Rèn luyện khả năng tìm tòi lời giải các bài toán cho học sinh trong dạy học nội dung lượng giác ở trường trung học phổ thông

Chính vì những điều trên đây, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu luận văn của mình là: “ Rèn luyện khả năng tìm tòi lời giải các bài toán cho học sinh trong dạy học nội dung lượng giác ở trườ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Ngày nay trước yêu cầu của sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước để tránh nguy cơ bị tụt hậu về kinh tế và khoa học công nghệ thì việc cấp bách và lâu dài là nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo Tầm quan trọng đó đặt lên vai những người làm công tác giáo dục và dạy học nhiều trách nhiệm nặng nề

Trong các môn khoa học và kỹ thuật, toán học giữ một vị trí quan trọng và nổi bật Công việc dạy toán của giáo viên nhằm rèn luyện cho học sinh tư duy toán học cùng những phẩm chất của con người lao động mới để các

em vững vàng trở thành những chủ nhân tương lai của đất nước

Ở trường phổ thông dạy toán học là dạy hoạt động toán học Đối với học sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Các bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt động giải bài tập toán học là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học toán ở trường phổ thông Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán Như vậy việc hướng dẫn cho học sinh giải toán là một trong những khâu then chốt, chiến lược trong quá trình dạy học môn toán

Hơn nữa, hiện nay một bộ phận không nhỏ học sinh chúng ta học môn toán một cách rất thụ động, rập khuôn theo những dạng bài toán mà các thầy giáo, cô giáo hay các sách đã chỉ sẵn mà không chịu suy nghĩ tìm đường lối giải, đặt vấn đề trở lại đối với bài toán đó, lời giải đó

Chính vì vậy, gặp một bài toán mà các em chưa từng tiếp xúc thì việc tìm lời giải cho bài toán đối với rất nhiều học sinh là rất khó khăn , không thể tự tìm đường lối giải được Quá trình tìm đường lối giải có tính chất quan trọng, quyết định nhất trong việc giải một bài toán Quá trình này là cơ sở cho việc rèn luyện khả năng tư duy, làm việc sáng tạo - một khả năng không thể thiếu đối với một người giải toán

Lươ ̣ng giác là mô ̣t trong những phân môn quan tro ̣ng và chiếm nhiều thời lươ ̣ng trong chương trình Toán bâ ̣c THPT Lượng giác được ứng dụng rất nhiều trong viê ̣c giải phương trình , hê ̣ phương trình , bất phương trình ; ứng dụng trong tính tích phân bằ ng phương pháp đổi biến số… Các em được rèn luyện nhiều trong việc biến đổi các công thức lượng giác và giải phương trình lượng giác Tuy nhiên giải các bài toán lượng giác vẫn còn

là vấn đề tương đối khó và lúng túng đối với đại đa số học sinh cả về tư duy và cách tìm ra lời giải của bài toán

Chính vì những điều trên đây, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu luận văn của mình là:

“ Rèn luyện khả năng tìm tòi lời giải các bài toán cho học sinh trong dạy học nội dung lượng giác ở trường trung học phổ thông.”

2 Mục đích nghiên cứu

Đề xuất một số biện pháp sư phạm hướng vào việc phát huy tính tích cực học tập của học sinh trong điều kiện và hoàn cảnh hiện nay nhằm rèn luyện khả năng tìm tòi lời giải các bài toán lượng giác cho học sinh góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán trong trường trung học phổ thông

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lý luận phương pháp dạy học tìm tòi lời giải các bài toán

- Đề ra một số biện pháp sư phạm nhằm giúp rèn luyện khả năng tìm tòi lời giải các bài toán lượng giác, từ đó nâng cao năng lực giải toán cho học sinh THPT

- Thực nghiệm sư phạm, kiểm nghiệm tính hiệu quả của đề tài

4 Giả thuyết nghiên cứu

Các biện pháp sư phạm hợp lý nhằm rèn luyện khả năng tìm tòi lời giải các bài toán lượng giác nếu được vận dụng tốt sẽ có vai trò quyết định trong việc rèn luyện phương pháp suy luận và khả năng tư duy của học sinh trong toàn bộ quá trình dạy toán và học toán từ đó góp phần nâng cao chất lượng học toán ở trường THPT

5 Các phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận dạy học môn toán

- Nghiên cứu đề tài và luận văn của đồng nghiệp

- Nghiên cứu tài liệu tham khảo, các báo và tạp chí

- Thực nghiệm sư phạm

6 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm có 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận của đề tài

Chương 2: Một số biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện khả năng tìm tòi lời giải các bài toán cho học sinh trong dạy học lượng giác ở trường trung học phổ thông

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI

1.1 Dạy học giải bài tập toán

1.1.1 Vai trò, vị trí và chức năng của bài tập toán học

Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng

và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ

Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán học được sử dụng với những dụng ý khác nhau Mỗi bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ,

để làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra… Đặc biệt là về mặt kiểm tra, bài tập là phương tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển của học sinh… Tất nhiên, việc dạy giải một bài tập cụ thể thường không chỉ nhằm vào một dụng ý đơn nhất nào đó mà thường bao hàm những ý đồ nhiều mặt đã nêu

Mỗi bài tập toán cụ thể được đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau Những chức năng này đều hướng đến việc thực hiện các mục đích dạy học Trong môn Toán, bài tập mang các chức năng sau:

Với chức năng dạy học: Bài tập nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo

ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học Qua đó học sinh hiểu sâu hơn và biết vận dụng những kiến thức đã học vào giải quyết các tình huống cụ thể Có khi bài tập là một định lí vì lý do nào đó không đưa vào lý thuyết cho nên qua việc giải bài tập học sinh còn mở rộng được tầm hiểu biết của mình Với chức năng giáo dục: Qua việc giải bài tập mà hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới

Với chức năng phát triển: Bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh, đặc biệt là rèn luyện các thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học

Với chức năng kiểm tra: Bài tập đánh giá mức độ, kết quả dạy học, đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của học sinh

Trên thực tế, các chức năng không bộc lộ một cách riêng lẻ và tách rời nhau Khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể tức là hàm ý nói đến việc thực hiện chức năng ấy được tiến hành một cách tường minh và công khai Hiệu quả của việc dạy học toán ở trường phổ thông phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác và thực hiện đầy đủ các chức năng có thể có của một bài tập Các chức năng của mỗi bài tập toán phụ thuộc vào nội dung và phương pháp khai thác lời giải của nó Điều đó định hướng cho việc lựa chọn bài tập của giáo viên, tránh tình trạng ra bài tập một cách tùy hứng hoặc chỉ chủ trọng đến số lượng thuần túy Tóm lại người giáo viên chỉ có thể khám phá và thực hiện được những chức năng đó bằng năng lực sư phạm và trình độ nghệ thuật dạy học của mình

1.1.2 Các yêu cầu đối với lời giải bài toán:

Để phát huy tác dụng và khai thác tốt các chức năng của bài tập toán học, trước hết cần nắm vững các yêu cầu của lời giải

a) Lời giải không có sai lầm:

Yêu cầu này có nghĩa là lời giải không có sai sót về kiến thức toán học, về phương pháp suy luận, về kĩ năng tính toán, về kí hiệu, hình vẽ, kể cả không

có sai lầm về ngôn ngữ diễn đạt Giáo viên cần rèn luyện cho học sinh thói quen xem xét, kiểm tra lại kết quả giải toán và lời giải của mình, qua đó giáo dục ý thức trách nhiệm đối với công việc, đồng thời phát triển óc phê phán Cần giúp học sinh kiểm tra kết quả bằng cách đối chiếu bài làm với từng câu hỏi của đề bài, xét tính hợp lí của đáp số với đầu bài hoặc bằng cách tìm một phương pháp giải khác nếu có thể, rồi so sánh các kết quả giải được theo các

phương pháp khác nhau Cũng cần yêu cầu học sinh kiểm tra lại bằng hình thức vận dụng linh hoạt những kiến thức đã học chứ không chỉ đơn thuần bằng cách so sánh với đáp số cho sẵn như nhiều học sinh vẫn làm

Chỉ ra những sai lầm trong lời giải của học sinh là cần thiết, song điều quan trọng hơn là phân tích được nguyên nhân chính dẫn đến sai sót đó, bởi vì

“ con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình” (Polya 1975) Nguyên nhân chủ yếu về mặt kiến thức dẫn đến sai lầm là học sinh không nắm vững các định nghĩa, định lí, quy tắc… vận dụng chúng một cách máy móc, không chú ý đến các điều kiện ấy hạn chế phạm vi tác dụng của chúng Trong giải toán, học sinh còn có thể mắc sai lầm do hấp tấp, cẩu thả, sơ suất trong tính toán, không ghi chép đúng và xem xét kĩ đầu bài

b) Lập luận phải có căn cứ chính xác:

Yêu cầu này đòi hỏi từng bước biến đổi trong lời giải phải có cơ sở lí luận, phải dựa vào các định nghĩa, định lí, quy tắc, công thức… đã học, đặc biệt phải chú ý đảm bảo thỏa mãn điều kiện nêu trong giả thiết của định lí

c) Lời giải phải đầy đủ:

Điều này có nghĩa là không được bỏ sót một trường hợp, một khả năng, một chi tiết nào Nó cũng có ý nghĩa là lời giải phải không thừa, không thiếu Muốn vậy cần chú ý tập cho học sinh trong quá trình giải toán phải luôn luôn suy xét và tự trả lời các câu hỏi như: Ta đang phải xem xét cái gì? Như vậy đã

đủ chưa? Còn trường hợp nào nữa không? Đã đủ các trường hợp đặc biệt chưa? Học sinh thường bộc lộ thiếu sót là không xét được đầy đủ các trường hợp, các khả năng xảy ra ở một tình huống, nhất là các bài toán có tham biến, những bài toán đòi hỏi phải biện luận…

Ngoài ba yêu cầu cơ bản nói trên, người giáo viên còn cần yêu cầu lời giải ngắn gọn, đơn giản nhất, cách trình bày rõ ràng, hợp lí Tìm được lời giải hay của một bài toán tức là đã khai thác được những đặc điểm riêng của bài toán,

điều đó làm cho học sinh “có thể biết được cái quyến rũ của sự sáng tạo cùng niềm vui thắng lợi” ( Polya 1975 )

1.1.3 Dạy học phương pháp tìm lời giải bài toán

Trong môn toán ở trường phổ thông có rất nhiều bài toán chưa có hoặc không có thuật toán để giải Đối với những bài toán ấy, hãy cố gắng hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách tìm tòi lời giải Đây là cơ hội rất tốt để giáo viên trang bị cho học sinh một số tri thức phương pháp – phương pháp giải toán, phương pháp toán học hóa – nhằm rèn luyện và phát triển ở họ năng lực

tư duy khoa học Biết đề ra cho học sinh đúng lúc, đúng chỗ những câu hỏi gợi ý sâu sắc, phù hợp với trình độ đối tượng và trong chừng mực nào đó sử dụng khéo léo những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của G Pôlya về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học

là thể hiện kinh nghiệm và năng lực sư phạm của người giáo viên trong quá trình dạy học giải bài tập toán Đó là lời khuyên của người có kinh nghiệm giải toán chứ không phải là những bản chỉ dẫn có tính chất thuật toán Tiếp thu những lời khuyên này, mỗi người có thể thực hiện khác nhau, cả về cách thức lẫn thời gian, để đi đến kết quả, và có thể có người không đi đến kết quả Điều đó nói lên tính chất khó khăn, phức tạp của việc truyền đạt phương pháp

và kinh nghiệm giải toán chứ không hề phủ nhận vai trò của việc này Không

có thuật toán nào để giải mọi bài toán Chúng ta chỉ có thể thông qua dạy học giải một số bài toán cụ thể mà dần dần truyền cho học sinh cách thức, kinh nghiệm tiến tời nghệ thuật trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải các bài toán “ Tìm được cách giải một bài toán là một điều phát minh” ( Polya, 1975 )

Phương pháp tìm tòi lời giải của Pôlya thường được tiến hành theo 4 bước:

- Tìm hiểu nội dung của bài toán

- Xây dựng chương trình giải

- Thực hiện chương trình giải

- Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

a) Tìm hiểu nội dung bài toán: Để giải được một bài toán, trước hết phải hiểu

đề bài và ham thích giải bài toán đó Vì thế người giáo viên cần chú ý gợi động cơ, khêu gợi trí tò mò, hứng thú của học sinh và giúp các em hiểu bài toán phải giải Phải tìm hiểu bài toán một cách tổng thể để bước đầu hiểu toán

bộ bài toán, tránh vội vàng đi vào ngay các chi tiết

Tiếp theo, phải phân tích bài toán: cái gì đã cho, cái gì chưa biết? có mối liên hệ nào giữa cái phải tìm và cái đã cho? …

Chẳng hạn cho bài toán: Biết tan(a+b) = 5 và tan(a-b) = 3 Tính tan2a và tan 2b

Hãy chú ý xem xét bài toán, chưa nên vội vàng khai triển tan(a+b) và tan(a-b) ( mặc dù cũng đi đến kết quả nhưng dài và phức tạp )

Ta đã biết tan(a+b) và tan(a-b), phải tính tan2a và tan2b thì ta xem góc 2a và 2b có mối quan hệ gì với các góc đã cho là a+b và a-b

Điểm mấu chốt đó được khám phá: 2a = (a+b)+(a-b)

Do đó việc tính tan2a = tan [(a+b)+(a-b)] rồi sử dụng giả thiết ta sẽ được kết quả phải tìm

b) Xây dựng chương trình giải: Ở bước này, phải chú ý phân tích bài toán đã

cho thành nhiều bài toán đơn giản hơn, phải huy động kiến thức (định nghĩa, định lí, quy tắc… ) có liên quan đến những khái niệm, những quan hệ trong

đề toán, rồi lựa chọn trong số đó những kiến thức gần gũi hơn cả với dữ kiện của bài toán, mò mẫm, dự đoán, thử xét một vài khả năng, kể cả trường hợp đặc biệt, xét một bài toán tương tự hoặc một bài toán khái quát của bài toán đã cho …

Ví dụ cho bài toán:

Chứng minh rằng ba cạnh a, b, c của một tam giác bất kì thỏa mãn bất đẳng thức:

a2 + b2 + c2 < 2( ab + bc + ca )

Bài toán đề cập mối quan hệ giữa ba cạnh của tam giác Hãy huy động những định lí, tính chất đã biết về quan hệ giữa các cạnh của tam giác:

a > b – c

a < b + c

a2 = b2 + c2 – 2bccosA

2(a2 + b2 ) = c2 + 4mc2

Để chọn lọc những kiến thức thích hợp, trước hết ta hãy loại 2 đẳng thức cuối

vì chúng đề cập đến mối quan hệ “đẳng thức” chứ không phải “bất đẳng thức” Đối chiếu với điều phải chứng minh ta thấy mỗi số hạng phải có bậc 2, trong đó mỗi cạnh được tính bình phương một lần Thử bình phương 2 vế của bất đẳng thức đầu ta có: a2

> b2 + c2 – 2bc Tương tự ta có: b2

> c2 + a2 – 2ca

c2 > a2 + b2 – 2ab cộng từng vế và ước lược ta sẽ có điều phải chứng minh

Hãy tiếp tục thử với bất đẳng thức thứ 2, nếu được ta sẽ có cách giải khác, bằng không thì cũng là một bước luyện tập Nếu làm như trên thì ta được :

a2 + b2 + c2 > - ( ab + bc + ca ) là điều hiển nhiên nhưng không phải là điều cần chứng minh

Thử chọn phép biến đổi khác, để xuất hiện bình phương của mỗi cạnh, nhân 2 vế của bất đẳng thức với a ta được :

a2 < ab + ac tương tự : b2

< ab + bc

c2 < ac + bc cộng các vế và ước lược ta lại có điều cần chứng minh Như vậy ta lại có được cách giải khác

Trong quá trình giải toán, có khi ta phải biến đổi bài toán, thay điều phải chứng minh hay cái phải tìm bằng cái tương đương, phát biểu bài toán dưới

một dạng khác… Việc tìm tòi lời giải bài toán nhiều khi đạt được bằng cách xét một bài toán tương tự

c) Thực hiện chương trình giải:

Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó

d) Kiểm tra và nghiên cứu lời giải:

Cần phải luyện tập cho học sinh thói quen kiểm tra lại lời giải bài toán, xem xét xem có sai lầm hay thiếu sót gì không, nhất là các bài toán có đặt điều kiện hay phải biện luận Đồng thời cũng nâng dần yêu cầu đi sâu cải tiến lời giải, khai thác lời giải Việc kiểm tra lại kết quả phải yêu cầu học sinh tiến hành thường xuyên Chẳng hạn, khi giải một phương trình sau khi tìm được nghiệm, học sinh phải đối chiếu lại với điều kiện đã nêu hoặc thay vào phương trình đã cho để đánh giá kết quả Đặc biệt đối với phương trình lượng giác, học sinh thường dễ mắc sai lầm khi kiểm tra nghiệm hoặc loại nghiệm

Ví dụ: Cho phương trình

sinx + cosx

cos2x

Có học sinh giải như sau:

Điều kiện: cos2x ≠ 0 tức là

2 (2)

Giá trị (1) của x không thỏa mãn điều kiện đã nêu nên bị loại, vậy nghiệm của phương trình là (2)

Trong cách giải này học sinh đã tiến hành kiểm tra lại nghiệm nhưng chưa triệt để Nhìn hình thức thì dễ ngộ nhận cho rằng các giá trị ở (2) đều thỏa mãn điều kiện đã nêu Với phương tiện đơn giản là đường tròn đơn vị, cần lưu

ý học sinh biểu diễn cả điều kiện lẫn các giá trị (2) trên đó mới thấy trong các giá trị này phải loại đi những trường hợp ứng với k = 1, 4, 7, …nghĩa là

nghiệm của phương trình có dạng: 2

Trong quá trình giải bài tập, cần khuyến khích học sinh tìm nhiều cách giải cho một bài toán Mọi cách giải đều dựa vào một số đặc điểm nào đó của các

dữ kiện cho nên tìm được nhiều cách giải là luyện tập cho học sinh biết cách nhìn nhận một vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau, điều đó rất bổ ích cho việc phát triển năng lực tư duy Mặt khác tìm được nhiều cách giải thì sẽ chọn được cách giải hay nhất, đẹp nhất

11

Rồi thay cos 1

a b  c a b  vào rồi ước lược ta

được ngay kết quả cos 1

Động cơ học toán đúng đắn và phù hợp phải gắn liền với nội dung toán học, nghĩa là nắm vững các khái niệm, định lý, hệ quả, quy luật phát triển toán học, kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề, kỹ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn,…

Động cơ này lại được cụ thể hóa thành từng nhiệm vụ học tập của hoạt động học toán Để giải quyết nhiệm vụ đó, học sinh phải tiến hành một loạt các hành động với các thao tác tương ứng và được diễn ra theo các giai đoạn sau:

- Tiếp nhận nhiệm vụ đề ra chương trình hành động

- Thực hiện các hành động và các thao tác tương ứng

- Điều chỉnh hoạt động học toán dưới sự chỉ đạo, hướng dẫn của giáo viên, của sự tự điều chỉnh và tự kiểm tra của bản thân

- Phân tích các kết quả thu được của hoạt động học, từ đó dần hình thành được phương pháp học tập có hiệu quả cho mình

b) Trong hoạt động giải toán, hành động dự đoán chiếm vị trí trung tâm,

nó xuất hiện sau khi đã hiểu kĩ đề bài, phải dự đoán giới hạn phạm vi đi tìm lời giải Tiếp theo trong tư duy diễn ra hai hành động trí tuệ: động viên và tổ chức kiến thức Động viên thường bắt đầu bằng thao tác nhận biết một số yếu

tố nào đó chứa đựng trong bài toán và được tiếp tục bằng thao tác nhớ lại những yếu tố khác đã quen thuộc và có liên quan tới yếu tố vừa nhận biết Hành động tổ chức bào hàm trong nó thao tác bổ sung và nhóm lại Hành động tách biệt một chi tiết, một bộ phận ra khỏi cái tổng thể bao quanh nó nhằm tập trung chú ý vào chi tiết, bộ phận đó Hành động kết hợp lại liên kết những chi tiết, bộ phận đã được xem xét lại với nhau trong cái toàn thể

Có thể sử dụng sơ đồ của G Polia để biểu thị mối quan hệ qua lại giữa các thành tố trên:

Tách biệt

Động viờn Dự đoỏn Tổ chức

Kết hợp Trong đú hành động dự đoỏn đặt ở vị trớ trung tõm của hỡnh vuụng, cỏc cặp hành động trớ tuệ đối lập nhưng thống nhất như: động viờn – tổ chức, tỏch biệt – kết hợp được đặt ở cỏc đỉnh đối nhau của hỡnh vuụng, cỏc thao tỏc trớ tuệ được đặt trờn cỏc cạnh của hỡnh vuụng ấy

Cơ chế hoạt động được túm tắt như sau: từ những chi tiết được động viờn

đi đến cỏi toàn thể cú tổ chức Từ một tổ chức, một chi tiết phõn biệt được tỏch ra để nghiờn cứu rồi lại được liờn kết lại với nhau cú thể dẫn đến việc thay đổi quan niệm của người giải bài toỏn Cũn cỏc thao tỏc trớ tuệ sẽ xuất hiện khi người giải thực hiện cỏc nhiệm vụ nhận thức

Trong quỏ trỡnh giải toỏn, cứ một lần trớ tuệ vận hành theo cơ chế trờn là một lần người giải toỏn lại nhỡn bài toỏn ở cỏc khớa cạnh khỏc nhau Tất nhiờn

sẽ cú lần kết quả của hoạt động khụng đem lại lời giải của bài toỏn nhưng đú cũng là bổ ớch bởi ta loại bỏ được một con đường và hơn thế nữa, học sinh lại một lần nữa được rốn luyện năng lực giải toỏn

1.3 Quan niệm về vấn đề dạy giải toỏn

Bài tập toán học rất đa dạng và phong phú Việc giải bài tập là một yêu cầu quan trọng đối với mọi học sinh Có thể chia bài tập toán học ra làm hai loại:

a) Loại có sẵn thuật toán

Để giải loại này học sinh phải nắm vững các quy tắc giải đã học rèn luyện

kỹ năng, kỹ xảo Đây là cơ sở quan trọng để giải các bài toán phức tạp hơn Yêu cầu cho học sinh là:

- Nắm vững quy tắc giải đã học

- Nhận dạng đúng bài toán

- Giải theo quy tắc đã học một cách thành thạo

b) Loại ch-a có sẵn thuật toán

Loại bài tập này chiếm số l-ợng khá lớn trong sách giáo khoa và gây cho học sinh không ít khó khăn dẫn đến tâm lý sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng của mình Đây là một trở ngại lớn cho ý chí tiến thủ v-ơn lên trong học tập của học sinh Do vậy khi dạy học sinh giải bài tập, không chỉ đơn thuần cung cấp lời giải mà quan trọng hơn là: Dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ tìm ra con đ-ờng hợp lý để giải bài toán

Tuy nhiờn thực tế cho thấy hiện nay nhiều giỏo viờn vẫn chưa nhận thức rừ ràng việc này Việc giảng dạy cỏc bài toỏn cho học sinh gồm 2 nội dung chủ yếu là: tỡm tũi lời giải cỏc bài toỏn và giải cỏc bài toỏn trong đú việc rốn khả năng giải cỏc bài toỏn là thứ yếu trong cụng việc dạy toỏn bởi:

- Dự cú kỹ thuật cao, cú thành thạo trong việc thực hiện cỏc thao tỏc và cỏc phộp tớnh nhưng khi chưa cú phương hướng tốt thỡ chưa thể cú lời giải hoặc lời giải tốt

- Mặt khỏc, phải xem lao động trong khõu thực hiện cỏc thao tỏc khi đó cú phương hướng là lao động cú tớnh chất kỹ thuật, khụng thể cú những sỏng tạo lớn như lao động để tỡm tũi phương hướng giải

- Ngoài ra, coi trọng khõu rốn luyện phương phỏp và khả năng tỡm tũi lời giải cỏc bài toỏn chớnh là cơ sở quan trọng cho việc rốn luyện khả năng độc lập, sỏng tạo

Những lý do đú đó chứng tỏ tớnh chất quyết định của khõu rốn luyện phương phỏp tỡm tũi lời giải cỏc bài toỏn trong toàn bộ quỏ trỡnh dạy giải toỏn Một số người cú tham vọng muốn cú một thuật giải tổng quỏt để giải mọi bài toỏn Đú là điều ảo tưởng Trong mụn toỏn ở trường phổ thụng cú rất nhiều bài toỏn chưa cú hoặc khụng cú thuật giải Ngay cả đối với những lớp bài toỏn riờng biệt cũng cú trường hợp cú, trường hợp khụng cú thuật giải Tuy nhiờn

trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý các suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán lại là có thể và cần thiết

1.4 Các yêu cầu trong việc giảng dạy bài tập nhằm rèn luyện khả năng tìm tòi lời giải các bài toán cho học sinh

Bài giảng không thể chỉ dừng lại ở mức độ trình bày một lời giải đúng đắn, đầy đủ và mạch lạc mà phải biết cách hướng dẫn học sinh thực hành việc giải toán theo yêu cầu của phương pháp tìm lời giải Nói gọn lại là việc rèn luyện học sinh giải các bài toán trong các giờ bài tập phải làm tốt cả hai khâu: Tìm tòi lời giải và lời giải

Để làm tốt khâu giảng dạy phần tìm tòi lời giải cho học sinh, trước hết người học sinh cần phải tự rèn luyện để làm tốt yêu cầu đó

Vấn đề này thuộc về nhận thức Cần xác định rằng nếu không có phần tìm tòi lời giải các bài toán khi giảng dạy thì vai trò của người thầy giáo chưa đáp ứng đúng yêu cầu

Việc rèn luyện khả năng tìm tòi lời giải các bài toán cần tiến hành theo trình tự từ thấp đến cao:

- Tập dần từ những bài toán dễ, không phải là lời giải mà là công việc tìm tòi lời giải đơn giản

- Từ các bài toán đã có lời giải hay, hãy thực hành việc tìm lời giải khi đã

có lời giải bài toán đó

- Đến mức cao hơn, rèn luyện toàn bộ quá trình một cách đầy đủ Từ một bài toán chưa có lời giải, tìm cách phân tích để tìm lời giải rồi đi đến giải bài toán đó

Tóm lại, việc rèn luyện khả năng tìm tòi lời giải các bài toán là một công việc khó khăn Phải có thói quen tốt là khi nghiên cứu một bài toán thì phải bắt đầu từ quá trình tìm tòi lời giải

1.5 Một số khả năng cần thiết góp phần rèn luyện khả năng tìm tòi lời giải các bài toán

Quá trình dạy học được tiến hành bằng sự kết hợp giữa hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của học sinh Lâu nay, chúng ta thường chú ý nhiều đến chất lượng của hoạt động dạy Khi dự giờ, rút kinh nghiệm ta thường phân tích nhiều về khía cạnh hoạt động của thầy giáo ở trên lớp ( chất lượng bài giảng, khả năng lôi cuốn học sinh học tập, phong thái, cách trình bày bảng ) Điều đó là cần thiết vì giáo viên là người điều khiển, tổ chức quá trình dạy học Nhưng việc ít quan tâm hoặc quan tâm không đầy đủ, sâu sắc đến hoạt động học của học sinh lại là một thiếu sót lớn Nhân cách của học sinh, trong đó có kết quả trí dục, chính là chất lượng sản phẩm mà nhà trường đào tạo cho xã hội Vì vậy, cần thiết phải chú ý đến hoạt động học, trước hết phải rèn luyện cho học sinh kỹ năng học tập bộ môn

Trong tâm lí – giáo dục người ta chia kỹ năng thành 4 nhóm: kĩ năng nhận thức, kĩ năng thực hành, kĩ năng tổ chức hoạt động nhận thức và kĩ năng tự kiểm tra, đánh giá

Kĩ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải toán là một kĩ năng quan trọng trong kĩ năng thực hành bởi hoạt động giải toán có thể xem là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học đối với mỗi học sinh Nó là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích của việc dạy học môn toán ở trường phổ thông Kĩ năng vận dụng tri thức một cách có hiệu quả vào hoạt động giải toán của học sinh được huấn luyện trong quá trình họ tìm tòi lời giải của bài toán

Để làm được điều này, người học sinh cần rèn luyện các khả năng sau:

a) Rèn luyện khả năng phân tích bài toán

Đó là việc xem xét, phân tích bài toán đã cho Ở đây vấn đề quan trọng

là biết cách nhìn bài toán Phải biết cách nhìn bài toán dưới dạng chính quy, lại phải nhìn bài toán dưới dạng đặc thù, riêng lẻ Nhìn bài toán trong bối

cảnh chung chưa đủ, lại phải biết nhìn bài toán trong các điều kiện cụ thể và biết nhìn bài toán đã cho trong mối tương quan đối với các bài toán khác

Trong việc nhìn bài toán, có thể xem điều nêu ra dưới đây là một lời khuyên hay cũng là một châm ngôn cần ghi nhớ: Trong mỗi bài toán, mỗi ký hiệu, mỗi con số, mỗi biểu thức và các điều kiện đã cho cũng như kết quả của bài toán chứa đựng (trong lòng chúng ) những điều muốn nói ra Người làm toán phải tìm cách “nói giúp” những điều muốn nói của các con số, các kí hiệu và các yếu tố có mặt trong bài toán đó Nói đúng những điều mà mọi cái

đó muốn nói ra, người làm toán đã khám phá được bài toán và từ đó mới có

cơ sở để định hướng đường lối giải bài toán Mặt này cũng là một thước đo khả năng biết làm toán của người học sinh

- Nếu nhìn bài toán dưới dạng chính quy ta nghĩ ngay đến việc chuyển

phương trình về dạng chỉ chứa tanx hoặc cotx bằng cách thay cot  1

Đến đây ta đưa về phương trình cơ bản có thể giải được

- Nếu căn cứ vào dạng riêng của bài toán từ cách viết phương trình đã cho dưới dạng:

Khi đó phương trình đối với t có dạng: t2

+ 2t -3 =0 ( giải được t rồi quay lại tìm x )

- Khi quan tâm đến điều kiện cụ thể của bài toán:  

Một mặt khác, cách nhìn một bài toán còn mang ý nghĩa khám phá bài toán

đó Một trong các nhiệm vụ của việc khám phá đó là tìm cách lột bỏ hình thức

“ có tính chất ngụy trang” của bài toán để xác định đúng thực chất của bài toán Tác giả của bài toán thường hay “tô son trát phấn” cho các bài toán vốn

có bản chất “hiền lành” trở thành con “ ngoáo ộp” đối với người làm toán Mạnh dạn tìm cách lột bỏ cái vỏ bọc bề ngoài của một bài toán cũng là một công việc cân làm đối với người giải toán

- Quá trình suy nghĩ thường đi từ đơn giản đến phức tạp, từ cái riêng đến cái chung Cái riêng ở đây là xét xem các biểu thức dưới căn có phải là bình phương đúng hay không? Còn cái chung ở đây là tính chất vô tỉ ( nếu đúng vậy )

- Ngoài ra cũng nên nghĩ thêm rằng nếu phương trình đã cho mang tính chất

vô tỉ thì quả là bài toán không có gì hay ngoài tính phức tạp của nó

Nhằm vào cái riêng ta phát hiện ra ngay các biểu thức dưới căn là các bình phương đúng Cụ thể là:

Phương trình (*) là phương trình lượng giác có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Do đặc điểm về dạng của phương trình có thể đặt:

t = cos2x với 0≤ t ≤ 1 Khi đó ta có phương trình đối với t:

Xem xét tiếp phương trình (**) nhìn phương trình dưới dạng chính quy thì nó

sẽ giải được bằng cách khử dấu giá trị tuyệt đối bằng phương pháp phân khoảng

Khi đó độ dài đoạn AB bằng 1

2 cho nên dễ thấy rằng bài toán được thỏa mãn

khi M chạy trong đoạn thẳng AB tức là : 1

4≤ t ≤ 3

4

Đến đây việc giải bài toán chỉ còn là các bước đơn giản

Tóm lại trong việc luyện cách nhìn một bài toán hơn nhau ở chỗ là phải có cách nhìn và cái nhìn đúng đắn Đây chính là chìa khóa mở đường cho việc tìm kiếm đường lối giải

b) Rèn luyện khả năng xác định đường lối giải

Đây là khâu quyết định sự thành hay bại, hay hoặc dở của một bài toán Vốn kiến thức nhiều hay ít ảnh hưởng lớn đến việc rèn luyện khả năng xác định phương hướng giải bài toán Để làm tốt mặt này, việc trang bị nội dung của chương trình đóng góp phần quan trọng

Rèn luyện tốt khả năng nhìn một bài toán cộng với vốn kiến thức đầy đủ về nội dung và phương pháp là điều kiện quan trọng góp phần đáng kể cho việc rèn luyện khả năng xác định đường lối giải

Việc xác định đường lối giải một bài toán trước hết và chủ yếu là phải xác định đúng đắn thể loại của bài toán đó Để làm tốt việc này cần nghiên cứu kỹ bài toán đã cho mà chủ yếu căn cứ vào yêu cầu mà bài toán đòi hỏi để khẳng định đúng đắn thể loại của bài toán Các đường lối giải của các bài toán nói

chung đã được xác định trong nội dung những tri thức về loại toán đó mà người làm toán phải biết và phải nhớ Cái khó khăn chủ yếu về mặt này là mỗi bài toán nói chung tuy nằm trong một thể loại nào đó nhưng lại có những vẻ riêng biệt của nó Người làm toán phải biết nắm vững cái chung lại phải phát hiện đúng cái đặc thù, cái riêng của mỗi bài toán để chọn được đường lối thích hợp nhất

Một mặt đáng chú ý là ở các bài toán có nhiều cách giải, người làm toán cần

có một cách đánh giá đúng ưu, nhược điểm của từng lời giải để rút ra bài học đáng ghi nhớ cho việc giải toán

c) Rèn luyện khả năng lựa chọn phương pháp và công cụ cũng như các công thức biến đổi thích hợp

Một mặt nữa cần lưu ý khi xác định đường lối giải một bài toán là phải gắn liền việc xác định đường lối với việc lựa chọn phương pháp và công cụ Có những trường hợp bài toán đã cho có đường lối giải đúng, tuy vậy việc chọn phương pháp và công cụ không thích hợp nên vẫn không đi tới đích của lời giải được Vì vậy, việc rèn luyện một tầm nhìn bao quát, bao gồm các việc: xác định đường lối, chọn lựa công cụ và phương pháp để thực hiện đường lối

đó là cần thiết đối với người giải toán

Việc lựa chọn phương pháp và công cụ có tính chất kỹ thuật Tuy vậy tính sáng tạo của học sinh có tác dụng đáng kể trong quá trình dẫn bài toán từ chỗ

đã có phương hướng đúng đến lời giải của bài toán Chọn được phương pháp, công cụ tối ưu thì có được lời giải tốt nhất Điều này lại càng cần thiết đối với các bài toán có nhiều lời giải Quá trình phân tích và cách nhìn bài toán đóng góp phần quan trọng trong công việc này Nói một cách cụ thể hơn là: Vì có những đặc điểm nào đó mà bài toán giải được bằng các phương pháp này hay công cụ khác Ngay cả việc sử dụng một công thức toán học cũng phải linh hoạt, phải biết sử dụng công thức theo chiều nào, dưới dạng nào trong các dạng vốn có của một công thức

d) Rèn luyện khả năng tìm lời giải

Công việc này nên tiến hành từ hình thức thấp đền hình thức cao, từ việc tìm lời giải theo từng phương pháp riêng đến việc vận dụng tổng hợp các phương pháp

Nội dung của các phần ở trên phần nào đáp ứng việc giúp học sinh luyện tập khả năng này Công việc này đối với thầy giáo đã là khó, đối với học sinh lại càng khó hơn Xét cho cùng, dù có khó khăn đến mấy nhưng nếu làm không tốt công việc này thì khả năng giải toán nói riêng và học toán nói chung không thể tiến bộ nhanh được Cần chú ý rằng khi luyện tập, cần nâng dần yêu cầu theo sự tiến bộ của mình Nếu làm tốt khả năng này người học sinh sẽ quen dần công việc độc lập sáng tạo trong quá trình rèn luyện

e) Rèn luyện khả năng kiểm tra lại kết quả của bài toán

Khả năng này ít được học sinh quan tâm tới Bỏ sót việc rèn luyện khả năng này cũng ảnh hưởng không nhỏ đến khả năng giải toán của học sinh Bởi vì rằng khi xác định được sai sót của bài toán, người học sinh đã phát hiện ra được một mắt xích nào đó trong cả quá trình thực hiện đường lối hoặc thao tác kỹ thuật có sai sót

Có những bài toán việc phát hiện ra cái sai có khi còn khó hơn việc tìm ra cái đúng Để làm tốt việc này, các thầy giáo có thể giúp đỡ học sinh qua các giờ luyện tập bằng cách đồng thời với việc phân tích cái đúng thì phân tích luôn

cả những cái sai phổ biến mà học sinh thường gặp

Việc kiểm tra bài toán nên tiến hành theo hai bước: định tính và định lượng Kiểm tra kết quả về mặt định tính là việc xác định lại tính đúng đắn của việc chọn phương pháp giải, việc chọn các phương pháp và công cụ đã thích hợp chưa? Nếu đã phát hiện được sai sót nào về mặt định tính thì phần định lượng không cần kiểm tra nữa

Kiểm tra kết quả về mặt định lượng là việc rà soát lại quá trình thao tác đã dùng khi giải các bài toán, các phép biến đổi đã dùng đã thích hợp với bài

toán chưa? Tất nhiên công việc này phải thực hiện sau khi kiểm tra định tính Kinh nghiệm cũng cho hay rằng, khi kiểm tra định lượng, để đảm bảo sai lầm khỏi lặp lại ta nên dùng con đường khác với lời giải đã có

Công việc này tiến hành thường xuyên và có chất lượng sẽ giúp ích cho học sinh nhiều trong việc giải toán Ngoài ra, cần lưu ý rằng khi kiểm tra bài toán,

do đã có lời giải rồi cho nên trình độ của người học sinh khi đó ít nhiều đã được nâng cao hơn so với khi mới có bài toán, vì vậy các bài học rút ra càng

bổ ích hơn

g) Rèn luyện khả năng tìm bài toán có liên quan và sáng tạo các bài toán mới

Việc tìm bài toán có liên quan cần vận dụng thường xuyên trong khi giải toán

Vì khi giải một bài toán nào đó thì một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là: liệu bài toán này có quan hệ với một bài toán nào đó hay không? để hoặc là quy bài toán đã cho về bài toán quen thuộc đã biết cách giải hoặc có thể sử dụng khía cạnh nào đó ở một bài toán có liên quan để giải bài toán đã cho Luyện tập khả năng này sau khi có lời giải bài toán rồi lại càng có tác dụng hơn Việc rèn luyện khả năng sáng tạo bài toán mới là một yêu cầu cao, cũng rất cần tuy không dễ nhưng rất bổ ích

1.6 Kết luận chương 1

Trong chương 1 luận văn đã hệ thống được cơ sở lý luận về phương pháp dạy học giải bài tập toán đồng thời cũng làm rõ được vai trò quan trọng của việc tìm tòi lời giải các bài toán trong hoạt động toán học, hoạt động giải toán của học sinh Vì vậy mà việc rèn luyện khả năng tìm tòi lời giải các bài toán cho học sinh là rất cần thiết và phù hợp với quan điểm dạy học giải bài tập toán hiện nay Đặc biệt qua các vấn đề đã được trình bày trong chương 1: Các yêu cầu đối với việc giảng dạy bài tập và một số khả năng cần rèn luyện

sẽ là cơ sở để đề ra những biện pháp sư phạm được trình bày ở chương 2

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM NHẰM RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG TÌM TÒI LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CHO HỌC SINH TRONG DẠY

HỌC LƯỢNG GIÁC Ở TRƯỜNG THPT

2.1 Biện pháp 1: Gợi trí tò mò và hứng thú tìm tòi lời giải bằng các bài toán như là những tình huống gợi vấn đề

Tình huống gợi vấn đề là một tình huống gợi ra cho học sinh những khó khăn

về lí luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả năng vượt qua, nhưng không phải là ngay tức khắc nhờ một quy tắc có tính chất thuật toán, mà phải trải qua một quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi đối tượng hoạt động hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có

Như vậy một tình huống gợi vấn đề cần thỏa mãn các điều kiện sau:

a) Tồn tại một vấn đề: Tình huống phải bộc lộ mâu thuẫn giữa thực tiễn với

trình độ nhận thức, chủ thể phải ý thức được một khó khăn trong tư duy hoặc hành động mà vốn hiểu biết sẵn có chưa đủ để vượt qua Nói cách khác, phải tồn tại một vấn đề tức là học sinh chưa giải đáp được và cũng chưa có một quy tắc có tính chất thuật toán để giải đáp câu hỏi nảy sinh ra trong tình huống

b) Gợi nhu cầu nhận thức: Nếu tình huống có một vấn đề, nhưng nếu học

sinh thấy nó xa lạ, không muốn tìm hiểu thì đây cũng chưa phải là một tình huống gợi vấn đề Trong tình huống gợi vấn đề, học sinh phải cảm thấy cần thiết, thấy có nhu cầu giải quyết vấn đề đó

Tốt nhất là tình huống gây được “cảm xúc”, làm cho học sinh ngạc nhiên, thấy hứng thú và mong muốn giải quyết vấn đề

c) Gây niềm tin ở khả năng: Nếu một tình huống tuy có vấn đề và vấn đề tuy

hấp dẫn, nhưng học sinh thấy nó vượt quá xa so với khả năng của bản thân thì

họ cũng không sẵn sàng giải quyết vấn đề Cần làm cho học sinh thấy rõ tuy

họ chưa có ngay lời giải, nhưng đã có một số kiến thức, kĩ năng liên quan đến vấn đề đặt ra và nếu họ tích cực suy nghĩ thì có nhiều hi vọng giải quyết được vấn đề đó Phải thỏa mãn cả điều kiện đó nữa thì tình huống mới có tính chất gợi vấn đề

Mục đích của biện pháp này là không phải chỉ làm cho học sinh lĩnh hội được kết quả của quá trình giải quyết vấn đề, mà còn ở chỗ làm cho họ phát triển khả năng tiến hành những quá trình như vậy Nói cách khác, học sinh không chỉ học kết quả của việc học mà trước hết là học bản thân việc học

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: “Tri thức không phải là điều có thể dễ dàng cho không Để dạy một tri thức nào đó, thầy giáo thường không thể trao ngay cho học sinh điều thầy muốn dạy, cách tốt nhất thường là cài đặt tri thức đó vào những tình huống thích hợp để học sinh chiếm lĩnh nó thông qua hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo.”

Đưa ra các bài toán với tư cách là các tình huống có vấn đề với mục đích làm cho vấn đề trở lên hấp dẫn tạo khả năng kích thích học sinh tìm tòi lời giải bài toán

Ví dụ 1: Không dùng máy tính, hãy tính các giá trị lượng giác:

cos(375°) = cos(3600 + 150) = cos150

Vấn đề chính là ở chỗ ta chưa biết cosin của cung 15° bằng bao nhiêu

Đây là một tình huống gợi vấn đề bởi học sinh chưa có thuật toán hay công thức tính trực tiếp, nhưng học sinh hoàn toàn có thể tính được nhờ sử dụng công thức cộng hay công thức nhân đôi

- Nhận xét rằng 15° = 60° - 45° = 45° - 30° tức là góc cần tính được biểu diễn qua hiệu của hai góc đặc biệt ( hai góc đã biết giá trị lượng giác )

Học sinh có thể giải như sau:

Giáo viên đặt câu hỏi:

- Điều kiện để phương trình có nghĩa? ( tan( x).tan( x) 0

).

x 4 cos(      )

Học sinh tự mình biến đổi và tìm ra điều kiện của x (x k ; k Z)

- Khi đó phương trình (1) tương đương với phương trình nào ?

(1)sin 2x4 cos 2x4 cos 4x4 (2)

- Hãy tiếp tục biến đổi phương trình (2) về dạng quen thuộc?

(2) 1 1sin 4x2 cos 4x4 1 1(1 cos 4x)2 cos 4x4

2cos 4x4 cos 4x 1 02   (3)

- Phương trình (3) đã có dạng quen thuộc chưa?

- Trình bày cách giải phương trình (3)

Khi đó học sinh có thể giải phương trình (3) một cách dễ dàng bởi đây là phương trình lượng giác thường gặp

Trong chương trình toán phổ thông, phương trình lượng giác là phần làm cho nhiều học sinh lúng túng bởi có quá nhiều công thức biến đổi Khi đó, các kỳ thi quan trọng như đại học, cao đẳng trong những năm gần đây lại thường xuyên có mặt dạng toán này Chính vì thế, các phương trình lượng giác trong các đề thi tuyển sinh đại học là cơ hội để gợi trí tò mò và hứng thú tìm lời giải của học sinh

(Đề thi đại học khối A năm 2002) Với bài toán này, học sinh có thể chưa giải được ngay nhưng nhờ một số phép biến đổi lượng giác thích hợp sẽ đưa được về các phương trình cơ bản đã biết cách giải

- Điều kiện của phương trình?

Điều kiện: 1+2sin2x ≠ 0

1sin2x

5(sinx+cosx-sinx) = cos2x+3  2cos2x - 5cosx +2 =0

cosx 2 (voâ nghieäm)

1cosx

Vì x [0;2π] nên

x35x3

Theo lý thuyết Vưgotsky về vùng phát triển gần nhất những yêu cầu phải hướng vào vùng phát triển gần nhất tức là phải phù hợp với trình độ mà học sinh đã đạt tới ở thời điểm đó, không thoát ly cách xa trình độ này, nhưng họ còn phải tích cực suy nghĩ phấn đấu vươn lên thì mới thực hiện được nhiệm

vụ đặt ra Nhờ những hoạt động đa dạng với yêu cầu thuộc về vùng phát triển gần nhất, vùng này chuyển hóa dần thành vùng trình độ hiện tại, tri thức, kỹ năng, năng lực lĩnh hội được trở thành vốn trí tuệ của học sinh và những vùng trước kia còn ở xa nay được kéo về lại gần và trở thành những vùng phát triển gần nhất mới Cứ như vậy, học sinh leo hết nấc thang này tới nấc thang khác trong quá trình hoạt động và phát triển

Việc giải toán là một yêu cầu rất quan trọng đối với học sinh Do vậy khi dạy học sinh giải toán, giáo viên không chỉ đơn thuần cung cấp lời giải mà quan trọng hơn là dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ tìm ra con đường hợp lí

để giải toán

Trong quá trình giải một bài toán cụ thể nào đó, lẽ đương nhiên không cần huy động đến mọi kiến thức mà người giải đã huy động, tích lũy được từ trước Cần huy động đến những kiến thức nào, cần xem xét đến những mối liên hệ nào, điều đó còn phụ thuộc vào khả năng chọn lọc của người giải toán

Người giải toán đã tích lũy được những tri thức ấy trong trí nhớ, giờ đây rút ra

và vận dụng một cách thích hợp để giải bài toán Vận dụng lý thuyết Vưgotsky về vùng phát triển gần nhất đồng thời nâng cao và hạ thấp yêu cầu cần thiết trong quá trình dạy học sẽ giúp học sinh định hướng đúng và hứng thú trong việc tìm tòi lời giải các bài toán

7 sin

) x



Asin20 sin40 sin80

B= sin sin7 sin13

Đây là một bài toán chứng minh đẳng thức lượng giác Trước khi chứng minh giáo viên có thể gợi ý bằng các câu hỏi:

- Để chứng minh một đẳng thức ta phải làm như thế nào?

- Nhắc lại công thức biến tích thành tổng?

- Mối quan hệ giữa các hàm số lượng giác của hai góc đối nhau?

Với những tri thức cũ vừa tái hiện học sinh dễ dàng chứng minh bài toán trên như sau:

Vế trái = sinx[ )

3

2 cos ) x 2 (cos(

4

1 x 2 cos x sin 2

4

1 )]

x sin(

x 3 [sin 2

1 2

4

1 x sin 4

1 x sin 4

1 x 3 sin

Chứng minh rằng trong tam giác ABC có:

cosA + cosB + cosC = 1 + 4sinAsinBsinC

Học sinh có thể biến đổi như sau:

s A

s

C n B

n A

n

2 2

2

2 2

2

co co

co

si si

- Cách tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M?

(Cần phải đánh giá giá trị của A theo chiều bé hơn hoặc bằng)

- Hãy quan sát biểu thức M xem có gì đặc biệt? (Tử số + mẫu số = 3)

- Từ đó học sinh nhận xét được rằng: M lớn nhất  M +1 lớn nhất? hãy tính M +1?

M+1 =

CscoBscoAsco

31

CscoBscoAsco

CnsiBnsiAnsi

2 2

2 2

2 2

2 2

- Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức cos2A + cos2B + cos2C?

Ta có: cos2A + cos2B + cos2C = 1 - 2 cosA cosB cosC

Mà cosA cosB cosC = [cos( A B ) cos( A B )] cos C

C cos 1 C cos

1 

4 3

3 C s co B s co A s co

3

2 2



Vậy maxM = 3 khi ABC đều

Có thể yêu cầu học sinh thực hiện theo cách khác giáo viên đặt câu hỏi

- Biến đổi (*) để đưa về phương trình bậc hai đối với cosC ?

(*)  cos2A + cos2B + cos2C =

1 M

3



 1+

1 M

3 C

s co ] B 2 cos A

2 [cos 2

3 C

cos )

B A cos(

) B A cos(

2 2

3 



 f (cosC) = cos2C - cos (A-B) cosC + 1 0

1 M

3 

 (**)

- Đến đây quá trình đã rõ, muốn tìm giá trị lớn nhất của M ta làm như thế nào?

(Tìm điều kiện để (**) có nghiệm)

(**) có nghiệm  = cos2 (A-B) - 4(1- ) 0

1 M



1 M

3 4

1 1 M

- Dấu bằng xảy ra khi nào?

Ở câu 1: Giáo viên có thể đặt câu hỏi

- Nhận xét gì về phương trình (1)

Phương trình lượng giác chỉ chứa cos và sin

- Hãy tìm cách đưa phương trình về dạng cơ bản

Giáo viên có thể gợi ý, để đưa về phương trình lượng giác cơ bản ta cần xem xét các công thức biểu thị sin qua cos hoặc ngược lại

Học sinh có thể nghĩ ngay đến các công thức: sin u cosu

Đối với câu 2: Giáo viên có thể nêu câu hỏi:

- Để giải phương trình (2) trước hết ta phải làm gì?

(Tìm điều kiện để phương trình có nghĩa)

- Hãy cho biết điều kiện đó