ —V J + £2)(ị>{x).
NÓ kéo theo một hạt nhân điều khiển.
G - l ( x , x r) = kỗd{x - x ’) ( - v 2 + £2).
Từ biểu thức (7) ta có:( —V 2 + Ẹ2) G( x) = ỏd(x). Do đó hàm truyền là hàm Green.
Biểu diễn Fourie:
41
[...]... tng chuyn pha Phng trỡnh (1.4.2) c biu din nh trờn l hm Hamilton Ginzburg - Landau 17 CHNG 2 Lý thuyt chuyn pha bc hai Ginzburg - Landau I - SECTION 2.1 Tham s trt t í tng cỏc hin tng chuyn pha liờn quan n s tin trin ca mt tham s tr t t m nú lm suy yu hoc phỏ v tớnh i xng ca h l mt trong nhng ý tng p nht ca vt lý nhiu ht Trong chng ny, chỳng ta a vo khỏi nim mi ú, nú úng vai trũ trung tõm trong s hiu... trỡnh Ginzburg - Landau nh v ti X = X q 24 L thuyt chuyn pha bc hai Ginzburg - Landau - SECTION 2.3 Phim hm Ginzburg - Landau hai tham s trt t - SUBSECTION 2.3.1 - Mt hm súng v mụ Bõy gi ta i nghiờn cu lớ thuyt Ginzburg - Landau v tham s tr t t phc hay tham s tr t t hai th n h phn Trong lun vn ny,... khụng ph thuc vo ỏp sut m ph thuc vo m t õy l chuyn pha loi I - SECTION 1.2 -Phõn loi chuyn pha Bõy gi chỳng ta xột s chuyn pha, tc l s chuyn trng thỏi ca h t pha I1 qua pha kia Cú hai loi chuyn pha, l chuyn pha loi mt v chuyn pha loi hai Chuyn pha loi I: Chuyn pha loi mt l chuyn pha trong ú cú cỏc i lng qung tớnh nh th tớch, ni nng, entropy,... nú b gii hn - SUBSECTION 1.3.1 - L thuyt chuyn pha ca Landau - SUBSUBSECTION 1.3 nh hng ca th nhit ng hc: Ti im ti hn (l im ú xy ra liin tng chuyn pha liờn tc vúi tham s khụng gian) cỏc tham s bin mt trong quỏ trỡnh liờn tc, khi ú cu trỳc ca quỏ trỡnh chuyn pha i xng Trong lý thuyt Landau tham. .. ngn cỏc khong cỏch ca nguyờn t, trong khi trong cht siờu lng He, di kt hp c bn l khong cỏch mt nguyờn t I - SECTION 2.2 Phim hm Ginzburg - Landau mt tham s trt t Lý thuyt Landau mụ t nng lng m t m ỏt ca mt tham s tr t t ng u gii thớch cho trng hp cỏc tham s tr t t khụng ng u trong ú biờn bin i hoc hng ca tham s tr t t b xon cn cú mt lớ... 2 I I4 (2.3.4) Ta cú mt vi nhn xột v nng lng t do Ginzburg - Landau nh sau: 25 Lý thuyt chuyn pha bc hai Ginzburg - Landau Nng lng t do Ginzburg Landau c hiu nh m t nng lng ca cht boson ngng t trong ú toỏn t trng cú hnh vi nh mt tham s trt t phc iu ny a chỳng ta ti ng nht h s ca s hng gradien s I V?/> |2= -2m (2.3.5) nh l ng nng, vỡ vy 5 = 2 Trong trng hp ca tr t t Ising, di tng quan , hay ... chuyn pha bc hai Ginzburg - Landau kt cp ngng t thnh mt trng thỏi lng t n vi mt pha rừ rng Cỏc s chuyn pha xy ra ngay c trong nhiu cu trỳc khụng gian, v cú mt bng chng rt tt ú l chỳng ta ang sng trong mt v tr phỏ v i xng, ó tri qua mt hoc nhiu hn s chuyn pha m nú phỏ v s suy bin gia cỏc lc c bn, v gn õy nht l v 110 Big Bang Lý thuyt Landau kt hp mi s chuyn pha vi s phỏt trin ca mt tham s tr t t p... v ^ ] = I I |2 + f L [ỡ) (ổ)] Vi mt 19 L thuyt chuyn pha bc hai Ginzburg - Landau trng hp riờng, tham s trt t Ising, nng lng t do (trong d chiu) c cho bi F g l M = I d dx f G L [ (s) , (z) , h (x)] , (2 2 1 ) GL h\ = (V ^ ) 2 + + hi Cú hai im c to ra õy Lớ thuyt Ginzburg Landau ch cú hiu lc gn im ti hn, ni tham s tr t t l nh cho phộp mt khai trin bc chớnh S phõn tớch th nguyờn cho thy rang... ng u ca lý thuyt Ginzburg Landau Cú hai loi nghim khụng (tng u ta s xem xột: 1 Hng ng tuyn tớnh, nhng khụng cc b vi m t trng ngoi nh 2 Cỏc nghim súng n hoc vỏch min, trong ú tham s tr t t i du, i qua cc i theo nng lng t do ti jj 0 e nhn c phng trỡnh chi phi cỏc nghim khụng ng u, ta vit SF,G L (x) >2,1 / \ f L [lp} - , s V > (.t ) + d> (X) (2.2.4) 20 L thuyt chuyn pha bc hai Ginzburg - Landau Vỡ... quỏt hn S tin trin ny ca lớ thuyt Landau gi l lớ thuyt Ginzburg L an d a u , sail khi Ginzburg and Landau phỏt trin hỡnh thc lun ny nh phn lớ thuyt v mụ v siờu dn ca h Chỳng s bt u tho lun lớ thuyt Ginzburg Landau vi trng hp n gin nht l tham s tr t t Ising mt th n h phn Lớ thuyt Ginzburg Landau a vo mt s 1)0 sng nng lng hao phớ f o, v ^ ] = I I ... hin mt s tớnh toỏn gii tớch i vi phim hm Ginzburg Landau hai tham s tr t t tng quỏt i tng nghiờn cu Lý thuyt chuyờn pha bc hai Ginzburg Phim hm Ginzburg Landau Landau hai tham s tr t t Tớnh... Mt s ng dng ca lý thuyt chuyn pha bc hai Ginzburg - Landau hai tham s trt t i vi cỏc h phc hp Lý thuyt chuyn pha bc hai Ginzburg - Landau hai tham s trt t c ng dng rt nhiu cỏc... h a b c hai Ginzburg - Landau hai tham s tr t t i vi lnh vc vt lý u tiờn l ng dng lý thuyt chuyn pha bc hai Ginzburg Landau hai tham s tr t t i vi cỏc cht st t siờu dn n g dng vt lý S (lng