ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN để GIẢI bài tập PHẦN từ TRƯỜNG

Từ trường của dòng điện chạy trong các dây dẫn có hình dạng đặc biệt - Từ trường của dòng điện chạy trong dây dẫn thẳng dài B 2.10 7 I - Từ thông được xác định bằng công thức: =BScosα

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ GIẢI BÀI TẬP PHẦN TỪ TRƯỜNG

từ trường – cảm ứng từ có sử dụng công cụ tích phân để tính toán

2 Mục đích của đề tài

Trong đề tài này sẽ hệ thống các công thức cơ bản phần từ trường - cảm ứngđiện từ, các công thức tính tích phân có liên trong toán học dùng để áp dụng giải bàitập Đề tài có tổng hợp một số bài tập có hướng dẫn giải cụ thể và một số bài tập chỉcó đáp số để rèn luyện thêm kỹ năng

B NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1 Các công thức về từ trường – cảm ứng điện từ

1.1 Lực từ

- Công thức tính lực từ tác dụng lên đoạn dây dẫn mang dòng điện F BIlsin

- Lực Lo-ren-xơ tác dụng lên hạt mang điện f=q vBsinαo

- Lực tương tác giữa hai dòng điện F 2.107 I I1 2 l

r





1.2 Từ trường của dòng điện chạy trong các dây dẫn có hình dạng đặc biệt

- Từ trường của dòng điện chạy trong dây dẫn thẳng dài B 2.10 7 I

- Từ thông được xác định bằng công thức: =BScosα

- Suất điện động cảm ứng c

Δe

C x

b

ax

n n

1 )

( 1

C u

n dx

u dx

   e  C

a dx

e ax b 1 ax b

C u

a du a

ax ) 1cos( ) sin(

a dx b

ax ) 1sin( ) cos(

   u C

u

du dx

u

u

ln '

 dx  u C u

u

2 '

   C

u

dx u

( )

f dx x

+ Lấy vi phân 2 vế để tính dx theo t và tính dt

+ Biểu thị: f(x)dx theo t và dt ; (f(x)dx= g(t) dt)

+ Biểu diễn f(x)dx về dạng tích u.dv = u.v’dx

+ Chọn u sao cho du dễ tính

+ Chọn dv sao cho dễ tính vdv

tgax

ax ax x

sin ).

dv =  cos ax

sin

dx rồi suy ra v

* Khi gặp các tích phân dạng 

b

a

dx x x

x P

) (

) (

1 )

) (

) (



+ Đồng nhất hai vế đẳng thức tìm A, B, C, D và đưa về tích phân cơ bản

- Nếu bậc tử lớn hơn mẫu thì chia đa thức và đưa về dạng trên

b/ Tích phân hàm lượng giác

1 

b

a

xdx x

f(sin ) cos ; Đổi biến t = sinx

2 

b

a

xdx x

f(cos ) sin ; Đổi biến t = cosx

sin

2 2 cos 1

cos 2 2

x x

x x

5 

b

a

dx bx

ax cos

sin ; Dùng công thức : A B sinAB sinA B 

2

1 cos sin 

b

a

dx bx

ax sin

sin ; A B cosA B  cosAB 

2

1 sin sin 

b

a

dx bx

ax cos

cos ; A B cosAB  cosA B 

2

1 cos cos

b ax x

f( , ). ; Đổi biến t = n

d cx

b ax





giải tìm x = (t), tính dx theodt

Dạng 2  

b

a

dx x a x

f( , 2 2 ).

; Đổi biến x= asint ; Tính dx theo dt

Dạng 3  

b

a

dx a x x

AB có chiều dài l được đặt tiếp xúc điện với hai thanh trượt Tìm hiệu điện thế xuấthiện giữa hai đầu dây AB khi cho AB trượt tịnh tiến trên hai thanh với vận tốc khôngđổi v = 3m/s

Giải

Vì đoạn dây AB chuyển động trong từ trường của dòng điện I nên trên đoạn dây

AB sẽ xuất hiện suất điện động cảm ứng Vì mạch điện hở nên suất điện động cảm ứng

ec bằng hiệu điện thế U giữa hai đầu dây

Sau thời gian t kể từ lúc bắt đầu chuyển động, từ thông quét bởi đoạn dài dx củadây (đoạn này cách dây dẫn mang dòng điện một đoạn x) bằng:

7 S 2.10 I dx

x l x

x l I

x

Hình 2

1 Giả sử vòng dây điện làm bằng vật liệu siêu dẫn Cho cảm ứng từ B tăng dần từkhông đến Bo = 0,1T Tính cường độ dòng điện cảm ứng xuất hiện trong vòng dây chobiết hệ số tự cảm của vòng dây là L = 0,1mH.

2 Cho dòng điện I = 10A chạy qua vòng dây

a Tính lực căng F đặt lên vòng dây do tác dụng của từ trường khi B = 0,2T

b Với giá trị nào của cảm ứng từ B thì vòng dây sẽ bị lực từ kéo đứt Cho biết giớihạn bền của dây là  = 2,3.108 N/m2

0

0

31, 4( )

R B LI c

dây tương ứng với lực từ tác

dụng lên một phần tư vòng dây

(đoạn AB) lực từ Qtác dụng lên

b) Lực tác dụng lên nửa vòng dây Q  2 IBR

Lực này phân bố đều trên hai tiết diện thẳng ở hai đàu A, C của nửa vòng dây

Gọi Fb và Bb là lực từ kéo và cảm ứng từ khi dây bắt đầu đứt, s là tiết diện dây, ta có:

T56,2IR22

dB

RIB24

d2s

2

F

2 b

t  hình trụ đứng yên, cảm ứng từ bằng 0 Sau đó cảm ứng từ tăng dần đều từ 0 đến

B0 trong khoảng thời gian từ t0 đến 

a) Giả sử hình trụ được làm bằng chất dẫn điện có điện trở suất và được giữ

cố định Hãy tìm cường độ dòng điện và công suất tỏa nhiệt của dòng điện cảm ứngchạy trong hình trụ

C

0 F

M

n r

B r

+

IBR

2

IBR IBR

Hình 3

b) Giả thiết hình trụ làm bằng chất điện môi có khối lượng m, điện tích q phân

bố đều và có thể quay không ma sát quanh trục đối xứng xx’ của nó Trục quay cốđịnh Lúc đầu hình trụ đứng yên Hãy xác định tốc độ góc của hình trụ tại thời điểm 

Giải

a) Chia hình trụ thành các lớp mỏng có trục là xx’ và có độ dày dr

Vì B biến thiên đều nên có thể viết: B B0t

Một vòng tròn tâm O, bán kính R, có dòng

điện hình sợi chỉ cường độ I chạy qua (hình 4)

Người ta muốn tính từ trường tại điểm M nằm

trong mặt phẳng và gần tâm vòng OM = r << R

1 Chứng tỏ rằng từ trường này vuông góc

với mặt phẳng vòng dây

2.b Sau khi đã thiết lập công thức B dưới

dạng một tích phân có dùng góc β Hãy chứng tỏ

4

3 1

1 Mặt phẳng của vòng dây là 1mặt phẳng đối xứng B(M) vuông góc mặt phẳng này

2 Cảm ứng từ do phần tử dòng điện tại P gây ra tại M là

0

2

.sin ;4

I dl dB

sin

O

xz

y

R

Mθα

Hình 4

cos1

u R

3cos31cos

2

u u

2

0 cos

1 cos

3 2

3 cos 3

4

3 1 2

cos

R

r R

I B

Bài 5

Hãy tính từ trường tạo ra tại điểm O,

là tâm của hình chữ nhật ABCD, trong các

trường hợp sau đây: Mỗi nửa vòng tròn có

0I

với sin 2 2

a l

d al

a I

l a

al a

l a

l I

3 0

a l

a I

Hình 5

Cho một cuộn dây có lõi sắt (hình 6) Đóng K cường độ dòng điện trong mạchtăng theo đồ thị bên Điện trở trong của nguồn và dây nối bằng không Điện trở suấtcủa cuộn dây là  Đường kính lõi sắt là D, tiết diện của dây dẫn là S.

a Cho biết ý nghĩa của các diện tích S1, S2

b Xác định độ lớn của cảm ứng từ trong lõi sắt dựa vào các đại lượng đã cho.Error:Reference source not found

d dq dt

R

dq R

dt

dq

1

tc 1

DSB S

q dB 4

DS dq 4

DSdB S

D n

dB 4

D n

R

d

q 0

1 1 B

0 1

2 1

L S I R

L S di R

L S dt I d R

L idt dt

R

di R

L idt dt R dt

di L Ri

2 0 2 I

0 I

0

2 0

L

S1=

R R

di

L      (Coi gần đúng L không đổi)

DR

L4B4

DNBNBS

L 4 2

s

D S 4 L

R S D

L

2

1 1

S1

S2i

K

D

E

Hình 6

phần ( Kể cả 2 mặt):

0 2

của đĩa

1 Tìm giá trị của  0 theo q và R Tính mômen từ của đĩa

2 Tìm biểu thức của từ trường tạo ra bởi 1 phân bố như thế tại 1 điểm M nằm trongmặt phẳng đĩa và rất xa đĩa

dq

2 0

.K π.δ rdr .2π 1

1 R

2 0

R

r1.dR

r1.K

2

2 2

0

R

r1.2

.Kπ.δ

0

K

R11.K2ππ

2 2 2

0

.R2π

Q1

1.K2π

Qδ

dq.

.r π T

dq r dI.π dP

2 2

2 R

0

2 m

Rr1

.dr.rπ.ωδ.r πω

2π

.r.dr2πδ

.r πω

Nhớ lại rằng trong mặt phẳng vòng dây lân cận trục, từ

trường có biểu thức gần đúng: 

4

3 1

r R

I

B M 

Giải



B là một véc tơ có thông lượng bảo toàn.

 Từ thông Φ1 qua vòng tròn đường kính AA’

phải bằng từ thông Φ2 qua điện tích mặt phẳng vòng

dây trừ đi vòng tròn đường kính BB’

Ta có:

R

r R

I rdr

r B

r r

)

2 0

0 0

1 1

2 1 0

8

3

r R

r R

2 ) (

r

rdr r

0

2 2

4

M rdr

2 1

3

R

r R

r r

R







 Với r1 = 0,4 R thay vào  r2 = 5,90 R

 điều phải chứng minh

Bài 9

Cho một khung dây dẫn kín hình chữ nhật ABCD bằng kim loại, có điện trở là

R, có chiều dài các cạnh là a và b Một dây dẫn thẳng  dài vô hạn, nằm trong mặtphẳng của khung dây, song song với cạnh AD và cách nó một đoạn d như hình 9 Trêndây dẫn thẳng có dòng điện cường độ I0 chạy qua

1 Tính từ thông qua khung dây

2 Tính điện lượng chạy qua một tiết diện thẳng của

khung dây trong quá trình cường độ dòng điện trong dây dẫn

thẳng giảm đến không

3 Cho rằng cường độ dòng điện trong dây dẫn thẳng

giảm tuyến tính theo thời gian cho đến khi bằng không, vị trí

dây dẫn thẳng và vị trí khung dây không thay đổi Hãy xác

định xung của lực từ tác dụng lên khung

Giải

1 Tại điểm cách dây dẫn r : B =

r 2

I00





)d

a1ln(

2

bIdrr2

E dt

0 R

0 0

R 2

b

I00

a 1 ln(

R 2

b a

 d

Hình 9

F = B1bi – B2bi = Ii

)ad(d2

abIi

)ad(2

bIi

d2

abiI

0 t 0

0 0

R2

I)ad(d4

ab

0 2

2 2

2π x d

Trên mặt bàn nằm ngang không dẫn điện có đặt

một vòng mảnh bằng kim loại khối lượng M và bán

kính a Vòng ở trong một từ trường đều nằm ngang có

đồng hồ Xét một phần tử vô cùng bé dl kẹp giữa hai

vectơ bán kính được dựng dưới các góc α và α  α,

B r

ỏdỏ

này bằng dl  ad α Lực Ampe tác dụng lên phần tử này khi có dòng điện I chạy qua cóhướng vuông góc với mặt phẳng hình vẽ (cũng được coi là mặt phẳng nằm ngang) và

đi vào phía sau trang giấy Độ lớn của lực này bằng:

α α IBa α Idla

dF  sin  sin

Như thấy rõ từ hình vẽ, tại các góc 0α  π lực Ampe hướng vào phía trong tranggiấy, còn tại các góc πα2π lực này lại đi ra phía ngoài trang giấy Do đó, trênvòng kim loại tác dụng một mômen lực nâng đối với trục OO' và mômen cản của trọnglực Dễ dàng thấy rằng khi tăng cường độ dòng điện I thì mômen của lực Ampe tăngvà tại một giá trị giới hạn I gh của dòng điện thì mômen lực này sẽ so được với mômentrọng lực và vòng kim loại sẽ bắt đầu được nâng lên, bằng cách quay xung quanh trụcOO'

Bây giờ ta sẽ tính mômen lực Ampe tác dụng lên phần tử dlđối với trục OO':

.sin)1(sin)

M

2 0

2

0

2 2

2 (sin ) sin

Tích phân thứ nhất bằng π, còn tích phân thứ hai bằng 0 Bởi vậy: M A π IBa2

Mômen trọng lực tác dụng lên vòng kim loại đối với trục OO': M T Mga

Vòng bắt đầu được nâng lên khi mômen lực tổng cộng bằng 0: 2 0



 Mga Ba

mm

a 0 , 5 và b 1 , 0mm Hãy xác định hiệu điện thế cực đại

giữa hai đầu A và C của thanh, nếu φ0 0,5rad và

/

Giả sử tại thời điểm nào đó thanh chuyển động ngược chiều

kim đồng hồ Vận tốc góc của thanh bằng:

φ'(t)φ0ωcosω t

Vận tốc dài của điện tích tự do ở cách trục quay một khoảng x

tại thời điểm đó bằng: v(x,t)φ'(t).xφ0ω xcosω t

Lực Lorentz tác dụng lên điện tích đó bằng: F L ev(x,t)Be φ0ω xBcosω t

- Dưới tác dụng của lực Lorentz sẽ xảy ra sự phân bố lại các

điện tích tự do: tại các đầu của thanh sẽ có dư các điện tích

dương, còn tại vùng gần tâm O sẽ xuất hiện các điện tích âm Sự phân bố lại các điệntích tự do sẽ dẫn tới xuất hiện trong thanh một điện trường Cường độ E ( t x, )của điệntrường đó tại một điểm bất kỳ có thể tìm được từ điều kiện cân bằng điện tích (khôngcó dòng điện trong thanh), khi lực Lorentz bằng lực tĩnh điện do điện trường nói trêntác dụng Cụ thể là: e φ0ω xBcosω teE(x,t)0

Từ đó suy ra: E(x,t)φ0ω xBcosω t

Đây chính là phân bố cường độ điện trường trong thanh tại thời điểm bất kỳ Khi đó,h.đ.t giữa hai đầu A và C của thanh bằng:

t ω a

b B ω φ xdx t ω B ω φ dx t x

E

t

2

cos)

,(

)

0Dễ dàng thấy rằng h.đ.t cực đại bằng: 0 2 2 10

Một cuộn dây b, tâm O, trục (Oz) được

cấu tạo bởi N vòng bán kính a Cuộn dây tự nó

khép kín; nó có điện trở R và độ tự cảm không

đáng kể ta cho một nam châm lại gần cuộn dây

với vận tốc không đổi v dọc theo trục Oz

Ta giả thiết rằng trường do nam châm tạo ra

cũng giống từ trường của một lưỡng cực từ có

momen M, đặt tại P, cũng trên đường thẳng với

(Oz)

Ta thừa nhận biểu thức của thế vectơ AM tại

một điểm M, tạo ra bởi một lưỡng cực có momen từ μ tại P là:

3

0

4 PM

PM M

Xác định theo góc θ của sơ đồ, lực 

F do nam châm tác dụng lên cuộn dây.

Tìm khoảng cách d0 để lực đó cực đại? Ta tính d0 theo a

Ma N

dl A

NM R

)

(M

A

θ

M

z

Hình 14

Thừa nhận từ trường B do nam châm tạo ra tại điểm M có hai thành phần.

Thành phần B theo (phương ) PM có độ lớn: B1 = 

a M

Thành phần B theo phương PM là B2 = 







cos24

sin

3

3 0

a

M

Xét phần tử dl thành phần song song trục Oz của lực laplace là:

dFz = Bz idl = (B1cosθ + B2sinθ)idl =  







cossin34







cossin

12

3

2 0

a





Bài 13

Hai dây dẫn dài vô hạn song song đặt cách

nhau một khoảng cách d mang các dòng điện I bằng

nhau nhưng ngược hướng nhau, trong đó I tăng với

tốc độ dI

dt Một vòng dây hình vuông có chiều dài

một cạnh là d nằm trong mặt phẳng của các dây dẫn

và cách một trong hai sợi dây song song một khoảng

bằng d như hình 15

Hãy tìm suất điện động cảm ứng trên vòng dây

hình vuông và cho biết chiều của dòng điện cảm ứng

chạy trong nó, giải thích tại sao lại có chiều như vậy

Giải

Từ trường do một dây dẫn thẳng, dài vô hạn mang dòng điện I sinh ra tại một điểmcách dây dẫn một khoảng cách r là:

0 2

I B



Hướng của nó đi vào phía trong mặt phẳng vẽ

Ngược lại, dây dẫn 2 ở gần vòng dây hơn, cho từ thông

dd

I I

Hình 15

dd

dd

I I

1

2

Hình 16

2 1

4 ln

Hướng đi ra ngoài mặt phẳng vẽ

Do đó, suất điện động cảm ứng trong vòng dây hình vuông là:

Bài 14

Một hình trụ đồng chất bán kính R, chiều cao h được đặt trong một từ trườngđều có cảm ứng B song song với trục đối xứng xx ' của hình trụ Tại thời điểm t0 0hình trụ đứng yên, cảm ứng từ bằng không Sau đó cảm ứng từ tăng đều từ 0 đến B0trong khoảng thời gian từ t0 đến 

a) Giả thiết hình trụ được làm bằng chất dẫn điện có điện trở suất  và được giữ

cố định Hãy tìm cường độ dòng điện và công suất toả nhiệt của dòng điện cảm ứngchạy trong hình trụ

b) Giả thiết hình trụ là chất điện môi có khối lượng m,

điện tích q phân bố đều và có thể quay không ma sát quanh trục

đối xứng xx ' của nó Trục quay cố định Lúc đầu hình trụ đứng

yên Hãy xác định vận tốc góc của hình trụ tại thời điểm 

2

B r rE

b) Nếu hình trụ là điện môi, tại điểm cách tâm r có cường độ E đã tính ở trên: B r0

E2



 Một lớp trụ đáy hình vành khuyên diện tích 2.r.dr chiều cao h chịu tác dụng của mô

B qrq

đổi điện tích ở ba mạch là như nhau Do

đó, suất điện động cảm ứng trong ba mạch

bằng nhau

- Mặt khác, coi suất điện động cảm ứng

trong mỗi mạch kín gồm hai suất điện động

ở hai phần dây nối với nhau ở hai điểm tiếp

xúc, ta có:

24 3 2 1 3

2

4 3 3 2 2

1

2 2 2

.

3 2

R B

S S

B S

dt

d R

v

dt

dx

R R

2sin.2

1.22

2cos1.22cos

+ Suất điện động cảm ứng: d BR21 cos .d

Thay vào (2) ta được:

2sin.42sin

2.2sin

2

4 3 2

1

2 2

v BR

Ta có mạch điện tương đương:

+ Điện trở các đoạn mạch 1, 2, 3 và 4 là:

21

3 2

4 1

r r

r

r r

4 1

I I

I I

2

sin.2

.2sin.4

2.2sin.2

4 1

4 1 4 1

3 2

3 2 3 2

r

BvR r

BvR r

r I

I

r

BvR r

BvR r

r I I

* Tính lực tác dụng lên cung AB:

Xét phần tử dòng điện I d l chịu tác dụng của lực từ:

y

x d F F d F

x

dF F

F d F d F d F d F





0

Mà: dF y dF cos BI.dl cos  dF y B.I3.R cos.d

2sin.4.2

2sin 2.cos 2

2 2 2 3

2 / 0 3

r

R v B R

r

BvR B

F

R I B d

R I B F

2 sin 8 2 sin 2

.

2 sin 4 2

2 sin 2 2

2 sin 2

2 2 2 1

1 1

1 1

r

R v B R

r

R v B B F

R I B R

I B F

B A

B A

Vậy lực tác dụng lên vòng dây bên trái:

Hình 20

Thay số, ta được:

r

R v B F

2

2 .5

Điện trở của thanh OA và của vòng dây, điện trở khóa K và các dây nối, điện trở tạicác điểm tiếp xúc và của nguồn E nhỏ không đáng kể so với điện trở R Bỏ qua hiệntượng tự cảm, mọi ma sát và lực cản không khí Ban đầu K mở, tụ C chưa tích điện vàthanh OA nằm yên Tại t = 0, đóng khóa K:

1 Thiết lập hệ thức liên hệ giữa vận tốc góc ω của thanh OA và điện tích q của tụ điệnsau khi đóng khóa K

2 Giả sử nguồn E có suất điện động E0 = const

a) Tìm biểu thức ω và q theo t

b) Tính ω và q sau thời gian t đủ lớn Khi đó hiệu điện

thế giữa hai bản tụ có bằng E0 không? Tìm nhiệt lượng

tổng cộng tỏa ra trên điện trở R

3 Giả sử E là nguồn xoay chiều có hiệu điện thế

t

E

e 0.cos0

a) Tìm biểu thức cường độ dòng điện I trong mạch và

vận tốc góc ω của thanh theo t

b) Tính cường độ dòng điện trong mạch và vận tốc góc ω

của thanh sau thời gian đủ lớn

A



  .Nếu F d.cosbx (d, b là hằng số), thì: b bx a bx

b a

d e

- Gọi I là dòng điện chạy qua thanh OA, lực từ dF tác dụng lên đoạn dr của thanh là:

dF = B.i.dr

- Mômen lực từ tác dụng lên thanh:

2

2

a B i dr

Hình 22