vì vậy
KE-.pha.se r i g i d i t y a m p l i t u d e ị l uc t s
r---^--- N /» A s
ÍGL = (vự>)2 + ệ - (V I t I)2 + r I h I2+1 I ý r (2.3.23)
2 m 2 m 2
Số hạng th ứ hai tương tự phiếm hàm Ginzburg Landau đối với một tham số tr ậ t tự
Ising, và mô tả sự m ất m át năng lượng của những biến đổi theo độ lớn của tham số trậ t tự. Số hạng th ứ n hất là một số hạng mới. số hạng này mô tả ” tính chất cứng p h a ” . Như ta đã biết trong mục trước, các thăng giáng biên độ của tham số trậ t tự bị giam hãm
trong các phạm vi ngắn hơn (tộ dài tương quan £. Với quy II1Ô (lài hơn vật lí được điều
khiển hoàn toàn bởi bậc tự do pha, vì vậy
f GL = Y ( V ộ )2 + c o n s t a n t , (2.3.24)
Đại lượng
ti2 P ệ _ ^ 8 )
2 m
thường được gọi là “độ quánh pha siêu lỏng” .
T ừ một quan điểm vi mô, số hạng pha không linh động đơn giản là động năng của hạt
trong phần ngưng tụ, Iihưng từ quan điếm vĩ II1Ô, I1Ó là một năng lượng đản hồi gắn liền
với pha bị xoắn. Cách duy n hất (lung hòa hai quail điếm này. là nếu có một sự xoắn của hàm sóng ngưng thì dẫn đến một sự chảy dính liền của các hạt.
Đe thấy được điều này một cách tường minh, ta hãy tính toán tử dòng trong một trạng thái kết hợp. Một cách vĩ mô thì, toán tử dòng là
J = — — ( ỷ v ị - v & ị ) (2.3.25)
2 m v 7
vì vậy trong m ột trạ n g thái kết hợp,
thay thế
ta tìm được
h
J s = n„ — V ệ (2.3.2 7)
m
vì vậy sự xoắn không đổi của pha sinh ra một sự chảy của vật chất. Viết t a có thể đồng nhất h (2.3.28) V0, m
như là ” vận tốc siêu lỏng” được sinh ra bởi pha bị xoắn của phần ngưng. Dòng chảy hạt thông thường đạt được bằng sự thêm vào các kích thích ở trên trạng thái cơ bản, nhưng tính siêu chảy x uất hiện nhờ bởi một sự biến dạng của pha trạng thái cơ bản và mỗi đơn hạt chuyển động trong một sự đồng thời hoàn hảo.
- SUBSECTION 2.3.4 ---
Các xoáy và tính ổn định tôpô của siêu chảy (Vortices and topological stability
of superflow)
Tính siêu chảy ổn định do bởi tínli chất tô pô cơ bản của một tham số trật tự bị xoắn. Nếu ta quấn quanh hệ thì bản chất đơn trị của th am số tr ậ t tự kéo theo rằng sự thay đổi
trong pha quanli mẫu phải là một số nguyên nhân với 2t ĩ:
điều này kéo theo rằng tích phân đường, hay “lưu số” của siêu chảy quanh m ẫu bị lượng
(2.3.2 9)
= 2tt X Iĩệ
tương ứng với Uệ vòng xoắn của tham số tr ậ t tự. Nhưng vì
h V s = V<Ị>
tử hóa ^Ị) d x v s (2.3 .30) h = — X n ệ m
là lượng tử hóa của vận tốc (quantization of velocity), một hiện tượng m à nó được tiên
đoán đầu tiên bởi Onsager and Feynman, số vòng xoắn của tham số t r ậ t tự n ậ là một
“bất biến tỗ p ô ” của sự ngưng tụ siêu lỏng, vì nó cố thế không bị thay đối bởi bất kì sự biến dạng liên tục nào của pha. Chỉ có cách phân rã siêu chảy là tạo ra các václi miền năng lượng cao: một tiến trình mà nó bị triệt theo quy luật hàm số mũ trong giới hạn nhiệt động. Vì vậy tính ổn định về m ặt tô pô của th a m số tr ậ t tự bị xoắn duy trì một sự siêu chảy bền bỉ.
Một dạng bền vững về m ặt tô pô khác của một siêu chảy là một “xoáy” . Một cái xoáy là một đường đặc biệt trong chất siêu lỏng m à pha của tham số tr ậ t tự tiến động bằng
một số nguyên nhân với 27r. Nếu chúng ta lấy một đường tròn bán kính r vòng quanh cái
xoáy thì sự lượng tử hóa của lưu số đưa đến
Công thức này, vận tốc siêu lỏng x uất hiện phân kì ở những khoảng cách ngắn, sẽ không đ á n g tin cậy n ữ a k h i r < £, ở đó các b iế n t h i ê n b iê n độ t r o n g t h a m số t r ậ t t ự tr ở n ê n quan trọng. Bâv giờ ta hãy tínli năng lượng của một xoáy. Giả sử xoáy được tập trung
vào giữa một hình trụ lớn bán kính R, khi đó năng lượng của mỗi đơn vị dài là
Theo cách này, ta thấy rằng năng lượng củanự, được phân tách ra các xoáy với lưu số
h CJ = n'fi ni (2.3.3 1) = 27TTVg (2.3.3 2) R (2.3.3 3)
đơn vị, là ĩiệ lần nhỏ hơn một xoáy với lưu số gấp riộ lần. Vì lí do này, các xoáy xuất hiện với các lượng tử đơn của lưu số, và sự tương tác của chúng là lực đẩy.
- SECTION 2.4 ---
Một sổ ứng dụng của lý thuyết chuyển pha bậc hai Ginzburg - Landau hai
tham số trật tự đối với các hệ phức hợp.
Lý thuyết chuyển pha bậc hai Ginzburg - Landau hai th am số trậ t tự được ứng dụng rất nhiều trong các lĩnh vực như sinh học, hóa học, xã hội học, vật lý học, kinh tế nhờ khả năng hồi đáp n ha nh với sự tác dụng của từ trường bên ngoài.
Siêu thuận từ được sử dụng trong các hạt nano từ tính, đặ t trong các chất lỏng từ. . . . Trong l u ậ n v ă n n à y chúng t a chỉ nghiên c ứ u ứ n g d ụ n g c ủ a lý thuyết c h u y ể n p h a b ậ c hai Ginzburg - Landau hai th am số tr ậ t tự đối với lĩnh vực vật lý.
Đầu tiên là ứng dụng lý thuyết chuyển pha bậc hai Ginzburg Landau hai th am số
tr ậ t tự đối với các chất sắt từ siêu dẫn. ữ n g dụng vật lý
• Sử (lụng các chất lỏng từ làm tăng tính truyền dẫn trong các hệ (lẫn lực, dẫn nhiệt, (lẫn từ, làm giảm nhiễu ồn ỏ loa điện động...
• Làm nhân cho các hê hat tư lắp ghép. Ưng (lụng y - sinh học
• Dẫn thuốc,
• Làm tăng độ tương phản của ảnh chụp cộng hưởng từ hạt nhân, • Điều trị ung thư bằng đốt nóng thân nhiệt cục bộ...
Hai là ứng dụng lý thuyết chuyển pha bậc hai Ginzburg - Landau hai tham số tr ậ t tự đối với phản sắt từ siêu dẫn
• Vật liệu p hản sắt từ trong các ứng dụng từ tính thường không được sử dụng độc
lập m à thường dùng làm các chất bổ trợ, ví dụ lớp ngăn cách C r trong các màng
đa lớp F e / C r có hiệu ứng từ điện trở khổng lồ. ứ n g dụng lớn n h ấ t của phản sắt từ là trong các mảng vail spill (valse-spin) từ điện trở khống lồ trong các đầu đọc
0 đĩa cứng.
• Liên kết p hản sắt từ: Sử (lụng trong các cấu trúc m àng mỏng đa lớp có các lớp sắt từ xen kẽ bởi các lớp không từ tính hoặc các lớp p hản sắt từ làm cho mômen từ giữa các lớp sắt từ sắp xếp phản song song với nhau, thường sử dụng trong các màng từ điện trở.
Ba là ứng dụng lý thuyết chuyển pha bậc hai Ginzburg Landau hai tham số trậ t tự đối với chuyển pha của DNA:
• Hoạt động của DNA cũng là chuyển pha loại hai. Chu kì dao động của DNA đạt cực tiểu vào 3h đến 4h sáng. Lúc này hoạt động của các bộ phận như nhịp tim, huyết áp giảm. Tiếp theo thời (liếm nảy, chu kì (lao động đạt cực (tại trong khoảng thời gian từ 8h đến 9h sáng và trong khoảng 191i đến 20h. Lúc nảy khả năng làm việc của con người thường đạt hiệu quả cao nh ấ t. Hơn thế nữa, vào thời điểm 13h, chu kì dao động lại đi xuống cực tiểu. Theo các nghiên cứu, trong thời gian này con người thường ỏ tron trạng thái thiếu tỉnh táo, não bộ hoạt dộng rất kém. Dựa trên chu kì hoạt động của DNA, các công ty hay doanh nghiệp có chế độ, và giờ giấc làm việc hợp lý sao cho đạt được hiệu quả cao nh ấ t.
• Ngoài ra có thể vận dụng cơ chế hoạt đông của DNA vào trong chữa bệnh. Trong châm cứu người ta thấy rằng, mỗi (tường kinh vượng và suy vào một giờ nhất (tịnh. Do (tó có thê tăng thêm tác (lụng của điều trị châm cứu nếu châm cứu kích thích vào giờ kinh vượng.
Bốn là ứng dụng lý thuyết chuyển pha bậc hai Ginzburg Landau hai tham số tr ậ t tự
t r o n g nóng c h ả y :
• Vạn dụng trong công nghệ hàn nóng chảy, công nghệ m ạ kẽm nóng chảy, luyện kim đen . . . .
Năm là ứng dụng lý thuyết chuyển pha bậc hai Ginzburg Landau hai tham số trậ t tự
đối với Helium3.
• Hầu hết các vật liệu có tính sắt từ đều là các vật liệu ỏ' trạng thái rắn như là các nam châm vĩnh cửu, nam châm điện bởi vì, nói chung, các vật liệu từ có nhiệt độ Curie (nhiệt (tộ mả tại đó vật liệu m ất (ti tính chất sắt từ đế chuyến sang tính thuận từ) nhỏ hơn nhiều nhiệt độ nóng chảy của chúng, ơ nhiệt độ rất th ấp , Heliuin3 có từ tính khi nhiệt độ dưới 2,7 111K. Ớ nhiệt độ r ấ t cao, hợp kim dạng lỏng có thành phần C o Sị)P d2 0 cũng có từ tính tốt. Tuy nhiên, các chất đó không thể có những ứng dụng thực tế. Nước từ là chất từ duy n hất ở trạng thái lỏng trong điều kiện bình
thường. Không giống như H e3 và Co 80P(Ỉ20, nước từ là m ộtchất lỏng có cấu trúc,
đó là một sản phẩm hoàn toàn nhân tạo mà từ trước đến nay, người t a chưa thấy có trong t ự nhiên.
Kết luận
1. Viết phương trình phiếm hàm năng lư ợ n g Ginzburg - Landau một th am số tr ậ t tự
và biểu diễn được sự phụ thuộc của quá trình chuyển pha loại / / v à o tham số trậ t
tự ĩp trên đồ thị chuyển pha. Tìm được các nghiệm không đồng đều của phương
trình phiếm hàm năng lượng Ginzburg Landau, phân tích được sự phụ thuộc của
ĩỊj vảo nhiệt độ (lựa trên đồ thị chuyên pha.
2. Viết phương trình phiếm hàm năng lượng Ginzburg - Landau hai tham số trậ t tự và b iể u d iễ n đ ư ợ c sự p h ụ t h u ộ c c ủ a q u á t r ì n h c h u y ể n p h a loại / / v à o t h a m số t r ậ t t ự ĩp
trên đồ thị chuyển pha trong các trường hợp: hàm sóng vĩ mô, tr ậ t tự tầm xa ngoài đường chéo và các trạng thái kết hợp, tính chất cứng pha và tính siêu chảy (Phase rigidity and super flow), các xoáy và tính on định tôpô của siêu chảy (Vortices and topological stability of superflow).
3. Trình bảy các ứng (lụng của lý thuyết chuyến p h a loại I I hai th am số tr ậ t tự như: sắt từ siêu dẫn, nóng chảy, chuyển pha DNA, phản sắt từ siêu dẫn...
[1] L. Serra, F. Garcias and M. Barranco, 3D plasm on, PR B 44, 1492, 1991.
[2] P. C. Hohenberg and A. p. Krekhov, A n introduction to the Ginzburg - Landau theory
of phase transitions and nonequilibrium patterns.
[3] Ginzburg and Lanclau, Ginzburg - Landau Functionals.
[4] Ginzburg and Landau, Ginzburg - Landau Theory.
[5] P. Coleman, Introduction to Many Body Physics.
[6] L.D. Landein, Landau Fermi Liquid Theory.
[7] Julien G araud, Notes on Multi-component Ginzburg - Landau Theory.
[8] Anson Cheung, Phase Transitions and Collective Phenomena.
[9] Ricard V. Sole, Usanna c. M anrubia. Bartolo Luque. Jordi Delgao and Jordi Bas-
compte, Phase Transitions and Complex Systems.
[10] Jam es Crutchfieldand Karoline Wiesner, Simplicity and Complexity.
[11] Ginzburg and Landau, The world of the complex Ginzburg-Landau equation.
[12] Lương Duyên Bình, Nhiệt động lực học, 2008.
[13] Wikipedia.
A
Tích phân Gaussian và tích phân phiếm hàm
Ta bắt đầu với tích phân Gausian bao hàm biến đơn (thực) ộ,
+00
Zị = Ị cì0exp ---hộ
2 G exp
Gỉr
Đạo hàm logarit có thể được sử dụng để đưa ra m ooment ộ.
d ln Zị
w s 0H = h G-
Oìv - (ộ)2 = G,
d r
{ ộ r )c = d ĩ ? u=0= l n (e
ẢỊ) (lụng với Iiửa b ấ t b iế n đầu tiê n , thu được
( ệ ) c = (ệ) = Gh
và
Trong khi (ộ r)c = 0 với r = 2.
Trung bình (ek<ị>)ăược biết đến như hàm đặc trưng liên kết.
Tích phân Gaussian liên quan đến biến N ,
+00 r Z N = Ị n d ộ i 7=1 — 00 ex p - ộ 1 G 1ậ + hậ Sử dụng đồng nhất thức. 1 T _1 - ậ G~ ộ 2 hộ = ỵ T G ~ 1x - - h T U ~ l G ư h . ở đây ỵ = U ộ - ỠUh
và thay đổi các biến tích phân ta nhận được:
z , + 00 / .N Ẻ /=1 — 00 Ớ X ie x p - X TG ~ l ỵ + - h T U ~ l G U h 2 2 = d e t (27rG')1/2 e x p 1 T - / / 7 - Gh 2
Z Ariihư là hàm phân bố của tập hợp N biến ngẫu nhiên phân bố Gausian.{(j6ị}.
rộng nửa bất biến tương ứng với :
ỡ ỡ
7 u = 0 = ln ( e fc0)>
dkị dkj
Trong đó đặc trưng liên kết bằng với:
(ek4>) — e x p h 1 Gk + - k Gk
2
Ap (lụng kết quả này ta thấy rằng hai nửa đầu tiên được cho bỏi:
(A.o.l)
(A.0.2)
việc mở
(A.0.3)
Áp dụng phương trình (5) chúng ta suy ra những kết quả quan trọng khác nhau cho
bất kì sự kết hợp tuyến tính nào của các biến phân bố kiểu Gaussian: A = a.ộ,
(eA) =
Trong giới hạn miền liên tục, tậ p {ậị} chuyển th àn h một hàm ộ x vả ma trậ n G ^ đ ư ợ c
thay thế bằng một hạt nhân điều khiển hoặc hàm truyền G ~ ĩ ( x , x ) . Tổng quát hóa
phương trình (4) lả:
I D ộ ( x ) e xp
2 .. dx / dx ' ỷ ( x ) G 1 (x, x ' ) ộ( x ') + / dx h ( x ) ộ ( x oc (det Ở ) 1/2
X e x p - Ị dx Ị d x ' h ( x ) G ( x ' , x") = ỗd(X — X
0 đây là nghịch đảo hạt nhân G (x .x ’) thỏa mãn phương trình:
Ị dx' G 1 { x , x ' ) G { x ' , x " ) = ỗd(x — x"). (A.0.5) Sau đó trong việc sử lí đối với các dao động nhỏ trong hàm Hamilton Ginzburg Landau, t a thường xuyên gặp dạng bậc hai.
ph w = ị [ <1^ [(V^>)2 + í ~ 2ệ 2} (A.0.6)
= - I d x I ủ x rệ ( x r)ỏd{x — x'){ —V J + £2)(ị>{x).
NÓ kéo theo m ột hạt nhân điều khiển.
G - l ( x , x r) = kỗd{x - x ’) ( - v 2 + £2).
T ừ biểu thức (7) ta có:( — V 2 + Ẹ2) G( x) = ỏd(x). Do đó hàm truyền là hàm Green. Biểu diễn Fourie: