ĨGL h\ = ị (V ^ ) 2 + + hiỊỉ.
Có hai điểm được tạo ra ở đây
• Lí thuyết Ginzburg Landau chỉ có hiệu lực ở gần điểm tới hạn, nơi tham số t r ậ t tự là đủ nhỏ để cho phép một khai triển bậc chính
• Sự phân tích th ứ nguyên cho thấy rang [,s] / [r] = L 2 có thứ nguyên bình phương độ dài. Tỉ lệ độ dài mới được đưa vào bởi số hạng gradient gọi là “ độ dài tương quan ” ( c o r r e l a t i o n l e n g t h )
ỉ ( T ) = ' / 7 7 m r í o | 1 “ Ễ r l / 2 ’ (2-2' 2)
trong đó £o là độ dài kết hợp:
ÉO = Ê ( T = 0 ) = \ (2-2.3)
V a,Tc
0 gần điểm chuyển pha, £(T) phân kì. nhưng ra xa điểm chuyển pha, ta có thể so sánh
được nó với độ clài kết hợp £o-
Ta có thể sử dụng lí thuyết Ginzburg - Landau, như là một nguyên lí biến phân, dùng
điều kiện dừng ỖF/Ỗĩịj = 0 để xác định dạng không cân bằng của tham số tr ậ t tự. Lí
thuyết Ginzburg Landau cũng là điểm bắt đầu cho m ột sự phân tích tổng quát hơn của
các th ăn g giáng nhiệt quanh lí thuyết trường trung bình.
- SUBSECTION 2.2.1 ---
Các nghiệm không đồng đều của lý thuyết Ginzburg Landau
Có hai loại nghiệm không (tồng đều t a sẽ xem xét:
1. Hưởng ứng tuyến tính, nhưng không cục bộ với m ột trường ngoài nhỏ.
2. Các nghiệm ” sóng đơn” hoặc vách miền, trong đó tham số tr ậ t tự đổi dấu, đi qua
cực đại theo năng lượng tự do tại ĩjj — 0. Đe nhận được phương trình chi phối các
nghiệm không đồng đều, ta viết
SF,G L (x) - , s V > (.>2,1. / \ . t) + ỡ f L [lp}
Vì năng lượng tự do Ginzburg Landau phải dừng đối với các biến đổi nhỏ theo trường nên:
- SUBSUBSECTION 2.2 ---
Độ cảm và đường đặc trừng tuyến tính (Susceptibility and linear response)
Một ứng dụng đơn giản nhất của lý thuyết Ginzburg - Landau là tính toán được đường
đặc trưng tuyến tính cho một trường ngoài không đồng đều. Khi T > Tc , thì đường đặc
trưng tuyến tính nhỏ, chúng ta có thể bỏ qua số hạng bậc ( — s V 2 + r) ĩịj (x) = h (X) .
Nếu biến đổi Fourier phương trình này t a nhận được :
ồìị) (X) ỒF( (2.2 .5) hay (2.2.6) (2.2.7) ta có trong đó 1 (2.2.8) 1 s ( q 2 + £ 2 )
ỵ q là độ cảm từ phụ thuộc vào động lượng và độ dài tương quan
Lưu ý rằng v ớ i q 1Ớ I1
<1 > £ \x (q) ~ !/92
độ cảm từ phụ thuộc m ạnh mẽ vào động lượng. r SUBSUBSECTION 2.2
Các vách miền (Domain Walls)
Khi T < T(7, th am số trậ t tự lệch đáng kể khỏi giá trị cân bằng ĩị>Q. Tuy nhiên các độ lệch chủ yếu khỏi những ’’khoảng cân bằng - stable vacua” có thể xảy ra tại “các vách miền” (domain walls) hoặc “các sóng đơn” (solitons), là những vách hẹp của không gian m à nó tách th àn h hai miền cân bằng đối dấu nhau, tại đó lị) — ±-00 • Đe đổi dấu, tham số trậ t tự Ising phải đi qua giá trị không tại trung tâm của vách miền, vượt qua “điểm cực đại” của năng lượng tự do.
Bây giò' chúng ta tìm nghiệm sóng đơn trong không gian một chiều. Trong không gian
một chiều phương trình Ginzburg Landau trở th à n h
Công thức này có một sự giải thích lí thú giống như định luật Newton về chuyến động
của một hạt có khối lượng ,s chuyên động trong một thế nghịch đảo V [ĩị}\ = —f L \ộ\.
Nhận xét Iiày th ừ a nhận có một sự tương tự giữa một sóng đơn và chuyến động của hạt
trong không gian một chiều. Theo sự tương tự này, ìỊj đóng vai trò của sự dịch chuyển
trong khi X đóng vai trò của thời gian.
Suy ra rằng
được bảo toàn và độc lập với X . Với sự tương tự đơn giản, ta có thể ánh xạ một sóng .
(2.2.9)
lả một động năng hiệu dụng và khi đó năng lượng hiệu dụng được xác định:
(a)
(b;
Hình 6 đồ thị biểu biễn nghiệm của phương trình chuyến pha loại hai một tham số trậ t tự.
Nghiệm sóng đơn của các phương trình Ginzburg - Landau. Sự tiến hóa của 'lị) trong
k h ô n g g ia n m ộ t c h iề u t ư ơ n g đ ư ơ n g với vị t r í c ủ a m ộ t h ạ t ở vị t r í ĩị) c h u y ể n đ ộ n g t r o n g một thế năng nghịch đảo
V M = ÍL M .
Một sóng đơn tương đương với một ” sự nảy” giữa các cực đại ò ĩị) = ±ĩ[ĩq của thế năng
V [ĩị)]. Đường mô tả sự p h á t triển theo thời gian ”í ” = X xác định sự phụ thuộc không gian của th am số t r ậ t tự ĩịĩ [x].
Xét bài toán của một hạt chuyển động tới điểm cực đại của thế năng nghịch đảo
V[ĩỊ)] = - h M ,
có bước nhảy tại ĩị) = 0 đạt tới giá trị cực đại và từ biểu thức năng lượng bảo toàn ban đầu là £ = ỈL > / ( t ”) V M - - m — ị -ỳn C' 1 + tr’0 I
ta suy ra ” vận tốc: dĩp * d* 2 (e + ĩĩAý])- (2.2.11; s ỶỊỊ_ ( , _ V ĩ e V ĩỊ>ỉ) Thay ,2 = M 'I và t a được: dx = ( V 2e/ ^ 0) [ì - (ĩp/ĩp0)2] lấy tích phân 2 vế V2 ç f dĩị) X — Xq — í - *0 { i- ( « Ã M , r > (2.2.12) = \ / 2 £ t a n h -1 (ijj/îjj0)
trong (tó X = Xq là điếm mà ở (tó tharn số t r ậ t tự (ti qua 0, vì vậy
ĩỊ) (.7;) = ĩỊj0 ta n h > (2.2.13)
biếu thức này mô tả một nghiệm của phương trình Ginzburg - Landau định vị tại
- SECTION 2.3 ---
Phiếm hàm Ginzburg - Landau hai tham số trật tự.
- SUBSECTION 2.3.1 ---
“Một hàm sóng vĩ mô” .
Bây giờ ta đi nghiên cứu lí thuyết Ginzburg - Landau về th am số tr ậ t tự phức hay tham số tr ậ t tự hai th à n h phần. Trong luận văn này, ta sẽ tập trung vào sử dụng lí thuyết Ginzburg L andau để hiểu các hiện tượng siêu chảy và siêu dẫn. Trọng tâm của bài thảo luận, là sự nổi lên của một loại “hàm sóng vĩ m ô” trong đó các toán tử trường vi mô của chất lỏng lượng tử lị) (x)có giá trị trung bình
{ ị {x)) = ĩỊj 0 )
• ( 2.0.1j
= \ĩ,(x)\e‘**
Độ lớn của th am số tr ậ t tự này xác định m ật độ các hạt trong chất siêu lỏng
I ĩị) (x) |2= n s (x) , (2.3.2)
trong khi đó sự xoắn, hay gradien của pha xác định vận tốc siêu lỏng.
Vs ix ) = — V</> (x) . (2.3.3)
m
Ý tưỏng rằng hàm sóng có thế được coi là phương trình Newtonian trong một siêu lỏng hoặc siêu dẫn đã đi đến sự đối lập sâu sắc với những gì đã biết trong vật lý lượng tử: thoạt nhìn, nó có vẻ như không tuân theo sự giải thích Copenhagen của cơ học lượng
tử, trong đó ĩp (x) là một biến không quan sát được. Ginzburg Landau đã đề xuất một
ý tưởng táo bạo rằng ĩp (x) là một sự biểu hiện vĩ mô của 1030 hạt boson - t ấ t cả ngưng vào trong cùng trạng thái lượng tử. T hậm chí con số to lớn của trường từ Landau - tìm thấy là khó để m à chấp nhận, và sự tra n h luận vẫn tiếp diễn cho tới ngày nay.
Vitalii Ginzburg and Lev Landau đưa ra lí thuyết của họ năm 1950, như một lí thuyết h iệ n t ư ợ n g l u ậ n về t í n h siêu (lẫn. t r o n g đó Ip (:/;) đ ó n g vai t r ò c ủ a m ộ t h à m s ó n g vĩ 1110
mà nguồn gốc vi Ĩ11Ô của I1Ó lúc (tó vẫn chưa (tược biết. Ta sẽ bắt đầu bằng cách minh
họa ứng (lụng của phương pháp nảy cho các chất siêu lỏng. Với một chất siêu lỏng, m ật độ năng lượng tự do Ginzburg - Landau là
fcL [i>, Vh\ = I V ÿ I2 + r I ị I2 + ^ I I4 . (2 .3.4)
2m 2
• Năng lượng tự do Ginzburg Landau được hiểu như m ật độ năng lượng của chất boson ngưng tụ trong đó toán tử trường có hành vi như một tham số trậ t tự phức. Điều này đưa chúng t a tới đồng nhất hệ số của số hạng gradien
s I V?/> |2= ---- 2 m
như là động năng, vì vậy 5 = 2
(2.3.5 )
• Trong trường hợp của tr ậ t tự Ising, “độ dài tương q u a n ” , hay “ độ dài kết hợp” chi phối các tính chất thăng giáng biên độ được biểu diễn bằng tham số trậ t tự được cho bởi £ — ri2 2 m I r M I (2.3.6 ) ■1/2 trong đó ío = í ( T = 0)
là độ dài kết hợp. Vượt quá phạm vi độ dài kết hợp này, chỉ có các thăng giáng pha tồn tại.
• Nếu chúng t a cho các th ăn g giáng trong biên độ ra ngoải
4>(x) =
thì
= ỉ ( Vộ) ĩl>,
và
Sự phụ thuộc thặng dư của động năng vào sự xoắn trong pha là
h2n s ___ .7 m n s ( h _ . ,
= ^ - V * . (2.3.7)
lĩìi 2 \ rn
Vì m n s là m ậ t độ khối lượng, nên ta thấy rằng một sự xoắn pha dẫn đến sự tăng động năng m à ta có th ể gắn liền với một vận tốc ’’siêu lỏng”
ws = - ( v ự > ) . (2.3.8)
m
SUBSECTION 2.3.2 ---
Trật tự tầm xa ngoài đường chéo và các trạng thái kết hợp
Ý nghĩa của th am số trậ t tự phức ìp là gì? Sẽ thú vị khi liên tưởng đến giá trị trung bình của toán tử trường
( ị ( x , t ) ) = lị) ( x , t ) (2.3.9)
Vậy mà, nghịch lí là, một toán tử trường, liên kết các trạng thái với số hạt khác nhau, đến mức mà một giá trị trung bình có thể không bao giờ tiến triển theo một trạng thái với một số hạt xác định. Một cách để trá n h vấn đề này, được đề x uất bởi Penrose and Onsager, đó là định nghĩa th am số tr ậ t tự theo các hàm tương quan. Các tác giả lưu ý rằng ngay cả trong một trạ n g thái với một số hạt xác định, phá vỡ đối xứng x uất hiện như một hệ số hóa tầm xa của hàm tương quan
(?/>f (x) {x))
Tính chất này được gọi là “tr ậ t tự tầm xa ngoài đường chéo” .
Tuy nhiên, m ột quan điểm hiện đại hơn là trong các hệ vĩ mô, ta không cần chú ý tới giới hạn của các trạng thái có số hạt xác định, và thực chất, ngay khi ta đưa một hệ tiếp xúc với một bình hạt, thì các trạng thái lượng tử có số hạ t xác định x uất hiện, v ấ n đề này cũng xảy ra đối với một vật liệu sắt từ là ở đó độ từ hóa được bảo toàn. Một vật liệu
sắt từ có N spin phân cực theo hướng 2 có hàm sóng là
I z t) = n lì). (2.3.10)
t= 1 ,iV
cặp qua Ham iltonian
H = -2B S X = - B (s+ + s~)
thì ngay khi ta làm m ất trường ngoài ở nhiệt độ thấp, nam châm vẫn phân cực theo
Vì vậy sự trao đổi của spin với môi trường dẫn tới m ột trạng thái chứa đựng một hỗn
hợp các trạng th ái có S z khác nhau. Một cách tương tự, ta có thể xét sự làm lạnh một
chất lỏng lượng tử trong một trường kết cặp với th a m số tr ậ t tự siêu lỏng. Một trường như thế được tạo ra bởi một “hiệu ứng gần” (proximity effect) của sự trao đổi các hạt với một chất siêu lỏng đã được lảm lạnh trước ở gần nhau, đưa đến sự x uất hiện một số hạng trường trong Ham iltonian chang hạn
Khi ta làm lạnli xuống dưới nhiệt độ chuyến pha siêu lỏng Tc, bỏ đi trường lân cận ở nhiệt độ th ấp , thì giống như một nam châm, trạng th ái sinh ra đạt được một th am số tr ậ t tự hình th à n h một trạ n g thái bền của số hạt không xác định. Đe mô tả các trạng thái như vậy đòi hỏi hệ nhiều hạt tương tự ” các bó sóng” , trạ n g thái đó gọi là ” trạ n g thái kết hợp” . Các trạ n g thái kết hợp là các trạng thái riêng của các toán tử trường.
Các trạng th ái này hình th à n h một cơ sở vô giá cho việc Ĩ11Ô tả các trạ ng thái siêu lỏng của vật chất. Một trạng thái kết hợp có thê (lược viết đơn giản như sau
hướng X . \ X ) = n lì)j ,= f N (2.3.1 1) (2.3.1 2) ị (:/;) I ị ) = (:/.:) I ĩp), (2.3.1 3) I t ) ~ ^ Nsi' I 0), (2.3.1 4) trong đó (2.3.1 5)
ỏ đây,
N s = Ị dứx \ ý ( X )I2,
là giá trị tru n g bình các hạt boson trong chất lỏng và hệ thức tiêu chuẩn được chọn sao cho [/;, frt] = 1.
Tương tự, trạ n g thái liên hợp
» 1= <0 I e ^ ,
chéo hóa toán tử sinh
(lỊỉ I ij>j (x) = ĩịj* (x) (ĩỊj I . (2.3.16)
Tuy nhiên, không thể chéo hóa đồng thời cả toán tử sinh vả toán tử hủy bởi vì chúng không giao hoán. Vì vậy 1^) chỉ chéo hóa toán tử hủy và (^*1 chỉ chéo hóa toán tử sinh. Các trạng thái kết hợp thực sự là hệ nhiều hạt tương tự như ” các bó sóng” , với vai trò của động lượng và tọa độ thay thế tương ứng bởi N v à 4>. ơ đ â y p t ạ o ra sự tịnh tiế n không gian,
e~iPa/ìi |Ý ) = | æ + o>,
N tịnh tiến pha,
e‘“ * \ ậ) =\ ệ + o).
Với một sự dịch chuyển pha nhỏ vô cùng,
(ộ + ỏệ \— (ộ I ( l — ỈÔỘN) , sao cho
(ộ\ N, á ộ
, đưa đến
d
N = i — (2.3.17)
dộ
Ilệ thức nhiều hạt này tương tự đồng n hất thức p =
Đúng như (liều kiện biên tu ần hoàn trong không gian đưa đến sự x uất hiện các giá trị lượng tử gián đoạn của xung lượng, bản chất tu ầ n hoàn của pha, đưa đến sự xuất hiện một số hạt bị lượng tử hóa. Suy ra rằng
[n ,ộ] = ì. (2.3.18)
Hệ thức này nói lên rằng pha và số hạt là các biến liên hợp tuân theo hệ thức bất định
A ệ A N > 1. (2.3.19)
Một trạng thái kết hợp trao đổi trong một sự bất định rất nhỏ theo số hạt để đạt được
một sự chính xác mức độ cao trong pha của nó. Đối với các hệ lượng tử nhỏ ở đó độ bất
định theo số h ạ t là nhỏ, pha trở nên kém rõ ràng. Nếu t a viết nguyên lí bất định dưới dạng sai số tương đối
Ae = A N / N ,
thì
A ộ A e> 1 / N .
Ta thấy rằng khi N ~ 1 o23, sự bất định nhỏ trong số hạt và pha có thể được biết tới