Thông tin tài liệu
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
********
NGUYỄN THỊ THIẾT
MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM
TẬP HỢP ĐIỂM
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
ThS. ĐINH THỊ KIM THUÝ
HÀ NỘI - 2015
LỜI CẢM ƠN
Bản khóa luận tốt nghiệp này là bước đầu tiên để em làm quen với việc
nghiên cứu khoa học. Khi thực hiện đề tài này em chỉ mong góp thêm một
tiếng nói, một sự khơi gợi rất khiêm tốn để học sinh thêm hứng thú khi học
toán nói chung và giải các bài toán tìm tập hợp điểm nói riêng. Trước sự bỡ
ngỡ và gặp khó khăn khi mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học em
đã nhận được sự giúp đỡ động viên của các thầy cô giáo và của các bạn sinh
viên trong khoa.
Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn đến cô giáo Đinh Thị Kim Thúy đã
giúp đỡ và hướng dẫn tận tình để em hoàn thành khóa luận. Em cũng xin chân
thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em có cơ hội để
tập dượt với việc nghiên cứu.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày tháng năm 2015
Sinh viên thực hiện
Nguyễn Thị Thiết
LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả của bản thân em qua quá trình học tập và
nghiên cứu. Trong khi nghiên cứu hoàn thành khóa luận này em có tham khảo
một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin cam đoan rằng khóa luận này là do em viết và những kiến thức
trích dẫn trong khóa luận là trung thực.
Hà Nội, ngày tháng năm 2015
Sinh viên thực hiện
Nguyễn Thị Thiết
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................ 1
1. Lí do chọn đề tài .......................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................... 1
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu .................................................................. 1
4. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................. 2
5. Phương pháp nghiên cứu............................................................................. 2
6. Cấu trúc khoá luận ...................................................................................... 2
CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC LIÊN QUAN ................................................... 3
1.1. Những vấn đề cơ bản về bài toán tìm tập hợp điểm ................................ 3
1.1.1. Định nghĩa tập hợp điểm ....................................................................... 3
1.1.2. Các yếu tố đặc trưng của bài toán tìm tập hợp điểm............................. 3
1.2. Một số phương pháp tìm tập hợp điểm .................................................... 3
1.2.1. Phương pháp vectơ ................................................................................ 3
1.2.2. Phương pháp toạ độ............................................................................... 5
1.3. Các dạng tập hợp điểm cơ bản ................................................................. 7
1.3.1. Tập hợp điểm là đường thẳng ............................................................... 7
1.3.2. Tập hợp điểm là đường tròn .................................................................. 7
1.3.3. Tập hợp điểm là Elip ............................................................................. 7
1.3.4. Tập hợp điểm là Hypebol ...................................................................... 8
1.3.5. Tập hợp điểm là Parabol ....................................................................... 8
CHƢƠNG 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM TRONG HÌNH
HỌC PHẲNG ................................................................................................. 9
2.1. Một số bài toán tìm tập hợp điểm bằng phương pháp vectơ ................... 9
2.1.1. Lớp bài toán tìm tập hợp điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ........ 9
2.1.2. Lớp bài toán tìm tập hợp điểm M thoả mãn đẳng thức về tích vô hướng
......................................................................................................................... 14
2.1.3. Lớp bài toán tìm tập hợp điểm M thoả mãn đẳng thức về độ dài ......... 19
2.2. Một số bài toán tìm tập hợp điểm bằng phương pháp toạ độ .................. 25
2.2.1. Phương pháp chung ............................................................................... 25
2.2.2. Các dạng tập hợp điểm cơ bản giải được bằng phương pháp toạ độ .... 26
2.2.2.1. Tập hợp điểm dạng đường thẳng ....................................................... 26
2.2.2.2. Tập hợp điểm dạng đường tròn .......................................................... 30
2.2.2.3. Tập hợp điểm dạng Elip ..................................................................... 34
2.2.2.4. Tập hợp điểm dạng Hypebol .............................................................. 38
2.2.2.5. Tập hợp điểm dạng Parabol ............................................................... 43
2.2.2.6. Bài tập đề nghị ................................................................................... 46
CHƢƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM TRONG
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ........................................................................ 47
3.1. Một số bài toán tìm tập hợp điểm bằng phương pháp vectơ ................... 47
3.2. Một số bài toán tìm tập hợp điểm bằng phương pháp toạ độ .................. 50
3.3. Một số bài toán tìm tập hợp điểm bằng phương pháp khác ..................... 54
KẾT LUẬN .................................................................................................... 58
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................... 48
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Bài toán “Tìm tập hợp điểm” hay “Bài toán quỹ tích” là bài toán rất hay
gặp trong các đề thi học sinh giỏi, đề thi tuyển sinh vào các trường chuyên,
Đại học, Cao đẳng… một đề tài đã làm say mê bao người, góp phần không
nhỏ làm cho người học yêu thích môn hình học hơn.
Không thể nào phủ nhận được ý nghĩa và tác dụng của bài toán tìm tập
hợp điểm trong việc rèn luyện tư duy toán học nói riêng và đối với rèn luyện
tư duy linh hoạt nói chung. Đây là một phần kiến thức rất khó đối với học
sinh trong việc tiếp nhận các kiến thức và phương pháp, càng khó hơn trong
việc vận dụng các kiến thức và phương pháp ấy trong giải bài tập.
Có rất nhiều phương pháp để giải một bài toán tìm tập hợp điểm trong đó
phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ là một phương pháp hiệu quả. Nó
cho ta lời giải một cách chính xác tránh được những yếu tố trực quan, các suy
diễn phức tạp của phương pháp tổng hợp và là phương tiện hiệu quả để giải
các bài toán tìm tập hợp điểm.
Xuất phát từ sự say mê của mình và được sự giúp đỡ tận tình của cô giáo
Đinh Thị Kim Thúy em chọn đề tài:
“Một số bài toán tìm tập hợp điểm”
2. Mục đích nghiên cứu
• Hệ thống hoá các vấn đề liên quan tới bài toán tìm tập hợp điểm.
• Xây dựng hệ thống bài tập vận dụng, từ đó thấy được tầm quan trọng
và tính thiết thực của lí thuyết phương pháp vectơ, toạ độ đối với các dạng bài
toán tìm tập hợp điểm.
3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Một số bài toán sử dụng phương pháp vectơ,
toạ độ để giải bài toán tìm tập hợp điểm.
1
• Phạm vi nghiên cứu: Bài toán tìm tập hợp điểm.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu những tài liệu, giáo trình liên quan đến phương pháp vectơ,
toạ độ để rút ra một số dạng toán và phương pháp giải các bài toán tìm tập
hợp điểm.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc các giáo trình tài liệu liên quan
đến các bài toán tìm tập hợp điểm giải bằng phương pháp vectơ, toạ độ.
Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Từ kinh nghiệm bản thân tổng hợp
và hệ thống hoá các kiến thức về vấn đề nghiên cứu đầy đủ và khoa học.
Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giáo viên trực tiếp
hướng dẫn và các giáo viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung cũng như
hình thức của khoá luận.
6. Cấu trúc khoá luận
Khoá luận gồm 2 phần:
Phần 1: Mở đầu
Phần 2: Nội dung
Chương 1: Kiến thức liên quan.
Chương 2: Một số bài toán tìm tập hợp điểm trong hình học phẳng.
Chương 3: Một số bài toán tìm tập hợp điểm trong hình học không
gian.
2
CHƢƠNG 1
KIẾN THỨC LIÊN QUAN
1.1. Những vấn đề cơ bản về bài toán tìm tập hợp điểm
1.1.1. Định nghĩa tập hợp điểm
• Một tập hợp khác rỗng gồm những điểm gọi là tập hợp điểm hay hình.
• Định nghĩa quỹ tích: Quỹ tích là tập hợp những điểm, đường thẳng,
mặt phẳng thoả mãn điều kiện nhất định nào đó.
1.1.2. Các yếu tố đặc trƣng của bài toán tìm tập hợp điểm
Trong một bài toán quỹ tích thường có 3 loại yếu tố đặc trưng:
• Loại yếu tố cố định: thường là các điểm.
• Loại yếu tố không đổi: như độ dài đoạn thẳng, độ lớn của góc, diện
tích hình v.v...
Các yếu tố cố định hoặc không đổi thường được cho đi kèm theo các
nhóm từ “cố định”, “cho trước”, “không đổi”.
• Loại yếu tố thay đổi: thường là các điểm mà ta cần tìm quỹ tích hoặc
các đoạn thẳng, các hình mà trên đó có điểm mà ta cần tìm quỹ tích.
Các yếu tố thay đổi thường cho kèm theo nhóm từ: “di động”, “di
chuyển”, “chạy”, “thay đổi” v.v...
1.2. Một số phƣơng pháp tìm tập hợp điểm
1.2.1. Phƣơng pháp vectơ
1.2.1.1. Khái niệm
Vectơ là một đoạn thẳng có:
• Một đầu được xác định là gốc còn đầu kia là ngọn.
• Hướng từ gốc đến ngọn là hướng của vectơ.
• Độ dài của đoạn thẳng là độ dài của vectơ.
Kí hiệu: AB : Gốc là A và ngọn là B. Hướng từ A và B.
Độ dài của vectơ AB kí hiệu AB chính là AB.
3
1.2.1.2. Phép cộng vectơ
Cho hai vectơ a và b . Lấy một điểm A nào đó rồi xác định các điểm B và
C sao cho AB a, BC b . Khi đó vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ
a và b . Kí hiệu: AC a b.
Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.
1.2.1.3. Hiệu hai vectơ
Hiệu của hai vectơ a và b , ký hiệu a b , là tổng của vectơ a và vectơ
đối của vectơ b , tức là: a b a b .
Phép lấy hiệu cuả 2 vectơ gọi là phép trừ vectơ.
Qui tắc ba điểm: Nếu MN là một vectơ đã cho thì với mỗi điểm O bất kì,
ta luôn có: MN ON OM .
1.2.1.4. Tích của một vectơ với một số
Tích của vectơ a với số thực k là một vectơ, kí hiệu là k a , được xác định
như sau:
• Nếu k 0 thì vectơ k a cùng hướng với vectơ a.
• Nếu k 0 thì vectơ k a ngược hướng với vectơ a.
• Độ dài vectơ k a bằng k . a .
Phép lấy tích của một vectơ với một số gọi là phép nhân vectơ với số.
1.2.1.5. Tích vô hƣớng của hai vectơ
Tích vô hướng của hai vectơ a và b là một số, kí hiệu là a.b , được xác
định bởi: a.b a . b cos a, b .
4
1.2.1.6. Giải bài toán bằng phƣơng pháp vectơ
Giải bài toán bằng phương pháp vectơ là ta sẽ phiên dịch bài toán ngôn ngữ
hình học sang ngôn ngữ vectơ. Sau khi giải xong ta lại phiên dịch ngược lại từ
ngôn ngữ vectơ sang ngôn ngữ hình học để phù hợp với yêu cầu của bài toán.
1.2.2. Phƣơng pháp toạ độ
1.2.2.1. Định nghĩa hệ toạ độ
Trong không gian Ơclit n chiều En gọi e e1 , e2 ,..., en
là một cơ sở trực
chuẩn của E n tức là ei .e j ij , trong đó ij 1 khi i = j, ij 0 khi i ≠ j thì tập
hợp O, e hay O, e1 , e2 ,..., en
gọi là hệ toạ độ trực chuẩn hay là hệ toạ độ
Đêcac vuông góc.
1.2.2.2. Toạ độ của điểm
Trong không gian Ơclit n chiều En cho toạ độ trực chuẩn O, e . Với mỗi
điểm M En ta có OM E n và do đó có duy nhất n phần tử x1 , x2 ,..., xn R
sao cho OM x1 e1 x2 e2 ... xn en .
Bộ n phần tử x1 , x2 ,..., xn được gọi là toạ độ của điểm M đối với các hệ toạ
độ đã cho.
1.2.2.3. Toạ độ của vectơ
Trong không gian Ơclit n chiều En. Nếu X x1 , x2 ,..., xn E ,
n
Y y1 , y2 ,..., yn E n thì
XY OY OX y1 x1 e1 y2 x2 e2 ... yn xn en .
Khi đó XY có toạ độ y1 x1 , y2 x2 ,..., yn xn .
1.2.2.4. Một vài tính chất trong E2 và E3
+) Trong E2
Trong hệ toạ độ Đecac vuông góc Oxy cho u x1 , y1 ; v x2 , y2 ; k R.
5
• u v x1 x2 , y1 y2
• u v x1 x2 , y1 y2
• k.u kx1 , ky1
• u.v x1 x2 y1 y2
2
2
2
2
2
• u x1 y1 do đó u x1 y1
• u v u.v 0 x1 x2 y1 y2 0.
+) Trong E3
Trong hệ toạ độ Oxyz cho u x1 , y1 z1 , ; v x2 , y2 , z 2 ; k R.
• u v x1 x2 , y1 y2 , z1 z2
• u v x1 x2 , y1 y2 , z1 z2
• k.u kx1 , ky1 , kz1
• u.v x1 x2 y1 y2 z1 z2
• u 2 x12 y12 z12
2
2
2
do đó u x1 y1 z1
• u v u.v 0 x1 x2 y1 y2 z1 z2 0.
1.2.2.5. Giải bài toán bằng phƣơng pháp toạ độ
Các bước giải bằng phương pháp toạ độ:
Bước 1: Chọn hệ toạ độ thích hợp
Bước 2: Chuyển ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ
Bước 3: Giải các bài toán bẳng kiến thức toạ độ
Bước 4: Phiên dịch các kết quả từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ hình
học.
6
1.3. Các dạng tập hợp điểm cơ bản
1.3.1. Tập hợp điểm là đƣờng thẳng
Tập hợp những điểm cách đều hai đầu của một đoạn thẳng là đường
trung trực của đoạn thẳng đó.
Tập hợp các điểm cách đều hai cạnh của một góc là tia phân giác của
góc đó.
Tập hợp những điểm cách đều một đường thẳng cố định cho trước một
khoảng cho trước là hai đường thẳng song song với đường thẳng đã cho
và cách đường thẳng đó một khoảng cho trước.
Tập hợp những điểm cách đều hai đường thẳng song song cho trước là
một đường thẳng song song và nằm cách đều hai đường thẳng đã cho.
1.3.2. Tập hợp điểm là đƣờng tròn
Tập hợp những điểm cách đều một điểm cố định cho trước một khoảng
cho trước là đường tròn tâm O bán kính R.
Tập hợp những điểm luôn nhìn hai đầu của một đoạn thẳng cố định
cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB.
1.3.3. Tập hợp điểm là Elip
Cho hai điểm cố định F1, F2. Đường elip là tập hợp các điểm M(x,y)
sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai điểm F1 và F2 là một số không
đổi 2a.
(E): MF1 + MF2 = 2a và F1F2 = 2c, (a > c).
Hai điểm F1, F2 gọi là hai tiêu điểm của elip.
Khoảng cách F1F2 = 2c gọi là tiêu cự của elip.
x2 y 2
Phương trình chính tắc của Elip: 2 2 1 , (a > b > 0).
a
b
7
1.3.4. Tập hợp điểm là Hypebol
Cho hai điểm cố định F1, F2 có khoảng cách F1F2 = 2c (c > 0). Đường
hypebol (còn gọi là hypebol) là tập hợp các điểm M sao cho
MF1 MF2 2a, trong đó a là số dương cho trước nhỏ hơn c.
Hai điểm F1 và F2 gọi là các tiêu điểm của hypebol.
Khoảng cách F1F2 = 2c gọi là tiêu cự của hypebol.
x2 y 2
Phương trình chính tắc của Hypebol: 2 2 1 với a > 0, b > 0.
a b
1.3.5. Tập hợp điểm là Parabol
Cho một điểm F cố định và một đường thắng (Δ) cố định không đi qua
F. Đường Parabol là tập hợp những điểm M cách đều F và (Δ).
Điểm F gọi là tiêu điểm của parabol.
Đường thẳng Δ được gọi là đường chuẩn của parabol.
Khoảng cách từ F đến Δ được gọi là tham số tiêu của parabol.
Phương trình chính tắc của parabol: y2 = 2px, p > 0.
8
CHƢƠNG 2
MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM
TRONG HÌNH HỌC PHẲNG
2.1. Một số bài toán tìm tập hợp điểm bằng phƣơng pháp vectơ
2.1.1. Lớp bài toán tìm tập hợp điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ
2.1.1.1. Phƣơng pháp chung
Để tìm tập hợp điểm thoả mãn một đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng
thức vectơ đó để đưa về các tập hợp điểm cơ bản:
Một số tập hợp điểm cơ bản:
+) Nếu MA MB với A, B cho trước thì tập hợp điểm M là đường
trung trực của đoạn thẳng AB.
+) Nếu MC k AB với A, B, C cho trước thì tập hợp điểm M là
đường tròn tâm C bán kính k . AB (k ≠ 0).
+) Nếu MA k BC với A, B, C cho trước
k > 0 thì điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A và song song với BC
cùng hướng với BC .
k < 0 thì điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A và song song với BC
ngược hướng với BC .
k bất kì thì điểm M thuộc đường thẳng qua A và song song với BC.
2.1.1.2. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1
Cho ABC. Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:
a. MA kMB kMC
(1)
b. 1 k MA MB k MC 0
(2)
9
Lời giải:
a. Ta có (1) MA kMB kMC 0
MA k MB MC 0
MA kCB
MA k BC hay MA cùng phương với BC .
M thuộc đường thẳng qua A và song song với BC.
Vậy tập hợp M là đường thẳng qua A và song song với BC.
b. Ta có (2) MA kMA MB kMC 0
MA MB k MA MC 0 (3)
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC ta được:
(3) ME EA ME EB k MF FA MF FC 0
2ME 2kMF 0
ME k MF M thuộc đường trung bình EF của ABC.
Vậy tập hợp M là đường trung bình EF của ABC.
Ví dụ 2
Trong mặt phẳng cho ABC. Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:
a. MA MB MC
3
MB MC
2
b. 4MA MB MC 2MA MB MC
(1)
(2)
Lời giải:
a. Gọi G là trọng tâm của ABC
Ta có: MA MB MC 3MG
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC, ta có: MB MC 2MI .
10
Vậy (1) 3MG
3
2MI
2
MG MI .
M thuộc đường trung trực của đoạn GI.
Vậy tập hợp điểm M nằm trên đường trung trực của đoạn GI.
b. Gọi J là điểm thoả mãn hệ thức:
4 JA JB JC 0 tồn tại duy nhất điểm J.
Ta được: 4MA MB MC 6MJ
(*)
Mặt khác: 2MA MB MC MA MB MA MC BA CA 2 AI (**)
Từ (*) và (**) suy ra (2) 6MJ 2 IA
1
MJ IA const.
3
1
3
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm J, bán kính R IA .
Ví dụ 3
Cho tam giác ABC, hai điểm M, N di động trên các tia AB và AC sao cho
AM CN
. Dựng hình bình hành MNCP. Tìm tập hợp những điểm P.
AB CA
Lời giải:
11
Đặt AM k AB , k > 0 NC k AC.
Gọi D là đỉnh của hình bình hành ABCD. Khi đó ta có:
AD AB AC
(1)
AP AM MP
AM NC (do MNCP là hình bình hành)
k AB k AC
AB AC
(2)
Từ (1) và (2) AP k AD , k > 0 P thuộc tia AD.
Ngược lại, với mọi P0 thuộc tia AD ta có:
AP0 k0 AD , k0 > 0
CP0 CA k0 AB AC
CP0 k0 AB 1 k0 AC
(3)
Trên tia AB, AC lấy điểm M0, N0 sao cho AM k0 AB, N0C k0 AC.
Ta có N0 M 0 AM 0 AN0
k0 AB 1 k0 AC
(4)
Từ (3) và (4) N0 M 0 CP0 tứ giác M0N0C0P0 là hình bình hành.
Vậy tập hợp điểm P chính là tia AD.
Ví dụ 4
Trên hai tia Ox, Oy của góc xOy lấy hai điểm M, N sao cho OM + ON = a
(a là độ dài cho trước). Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn MN.
Lời giải:
Lấy 2 điểm M0, N0 thuộc Ox, Oy sao cho OM0 = ON0 =
12
a
.
2
Giả sử OM k ON a k , với 0 k a.
Khi đó OM
2 a k
2k
OM 0 , ON
ON0 .
a
a
Vì I là trung điểm của MN ta được:
OI
2 a k ON 0
1
1 2k
OM ON OM 0
2
2 a
a
k
ak
OM 0 M 0 I OM 0
ON 0
a
a
ak
k
M 0 I 1 OM 0
ON 0
a
a
aM 0 I a k ON0 OM 0
M0I
ak
M0N 0
a
I M 0 N0 .
Vậy tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng MN là đoạn thẳng M 0 N0 trong đó
M0, N0 là 2 điểm thoả mãn OM0 = ON0 =
2.1.1.3. Bài tập đề nghị
13
a
.
2
Bài tập 1: Cho ABC. Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:
a. MA 1 k MB k MC 0 , k R
b. v MA MB 2MC cùng phương với BC .
Bài tập 2: Cho ABC. Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:
2MA 3MB 3MB 2MC
a.
b. 3MA 2MB MC MB MA
Bài tập 3: Cho ABC, các điểm M, N, P di động trên các cạnh BC, CA, AB
sao cho
MB PA NC
. Dựng hình bình hành MNPQ. Tìm tập hợp những
MC PB NA
điểm Q.
2.1.2. Lớp bài toán tìm tập hợp điểm M thoả mãn đẳng thức về tích vô
hƣớng
2.1.2.1. Phƣơng pháp chung
Ta biến đổi biểu thức ban đầu về một trong các dạng sau:
• MA k 0 thì M thuộc đường tròn tâm A, bán kính R k .
2
• MAMB k với A, B cố định và k không đổi. Gọi I là trung điểm của đoạn
thẳng AB, ta được:
MI IB MI IB MI IB
k MA.MB MI IA MI IB
2
AB 2
MI k IB k
.
4
2
2
AB 2
. Khi đó:
Đặt m k
4
+) Nếu m < 0 thì tập hợp M là tập rỗng.
14
2
+) Nếu m = 0 thì tập hợp M chỉ gồm một điểm I.
+) Nếu m > 0 thì tập hợp M thuộc đường tròn tâm I, bán kính R m .
Đặc biệt nếu k = 0 thì tập hợp M là đường tròn đường kính AB.
• MA.BC k với A, B, C cố định. Khi đó:
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, M lên BC.
Áp dụng định lí hình chiếu ta có
MA.BC KH .BC k KH
k
(giá trị không đổi).
BC
Mà H cố định nên K cố định.
Suy ra tập hợp điểm M là đường thẳng qua A và vuông góc với BC tại K.
Đặc biệt khi k = 0 thì M thuộc đường thẳng qua A và vuông góc với BC.
2.1.2.2. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1
Cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng. Tìm tập hợp những điểm M sao
cho MA.MB MA.MC MC2 MB2 BC2 .
(1)
Lời giải:
Gọi G là trọng tâm của ABC.
Khi đó với mỗi điểm M bất kỳ ta có: MA MB MC 3MG.
2
2
2
Ta biến đổi (1) về dạng: MA.MB MA.MC MB MC BC
MA. MB MC MB MC MB MC BC 2
15
MB MC MA MB MC BC 2
CB.MG BC 2 .
Gọi G’, H lần lượt là hình chiếu vuông góc của G, M lên BC.
BC
.
3
2
Ta được: 3GH .BC BC G ' H
Do G’ cố định,
BC
không đổi nên H cố định.
3
Vậy tập hợp điểm M là một đường thẳng vuông góc với BC tại H.
Ví dụ 2
Cho ABC đều cạnh a. Tìm tập hợp những điểm M sao cho
5a 2
MA.MB MB.MC MC.MA
.
2
(1)
Lời giải:
Gọi G là trọng tâm của ABC, với mỗi điểm M bất kì ta có:
MA MB MC 3MG
MA MB MC
2
9MG 2
MA2 MB 2 MC 2 2 MA.MB MB.MC MC.MA 9MG 2 (2)
Lại có
MA2 MB2 MC 2 MA2 MB2 MC 2
2
2
MG GA MG GB MG GC
2
3MG 2 GA2 GB2 GC 2 2MG GA GB GC
3MG 2 GA2 GB 2 GC 2
3MG 2 a 2 .
16
MA2 MB 2 MC 2 3MG2 a2 .
Thay (3) vào (2) ta được:
2 MA.MB MB.MC MC.MA 9MG 2 3MG 2 a 2
a2
MA.MB MB.MC MC.MA 3MG .
2
2
a 2 5a 2
MG 2 3a 2 MG a 3.
Vậy (1) 3MG
2
2
2
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm G, bán kính R a 3 .
Ví dụ 3
Cho ABC. Tìm tập hợp những điểm thoả mãn:
a) AM . AB AC. AB
(1)
2
2
b) 2MB MB.MC a , a BC
(2)
Lời giải:
a) (1) AM AC . AB 0
MC. AB 0
MC AB
M thuộc đường thẳng qua C vuông góc AB.
Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng qua C và vuông góc với AB.
b) (2) a 2 2MB 2 MB.MC
a 2 MB 2MB MC
(3)
Xét điểm cố định K thoả mãn: 2 KB KC 0
thì 2MB MC 2 2MB MK MC MK 0
2MB MC 3MK
17
(3)
a2
Do đó (3) MB.MK .
3
Gọi là trung điểm của BK, ta được:
a 2 3MB.MK 3 MI IK MI IB 3 MI IB MI IB
a 2 3 MI 2 IB 2
a2
a 2 BK 2
2
MI IB
.
3
3
4
2
Từ 2 KB KC 0 KB
a
13a 2
a 13
2
MI
.
nên (3) MI
3
36
6
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm O, bán kính R
a 13
.
6
Ví dụ 4
Cho n điểm A1, A2, A3,…, An và n số k1, k2,…, kn với k1+ k2+…+ kn = k
(k ≠ 0). Tìm tập hợp những điểm M sao cho: k1MA12 k2 MA22 ... kn MAn2 m ,
với m là một số không đổi.
Lời giải:
Với mọi điểm M, ta có
k1MA12 k2 MA22 ... kn MAn2 m
2
2
2
k1 MA1 k2 MA2 ... kn MAn m
k1 GA1 GM
2
k2 GA2 GM
2
... kn GAn GM
2
m
k1GA12 k2GA22 ... knGAn2 kGM 2 2GM k1 GA1 k2 GA2 ... kn GAn m .
2
2
2
Đặt k1GA1 k2GA2 ... knGAn s thì đẳng thức trên tương đương với
s kGM 2 m hay GM 2
ms
. Từ đó suy ra:
k
18
ms
0 thì tập hợp các điểm M là đường tròn tâm G, bán kính
k
• Nếu
r
ms
.
k
• Nếu m s 0 thì tập hợp các điểm M là một điểm G.
• Nếu
ms
0 thì tập hợp các điểm M là tập rỗng.
k
2.1.2.3. Bài tập đề nghị
Bài tập 1: Cho ABC. Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:
a. MA MB 2MB MC 0
2
b. 2MA MA.MB MA.MC
Bài tập 2: Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn: MA2 MB2 MC 2 MD2 k ,
k > 0 với A, B, C, D là bốn điểm cố định cho trước.
Bài tập 3: Cho ABC, biện luận theo tập hợp những điểm M thoả mãn:
MA.MB MB.MA MC.MA k .
2.1.3. Lớp bài toán tìm tập hợp điểm M thoả mãn đẳng thức về độ dài
2.1.3.1. Phƣơng pháp chung
2
2
Ở dạng toán này chúng ta sử dụng kết quả: a a.a a .
2.1.3.2. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1
Cho ABC có góc A nhọn và trung tuyến AI. Tìm tập hợp những điểm M
2
di động trong góc BAC sao cho AB. AK AC.AH AI trong đó K, H là
hình chiếu của M lên AB và AC.
Lời giải:
19
Từ giả thiết ta có
AB. AK AB . AK .c os AB, AK AB.AK .c os0
AB. AM AB . AM .cos AB, AM AB.AM .cosBAM
0
AB. AM AB. AK AB. AK.
Tương tự ta có: AC. AM AC. AH AC. AH .
2
Kết hợp với giả thiết ta có: AI AB. AM AC. AM
AM AB AC 2 AM . AI .
Gọi M0 là hình chiếu vuông góc của M lên AI thì tương tự như trên ta có:
AM . AI AM 0 . AI AM 0 . AI .
2
Khi đó ta có: AI 2 AI . AM 0 AM 0
AI
M0 là trung điểm của AI.
2
Vậy tập hợp điểm M là đoạn trung trực của AI nằm trong BAC.
Ví dụ 2
Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn
MA2 MB2 k (1) (k là số không đổi cho trước) trong 2 trường hợp:
a. 0
b. 0
Lời giải:
20
a.
Gọi I là trung điểm của AB ta biến đổi (1) về dạng:
k MA2 MB 2 MA2 MB 2
MA MB MA MB
2 .BA.MI (vì 0 )
BA.MI
Đặt m
k
.
2
k
. Gọi M0 là hình chiếu vuông góc của M trên AB ta có:
2
m MI .BA M 0 I .BA M 0 I
m
.
BA
Ta thấy vế phải là một số không đổi, I cố định nên M0 xác định duy nhất.
Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng vuông góc với AB tại M0.
b. Gọi I là điểm thoả mãn hệ thức: IA IB 0
IB BA IB 0
.IB BA 0
21
IB
. AB.
Khi đó ta luôn tìm được điểm I và nó tồn tại duy nhất.
2
2
2
Từ (1) ta có k MA MB . MI IA MI IB
2
MI 2 IA2 IB 2 2MI IA IB
MI 2 IA2 IB 2
MI 2
Đặt m
1
k IA2 IB 2 .
1
k IA2 IB 2 ta có kết luận sau:
• Nếu m < 0 thì tập hợp điểm M là tập rỗng.
• Nếu m = 0 thì tập hợp điểm M là 1 điểm chính là điểm I.
• Nếu m > 0 thì tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính R m .
Ví dụ 4
Cho ABC. Tìm tập hợp điểm M thoả mãn: MA2 MB2 MC 2 k (1)
(k là số không đổi cho trước) trong hai trường hợp sau :
a. 0
b. 0
Lời giải:
a. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC ta có:
2
MA2 MA2 MO OA MO 2 OA2 2MO.OA
MB 2 MB 2 MO OB
MC 2 MC 2 MO OC
2
2
MO 2 OB 2 2MO.OB
MO 2 OC 2 2MO.OC
22
Thay vào (1) ta có:
k .MO2 .OA2 .OB2 .OC 2 2MO .OA .OB .OC
.R 2 2MO .OA . OA AB . OA AC
2MO OA . AB . AC
2MO . AB . AC .
Dựng vectơ v AB AC . Gọi M0, O0 lần lượt là hình chiếu vuông góc
của M, O lên đường thẳng chứa vectơ
v ta được:
k 2MO.v 2M 0O0 .v M 0O0
k
.
2v
Do A, B, C cố định nên vế phải có giá trị không đổi, O0 cố định nên M0 cố
định.
Vậy M thuộc đường thẳng qua M0 vuông góc với v .
b) Gọi I là điểm thoả mãn hệ thức: IA IB IC 0
.IA . IA AB . IA AC 0
23
.IA .BA .CA
IA
.BA CA
.
Do A, B, C cố định và , , là các số cho trước nên ta luôn tìm được I và
nó là duy nhất.
Ta biến đổi (1) về dạng:
k .MA2 .MB2 .MC 2
2
2
. MI IA . MI IB . MI IC
2
MI 2 .IA2 .IB 2 .IC 2 2MI .IA .IB .IC
MI 2 .IA2 .IB 2 .IC 2
MI 2
Đặt m
1
k .IA 2 .IB 2 .IC 2 .
1
k .IA2 .IB2 .IC 2 .
• Nếu m < 0 thì tập hợp điểm M là tập rỗng.
• Nếu m = 0 thì tập hợp điểm M chính là điểm I.
• Nếu m > 0 thì tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính R m.
Ví dụ 4
Cho ABC đều có cạnh là 2a. Tìm tập hợp những điểm M sao cho
MA2 MB2 MC 2 8a2 .
Lời giải:
Gọi G là trọng tâm của ABC. Khi đó ta có
MA2 MB2 MC 2 8a 2
24
MA2 MB2 MC 2 8a 2
8a
2MG GA GB GC GA GB GC
2
2
MG GA MG GB MG GC
3MG 2
2
2
2
2
2
8a 2
4
3MG 2 3. ma2 8a 2
9
MG 2
4 2
a
3
MG
2
a.
3
Ta thấy vế phải là số dương không đổi nên M thuộc đường tròn tâm G bán
kính R
2
a.
3
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm G bán kính R
2
a.
3
2.1.3.3. Bài tập đề nghị
Bài tập1: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:
MA2 MB2 MC 2 AB2 BC 2 .
Bài tập 2: Cho ABC có góc A nhọn và trung tuyến AI. Tìm tập hợp những
điểm M di động trong góc BAC sao cho AB.AH AC.AK AI 2 trong đó H, K
là hình chiếu của M lên AB và AC.
Bài tập 3: Cho ABC, BC = a, CA = b, AB = c. Tìm tập hợp điểm M thoả
mãn 2MA2 2MB2 MC 2 l.
2.2. Một số bài toán tìm tập hợp điểm bằng phƣơng pháp toạ độ
2.2.1. Phƣơng pháp chung
Trong mỗi bài toán tìm tập hợp có 2 yếu tố: yếu tố cố định và yếu tố
chuyển động, bằng phương pháp toạ độ ta tìm ra mối liên hệ giữa các yếu tố
25
đó. Dựa vào đó ta có thể kết luận tập hợp của điểm cần tìm. Ta thường thực
hiện theo các bước sau:
Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ của các điểm cần thiết.
Thiết lập biểu thức giải tích cho đối tượng cần tìm tập hợp điểm.
Từ đó suy ra tập hợp của nó.
Với dạng toán này cần lưu ý các tập hợp điểm cơ bản sau:
Tập hợp điểm dạng đường thẳng
Tập hợp điểm dạng đường tròn
Tập hợp điểm dạng Elip
Tập hợp điểm dạng Hypebol
Tập hợp điểm dạng Parabol.
2.2.2. Các dạng tập hợp điểm cơ bản giải đƣợc bằng phƣơng pháp toạ độ
2.2.2.1. Tập hợp điểm dạng đƣờng thẳng
Ví dụ 1
Cho hai điểm A, B cố định và một đường thẳng d vuông góc với đường
thẳng AB nhưng không đi qua A và B. Một điểm M chạy trên d. Tìm tập hợp
các giao điểm N của các đường thẳng vuông góc với MA, MB tại A, B.
Lời giải:
Chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho O d AB , tia Ox AB và tia Oy d.
26
Ta có toạ độ các điểm A(a; 0), B(b; 0), M(0; m).Gọi N(x; y)
Khi đó
MA = (a ; - m), MB = (b ; -m)
NA = (a – x ; -y), NB = (b- x ; -y)
Theo giả thiết ta có:
b x b
.y 0
a a x
y
a(a x) my 0
MA. NA 0
x a b.
b(b
x)
my
0
b
x
b
MB. NB 0
m
y
Do m là giá trị luôn thay đổi ta khử m từ phương trình trên thay vào phương
trình dưới suy ra phương trình đường thẳng cần tìm là x = a + b.
Vậy tập hợp các điểm N là đường vuông góc chung với Ox tại H có hoành
độ OH = a + b.
Ví dụ 2
Cho A(a, 0); B(0, b); M(m, 0); N(0, n) với a, b không đổi; m, n thay đổi
sao cho
OM ON
2 . Tìm tập hợp giao điểm của AN và BM.
OA OB
Lời giải:
Phương trình đường thẳng AN có dạng:
x y
1 nx ay na.
a n
Phương trình đường thẳng BM có dạng:
y x
1 bx my mb.
b m
Toạ độ giao điểm của AN và BM là nghiệm của hệ sau:
mna mba
x
mn ab
nx ay na
x y 2mn (mb na)
mnb mba
bx
my
mb
a
b
mn ab
y
mn ab
Do
m n
OM ON
2 mb na 2ab thế vào (1) ta được:
2 nên
a b
OA OB
27
(1)
x y 2mn 2ab
x y
2 2.
a b
mn ab
a b
Vậy tập hợp giao điểm của AN và BM chính là đường thẳng có phương trình
x y
2.
a b
Ví dụ 3
x2 y 2
Đường thẳng (d) có phương không đổi và cắt (H): 2 2 1 , (0 < b < a)
a b
tại hai điểm A và B. Tìm tập hợp trung điểm I của AB.
Lời giải:
Giả sử (d) có vectơ chỉ phương v , không đổi và qua điểm I x0 , y0 .
Khi đó
x x0 t
(d):
, tR
y y0 t
Xét hệ phương trình sau :
b 2 x 2 a 2 y 2 a 2b 2
x x0 t
y y t
0
2b2 2 a 2 t 2 2 x0b2 y0 a 2 t x02b y02 a 2 a 2b2(1)
0
Vì (d) (H) = A, B nên (1) có hai nghiệm tA và tB thoả mãn:
t A tB
t A tB
2 x0b 2 y0 a 2
2b 2 2 a 2
x02b 2 y02 a 2 a 2b 2
2b 2 2 a 2
Vì I là trung điểm của AB nên ta có:
28
2 x0 x0 t A x0 t B
2 x0 xA xB
2
y
y
y
A
B
0
2 y0 y0 t A y0 t B
t A tB 0 x0b2 y0 a 2 0 (2)
2
2
Vậy tập hợp trung điểm chính là đường thẳng dạng b x a y 0.
Ví dụ 4
Cho tam giác nhọn ABC, M là điểm chuyển động trên cạnh BC. Dựng
hình chữ nhật MNPQ (N AB, P AB, Q AC). Chứng minh rằng tâm
của hình chữ nhật MNPQ thuộc một đường cố định.
Lời giải :
Chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho A(a; 0), B(b; 0), C(0; c) tức là A, B thuộc
Ox và O là hình chiếu của C trên Oy.
Phương trình đường thẳng MQ: y = m, (m 0, c).
Phương trình đường thẳng AC:
x y
1.
a c
x y
Phương trình đường thẳng BC: 1.
b c
M = BC MQ toạ độ M là nghiệm của hệ:
29
b (c m )
y m
y m
b c m
x
M
; m .
c
x y
x m
c
1
1
b c
b c
y m
a
Tương tự, Q = AC MQ Q c m ; m .
c
a
Do P là hình chiếu của Q trên Ox P c m ;0 .
c
m
a b
c m ; .
là trung điểm của MP nên
2
2c
Ta thấy toạ độ của điểm luôn thoả mãn phương trình y
Vậy tập hợp tâm là đường thẳng có phương trình y
c
c
x .
a b
2
c
c
x .
a b
2
2.2.2.2. Tập hợp điểm dạng đƣờng tròn
Ví dụ 1
Hình bình hành ABCD thay đổi trong đó A và D cố định thoả mãn:
AC BD
. Tìm tập hợp điểm B.
AD BA
Lời giải:
Trong mặt phẳng Oxy, chọn A O(0;0) ; D(a;0) với AD a (không đổi).
30
Theo giả thiết hình bình hành ABCD thay đổi nên lấy B( x; y) và C ( x a; y)
bất kỳ với điều kiện y 0 .
Khi đó:
AC BD
AD BA
AC.BA AD.BD ( x a)2 y 2 . x 2 y 2 a. ( x a)2 y 2
( x2 y 2 2ax a 2 ).( x2 y 2 ) a 2 .( x 2 y 2 2ax a 2 )
( x2 y 2 )2 2ax( x2 y 2 ) 2a3 x a 4 0
(1)
((*) là phương trình bậc hai với ẩn ( x 2 y 2 ) )
/
2
3
4
2
2
Tính (ax) (2a x a ) (a ax)
x 2 y 2 ax (a 2 ax(vô
) lí)
(1) 2
2
2
x y ax (a ax)
x2 2ax y 2 a 2
( x a)2 y 2 2a 2 .
Vậy tập hợp điểm B là đường tròn (C ) có tâm I (a;0) , bán kính RB a 2 ,
bỏ hai điểm a 2 1;0 và a 2 1 ;0 .
Ví dụ 2
Cho hai điểm A, B và một số thực dương k. Tìm tập hợp những điểm M
trong mặt phẳng sao cho MA = kMB.
Lời giải:
Đặt AB = 2a và đặt A, B vào hệ trục toạ độ với Ox trùng AB và Oy trùng với
trung trực của AB. Khi đó A(-a, 0); B(a, 0).
Với điểm M(x, y) bất kỳ, ta có M thuộc tập hợp khi và chỉ khi
MA = kMB
MA2 = k2MB2
(x+a)2 + y2 = k2(x-a)2 + y2
31
(k2-1)x2 – 2a(k2+1)x + (k2-1)y2 + (k2-1)a2 = 0.
• Nếu k = 1 thì tập hợp là đường thẳng x = 0.
• Nếu k 1 thì phương trình trên được viết lại thành
2
2a(k 2 1)
a(k 2 1)
2ka
2
2
2
x
x
y
a
0
x
y
2 .
k 2 1
k 2 1
k 1
2
2
k 2 1
Suy ra tập hợp những điểm M là một đường tròn tâm 2 a;0 , bán kính
k 1
R=
2ka
.
k 2 1
Ví dụ 3
x2 y 2
Cho (E): 2 2 1. Tìm tập hợp những điểm từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến
a b
vuông góc với nhau tới (E).
Lời giải :
Giả sử điểm M(x0, y0) mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với
nhau tới (E).
Trường hợp 1: Hai đường thẳng qua M vuông góc với nhau không song song
với các trục toạ độ có dạng:
(d1 ) : y k x x0 y0 y kx kx0 y0 .
(d 2 ) : y
1
1
1
x x0 y0 (d1 ) : y x x0 y0 .
k
k
k
Điều kiện để (d1) và (d2) tiếp xúc với (E) là:
k 2 a 2 b 2 y kx0 2
2
k 2 a 2 b 2 y kx0
2
1 2 2
1 2
2
2
2 2
a
k
b
ky
x
a b y0 x0
0
0
k
k
(1)
Khử k từ hệ (1) ta được: x0 y0 a b .
(2)
2
2
2
32
2
Trường hợp 2: Hai đường thẳng qua M vuông góc với nhau và song song với
các trục toạ độ có dạng:
(d3) : y = y0 và (d4) : x = x0
Điều kiện để (d3) và (d4) tiếp xúc với (E) là:
2
2
x0 a
2
2
2
2
x
y
a
b
.
2
0
0
2
y
b
0
(3)
Từ (2) và (3) suy ra tập hợp các điểm M mà từ M kẻ được hai tiếp tuyến vuông
góc với nhau tới (E) là một đường tròn có phương trình x2+ y2 = a2 + b2.
Ví dụ 4
x2 y 2
Cho (H): 2 2 1 . Tìm tập hợp các điểm từ đó kẻ được hai tiếp tuyến
a b
vuông góc với nhau tới (H).
Lời giải :
Giả sử điểm M(x0, y0) mà từ M kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau
tới (H).
Hai đường thẳng qua M vuông góc với nhau có dạng:
d1 : y k x x0 y0 (d1 ) : y kx kx0 y0 .
1
k
d2 : y x x0 y0 (d1 ) : y
1
1
x x0 y0 .
k
k
Điều kiện để (d1) và (d2) tiếp xúc với (H) là:
k 2 b 2 y0 kx0 2
k 2 a 2 b 2 y0 kx0 2
2
1 2 2 2
1 2
2
2 2
a b y0 x0
a k b ky0 x0
k
k
(1)
2
2
2
2
Khử k từ hệ (1) được: x0 y0 a b
• Nếu a > b, tập hợp các điểm M từ đó kẻ được hai tiếp tuyến từ đó vuông góc
với nhau tới (H) là một đường tròn tâm (0, 0) bán kính R =
33
a 2 b2 .
• Nếu a b, tập hợp M là tập rỗng.
2.2.2.3. Tập hợp điểm dạng Elip
Ví dụ 1
Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định và đỉnh A thay đổi. Qua B
dựng đường thẳng d vuông góc với BC, d cắt đường trung tuyến AI của tam
giác ABC tại K.Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Tìm tập hợp điểm A,
biết rằng IH song song với KC.
Lời giải:
Chọn hệ trục Oxy với O trùng I và trục Ox là đường thẳng BC.
Đặt BC 2a 0 . Khi đó toạ độ B(a; 0);C(a; 0).
Giả sử tọa độ điểm A(x 0 ; y0 ) với y0 0.
Khi đó trực tâm H là nghiệm hệ phương trình sau:
x x0
a 2 x 02
H x0 ;
.
y
(x a)(a x 0 ) y 0 y 0
0
K d (AI) là nghiệm hệ phương trình sau:
34
x a
y
y 0 K a; a 0 với x 0 0.
x0
y x x
0
Theo giả thiết, ta có
x 02 y02
y0
a 2 x 02
0 2 2 1.
IH cùng phương KC a .x 0 2a.
x0
y0
a
2a
Vậy tập hợp điểm A là elip
x 02 y02
1 bỏ đi 4 điểm B, C, A1 (0; a 2) ,
a 2 2a 2
A2 (0; a 2) là 4 đỉnh của elip.
Ví dụ 2
Cho (E):
x2 y 2
1 , có các trục là A1A2, B1B2. Gọi M là một điểm chạy
a 2 b2
trên (E). Tìm tập hợp trực tâm các tam giác: MA1A2 và MB1B2.
Lời giải:
Trong hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxy, giả sử điểm M(x0, y0) là điểm chạy
trên (E) và H(x, y) là trực tâm của tam giác MA1A2.
Ta có: A1M x0 a, y0 , A2 H x a, y .
Do A1M A2M nên A1M . A2 H 0 hay (x0 + a)(x – a) + y0y = 0.
35
Mà x = x0 do MH A1A2 (x0 + a)(x – a) +y0y = 0
a 2 x02
x a y0 y 0 y
, y0 ≠ 0
y0
2
0
2
(1)
(vì y0 = 0 M A1 hoặc M A2 khi đó không tồn tại MA1A2).
2
x02
a 1 2 a 2 y0
2
a
a 2 y0
y
by
b
y 2 0 2
Từ hệ thức (1) ta có: y
y0
y0
b
b a
2
Mặt khác: x0 = x
x0 x
a a
Từ (2) và (3) ta có: 1
(2)
(3)
x02 y02 x 2 b2 y 2
4 .
a 2 b2 a 2
a
Vậy tập hợp trực tâm H của MA1A2 khi M chạy trên (E) là một elip có
x2
y2
1.
phương trình dạng: a 2
2
a2
b
Tương tự, tập hợp trực tâm H’ của MB1B2 khi M chạy trên (E) là một elip có
phương trình dạng:
x2
b2
a
2
y2
1.
b2
Ví dụ 3
x2 y 2
Cho (E): 2 2 1 . Gọi A1A2 là trục lớn của (E). Dựng các tiếp tuyến
a b
A1t1, A2t2. Một tiếp tuyến qua T thuộc (E) cắt A1t1, A2t2 tại M, N.
a) Chứng minh rằng: tích A1M.A2N không phụ thuộc vào T.
b) Tìm tập hợp giao điểm của A1N, A2M khi T chạy trên (E).
Lời giải:
Không giảm tính tổng quát ta giả sử a > b. Khi đó F1(-c, 0), F2(c, 0).
36
Lấy điểm T(x0, y0) (E), ta có
x02 y02
1.
a 2 b2
Phương trình tiếp tuyến tại T có dạng:
xx0 yy0
2 1 b2 xx0 a 2 yy0 a 2b2 0.
2
a
b
Toạ độ của M là nghiệm của hệ phương trình sau:
x a
b2 x0 x a 2 y0 y a 2b2 0
b 2 a x0
y
x a
ay0
b 2 a x0
b 2 a x0
A
M
y
.
M a,
và 1
M
ay
ay
0
0
Toạ độ của N là nghiệm của phương trình sau:
x a
x a
b 2 a x0
2
2
2 2
y
b
x
x
a
y
y
a
b
0
0
0
ay0
b 2 a x0
b 2 a x0
N a,
.
và A1 N yN
ay
ay
0
0
a) Ta có: A1M A2 N yM yN
b2 a x0 b 2 a x0
b2 .
ay0
ay0
Vậy tích A1M.A2N không phụ thuộc vào T.
b) Phương trình đường thẳng A1N có dạng:
xa
2
2
b 2 a x0 x a 2a 2 y0 y.
b a x0
2a
ay0
Phương trình đường thẳng A2M có dạng:
xa
y
2
b 2 a x0 x a 2a 2 y0 y.
2a b a x0
ay0
37
Toạ độ của là nghiệm của hệ phương trình sau:
x x0
b 2 a x0 x a 2a 2 y0 y
2
y0
2
b a x0 x a 2a y0 y y
2
x02 y02
Vì T(x0, y0) (E) nên ta có: 2 2 1
a
b
(2)
x02
y02
1.
2
Thay (2) vào (1) ta được: a 2
b
2
(E):
x02
y02
1.
a 2 b 2
2
x02
y02
1.
Vậy tập hợp giao điểm chính là elip có phương trình dạng: 2
a b 2
2
2.2.2.4. Tập hợp điểm dạng Hypebol
Ví dụ 1
Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định và đỉnh A thay đổi. Gọi H, G
lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác ABC. Tìm tập hợp điểm A, biết
rằng trung điểm K của HG thuộc đường thẳng BC.
Lời giải:
38
Chọn hệ trục toạ độ Oxy với O là trung điểm của BC, Ox trùng với đoạn
thẳng BC.
Đặt BC 2a 0 . Khi đó tọa độ B(a ,0); C(a ,0) . Giả sử A(x 0 , y0 ), y0 0.
x0 y0
Khi đó trọng tâm G , .
3 3
Phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC là:
x = x0.
Phương trình đường cao kẻ từ đỉnh C xuống cạnh AB là:
x a a x0 y0 y 0.
Khi đó trực tâm H là nghiệm hệ phương trình sau:
x x 0
x x0
a 2 x 02
2
2
a x0 H x0 ,
.
y0
x a a x 0 y0 y 0
y y
0
2x 0 3a 2 3x 02 y 02
;
6y 0
3
Trung điểm K
.
Điểm K thuộc đường thẳng BC: y 0 khi và chỉ khi:
3a 2 3x02 y02
x02 y02
2
2
2
0 3a 3x0 y0 0 2 2 1
6 y0
a 3a
(y0 ≠ 0).
x2 y 2
Vậy tập hợp A là hypebol 2 2 1 bỏ đi hai điểm B, C.
a 3a
Ví dụ 2
Cho đoạn thẳng AB cố định. M là điểm di động (M khác A và B). H là
MH 2
k , k > 0.
hình chiếu của M trên AB. Tìm tập hợp điểm M biết
HAHB
Lời giải:
Chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho tia Ox qua A và B, Oy là đường trung trực
của đoạn AB.
39
Giả sử AB 2a (a > 0). Khi đó A(-a, 0), B(a, 0).
Gọi M(xM, yM) H(xM, 0).
Ta có : MH
2
xM xM
HA
xM a
HB
xM a
2
2
y yM2
2
M
2
2
2
2
yM
y
MH 2
k 2 M 2 k
Theo giả thiết ta có
k
xM a
xM a xM a
HAHB
kxM2 ka 2 yM2
xM2 yM2
1.
a 2 b2
x2 y 2
Vậy tập hợp điểm M là hypebol có phương trình dạng: 2 2 1 (k > 0).
a ka
Ví dụ 3
Cho (H):
x2 y 2
1 (0< a< b). Đường thẳn (d) đi qua điểm M cố định
a 2 b2
không thuộc hai đường tiệm cận của (H) và cắt (H) tại A, B. Chứng minh rằng
trung điểm của AB chạy trên một hypebol cố định.
40
Lời giải:
x x0 xM x0 t
,t R
y
y
y
y
t
0 M
0
Giả sử M(xM, yM) và (x0, y0). Khi đó:
x x0 xM x0 t
Xét sự tương giao giữa (d) và (H) là: y y0 yM y0 t
2 2
2 2
2 2
b x a y a b
2
2
2
xM x0 b2 yM y0 a 2 t 2 2 xM x0 x0b2 yM y0 y0a 2 t x02b2 y02a 2 a 2b 2 0
(1)
Vì (d) (H) = A, B nên (1) có 2 nghiệm tA, tB thoả mãn:
2
2 xM x0 x0b 2 yM y0 y0 a 2
t t
A
B
2
2
2
xM x0 b yM y0 a
x02 y02 a 2 a 2b 2
t A t B
2
xM x0 b2 yM y0 a 2
Vì là trung điểm của AB nên ta có:
2 x0 x0 xM x0 t A x0 xM x0 t B
2 x0 xA xB
2
y
y
y
A
B
0
2 y0 y0 yM y0 t A y0 yM y0 t B
t A tB 0 xM x0 x0b2 yM y0 y0 a 2 0
2
2
2
xM
yM
x
y
0
0
xM2 yM2
2
2
2 2 .
a2
b2
a
b
4
4
Vậy tập hợp trung điểm của AB là một hypebol có phương trình dạng:
2
2
xM
yM
x
y
xM2 yM2
2
2
2 2 .
a2
b2
a
b
4
4
41
(2)
Ví dụ 4
2
2
Cho (C): x y 1 . (C) cắt Oy tại các điểm A(0, 1), B(0, -1). Đường
thẳng y = m (-1 < m < 1, m ≠ 0) cắt (C) tại T và S. Đường thẳng qua A và T
cắt đường thẳng qua B và S tại P. Tìm tập hợp điểm P.
Lời giải:
Đặt S x0 , y0 T x0 , y0 .
Phương trình đường thẳng AT:
x
y 1
x y0 1 x0 y x0 .
x0 y0 1
Phương trình đường thẳng BS:
x
y 1
x y0 1 x0 y x0 .
x0 y0 1
Toạ độ của P là nghiệm của hệ phương trình sau:
x
x y0 1 x0 y x0
x
y
1
x
y
x
0
0
0
y
42
x0
y0
1
y0
2
Vì S x0 , y0
2
x
1
2
2
(C) x y 1 0 1 x 1 y .
y0
y0
2
0
2
0
2
2
Suy ra P thuộc hypebol y x 1,( x 0).
2
2
Vậy tập hợp điểm P là một hypebol có phương trình: y x 1,( x 0).
2.2.2.5. Tập hợp điểm dạng Parabol
Ví dụ 1
Cho Parabol (P) và đường thẳng (d) có phương trình lần lượt là (P):
y
1 2
x
2 ; (d): 2mx – 2y + 1 = 0. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, (d)
luôn đi qua tiêu điểm F của (P) và cắt (P) tại 2 điểm phân biệt M,N. Tìm tập
hợp trung điểm của MN.
Lời giải:
1
1
y tiêu điểm F 0, .
Ta có (P): y x 2 x 2 2có
2
2
1
1
Ta thấy F 0, 2 (d) vì 2m.0 2. 1 0, m
2
Toạ độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ sau:
x2
y
x 2 2mx 1 0
2
2mx 2 y 1 0
(1)
Ta có ’ = m2 + 1 > 0 m (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy (P) luôn cắt (d) tại 2 điểm phân biệt M(xM, yM), N(xN, yN) có hoành độ
thoả mãn:
xM xN 2m
xM .x N 1
Vì là trung điểm của MN nên ta có:
43
1
x
xM xN
2
y mx 1
2
x m
1
2
1 y x .
2
(vì MN)
y mx 2
Vậy tập hợp trung điểm của đoạn MN thuộc parabol có phương trình
1
2
dạng y x .
2
Ví dụ 2
Cho đường tròn (O’, R), đường thẳng (d) tiếp xúc với đường tròn (O’) tại
A. Điểm M di động trên mặt phẳng, B là hình chiếu của M trên (d) và C là
tiếp điểm của tiếp tuyến vẽ từ M đến đường tròn (O’) sao cho MB = MC. Tìm
tập hợp điểm M.
Lời giải:
Chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho O trùng với A, tia Ox đi qua O’, đường
thẳng (d) là trục Oy.
Giả sử M(xM, yM) ta có: MB = MC
MB2 = MC2
' 2
MB2 O' M 2 OC
' 2
MB2 O' H 2 MH 2 OC
44
xM2 R xM yM2 R 2
2
xM2 xM2 2RxM yM2
yM2 2RxM .
Vậy tập hợp M là parabol có phương trình dạng y2 = 2px.
Ví dụ 3
Cho (P): y2 = 2px. Đường thẳng (d) đi qua điểm M cố định không thuộc
(P) và cắt (P) tại A và B. Chứng minh rằng trung điểm I của AB chạy trên
một parabol cố định.
Lời giải:
Giả sử M(xM, yM) và (x0, y0). Khi đó (d) có phương trình dạng:
x x0 xM x0 t
y y0 yM y0 t
,tR
x x0 xM x0 t
y y0 yM y0 t
Xét sự tương giao giữa (P) và (d) là:
2
y 2 px
yM y0 t 2 2 yM y0 y0 p xM x0 t y02 2 px0 0
2
Vì (d) (P) = A, B nên (1) có 2 nghiệm tA, tB thoả mãn:
2 xM x0 p yM y0 y0
t A t B
2
yM y0
y02 2 px0
t A t B y y 2
M 0
Vì là trung điểm của AB nên ta có:
45
(1)
2 x0 x0 xM x0 t A x0 xM x0 t B
2 x0 xA xB
2
y
y
y
A
B
0
2 y0 y0 yM y0 t A y0 yM y0 t B
t A tB 0
xM x0 p yM y0 y0 0
xM x0 p y02 yM y0 0
2
yM
yM2
y0
.
x0 xM p
2
4
(2)
Vậ tập hợp trung điểm của AB là một hypebol có phương trình dạng:
2
yM
yM2
.
y
x xM p
2
4
2.2.2.6. Bài tập đề nghị
Bài tập 1: Cho đường tròn (C) có tâm I(1,2) và bán kính R = 3. Lập phương
trình tập hợp các điểm M từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) tạo với nhau
góc 600.
Bài tập 2: Cho hai điểm A(-a, 0) và B(a,0) với a > 0.
a. Tìm tập hợp các điểm M sao cho OM2 = MA.MB.
b. Tìm tập hợp điểm N sao cho các đường thẳng AN và BN co tích hệ số
góc bằng k2.
Bài tập 3: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với Ox và cắt Oy tại điểm
(0, 1). Tìm tập hợp tâm đường tròn đó.
Bài tập 4: Cho đường d trên đó lấy một điểm A. Cho trước hai số dương a, b
sao cho a > b. Xét tất cả các điểm P, Q sao cho AP = a, AQ = b và đường
thẳng d là phân giác của PAQ . Ứng với mỗi cặp điểm P, Q xét điểm sao cho
AM AP AQ . Tìm tập hợp điểm M.
46
CHƢƠNG 3
MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM TRONG
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
3.1. Một số bài toán tìm tập hợp điểm bằng phƣơng pháp vectơ
3.1.1. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1
Cho đường tròn (O; R) và A1A2A3,với mỗi điểm M thuộc đường tròn
dựng điểm N sao cho MN MA1 MA2 MA3 . Tìm tập hợp điểm N.
Lời giải:
Gọi G là trọng tâm của A1A2A3 nên có 3OG OA1 OA2 OA3 .
Theo giả thiết ta có: MN MA1 MA2 MA3
MN MO OA1 MO OA2 MO OA3
MN 3MO OA1 OA2 OA3
MO ON 3MO 3OG
(1)
Đặt OK 3OG nên K cố định.
(1) 2MO ON OK
KN 2MO
KN 2 MO 2R mà K cố định.
Suy ra tập hợp những điểm N là đường tròn (K, 2R), K cố định xác định bởi
OK 3OG .
47
Ví dụ 2
Trong không gian cho hai thẳng (a), (b) chéo nhau. M, N là hai điểm lần lượt
di động trên (a) và (b). Tìm tập hợp các điểm I sao cho IM k IN với k là k
là hằng số và k ≠ 0, k ≠ 1.
Lời giải:
Lấy điểm A bất kì trên (a) và gọi a ( a 0 ) là vectơ chỉ phương của (a).
B là một điểm bất kì trên (b) và gọi b ( b 0 ) là vectơ chỉ phương của (b).
Gọi I0 là điểm chia đoạn AB theo tỉ số k hay I 0 A k I 0 B .
Vì M (a), N (b) nên có hai số thực m, n để:
AM ma, BN nb .
Với mọi I trong không gian ta có,
IM II 0 I 0 A AM I 0 I k I 0 B ma
IN II 0 I 0 B BM I 0 I I 0 B nb
Ta có IM k IN
I 0 I k I 0 B ma k I 0 I k I 0 B knb
1 k I 0 I ma knb
48
II 0
m
n
ak
b
1 k
k 1
I với là mặt phẳng qua I0 và nhận a , b làm cặp vectơ chỉ
phương hay là mặt phẳng song song với (a), (b).
Ví dụ 3
Trong không gian cho ba đường thẳng (p), (q), (r) đôi một cắt nhau và
cùng song song với mặt phẳng nào đó. A, B, C lần lượt là ba điểm di
động trên (p), (q), (r). Tìm tập hợp trọng tâm ABC.
Lời giải:
Chọn A0, B0, C0 là ba điểm cố định nào đó lần lượt trên ba đường thẳng (p),
(q), (r) và p , q , r ( p ≠ 0 , p ≠ 0 , r ≠ 0 ) tương ứng là các vectơ chỉ
phương của (p), (q), (r).
Do (p), (q), (r) đôi một chéo nhau và cùng song song với nên p , q , r
đồng phẳng nhưng từng đôi một không cùng phương.
Do đó có hai số thực m, n sao cho r m p nq .
Vì A p , B q ,C r nên luôn tìm được cặp số a, b, c:
A0 A a p
B0 B bq
C0C cr cm p cnq
Gọi G0 là trọng tâm của ABC sao cho G0 A0 G0 B0 G0C0 0.
Mặt khác: G0 A G0 A0 A0 A G0 A0 a p
G0 B G0 B0 B0 A G0 B0 bq
G0C G0C0 C0 A G0C0 cm p cbq.
49
Khi đó với mọi G trong không giant a có G0 là trọng tâm của ABC
1
G0G G0 A G0 B G0C
3
G0G
1
1
G0 A0 G0 B0 G0C0 a cm p b cn q
3
3
1
G0G a cm p b cn q
3
G0G với là mặt phẳng qua G0 và nhận p , q làm cặp
vectơ chỉ phương hay , cùng phương.
Suy ra tập hợp điểm G là mặt phẳng qua G0 cùng phương với đã cho.
3.1.2. Bài tập đề nghị
Bài tập 1: Cho tứ diện ABCD và M là một điểm di động trong không gian.
Tìm tập hợp điểm những điểm M sao cho
a. MA MB MC MD 4 MB MC MD
b. 3MA 2MB MC MD MB MA
Bài tập 2: Cho ba điểm A, B, C. Tìm tập hợp những điểm M trong không gian
thoả mãn hệ thức: AB.CM CB. AM .
3.2. Một số bài toán tìm tập hợp điểm sử dụng phƣơng pháp toạ độ
3.2.1. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1
Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh là a. Tìm tập hợp các điểm
trong không gian sao cho tổng các khoảng cách từ điểm đó đến các mặt đối
của ABCD.A1B1C1D1 là bằng nhau.
Lời giải:
Chọn hệ trục toạ độ Đecac vuông góc Oxyz sao cho O trùng với A.
Các điểm B, D, A1 lần lượt thuộc các trục Ox, Oy, Oz.
50
Khi đó: A(0, 0, 0); B(a, 0, 0); C(a, a, 0); D(0, a, 0)
A1(0, 0, a); B1(a, 0, a); C1(a, a, a); D1(0, a, a).
Lúc đó phương trình các mặt hình lập phương là:
(ABCD): z = 0
(A1B1C1D1): z = a
(ABB1A1): y = 0
(CDD1C1): y = a
(ADD1A1): x = 0
(BCC1B1): x = a
Với M(x, y, z) bất kì trong không gian thì khoảng cách từ M đến các mặt đối
của hình lập phương là:
d M , ABCD z
d M , A1B1C1 D1 z a
d M , ABB1 A1 y
d M , CDD1C1 y a
d M , ACC1 A1 x
d M , BCC1B1 x a
Điểm M thoả mãn điều kiện bài toán khi và chỉ khi:
x xa y ya
x xa z za
Suy ra tập hợp những điểm M bao gồm các điểm bên trong hình lập phương
và cả bề mặt cộng với phần bù của các đường chéo của hình lập phương này.
51
Ví dụ 2
Cho mặt phẳng (P) và hai điểm A, B cố định có hình chiếu trên (P) là A1,
B1. Giả sử AA1 = a, BB1 = b, CC1 = c. Điểm M biến thiên trong mặt phẳng (P)
sao cho MA, MB tạo những góc bằng nhau với (P). Tìm tập hợp những điểm M.
Lời giải:
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho O trùng với A1, B1 thuộc A1x, A thuộc A1z,
(P) trùng với (xOy).
Khi đó A1(0, 0, 0); A(0, 0, a); B1(c, 0, 0); B(c, 0, b).
Điểm M (P) M(x, y, 0).
Ta có
MA x, y, a
MB x c, y, b
Từ giả thiết MA, MB tạo những góc bằng nhau với (P) ta được:
a
x2 y 2 a2
b
x c
2
y 2 b2
a 2 b2 x 2 a 2 b2 y 2 2ca 2 x a 2c 2 0
52
(1)
Trường hợp 1: Nếu a = b thì (1) có dạng: 2 xc c2 0 2 x c 0 .
Suy ra tập hợp những điểm M thuộc đường thẳng (d) có dạng 2 x c 0 trong
(xOy).
Trường hợp 1: Nếu a ≠ b thì (1) có dạng:
2ca 2 x
a 2c 2
x y 2
0.
a b2 a 2 b2
2
2
a 2c
Suy ra tập hợp những điểm M thuộc đường tròn tâm I 2
,0
bán kính
2
a
b
R
a
a 4c 2
2
b2
2
a 2c 2
trong (xOy).
a 2 b2
Ví dụ 3
Cho hai đường thẳng (d1), (d2) cố định chéo nhau và vuông góc với nhau.
Đoạn thẳng MN có độ dài không đổi với 2 đầu mút nằm trên hai đường thẳng
(d1), (d2). Tìm tập hợp trung điểm I của MN.
Lời giải:
Giả sử d((d1), (d2)) = a và MN = d (d > a).
x u
Ta có (d1): y 0
z 0
,uR
x 0
(d2): y t
z a
,tR
Do M (d1), N (d2) nên M(u, 0, 0) và N(0, t, a)
MN u, t , a
d 2 MN 2 u 2 t 2 a 2
(1)
Vì I là trung điểm của MN nên toạ độ của I là:
53
u
x
2
u 2 x
t
y t 2 y
2
a
a
z
2
z 2
(2)
Thay (2) vào (1) ta được:
a
z 2
2
2
x2 y 2 d a
4
d 2 a2
a
Suy ra tập hợp điểm I thuộc đường tròn tâm E 0,0, bán kính R
2
2
a
trong (P): z .
2
3.2.2. Bài tập đề nghị
Bài tập 1: Cho tứ diện OABC vuông ở O có OA = a, OB = b, OC = c. Ba
điểm A, B, C di động sao cho a +b +c = 3l (l là hằng số). Tìm tập hợp tâm của
hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Bài tập 2: Cho ba điểm cố định A, B, C. Tìm tập hợp những điểm M sao cho
a.AM2 b.BM 2 c.CM2 d với a, b, c cho trước thoả mãn: a + b +c = 0.
3.3. Một số bài toán tìm tập hợp điểm sử dụng phƣơng pháp khác.
3.3.1. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1
Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Một điểm M thay đổi trên đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A ( M ≠ A). Tìm tập hợp trọng tâm G và
trực tâm H của MBC.
Lời giải:
54
Gọi E là trung điểm của BC.
Trên ME lấy G sao cho MG = 2GE.
Khi đó G là trọng tâm của MBC.
Trong AME kẻ GD
MA (D nằm trên AE) thì D là trọng tâm của ABC
(bởi vậy D cố định) và DG
MA.
G nằm trên đường thẳng vuông góc với (ABC) tại trọng tâm D của tam
giác này (không kể điểm D).
Quỹ tích trực tâm H của MBC.
Do AB = AC nên MB = MC. Từ đó ME BC. Bởi vậy H nằm trên ME.
55
Gọi O là trực tâm của ABC thì O nằm trên AE.
Ta có BC (MAE) BC OH
(1)
Mặt khác: CO AB CO MB
Lại có: CH MB nên MB (COH) MB OH (2)
Từ (1) và (2) OH (MBC) OH HE.
H nằm trên đường tròn đường kính OE (không kể O, E) trong mặt phẳng
trung trực của BC.
Ngược lại, từ OH HE H là trực tâm của MBC.
Vậy tập hợp trực tâm H là đường tròn đường kính OE (không kể O, E) trong
mặt phẳng trung trực của BC.
Ví dụ 2
Ba tia Ox, Oy, Oz từng đôi một tạo thành góc 600. Trên ba tia đó lấy lần lượt
các điểm A, B, C sao cho OA = OB không đổi và C di động trên Oz. Tìm tập
hợp chân H của đường vuông góc hạ từ O xuống (ABC).
Lời giải:
Giả sử OA = OB = a.
Gọi M là trung điểm của AB thì AB (OMz).
Do M là điểm cố định nên (OMz) cố định.
56
Kẻ OH (ABC) thì OH (OMz) và OHM = 900.
H thuộc đường tròn đường kính OM trong (OMz).
Do C thay đổi trên tia Oz nên H chỉ thuộc cung OMN (không kể các điểm O,
N) của đường tròn trên, ở đó N là giao điểm thứ hai của đường thẳng Mz ' với
đường tròn đó.
Đảo lại, trên cung tròn nói trên lấy một điểm H tuỳ ý.
Nối MH cắt Oz tại C.
Do AB (MOz) nên AB OH.
Lại có: MH OH OH (ABC).
Vậy tập hợp những điểm H là cung tròn OMN nói trên.
3.3.2. Bài tập đề nghị
Bài tập 1: Cho ABC và hình bình hành BCDE nằm trong hai mặt phẳng
khác nhau. Trên cạnh BC ta lấy điểm M. Mặt phẳng (P) đi qua M và giao
tuyến hai mặt phẳng (ACD), (ABE) cắt DE tại N. Tìm tập hợp trọng tâm
AMN.
Bài tập 2: Cho tứ diện ABCD.Hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AB
AM
AN
. Một mặt phẳng (P) thay đổi luôn luôn đi qua MN,
và AC sao cho
AB
AC
cắt CD và BD lần lượt tại E và F.
a. Tìm quĩ tích giao điểm I của ME và NF.
b. Tìm quĩ tích giao điểm J của MF và NE.
Bài tập 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là hai điểm di động lần lượt trên các
IA JB
.
cạnh AD, BC sao cho luôn có:
ID JC
a. Chứng minh rằng: IJ luôn song song với một mặt phẳng cố định.
b. Tìm tập hợp điểm M chia đoạn IJ theo tỉ số k cho trước.
57
KẾT LUẬN
Khoá luận đã hệ thống hoá các vấn đề liên quan tới bài toán tìm tập hợp
điểm thông qua phương pháp chung và các ví dụ minh hoạ của từng dạng toán
nhằm bước đầu giúp học sinh biết đưa ra cách giải phù hợp cho các bài toán
tìm tập hợp điểm.
Mặc dù đã cố gắng nhưng chắc chắn khoá luận không tránh khỏi những
thiếu sót. Kính mong các thầy cô tận tình chỉ dạy, các bạn sinh viên góp ý để
khoá luận ngày càng hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
58
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Hà Văn Chương (2006), Tuyển chọn 400 bài toán hình học 10, NXB
Đại học Quốc gia Hà Nội.
2. Văn Như Cương (2011), Bài tập hình học 10 nâng cao, NXB Giáo Dục.
3. Nguyễn Văn Lộc (2007), Phương pháp vec tơ trong giải toán hình học
phẳng, NXB Giáo Dục.
4. Nguyễn Tiến Quang (2007), Bài tập hình học 10 cơ bản và câng cao,
NXB Đại học Sư phạm.
5. Các bộ sách giáo khoa 10,11.
59
[...]... tham số tiêu của parabol Phương trình chính tắc của parabol: y2 = 2px, p > 0 8 CHƢƠNG 2 MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM TRONG HÌNH HỌC PHẲNG 2.1 Một số bài toán tìm tập hợp điểm bằng phƣơng pháp vectơ 2.1.1 Lớp bài toán tìm tập hợp điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ 2.1.1.1 Phƣơng pháp chung Để tìm tập hợp điểm thoả mãn một đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ đó để đưa về các tập hợp điểm. .. lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ của các điểm cần thiết Thiết lập biểu thức giải tích cho đối tượng cần tìm tập hợp điểm Từ đó suy ra tập hợp của nó Với dạng toán này cần lưu ý các tập hợp điểm cơ bản sau: Tập hợp điểm dạng đường thẳng Tập hợp điểm dạng đường tròn Tập hợp điểm dạng Elip Tập hợp điểm dạng Hypebol Tập hợp điểm dạng Parabol 2.2.2 Các dạng tập hợp điểm cơ bản giải đƣợc bằng... ms Từ đó suy ra: k 18 ms 0 thì tập hợp các điểm M là đường tròn tâm G, bán kính k • Nếu r ms k • Nếu m s 0 thì tập hợp các điểm M là một điểm G • Nếu ms 0 thì tập hợp các điểm M là tập rỗng k 2.1.2.3 Bài tập đề nghị Bài tập 1: Cho ABC Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn: a MA MB 2MB MC 0 2 b 2MA MA.MB MA.MC Bài tập 2: Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn: MA2 MB2 MC 2... lên AB và AC Bài tập 3: Cho ABC, BC = a, CA = b, AB = c Tìm tập hợp điểm M thoả mãn 2MA2 2MB2 MC 2 l 2.2 Một số bài toán tìm tập hợp điểm bằng phƣơng pháp toạ độ 2.2.1 Phƣơng pháp chung Trong mỗi bài toán tìm tập hợp có 2 yếu tố: yếu tố cố định và yếu tố chuyển động, bằng phương pháp toạ độ ta tìm ra mối liên hệ giữa các yếu tố 25 đó Dựa vào đó ta có thể kết luận tập hợp của điểm cần tìm Ta thường... ABC Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn: a MA 1 k MB k MC 0 , k R b v MA MB 2MC cùng phương với BC Bài tập 2: Cho ABC Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn: 2MA 3MB 3MB 2MC a b 3MA 2MB MC MB MA Bài tập 3: Cho ABC, các điểm M, N, P di động trên các cạnh BC, CA, AB sao cho MB PA NC Dựng hình bình hành MNPQ Tìm tập hợp những MC PB NA điểm Q 2.1.2 Lớp bài toán tìm tập hợp. .. Tập hợp điểm là đƣờng tròn Tập hợp những điểm cách đều một điểm cố định cho trước một khoảng cho trước là đường tròn tâm O bán kính R Tập hợp những điểm luôn nhìn hai đầu của một đoạn thẳng cố định cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB 1.3.3 Tập hợp điểm là Elip Cho hai điểm cố định F1, F2 Đường elip là tập hợp các điểm M(x,y) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai điểm F1 và... IA2 IB 2 ta có kết luận sau: • Nếu m < 0 thì tập hợp điểm M là tập rỗng • Nếu m = 0 thì tập hợp điểm M là 1 điểm chính là điểm I • Nếu m > 0 thì tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính R m Ví dụ 4 Cho ABC Tìm tập hợp điểm M thoả mãn: MA2 MB2 MC 2 k (1) (k là số không đổi cho trước) trong hai trường hợp sau : a 0 b 0 Lời giải: a Gọi I là... 2 4 2 a 3 MG 2 a 3 Ta thấy vế phải là số dương không đổi nên M thuộc đường tròn tâm G bán kính R 2 a 3 Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm G bán kính R 2 a 3 2.1.3.3 Bài tập đề nghị Bài tập1 : Cho tam giác ABC Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn: MA2 MB2 MC 2 AB2 BC 2 Bài tập 2: Cho ABC có góc A nhọn và trung tuyến AI Tìm tập hợp những điểm M di động trong góc BAC sao cho AB.AH ... với A, B, C, D là bốn điểm cố định cho trước Bài tập 3: Cho ABC, biện luận theo tập hợp những điểm M thoả mãn: MA.MB MB.MA MC.MA k 2.1.3 Lớp bài toán tìm tập hợp điểm M thoả mãn đẳng thức về độ dài 2.1.3.1 Phƣơng pháp chung 2 2 Ở dạng toán này chúng ta sử dụng kết quả: a a.a a 2.1.3.2 Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1 Cho ABC có góc A nhọn và trung tuyến AI Tìm tập hợp những điểm M 2 di động trong... Tập hợp các điểm cách đều hai cạnh của một góc là tia phân giác của góc đó Tập hợp những điểm cách đều một đường thẳng cố định cho trước một khoảng cho trước là hai đường thẳng song song với đường thẳng đã cho và cách đường thẳng đó một khoảng cho trước Tập hợp những điểm cách đều hai đường thẳng song song cho trước là một đường thẳng song song và nằm cách đều hai đường thẳng đã cho 1.3.2 Tập hợp ... tìm tập hợp điểm Từ suy tập hợp Với dạng toán cần lưu ý tập hợp điểm sau: Tập hợp điểm dạng đường thẳng Tập hợp điểm dạng đường tròn Tập hợp điểm dạng Elip Tập hợp điểm dạng Hypebol Tập hợp điểm. .. Một số toán tìm tập hợp điểm hình học phẳng Chương 3: Một số toán tìm tập hợp điểm hình học không gian CHƢƠNG KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1.1 Những vấn đề toán tìm tập hợp điểm 1.1.1 Định nghĩa tập hợp. .. KHÔNG GIAN 47 3.1 Một số toán tìm tập hợp điểm phương pháp vectơ 47 3.2 Một số toán tìm tập hợp điểm phương pháp toạ độ 50 3.3 Một số toán tìm tập hợp điểm phương pháp khác 54
Ngày đăng: 05/10/2015, 16:05
Xem thêm: Một số bài toán tìm tập hợp điểm, Một số bài toán tìm tập hợp điểm
