1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Một số bài toán tìm tập hợp điểm

64 2,8K 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 64
Dung lượng 1,39 MB

Nội dung

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ******** NGUYỄN THỊ THIẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Ngƣời hƣớng dẫn khoa học ThS. ĐINH THỊ KIM THUÝ HÀ NỘI - 2015 LỜI CẢM ƠN Bản khóa luận tốt nghiệp này là bước đầu tiên để em làm quen với việc nghiên cứu khoa học. Khi thực hiện đề tài này em chỉ mong góp thêm một tiếng nói, một sự khơi gợi rất khiêm tốn để học sinh thêm hứng thú khi học toán nói chung và giải các bài toán tìm tập hợp điểm nói riêng. Trước sự bỡ ngỡ và gặp khó khăn khi mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học em đã nhận được sự giúp đỡ động viên của các thầy cô giáo và của các bạn sinh viên trong khoa. Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn đến cô giáo Đinh Thị Kim Thúy đã giúp đỡ và hướng dẫn tận tình để em hoàn thành khóa luận. Em cũng xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em có cơ hội để tập dượt với việc nghiên cứu. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng năm 2015 Sinh viên thực hiện Nguyễn Thị Thiết LỜI CAM ĐOAN Khóa luận này là kết quả của bản thân em qua quá trình học tập và nghiên cứu. Trong khi nghiên cứu hoàn thành khóa luận này em có tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo. Em xin cam đoan rằng khóa luận này là do em viết và những kiến thức trích dẫn trong khóa luận là trung thực. Hà Nội, ngày tháng năm 2015 Sinh viên thực hiện Nguyễn Thị Thiết MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................................ 1 1. Lí do chọn đề tài .......................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................... 1 3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu .................................................................. 1 4. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................. 2 5. Phương pháp nghiên cứu............................................................................. 2 6. Cấu trúc khoá luận ...................................................................................... 2 CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC LIÊN QUAN ................................................... 3 1.1. Những vấn đề cơ bản về bài toán tìm tập hợp điểm ................................ 3 1.1.1. Định nghĩa tập hợp điểm ....................................................................... 3 1.1.2. Các yếu tố đặc trưng của bài toán tìm tập hợp điểm............................. 3 1.2. Một số phương pháp tìm tập hợp điểm .................................................... 3 1.2.1. Phương pháp vectơ ................................................................................ 3 1.2.2. Phương pháp toạ độ............................................................................... 5 1.3. Các dạng tập hợp điểm cơ bản ................................................................. 7 1.3.1. Tập hợp điểm là đường thẳng ............................................................... 7 1.3.2. Tập hợp điểm là đường tròn .................................................................. 7 1.3.3. Tập hợp điểm là Elip ............................................................................. 7 1.3.4. Tập hợp điểm là Hypebol ...................................................................... 8 1.3.5. Tập hợp điểm là Parabol ....................................................................... 8 CHƢƠNG 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM TRONG HÌNH HỌC PHẲNG ................................................................................................. 9 2.1. Một số bài toán tìm tập hợp điểm bằng phương pháp vectơ ................... 9 2.1.1. Lớp bài toán tìm tập hợp điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ........ 9 2.1.2. Lớp bài toán tìm tập hợp điểm M thoả mãn đẳng thức về tích vô hướng ......................................................................................................................... 14 2.1.3. Lớp bài toán tìm tập hợp điểm M thoả mãn đẳng thức về độ dài ......... 19 2.2. Một số bài toán tìm tập hợp điểm bằng phương pháp toạ độ .................. 25 2.2.1. Phương pháp chung ............................................................................... 25 2.2.2. Các dạng tập hợp điểm cơ bản giải được bằng phương pháp toạ độ .... 26 2.2.2.1. Tập hợp điểm dạng đường thẳng ....................................................... 26 2.2.2.2. Tập hợp điểm dạng đường tròn .......................................................... 30 2.2.2.3. Tập hợp điểm dạng Elip ..................................................................... 34 2.2.2.4. Tập hợp điểm dạng Hypebol .............................................................. 38 2.2.2.5. Tập hợp điểm dạng Parabol ............................................................... 43 2.2.2.6. Bài tập đề nghị ................................................................................... 46 CHƢƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ........................................................................ 47 3.1. Một số bài toán tìm tập hợp điểm bằng phương pháp vectơ ................... 47 3.2. Một số bài toán tìm tập hợp điểm bằng phương pháp toạ độ .................. 50 3.3. Một số bài toán tìm tập hợp điểm bằng phương pháp khác ..................... 54 KẾT LUẬN .................................................................................................... 58 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................... 48 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Bài toán “Tìm tập hợp điểm” hay “Bài toán quỹ tích” là bài toán rất hay gặp trong các đề thi học sinh giỏi, đề thi tuyển sinh vào các trường chuyên, Đại học, Cao đẳng… một đề tài đã làm say mê bao người, góp phần không nhỏ làm cho người học yêu thích môn hình học hơn. Không thể nào phủ nhận được ý nghĩa và tác dụng của bài toán tìm tập hợp điểm trong việc rèn luyện tư duy toán học nói riêng và đối với rèn luyện tư duy linh hoạt nói chung. Đây là một phần kiến thức rất khó đối với học sinh trong việc tiếp nhận các kiến thức và phương pháp, càng khó hơn trong việc vận dụng các kiến thức và phương pháp ấy trong giải bài tập. Có rất nhiều phương pháp để giải một bài toán tìm tập hợp điểm trong đó phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ là một phương pháp hiệu quả. Nó cho ta lời giải một cách chính xác tránh được những yếu tố trực quan, các suy diễn phức tạp của phương pháp tổng hợp và là phương tiện hiệu quả để giải các bài toán tìm tập hợp điểm. Xuất phát từ sự say mê của mình và được sự giúp đỡ tận tình của cô giáo Đinh Thị Kim Thúy em chọn đề tài: “Một số bài toán tìm tập hợp điểm” 2. Mục đích nghiên cứu • Hệ thống hoá các vấn đề liên quan tới bài toán tìm tập hợp điểm. • Xây dựng hệ thống bài tập vận dụng, từ đó thấy được tầm quan trọng và tính thiết thực của lí thuyết phương pháp vectơ, toạ độ đối với các dạng bài toán tìm tập hợp điểm. 3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Một số bài toán sử dụng phương pháp vectơ, toạ độ để giải bài toán tìm tập hợp điểm. 1 • Phạm vi nghiên cứu: Bài toán tìm tập hợp điểm. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu những tài liệu, giáo trình liên quan đến phương pháp vectơ, toạ độ để rút ra một số dạng toán và phương pháp giải các bài toán tìm tập hợp điểm. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc các giáo trình tài liệu liên quan đến các bài toán tìm tập hợp điểm giải bằng phương pháp vectơ, toạ độ. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Từ kinh nghiệm bản thân tổng hợp và hệ thống hoá các kiến thức về vấn đề nghiên cứu đầy đủ và khoa học. Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giáo viên trực tiếp hướng dẫn và các giáo viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung cũng như hình thức của khoá luận. 6. Cấu trúc khoá luận Khoá luận gồm 2 phần: Phần 1: Mở đầu Phần 2: Nội dung Chương 1: Kiến thức liên quan. Chương 2: Một số bài toán tìm tập hợp điểm trong hình học phẳng. Chương 3: Một số bài toán tìm tập hợp điểm trong hình học không gian. 2 CHƢƠNG 1 KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1.1. Những vấn đề cơ bản về bài toán tìm tập hợp điểm 1.1.1. Định nghĩa tập hợp điểm • Một tập hợp khác rỗng gồm những điểm gọi là tập hợp điểm hay hình. • Định nghĩa quỹ tích: Quỹ tích là tập hợp những điểm, đường thẳng, mặt phẳng thoả mãn điều kiện nhất định nào đó. 1.1.2. Các yếu tố đặc trƣng của bài toán tìm tập hợp điểm Trong một bài toán quỹ tích thường có 3 loại yếu tố đặc trưng: • Loại yếu tố cố định: thường là các điểm. • Loại yếu tố không đổi: như độ dài đoạn thẳng, độ lớn của góc, diện tích hình v.v... Các yếu tố cố định hoặc không đổi thường được cho đi kèm theo các nhóm từ “cố định”, “cho trước”, “không đổi”. • Loại yếu tố thay đổi: thường là các điểm mà ta cần tìm quỹ tích hoặc các đoạn thẳng, các hình mà trên đó có điểm mà ta cần tìm quỹ tích. Các yếu tố thay đổi thường cho kèm theo nhóm từ: “di động”, “di chuyển”, “chạy”, “thay đổi” v.v... 1.2. Một số phƣơng pháp tìm tập hợp điểm 1.2.1. Phƣơng pháp vectơ 1.2.1.1. Khái niệm Vectơ là một đoạn thẳng có: • Một đầu được xác định là gốc còn đầu kia là ngọn. • Hướng từ gốc đến ngọn là hướng của vectơ. • Độ dài của đoạn thẳng là độ dài của vectơ. Kí hiệu: AB : Gốc là A và ngọn là B. Hướng từ A và B. Độ dài của vectơ AB kí hiệu AB chính là AB. 3 1.2.1.2. Phép cộng vectơ Cho hai vectơ a và b . Lấy một điểm A nào đó rồi xác định các điểm B và C sao cho AB  a, BC  b . Khi đó vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a và b . Kí hiệu: AC  a  b. Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ. 1.2.1.3. Hiệu hai vectơ Hiệu của hai vectơ a và b , ký hiệu a  b , là tổng của vectơ a và vectơ đối của vectơ b , tức là: a  b  a  b .   Phép lấy hiệu cuả 2 vectơ gọi là phép trừ vectơ. Qui tắc ba điểm: Nếu MN là một vectơ đã cho thì với mỗi điểm O bất kì, ta luôn có: MN  ON  OM . 1.2.1.4. Tích của một vectơ với một số Tích của vectơ a với số thực k là một vectơ, kí hiệu là k a , được xác định như sau: • Nếu k  0 thì vectơ k a cùng hướng với vectơ a. • Nếu k  0 thì vectơ k a ngược hướng với vectơ a. • Độ dài vectơ k a bằng k . a . Phép lấy tích của một vectơ với một số gọi là phép nhân vectơ với số. 1.2.1.5. Tích vô hƣớng của hai vectơ Tích vô hướng của hai vectơ a và b là một số, kí hiệu là a.b , được xác định bởi: a.b  a . b cos a, b .   4 1.2.1.6. Giải bài toán bằng phƣơng pháp vectơ Giải bài toán bằng phương pháp vectơ là ta sẽ phiên dịch bài toán ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ vectơ. Sau khi giải xong ta lại phiên dịch ngược lại từ ngôn ngữ vectơ sang ngôn ngữ hình học để phù hợp với yêu cầu của bài toán. 1.2.2. Phƣơng pháp toạ độ 1.2.2.1. Định nghĩa hệ toạ độ  Trong không gian Ơclit n chiều En gọi e  e1 , e2 ,..., en  là một cơ sở trực chuẩn của E n tức là ei .e j  ij , trong đó ij  1 khi i = j, ij  0 khi i ≠ j thì tập  hợp O, e hay O, e1 , e2 ,..., en  gọi là hệ toạ độ trực chuẩn hay là hệ toạ độ Đêcac vuông góc. 1.2.2.2. Toạ độ của điểm Trong không gian Ơclit n chiều En cho toạ độ trực chuẩn O, e . Với mỗi điểm M  En ta có OM  E n và do đó có duy nhất n phần tử x1 , x2 ,..., xn  R sao cho OM  x1 e1  x2 e2  ...  xn en . Bộ n phần tử  x1 , x2 ,..., xn  được gọi là toạ độ của điểm M đối với các hệ toạ độ đã cho. 1.2.2.3. Toạ độ của vectơ Trong không gian Ơclit n chiều En. Nếu X   x1 , x2 ,..., xn   E , n Y   y1 , y2 ,..., yn   E n thì XY  OY  OX   y1  x1  e1   y2  x2  e2  ...   yn  xn  en . Khi đó XY có toạ độ  y1  x1 , y2  x2 ,..., yn  xn  . 1.2.2.4. Một vài tính chất trong E2 và E3 +) Trong E2 Trong hệ toạ độ Đecac vuông góc Oxy cho u  x1 , y1  ; v  x2 , y2  ; k  R. 5 • u  v   x1  x2 , y1  y2  • u  v   x1  x2 , y1  y2  • k.u   kx1 , ky1  • u.v  x1 x2  y1 y2 2 2 2 2 2 • u  x1  y1 do đó u  x1  y1 • u  v  u.v  0  x1 x2  y1 y2  0. +) Trong E3 Trong hệ toạ độ Oxyz cho u  x1 , y1 z1 ,  ; v  x2 , y2 , z 2  ; k  R. • u  v   x1  x2 , y1  y2 , z1  z2  • u  v   x1  x2 , y1  y2 , z1  z2  • k.u   kx1 , ky1 , kz1  • u.v  x1 x2  y1 y2  z1 z2 • u 2  x12  y12  z12 2 2 2 do đó u  x1  y1  z1 • u  v  u.v  0  x1 x2  y1 y2  z1 z2  0. 1.2.2.5. Giải bài toán bằng phƣơng pháp toạ độ Các bước giải bằng phương pháp toạ độ: Bước 1: Chọn hệ toạ độ thích hợp Bước 2: Chuyển ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ Bước 3: Giải các bài toán bẳng kiến thức toạ độ Bước 4: Phiên dịch các kết quả từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ hình học. 6 1.3. Các dạng tập hợp điểm cơ bản 1.3.1. Tập hợp điểm là đƣờng thẳng  Tập hợp những điểm cách đều hai đầu của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.  Tập hợp các điểm cách đều hai cạnh của một góc là tia phân giác của góc đó.  Tập hợp những điểm cách đều một đường thẳng cố định cho trước một khoảng cho trước là hai đường thẳng song song với đường thẳng đã cho và cách đường thẳng đó một khoảng cho trước.  Tập hợp những điểm cách đều hai đường thẳng song song cho trước là một đường thẳng song song và nằm cách đều hai đường thẳng đã cho. 1.3.2. Tập hợp điểm là đƣờng tròn  Tập hợp những điểm cách đều một điểm cố định cho trước một khoảng cho trước là đường tròn tâm O bán kính R.  Tập hợp những điểm luôn nhìn hai đầu của một đoạn thẳng cố định cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB. 1.3.3. Tập hợp điểm là Elip  Cho hai điểm cố định F1, F2. Đường elip là tập hợp các điểm M(x,y) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai điểm F1 và F2 là một số không đổi 2a. (E): MF1 + MF2 = 2a và F1F2 = 2c, (a > c). Hai điểm F1, F2 gọi là hai tiêu điểm của elip. Khoảng cách F1F2 = 2c gọi là tiêu cự của elip. x2 y 2  Phương trình chính tắc của Elip: 2  2  1 , (a > b > 0). a b 7 1.3.4. Tập hợp điểm là Hypebol  Cho hai điểm cố định F1, F2 có khoảng cách F1F2 = 2c (c > 0). Đường hypebol (còn gọi là hypebol) là tập hợp các điểm M sao cho MF1  MF2  2a, trong đó a là số dương cho trước nhỏ hơn c. Hai điểm F1 và F2 gọi là các tiêu điểm của hypebol. Khoảng cách F1F2 = 2c gọi là tiêu cự của hypebol. x2 y 2  Phương trình chính tắc của Hypebol: 2  2  1 với a > 0, b > 0. a b 1.3.5. Tập hợp điểm là Parabol  Cho một điểm F cố định và một đường thắng (Δ) cố định không đi qua F. Đường Parabol là tập hợp những điểm M cách đều F và (Δ). Điểm F gọi là tiêu điểm của parabol. Đường thẳng Δ được gọi là đường chuẩn của parabol. Khoảng cách từ F đến Δ được gọi là tham số tiêu của parabol.  Phương trình chính tắc của parabol: y2 = 2px, p > 0. 8 CHƢƠNG 2 MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM TRONG HÌNH HỌC PHẲNG 2.1. Một số bài toán tìm tập hợp điểm bằng phƣơng pháp vectơ 2.1.1. Lớp bài toán tìm tập hợp điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ 2.1.1.1. Phƣơng pháp chung Để tìm tập hợp điểm thoả mãn một đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ đó để đưa về các tập hợp điểm cơ bản: Một số tập hợp điểm cơ bản: +) Nếu MA  MB với A, B cho trước thì tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng AB. +) Nếu MC  k AB với A, B, C cho trước thì tập hợp điểm M là đường tròn tâm C bán kính k . AB (k ≠ 0). +) Nếu MA  k BC với A, B, C cho trước  k > 0 thì điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A và song song với BC cùng hướng với BC .  k < 0 thì điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A và song song với BC ngược hướng với BC .  k bất kì thì điểm M thuộc đường thẳng qua A và song song với BC. 2.1.1.2. Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1 Cho ABC. Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn: a. MA  kMB  kMC (1) b. 1  k  MA  MB  k MC  0 (2) 9 Lời giải: a. Ta có (1)  MA  kMB  kMC  0    MA  k MB  MC  0  MA  kCB  MA  k BC hay MA cùng phương với BC .  M thuộc đường thẳng qua A và song song với BC. Vậy tập hợp M là đường thẳng qua A và song song với BC. b. Ta có (2)  MA  kMA  MB  kMC  0    MA  MB  k MA  MC  0 (3) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC ta được:   (3)  ME  EA  ME  EB  k MF  FA  MF  FC  0  2ME  2kMF  0  ME  k MF  M thuộc đường trung bình EF của ABC. Vậy tập hợp M là đường trung bình EF của ABC. Ví dụ 2 Trong mặt phẳng cho ABC. Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn: a. MA  MB  MC  3 MB  MC 2 b. 4MA  MB  MC  2MA  MB  MC (1) (2) Lời giải: a. Gọi G là trọng tâm của ABC Ta có: MA  MB  MC  3MG Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC, ta có: MB  MC  2MI . 10 Vậy (1)  3MG  3 2MI 2  MG  MI .  M thuộc đường trung trực của đoạn GI. Vậy tập hợp điểm M nằm trên đường trung trực của đoạn GI. b. Gọi J là điểm thoả mãn hệ thức: 4 JA  JB  JC  0  tồn tại duy nhất điểm J. Ta được: 4MA  MB  MC  6MJ (*) Mặt khác: 2MA  MB  MC  MA  MB  MA  MC  BA  CA  2 AI (**) Từ (*) và (**) suy ra (2)  6MJ  2 IA 1  MJ  IA  const. 3 1 3 Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm J, bán kính R  IA . Ví dụ 3 Cho tam giác ABC, hai điểm M, N di động trên các tia AB và AC sao cho AM CN . Dựng hình bình hành MNCP. Tìm tập hợp những điểm P.  AB CA Lời giải: 11 Đặt AM  k AB , k > 0  NC  k AC. Gọi D là đỉnh của hình bình hành ABCD. Khi đó ta có: AD  AB  AC (1) AP  AM  MP  AM  NC (do MNCP là hình bình hành)  k AB  k AC   AB  AC  (2) Từ (1) và (2)  AP  k AD , k > 0  P thuộc tia AD. Ngược lại, với mọi P0 thuộc tia AD ta có: AP0  k0 AD , k0 > 0   CP0  CA  k0 AB  AC   CP0  k0 AB  1  k0  AC (3) Trên tia AB, AC lấy điểm M0, N0 sao cho AM  k0 AB, N0C  k0 AC. Ta có N0 M 0  AM 0  AN0  k0 AB  1  k0  AC (4) Từ (3) và (4)  N0 M 0  CP0 tứ giác M0N0C0P0 là hình bình hành. Vậy tập hợp điểm P chính là tia AD. Ví dụ 4 Trên hai tia Ox, Oy của góc xOy lấy hai điểm M, N sao cho OM + ON = a (a là độ dài cho trước). Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn MN. Lời giải: Lấy 2 điểm M0, N0 thuộc Ox, Oy sao cho OM0 = ON0 = 12 a . 2 Giả sử OM  k  ON  a  k , với 0  k  a. Khi đó OM  2 a  k  2k OM 0 , ON  ON0 . a a Vì I là trung điểm của MN ta được: OI  2  a  k  ON 0  1 1  2k OM  ON   OM 0   2 2  a a    k ak  OM 0  M 0 I  OM 0  ON 0 a a ak k   M 0 I    1 OM 0  ON 0 a a    aM 0 I   a  k  ON0  OM 0  M0I   ak M0N 0 a  I  M 0 N0 . Vậy tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng MN là đoạn thẳng M 0 N0 trong đó M0, N0 là 2 điểm thoả mãn OM0 = ON0 = 2.1.1.3. Bài tập đề nghị 13 a . 2 Bài tập 1: Cho ABC. Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn: a. MA  1  k  MB  k MC  0 , k R b. v  MA  MB  2MC cùng phương với BC . Bài tập 2: Cho ABC. Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn: 2MA  3MB  3MB  2MC a. b. 3MA  2MB  MC  MB  MA Bài tập 3: Cho ABC, các điểm M, N, P di động trên các cạnh BC, CA, AB sao cho MB PA NC . Dựng hình bình hành MNPQ. Tìm tập hợp những   MC PB NA điểm Q. 2.1.2. Lớp bài toán tìm tập hợp điểm M thoả mãn đẳng thức về tích vô hƣớng 2.1.2.1. Phƣơng pháp chung Ta biến đổi biểu thức ban đầu về một trong các dạng sau: • MA  k  0 thì M thuộc đường tròn tâm A, bán kính R  k . 2 • MAMB  k với A, B cố định và k không đổi. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, ta được:      MI  IB  MI  IB   MI  IB k  MA.MB  MI  IA MI  IB 2 AB 2  MI  k  IB  k  . 4 2 2 AB 2 . Khi đó: Đặt m  k  4 +) Nếu m < 0 thì tập hợp M là tập rỗng. 14 2 +) Nếu m = 0 thì tập hợp M chỉ gồm một điểm I. +) Nếu m > 0 thì tập hợp M thuộc đường tròn tâm I, bán kính R  m . Đặc biệt nếu k = 0 thì tập hợp M là đường tròn đường kính AB. • MA.BC  k với A, B, C cố định. Khi đó: Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, M lên BC. Áp dụng định lí hình chiếu ta có MA.BC  KH .BC  k  KH  k (giá trị không đổi). BC Mà H cố định nên K cố định. Suy ra tập hợp điểm M là đường thẳng qua A và vuông góc với BC tại K. Đặc biệt khi k = 0 thì M thuộc đường thẳng qua A và vuông góc với BC. 2.1.2.2. Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1 Cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng. Tìm tập hợp những điểm M sao cho MA.MB  MA.MC  MC2  MB2  BC2 . (1) Lời giải: Gọi G là trọng tâm của ABC. Khi đó với mỗi điểm M bất kỳ ta có: MA  MB  MC  3MG. 2 2 2 Ta biến đổi (1) về dạng: MA.MB  MA.MC  MB  MC  BC       MA. MB  MC  MB  MC MB  MC  BC 2 15     MB  MC MA  MB  MC  BC 2  CB.MG  BC 2 . Gọi G’, H lần lượt là hình chiếu vuông góc của G, M lên BC. BC . 3 2 Ta được: 3GH .BC  BC  G ' H  Do G’ cố định, BC không đổi nên H cố định. 3 Vậy tập hợp điểm M là một đường thẳng vuông góc với BC tại H. Ví dụ 2 Cho ABC đều cạnh a. Tìm tập hợp những điểm M sao cho 5a 2 MA.MB  MB.MC  MC.MA  . 2 (1) Lời giải: Gọi G là trọng tâm của ABC, với mỗi điểm M bất kì ta có: MA  MB  MC  3MG   MA  MB  MC  2  9MG 2    MA2  MB 2  MC 2  2 MA.MB  MB.MC  MC.MA  9MG 2 (2) Lại có MA2  MB2  MC 2  MA2  MB2  MC 2      2 2  MG  GA  MG  GB  MG  GC   2  3MG 2  GA2  GB2  GC 2  2MG GA  GB  GC  3MG 2  GA2  GB 2  GC 2  3MG 2  a 2 . 16   MA2  MB 2  MC 2  3MG2  a2 . Thay (3) vào (2) ta được:   2 MA.MB  MB.MC  MC.MA  9MG 2  3MG 2  a 2 a2  MA.MB  MB.MC  MC.MA  3MG  . 2 2 a 2 5a 2  MG 2  3a 2  MG  a 3. Vậy (1)  3MG   2 2 2 Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm G, bán kính R  a 3 . Ví dụ 3 Cho ABC. Tìm tập hợp những điểm thoả mãn: a) AM . AB  AC. AB (1) 2 2 b) 2MB  MB.MC  a , a  BC (2) Lời giải:   a) (1)  AM  AC . AB  0  MC. AB  0  MC  AB  M thuộc đường thẳng qua C vuông góc AB. Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng qua C và vuông góc với AB. b) (2)  a 2  2MB 2  MB.MC   a 2  MB 2MB  MC  (3) Xét điểm cố định K thoả mãn: 2 KB  KC  0     thì 2MB  MC  2 2MB  MK  MC  MK  0  2MB  MC  3MK 17 (3) a2 Do đó (3)  MB.MK  . 3 Gọi  là trung điểm của BK, ta được:      a 2  3MB.MK  3 MI  IK MI  IB  3 MI  IB MI  IB   a 2  3 MI 2  IB 2   a2 a 2 BK 2 2  MI   IB   . 3 3 4 2 Từ 2 KB  KC  0  KB  a 13a 2 a 13 2  MI  . nên (3)  MI  3 36 6 Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm O, bán kính R  a 13 . 6 Ví dụ 4 Cho n điểm A1, A2, A3,…, An và n số k1, k2,…, kn với k1+ k2+…+ kn = k (k ≠ 0). Tìm tập hợp những điểm M sao cho: k1MA12  k2 MA22  ...  kn MAn2  m , với m là một số không đổi. Lời giải: Với mọi điểm M, ta có k1MA12  k2 MA22  ...  kn MAn2  m 2 2 2  k1 MA1  k2 MA2  ...  kn MAn  m   k1 GA1  GM  2   k2 GA2  GM  2   ...  kn GAn  GM   2 m   k1GA12  k2GA22  ...  knGAn2  kGM 2  2GM k1 GA1  k2 GA2  ...  kn GAn  m . 2 2 2 Đặt k1GA1  k2GA2  ...  knGAn  s thì đẳng thức trên tương đương với s  kGM 2  m hay GM 2  ms . Từ đó suy ra: k 18 ms  0 thì tập hợp các điểm M là đường tròn tâm G, bán kính k • Nếu r ms . k • Nếu m  s  0 thì tập hợp các điểm M là một điểm G. • Nếu ms  0 thì tập hợp các điểm M là tập rỗng. k 2.1.2.3. Bài tập đề nghị Bài tập 1: Cho ABC. Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:    a. MA  MB 2MB  MC  0 2 b. 2MA  MA.MB  MA.MC Bài tập 2: Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn: MA2  MB2  MC 2  MD2  k , k > 0 với A, B, C, D là bốn điểm cố định cho trước. Bài tập 3: Cho ABC, biện luận theo tập hợp những điểm M thoả mãn: MA.MB  MB.MA  MC.MA  k . 2.1.3. Lớp bài toán tìm tập hợp điểm M thoả mãn đẳng thức về độ dài 2.1.3.1. Phƣơng pháp chung 2 2 Ở dạng toán này chúng ta sử dụng kết quả: a  a.a  a . 2.1.3.2. Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1 Cho ABC có góc A nhọn và trung tuyến AI. Tìm tập hợp những điểm M 2 di động trong góc BAC sao cho AB. AK  AC.AH  AI trong đó K, H là hình chiếu của M lên AB và AC. Lời giải: 19 Từ giả thiết ta có   AB. AK  AB . AK .c os  AB, AK   AB.AK .c os0 AB. AM  AB . AM .cos AB, AM  AB.AM .cosBAM 0  AB. AM  AB. AK  AB. AK. Tương tự ta có: AC. AM  AC. AH  AC. AH . 2 Kết hợp với giả thiết ta có: AI  AB. AM  AC. AM    AM AB  AC  2 AM . AI . Gọi M0 là hình chiếu vuông góc của M lên AI thì tương tự như trên ta có: AM . AI  AM 0 . AI  AM 0 . AI . 2 Khi đó ta có: AI  2 AI . AM 0  AM 0  AI  M0 là trung điểm của AI. 2 Vậy tập hợp điểm M là đoạn trung trực của AI nằm trong  BAC. Ví dụ 2 Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn  MA2   MB2  k (1) (k là số không đổi cho trước) trong 2 trường hợp: a.     0 b.     0 Lời giải: 20 a. Gọi I là trung điểm của AB ta biến đổi (1) về dạng:  k   MA2   MB 2   MA2  MB 2     MA  MB MA  MB    2 .BA.MI (vì     0 )  BA.MI  Đặt m  k . 2 k . Gọi M0 là hình chiếu vuông góc của M trên AB ta có: 2 m  MI .BA  M 0 I .BA  M 0 I  m . BA Ta thấy vế phải là một số không đổi, I cố định nên M0 xác định duy nhất. Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng vuông góc với AB tại M0. b. Gọi I là điểm thoả mãn hệ thức:  IA   IB  0     IB  BA  IB  0      .IB   BA  0 21   IB    . AB. Khi đó ta luôn tìm được điểm I và nó tồn tại duy nhất.    2 2 2 Từ (1) ta có k   MA   MB   . MI  IA   MI  IB  2       MI 2   IA2   IB 2  2MI  IA   IB       MI 2   IA2   IB 2  MI 2  Đặt m    1  k   IA2   IB 2  .      1  k   IA2   IB 2  ta có kết luận sau:    • Nếu m < 0 thì tập hợp điểm M là tập rỗng. • Nếu m = 0 thì tập hợp điểm M là 1 điểm chính là điểm I. • Nếu m > 0 thì tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính R  m . Ví dụ 4 Cho ABC. Tìm tập hợp điểm M thoả mãn:  MA2   MB2   MC 2  k (1) (k là số không đổi cho trước) trong hai trường hợp sau : a.       0 b.       0 Lời giải: a. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC ta có:       2 MA2  MA2  MO  OA  MO 2  OA2  2MO.OA MB 2  MB 2  MO  OB MC 2  MC 2  MO  OC 2 2  MO 2  OB 2  2MO.OB  MO 2  OC 2  2MO.OC 22 Thay vào (1) ta có:  k        .MO2   .OA2   .OB2   .OC 2  2MO  .OA   .OB   .OC            .R 2  2MO  .OA   . OA  AB   . OA  AC   2MO OA         . AB   . AC       2MO  . AB   . AC . Dựng vectơ v   AB   AC . Gọi M0, O0 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, O lên đường thẳng chứa vectơ v ta được: k  2MO.v  2M 0O0 .v  M 0O0  k . 2v Do A, B, C cố định nên vế phải có giá trị không đổi, O0 cố định nên M0 cố định. Vậy M thuộc đường thẳng qua M0 vuông góc với v . b) Gọi I là điểm thoả mãn hệ thức:  IA   IB   IC  0       .IA   . IA  AB   . IA  AC  0 23        .IA   .BA   .CA  IA   .BA   CA .     Do A, B, C cố định và  ,  ,  là các số cho trước nên ta luôn tìm được I và nó là duy nhất. Ta biến đổi (1) về dạng: k   .MA2   .MB2   .MC 2   2   2    . MI  IA   . MI  IB   . MI  IC  2         MI 2   .IA2   .IB 2   .IC 2  2MI  .IA   .IB   .IC         MI 2   .IA2   .IB 2   .IC 2  MI 2  Đặt m   1   k   .IA 2   .IB 2   .IC 2  .       1    k   .IA2   .IB2   .IC 2  .       • Nếu m < 0 thì tập hợp điểm M là tập rỗng. • Nếu m = 0 thì tập hợp điểm M chính là điểm I. • Nếu m > 0 thì tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính R  m. Ví dụ 4 Cho ABC đều có cạnh là 2a. Tìm tập hợp những điểm M sao cho MA2  MB2  MC 2  8a2 . Lời giải: Gọi G là trọng tâm của ABC. Khi đó ta có MA2  MB2  MC 2  8a 2 24  MA2  MB2  MC 2  8a 2        8a  2MG  GA  GB  GC   GA  GB  GC 2 2  MG  GA  MG  GB  MG  GC  3MG 2 2 2 2 2 2  8a 2 4  3MG 2  3. ma2  8a 2 9  MG 2  4 2 a 3  MG  2 a. 3 Ta thấy vế phải là số dương không đổi nên M thuộc đường tròn tâm G bán kính R  2 a. 3 Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm G bán kính R  2 a. 3 2.1.3.3. Bài tập đề nghị Bài tập1: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn: MA2  MB2  MC 2  AB2  BC 2 . Bài tập 2: Cho ABC có góc A nhọn và trung tuyến AI. Tìm tập hợp những điểm M di động trong góc BAC sao cho AB.AH  AC.AK  AI 2 trong đó H, K là hình chiếu của M lên AB và AC. Bài tập 3: Cho ABC, BC = a, CA = b, AB = c. Tìm tập hợp điểm M thoả mãn 2MA2  2MB2  MC 2  l. 2.2. Một số bài toán tìm tập hợp điểm bằng phƣơng pháp toạ độ 2.2.1. Phƣơng pháp chung Trong mỗi bài toán tìm tập hợp có 2 yếu tố: yếu tố cố định và yếu tố chuyển động, bằng phương pháp toạ độ ta tìm ra mối liên hệ giữa các yếu tố 25 đó. Dựa vào đó ta có thể kết luận tập hợp của điểm cần tìm. Ta thường thực hiện theo các bước sau: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ của các điểm cần thiết. Thiết lập biểu thức giải tích cho đối tượng cần tìm tập hợp điểm. Từ đó suy ra tập hợp của nó. Với dạng toán này cần lưu ý các tập hợp điểm cơ bản sau: Tập hợp điểm dạng đường thẳng Tập hợp điểm dạng đường tròn Tập hợp điểm dạng Elip Tập hợp điểm dạng Hypebol Tập hợp điểm dạng Parabol. 2.2.2. Các dạng tập hợp điểm cơ bản giải đƣợc bằng phƣơng pháp toạ độ 2.2.2.1. Tập hợp điểm dạng đƣờng thẳng Ví dụ 1 Cho hai điểm A, B cố định và một đường thẳng d vuông góc với đường thẳng AB nhưng không đi qua A và B. Một điểm M chạy trên d. Tìm tập hợp các giao điểm N của các đường thẳng vuông góc với MA, MB tại A, B. Lời giải: Chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho O  d  AB , tia Ox  AB và tia Oy  d. 26 Ta có toạ độ các điểm A(a; 0), B(b; 0), M(0; m).Gọi N(x; y) Khi đó MA = (a ; - m), MB = (b ; -m) NA = (a – x ; -y), NB = (b- x ; -y) Theo giả thiết ta có: b  x  b  .y  0 a  a  x      y  a(a  x)  my  0 MA. NA  0     x  a  b.    b(b  x)  my  0 b x  b     MB. NB  0 m   y Do m là giá trị luôn thay đổi ta khử m từ phương trình trên thay vào phương trình dưới suy ra phương trình đường thẳng cần tìm là x = a + b. Vậy tập hợp các điểm N là đường vuông góc chung với Ox tại H có hoành độ OH = a + b. Ví dụ 2 Cho A(a, 0); B(0, b); M(m, 0); N(0, n) với a, b không đổi; m, n thay đổi sao cho OM ON   2 . Tìm tập hợp giao điểm của AN và BM. OA OB Lời giải: Phương trình đường thẳng AN có dạng: x y   1  nx  ay  na. a n Phương trình đường thẳng BM có dạng: y x   1  bx  my  mb. b m Toạ độ giao điểm của AN và BM là nghiệm của hệ sau: mna  mba  x    mn  ab nx  ay  na x y 2mn  (mb  na)      mnb  mba bx  my  mb a b mn  ab   y  mn  ab  Do m n OM ON   2  mb  na  2ab thế vào (1) ta được:   2 nên a b OA OB 27 (1)  x y 2mn  2ab x y    2    2. a b mn  ab a b Vậy tập hợp giao điểm của AN và BM chính là đường thẳng có phương trình x y   2. a b Ví dụ 3 x2 y 2 Đường thẳng (d) có phương không đổi và cắt (H): 2  2  1 , (0 < b < a) a b tại hai điểm A và B. Tìm tập hợp trung điểm I của AB. Lời giải: Giả sử (d) có vectơ chỉ phương v  ,   không đổi và qua điểm I  x0 , y0  . Khi đó  x  x0   t (d):  , tR  y  y0   t Xét hệ phương trình sau : b 2 x 2  a 2 y 2  a 2b 2   x  x0   t  y  y  t 0    2b2   2 a 2  t 2  2  x0b2   y0 a 2  t  x02b  y02 a 2  a 2b2(1) 0 Vì (d)  (H) = A, B nên (1) có hai nghiệm tA và tB thoả mãn: t A  tB  t A  tB   2  x0b 2   y0 a 2  2b 2   2 a 2 x02b 2  y02 a 2  a 2b 2  2b 2   2 a 2 Vì I là trung điểm của AB nên ta có: 28  2 x0   x0   t A    x0   t B  2 x0  xA  xB   2 y  y  y A B  0 2 y0   y0   t A    y0   t B   t A  tB  0   x0b2   y0 a 2  0 (2) 2 2 Vậy tập hợp trung điểm  chính là đường thẳng dạng  b x   a y  0. Ví dụ 4 Cho tam giác nhọn ABC, M là điểm chuyển động trên cạnh BC. Dựng hình chữ nhật MNPQ (N  AB, P  AB, Q  AC). Chứng minh rằng tâm  của hình chữ nhật MNPQ thuộc một đường cố định. Lời giải : Chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho A(a; 0), B(b; 0), C(0; c) tức là A, B thuộc Ox và O là hình chiếu của C trên Oy. Phương trình đường thẳng MQ: y = m, (m  0, c). Phương trình đường thẳng AC: x y   1. a c x y Phương trình đường thẳng BC:   1. b c M = BC  MQ  toạ độ M là nghiệm của hệ: 29 b (c  m ) y  m y  m   b c  m    x     M ; m . c x y x m   c   1   1    b c  b c  y  m a  Tương tự, Q = AC  MQ  Q   c  m  ; m  . c  a  Do P là hình chiếu của Q trên Ox  P   c  m  ;0  . c  m  a b  c  m  ;  .  là trung điểm của MP nên   2  2c Ta thấy toạ độ của điểm  luôn thoả mãn phương trình y  Vậy tập hợp tâm  là đường thẳng có phương trình y  c c x . a b 2 c c x . a b 2 2.2.2.2. Tập hợp điểm dạng đƣờng tròn Ví dụ 1 Hình bình hành ABCD thay đổi trong đó A và D cố định thoả mãn: AC BD  . Tìm tập hợp điểm B. AD BA Lời giải: Trong mặt phẳng Oxy, chọn A  O(0;0) ; D(a;0) với AD  a (không đổi). 30 Theo giả thiết hình bình hành ABCD thay đổi nên lấy B( x; y) và C ( x  a; y) bất kỳ với điều kiện y  0 . Khi đó: AC BD  AD BA  AC.BA  AD.BD  ( x  a)2  y 2 . x 2  y 2  a. ( x  a)2  y 2  ( x2  y 2  2ax  a 2 ).( x2  y 2 )  a 2 .( x 2  y 2  2ax  a 2 )  ( x2  y 2 )2  2ax( x2  y 2 )  2a3 x  a 4  0 (1) ((*) là phương trình bậc hai với ẩn ( x 2  y 2 ) ) / 2 3 4 2 2 Tính   (ax)  (2a x  a )  (a  ax)  x 2  y 2  ax  (a 2  ax(vô ) lí) (1)   2 2 2  x  y  ax  (a  ax)  x2  2ax  y 2  a 2  ( x  a)2  y 2  2a 2 . Vậy tập hợp điểm B là đường tròn (C ) có tâm I (a;0) , bán kính RB  a 2 ,     bỏ hai điểm a  2  1;0 và a  2  1 ;0 . Ví dụ 2 Cho hai điểm A, B và một số thực dương k. Tìm tập hợp những điểm M trong mặt phẳng sao cho MA = kMB. Lời giải: Đặt AB = 2a và đặt A, B vào hệ trục toạ độ với Ox trùng AB và Oy trùng với trung trực của AB. Khi đó A(-a, 0); B(a, 0). Với điểm M(x, y) bất kỳ, ta có M thuộc tập hợp khi và chỉ khi MA = kMB  MA2 = k2MB2  (x+a)2 + y2 = k2(x-a)2 + y2 31  (k2-1)x2 – 2a(k2+1)x + (k2-1)y2 + (k2-1)a2 = 0. • Nếu k = 1 thì tập hợp là đường thẳng x = 0. • Nếu k  1 thì phương trình trên được viết lại thành 2 2a(k 2  1) a(k 2  1)    2ka  2 2 2 x  x  y  a  0  x   y   2  .  k 2 1 k 2  1   k 1  2 2  k 2 1  Suy ra tập hợp những điểm M là một đường tròn tâm   2 a;0  , bán kính  k 1  R= 2ka . k 2 1 Ví dụ 3 x2 y 2 Cho (E): 2  2  1. Tìm tập hợp những điểm từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến a b vuông góc với nhau tới (E). Lời giải : Giả sử điểm M(x0, y0) mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau tới (E). Trường hợp 1: Hai đường thẳng qua M vuông góc với nhau không song song với các trục toạ độ có dạng: (d1 ) : y  k  x  x0   y0  y  kx  kx0  y0 . (d 2 ) : y   1 1 1  x  x0   y0  (d1 ) : y   x  x0  y0 . k k k Điều kiện để (d1) và (d2) tiếp xúc với (E) là: k 2 a 2  b 2   y  kx0 2 2  k 2 a 2  b 2   y  kx0    2  1 2 2 1   2 2  2 2 2 a  k b  ky  x      a  b   y0  x0   0 0  k    k  (1) Khử k từ hệ (1) ta được: x0  y0  a  b . (2) 2 2 2 32 2 Trường hợp 2: Hai đường thẳng qua M vuông góc với nhau và song song với các trục toạ độ có dạng: (d3) : y = y0 và (d4) : x = x0 Điều kiện để (d3) và (d4) tiếp xúc với (E) là: 2 2   x0  a 2 2 2 2  x  y  a  b .  2 0 0 2 y  b   0 (3) Từ (2) và (3) suy ra tập hợp các điểm M mà từ M kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau tới (E) là một đường tròn có phương trình x2+ y2 = a2 + b2. Ví dụ 4 x2 y 2 Cho (H): 2  2  1 . Tìm tập hợp các điểm từ đó kẻ được hai tiếp tuyến a b vuông góc với nhau tới (H). Lời giải : Giả sử điểm M(x0, y0) mà từ M kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau tới (H). Hai đường thẳng qua M vuông góc với nhau có dạng:  d1  : y  k  x  x0   y0  (d1 ) : y  kx  kx0  y0 . 1 k  d2  : y    x  x0   y0  (d1 ) : y   1 1 x  x0  y0 . k k Điều kiện để (d1) và (d2) tiếp xúc với (H) là: k 2  b 2   y0  kx0 2 k 2 a 2  b 2   y0  kx0 2  2  1 2 2 2  1   2 2 2 2    a  b   y0  x0  a  k b   ky0  x0   k    k  (1) 2 2 2 2 Khử k từ hệ (1) được: x0  y0  a  b • Nếu a > b, tập hợp các điểm M từ đó kẻ được hai tiếp tuyến từ đó vuông góc với nhau tới (H) là một đường tròn tâm (0, 0) bán kính R = 33 a 2  b2 . • Nếu a  b, tập hợp M là tập rỗng. 2.2.2.3. Tập hợp điểm dạng Elip Ví dụ 1 Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định và đỉnh A thay đổi. Qua B dựng đường thẳng d vuông góc với BC, d cắt đường trung tuyến AI của tam giác ABC tại K.Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Tìm tập hợp điểm A, biết rằng IH song song với KC. Lời giải: Chọn hệ trục Oxy với O trùng I và trục Ox là đường thẳng BC. Đặt BC  2a  0 . Khi đó toạ độ B(a; 0);C(a; 0). Giả sử tọa độ điểm A(x 0 ; y0 ) với y0  0. Khi đó trực tâm H là nghiệm hệ phương trình sau:  x  x0  a 2  x 02   H   x0 ;  . y (x  a)(a  x 0 )  y 0 y  0 0   K  d  (AI) là nghiệm hệ phương trình sau: 34  x  a  y   y 0  K   a;  a 0  với x 0  0.  x0   y  x x 0  Theo giả thiết, ta có x 02 y02 y0 a 2  x 02  0  2  2  1. IH cùng phương KC  a .x 0  2a. x0 y0 a 2a Vậy tập hợp điểm A là elip x 02 y02   1 bỏ đi 4 điểm B, C, A1 (0;  a 2) , a 2 2a 2 A2 (0; a 2) là 4 đỉnh của elip. Ví dụ 2 Cho (E): x2 y 2   1 , có các trục là A1A2, B1B2. Gọi M là một điểm chạy a 2 b2 trên (E). Tìm tập hợp trực tâm các tam giác: MA1A2 và MB1B2. Lời giải: Trong hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxy, giả sử điểm M(x0, y0) là điểm chạy trên (E) và H(x, y) là trực tâm của tam giác MA1A2. Ta có: A1M   x0  a, y0  , A2 H   x  a, y  . Do A1M  A2M nên A1M . A2 H  0 hay (x0 + a)(x – a) + y0y = 0. 35 Mà x = x0 do MH  A1A2  (x0 + a)(x – a) +y0y = 0 a 2  x02  x  a  y0 y  0  y  , y0 ≠ 0 y0 2 0 2 (1) (vì y0 = 0  M  A1 hoặc M  A2 khi đó không tồn tại MA1A2). 2  x02  a 1  2  a 2  y0 2 a  a 2 y0 y by  b y 2  0  2  Từ hệ thức (1) ta có: y  y0 y0 b b a 2 Mặt khác: x0 = x  x0 x  a a Từ (2) và (3) ta có: 1  (2) (3) x02 y02 x 2 b2 y 2    4 . a 2 b2 a 2 a Vậy tập hợp trực tâm H của MA1A2 khi M chạy trên (E) là một elip có x2 y2   1. phương trình dạng: a 2 2  a2     b  Tương tự, tập hợp trực tâm H’ của MB1B2 khi M chạy trên (E) là một elip có phương trình dạng: x2  b2     a 2  y2  1. b2 Ví dụ 3 x2 y 2 Cho (E): 2  2  1 . Gọi A1A2 là trục lớn của (E). Dựng các tiếp tuyến a b A1t1, A2t2. Một tiếp tuyến qua T thuộc (E) cắt A1t1, A2t2 tại M, N. a) Chứng minh rằng: tích A1M.A2N không phụ thuộc vào T. b) Tìm tập hợp giao điểm  của A1N, A2M khi T chạy trên (E). Lời giải: Không giảm tính tổng quát ta giả sử a > b. Khi đó F1(-c, 0), F2(c, 0). 36 Lấy điểm T(x0, y0)  (E), ta có x02 y02   1. a 2 b2 Phương trình tiếp tuyến tại T có dạng: xx0 yy0  2  1  b2 xx0  a 2 yy0  a 2b2  0. 2 a b Toạ độ của M là nghiệm của hệ phương trình sau:  x  a b2 x0 x  a 2 y0 y  a 2b2  0  b 2  a  x0    y   x  a ay0  b 2  a  x0   b 2  a  x0   A M  y  .  M   a,  và 1 M ay ay 0 0   Toạ độ của N là nghiệm của phương trình sau: x  a x  a   b 2  a  x0   2 2 2 2 y  b x x  a y y  a b  0 0  0  ay0   b 2  a  x0   b 2  a  x0   N   a, .  và A1 N  yN   ay ay 0 0   a) Ta có: A1M  A2 N  yM  yN b2  a  x0  b 2  a  x0    b2 . ay0 ay0 Vậy tích A1M.A2N không phụ thuộc vào T. b) Phương trình đường thẳng A1N có dạng: xa 2  2  b 2  a  x0  x  a   2a 2 y0 y. b  a  x0  2a ay0 Phương trình đường thẳng A2M có dạng: xa y  2  b 2  a  x0  x  a   2a 2 y0 y. 2a b  a  x0  ay0 37 Toạ độ của  là nghiệm của hệ phương trình sau:  x  x0 b 2  a  x0  x  a   2a 2 y0 y    2 y0 2 b  a  x0  x  a   2a y0 y  y  2  x02 y02 Vì T(x0, y0)  (E) nên ta có: 2  2  1 a b (2) x02 y02  1. 2 Thay (2) vào (1) ta được: a 2  b   2    (E): x02 y02   1. a 2  b 2   2 x02 y02  1. Vậy tập hợp giao điểm  chính là elip có phương trình dạng: 2 a  b 2   2 2.2.2.4. Tập hợp điểm dạng Hypebol Ví dụ 1 Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định và đỉnh A thay đổi. Gọi H, G lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác ABC. Tìm tập hợp điểm A, biết rằng trung điểm K của HG thuộc đường thẳng BC. Lời giải: 38 Chọn hệ trục toạ độ Oxy với O là trung điểm của BC, Ox trùng với đoạn thẳng BC. Đặt BC  2a  0 . Khi đó tọa độ B(a ,0); C(a ,0) . Giả sử A(x 0 , y0 ), y0  0.  x0 y0  Khi đó trọng tâm G   ,  .  3 3 Phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC là: x = x0. Phương trình đường cao kẻ từ đỉnh C xuống cạnh AB là:  x  a  a  x0   y0 y  0. Khi đó trực tâm H là nghiệm hệ phương trình sau: x  x 0 x  x0   a 2  x 02   2 2  a  x0  H   x0 ,  . y0    x  a  a  x 0   y0 y  0 y  y 0   2x 0 3a 2  3x 02  y 02 ; 6y 0  3  Trung điểm K    .  Điểm K thuộc đường thẳng BC: y  0 khi và chỉ khi: 3a 2  3x02  y02 x02 y02 2 2 2  0  3a  3x0  y0  0  2  2  1 6 y0 a 3a (y0 ≠ 0). x2 y 2 Vậy tập hợp A là hypebol 2  2  1 bỏ đi hai điểm B, C. a 3a Ví dụ 2 Cho đoạn thẳng AB cố định. M là điểm di động (M khác A và B). H là MH 2  k , k > 0. hình chiếu của M trên AB. Tìm tập hợp điểm M biết HAHB Lời giải: Chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho tia Ox qua A và B, Oy là đường trung trực của đoạn AB. 39 Giả sử AB  2a (a > 0). Khi đó A(-a, 0), B(a, 0). Gọi M(xM, yM)  H(xM, 0).  Ta có : MH    2  xM  xM  HA   xM  a  HB   xM  a  2 2  y   yM2  2 M 2 2 2 2 yM y MH 2 k  2 M 2 k Theo giả thiết ta có k  xM  a  xM  a  xM  a  HAHB  kxM2  ka 2  yM2  xM2 yM2   1. a 2 b2 x2 y 2 Vậy tập hợp điểm M là hypebol có phương trình dạng: 2  2  1 (k > 0). a ka Ví dụ 3 Cho (H): x2 y 2   1 (0< a< b). Đường thẳn (d) đi qua điểm M cố định a 2 b2 không thuộc hai đường tiệm cận của (H) và cắt (H) tại A, B. Chứng minh rằng trung điểm  của AB chạy trên một hypebol cố định. 40 Lời giải:  x  x0   xM  x0  t ,t  R y  y  y  y t  0  M 0 Giả sử M(xM, yM) và (x0, y0). Khi đó:   x  x0   xM  x0  t  Xét sự tương giao giữa (d) và (H) là:  y  y0   yM  y0  t  2 2 2 2 2 2 b x  a y  a b 2 2 2   xM  x0  b2   yM  y0  a 2  t 2  2  xM  x0  x0b2   yM  y0  y0a 2  t  x02b2  y02a 2  a 2b 2  0     (1) Vì (d)  (H) = A, B nên (1) có 2 nghiệm tA, tB thoả mãn: 2  2  xM  x0  x0b 2   yM  y0  y0 a 2   t  t   A B 2 2 2   xM  x0  b   yM  y0  a   x02  y02 a 2  a 2b 2 t A  t B  2  xM  x0  b2   yM  y0  a 2  Vì  là trung điểm của AB nên ta có: 2 x0   x0   xM  x0  t A    x0   xM  x0  t B  2 x0  xA  xB   2 y  y  y A B  0 2 y0   y0   yM  y0  t A    y0   yM  y0  t B   t A  tB  0   xM  x0  x0b2   yM  y0  y0 a 2  0 2 2 2 xM   yM   x  y   0   0  xM2 yM2 2   2      2  2 . a2 b2 a b 4 4 Vậy tập hợp trung điểm  của AB là một hypebol có phương trình dạng: 2 2 xM   yM   x  y  xM2 yM2 2   2     2  2 . a2 b2 a b 4 4 41 (2) Ví dụ 4 2 2 Cho (C): x  y  1 . (C) cắt Oy tại các điểm A(0, 1), B(0, -1). Đường thẳng y = m (-1 < m < 1, m ≠ 0) cắt (C) tại T và S. Đường thẳng qua A và T cắt đường thẳng qua B và S tại P. Tìm tập hợp điểm P. Lời giải: Đặt S   x0 , y0   T    x0 , y0  . Phương trình đường thẳng AT: x y 1   x  y0  1  x0 y  x0 .  x0 y0  1 Phương trình đường thẳng BS: x y 1   x  y0  1  x0 y  x0 . x0 y0  1 Toạ độ của P là nghiệm của hệ phương trình sau:  x   x  y0  1  x0 y  x0    x y  1  x y  x   0 0 0 y    42 x0 y0 1 y0 2 Vì S  x0 , y0  2 x   1  2 2  (C)  x  y  1   0   1     x  1  y .  y0   y0  2 0 2 0 2 2 Suy ra P thuộc hypebol y  x  1,( x  0). 2 2 Vậy tập hợp điểm P là một hypebol có phương trình: y  x  1,( x  0). 2.2.2.5. Tập hợp điểm dạng Parabol Ví dụ 1 Cho Parabol (P) và đường thẳng (d) có phương trình lần lượt là (P): y 1 2 x 2 ; (d): 2mx – 2y + 1 = 0. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, (d) luôn đi qua tiêu điểm F của (P) và cắt (P) tại 2 điểm phân biệt M,N. Tìm tập hợp trung điểm  của MN. Lời giải: 1  1 y tiêu điểm F  0,  . Ta có (P): y  x 2  x 2  2có  2 2  1 1 Ta thấy F  0, 2   (d) vì 2m.0  2.  1  0, m 2 Toạ độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ sau:  x2 y   x 2  2mx  1  0 2  2mx  2 y  1  0  (1) Ta có ’ = m2 + 1 > 0 m  (1) có 2 nghiệm phân biệt. Vậy (P) luôn cắt (d) tại 2 điểm phân biệt M(xM, yM), N(xN, yN) có hoành độ thoả mãn:  xM  xN  2m   xM .x N  1 Vì  là trung điểm của MN nên ta có: 43 1  x   xM  xN    2   y  mx  1    2  x  m 1  2  1  y  x  . 2 (vì   MN)  y  mx  2 Vậy tập hợp trung điểm  của đoạn MN thuộc parabol có phương trình 1 2 dạng y  x  . 2 Ví dụ 2 Cho đường tròn (O’, R), đường thẳng (d) tiếp xúc với đường tròn (O’) tại A. Điểm M di động trên mặt phẳng, B là hình chiếu của M trên (d) và C là tiếp điểm của tiếp tuyến vẽ từ M đến đường tròn (O’) sao cho MB = MC. Tìm tập hợp điểm M. Lời giải: Chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho O trùng với A, tia Ox đi qua O’, đường thẳng (d) là trục Oy. Giả sử M(xM, yM) ta có: MB = MC  MB2 = MC2 ' 2  MB2  O' M 2  OC ' 2  MB2  O' H 2  MH 2  OC 44  xM2   R  xM   yM2  R 2 2  xM2  xM2  2RxM  yM2  yM2  2RxM . Vậy tập hợp M là parabol có phương trình dạng y2 = 2px. Ví dụ 3 Cho (P): y2 = 2px. Đường thẳng (d) đi qua điểm M cố định không thuộc (P) và cắt (P) tại A và B. Chứng minh rằng trung điểm I của AB chạy trên một parabol cố định. Lời giải: Giả sử M(xM, yM) và (x0, y0). Khi đó (d) có phương trình dạng:  x  x0   xM  x0  t   y  y0   yM  y0  t ,tR  x  x0   xM  x0  t  y  y0   yM  y0  t Xét sự tương giao giữa (P) và (d) là:   2  y  2 px   yM  y0  t 2  2  yM  y0  y0  p  xM  x0  t  y02  2 px0  0 2 Vì (d)  (P) = A, B nên (1) có 2 nghiệm tA, tB thoả mãn:  2  xM  x0  p   yM  y0  y0  t A  t B   2   yM  y0   y02  2 px0  t A  t B  y  y 2  M 0  Vì  là trung điểm của AB nên ta có: 45 (1) 2 x0   x0   xM  x0  t A    x0   xM  x0  t B  2 x0  xA  xB   2 y  y  y A B  0 2 y0   y0   yM  y0  t A    y0   yM  y0  t B   t A  tB  0   xM  x0  p   yM  y0  y0  0   xM  x0  p  y02  yM y0  0 2 yM  yM2    y0  .    x0  xM  p  2  4  (2) Vậ tập hợp trung điểm  của AB là một hypebol có phương trình dạng: 2 yM  yM2  . y    x  xM  p  2  4  2.2.2.6. Bài tập đề nghị Bài tập 1: Cho đường tròn (C) có tâm I(1,2) và bán kính R = 3. Lập phương trình tập hợp các điểm M từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) tạo với nhau góc 600. Bài tập 2: Cho hai điểm A(-a, 0) và B(a,0) với a > 0. a. Tìm tập hợp các điểm M sao cho OM2 = MA.MB. b. Tìm tập hợp điểm N sao cho các đường thẳng AN và BN co tích hệ số góc bằng k2. Bài tập 3: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với Ox và cắt Oy tại điểm (0, 1). Tìm tập hợp tâm đường tròn đó. Bài tập 4: Cho đường d trên đó lấy một điểm A. Cho trước hai số dương a, b sao cho a > b. Xét tất cả các điểm P, Q sao cho AP = a, AQ = b và đường thẳng d là phân giác của PAQ . Ứng với mỗi cặp điểm P, Q xét điểm sao cho AM  AP  AQ . Tìm tập hợp điểm M. 46 CHƢƠNG 3 MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 3.1. Một số bài toán tìm tập hợp điểm bằng phƣơng pháp vectơ 3.1.1. Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1 Cho đường tròn (O; R) và A1A2A3,với mỗi điểm M thuộc đường tròn dựng điểm N sao cho MN  MA1  MA2  MA3 . Tìm tập hợp điểm N. Lời giải: Gọi G là trọng tâm của A1A2A3 nên có 3OG  OA1  OA2  OA3 . Theo giả thiết ta có: MN  MA1  MA2  MA3  MN  MO  OA1  MO  OA2  MO  OA3  MN  3MO  OA1  OA2  OA3  MO  ON  3MO  3OG (1) Đặt OK  3OG nên K cố định. (1)  2MO  ON  OK  KN  2MO  KN  2 MO  2R mà K cố định. Suy ra tập hợp những điểm N là đường tròn (K, 2R), K cố định xác định bởi OK  3OG . 47 Ví dụ 2 Trong không gian cho hai thẳng (a), (b) chéo nhau. M, N là hai điểm lần lượt di động trên (a) và (b). Tìm tập hợp các điểm I sao cho IM  k IN với k là k là hằng số và k ≠ 0, k ≠ 1. Lời giải: Lấy điểm A bất kì trên (a) và gọi a ( a  0 ) là vectơ chỉ phương của (a). B là một điểm bất kì trên (b) và gọi b ( b  0 ) là vectơ chỉ phương của (b). Gọi I0 là điểm chia đoạn AB theo tỉ số k hay I 0 A  k I 0 B . Vì M  (a), N  (b) nên có hai số thực m, n để: AM  ma, BN  nb . Với mọi I trong không gian ta có, IM  II 0  I 0 A  AM  I 0 I  k I 0 B  ma IN  II 0  I 0 B  BM  I 0 I  I 0 B  nb Ta có IM  k IN   I 0 I  k I 0 B  ma  k I 0 I  k I 0 B  knb  1  k  I 0 I  ma  knb 48  II 0  m n ak b 1 k k 1  I    với   là mặt phẳng qua I0 và nhận a , b làm cặp vectơ chỉ phương hay   là mặt phẳng song song với (a), (b). Ví dụ 3 Trong không gian cho ba đường thẳng (p), (q), (r) đôi một cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng   nào đó. A, B, C lần lượt là ba điểm di động trên (p), (q), (r). Tìm tập hợp trọng tâm ABC. Lời giải: Chọn A0, B0, C0 là ba điểm cố định nào đó lần lượt trên ba đường thẳng (p), (q), (r) và p , q , r ( p ≠ 0 , p ≠ 0 , r ≠ 0 ) tương ứng là các vectơ chỉ phương của (p), (q), (r). Do (p), (q), (r) đôi một chéo nhau và cùng song song với   nên p , q , r đồng phẳng nhưng từng đôi một không cùng phương. Do đó có hai số thực m, n sao cho r  m p  nq . Vì A   p  , B   q  ,C   r  nên luôn tìm được cặp số a, b, c: A0 A  a p B0 B  bq C0C  cr  cm p  cnq Gọi G0 là trọng tâm của ABC sao cho G0 A0  G0 B0  G0C0  0. Mặt khác: G0 A  G0 A0  A0 A  G0 A0  a p G0 B  G0 B0  B0 A  G0 B0  bq G0C  G0C0  C0 A  G0C0  cm p  cbq. 49 Khi đó với mọi G trong không giant a có G0 là trọng tâm của ABC  1  G0G  G0 A  G0 B  G0C 3  G0G     1 1 G0 A0  G0 B0  G0C0   a  cm  p   b  cn  q  3 3 1  G0G   a  cm  p  b  cn  q  3  G0G     với    là mặt phẳng qua G0 và nhận p , q làm cặp vectơ chỉ phương hay   ,    cùng phương. Suy ra tập hợp điểm G là mặt phẳng qua G0 cùng phương với   đã cho. 3.1.2. Bài tập đề nghị Bài tập 1: Cho tứ diện ABCD và M là một điểm di động trong không gian. Tìm tập hợp điểm những điểm M sao cho a. MA  MB  MC  MD  4 MB  MC  MD b. 3MA  2MB  MC  MD  MB  MA Bài tập 2: Cho ba điểm A, B, C. Tìm tập hợp những điểm M trong không gian thoả mãn hệ thức: AB.CM  CB. AM . 3.2. Một số bài toán tìm tập hợp điểm sử dụng phƣơng pháp toạ độ 3.2.1. Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1 Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh là a. Tìm tập hợp các điểm trong không gian sao cho tổng các khoảng cách từ điểm đó đến các mặt đối của ABCD.A1B1C1D1 là bằng nhau. Lời giải: Chọn hệ trục toạ độ Đecac vuông góc Oxyz sao cho O trùng với A. Các điểm B, D, A1 lần lượt thuộc các trục Ox, Oy, Oz. 50 Khi đó: A(0, 0, 0); B(a, 0, 0); C(a, a, 0); D(0, a, 0) A1(0, 0, a); B1(a, 0, a); C1(a, a, a); D1(0, a, a). Lúc đó phương trình các mặt hình lập phương là: (ABCD): z = 0 (A1B1C1D1): z = a (ABB1A1): y = 0 (CDD1C1): y = a (ADD1A1): x = 0 (BCC1B1): x = a Với M(x, y, z) bất kì trong không gian thì khoảng cách từ M đến các mặt đối của hình lập phương là: d  M ,  ABCD    z d  M ,  A1B1C1 D1    z  a d  M ,  ABB1 A1    y d  M ,  CDD1C1    y  a d  M ,  ACC1 A1    x d  M ,  BCC1B1    x  a Điểm M thoả mãn điều kiện bài toán khi và chỉ khi:  x  xa  y  ya   x  xa  z  za Suy ra tập hợp những điểm M bao gồm các điểm bên trong hình lập phương và cả bề mặt cộng với phần bù của các đường chéo của hình lập phương này. 51 Ví dụ 2 Cho mặt phẳng (P) và hai điểm A, B cố định có hình chiếu trên (P) là A1, B1. Giả sử AA1 = a, BB1 = b, CC1 = c. Điểm M biến thiên trong mặt phẳng (P) sao cho MA, MB tạo những góc bằng nhau với (P). Tìm tập hợp những điểm M. Lời giải: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho O trùng với A1, B1 thuộc A1x, A thuộc A1z, (P) trùng với (xOy). Khi đó A1(0, 0, 0); A(0, 0, a); B1(c, 0, 0); B(c, 0, b). Điểm M  (P)  M(x, y, 0). Ta có MA   x, y, a  MB   x  c, y, b  Từ giả thiết MA, MB tạo những góc bằng nhau với (P) ta được: a x2  y 2  a2  b  x  c 2  y 2  b2   a 2  b2  x 2   a 2  b2  y 2  2ca 2 x  a 2c 2  0 52 (1) Trường hợp 1: Nếu a = b thì (1) có dạng: 2 xc  c2  0  2 x  c  0 . Suy ra tập hợp những điểm M thuộc đường thẳng (d) có dạng 2 x  c  0 trong (xOy). Trường hợp 1: Nếu a ≠ b thì (1) có dạng: 2ca 2 x a 2c 2 x y  2   0. a  b2 a 2  b2 2 2  a 2c  Suy ra tập hợp những điểm M thuộc đường tròn tâm I  2 ,0  bán kính 2 a  b   R a a 4c 2 2  b2  2  a 2c 2 trong (xOy). a 2  b2 Ví dụ 3 Cho hai đường thẳng (d1), (d2) cố định chéo nhau và vuông góc với nhau. Đoạn thẳng MN có độ dài không đổi với 2 đầu mút nằm trên hai đường thẳng (d1), (d2). Tìm tập hợp trung điểm I của MN. Lời giải: Giả sử d((d1), (d2)) = a và MN = d (d > a). x  u  Ta có (d1):  y  0 z  0  ,uR x  0  (d2):  y  t z  a  ,tR Do M  (d1), N (d2) nên M(u, 0, 0) và N(0, t, a)  MN   u, t , a   d 2  MN 2  u 2  t 2  a 2 (1) Vì I là trung điểm của MN nên toạ độ của I là: 53 u  x    2 u  2 x  t    y   t  2 y 2   a a  z   2  z  2 (2) Thay (2) vào (1) ta được: a   z  2  2 2  x2  y 2  d  a  4 d 2  a2 a  Suy ra tập hợp điểm I thuộc đường tròn tâm E  0,0,  bán kính R  2 2  a trong (P): z  . 2 3.2.2. Bài tập đề nghị Bài tập 1: Cho tứ diện OABC vuông ở O có OA = a, OB = b, OC = c. Ba điểm A, B, C di động sao cho a +b +c = 3l (l là hằng số). Tìm tập hợp tâm của hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Bài tập 2: Cho ba điểm cố định A, B, C. Tìm tập hợp những điểm M sao cho a.AM2  b.BM 2  c.CM2  d với a, b, c cho trước thoả mãn: a + b +c = 0. 3.3. Một số bài toán tìm tập hợp điểm sử dụng phƣơng pháp khác. 3.3.1. Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1 Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Một điểm M thay đổi trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A ( M ≠ A). Tìm tập hợp trọng tâm G và trực tâm H của MBC. Lời giải: 54 Gọi E là trung điểm của BC. Trên ME lấy G sao cho MG = 2GE. Khi đó G là trọng tâm của MBC. Trong AME kẻ GD MA (D nằm trên AE) thì D là trọng tâm của ABC (bởi vậy D cố định) và DG MA.  G nằm trên đường thẳng vuông góc với (ABC) tại trọng tâm D của tam giác này (không kể điểm D). Quỹ tích trực tâm H của MBC. Do AB = AC nên MB = MC. Từ đó ME  BC. Bởi vậy H nằm trên ME. 55 Gọi O là trực tâm của ABC thì O nằm trên AE. Ta có BC  (MAE)  BC  OH (1) Mặt khác: CO  AB  CO  MB Lại có: CH  MB nên MB  (COH)  MB  OH (2) Từ (1) và (2)  OH  (MBC)  OH  HE.  H nằm trên đường tròn đường kính OE (không kể O, E) trong mặt phẳng trung trực của BC. Ngược lại, từ OH  HE  H là trực tâm của MBC. Vậy tập hợp trực tâm H là đường tròn đường kính OE (không kể O, E) trong mặt phẳng trung trực của BC. Ví dụ 2 Ba tia Ox, Oy, Oz từng đôi một tạo thành góc 600. Trên ba tia đó lấy lần lượt các điểm A, B, C sao cho OA = OB không đổi và C di động trên Oz. Tìm tập hợp chân H của đường vuông góc hạ từ O xuống (ABC). Lời giải: Giả sử OA = OB = a. Gọi M là trung điểm của AB thì AB  (OMz). Do M là điểm cố định nên (OMz) cố định. 56 Kẻ OH  (ABC) thì OH  (OMz) và  OHM = 900.  H thuộc đường tròn đường kính OM trong (OMz). Do C thay đổi trên tia Oz nên H chỉ thuộc cung OMN (không kể các điểm O, N) của đường tròn trên, ở đó N là giao điểm thứ hai của đường thẳng Mz ' với đường tròn đó. Đảo lại, trên cung tròn nói trên lấy một điểm H tuỳ ý. Nối MH cắt Oz tại C. Do AB  (MOz) nên AB  OH. Lại có: MH  OH  OH  (ABC). Vậy tập hợp những điểm H là cung tròn OMN nói trên. 3.3.2. Bài tập đề nghị Bài tập 1: Cho ABC và hình bình hành BCDE nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên cạnh BC ta lấy điểm M. Mặt phẳng (P) đi qua M và giao tuyến hai mặt phẳng (ACD), (ABE) cắt DE tại N. Tìm tập hợp trọng tâm AMN. Bài tập 2: Cho tứ diện ABCD.Hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AB AM AN . Một mặt phẳng (P) thay đổi luôn luôn đi qua MN, và AC sao cho  AB AC cắt CD và BD lần lượt tại E và F. a. Tìm quĩ tích giao điểm I của ME và NF. b. Tìm quĩ tích giao điểm J của MF và NE. Bài tập 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là hai điểm di động lần lượt trên các IA JB  . cạnh AD, BC sao cho luôn có: ID JC a. Chứng minh rằng: IJ luôn song song với một mặt phẳng cố định. b. Tìm tập hợp điểm M chia đoạn IJ theo tỉ số k cho trước. 57 KẾT LUẬN Khoá luận đã hệ thống hoá các vấn đề liên quan tới bài toán tìm tập hợp điểm thông qua phương pháp chung và các ví dụ minh hoạ của từng dạng toán nhằm bước đầu giúp học sinh biết đưa ra cách giải phù hợp cho các bài toán tìm tập hợp điểm. Mặc dù đã cố gắng nhưng chắc chắn khoá luận không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong các thầy cô tận tình chỉ dạy, các bạn sinh viên góp ý để khoá luận ngày càng hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn! 58 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Hà Văn Chương (2006), Tuyển chọn 400 bài toán hình học 10, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. 2. Văn Như Cương (2011), Bài tập hình học 10 nâng cao, NXB Giáo Dục. 3. Nguyễn Văn Lộc (2007), Phương pháp vec tơ trong giải toán hình học phẳng, NXB Giáo Dục. 4. Nguyễn Tiến Quang (2007), Bài tập hình học 10 cơ bản và câng cao, NXB Đại học Sư phạm. 5. Các bộ sách giáo khoa 10,11. 59 [...]... tham số tiêu của parabol  Phương trình chính tắc của parabol: y2 = 2px, p > 0 8 CHƢƠNG 2 MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM TRONG HÌNH HỌC PHẲNG 2.1 Một số bài toán tìm tập hợp điểm bằng phƣơng pháp vectơ 2.1.1 Lớp bài toán tìm tập hợp điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ 2.1.1.1 Phƣơng pháp chung Để tìm tập hợp điểm thoả mãn một đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ đó để đưa về các tập hợp điểm. .. lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ của các điểm cần thiết Thiết lập biểu thức giải tích cho đối tượng cần tìm tập hợp điểm Từ đó suy ra tập hợp của nó Với dạng toán này cần lưu ý các tập hợp điểm cơ bản sau: Tập hợp điểm dạng đường thẳng Tập hợp điểm dạng đường tròn Tập hợp điểm dạng Elip Tập hợp điểm dạng Hypebol Tập hợp điểm dạng Parabol 2.2.2 Các dạng tập hợp điểm cơ bản giải đƣợc bằng... ms Từ đó suy ra: k 18 ms  0 thì tập hợp các điểm M là đường tròn tâm G, bán kính k • Nếu r ms k • Nếu m  s  0 thì tập hợp các điểm M là một điểm G • Nếu ms  0 thì tập hợp các điểm M là tập rỗng k 2.1.2.3 Bài tập đề nghị Bài tập 1: Cho ABC Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:    a MA  MB 2MB  MC  0 2 b 2MA  MA.MB  MA.MC Bài tập 2: Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn: MA2  MB2  MC 2... lên AB và AC Bài tập 3: Cho ABC, BC = a, CA = b, AB = c Tìm tập hợp điểm M thoả mãn 2MA2  2MB2  MC 2  l 2.2 Một số bài toán tìm tập hợp điểm bằng phƣơng pháp toạ độ 2.2.1 Phƣơng pháp chung Trong mỗi bài toán tìm tập hợp có 2 yếu tố: yếu tố cố định và yếu tố chuyển động, bằng phương pháp toạ độ ta tìm ra mối liên hệ giữa các yếu tố 25 đó Dựa vào đó ta có thể kết luận tập hợp của điểm cần tìm Ta thường... ABC Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn: a MA  1  k  MB  k MC  0 , k R b v  MA  MB  2MC cùng phương với BC Bài tập 2: Cho ABC Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn: 2MA  3MB  3MB  2MC a b 3MA  2MB  MC  MB  MA Bài tập 3: Cho ABC, các điểm M, N, P di động trên các cạnh BC, CA, AB sao cho MB PA NC Dựng hình bình hành MNPQ Tìm tập hợp những   MC PB NA điểm Q 2.1.2 Lớp bài toán tìm tập hợp. .. Tập hợp điểm là đƣờng tròn  Tập hợp những điểm cách đều một điểm cố định cho trước một khoảng cho trước là đường tròn tâm O bán kính R  Tập hợp những điểm luôn nhìn hai đầu của một đoạn thẳng cố định cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB 1.3.3 Tập hợp điểm là Elip  Cho hai điểm cố định F1, F2 Đường elip là tập hợp các điểm M(x,y) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai điểm F1 và...   IA2   IB 2  ta có kết luận sau:    • Nếu m < 0 thì tập hợp điểm M là tập rỗng • Nếu m = 0 thì tập hợp điểm M là 1 điểm chính là điểm I • Nếu m > 0 thì tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính R  m Ví dụ 4 Cho ABC Tìm tập hợp điểm M thoả mãn:  MA2   MB2   MC 2  k (1) (k là số không đổi cho trước) trong hai trường hợp sau : a       0 b       0 Lời giải: a Gọi I là... 2  4 2 a 3  MG  2 a 3 Ta thấy vế phải là số dương không đổi nên M thuộc đường tròn tâm G bán kính R  2 a 3 Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm G bán kính R  2 a 3 2.1.3.3 Bài tập đề nghị Bài tập1 : Cho tam giác ABC Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn: MA2  MB2  MC 2  AB2  BC 2 Bài tập 2: Cho ABC có góc A nhọn và trung tuyến AI Tìm tập hợp những điểm M di động trong góc BAC sao cho AB.AH ... với A, B, C, D là bốn điểm cố định cho trước Bài tập 3: Cho ABC, biện luận theo tập hợp những điểm M thoả mãn: MA.MB  MB.MA  MC.MA  k 2.1.3 Lớp bài toán tìm tập hợp điểm M thoả mãn đẳng thức về độ dài 2.1.3.1 Phƣơng pháp chung 2 2 Ở dạng toán này chúng ta sử dụng kết quả: a  a.a  a 2.1.3.2 Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1 Cho ABC có góc A nhọn và trung tuyến AI Tìm tập hợp những điểm M 2 di động trong... Tập hợp các điểm cách đều hai cạnh của một góc là tia phân giác của góc đó  Tập hợp những điểm cách đều một đường thẳng cố định cho trước một khoảng cho trước là hai đường thẳng song song với đường thẳng đã cho và cách đường thẳng đó một khoảng cho trước  Tập hợp những điểm cách đều hai đường thẳng song song cho trước là một đường thẳng song song và nằm cách đều hai đường thẳng đã cho 1.3.2 Tập hợp ... tìm tập hợp điểm Từ suy tập hợp Với dạng toán cần lưu ý tập hợp điểm sau: Tập hợp điểm dạng đường thẳng Tập hợp điểm dạng đường tròn Tập hợp điểm dạng Elip Tập hợp điểm dạng Hypebol Tập hợp điểm. .. Một số toán tìm tập hợp điểm hình học phẳng Chương 3: Một số toán tìm tập hợp điểm hình học không gian CHƢƠNG KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1.1 Những vấn đề toán tìm tập hợp điểm 1.1.1 Định nghĩa tập hợp. .. KHÔNG GIAN 47 3.1 Một số toán tìm tập hợp điểm phương pháp vectơ 47 3.2 Một số toán tìm tập hợp điểm phương pháp toạ độ 50 3.3 Một số toán tìm tập hợp điểm phương pháp khác 54

Ngày đăng: 05/10/2015, 16:05

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w