0

sổ tay đại số và giải tích 10, 11, 12

106 2,268 2
  • sổ tay đại số và giải tích 10, 11, 12

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 05/10/2015, 00:45

NGUYỄN THANH TRIỀU✍✍✍✍✍SỔ TAY ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH10 - 11 - 12Tháng 06 - 2014 ETS.NMục lục........................................................................1111111112121315152 Hàm số bậc nhất và bậc hai2.1 Khái niệm cơ bản về hàm số . . . . . . .2.1.1 Ánh xạ . . . . . . . . . . . . . .2.1.2 Khái niệm hàm số . . . . . . . .2.1.3 Đồ thị của hàm số . . . . . . . .2.1.4 Các tính chất cơ bản của hàm số2.2 Hàm số bậc nhất . . . . . . . . . . . . .2.2.1 Hàm số bậc nhất . . . . . . . . .2.2.2 Hàm số hằng y ✏ b với b € R . .2.2.3 Hàm số y ✏ ⑤x⑤ . . . . . . . . . .2.3 Hàm số bậc hai . . . . . . . . . . . . . .2.3.1 Cơ bản về hàm số bậc hai . . . .2.3.2 Đồ thị . . . . . . . . . . . . . . .2.3.3 Bảng biến thiên . . . . . . . . . .2.3.4 Cách vẽ đồ thị . . . . . . . . . .................................................................................................................171717181919202020212121212222................VIETMATH1 Mệnh đề và tập hợp1.1 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . .1.2 Tập hợp . . . . . . . . . . . . . . .1.2.1 Các tập hợp số . . . . . . .1.2.2 Phần tử của tập hợp . . . .1.2.3 Các tập hợp con của R . . .1.2.4 Các phép toán với tập hợp1.3 Số gần đúng - Sai số . . . . . . . .1.4 Giới thiệu lý thuyết tập hợp . . . .3 4MỤC LỤC3 Phương trình và hệ phương trình233.1 Đại cương về phương trình . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . 233.1.2 Phương trình tương đương và phương trình hệquả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.1.3 Biến đổi tương đương các phương trình . . . . 243.2 Phương trình qui về bậc nhất, bậc hai . . . . . . . . . 253.2.1 Giải và biện luận phương trình bậc nhất . . . . 253.2.2 Giải và biện luận phương trình bậc hai . . . . . 253.2.3 Định lý về tổng và tích hai nghiệm của phươngtrình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2.4 Phương trình trùng phương . . . . . . . . . . . 263.2.5 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối . . . . 263.2.6 Phương trình chứa dấu căn thức . . . . . . . . 273.3 Phương trình, hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn . . . 293.3.1 Phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . . 293.3.2 Hệ hai phương trình bậc nhất 2 ẩn . . . . . . . 293.3.3 Dạng tam giác của hệ 3 phương trình bậc nhấtba ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3.4 Hệ ba phương trình bậc nhất 3 ẩn . . . . . . . 293.3.5 Một số hệ phương trình khác . . . . . . . . . . 304 Bất đẳng thức và bất phương trình314.1 Bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.1.2 Các tính chất bất đẳng thức cơ bản . . . . . . 314.1.3 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối . . . 324.1.4 Bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . . . . . 324.1.5 Bất đẳng thức Bunhiacopski . . . . . . . . . . 334.1.6 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một hàm số . . 334.2 Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn . . . 344.2.1 Điều kiện của một bất phương trình . . . . . . 344.2.2 Hai bất phương trình (hệ bất phương trình)tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2.3 Các phép biến đổi bất phương trình . . . . . . 34 MỤC LỤC.........S.N4.54.2.4 Chú ý . . . . . . . . . . . . . . . . .Dấu của nhị thức bậc nhất . . . . . . . . .Bất phương trình bậc nhất 2 ẩn . . . . . . .4.4.1 Bất phương trình bậc nhất 2 ẩn . .4.4.2 Hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn .4.4.3 Bài toán tối ưu trong kinh tế . . . .Dấu của tam thức bậc hai . . . . . . . . . .4.5.1 Định lý về dấu của tam thức bậc hai4.5.2 Một số điều kiện tương đương . . . .....................................ET4.34.45TMATH5 Thống kê5.1 Bảng phân bố tần số và tần suất . . . . . . .5.1.1 Tần số và tần suất của một giá trị . .5.1.2 Tần số và tần suất của một lớp . . . .5.2 Số trung bình cộng . . . . . . . . . . . . . . .5.2.1 Số trung bình cộng . . . . . . . . . . .5.2.2 Số trung vị . . . . . . . . . . . . . . .5.2.3 Mốt . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2.4 Chọn đại diện cho các số liệu thống kê5.3 Phương sai và độ lệch chuẩn . . . . . . . . . .5.3.1 Công thức tính phương sai . . . . . .5.3.2 Ý nghĩa và cách sử dụng phương sai .5.3.3 Độ lệch chuẩn . . . . . . . . . . . . . .........................VIE6 Cung và góc lượng giác6.1 Cung và góc lượng giác . . . . . . . . . . . . . .6.1.1 Quan hệ giữa độ và radian . . . . . . . .6.1.2 Độ dài của cung tròn . . . . . . . . . . . .6.1.3 Số đo của cung lượng giác . . . . . . . . .6.1.4 Biểu diễn cung lượng giác . . . . . . . . .6.2 Giá trị lượng giác của một cung . . . . . . . . . .6.2.1 Các kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . .6.2.2 Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản . .6.2.3 Giá trị lượng giác của các cung đối nhau .6.2.4 Giá trị lượng giác của các cung bù nhau .6.2.5 Giá trị lượng giác của các cung phụ nhau.......................................................353535353636373737............39393939404040404141414242...........434343434344444446464646 6MỤC LỤC6.36.2.6Công6.3.16.3.26.3.36.3.46.3.56.3.66.3.76.3.8Giá trị lượng giác của các cung hơn kémthức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . .Công thức cộng . . . . . . . . . . . . . .Công thức nhân đôi . . . . . . . . . . .Công thức nhân ba . . . . . . . . . . . .Công thức hạ bậc . . . . . . . . . . . . .Công thức tính theo t ✏ tan x2 . . . . . .Công thức tổng thành tích . . . . . . .Công thức tích thành tổng . . . . . . .Một số công thức khác . . . . . . . . . .π. .. .. .. .. .. .. .. .. .....................464646474747474748487 Hàm số lượng giác497.1 Hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497.1.1 Hàm số sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497.1.2 Hàm số cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507.1.3 Hàm số tang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517.1.4 Hàm số cotang . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517.2 Phương trình lượng giác cơ bản . . . . . . . . . . . . . 537.2.1 Phương trình cơ bản theo sin . . . . . . . . . . 537.2.2 Phương trình cơ bản theo cos . . . . . . . . . . 537.2.3 Phương trình cơ bản theo tan . . . . . . . . . . 547.2.4 Phương trình cơ bản theo cot . . . . . . . . . . 557.3 Phương trình lượng giác thường gặp . . . . . . . . . . 557.3.1 Phương trình lượng giác đưa về dạng đại số . . 557.3.2 Phương trình bậc nhất đối với sin và cos . . . . 567.3.3 Phương trình chứa tổng (hay hiệu) và tích củasin và cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567.3.4 Phương trình đẳng cấp đối với sin va cos . . . 577.4 Giới thiệu về lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . 578 Tổ hợp và xác suất8.1 Quy tắc đếm . . . . . . . .8.1.1 Quy tắc cộng . . . .8.1.2 Quy tắc nhân . . . .8.2 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp8.2.1 Hoán vị . . . . . . ............................................................................595959606060 MỤC LỤC8.4.............................................S.N8.58.2.2 Chỉnh hợp . . . . . . . . . . .8.2.3 Tổ hợp . . . . . . . . . . . . .Nhị thức Newton . . . . . . . . . . .8.3.1 Công thức nhị thức Newton .8.3.2 Các tính chất . . . . . . . . .Lý thuyết cơ bản về xác suất . . . .8.4.1 Phép thử và biến cố . . . . .8.4.2 Xác suất của biến cố . . . . .Giới thiệu về xác suất thống kê toán....................................ET8.37606161616162626263................................................................................656566666767686868696969696970707010 Giới hạn10.1 Giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . .10.1.1 Giới hạn hữu hạn . . . . . . . . . . . . .10.1.2 Giới hạn vô cực . . . . . . . . . . . . . .10.1.3 Các giới hạn đặc biệt . . . . . . . . . . .10.1.4 Định lý về giới hạn hữu hạn . . . . . . .10.1.5 Liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và vô cực10.1.6 Cấp số nhân lùi vô hạn . . . . . . . . .............................7171717172727272................................................VIETMATH9 Dãy số9.1 Phương pháp quy nạp toán học .9.2 Dãy số . . . . . . . . . . . . . . .9.2.1 Cơ bản về dãy số . . . . .9.2.2 Cách cho một dãy số . . .9.2.3 Dãy số tăng, dãy số giảm9.2.4 Dãy số bị chặn . . . . . .9.3 Cấp số cộng . . . . . . . . . . . .9.3.1 Cơ bản về cấp số cộng . .9.3.2 Số hạng tổng quát . . . .9.3.3 Tính chất . . . . . . . . .9.3.4 Tổng n số hạng đầu . . .9.4 Cấp số nhân . . . . . . . . . . . .9.4.1 Cơ bản về cấp số nhân . .9.4.2 Số hạng tổng quát . . . .9.4.3 Tính chất . . . . . . . . .9.4.4 Tổng n số hạng đầu . . .......................................................................... 8MỤC LỤC10.2 Giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . .10.2.1 Giới hạn hữu hạn . . . . . . . . .10.2.2 Giới hạn vô cực . . . . . . . . . .10.2.3 Các giới hạn đặc biệt . . . . . . .10.2.4 Các định lý về giới hạn hữu hạn10.2.5 Các quy tắc về giới hạn vô cực .10.3 Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . .10.3.1 Hàm số liên tục . . . . . . . . . .10.3.2 Các định lý . . . . . . . . . . . ................................................................11 Đạo hàm11.1 Các lý thuyết về đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . .11.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.1.2 Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa . . .11.1.3 Quan hệ giữa tính liên tục và sự có đạo hàm11.1.4 Ý nghĩa hình học của đạo hàm . . . . . . . .11.1.5 Ý nghĩa vật lý của đạo hàm . . . . . . . . . .11.2 Các qui tắc tính đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . .11.2.1 Các công thức . . . . . . . . . . . . . . . . .11.2.2 Bảng các đạo hàm cơ bản . . . . . . . . . . .11.3 Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..........737373747475767676..........777777777878787878798012 Khảo sát hàm số8112.1 Tính đồng biến - nghịch biến của hàm số . . . . . . . 8112.2 Cực trị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8112.3 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số . . . . . . . . . 8212.3.1 Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trênmột đoạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8212.3.2 Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên mộtkhoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8212.4 Đường tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8312.4.1 Đường tiệm cận đứng . . . . . . . . . . . . . . 8312.4.2 Đường tiệm cận ngang . . . . . . . . . . . . . . 8312.5 Các bước khảo sát hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . 8412.5.1 Sơ đồ khảo sát hàm số y ✏ f ♣xq . . . . . . . . 84 MỤC LỤC912.5.2 Tương giao của hai đồ thị . . . . . . . . . . . .12.6 Ứng dụng khảo sát hàm số trong bất đẳng thức . . . .............................................................................................................VIETMATHS.NET13 Lũy thừa và logarit13.1 Lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13.1.1 Lũy thừa với số mũ nguyên . . . . . .13.1.2 Căn bậc n . . . . . . . . . . . . . . . .13.1.3 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ . . . . . . .13.1.4 Lũy thừa với số mũ vô tỉ . . . . . . .13.1.5 Các tính chất lũy thừa . . . . . . . . .13.2 Hàm số lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . .13.2.1 Cơ bản về hàm số lũy thừa . . . . . .13.2.2 Tập xác định . . . . . . . . . . . . . .13.2.3 Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . .13.2.4 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . .13.2.5 Đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . .13.3 Logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13.3.1 Cơ bản về logarit . . . . . . . . . . . .13.3.2 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . .13.3.3 Các quy tắc tính . . . . . . . . . . . .13.3.4 Logarit thập phân và logarit tự nhiên13.4 Hàm số mũ và hàm số logarit . . . . . . . . .13.4.1 Hàm số mũ . . . . . . . . . . . . . . .13.4.2 Hàm số logarit . . . . . . . . . . . . .13.5 Phương trình mũ và phương trình logarit . .13.5.1 Phương trình mũ . . . . . . . . . . . .13.5.2 Phương trình logarit . . . . . . . . . .13.6 Bất phương trình mũ và logarit . . . . . . . .13.6.1 Bất phương trình mũ . . . . . . . . .13.6.2 Bất phương trình logarit . . . . . . . .13.7 Giới thiệu về logarit . . . . . . . . . . . . . ............................85868787878788888889898989899090909090919191929393939494959514 Nguyên hàm và tích phân9714.1 Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9714.1.1 Nguyên hàm và các tính chất . . . . . . . . . . 9714.1.2 Phương pháp tính nguyên hàm . . . . . . . . . 98 10MỤC LỤC14.1.3 Bảng các nguyên hàm cơ bản14.2 Tích phân . . . . . . . . . . . . . . .14.2.1 Tích phân và các tính chất .14.2.2 Phương pháp tính tích phân .14.2.3 Ứng dụng của tích phân . . ................15 Số phức15.1 Cơ bản về số phức . . . . . . . . . . . . .15.2 Các phép toán với số phức . . . . . . . . .15.3 Phương trình bậc hai với hệ số thực . . .15.4 Dạng lượng giác của số phức và ứng dụngTài liệu tham khảo................................................... 98. 99. 99. 100. 101....103103104104105....107 ETChương 1Mệnh đềTMATH1.1S.NMệnh đề và tập hợp1. Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai.2. Với mỗi giá trị của biến thuộc một tập hợp nào đó, mệnh đềchứa biến trở thành mệnh đề.3. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P ký hiệu là P , P đúng khi Psai và ngược lại.4. Mệnh đề kéo theo Pùñ Q chỉ sai khi Pđúng và Q sai.5. Ký hiệu ❅ (chữ A đảo ngược) đọc là “với mọi” hay “tất cả” xuấtphát từ tiếng anh là “All”.1.21.2.1VIE6. Ký hiệu ❉ (chữ E đảo ngược) đọc là “tồn tại” hay “có một” xuấtphát từ tiếng anh là “Exists”.Tập hợpCác tập hợp số1. Tập hợp các số thực ký hiệu là R, viết tắt của từ “Real” cónghĩa là “thực”.11 12CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP2. Tập hợp các số hữu tỉ ký hiệu là Q, viết tắt của từ “Quotient”trong tiếng Đức có nghĩa là “hữu tỉ” .3. Tập hợp các số nguyên ký hiệu là Z, viết tắt của từ “Zahlen”trong tiếng Đức có nghĩa là “số nguyên”.4. Tập hợp các số tự nhiên ký hiệu là N, viết tắt của từ “Natural”có nghĩa là “tự nhiên”.5. Ký hiệu “ ⑨” đọc là “chứa trong” hay “tập con”. Khi đó N ⑨ Z ⑨Q ⑨ R.1.2.2Phần tử của tập hợp1. a là một phần tử của tập hợp A viết là a € A, b không là phầntử của tập hợp A viết là b ❘ A.2. Tập hợp có thể có hữu hạn hoặc vô hạn phần tử. Tập hợp khôngcó phần tử nào là tập hợp rỗng, ký hiệu là ∅.1.2.3Các tập hợp con của R1. Các khoảng:(a) ♣a; bq ✏ tx € R ⑤ a ➔ x ➔ b✉(b) ♣a;  ✽q ✏ tx € R ⑤ a ➔ x ➔  ✽✉♣✁✽; bq ✏ tx € R ⑤ ✁ ✽ ➔ x ➔ b✉Đoạn: ra; bs ✏ tx € R ⑤ a ↕ x ↕ b✉(c)2.3. Các nửa khoảng:(a) ra; bq ✏ tx € R ⑤ a ↕ x ➔ b✉(b) ♣a; bs ✏ tx € R ⑤ a ➔ x ↕ b✉(c) ra;  ✽q ✏ tx € R ⑤ a ↕ x ➔  ✽✉(d)♣✁✽; bs ✏ tx € R ⑤ ✁ ✽ ➔ x ↕ b✉ 1.2. TẬP HỢP1.2.413Các phép toán với tập hợp1. Giao (intersection) của hai tập hợp A và B là ➇tập hợp gồm cácphần tử vừa thuộc A vừa thuộc B, ký hiệu A B. Như vậy➇B✏ tx ⑤ x € A và x € B ✉BTMATHAS.NA∩BETAVí dụ 1.2.1. At1, 2✉.✏ t0, 1, 2✉ và B ✏ t1, 2, 3✉, khi đó A ➇ B ✏Ví dụ 1.2.2. A ✏ ♣✁1; 1q và B✏ r0; 2q, khi đó A ➇ B ✏ r0; 1q.2. Hợp (union) của hai tập hợp A và B là tậphợp gồm các phần➈tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B, ký hiệu A B. Như vậy➈B✏ tx ⑤ x € A hoặc x € B ✉VIEAAA∪BB 14CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP✏ t0, 1, 2✉ và B ✏ t1, 2, 3✉, khi đó A ➈ B ✏Ví dụ 1.2.3. At0, 1, 2, 3✉.Ví dụ 1.2.4. A♣✁1; 2q.✏ ♣✁1; 1qvà B✏ r0; 2q,khi đó A➈B✏3. Hiệu (diffrence) của hai tập hợp A và B là tập hợp gồm cácphần tử thuộc A và không thuộc B, ký hiệu A③B. Như vậyA③B✏ tx ⑤ x € A và x ❘ B ✉A\BABVí dụ 1.2.5. A ✏ t0, 1, 2✉ và B4.✏ t1, 2, 3✉, khi đó A③B ✏ t0✉.Ví dụ 1.2.6. A ✏ ♣✁1; 1q và B ✏ r0; 2q, khi đó A③B ✏ ♣✁1; 0q.Khi A ⑨ B thì A③B gọi là phần bù (complement) của B trongA.5. Quan hệ giữa➈➇➇và➈➈➇➈(a) A ♣B C q ✏ ♣A B q ♣A C q.➇ ➈➇➈ ➇(b) A ♣B C q ✏ ♣A B q ♣A C q.6. Côngthức De - Morgan1 A➈A B1➈B✏ A ➇ B, và ngược lại A ➇ B ✏Augustus De Morgan (1806-1871) là nhà toán học và lôgic học người Anhsinh trưởng tại Ấn Độ. Định lý De Morgan là tiền đề cơ bản cho sự phát triểncủa ngành máy tính vì chỉ cần có hai cổng điện toán - cổng đảo dấu (NOT gate)và cổng và (AND gate) chẳng hạn - thì người ta có thể thiết lập nên bất kì mộtphép toán lô gic nào bằng tổ hợp của hai cổng điện toán trên. 1.3. SỐ GẦN ĐÚNG - SAI SỐ1.315Số gần đúng - Sai sốCho a là số gần đúng của số chính xác a, khi đó✏ ⑤a ✁ a⑤ gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a.Nếu ∆a ↕ d thì d được gọi là độ chính xác của số gần đúng avà quy ước viết gọn là a ✏ a ✟ d.2.ET1. ∆a1.4TMATHS.N3. Cách viết quy tròn số gần đúng căn cứ vào độ chính xác chotrước: Cho số gần đúng a với độ chính xác d (tức là a ✏ a ✟ d),khi được yêu cầu quy tròn số a mà không nói rõ quy tròn đếnhàng nào thì ta quy tròn a đến hàng cao nhất mà d nhỏ hơnmột đơn vị của hàng đó.Giới thiệu lý thuyết tập hợpVIELý thuyết tập hợp là ngành toán học nghiên cứu về tập hợp. Mặcdù bất kỳ đối tượng nào cũng có thể được đưa vào một tập hợp, lýthuyết tập hợp được dùng nhiều cho các đối tượng phù hợp với toánhọc.Sự nghiên cứu lý thuyết tập hợp hiện đại do Cantor và Dedekindkhởi xướng vào thập niên 1870. Sau khi khám phá ra các nghịch lýtrong lý thuyết tập không hình thức, đã có nhiều hệ tiên đề được đềnghị vào đầu thế kỷ thứ 20, trong đó có các tiên đề Zermelo–Fraenkel,với tiên đề chọn là nổi tiếng nhất. Tiên đề chọn là tiên đề khẳng địnhrằng với mỗi họ tập hợp tùy ý không rỗng và đôi một không giaonhau luôn tồn tại một tập hợp mà mỗi phần tử của nó là phần tửcủa một tập hợp trong họ tập hợp kia và phần tử đó là duy nhất.Tiên đề này được nhà toán học người Đức Ernst Zermelo phát biểunăm 1904 nên còn được gọi là tiên đề Xecmơlô.Ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp được dùng trong định nghĩa củagần như tất cả các đối tượng toán học, như hàm số, và các khái niệmlý thuyết tập hợp được đưa nhiều chương trình giảng dạy toán học.Các sự kiện cơ bản về tập hợp và phần tử trong tập hợp có thể đượcmang ra giới thiệu ở cấp tiểu học, cùng với sơ đồ Venn, để học về tập 16CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢPhợp các đối tượng vật lý thường gặp. Các phép toán cơ bản như hộivà giao có thể được học trong bối cảnh này. Các khái niệm cao hơnnhư bản số là phần tiêu chuẩn của chương trình toán học của sinhviên đại học.Lý thuyết tập hợp, được hình thức hóa bằng lôgic bậc nhất (firstorder logic), là phương pháp toán học nền tảng thường dùng nhất.Ngoài việc sử dụng nó như một hệ thống nền tảng, lý thuyết tập hợpbản thân nó cũng là một nhánh của toán học, với một cộng đồngnghiên cứu tích cực. Các nghiên cứu mới nhất về lý thuyết tập hợpbao gồm nhiều loại chủ đề khác nhau, từ cấu trúc của dòng số thựcđến nghiên cứu tính nhất quán của bản số lớn. ETChương 22.12.1.1TMATHS.NHàm số bậc nhất và bậchaiKhái niệm cơ bản về hàm sốÁnh xạ1. Ánh xạ. Cho X và Y là các tập hợp khác rỗng. Một ánh xạtừ X đến Y (ký hiệu là f ) là một quy tắc cho tương ứng mỗiphần tử x của X với một và chỉ một phần tử y của Y .ÝÑ Yx ÞÝÑ f ♣xq ✏ yXVIEf: X• y ✏ f ♣xq gọi là ảnhcủa phần tử x qua ánhxạ f .xYfy• X gọi là tập nguồn.• Y gọi là tập đích.2. Ánh xạ tích. Cho X, Y, Z là ba tập hợp khác rỗng. Xét hai17 18CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAIánh xạÝÑ Yx ÞÝÑ f ♣xq ✏ y € Yf: XÝÑ Zy ÞÝÑ g ♣y q ✏ z € Zg: YKhi đó, ánh xạ biến x € X thành z € Z gọi là ánh xạ tích từ Xđến Z qua f và g, ký hiệu là g ✆ f , như vậyg✆f: XÝÑ Zx ÞÝÑ ♣g ✆ f q♣xq ✏ g rf ♣xqs ✏ g ♣y q ✏ z € Zg✆fXxfZYgyzVí dụ 2.1.1. f ♣xq ✏ x2  x; g ♣y q ✏ 3y thì ♣g ✆f q♣xq ✏ g rf ♣xqs ✏g ♣x2   xq ✏ 3♣x2   xq ✏ 3x2   3x.2.1.2Khái niệm hàm số1. Một hàm số là một ánh xạ từ Xf như sau⑨ R đến Y ⑨ R. Xét hàm sốÝÑ Yx ÞÝÑ f ♣xq ✏ y € Yf: Xtrong đó• x gọi là biến số hay đối số của hàm f .• y ✏ f ♣xq gọi là giá trị của hàm số f tại giá trị x của biếnsố.• X gọi là tập xác định của hàm f . 2.1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ19• Y gọi là tập giá trị của hàm f .2. Một hàm số có thể được cho bằng: Bảng; biểu đồ; công thứchay đồ thị.ET3. Khi hàm số được cho bằng công thức mà không chỉ rõ tập xácđịnh thì ta quy ước tập xác định D của hàm số y ✏ f ♣xq là tậphợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f ♣xq có nghĩa.R③t1✉.2.1.3Đồ thị của hàm số✏ f ♣xq ✏ x ✁1 1S.NVí dụ 2.1.2. Tập xác định của hàm số ylà D✏2.1.4TMATHTrong hệ trục Oxy, đồ thị của hàm số y ✏ f ♣xq là tập hợp nhữngđiểm M ♣a; bq, trong đó a thuộc tập xác định của hàm số và b ✏ f ♣aq.Các tính chất cơ bản của hàm số1. Tính đơn điệu(a) Hàm số y ✏ f ♣xq gọi là đồng biến (hay tăng) trên khoảng♣a; bq nếuVIE(b)❅x1, x2 € ♣a; bq sao cho x1 ➔ x2 thì f ♣x1q ➔ f ♣x2qHàm số y ✏ f ♣xq gọi là nghịch biến (hay giảm) trênkhoảng ♣a; bq nếu❅x1, x2 € ♣a; bq sao cho x1 ➔ x2 thì f ♣x1q → f ♣x2q2. Tính chẳn lẻ(a) Hàm số y ✏ f ♣xq với tập xác định D (viết tắt của từ“domain” nghĩa là “xác định”) gọi là hàm số chẵn nếu❅x € D thì ✁ x € D và f ♣✁xq ✏ f ♣xqĐồ thị hàm số chẵn nhận trục tung Oy làm trục đối xứng. 20CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI(b) Hàm số y✏ f ♣xq với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu❅x € D thì ✁ x € D và f ♣✁xq ✏ ✁f ♣xqĐồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.➓ Chú ý: Có những hàm số không chẵn mà cũng không lẻ, vídụ hàm y ✏ x   1.2.22.2.1Hàm số bậc nhấtHàm số bậc nhất1. Hàm số bậc nhất có dạng y2. Tập xác định D✏ ax   b với a ✘ 0.✏ R.3. Bảng biến thiênx✁✽a→0 ✽ ✽yx✁✽ ✽a➔0 ✽y✁✽✁✽4. Đồ thị là một đường thẳng không song song và không trùng vớicác trục tọa độ.5. Để vẽ đường thẳng y ✏ ax   b chỉ cần xác định hai điểm khácnhau thuộc đường thẳng đó.2.2.2Hàm số hằng y ✏ b với b P R1. Tập xác định D✏ R. 2.3. HÀM SỐ BẬC HAI212. Hàm số hằng là hàm số chẵn.2.2.3ET3. Đồ thị là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoànhvà cắt trục tung tại điểm có tọa độ ♣0; bq.Hàm số y ✏ ⑤x⑤2. Hàm số y✏ R.S.N1. Tập xác định D✏ ⑤x⑤ là hàm số chẵn.2.32.3.1Hàm số bậc haiCơ bản về hàm số bậc haiHàm số bậc hai y2.3.2TMATH3. Hàm số đồng biến trên khoảng ♣0;  ✽q và nghịch biến trênkhoảng ♣✁✽; 0q.Đồ thị✏ ax2   bx   c với a ✘ 0 có tập xác định D ✏ R.Đồ thị của hàm số bậc hai y✁b ; ✁∆ ✡ .VIE✂✏ ax2   bx   c là một đường parabol có1. Đỉnh là điểm I2a4a2. Trục đối xứng là đường thẳng x ✏✁b .2a3. Parabol này quay bề lõm lên trên nếu abề lõm xuống dưới nếu a ➔ 0 (hình 2.2).→ 0 (hình 2.1), quay 22CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAIyy✁∆✁b2a4axOO✁∆✁bx2a4aHình 2.1: Parabol ybx   c với a → 0.2.3.3x✏ ax2  Hình 2.2: Parabol ybx   c với a ➔ 0.Bảng biến thiên✁✽a➔0✁b ✽2ax✁∆4ay✁✽ ✽a→0✁b2a ✽ ✽✁∆y✁✽2.3.4✏ ax2  ✁✽4aCách vẽ đồ thịĐể vẽ đường parabol ysau✏ ax2   bx   c, a ✘ 0 ta thực hiện các bước1. Xác định tọa độ đỉnh là điểm I✂✁b ; ✁∆ ✡.2a2. Vẽ trục đối xứng là đường thẳng x ✏4a✁b .2a3. Tìm giao điểm của parabol với các trục tọa độ (nếu có). Tìmthêm một số điểm thuộc đồ thị, lập bảng giá trị rồi vẽ parabol. ETChương 33.13.1.1TMATHS.NPhương trình và hệphương trìnhĐại cương về phương trìnhCác khái niệm cơ bản1. Phương trình ẩn x là một mệnh đề chứa biến có dạng f ♣xqg ♣xq, trong đó f ♣xq và g ♣xq là các biểu thức của x.✏2. Điều kiện xác định của phương trình là các điều kiện của biếnx sao cho các biểu thức trong phương trình đều có nghĩa.3. Nghiệm của phương trình là giá trị x0 của biến số (hay ẩn số)sao cho đẳng thức f ♣x0 q ✏ g ♣x0 q đúng.VIE4. Giải một phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.5. Giải và biện luận phương trình là xét xem với giá trị nào củatham số (số không được xác định cụ thể) thì phương trình cónghiệm và có bao nhiêu nghiệm.Ví dụ 3.1.1. Xét phương trình 3x2 ✁ ♣m ✁ 1qx   4 ✏ mx ✁ 2 thì• x là ẩn số.• m là tham số.23 24CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH3.1.2Phương trình tương đương và phương trình hệquả1. Hai phương trình f ♣xq ✏ g ♣xq và f1 ♣xq ✏ g1 ♣xq gọi là tươngđương nếu chúng có tập nghiệm bằng nhau (có thể rỗng), kýhiệuf ♣xq ✏ g ♣xq ðñ f1 ♣xq ✏ g1 ♣xq.2. Nếu mỗi nghiệm của phương trình f ♣xq ✏ g ♣xq cũng là nghiệmcủa phương trình h♣xq ✏ k ♣xq thì ta nói phương trình h♣xq ✏k ♣xq là phương trình hệ quả của phương trình f ♣xq ✏ g ♣xq, kýhiệuf ♣xq ✏ g ♣xq ùñ h♣xq ✏ k ♣xqchẳng hạn, với số nguyên dương n tùy ý ta có f ♣xq ✏ g ♣xq ùñrf ♣xqsn ✏ rg♣xqsn. Phương trình hệ quả có thể có nghiệm ngoạilai, không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Muốn loạinghiệm ngoại lai ta phải thử lại vào phương trình ban đầu.3. Ngoài các phương trình một ẩn còn có các phương trình nhiềuẩn. Nghiệm của một phương trình 2 ẩn x, y là một cặp số thựcx0 , y0 thỏa mãn phương trình đó, còn nghiệm của một phươngtrình 3 ẩn x, y, z là một bộ 3 số thực x0 , y0 , z0 thỏa mãn phươngtrình đó, ...3.1.3Biến đổi tương đương các phương trìnhNếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình màkhông làm thay đổi điều kiện xác định của nó thì ta được một phươngtrình mới tương đương:1. Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hay cùng một biểu thứcf ♣xq ✏ g ♣xq ðñ f ♣xq   A ✏ g ♣xq   A2. Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùngmột biểu thức luôn có giá trị khác 0.f ♣xq ✏ g ♣xq ðñ f ♣xq.A ✏ g ♣xq.A ♣với A ✘ 0q 3.2. PHƯƠNG TRÌNH QUI VỀ BẬC NHẤT, BẬC HAI3.225Phương trình qui về bậc nhất, bậc haiGiải và biện luận phương trình bậc nhất(3.1)ax   b ✏ 0ET3.2.1S.N1. Nếu a ✘ 0 thì phương trình (3.1) gọi là phương trình bậc nhấtbvà nó có nghiệm duy nhất x ✏ ✁ .a2. Nếu a ✏ 0 ta xét 2 trường hợpTMATH(a) Với b ✘ 0 thì phương trình (3.1) vô nghiệm.(b) Với b ✏ 0 thì phương trình (3.1) nghiệm đúng với mọix € R.3.2.2Giải và biện luận phương trình bậc haiax2   bx   c ✏ 0, ♣a ✘ 0q(3.2)VIEBiệt thức∆ ✏ b2 ✁ 4acKết luận✏ ✁b ✟∆→0Phương trình (3.2) có 2 nghiệm x1,2∆✏0Phương trình (3.2) có nghiệm kép x ✏ ✁∆➔0Phương trình (3.2) vô nghiệm❄2ab2a∆ 26CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH3.2.3Định lý về tổng và tích hai nghiệm của phươngtrình bậc haiGọi tắt là định lý Viét 1 , phát biểu như sau:Nếu phương trình (3.2) có 2 nghiệm x1 , x2 thì✩✫x  x2 ✏ ✁ ab✪x .x ✏ c1 2a1Ngược lại, nếu 2 số u và v có tổng u   v ✏ S và tích uvu và v là các nghiệm của phương trình x2 ✁ Sx   P ✏ 0.3.2.4thìPhương trình trùng phươngCó dạng ax4   bx   c ✏ 0, a ✘ 0, giải bằng cách đặt tđể đưa về phương trình bậc hai.3.2.5✏P✏ x2 , ♣ t ➙ 0qPhương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối1. Khử dấu giá trị tuyệt đối bằng định nghĩa✧⑤A⑤ ✏ ✁AAnếu A ➙ 0nếu A ➔ 02. ⑤f ♣xq⑤ ✏ ⑤g ♣xq⑤ ðñ f ♣xq ✏ g ♣xq hoặc f ♣xq ✏ ✁g ♣xq3. ⑤f ♣xq⑤ ✏ g ♣xqCách 14. ⑤f ♣xq⑤ ✏ g ♣xqCách 21ðñðñ✧✧✧f ♣ xq ➙ 0f ♣ x q ✏ g ♣x qhoặcg ♣x q ➙ 0f ♣ x q ✏ g ♣x qhoặc✧f ♣ xq ➔ 0✁f ♣xq ✏ g♣xqg ♣x q ➙ 0f ♣xq ✏ ✁g ♣xqFran¸cois Viète (1540 - 1603), là một nhà toán học, luật sư, chính trị gia ngườiPháp, về toán học ông hoạt động trong lĩnh lực đại số. Ông nổi tiếng với đề racách giải thống nhất các phương trình bậc 2, 3 và 4. Ông là người sáng tạo nêncách dùng các chữ cái để thể hiện cho các ẩn số của một phương trình. Ông cũngkhám phá ra mối quan hệ giữa các nghiệm của một đa thức với các hệ số của đathức đó, ngày nay được gọi là định lý Viète. 3.2. PHƯƠNG TRÌNH QUI VỀ BẬC NHẤT, BẬC HAI3.2.627Phương trình chứa dấu căn thức1. Phương pháp chung là bình phương 2 vế để khử dấu căn thức,chú ý phải xét điều kiện cả hai vế đều phải không âm.❛g ♣xq ðñf ♣xq ✏ g ♣xq ðñ✧✧f ♣x q ➙ 0f ♣x q ✏ g ♣x q✧hoặcg ♣x q ➙ 0f ♣ x q ✏ g ♣x qET3.f ♣ xq ✏❛g ♣x q ➙ 0f ♣xq ✏ rg ♣xqs24. Phương pháp đổi biến số:S.N2.❛hayTMATH(a) Có thể biến đổi như chia cả hai vế cho cùng một biểu thứckhác 0 rồi mới đổi biến số.❄Ví dụ 3.2.1. Giải phương trình x   1   x2 ✁ 4x   1 ✏❄3 x.Hướng dẫn.★★❄x2 ✁ 4x   1 ➙ 0x➙2  3❄ .Điều kiệnôx➙00↕x↕2✁ 3Nếu x ✏ 0 thì thay vào ta thấy không là nghiệm.❄Nếu x → 0, chia cả hai vế của phương trình cho x tađược❝❄x   ❄1   x2 ✁ 4x   1 ✏ 3xx❝VIE❄x   ❄1   x   1 ✁ 4 ✏ 3xx❄ 11Từ đó ta đặt t ✏ x   ❄ với t ➙ 2, suy ra t2 ✏ x     2xx1hay x   ✏ t2 ✁ 2. Thay vào phương trình đã cho rồi giảixtìm t, sau đó tìm x.(b) Có thể dùng cả hai biến số mới❄❄Ví dụ 3.2.2. Giải phương trình 2 3 3x ✁ 2   3 6x ✁ 5 ✁8 ✏ 0. 28CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNHHướng dẫn.Điều★kiện: x ➙ 32 .❄u ✏ 3 3x ✁ 2Đặt❄v ✏ 6x ✁ 5★ta được★u3 ✏ 3x ✁ 2v 2 ✏ 6x ✁ 52u3 ✏ 6x ✁ 4, trừ từng vế ta được 2u3 ✁ v 2 ✏ 1.v 2 ✏ 6x ✁ 5Kết hợp với phương trình đã cho sau khi thay bằng cácbiến mới ta được hệhay★2u   3v ✁ 8 ✏ 02u3 ✁ v 2 ✏ 1Giải tìm được u, v rồi tìm x.5. Phương pháp nhẩm nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất❄❄Ví dụ 3.2.3. Giải phương trình 3x   1 ✁ 6 ✁ x   3x2 ✁ 14x ✁8 ✏ 0.Hướng dẫn.Điều kiện: ✁ 13 ↕ x ↕ 6. Nhận thấy x ✏ 5 là nghiêm của phươngtrình nên ta biến đổi làm xuất hiện nhân tử x ✁ 5 như sau♣hay♣❄❄3x   1 ✁ 4q   ♣1 ✁❄❄6 ✁ xq   3x2 ✁ 15x   x ✁ 5 ✏ 03x   1 ✁ 4q♣ 3x   1   4q❄3x   1   4  ♣1 ✁❄❄6 ✁ xq♣1   6 ✁ xq❄1  6✁x ♣x ✁ 5q♣3x   1q ✏ 0tức là❄ 3x ✁ 15   x❄✁ 5   ♣x ✁ 5q♣3x   1q ✏ 03x   1   4 1   6 ✁ xRút nhân tử chung và giải tiếp... 3.3. PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN293.3Phương trình, hệ phương trình bậc nhấtnhiều ẩn3.3.1Phương trình bậc nhất hai ẩncó dạngHệ hai phương trình bậc nhất 2 ẩn✧S.N3.3.2ETCó dạng ax   by ✏ c, trong đó a, b, c là các số thực, a, b không đồngthời bằng 0, x, y là 2 ẩn.a1 x   b1 ya2 x   b2 y✏ c1✏ c23.3.3TMATHtrong đó cả hai phương trình đều là phương trình bậc nhất 2 ẩn.Các cách giải: Phương pháp cộng, phương pháp thế, phương phápđịnh thức, phương pháp đồ thị.Dạng tam giác của hệ 3 phương trình bậc nhấtba ẩn✩✫ a1 x(3.3)a2 x   b2 y✪a3 x   b3 y   c3 z✏ d1✏ d2✏ d33.3.4VIECách giải: Từ phương trình đầu của hệ (3.3) tính được x, thay vàophương trình thứ hai tính được y rồi thay vào phương trình thứ batính được z.Hệ ba phương trình bậc nhất 3 ẩn✩✫ a1 x  b1y   c1z ✏ d1a2 x   b2 y   c2 z ✏ d2✪a3 x   b3 y   c3 z ✏ d3 30CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNHCách giải: Dùng phương pháp Gauss2 khử dần ẩn số bằng cách nhânđại số để đưa về hệ phương trình dạng tam giác.3.3.5Một số hệ phương trình khác1. Hệ phương trình hai ẩn đối xứng dạng 1:★Ví dụ 3.3.1. Giải hệ phương trìnhCách giải: Biến đổi xuất hiện tổng Sđưa về hệ theo S và P để giải.x2 y   xy 2 ✏ 30x3   y 3 ✏ 35✏ x   y và tích P ✏ xy2. Hệ phương trình hai ẩn đối xứng dạng 2:★Ví dụ 3.3.2. Giải hệ phương trìnhx3 ✏ 3x   8yy 3 ✏ 3y   8xCách giải: Trừ từng vế hai phương trình để đưa về phương trìnhtích.3. Hệ phương trình hai ẩn đẳng cấp bậc hai:★✏ 11✏ 17Cách giải: Nếu y ✏ 0 thì thử trực tiếp. Nếu y ✘ 0 thì đặt y ✏ kxVí dụ 3.3.3. Giải hệ phương trình3x2   2xy   y 2x2   2xy   3y 2rồi thay vào hệ.2Carl Friedrich Gauss (1777-1855) là một nhà toán học và nhà khoa học ngườiĐức tài năng, người đã có nhiều đóng góp lớn cho các lĩnh vực khoa học, nhưlý thuyết số, giải tích, hình học vi phân, khoa trắc địa, từ học, thiên văn học vàquang học. Ông được mệnh danh là “hoàng tử của các nhà toán học”. Với ảnhhưởng sâu sắc cho sự phát triển của toán học và khoa học, Gauss được xếp nganghàng cùng Leonhard Euler, Isaac Newton và Archimedes như là những nhà toánhọc vĩ đại nhất của lịch sử. ETChương 44.14.1.1TMATHS.NBất đẳng thức và bấtphương trìnhBất đẳng thứcĐịnh nghĩaA↕Bðñ A ✁ B ↕ 0A ➔ B ðñ A ✁ B ➔ 04.1.2Các tính chất bất đẳng thức cơ bản1. Bắc cầu: Nếu a ➔ b và b ➔ c thì a ➔ c.VIE2. Cộng hai vế bất đẳng thức với một số: a ➔ b ðñ a   c ➔ b   c3. Nhân hai vế bất đẳng thức với một số:- Nếu c → 0 thì a ➔ b ðñ ac ➔ bc.- Nếu c ➔ 0 thì a ➔ b ðñ ac → bc.4. Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều: Nếu aa   c ➔ b   d.➔ b và c ➔ d thì5. Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều: Nếu 0 ➔ a ➔ b và 0 ➔ c ➔ dthì a.c ➔ b.d.31 32CHƯƠNG 4. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH6. Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa: Nếu n nguyêndương thìa ➔ b ðñ a2n 1 ➔ b2n 10 ➔ a ➔ b ùñ a2n ➔ b2n7. Khai căn hai vế của một❄ ❄ bất đẳng thức0 ➔ a ➔ b ðñ a ➔ ❄b❄0 ➔ a ➔ b ðñ 3 a ➔ 3 b4.1.3Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối1. ⑤x⑤ ➙ 0, ⑤x⑤ ➙ x, ⑤x⑤ ➙ ✁x.2. Với a → 0 thì⑤x⑤ ↕ a ðñ ✁a ↕ x ↕ a.⑤x⑤ ➙ a ðñ x ↕ ✁a hoặc x ➙ a.3. ⑤a⑤ ✁ ⑤b⑤ ↕ ⑤a   b⑤ ↕ ⑤a⑤   ⑤b⑤.4.1.4Bất đẳng thức CauchyBất đẳng thức Cauchy1 phát biểu như sau1. Cho 2 số không âm:Với 2 số thực a, b ➙ 0 thì trung bình cộng luôn lớn hơn hoặc❄a b➙ab, có dấu “=” khibằng trung bình nhân, tức là2a ✏ b.2. Cho 3 số không âm:a b cVới a, b, c ➙ 0 thì3➙❄3abc, có dấu “=” khi a ✏ b ✏ c.3. Bất đẳng thức Cauchy có thể mở rộng cho n số thực không âm.1Augustin Louis Cauchy (đôi khi tên họ được viết là Cô-si) là một nhà toánhọc người Pháp sinh ngày 21 tháng 8 năm 1789 tại Paris và mất ngày 23 tháng5 năm 1857 cũng tại Paris. Công trình lớn nhất của ông là lý thuyết hàm số vớiẩn số tạp. Ông cũng đóng góp rất nhiều trong lĩnh vực toán tích phân và toán viphân. Ông đã đặt ra những tiêu chuẩn Cauchy để nghiên cứu về sự hội tụ của cácdãy trong toán học. 4.1. BẤT ĐẲNG THỨC4.1.533Bất đẳng thức BunhiacopskiBất đẳng thức Bunhiacopski2 còn gọi là bất đẳng thức Cauchy Schwartz3 , phát biểu như sau:ET1. Cho 2 cặp số:Với 2 cặp số thực ♣x1 , y1 q và ♣x2 , y2 q thì♣x1y1   x2y2q2 ↕ ♣x21   x22q♣y12   y22qx2✏ 0 thì y2 ✏ 0.x1y1✏x2với quy ước x1y2✏ 0 thì y1 ✏ 0,S.Ndấu “=” xảy ra khiTMATH2. Cho n cặp số:Với n cặp số thực ♣x1 , y1 q, ♣x2 , y2 q và ♣xn , yn q thì♣x1y1  x2y2  . . . xnynq2 ↕ ♣x21  x22  . . . x2nq♣y12  y22  . . . yn2 qx1x2xn✏✏... ✏với quy ước x1y1y2yny1 ✏ 0, x2 ✏ 0 thì y2 ✏ 0,..., xn ✏ 0 thì yn ✏ 0.dấu “=” xảy ra khi4.1.6Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một hàm số✏ f ♣xq với tập xác định D, ta định nghĩa:✧f ♣xq ↕ M, ❅x € DM ✏ max f ♣xq ðñ❉x 0 € D : f ♣x 0 q ✏ Mx€ DVIEXét hàm số y1.2. m ✏ min f ♣xq ðñ€x D2✏ 0 thì✧f ♣xq ➙ m, ❅x € D❉x0 € D : f ♣x0q ✏ mVictor Yakovlevich Bunyakovsky (1804-1889) là nhà toán học người Nga. Tácphẩm to lớn của ông là “Cơ sở của lý thuyết xác suất” (1846) trong đó có nhiềuphần độc đáo, nhất là phần lịch sử phát sinh và phát triển môn xác suất, phầnứng dụng quan trọng của xác suất trong vấn đề bảo hiểm và dân số.3Karl Hermann Amandus Schwarz (1843-1921) là một nhà toán học người Đức,nổi tiếng với công trình về giải tích phức. 34CHƯƠNG 4. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH4.2Bất phương trình và hệ bất phương trìnhmột ẩn4.2.1Điều kiện của một bất phương trình- Là điều kiện mà ẩn số phải thỏa mãn để các biểu thức ở hai vế củabất phương trình có nghĩa.4.2.2Hai bất phương trình (hệ bất phương trình) tươngđương- Hai bất phương trình (hệ bất phương trình) được gọi là tương đươngvới nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.4.2.3Các phép biến đổi bất phương trìnhKí hiệu D là tập các số thực thỏa mãn điều kiện của bất phươngtrình P ♣xq ➔ Q♣xq1. Phép cộngNếu f ♣xq xác định trên D thìP ♣xq ➔ Q♣xq ðñ P ♣xq   f ♣xq ➔ Q♣xq   f ♣xq2. Phép nhân- Nếu f ♣xq → 0, ❅x € D thìP ♣xq ➔ Q♣xq ðñ P ♣xq.f ♣xq ➔ Q♣xq.f ♣xq- Nếu f ♣xq ➔ 0, ❅x € D thìP ♣xq ➔ Q♣xq ðñ P ♣xq.f ♣xq → Q♣xq.f ♣xq3. Phép bình phương- Nếu P ♣xq ➙ 0 và Q♣xq ➙ 0, ❅x € D thìP ♣xq ➔ Q♣xq ðñ rP ♣xqs2➔ rQ♣xqs2 4.3. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT4.2.435Chú ýETKhi biến đổi các biểu thức ở hai vế của một bất phương trình, điềukiện của bất phương trình thường bị thay đổi. Vì vậy, để tìm nghiệmcủa bất phương trình đã cho ta phải tìm các giá trị của ẩn đồng thờithỏa mãn bất phương trình mới và điều kiện của bất phương trìnhđã cho.Dấu của nhị thức bậc nhấtS.N4.3Nhị thức bậc nhất ẩn x có dạng f ♣xq ✏ ax   b trong đó a, b € R, a ✘ 0.Dấu của nhị thức bậc nhất như sauax   b4.4✁b✁✽a ✽TMATHxtrái dấuvới a0cùng dấuvới aBất phương trình bậc nhất 2 ẩn4.4.1Bất phương trình bậc nhất 2 ẩn1. Có dạngax   byVIE(4.1)↕c2. Biểu diễn tập nghiệm như sau:(a) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng ♣∆q : ax  by ✏ c.(b) Lấy một điểm M0 ♣x0 ; y0 q ❘ ♣∆q (ta thường lấy gốc tọa độO)(c) Tính ax0   by0 và so sánh ax0   by0 với c. 36CHƯƠNG 4. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH(d) Kết luận:- Nếu ax0   by0 ➔ c thì nửa mặt phẳng bờ ♣∆q chứa M0là miền nghiệm của ax0   by0 ↕ c.- Nếu ax0   by0 → c thì nửa mặt phẳng bờ ♣∆q không chứaM0 là miền nghiệm của ax0   by0 ↕ c.3. Bỏ bờ miền nghiệm của bất phương trình (4.1) ta được miềnnghiệm của bất phương trình ax   by ➔ c. Miền nghiệm củacác bất phương trình ax   by ➙ c và ax   by → c được xác địnhtương tự.4.4.2Hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn1. Có dạng✧a1 x   b1 ya2 x   b2 y↕ c1↕ c22. Biểu diễn hình học như sau:(a) Vẽ các đường thẳng ♣∆1 q : a1 x   b1 y ✏ c1 và ♣∆2 q : a2 x  b2 y ✏ c2 .(b) Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình và tìmgiao của chúng.4.4.3Bài toán tối ưu trong kinh tế1. Là bài toán tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của các biểuthức có dạng F ✏ ax   by, trong đó x, y nghiệm đúng một hệbất phương trình bậc nhất 2 ẩn cho trước.2. Cách giải:(a) Vẽ miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.(b) Miền nghiệm nhận được thường là một miền đa giác. Tínhgiá trị của F ứng với ♣x0 , y0 q là tọa độ các đỉnh của miềnđa giác này rồi so sánh các kết quả từ đó suy ra giá trị lớnnhất hay giá trị nhỏ nhất của biểu thức. 4.5. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI4.537Dấu của tam thức bậc hai4.5.1Định lý về dấu của tam thức bậc haiETXét tam thức bậc hai f ♣xq ✏ ax2   bx   c với a ✘ 0, đặt ∆ ✏ b2 ✁ 4ac,khi đó1. Nếu ∆ ➔ 0 thì dấu của tam thức như sauax2S.N✁✽x  bx   c ✽cùng dấu với a2. Nếu ∆ ✏ 0 thì dấu của tam thức như sauax2✁b✁✽TMATHx  bx   c2acùng dấuvới a3. Nếu ∆ → 0 thì f ♣xq có hai nghiệm x1thức như saux4.5.2  bx   ccùng dấuvới a➔ x2, khi đó dấu của tamx1x2Một số điều kiện tương đươngNếu ax2   bx   c là một tam thức bậc hai (a ✘ 0) thì1. ax2   bx   c ✏ 0 có nghiệm2. ✽cùng dấu trái dấu cùng dấu00với avới avới aVIEax2✁✽0 ✽ðñ ∆ ✏ b2 ✁ 4ac ➙ 0.cax2   bx   c ✏ 0 có 2 nghiệm trái dấu ðñ ➔ 0.a 38CHƯƠNG 4. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH3. ax2   bx   c ✏ 0 có các nghiệm đều dương4. ax2   bx   c ✏ 0 có các nghiệm đều âm5.ax26.ax27.ax28.ax2  bx   c → 0, ❅x ðñ  bx   c ➙ 0, ❅x ðñ  bx   c ➔ 0, ❅x ðñ  bx   c ↕ 0, ❅x ðñ✧✧✧✧a∆a∆a∆a∆→0➔0→0↕0➔0➔0→0↕0✩∆✬✬✫ cðñ ✬✬✪✩∆✬✬✫ cðñ ✬✬✪aa✁ ab✁ ab↕0→0→0↕0→0➔0 ETThống kê5.1.1Bảng phân bố tần số và tần suấtTMATH5.1S.NChương 5Tần số và tần suất của một giá trịGiả sử dãy n số liệu thống kê đã cho có k giá trị khác nhau (kGọi xi là một giá trị bất kỳ trong k giá trị đó, ta có➤ n).1. Số lần xuất hiện giá trị xi trong dãy số liệu đã cho được gọi làtần số của giá trị đó, ký hiệu là ni .2. Số fi5.1.2✏ nniđược gọi là tần suất của giá trị xi .Tần số và tần suất của một lớpVIEGiả sử dãy n số liệu thống kê đã cho được phân vào k lớp (kXét lớp thứ i♣i ✏ 1, 2, . . . , k q trong k lớp đó, ta có➔ n).1. Số ni các số liệu thống kê thuộc lớp thứ i được gọi là tần sốcủa lớp đó.2. Số fi✏ nniđược gọi là tần suất của lớp thứ i.➓ Chú ý: Trong các bảng phân bố tần suất thì tần suất được tính ởdạng tỷ số phần trăm.39 40CHƯƠNG 5. THỐNG KÊ5.2Số trung bình cộng5.2.1Số trung bình cộng1. Trường hợp bảng phân bố tần số và tần suấtx✏1➳ni xin i✏ 1k✏k➳✏fi xii 1✏ n1 ♣n1x1   n2x2   . . .   nk xk q✏ f1x1   f2x2   . . .   fk xk ,trong đó ni , fi lần lượt là tần số, tần suất của giá trị xi ; n là sốcác số liệu thống kê (n1   n2   . . .   nk ✏ n).2. Trường hợp bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớpx✏1➳ni cin i✏ 1k✏k➳✏fi ci ,i 1trong đó ci , ni , fi lần lượt là giá trị đại diện, tần số, tần suất củalớp thứ i; n là số các số liệu thống kê (n1   n2   . . .   nk ✏ n).5.2.2Số trung vịSố trung vị Me của một dãy gồm n số liệu thống kê được sắp thứ tựkhông giảm (hoặc không tăng) là• Số đứng giữa dãy (số hạng thứn 1) nếu n lẻ;2• Trung bình cộng của hai số đứng giữa dãy (trung bình cộng củannsố hạng thứ và số hạng thứ   1 nếu n chẵn.225.2.3MốtMốt M0 là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng phân bố tần số.Nếu trong bảng phân bố tần số có hai giá trị có tần số bằng nhau vàlớn hơn tần số của các giá trị khác thì ta có hai giá trị đó là hai mốt. 5.3. PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN5.2.441Chọn đại diện cho các số liệu thống kêET1. Trường hợp tính được cả ba số: trung bình, trung vị, mốt, vàcác số liệu thống kê là cùng loại đồng thời số lượng các số liệuđủ lớn (n ➥ 30) thì ta ưu tiên chọn số trung bình làm đại diệncho các số liệu thống kê. Khi đó số trung vị hoặc mốt được sửdụng để bổ sung thêm những thông tin cần thiết.S.N2. Trường hợp không tính được số trung bình thì người ta chọn sốtrung vị hoặc mốt làm đại diện cho các số liệu thống kê.3. Những trường hợp sau đây, không nên dùng số trung bình đểđại diện cho các số liệu thống kê (có thể dùng số trung vị hoặcmốt):TMATH(a) Số các số liệu thống kê quá ít (nhỏ hơn hoặc bằng 10).(b) Giữa các số liệu thống kê có sự chênh lệch nhau quá lớn.(c) Đường gấp khúc tần suất không đối xứng và nhiều trườnghợp khác.5.35.3.1Phương sai và độ lệch chuẩnCông thức tính phương sai1. Cách 1: Tính theo tần số(a) Đối vối bảng phân bố tần số✏ n1VIEs2xk➳✏n i ♣ x i ✁ x q2i 1(b) Đối vối bảng phân bố tần số ghép lớps2x✏2. Cách 2: Tính theo tần suất1➳ni ♣ci ✁ xq2n i✏ 1k 42CHƯƠNG 5. THỐNG KÊ(a) Đối vối bảng phân bố tần suấtk➳✏s2x✏fi ♣xi ✁ xq2i 1(b) Đối vối bảng phân bố tần suất ghép lớps2x✏k➳✏fi ♣ci ✁ xq2i 1Trong đó ni , fi lần lượt là tần số, tần suất của giá trị xi trongbảng phân bố tần số, tần suất (hay là tần số, tần suất của lớpthứ i trong bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp); n là sốcác số liệu thống kê (n1   n2   . . .   nk ✏ n); x là số trung bìnhcộng của các số liệu thống kê; ci là giá trị đại diện của lớp thứi.3. Cách 3: Sử dụng công thức s2x5.3.2✏ x 2 ✁ ♣ x q2 .Ý nghĩa và cách sử dụng phương saiPhương sai được sử dụng để đánh giá mức độ phân tán của các sốliệu thống kê (so với số trung bình). Khi hai số liệu thống kê có cùngđơn vị đo và có số trung bình bằng nhau hoặc xấp xỉ nhau, dãy cóphương sai càng nhỏ thì mức độ phân tán (so với số trung bình) củacác số liệu thống kê càng ít.5.3.3Độ lệch chuẩnĐộ lệch chuẩn sx là căn bậc hai của phương sai s2xsx✏❛s2xĐộ lệch chuẩn cũng được sử dụng để đánh giá mức độ phân tán củacác số liệu thống kê (so với số trung bình).Cách sử dụng độ lệch chuẩn hoàn toàn giống như cách sử dụng phươngsai. Khi cần chú ý đến đơn vị đo ta dùng độ lệch chuẩn sx (vì sx cócùng đơn vị đo với dấu hiệu X được nghiên cứu). ETChương 6S.NCung và góc lượng giácCung và góc lượng giác6.1.1Quan hệ giữa độ và radian180✆Với π6.1.2TMATH6.1π✏ π rad; 1✆ ✏ 180rad; 1 rad ✏✂180π✡✆✓ 3, 14 thì 1✆ ✏ 0, 0175 rad và 1 rad ✏ 57✆ 17✶45✷ .Độ dài của cung trònVIECho một cung tròn có số đo α rad và bán kính R, khi đó độ dài l củacung tròn đó xác định bởil ✏ Rα6.1.3Số đo của cung lượng giácSố đo của các cung lượng giác có điểm đầu A, điểm cuối B làñsđ AB ✏ α   k2π, k43€ Z. 44CHƯƠNG 6. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC6.1.4Biểu diễn cung lượng giác1. Để biểu diễn cung lượng giác có số đo α trên đường tròn lượnggiác, ta chọn điểm A♣1; 0q làm điểm đầu của cung, chiều dươnglà ngược chiều kim đồng hồ, vì vậy ta chỉ cần xác định điểm cuốiññM trên đường tròn lượng giác sao cho cung AM có sđ AM ✏ α.y Mα✁1AO1x✁ñ2. Mỗi cung lượng giác CD ứng với một góc lượng giác ♣OC, ODqvà ngược lại. Số đo của cung lượng giác và góc lượng giác tươngứng là trùng nhau.6.26.2.1Giá trị lượng giác của một cungCác kiến thức cơ bảnññTrên đường tròn lượng giác gốc A, cho cung AM có sđ AM ✏ α. Khiđó 6.2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG45yαO cos αA1xS.N✁1 ETMsin α✁✌✌✌Hoành độ của điểm M là cos α.✌cot α ✏✌✌✌  kπ, k € Z.cos α xác định khi và chỉ khi α ✘ kπ, k € Z.cos α ➙ 0 khi và chỉ khi điểm cuối M thuộc góc phần tư thứ I vàthứ IV; cos α ↕ 0 khi và chỉ khi điểm cuối M thuộc góc phần tưtan α ✏TMATHTung độ của điểm M là sin α.sin αvới cos α ✘ 0.cos αcos αvới sin α ✘ 0.sin απ2VIEtan α xác định khi và chỉ khi α ✘thứ II và thứ III.✌✌sin α ➙ 0 khi và chỉ khi điểm cuối M thuộc góc phần tư thứ I vàthứ II; sin α ↕ 0 khi và chỉ khi điểm cuối M thuộc góc phần tư thứIII và thứ IV.Từ dấu của sin α và cos α ta sẽ suy ra được dấu của tan α và cot α.➓ Chú ý: Các biểu thức có mặt ở hai vế của các đẳng thức trong cácmục dưới đây đều quy ước là có nghĩa. 46CHƯƠNG 6. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC6.2.2Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản✌ sin2 α   cos2 α ✏ 1✌1   tan2 α ✏ cos12 α6.2.3Giá trị lượng giác của các cung đối nhau✌ cos♣✁αq ✏ cos α✌ tan♣✁αq ✏ ✁ tan α6.2.4✠6.3.1✁✠✌ cos ✁ π2 ✁ α✠ ✏ sin α✌ cot π2 ✁ α ✏ tan αGiá trị lượng giác của các cung hơn kém π✌ sin♣π   αq ✏ ✁ sin α✌ tan♣π   αq ✏ tan α6.3✌ cos♣π ✁ αq ✏ ✁ cos α✌ cot♣π ✁ αq ✏ ✁ cot αGiá trị lượng giác của các cung phụ nhau✁π✌ sin ✁2 ✁ α ✠ ✏ cos α✌ tan π2 ✁ α ✏ cot α6.2.6✌ sin♣✁αq ✏ ✁ sin α✌ cot♣✁αq ✏ ✁ cot αGiá trị lượng giác của các cung bù nhau✌ sin♣π ✁ αq ✏ sin α✌ tan♣π ✁ αq ✏ ✁ tan α6.2.5✌ tan α. cot α ✏ 1✌1   cot2 α ✏ sin12 α✌ cos♣π   αq ✏ ✁ cos α✌ cot♣π   αq ✏ cot αCông thức lượng giácCông thức cộng• sin♣a   bq ✏ sin a cos b   sin b cos a.• sin♣a ✁ bq ✏ sin a cos b ✁ sin b cos a.• cos♣a   bq ✏ cos a cos b ✁ sin a sin b.• cos♣a ✁ bq ✏ cos a cos b   sin a sin b. 6.3. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁCtan a   tan b.1 ✁ tan a tan b• tan♣a   bq ✏ETtan a ✁ tan b.1   tan a tan b• tan♣a ✁ bq ✏6.3.247Công thức nhân đôi• sin 2x ✏ 2 sin x cos x.• tan 2x ✏6.3.3S.N• cos 2x ✏ cos2 x ✁ sin2 x ✏ 2 cos2 x ✁ 1 ✏ 1 ✁ 2 sin2 x.2 tan x.1 ✁ tan2 xCông thức nhân baTMATH• cos 3x ✏ 4 cos3 x ✁ 3 cos x.• sin 3x ✏ 3 sin x ✁ 4 sin3 x.6.3.4Công thức hạ bậc6.3.5Công thức tính theo t ✏ tan x22x✌ sin2 x ✏ 1 ✁ cos22x✌ cos2 x ✏ 1   cos22✌ cos x ✏ 11  ✁ tt26.3.6VIE✌ sin x ✏ 1  2tt2Công thức tổng thành tích• sin a   sin b ✏ 2 sin• sin a ✁ sin b ✏ 2 cos✂a b2✂• cos a   cos b ✏ 2 cos✡a b2✂✂a✁b.2✂a✁b.2cos✡a b2sin✡✂cos✡✡✡a✁b.2✌ tan x ✏ 1 ✁2tt2 48CHƯƠNG 6. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC• cos a ✁ cos b ✏ ✁2 sin6.3.7✂a b2✡✂sin✡a✁b.2Công thức tích thành tổng• cos a cos b ✏1rcos♣a ✁ bq   cos♣a   bqs.2• sin a sin b ✏1rcos♣a ✁ bq ✁ cos♣a   bqs.2• sin a cos b ✏1rsin♣a ✁ bq   sin♣a   bqs.26.3.8Một số công thức khác• sin x   cos x ✏• sin x ✁ cos x ✏• ♣sin x   cos xq2❄❄✁2 cos x ✁✂2 cos3π4✁π✠ ❄π✠✏2 sin x  .44✡✁x ✏✏ 1   sin 2x.• sin4 x   cos4 x ✏ 1 ✁sin2 2x.2• sin6 x   cos6 x ✏ 1 ✁3 sin2 2x.4❄✁2 sin x ✁π✠.4 ETChương 77.1.1Hàm số lượng giácTMATH7.1S.NHàm số lượng giácHàm số sin1. Hàm số y(a) y✏ sin x có các tính chất sau✏ sin x có tập xác định là R và✁1 ➤ sin x ➤ 1, ❅x € R✏ sin x là hàm số lẻ;y ✏ sin x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π.(b) y✏ sin x nhận các giá trị đặc biệt như sauVIE(c)2. Hàm số y• sin x ✏ 0 ô x ✏ kπ, k € Z.π• sin x ✏ 1 ô x ✏   k2π, k € Z.2π• sin x ✏ ✁1 ô x ✏ ✁   k2π, k € Z.23. Đồ thị của hàm số y✏ sin x như sau:49 50CHƯƠNG 7. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁCy1✁3π④27.1.2✁π ✁π④2O✁1π ④23π2xπy✏ sin xHàm số cos1. Hàm số y(a) y✏ cos x có các tính chất sau✏ cos x có tập xác định là R và✁1 ➤ cos x ➤ 1, ❅x € R✏ cos x là hàm số chẵn;y ✏ cos x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π.(b) y(c)2. Hàm số y✏ cos x nhận các giá trị đặc biệt như sauπ  kπ, k € Z.2• cos x ✏ 1 ô x ✏ k2π, k € Z.• cos x ✏ 0 ô x ✏• cos x ✏ ✁1 ô x ✏ ♣2k   1qπ, k3. Đồ thị của hàm số y€ Z.✏ cos x như sau:y✁ 3π2✁π✁ π21O✁1π2πy ✏ cos xx 7.1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC7.1.351Hàm số tang1. Hàm số ysin xcó các tính chất sau✏ tan x ✏ cosx✏ tan x có tập xác định là D ✏ R③ 2   kπ, k € Z .(b) y ✏ tan x là hàm số lẻ;(c) y ✏ tan x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ π.Hàm số y ✏ tan x nhận các giá trị đặc biệt như sau• tan x ✏ 0 ô x ✏ kπ, k € Z.π• tan x ✏ 1 ô x ✏   kπ, k € Z.4π• tan x ✏ ✁1 ô x ✏ ✁   kπ, k € Z.4✂✡✁π πĐồ thị của hàm số y ✏ tan x trên khoảng;như sau:3.TMATHS.NET(a) y2.✮✦π22y1VIE✁ π27.1.4π2O π4Hàm số cotang1. Hàm số yx✏ cot x ✏ coscó các tính chất sausin xx 52CHƯƠNG 7. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC✏ cot x có tập xác định là D ✏ R③ tkπ, k € Z✉.y ✏ cot x là hàm số lẻ;y ✏ cot x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ π.(a) y(b)(c)2. Hàm số y✏ tan x nhận các giá trị đặc biệt như sau• cot x ✏ 0 ô x ✏• cot x ✏ 1 ô x ✏π2π4  kπ, k € Z.  kπ, k € Z.• cot x ✏ ✁1 ô x ✏ ✁3. Đồ thị của hàm số yπ4  kπ, k € Z.✏ cot x trên khoảng ♣0; πq như sau:yπ2Oπx 7.2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN7.253Phương trình lượng giác cơ bản7.2.1Phương trình cơ bản theo sinXét phương trình lượng giác cơ bản theo sinETsin x ✏ a, với a € R(7.1)• Nếu ⑤a⑤ → 1 thì phương trình (7.1) vô nghiệm.✏✏xxϕπ✁ϕ  k2π  k2π ♣k € Zq.TMATHsin x ✏ sin ϕ ô✒S.N• Nếu ⑤a⑤ ➤ 1, gọi ϕ là cung (có số đo bằng rad) thỏa mãn sin ϕ ✏a. Khi đó phương trình (7.1) trở thànhNếu ϕ thỏa mãn điều kiện ✁ϕ ✏ arcsin a, khi đósin x ✏ a ô✒xx✏✏π2➤ ϕ ➤ π2 và sin ϕ ✏ a thì ta viếtarcsin aπ ✁ arcsin a  k2π  k2π ♣k € Zq.Nếu dùng đơn vị là độ thì ta có✒xx✏✏β✆✆180 ✁ β ✆VIEsin x ✏ sin β ✆ ô  k360✆ ♣k € Zq.  k360✆➓ Chú ý: Trong một công thức nghiệm, không được dùng đồng thờihai đơn vị độ và radian.7.2.2Phương trình cơ bản theo cosXét phương trình lượng giác cơ bản theo cos(7.2)cos x ✏ a, với a € R 54CHƯƠNG 7. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC• Nếu ⑤a⑤ → 1 thì phương trình (7.2) vô nghiệm.• Nếu ⑤a⑤ ➤ 1, gọi ϕ là cung (có số đo bằng rad) thỏa mãn cos ϕ ✏a. Khi đó phương trình (7.2) trở thànhcos x ✏ cos ϕ ô✒xxNếu ϕ thỏa mãn điều kiện 0ϕ ✏ arccos a, khi đócos x ✏ a ô✒✏ ϕ   k2π✏ ✁ϕ   k2π ♣k € Zq.➤ ϕ ➤ π và cos ϕ ✏ a thì ta viết✏ arccos a   k2π ♣k € Zq.✏ ✁ arccos a   k2πxxNếu dùng đơn vị là độ thì ta cócos x ✏ cos β ✆ ô7.2.3✒xx✏ β ✆   k360✆ ♣k € Zq.✏ ✁β ✆   k360✆Phương trình cơ bản theo tanXét phương trình lượng giác cơ bản theo tantan x ✏ a, với a € R(7.3)Điều kiện của phương trình (7.3) là x ✘π2  kπ, k € Z.• Nếu ϕ là cung (có số đo bằng rad) thỏa mãntan ϕ ✏ a thì ta viết ϕtrở thànhvà✏ arctan a. Khi đó phương trình (7.3)tan x ✏ tan ϕ ô x ✏ ϕ   kπhay✁ π2 ➔ ϕ ➔ π2♣k € Zq. 7.3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶPtan x ✏ a ô x ✏ arctan a   kπ55♣k € Zq.• Nếu dùng đơn vị độ thì ta có7.2.4ô x ✏ β ✆   k180✆ ♣k € Zq.ETtan x ✏ tan β ✆Phương trình cơ bản theo cotS.NXét phương trình lượng giác cơ bản theo cotcot x ✏ a, với a € R(7.4)Điều kiện của phương trình (7.4) là x ✘ kπ, k€ Z.TMATH• Nếu ϕ là cung (có số đo bằng rad) thỏa mãn 0 ➔ ϕ ➔ π vàcot ϕ ✏ a thì ta viết ϕ ✏ arccot a. Khi đó phương trình (7.4)trở thànhcot x ✏ cot ϕ ô x ✏ ϕ   kπhaycot x ✏ a ô x ✏ arccot a   kπ♣k € Zq.♣k € Zq.• Nếu dùng đơn vị độ thì ta có7.37.3.1ô x ✏ β ✆   k180✆ ♣k € Zq.VIEcot x ✏ cot β ✆Phương trình lượng giác thường gặpPhương trình lượng giác đưa về dạng đại sốVí dụ: các phương trình 2 sin x ✁ 1 ✏ 0, cos2 x   2 cos x ✁ 3 ✏ 0, tan x ✁3 ✏ 0, . . . có thể đưa về dạng phương trình đại số bằng cách đổi biếnsố. 56CHƯƠNG 7. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC7.3.2Phương trình bậc nhất đối với sin và cosXét phương trìnha sin x   b cos x ✏ cvới❄ 2a, b, 2c € R, a2   b2a   b ta được❄aa2✂Vì❄❄aa2a✡2a2   b2  b2 b2✘ 0. Chia hai vế của phương trình này chosin x  ✂  ❄và sin ϕ ✏❄✡2 b2ca2  b2✏ 1 nên tồn tại ϕ sao cho cos ϕa2   b2❄ 2b 2 , khi đó ta cóa  bbsin x cos ϕ   sin ϕ cos x ✏hay❄cos x ✏ba2sin♣x   ϕq ✏❄❄✏ca2  b2ca2  b2Đây là phương trình cơ bản theo sin nên giải được.7.3.3Phương trình chứa tổng (hay hiệu) và tích củasin và cos1. Xét phương trìnha♣sin x   cos xq   b sin x cos x   c ✏ 0với a, b, c € R, a2   b2 ✘ 0. Đặt t ✏ sin x   cos x, khi đó t2 ✏♣sin x   cos xq2 ✏ 1   2 sin x cos x. Từ đó tính được sin x cos xtheo t. Sau đó thay vào phương trình ban đầu ta được phươngtrình bậc hai theo t nên giải được.2. Với phương trình dạng a♣sin x ✁ cos xq   b sin x cos x   c ✏ 0,với a, b, c € R, a2   b2 ✘ 0. ta cũng giải như trên bằng cách đặtt ✏ sin x ✁ cos x. 7.4. GIỚI THIỆU VỀ LƯỢNG GIÁC7.3.457Phương trình đẳng cấp đối với sin va cosXét phương trìnhvới a, b, c, d € R. Cách giải như sau• Nếu cos x ✏ 0 thì thử trực tiếp.ETa sin2 x   b sin x cos x   c cos2 x ✏ d7.4S.N• Nếu cos x ✘ 0 thì chia cả hai vế của phương trình cho cos2 x tađưa về phương trình bậc hai theo tan x nên giải được.Giới thiệu về lượng giácVIETMATHLượng giác, tiếng Anh Trigonometry (nghĩa là “tam giác” + metron“đo lường”). Nó là một nhánh toán học dùng để tìm hiểu về hình tamgiác và sự liên hệ giữa cạnh của hình tam giác và góc độ của nó.Lượng giác chỉ ra hàm số lượng giác. Hàm số lượng giác diễn tả cácmối liên kết và có thể áp dụng được để học những hiện tượng có chukỳ, như sóng âm. Nhánh toán này được sinh ra từ thế kỷ thứ 3 trướccông nguyên. Ban đầu nó là nhánh của toán hình học và được dùngchủ yếu để nghiên cứu thiên văn. Lượng giác cũng là nền móng chongành nghệ thuật ứng dụng trong trắc địa.Những bài học cơ bản về lượng giác thường được dạy ở trườnglớp. Một là được dạy trong với khóa trước đại số hoặc khóa riêng biệt.Hàm số lượng giác được dùng rộng rãi trong nhánh toán tinh khiếtvà nhánh toán học ứng dụng. Ví dụ như phân tích Fourier và hàm sốsóng. Đó là những thứ có yếu tố quan trọng trong nhiều nhánh củakhoa học và công nghệ. Lượng giác hình cầu nghiên cứu hình tamgiác trên hình cầu, bề mặt của hằng số độ cong dương, trong hìnhhọc elip. Nó là nguyên tắc cơ bản cho ngành thiên văn học và ngànhhàng hải. Lương giác trên một bề mặt của độ cong âm thuộc hìnhhọc Hyperbol.Có nhiều ứng dụng của lượng giác. Cụ thể có thể nói đến như làkỹ thuật của phép đo đạc tam giác được sử dụng trong thiên văn đểđo khoảng cách tới các ngôi sao gần, trong địa lý để đo khoảng cách 58CHƯƠNG 7. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁCgiữa các mốc giới hay trong các hệ thống hoa tiêu vệ tinh. Các lĩnhvực khác có sử dụng lượng giác còn có thiên văn (và vì thế là cả hoatiêu trên đại dương, trong ngành hàng không và trong vũ trụ), lýthuyết âm nhạc, âm học, quang học, phân tích thị trường tài chính,điện tử học, lý thuyết xác suất, thống kê, sinh học, chiếu chụp y học(các loại chụp cắt lớp và siêu âm), dược khoa, hóa học, lý thuyết số(và vì thế là mật mã học), địa chấn học, khí tượng học, hải dươnghọc và nhiều lĩnh vực của vật lý, đo đạc đất đai và địa hình, kiếntrúc, ngữ âm học, kinh tế học, khoa công trình về điện, cơ khí, xâydựng, đồ họa máy tính, bản đồ học, tinh thể học v.v.Mô hình hiện đại trừu tượng hóa của lượng giác- lượng giác hữutỷ, bao gồm các khái niệm “bình phương sin của góc” và “bình phươngkhoảng cách” thay vì góc và độ dài - đã được tiến sĩ Norman Wildberger ở trường đại học tổng hợp New South Wales nghĩ ra. ETChương 8Quy tắc đếm8.1.1Quy tắc cộngTMATH8.1S.NTổ hợp và xác suấtGiả sử đối tượng X có m cách chọn khác nhau, đối tượng Y có ncách chọn khác nhau và không có cách chọn đối tượng X nào trùngvới mỗi cách chọn đối tượng Y . Khi đó có m   n cách chọn một tronghai đối tượng ấy.Giả sử A và B là các tập hữu hạn, không giao nhau. Khi đón ♣A(8.1)➈B q ✏ n ♣ Aq   n ♣B qVIETrong đó: n♣Aq là ký hiệu cho số phần tử của tập A.➓ Chú ý: Công thức (8.1) có thể mở rộng theo hai hướng• Nếu A và B là hai tập hữu hạn bất kỳ thìn ♣A➈B q ✏ n ♣ Aq   n ♣ B q ✁ n ♣A➇Bq• Nếu A1 , A2 , . . . , Am là các tập hữu hạn tùy ý, đôi một khônggiao nhau thìn ♣ A1➈A2➈...➈Am q ✏ n ♣A1 q   n ♣A2 q   . . .   n ♣Am q59 608.1.2CHƯƠNG 8. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤTQuy tắc nhânGiả sử A, B là hai tập hữu hạn. Kí hiệu A ✂ B là tập hợp tất cả cáccặp có thứ tự ♣a, bq, trong đó a € A, b € B. Ta có quy tắcn♣A ✂ B q ✏ n♣Aq.n♣B qQuy tắc trên có thể phát biểu như sau:Giả sử có hai hành động được thực hiện liên tiếp. Hành động thứnhất có m kết quả. Ứng với mỗi kết quả của hành động thứ nhất,hành động thứ hai có n kết quả. Khi đó có m ✂ n kết quả của haihành động liên tiếp đó.➓ Chú ý: Quy tắc nhân ở trên có thể mở rộng ra nhiều hành độngliên tiếp.8.2Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợpCho tập hợp A gồm n phần tử (n ➥ 1).8.2.1Hoán vịKết quả của sự sắp xếp n phần tử của A theo một thứ tự nào đóđược gọi là một hoán vị của tập A.Số các hoán vị của tập A được kí hiệu là Pn , khi đóPn8.2.2✏ n.♣n ✁ 1q . . . 2.1 ✏ n!Chỉnh hợpKết quả của việc lấy k phần tử của A (1 ➤ k ➤ n) và xếp theo mộtthứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử.Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử được kí hiệu là Akn , khi đóAknQuy ước: 0! ✏ 1.✏ ♣n ✁n! kq! 8.3. NHỊ THỨC NEWTON8.2.361Tổ hợp8.38.3.1✏ k!♣nn!✁ kq!Nhị thức NewtonS.NCnkETMột tập con gồm k phần tử của A (1 ➤ k ➤ n) được gọi là một tổhợp chập k của n phần tử. Tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng.Số các tổ hợp chập k của n phần tử được kí hiệu là Cnk , khi đóCông thức nhị thức NewtonTMATHKhi khai triển nhị thức Newton1 ♣a   bqn , ta nhận được công thức(8.2)♣a   bqn ✏ Cn0 an   Cn1 an✁1b   . . .   Cnn✁1abn✁1   Cnnbn8.3.2Các tính chấtTrong khai triển công thức (8.2) ta có1. Số các hạng tử là n   1.2. Số hạng (hay hạng tử) thứ k   1 là Cnk an✁k bk , k(quy ước a0 ✏ 1 với a ✘ 0).✏ 0, 1, . . . , nVIE3. Số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0đến n, nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luônbằng n.4. Các hạng tử cách đều hạng tử đầu và hạng tử cuối có hệ sốbằng nhau.1Isaac Newton (1642-1727) là một nhà vật lý, nhà thiên văn học, nhà triết học,nhà toán học, nhà thần học và nhà giả kim người Anh, được nhiều người cho rằnglà nhà khoa học vĩ đại và có tầm ảnh hưởng lớn nhất. 62CHƯƠNG 8. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT8.4Lý thuyết cơ bản về xác suất8.4.1Phép thử và biến cố• Tập hợp mọi kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọilà không gian mẫu của phép thử và được kí hiệu là Ω. Ta chỉxét các phép thử với không gian mẫu Ω là tập hữu hạn.• Mỗi tập con A của Ω được gọi là một biến cố. Tập ∅ được gọilà biến cố không thể, tập Ω được gọi là biến cố chắc chắn.• Nếu khi phép thử được tiến hành mà kết quả của nó là mộtphần tử của A thì ta nói rằng A xảy ra, hay phép thử thuận lợicho A.• Biến cố A ✏ Ω③A được gọi là biến cố đối của A. Như vậy A vàB là hai biến cố đối nhau ô A ✏ B; A xảy ra ô A không xảyra.••➈ô A hoặc B xảy ra.Biến cố A B xảy ra ô A và B cùng xảy ra.➇Nếu A B ✏ ∅ thì A và B được gọi là hai biến cố xung khắc.• Biến cố A8.4.2B xảy ra➇Xác suất của biến cố1. Nếu A là biến cố liên quan đến phép thử chỉ có một số hữu hạnn ♣Aqcác kết quả đồng khả năng xuất hiện thì tỉ số P ♣Aq ✏n ♣Ω qđược gọi là xác suất của biến cố A, trong đó kí hiệu n♣Aq là sốphần tử của A.2. Xác suất có các tính chất sau:(a) P ♣Aq ➙ 0, ❅A.(b) P ♣Ωq ✏ 1.(c) Nếu A và B là hai biến cố xung khắc cùng liên quan đếnphép thử thì 8.5. GIỚI THIỆU VỀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁNP ♣A➈63B q ✏ P ♣Aq   P ♣B q(Công thức cộng xác suất).P ♣A➈ETMở rộng: Với hai biến cố A và B bất kỳ cùng liên quan đếnphép thử thìB q ✏ P ♣ Aq   P ♣ B q ✁ P ♣A➇Bq8.5TMATHS.N3. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập, nếu sự xảy ra của mộttrong hai biến cố không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra củabiến cố kia. Người ta chứng minhđược rằng, hai biến cố A và➇B độc lập khi và chỉ khi P ♣A B q ✏ P ♣Aq.P ♣B q. Ngoài ra, Avà B độc lập ô A và B độc lập ô A và B độc lập ô A và Bđộc lập.Giới thiệu về xác suất thống kê toánVIETừ xác suất (probability) bắt nguồn từ chữ probare trong tiếng Latinvà có nghĩa là “để chứng minh, để kiểm chứng”. Nói một cách đơngiản, probable là một trong nhiều từ dùng để chỉ những sự kiện hoặckiến thức chưa chắc chắn, và thường đi kèm với các từ như “có vẻlà”, “mạo hiểm”, “may rủi”, “không chắc chắn” hay “nghi ngờ”, tùy vàongữ cảnh. “Cơ hội” (chance), “cá cược” (odds, bet) là những từ chokhái niệm tương tự. Nếu lí thuyết cơ học (cơ học cổ điển) có địnhnghĩa chính xác cho “công” và “lực”, thì lí thuyết xác suất nhằm mụcđích định nghĩa “khả năng”.Như các lý thuyết khác, lý thuyết xác suất là một biểu diễn củakhái niệm xác suất bằng các thuật ngữ hình thức - nghĩa là các thuậtngữ mà có thể xác định một cách độc lập với ý nghĩa của nó. Cácthuật ngữ hình thức này được thao tác bởi các qui luật toán học vàlogic, và kết quả thu được sẽ được chuyển dịch trở lại miền (domain)của bài toán.Có hai hướng công thức hóa xác suất đã thành công là sự hìnhthành công thức Kolmogorov và sự hình thành công thức Cox. Trongcông thức của Kolmogorov, các tập được hiểu là các sự kiện và xác 64CHƯƠNG 8. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤTsuất chính là một phép đo trên một lớp các tập đó. Trong công thứccủa Cox, xác suất được xem là cái cơ bản (primitive - không thể phântích thêm được nữa) và tập trung nghiên cứu vào việc xây dựng mộtphép gán tốt các giá trị xác suất đến các mệnh đề. Trong cả 2 trườnghợp, các định luật về xác suất là như nhau, ngoại trừ yếu tố chi tiếtkĩ thuật:1. Xác suất là một giá trị số trong khoảng 0 và 1;2. Xác suất của một sự kiện hay mệnh đề và phần bù của nó cộnglại phải bằng 1; và3. Xác suất kết hợp của hai sự kiện hay hai mệnh đề là tích củacác xác suất của một trong chúng và xác suất của cái thứ haivới điều kiện biết cái trước xảy ra.Ảnh hưởng chính của lý thuyết xác suất trong cuộc sống hằngngày đó là việc xác định rủi ro và trong buôn bán hàng hóa. Chínhphủ cũng áp dụng các phương pháp xác suất để điều tiết môi trườnghay còn gọi là phân tích đường lối.Lý thuyết trò chơi cũng dựa trên nền tảng xác suất. Một ứngdụng khác là trong xác định độ tin cậy. Nhiều sản phẩm tiêu dùngnhư xe hơi, đồ điện tử sử dụng lý thuyết độ tin cậy trong thiết kếsản phẩm để giảm thiểu xác suất hỏng hóc. Xác suất hư hỏng cũnggắn liền với sự bảo hành của sản phẩm. ETChương 9Phương pháp quy nạp toán họcTMATH9.1S.NDãy số1. Để chứng minh một mệnh đề là đúng với mọi n € N✝ bằngphương pháp quy nạp toán học, ta tiến hành hai bước:(a) Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n ✏ 1.(b) Giả sử mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n ✏k ♣k ➙ 1q và chứng minh rằng nó cũng đúng với n ✏ k   1.2. Trong trường hợp phải chứng minh một mệnh đề đúng với mọisố tự nhiên n ➙ p (p là số tự nhiên) thì:VIE(a) Ở bước 1: ta kiểm tra mệnh đề đúng với n ✏ p.(b) Ở bước 2: ta giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiênbất kỳ n ✏ k ♣k ➙ pq và chứng minh rằng nó cũng đúngvới n ✏ k   1.3. Phép thử với một số hữu hạn số tự nhiên, tuy không phải làchứng minh, nhưng cho phép ta dự đoán được kết quả. Kết quảnày chỉ là giả thiết, và để chứng minh ta có thể dùng phươngpháp quy nạp toán học.65 66CHƯƠNG 9. DÃY SỐVí dụ 9.1.1. Chứng minh rằng❝2 (9.1)❜2   ...  ❄2 ✏ 2 cos❧♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♠♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♥π2n 1n dấu cănGiải.Đặt vế trái của hệ thức (9.1) bằng Cn .Khi n ✏ 1 thì hệ thức (9.1) đúng.Giả sử hệ thức (9.1) đúng với n ✏ k ➥ 1, tức làπCk ✏ 2 cos k 12Ta phải chứng minh✏ 2 cos 2kπ 2Ck   1Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta cóCk   1✏✏❛2   Ck❝4 cos2✏❝π2k   22   2 cosπ 2k 1✏ 2 cos 2kπ 2 ♣vìcosπ2k   2→ 0qVậy hệ thức (9.1) đã được chứng minh.9.29.2.1Dãy sốCơ bản về dãy sốĐịnh nghĩa 9.1. Mỗi hàm số u xác định trên tập số tự nhiên N✝được gọi là dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số).u : N✝ÝÑ Rn ÞÝÑ u♣nqTrong đó ta gọi u♣nq ✏ un là số hạng tổng quát của dãy số ♣un q.Mỗi hàm số u xác định trên tập M ✏ t1, 2, . . . , m✉, với m € N✝ , đượcgọi là dãy số hữu hạn. 9.2. DÃY SỐ9.2.267Cách cho một dãy sốET1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quátKhi đó un ✏ f ♣nq với f là một hàm số xác định trên N✝ . Đâylà cách khá thông dụng (giống như hàm số) và nếu biết giá trịcủa n (hay cũng chính là số thứ tự của số hạng) thì ta có thểtính ngay được un .S.N2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tảNgười ta cho một mệnh đề mô tả cách xác định các số hạngliên tiếp của dãy số. Tuy nhiên, không thể tìm ngay được unvới n tùy ý.3. Dãy số cho bằng công thức truy hồi (hay quy nạp)TMATH(a) Cho số hạng thứ nhất u1 (hoặc vài số hạng đầu).(b) Với n ➙ 2, cho một công thức tính un nếu biết un✁1 (hoặcmột vài số hạng đứng ngay trước nó). Các công thức cóthể là★★hoặc9.2.3u1 ✏ aun ✏ f ♣un✁1 q với n ➙ 2u1 ✏ a, u2 ✏ bun ✏ f ♣un✁1 , un✁2 q với n ➙ 3Dãy số tăng, dãy số giảm→ un với mọi n € N✝ .Dãy số ♣un q được gọi là giảm nếu un 1 ➔ un với mọi n € N✝ .2.VIE1. Dãy số ♣un q được gọi là tăng nếu un 13. Phương pháp khảo sát tính đơn điệu.(a) Phương pháp 1: Xét hiệu Hi. Nếu Hii. Nếu H✏ un 1 ✁ un.→ 0 với mọi n € N✝ thì dãy số tăng.➔ 0 với mọi n € N✝ thì dãy số giảm. 68CHƯƠNG 9. DÃY SỐ(b) Phương pháp 2: Nếu un → 0 với mọi n € N✝ thì lập tỷ sốun 1, rồi so sánh với 1unun 1i. Nếu→ 1 với mọi n € N✝ thì dãy số tăng.unun 1ii. Nếu➔ 1 với mọi n € N✝ thì dãy số giảm.un9.2.4Dãy số bị chặn1. Dãy số ♣un q được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực M saochoun ➤ M, ❅n € N✝2. Dãy số ♣un q được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số thực m saochoun ➥ m, ❅n € N✝3. Dãy số được gọi là bị chặn, nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặndưới, tức là tồn tại hai số m, M sao chom ➤ un➤ M, ❅n € N✝➓ Chú ý: Các dấu “=” không nhất thiết phải xảy ra.9.39.3.1Cấp số cộngCơ bản về cấp số cộngĐịnh nghĩa 9.2. Dãy số ♣un q là cấp số cộng ô un 1 ✏ un   d vớin € N✝ , trong đó d là một hằng số và được gọi là công sai.Như vậy, công sai của một cấp số cộng ♣un q xác định bởi:d ✏ un 1 ✁ un✏ un ✁ un✁1 ✏ . . . 9.4. CẤP SỐ NHÂN9.3.269Số hạng tổng quátSố hạng tổng quát của cấp số cộng ♣un q xác định bởiSuy ra d ✏9.3.3un ✁ u1.n✁1✏ u1   ♣n ✁ 1qd với n ➥ 2ETunTính chấtTổng n số hạng đầuvới k➥2TMATH9.3.4S.N✏ uk✁1  2 uk 1hay uk✁1   uk 1 ✏ 2uk .ukSn✏n➳✏uii 1hay Sn✏✏ n♣u1 2  unqvới n € N✝nr2u1   ♣n ✁ 1qds.2➓ Chú ý: Khi giải các bài toán về cấp số cộng ♣un q, ta thường gặp 5đại lượng. Đó là u1 , d, un , n, Sn . Cần phải biết ít nhất 3 trong 5 đạilượng đó thì sẽ tính được các đại lượng còn lại.9.4.1Cấp số nhânVIE9.4Cơ bản về cấp số nhânĐịnh nghĩa 9.3. Dãy số ♣vn q là cấp số nhân ô vn 1 ✏ vn .q vớin € N✝ , trong đó q là một hằng số và được gọi là công bội.Như vậy, công bội của một cấp số nhân ♣vn q xác định bởi:q✏ vnv 1 ✏ vvnn✁n 1... 709.4.2CHƯƠNG 9. DÃY SỐSố hạng tổng quátSố hạng tổng quát của cấp số nhân ♣vn q xác định bởivn9.4.3✏ v1.qn✁1 với n ➥ 2Tính chất♣vk q2 ✏ vk✁1.vk 1 ♣k ➥ 2q❄hay ⑤vk ⑤ ✏ vk✁1 .vk 19.4.4Tổng n số hạng đầuSn✏n➳✏i 1vin✏ v1♣qq ✁✁1 1qvới q✘1➓ Chú ý: Khi giải các bài toán về cấp số nhân ♣vn q, ta thường gặp 5đại lượng. Đó là v1 , q, vn , n, Sn . Cần phải biết ít nhất 3 trong 5 đạilượng đó thì sẽ tính được các đại lượng còn lại. ETChương 10S.NGiới hạnGiới hạn của dãy số10.1.1Giới hạn hữu hạnTMATH10.1Cho các dãy số ♣un q, ♣vn q, khi đó1.lim unÑ ✽n✏ 0 ô ⑤un⑤ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kểtừ một số hạng nào đó trở đi.lim vnÑ ✽n10.1.21.Giới hạn vô cựclim unÑ ✽n✏ a ô nÑ ✽lim ♣vn ✁ aq ✏ 0 với a € R.✏  ✽ ô un có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý,VIE2.kể từ một số hạng nào đó trở đi.2.lim unÑ ✽n✏ ✁✽ ô nÑ ✽lim ♣✁un q ✏  ✽.➓ Chú ý: Thay cho lim unÑ ✽✏ a, lim un ✏ ✟✽.nlim un✏ a, nÑ ✽lim un ✏ ✟✽ ta có thể viết tắt71 72CHƯƠNG 10. GIỚI HẠN10.1.31. limCác giới hạn đặc biệt1n✏ 0;lim1nk✏ 0;lim nk✏  ✽, với k nguyên dương.✏ 0 nếu ⑤q⑤ ➔ 1; lim qn ✏  ✽ nếu q → 1.lim c ✏ c với c € R.2. lim q n3.10.1.4Định lý về giới hạn hữu hạn1. Nếu lim un✏ a và lim vn ✏ b, thì:✌ lim♣un   vnq ✏ a   b✌ lim un.vn ✏ ab2. Nếu un10.1.5✌ lim♣un ✁ vnq ✏ a ✁ b✌ lim uvn ✏ ab (với b ✘ 0).n➥ 0 với mọi n và lim un ✏ a thì a ➥ 0 và lim ❄un ✏ ❄a.Liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và vô cực1. Nếu lim un✏ a và lim vn ✏ ✟✽ thì lim uvn ✏ 0.n2. Nếu lim un ✽.3. Nếu lim un10.1.6✏ a → 0 và lim vn ✏ 0 với vn → 0, ❅n thì lim uvn ✏n✏  ✽ và lim vn ✏ a → 0 thì lim unvn ✏  ✽.Cấp số nhân lùi vô hạn1. Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội qthỏa mãn ⑤q ⑤ ➔ 1.2. Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn ♣un qS✏ u1   u2   . . .   un   . . . ✏ 1 u✁1 q 10.2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ7310.2Giới hạn của hàm số10.2.1Giới hạn hữu hạnxÑ x0€ K ③tx0✉ và xn Ñ x0, ta có lim f ♣xnq ✏ L.Cho hàm số y ✏ f ♣xq xác định trên khoảng ♣x0 ; bq. Khi đólim f ♣xq ✏ L ô với dãy số ♣xn q bất kỳ, x0 ➔ xn ➔ b vàxÑ x xn Ñ x0 , ta có lim f ♣xn q ✏ L.Cho hàm số y ✏ f ♣xq xác định trên khoảng ♣a; x0 q. Khi đólim f ♣xq ✏ L ô với dãy số ♣xn q bất kỳ, a ➔ xn ➔ x0 vàxÑ x✁xn Ñ x0 , ta có lim f ♣xn q ✏ L.Cho hàm số y ✏ f ♣xq xác định trên khoảng ♣a;  ✽q. Khi đólim f ♣xq ✏ L ô với dãy số ♣xn q bất kỳ, xn → a và xn Ñ  ✽,xÑ ✽ta có lim f ♣xn q ✏ L.Cho hàm số y ✏ f ♣xq xác định trên khoảng ♣✁✽; aq. Khi đólim f ♣xq ✏ L ô với dãy số ♣xn q bất kỳ, xn ➔ a và xn Ñ ✁✽,xÑ✁✽ta có lim f ♣xn q ✏ L.S.Nbất kỳ, xn2.03.5.10.2.2TMATH04.ET1. Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y ✏ f ♣xq xác định trênK hoặc trên K ③tx0 ✉. Khi đó lim f ♣xq ✏ L ô với dãy số ♣xn qGiới hạn vô cựcVIESau đây là hai trong số nhiều loại giới hạn vô cực khác nhau1. Cho hàm số y ✏ f ♣xq xác định trên khoảng ♣a;  ✽q. Khi đólim f ♣xq ✏ ✁✽ ô với dãy số ♣xn q bất kỳ, xn → a và xn ÑxÑ ✽ ✽, ta có lim f ♣xnq ✏ ✁✽.2. Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y ✏ f ♣xq xác định trênK hoặc trên K ③tx0 ✉. Khi đó lim f ♣xq ✏  ✽ ô với dãy sốxÑ x0♣xnq bất kỳ, xn € K ③tx0✉ và xn Ñ x0, ta có lim f ♣xnq ✏  ✽. 74CHƯƠNG 10. GIỚI HẠN➓ Chú ý: f ♣xq có giới hạn10.2.3 ✽ ô ✁f ♣xq có giới hạn ✁✽.Các giới hạn đặc biệt1. lim x ✏ x0 với x0Ñ x0x€ R.2. lim c ✏ c với c là hằng số.Ñ x0x3.4.5.6.7.lim c ✏ c với c là hằng số.Ñ✟✽xÑ✟✽ x✏ 0 với c là hằng số.xclimxÑ ✽lim xk✏  ✽ với k nguyên dương.xÑ✁✽lim xk✏ ✁✽ với k là số lẻ.xÑ✁✽lim xk✏  ✽ với k là số chẵn.8. limxsin xÑ0 x10.2.4✏ 1.Các định lý về giới hạn hữu hạnĐịnh lý 10.1. Ta chứng minh được các định lý sau1. Nếu lim f ♣xq ✏ α và lim g ♣xq ✏ β với α, βxÑ x0xÑx0€ R, thì(a) lim rf ♣xq   g ♣xqs ✏ α   β.xÑ x0xÑ x0xÑ x0(b) lim rf ♣xq ✁ g ♣xqs ✏ α ✁ β.(c) lim rf ♣xq.g ♣xqs ✏ α.β.xf ♣x qÑx0 g♣xq(d) lim✏ αβvới β✘ 0.2. Nếu f ♣xq ➙ 0 và Nếu lim f ♣xq ✏ α thì α → 0 và lim❄α.xÑx0xÑ x0❛f ♣ xq ✏ 10.2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ75➓ Chú ý: Định lý (10.1) vẫn đúng khi x Ñ  ✽ hoặc x Ñ ✁✽.Định lý 10.2. lim f ♣xq ✏ α ô lim f ♣xq ✏ lim f ♣xq ✏ α.xÑ x0xÑ x xÑ x✁0ET10.2.50Các quy tắc về giới hạn vô cựclim f ♣xqxS.N1. Quy tắc tìm giới hạn của tích f ♣xq.g ♣xqlim g ♣xqÑ x0xÑ x0α➔02. Quy tắc tìm giới hạn của thươnglim f ♣xqxÑ x0αÑ x0 ✽✁✽✁✽ ✽TMATHα→0 ✽✁✽ ✽✁✽lim f ♣xqg ♣xqxf ♣x qg ♣x qlim g ♣xqDấu của g ♣xq✟✽Tùy ýf ♣ xqxÑx0 g ♣xq0 ✁ ✁ ✽✁✽✁✽ ✽xÑ x00α➔00VIEα→0lim(Dấu của g ♣xq xét trên một khoảng K nào đó đang tính giớihạn, với x ✘ x0 ). 76CHƯƠNG 10. GIỚI HẠN10.3Hàm số liên tục10.3.1Hàm số liên tục1. Cho hàm số y ✏ f ♣xq xác định trên khoảng K và x0đó, hàm số y ✏ f ♣xq liên tục tại x0 khi và chỉ khi€ K. Khilim f ♣xq ✏ f ♣x0 qxÑ x02. Hàm số y ✏ f ♣xq liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tạimọi điểm của khoảng đó.3. Hàm số y ✏ f ♣xq liên tục trên đoạn ra; bs nếu nó liên tục trênkhoảng ♣a; bq và lim f ♣xq ✏ f ♣aq, lim f ♣xq ✏ f ♣bq.xÑa xÑb✁➓ Nhận xét: Đồ thị của một hàm số liên tục trên một khoảng là một“đường liền” trên khoảng đó.10.3.2Các định lýĐịnh lý 10.3. Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.Hàm số phân thức hữu tỷ và hàm số lượng giác liên tục trên từngkhoảng của tập xác định của chúng.Định lý 10.4. Giả sử ytại điểm x0 . Khi đó✏ f ♣xq và y ✏ g♣xq là hai hàm số liên tục1. Các hàm số f ♣xq   g ♣xq, f ♣xq ✁ g ♣xq và f ♣xq.g ♣xq cũng liên tụctại điểm x0 .2. Hàm sốf ♣x qliên tục tại x0 nếu g ♣x0 q ✘ 0.g ♣x qĐịnh lý 10.5. Nếu hàm số y ✏ f ♣xq liên tục trên đoạn ra; bs vàf ♣aq.f ♣bq ➔ 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c € ♣a; bq sao cho f ♣cq ✏ 0.Hệ quả 10.6. Cho hàm số y ✏ f ♣xq liên tục trên đoạn ra; bs vàf ♣aq.f ♣bq ➔ 0. Khi đó phương trình f ♣xq ✏ 0 có ít nhất một nghiệmtrong khoảng ♣a; bq. ETChương 11S.NĐạo hàmCác lý thuyết về đạo hàm11.1.1Định nghĩaTMATH11.1Định nghĩa 11.1. Cho hàm số y ✏ f ♣xq xác định trên khoảng♣a, bq, x0 € ♣a, bq, x0   ∆x € ♣a, bq, nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)f ♣x0   ∆xq ✁ f ♣x0 qlim∆xÑ0∆xđược gọi là đạo hàm của f ♣xq tại x0 , kí hiệu là f ✶ ♣x0 q hay y ✶ ♣x0 q, khiđóf ♣x0   ∆xq ✁ f ♣x0 q∆xÑ0∆x11.1.2VIEf ✶ ♣x0 q ✏ limf ♣xq ✁ f ♣x0 q✏ xlimÑxx ✁ x00Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa1. Bước 1: Với ∆x là số gia của đối số tại x0 , tính∆y2. Lập tỉ số✏ f ♣x0   ∆xq ✁ f ♣x0q∆y.∆x77 78CHƯƠNG 11. ĐẠO HÀM∆y.∆xÑ0 ∆x3. Tính lim➓ Chú ý: Trong định nghĩa và quy tắc trên đây, thay x0 bởi x ta sẽcó định nghĩa và quy tắc tính đạo hàm của hàm số y ✏ f ♣xq tại điểmx € ♣a; bq.11.1.3Quan hệ giữa tính liên tục và sự có đạo hàmf ♣xq có đạo hàmtại x011.1.4ñöf ♣xq liên tụctại x0Ý nghĩa hình học của đạo hàmNếu tồn tại, f ✶ ♣x0 q là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm sốy ✏ f ♣xq tại M ♣x0 ; f ♣x0 qq. Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồthị hàm số tại M lày ✁ y011.1.5✏ f ✶♣x0q♣x ✁ x0q , với y0 ✏ f ♣x0qÝ nghĩa vật lý của đạo hàmv ♣tq ✏ s✶ ♣tq là vận tốc tức thời của chuyển động sđiểm t.11.2Các qui tắc tính đạo hàm11.2.1Các công thức1. rf ♣xq ✟ g ♣xqs✶2.3.4.✏ f ✶♣xq ✟ g✶♣xq.rf ♣xq.g♣xqs✶ ✏ f ✶♣xqg♣xq   f ♣xqg✶♣xq.rkf ♣xs✶ ✏ kf ✶♣xq với k € R.✂✡f ♣x q ✶ f ✶ ♣x qg ♣x q ✁ f ♣x q g ✶ ♣x q✏với g ♣xq ✘ 0.g ♣ xqrg♣xqs2✏ s♣tq tại thời 11.2. CÁC QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM795. Đạo hàm của hàm hợpyx✶Đạo hàm của hàm sơ cấp✏ 0 với c € R• ♣ x α q✶••Đạo hàm của hàm hợp u ✏ u♣xq✏ α.xα✁1✂ ✡✶1x✏ ✁ x12• ♣uα q✶•✏ α.uα✁1u✶✂ ✡✶1u✶✏ ✁ uu2TMATH• ♣cq✶ETBảng các đạo hàm cơ bảnS.N11.2.2✏ yu✶ .u✶x với y ✏ y♣uq, u ✏ u♣xq.♣❄xq✶ ✏ 2❄1 x• ♣ex q✶✏ ex• ♣ax q✶✏ ax ln a•u♣❄uq✶ ✏ 2❄u✶• ♣e u q✶✏ eu.u✶• ♣a u q✶✏ au. ln a.u✶✏ cos x• ♣sin uq✶✏ u✶. cos u• ♣cos xq✶✏ ✁ sin x• ♣cos uq✶✏ ✁u✶. sin u• ♣tan xq✶✏ cos12 x• ♣tan uq✶✏ cosu2 u• ♣cot xq✶✏ ✁ sin12 x• ♣cot uq✶✏ ✁u✶. sin12 uVIE• ♣sin xq✶✂•ax   bcx   d✡✶ad ✁ bc✏ ♣cx  dq2✶ 8011.3CHƯƠNG 11. ĐẠO HÀMVi phânCho hàm số y ✏ f ♣xq xác định trên ♣a, bq và có đạo hàm tại x € ♣a, bq.Giả sử ∆x là số gia của x sao cho x   ∆x € ♣a, bq. Tích f ✶ ♣xq∆x đượcgọi là vi phân của hàm số f ♣xq tại x, ứng với số gia ∆x, ký hiệu làdf ♣xq hay dy. Như vậy dy ✏ df ♣xq ✏ f ✶ ♣xqdx. ETChương 12Tính đồng biến - nghịch biến của hàmsốTMATH12.1S.NKhảo sát hàm sốGiả sử hàm f ♣xq có đạo hàm trên khoảng ♣a; bq, khi đó:1. f ✶ ♣xq → 0, ❅x € ♣a, bq thì f ♣xq đồng biến trên khoảng ♣a, bq.2. f ✶ ♣xq ➔ 0, ❅x € ♣a, bq thì f ♣xq nghịch biến trên khoảng ♣a, bq.3. f ♣xq đồng biến trên khoảng ♣a, bq thì f ✶ ♣xq ➙ 0, ❅x € ♣a, bq.4. f ♣xq nghịch biến trên khoảng ♣a, bq thì f ✶ ♣xq ↕ 0, ❅x € ♣a, bq.12.2Cực trị của hàm sốVIEGiả sử hàm f ♣xq có đạo hàm trên khoảng ♣a; bq và x0★1. Nếuf ♣x q .★2. Nếuf ♣x q .€ ♣a; bqf ✶ ♣xq → 0, ❅x € ♣x0 ✁ h; x0 qf ✶ ♣xq ➔ 0, ❅x € ♣x0 ; x0   hqthì x0 là điểm cực đại củaf ✶ ♣xq ➔ 0, ❅x € ♣x0 ✁ h; x0 qf ✶ ♣xq → 0, ❅x € ♣x0 ; x0   hqthì x0 là điểm cực tiểu của81 82CHƯƠNG 12. KHẢO SÁT HÀM SỐ★f ✶ ♣x 0 q ✏ 0f ✷ ♣x 0 q ➔ 0thì x0 là điểm cực đại của f ♣xq.★f ✶ ♣x 0 q ✏ 0f ✷ ♣x 0 q → 0thì x0 là điểm cực tiểu của f ♣xq.3. Nếu4. Nếu12.3Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số12.3.1Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trênmột đoạnĐịnh lý 12.1. Nếu hàm số ytại max f ♣xq và min f ♣xq.ra;bs✏ f ♣xq liên tục trên đoạn ra; bs thì tồnra;bs➓ Cách tìm:✌Tìm xi € ra, bs, i ✏ 1, 2, . . . , n là các điểm tại đó có đạo hàm bằng0 hoặc không xác định.✌Tính f ♣aq, f ♣bq, f ♣xi q, với i ✏ 1, 2, . . . , n.✌So sánh để suy raGTLNGTNN12.3.2✏ max tf ♣aq, f ♣x1q, . . . , f ♣xnq, f ♣bq✉✏ min tf ♣aq, f ♣x1q, . . . , f ♣xnq, f ♣bq✉Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên mộtkhoảngCho hàm số yhợp✏ f ♣xq liên tục trên khoảng ♣a; bq, khi đó xét hai trường 12.4. ĐƯỜNG TIỆM CẬNxx0a✁y✶83xb x0a y✶b✁yyGTNNETGTLN12.4Đường tiệm cậnS.NTrong đó f ✶ ♣x0 q bằng 0 hoặc f ✶ ♣xq không xác định tại x0 .12.4.1✏ f ♣x q.TMATHKí hiệu ♣Cq là đồ thị của hàm số yĐường tiệm cận đứngNếu một trong các điều kiện sau xảy ra✔lim f ♣xq ✏  ✽ ✖ xÑ x0✖ lim f x✖✖ xÑ x 0✖✖ lim f x✖ xÑ x✁0✕♣ q ✏ ✁✽♣ q ✏  ✽lim f ♣xq ✏ ✁✽✁Ñ x0VIExthì đường thẳng x ✏ x0 là tiệm cận đứng của ♣Cq.12.4.2Đường tiệm cận ngangNếu lim f ♣xq ✏ y0 hoặc lim f ♣xq ✏ y0 thì đường thẳng yxÑ ✽tiệm cận ngang của ♣Cq.xÑ✁✽✏ y0 là 84CHƯƠNG 12. KHẢO SÁT HÀM SỐ12.5Các bước khảo sát hàm số12.5.1Sơ đồ khảo sát hàm số y ✏ f ♣xq1. Tìm tập xác định của hàm số.2. Sự biến thiên(a) Chiều biến thiêni. Tính y ✶ .ii. Tìm các nghiệm của phương trình y ✶tại đó y ✶ không xác định.✏ 0 và các điểmiii. Xét dấu y ✶ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.(b) Tìm các điểm cực trị (nếu có).(c) Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn tại  ✽, ✁✽ và tạicác điểm mà hàm số không xác định. Suy ra các đườngtiệm cận đứng và ngang (nếu có).(d) Lập bảng biến thiên.3. Vẽ đồ thị: Tính thêm tọa độ một số điểm đặc biệt, lập bảng giátrị và dựa vào bảng biến thiên để vẽ đồ thị.➓ Chú ý:✌✌Nếu hàm số tuần hoàn với chu kỳ T thì ta chỉ cần vẽ đồ thị trênmột chu kỳ rồi tịnh tiến đồ thị song song với Ox.Để vẽ đồ thị thêm chính xác ta cầnTìm thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt nên tính các giao điểmcủa đồ thị với các trục tọa độ.Lưu ý tính chất đối xứng (qua trục, qua tâm,...) của đồ thị. 12.5. CÁC BƯỚC KHẢO SÁT HÀM SỐ12.5.285Tương giao của hai đồ thịET1. Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị. Giảsử ♣C1 q là đồ thị của hàm số y ✏ f ♣xq và ♣C2 q là đồ thị của hàmsố y ✏ g ♣xq. Khi đó số nghiệm của phương trình f ♣xq ✏ g ♣xqtương ứng với số giao điểm của ♣C1 q và ♣C2 q.2. Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số.TạiTạiTạiTạiTạimột điểm ♣x0 ; y0 q trên đồ thị.điểm có hoành độ x0 trên đồ thị.điểm có tung độ y0 trên đồ thị.giao điểm của đồ thị với trục tung.giao điểm của đồ thị với trục hoành.TMATHi.ii.iii.iv.v.S.N(a) Dạng 1.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y✏ f ♣xq:Phương pháp giải: Tìm đủ các giá trị x0 ; y0 ✏ f ♣x0 q và f ✶ ♣x0 q.Khi đó, phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y ✏f ♣xq tại ♣x0 ; y0 q lày ✁ y0✏ f ✶♣x0q♣x ✁ x0q(b) Dạng 2.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y ✏ f ♣xqbiết tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với đường thẳngy ✏ ax   b. Phương pháp giải như sauVIEi. Tính y ✶ ✏ f ✶ ♣xq.ii. Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y ✏ ax   bthì hệ số góc của tiếp tuyến bằng a, tức là giải phươngtrình f ✶ ♣xq ✏ a để tìm x0 . Nếu tiếp tuyến vuông gócvới đường thẳng y ✏ ax   b thì hệ số góc của tiếp11tuyến bằng ✁ , tức là giải phương trình f ✶ ♣xq ✏ ✁aađể tìm x0 .iii. Tính y0 ✏ f ♣x0 q. 86CHƯƠNG 12. KHẢO SÁT HÀM SỐiv. Thay vào phương trình tiếp tuyến y ✁ y0x 0 q.✏ f ✶♣x0q♣x ✁(c) Dạng 3.Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trướcđến đồ thị hàm số y ✏ f ♣xq. Phương pháp sử dụng điềukiện tiếp xúc: Đồ thị hàm số y ✏ f ♣xq và đường thẳngy ✏ g ♣xq tiếp xúc tại điểm có hoành độ x0 khi x0 là nghiệmcủa hệ★f ♣x q ✏ g ♣x qf ✶ ♣x q ✏ g ✶ ♣x q12.6Ứng dụng khảo sát hàm số trong bấtđẳng thứcVí dụ 12.6.1. Cho các số thức a, bnhỏ nhất của biểu thứcF→ 0 thỏa a   b ✏ 1. Tìm giá trị✏ a3  1 b3   ab1Giải.❄1Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 1 ✏ a   b ➙ 2 ab nên ab ↕ . Mà411a, b → 0 nên ab → 0. Do đó 0 ➔ ab ↕ . Đặt ab ✏ t thì t € ♣0; 4 s, khi4đó11F ✏ 1 ✁ 3tt113Xét hàm số f ♣tq ✏ với t € ♣0; 14 s. Ta có f ✶ ♣tq ✏1 ✁ 3t❄ t♣1 ✁ 3tq2 ✁1 ✶3✟ 3, f ♣tq ✏ 0 khi t ✏2t6❄❄3✁ 3Lập bảng biến thiên suy ra min F ✏ 4   2 3 khi t ✏, tương6ứng với a, b ✏ . . .. ETChương 13S.NLũy thừa và logaritLũy thừa13.1.1Lũy thừa với số mũ nguyênTMATH13.11. Lũy thừa với số mũ nguyên dươngVới a € R, n € N✝ ta cóan✏ ❧♦♦♦♠♦♦♦♥a.a . . . an thừa số2. Lũy thừa với số mũ nguyên âm và số mũ 0VIE(a) Với a ✘ 0, n € N ta có(b) Với a ✘ 0 ta có a0a✁ n✏ a1n✏ 1.(c) Chú ý: 00 và 0✁n không có nghĩa.13.1.2Căn bậc nCho số thực b và số nguyên dương n ➥ 2. Khi đó87 88CHƯƠNG 13. LŨY THỪA VÀ LOGARIT✏ b, ký hiệu a ✏❄b với mọi b € R.1. Số a được gọi là căn bậc n của b nếu an❄nb.n2. Khi n lẻ thì tồn tại duy nhất3. Khi n chẵn thì(a) Nếu b ➔ 0 thì không tồn tại căn bậc n của b.(b) Nếu b ✏ 0 thì có một căn(c) Nếu b → 0 thì có hai căn13.1.3nnnLũy thừa với số mũ hữu tỉVới a → 0, m, n € Z, n ➙ 2, ta cóman13.1.4❄❄ 0 ✏ 0.❄b và ✁ b.✏❄namLũy thừa với số mũ vô tỉCho a → 0, α là một số vô tỉ và ♣rn q là một dãy số hữu tỉ sao cholim rn ✏ a, khi đóÑ ✽naα13.1.51. aα .aβ✏ a α  β ;2. ♣abqα✏ aα.bα;3. ♣aα qβ5.nCác tính chất lũy thừaCho a → 0, b → 0, α, β4.✏ nÑ ✽lim ar€ R, khi đóaαaβ✏ aα✁β .✁ a ✠αbα✏ abα .✏ aαβ .Nếu a → 1 thì aα → aβ ðñ α → β.Nếu 0 ➔ a ➔ 1 thì aα → aβ ðñ α ➔ β. 13.2. HÀM SỐ LŨY THỪA8913.2Hàm số lũy thừa13.2.1Cơ bản về hàm số lũy thừaTập xác địnhTập xác định của hàm số y✌✏ xα là:R với α nguyên dương;S.N13.2.2✏ xα vớiETĐịnh nghĩa 13.1. Hàm số lũy thừa là hàm số có dạng yα € R.TMATH✌ R③t0✉ với α nguyên âm hoặc bằng 0;✌ ♣0;  ✽q với α không nguyên.13.2.3Đạo hàmHàm số y✏ xα với α € R có đạo hàm với mọi x → 0 và ♣xαq✶ ✏ αxα✁1.13.2.4Tính chấtXét hàm số lũy thừa y✏ xα trên khoảng ♣0;  ✽q, khi đóVIE1. Đồ thị luôn đi qua điểm ♣1; 1q.2. Khi α → 0 hàm số luôn đồng biến, khi α ➔ 0 hàm số luôn nghịchbiến.3. Đồ thị của hàm số không có tiệm cận khi α → 0. Khi α ➔ 0, đồthị của hàm số có tiệm cận ngang là trục Ox, tiêm cận đứng làtrục Oy. 90CHƯƠNG 13. LŨY THỪA VÀ LOGARIT13.2.5Đồ thịyĐồ thị của hàm số lũy thừay ✏ xα trên khoảng ♣0;  ✽qứng với các giá trị khácnhau của α.α→1α✏10➔α➔1α✏01O13.3Logarit13.3.1Cơ bản về logaritα➔01xĐịnh nghĩa 13.2. Cho a → 0, b → 0, a ✘ 1, số α thỏa đẳng thứcaα ✏ b được gọi là logarit cơ số a của b và ký hiệu là loga b, như vậyα ✏ loga b ðñ aα13.3.2Các tính chấtloga 1 ✏ 0; loga a ✏ 1; aloga b13.3.3✏b✏ b; loga aα ✏ αCác quy tắc tính1. Với các số a, b1 , b2→ 0, a ✘ 1, ta cóloga ♣b1 b2 q ✏ loga b1   loga b2✂logab1b2✡✏ loga b1 ✁ loga b22. Với các số a, b → 0, a ✘ 1, α € R, n € N✝ , ta có 13.4. HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT✂ ✡loga1b✏ ✁ loga b;loga bα✏ α loga b ; loga91❄nb✏1loga b.n13.3.411logc b; loga b ✏♣b ✘ 1q; logaα b ✏ loga blogc alogb aαS.Nloga b ✏ET3. Với các số a, b, c → 0, a ✘ 1, c ✘ 1, α ✘ 0 ta cóLogarit thập phân và logarit tự nhiênVới x → 0 ta viết gọnTMATHlog10 x ✏ lg x hoặc log10 x ✏ log x; loge x ✏ ln x13.4Hàm số mũ và hàm số logarit13.4.1Hàm số mũ1. Hàm số y✏ ax với a → 0, a ✘ 1 đươc gọi là hàm số mũ cơ số a.VIE2. Hàm số y ✏ ax có đạo hàm tại mọi x và ♣ax q✶biệt ♣ex q✶ ✏ ex .✏ ax ln a. Đặc3. Các tính chất(a) Tập xác định của hàm số mũ là R.(b) Khi a → 1 hàm số mũ luôn đồng biến. Khi 0 ➔ a ➔ 1 hàmsố mũ luôn nghịch biến.(c) Đồ thị của hàm số mũ 92CHƯƠNG 13. LŨY THỪA VÀ LOGARITyĐồ thị của hàm số mũ cótiệm cận ngang là trục Oxvà luôn đi qua các điểm♣0; 1q, ♣1; aq và nằm phíatrên trục hoành.✏ axa1O13.4.2yx1Hàm số logarit1. Hàm số ycơ số a.✏ loga x với a → 0, a ✘ 1 đươc gọi là hàm số logarit2. Hàm số y ✏ loga x có đạo hàm tại mọi x11. Đặc biệt ♣ln xq✶ ✏ .x ln ax→ 0 và ♣loga xq✶ ✏3. Các tính chất(a) Tập xác định của hàm số logarit là ♣0;  ✽q.(b) Khi a → 1 hàm số logarit luôn đồng biến. Khi 0hàm số logarit luôn nghịch biến.(c) Đồ thị của hàm số logarityĐồ thị của hàm số logarit có tiệm cận đứng làtrục Oy và luôn đi qua cácđiểm ♣1; 0q, ♣a; 1q và nằmphía bên phải trục tung.➔a➔1y✏ loga x11Oax 13.5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 93Phương trình mũ và phương trình logarit13.5.1Phương trình mũ1. Phương trình mũ dạng cơ bảnaxET13.5✏ b ♣a → 0, a ✘ 1q(a) Nếu b ↕ 0 thì phương trình vô nghiệm.S.N(b) Nếu b → 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x ✏ loga b.2. Phương trình mũ đơn giản: Giải bằng các phương pháp sau(a) Đưa về cùng một cơ số.TMATH(b) Đặt ẩn phụ.(c) Lấy logarit hai vế (logarit hóa).(d) Phương pháp đồ thị.(e) Áp dụng các tính chất của hàm số mũ ...13.5.2Phương trình logarit1. Phương trình logarit dạng cơ bảnloga x ✏ b ♣a → 0, a ✘ 1qVIEPhương trình logarit cơ bản luôn có nghiệm duy nhấtx ✏ ab2. Phương trình logarit đơn giản: Giải bằng các phương pháp sau(a) Đưa về cùng một cơ số.(b) Đặt ẩn phụ.(c) Mũ hóa hai vế(d) Phương pháp đồ thị.(e) Áp dụng các tính chất của hàm số logarit ... 94CHƯƠNG 13. LŨY THỪA VÀ LOGARIT13.6Bất phương trình mũ và logarit13.6.1Bất phương trình mũ1. Bất phương trình mũ cơ bản→ b với a → 0, a ✘ 1.i. Nếu b ↕ 0 thì tập nghiệm của bất phương trình là R.ii. Nếu b → 0 và✌ a → 1, tập nghiệm là ♣loga b;  ✽q.✌ 0 ➔ a ➔ 1, tập nghiệm là ♣✁✽; loga bq.Dạng 2: ax ➙ b với a → 0, a ✘ 1.i. Nếu b ↕ 0 thì tập nghiệm của bất phương trình là R.ii. Nếu b → 0 và✌ a → 1, tập nghiệm là rloga b;  ✽q.✌ 0 ➔ a ➔ 1, tập nghiệm là ♣✁✽; loga bs.Dạng 3: ax ➔ b với a → 0, a ✘ 1.i. Nếu b ↕ 0 thì tập nghiệm của bất phương trình là ∅.ii. Nếu b → 0 và✌ a → 1, tập nghiệm là ♣✁✽; loga bq.✌ 0 ➔ a ➔ 1, tập nghiệm là ♣loga b;  ✽q.Dạng 4: ax ↕ b với a → 0, a ✘ 1.i. Nếu b ↕ 0 thì tập nghiệm của bất phương trình là ∅.ii. Nếu b → 0 và✌ a → 1, tập nghiệm là ♣✁✽; loga bs.✌ 0 ➔ a ➔ 1, tập nghiệm là rloga b;  ✽q.(a) Dạng 1: ax(b)(c)(d)2. Bất phương trình mũ dạng đơn giản: Để giải ta cần biến đổiđưa về bất phương trình mũ cơ bản hoặc bất phương trình đạisố. 13.7. GIỚI THIỆU VỀ LOGARIT13.6.295Bất phương trình logarit1. Bất phương trình logarit cơ bản(a) Dạng 1: loga x → b với a → 0, a ✘ 1. ✟ETi. Nếu a → 1 thì tập nghiệm là ab ;  ✽ . ✟ii. Nếu 0 ➔ a ➔ 1 thì tập nghiệm là 0; ab .(b) Dạng 2: loga x ➙ b với a → 0, a ✘ 1.✏✟S.Ni. Nếu a → 1 thì tập nghiệm là ab ;  ✽ . ✘ii. Nếu 0 ➔ a ➔ 1 thì tập nghiệm là 0; ab .(c) Dạng 3: loga x ➔ b với a → 0, a ✘ 1. ✟TMATHi. Nếu a → 1 thì tập nghiệm là 0; ab . ✟ii. Nếu 0 ➔ a ➔ 1 thì tập nghiệm là ab ;  ✽ .(d) Dạng 3: loga x ↕ b với a → 0, a ✘ 1. ✘i. Nếu a → 1 thì tập nghiệm là 0; ab .✏✟ii. Nếu 0 ➔ a ➔ 1 thì tập nghiệm là ab ;  ✽ .2. Bất phương trình logarit dạng đơn giản: Để giải ta cần biến đổiđưa về bất phương trình logarit cơ bản hoặc bất phương trìnhđại số.13.7Giới thiệu về logaritVIEVới a là một số dương khác 1 và b là một số dương, số thực n thỏamãn an ✏ b được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu loga ♣bq. Lôgaritcủa tích hai số bằng tổng của lôgarit hai số đó:loga ♣xy q ✏ loga ♣xq   loga ♣y qNhờ quy tắc này mà nhiều thế kỷ trước các nhà toán học và kỹ thuậtcó thể sử dụng bảng lôgarit để thực hiện phép nhân hai số thông quaphép cộng lôgarit, do phép cộng thì dễ tính hơn phép nhân. Nhà toánhọc John Napier đã phát minh ra phép tính này ở thế kỷ 17. Để sử 96CHƯƠNG 13. LŨY THỪA VÀ LOGARITdụng bảng lôgarit, người ta thường đưa về lôgarit cơ số a ✏ 10, gọilà lôgarit thập phân để thuận tiện cho tra bảng và tính toán. Lôgarittự nhiên lấy hằng số e (xấp xỉ bằng 2,718) làm cơ số, và nó được sửdụng rộng rãi trong toán thuần túy. Lôgarit nhị phân với cơ số bằng2 được sử dụng trong khoa học máy tính.Thang lôgarit cho phép thu hẹp các đại lượng về phạm vi nhỏ hơn.Ví dụ, độ Richter đo năng lượng của động đất cũng sử dụng thang đolôgarit, decibel là đơn vị lôgarit đo áp suất âm thanh. Lôgarit cũngthường gặp trong các công thức khoa học và kỹ thuật, như đo độphức tạp của thuật toán và fractal, thậm chí trong công thức đếm sốnguyên tố. ETChương 14S.NNguyên hàm và tích phânNguyên hàm14.1.1Nguyên hàm và các tính chấtTMATH14.11. Cho hàm số f ♣xq xác định trên khoảng K ❸ R. Hàm số F ♣xqgọi là nguyên hàm của hàm f ♣xq trên khoảng K nếuF ✶ ♣xq ✏ f ♣xq, ❅x € K.2. Mọi hàm số liên tục trên khoảng Ktrên đoạn đó.❸ R đều có nguyên hàmVIE3. Nếu F ♣xq là một nguyên hàm của hàm số f ♣xq trên khoảngK ❸ R thì với mỗi hằng số C, hàm số G♣xq ✏ F ♣xq  C cũng làmột nguyên hàm của f ♣xq trên K. Ngược lại, nếu F ♣xq là mộtnguyên hàm của hàm số f ♣xq trên K thì mọi nguyên hàm củaf ♣xq trên K đều có dạng F ♣xq  C với C là một hằngsố. Kí hiệu➺họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ♣xq làlà tích phân bất định của f ♣xq. Khi đóvới C€ R.4. Các tính chất cơ bản97➺f ♣xq dx, đọcf ♣xq dx✏ F ♣x q   C 98CHƯƠNG 14. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN➺(a)➺(b)➺(c)14.1.2f ✶ ♣xq dx ✏ f ♣xq   C với C là hằng số thực.kf ♣xq dx ✏ k➺f ♣xq dx với k là hằng số thực.rf ♣xq ✟ g♣xqs dx ✏➺f ♣xq dx ✟➺g ♣xq dx.Phương pháp tính nguyên hàm➺1. Phương pháp đổi biến số. Nếuf ♣uq duu ✏ u♣xq là hàm số có đạo hàm liên tục thì➺F ♣u♣xqq   C.✏ F ♣uq   C vàf ♣u♣xqqu✶ ♣xq du ✏2. Phương pháp tích phân từng phần. Nếu ➺hai hàm số u✏u♣xq và v ✏ v ♣xq có đạo hàm liên tục trên K thì u♣xqv ✶ ♣xq du ✏u♣xqv ♣xq ✁14.1.3➺u✶ ♣xqv ♣xq du.Bảng các nguyên hàm cơ bảnNguyên hàm của hàm sơ cấp➺••••➺➺➺0 dx ✏ C•1 dx ✏ x   C•x dx ✏α➺Nguyên hàm của hàm hợp u ✏ u♣xqx α  1α 1 C1dx ✏ ln ⑤x⑤   Cx••➺➺➺0 du ✏ C1 du ✏ u   Cuα du ✏uα 1α 1 C1du ✏ ln ⑤u⑤   Cu 14.2. TÍCH PHÂN•••➺a dx ✏x➺➺ Caxln a• Ccos x dx ✏ sin x   C➺➺➺•••sin x dx ✏ ✁ cos x   C•1dx ✏ tan x   Ccos2 x•1dx ✏ ✁ cot x   Csin2 x•➺➺➺eu du ✏ eu   Cau du ✏auln a CET•e dx ✏ excos u du ✏ sin u   Csin u du ✏ ✁ cos u   C➺➺1du ✏ tan u   Ccos2 u1du ✏ ✁ cot u   Csin2 uTMATH•xS.N➺9914.2Tích phân14.2.1Tích phân và các tính chấtVIE1. Định nghĩa. Cho hàm số f ♣xq liên tục trên đoạn ra, bs. Giảsử F ♣xq là một nguyên hàm của f ♣xq trên đoạn ra, bs. Hiệu sốF ♣bq✁ F ♣aq được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xácđịnh trên ra, bs) của hàm số f ♣xq. Ký hiệu là➺bf ♣xq dx. Khi đóa✞b✞f ♣xq dx ✏ F ♣xq✞aa➺b✏ F ♣bq ✁ F ♣aq 100CHƯƠNG 14. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂNTrường hợp a➺a✏ b ta định nghĩa✏ 0. Trường hợpa➺ba → b ta định nghĩaf ♣xq dxf ♣xq dx ✏ ✁a➺af ♣xq dx.b2. Các tính chất của tích phân.➺b(a)a➺b(b)a➺b(c)akf ♣xq dx ✏ k➺bf ♣xq dx với k là hằng số.arf ♣xq ✟ g♣xqs dx ✏➺bf ♣xq dx ✟af ♣xq dx ✏➺cf ♣xq dx  a➺bg ♣xq dx.a➺bf ♣xq dx với a ➔ c ➔ b.c(d) Tích phân không phụ thuộc vào chữ dùng làm biến sốtrong dấu tích phân, tức là➺bf ♣xq dx ✏a14.2.2➺bf ♣tq dt ✏ ☎ ☎ ☎aPhương pháp tính tích phân1. Phương pháp đổi biến số(a) Giả sử hàm số x ✏ ϕ♣tq có đạo hàm liên tục trên đoạnrα, β s sao cho ϕ♣αq ✏ a, ϕ♣β q ✏ b và a ↕ ϕ♣tq ↕ b, ❅t €rα, β s. Khi đó➺ba.f ♣xq dx ✏➺baf ♣ϕ♣tqqϕ✶ ♣tq dt 14.2. TÍCH PHÂN101(b) Giả sử hàm số u ✏ u♣xq có đạo hàm liên tục trên đoạnra, bs sao cho α ↕ u♣xq ↕ β, ❅x € ra, bs. Nếu f ♣xq ✏g ♣u♣xqqu✶ ♣xq, ❅x € ra, bs, trong đó g ♣uq liên tục trên đoạnrα, β s thìf ♣xq dx ✏a♣qu➺ bg ♣uq duET➺b♣qu a.➺bS.N2. Phương pháp tích phân từng phần. Nếu u ✏ u♣xq và vv ♣xq là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn ra, bs thì✏➺b✞✞bu♣xqv ✶ ♣xq dx ✏ ru♣xqv ♣xqs✞ ✁ u✶ ♣xqv ♣xq dxaaTMATHahoặc➺bu dv✞b✞uv ✞✏r sa✁a14.2.3➺bv du .aỨng dụng của tích phân1. Tính diện tích của hình phẳngVIE(a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm sốy ✏ f ♣xq, hai đường thẳng x ✏ a, x ✏ b và trục Ox làyy➺bS✏ f ♣x q✏ ⑤f ♣xq⑤ dx➺ba⑤f ♣xq⑤ dxaOabx 102CHƯƠNG 14. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN(b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm sốy ✏ f ♣xq, y ✏ g ♣xq và hai đường thẳng x ✏ a, x ✏ b làyy➺bS✏ f ♣x q✏ ⑤f ♣xq ✁ g♣xq⑤ dxyaaOb✏ g ♣x qx2. Tính thể tích của vật thể tròn xoay(a) Giả sử hình phẳng giới hạn bởi các đường y ✏ f ♣xq, y ✏0 ♣trục Oxq, x ✏ a, x ✏ b khi quay quanh trục Ox tạothành một vật thể tròn xoay. Thể tích của vật thể đó là➺bV✏ π rf ♣xqs2 dxa(b) Xét đường cong có phương trình x ✏ g ♣y q liên tục với mọiy € ra; bs. Nếu hình giới hạn bởi các đường x ✏ g ♣y q, x ✏0 ♣trục Oy q, y ✏ a, y ✏ b quay quanh trục Oy thì thể tíchcủa vật thể tròn xoay tạo thành xác định bởi➺bV✏ π rg♣yqs2 dya ETChương 15Cơ bản về số phứcTMATH15.1S.NSố phức1. Số phức có dạngztrong đó✏ a   bi(a) a là phần thực, b là phần ảo, a, b € R.(b) i là đơn vị ảo và i2✏ ✁1.2. Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảotương ứng bằng nhau, tức làVIEa   bi ✏ c   di ô★a✏cb✏d3. Số phức z ✏ a   bi được biểu diễn bởi điểm M ♣a; bq trên mặtÝÝÑphẳng tọa độ Oxy. Khi đó, độ dài của OM gọi là mô đun củasố phức z đó, tức là✞ÝÑ✞✞✞ ✏ ❛a2   b2.Ýz ⑤ ✏ ✞✞ÝOM⑤Ñ4. Số phức liên hợp của z✏ a   bi là z ✏ a ✁ bi.103 104CHƯƠNG 15. SỐ PHỨC15.2Các phép toán với số phức1. Phép cộng: ♣a   biq   ♣c   diq ✏ ♣a   cq   ♣b   dqi.2. Phép trừ: ♣a   biq ✁ ♣c   diq ✏ ♣a ✁ cq   ♣b ✁ dqi.3. Phép nhân:♣a   biq♣c   diq ✏ ac   adi   cbi   bdi2✏ ♣ac ✁ bdq   ♣ad   bcqi.4. Phép chia:♣a   biq ✏ ♣a   biq♣c ✁ diq♣c   diq ♣c   diq♣c ✁ diq✏ ♣a  ♣cbi2  q♣cd✁2q diq .15.3Phương trình bậc hai với hệ số thực1. Số thực a ➔ 0 vẫn có các căn bậc hai là i❛❛⑤a⑤ và ✁i ⑤a⑤.2. Xét phương trình bậc haiax2   bx   c ✏ 0trong đó a, b, c € R, a ✘ 0. Đặt ∆ ✏ b2 ✁ 4ac(a) Nếu ∆ ✏ 0 thì phương trình có nghiệm kép (thực) x✁ 2ab .(b) Nếu ∆❄ → 0 thì phương trình có 2 nghiệm thực x1,2✁b ✟ ∆ .2a(c) Nếu ∆❛➔ 0 thì phương trình có 2 nghiệm phức x1,2✁b ✟ i ⑤∆⑤ .2a✏✏✏ 15.4. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG 1053. Cách tìm căn bậc hai của một số phức a   bi với a, b đã biếttrước(a) Giả sử ta cần tìm c, d sao choETa   bi ✏ ♣c   diq2✏ c2 ✁ d2   2cdiKhi đó, do tính chất bằng nhau của hai số phức ta có.c2 ✁ d2 ✏ a2cd ✏ bS.N★15.4TMATH(b) Giải hệ phương trình này ta sẽ tìm được c, d. Suy ra cănbậc hai của số phức a   bi.Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng1. Số phức dưới dạng lượng giác(a) Acgument của số phức: Cho số phức z ✘ 0, M là điểmbiểu diễn của z trong mặt phẳng Oxy. Khi đó, Acgumentcủa z là số đo (radian) của góc lượng giác ♣Ox, OM q.✏ a   bi ✘ 0 làz ✏ r♣cos ϕ   i sin ϕq❄với r ✏ ⑤z ⑤ ✏ a2   b2 và ϕ là Acgument của z (ϕ € Rabthỏa cos ϕ ✏ ; sin ϕ ✏ ).rrVIE(b) Dạng lương giác của số phức z2. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác: Cho 2 số phức z1 ✏r1 ♣cos ϕ1   i sin ϕ1 q và z2 ✏ r2 ♣cos ϕ2   i sin ϕ2 q với r1 , r2 ➥ 0,khi đó(a) z1 .z2✏ r1r2rcos♣ϕ1   ϕ2q   i sin♣ϕ1   ϕ2qs. 106CHƯƠNG 15. SỐ PHỨC(b)z1z2✏ rr1 rcos♣ϕ1 ✁ ϕ2q   i sin♣ϕ1 ✁ ϕ2qs, r2 → 0.23. Công thức Moivre1 và ứng dụng(a) Công thức Moivre: Với mọi n nguyên dương ta córr♣cos ϕ   i sin ϕqsn ✏ rn♣cos nϕ   i sin nϕq(b) Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác: Từ côngthức Moivre suy ra số phức z ✏ r♣cos ϕ   i sin ϕq có haicăn bậc hai là❄r ✁cos ϕ   i sin ϕ ✠ và ✁❄r ✁cos ϕ   i sin ϕ ✠.22221Abraham de Moivre (1667 - 1754) là một nhà toán học người Pháp. Ông nổitiếng với công thức liên kết số phức với lượng giác. Ông cũng được biết đến vớinhững đóng góp về phân phối chuẩn trong lý thuyết xác suất. ETS.NTài liệu tham khảo[1] Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường, Trần Văn Hạo, Đỗ Mạnh Hùng,Phạm Phu, Nguyễn Tiến Tài, Bài tập Giải tích 10, Nhà xuấtbản Giáo Dục 2008.TMATH[2] Vũ Tuấn, Trần Văn Hạo, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ ViếtYên Bài tập Giải tích 11, Nhà xuất bản Giáo Dục 2008.[3] Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Thu Nga, Phạm Phu,Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất, Bài tập Giải tích 12, Nhà xuấtbản Giáo Dục 2008.VIE[4] Phan Thanh Quang, Sổ tay toán 10 - 11 - 12, Nhà xuất bản ĐạiHọc Sư Phạm 2010.107 [...]... của hai cổng điện toán trên 1.3 SỐ GẦN ĐÚNG - SAI SỐ 1.3 15 Số gần đúng - Sai số Cho a là số gần đúng của số chính xác a, khi đó ✏ ⑤a ✁ a⑤ gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a Nếu ∆a ↕ d thì d được gọi là độ chính xác của số gần đúng a và quy ước viết gọn là a ✏ a ✟ d 2 ET 1 ∆a 1.4 TM ATH S.N 3 Cách viết quy tròn số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trước: Cho số gần đúng a với độ chính xác... 30 CHƯƠNG 3 PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Cách giải: Dùng phương pháp Gauss2 khử dần ẩn số bằng cách nhân đại số để đưa về hệ phương trình dạng tam giác 3.3.5 Một số hệ phương trình khác 1 Hệ phương trình hai ẩn đối xứng dạng 1: ★ Ví dụ 3.3.1 Giải hệ phương trình Cách giải: Biến đổi xuất hiện tổng S đưa về hệ theo S và P để giải x2 y   xy 2 ✏ 30 x3   y 3 ✏ 35 ✏ x   y và tích P ✏ xy 2 Hệ phương trình... của biến số (hay ẩn số) sao cho đẳng thức f ♣x0 q ✏ g ♣x0 q đúng VIE 4 Giải một phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó 5 Giải và biện luận phương trình là xét xem với giá trị nào của tham số (số không được xác định cụ thể) thì phương trình có nghiệm và có bao nhiêu nghiệm Ví dụ 3.1.1 Xét phương trình 3x2 ✁ ♣m ✁ 1qx   4 ✏ mx ✁ 2 thì • x là ẩn số • m là tham số 23 24 CHƯƠNG 3 PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG... là hàm số chẵn nếu ❅x € D thì ✁ x € D và f ♣✁xq ✏ f ♣xq Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung Oy làm trục đối xứng 20 CHƯƠNG 2 HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI (b) Hàm số y ✏ f ♣xq với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu ❅x € D thì ✁ x € D và f ♣✁xq ✏ ✁f ♣xq Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng ➓ Chú ý: Có những hàm số không chẵn mà cũng không lẻ, ví dụ hàm y ✏ x   1 2.2 2.2.1 Hàm số bậc... 2.3 HÀM SỐ BẬC HAI 21 2 Hàm số hằng là hàm số chẵn 2.2.3 ET 3 Đồ thị là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành và cắt trục tung tại điểm có tọa độ ♣0; bq Hàm số y ✏ ⑤x⑤ 2 Hàm số y ✏ R S.N 1 Tập xác định D ✏ ⑤x⑤ là hàm số chẵn 2.3 2.3.1 Hàm số bậc hai Cơ bản về hàm số bậc hai Hàm số bậc hai y 2.3.2 TM ATH 3 Hàm số đồng biến trên khoảng ♣0;  ✽q và nghịch biến trên khoảng ♣✁✽; 0q Đồ thị ✏... TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 3.2.3 Định lý về tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai Gọi tắt là định lý Viét 1 , phát biểu như sau: Nếu phương trình (3.2) có 2 nghiệm x1 , x2 thì ✩ ✫x   x2 ✏ ✁ ab ✪x x ✏ c 1 2 a 1 Ngược lại, nếu 2 số u và v có tổng u   v ✏ S và tích uv u và v là các nghiệm của phương trình x2 ✁ Sx   P ✏ 0 3.2.4 thì Phương trình trùng phương Có dạng ax4   bx   c ✏ 0, a ✘ 0, giải. ..   xq ✏ 3x2   3x 2.1.2 Khái niệm hàm số 1 Một hàm số là một ánh xạ từ X f như sau ⑨ R đến Y ⑨ R Xét hàm số ÝÑ Y x ÞÝÑ f ♣xq ✏ y € Y f: X trong đó • x gọi là biến số hay đối số của hàm f • y ✏ f ♣xq gọi là giá trị của hàm số f tại giá trị x của biến số • X gọi là tập xác định của hàm f 2.1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ 19 • Y gọi là tập giá trị của hàm f 2 Một hàm số có thể được cho bằng: Bảng; biểu... 1 MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP ✏ t0, 1, 2✉ và B ✏ t1, 2, 3✉, khi đó A ➈ B ✏ Ví dụ 1.2.3 A t0, 1, 2, 3✉ Ví dụ 1.2.4 A ♣✁1; 2q ✏ ♣✁1; 1q và B ✏ r0; 2q, khi đó A ➈ B ✏ 3 Hiệu (diffrence) của hai tập hợp A và B là tập hợp gồm các phần tử thuộc A và không thuộc B, ký hiệu A③B Như vậy A③B ✏ tx ⑤ x € A và x ❘ B ✉ A\B A B Ví dụ 1.2.5 A ✏ t0, 1, 2✉ và B 4 ✏ t1, 2, 3✉, khi đó A③B ✏ t0✉ Ví dụ 1.2.6 A ✏ ♣✁1; 1q và B ✏ r0;... tích cực Các nghiên cứu mới nhất về lý thuyết tập hợp bao gồm nhiều loại chủ đề khác nhau, từ cấu trúc của dòng số thực đến nghiên cứu tính nhất quán của bản số lớn ET Chương 2 2.1 2.1.1 TM ATH S.N Hàm số bậc nhất và bậc hai Khái niệm cơ bản về hàm số Ánh xạ 1 Ánh xạ Cho X và Y là các tập hợp khác rỗng Một ánh xạ từ X đến Y (ký hiệu là f ) là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử x của X với một và. .. như lý thuyết số, giải tích, hình học vi phân, khoa trắc địa, từ học, thiên văn học và quang học Ông được mệnh danh là “hoàng tử của các nhà toán học” Với ảnh hưởng sâu sắc cho sự phát triển của toán học và khoa học, Gauss được xếp ngang hàng cùng Leonhard Euler, Isaac Newton và Archimedes như là những nhà toán học vĩ đại nhất của lịch sử ET Chương 4 4.1 4.1.1 TM ATH S.N Bất đẳng thức và bất phương ... 78 78 78 79 80 12 Khảo sát hàm số 81 12. 1 Tính đồng biến - nghịch biến hàm số 81 12. 2 Cực trị hàm số 81 12. 3 Giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số 82 12. 3.1 Cách tìm... tổ hợp hai cổng điện toán 1.3 SỐ GẦN ĐÚNG - SAI SỐ 1.3 15 Số gần - Sai số Cho a số gần số xác a, ✏ ⑤a ✁ a⑤ gọi sai số tuyệt đối số gần a Nếu ∆a ↕ d d gọi độ xác số gần a quy ước viết gọn a ✏... 11 11 12 12 13 15 15 Hàm số bậc bậc hai 2.1 Khái niệm hàm số 2.1.1 Ánh xạ 2.1.2 Khái niệm hàm số 2.1.3 Đồ thị hàm số 2.1.4 Các tính chất hàm số 2.2 Hàm số bậc
- Xem thêm -

Xem thêm: sổ tay đại số và giải tích 10, 11, 12, sổ tay đại số và giải tích 10, 11, 12, , Hàm số lượng giác

Từ khóa liên quan

Mục lục

Xem thêm