sổ tay đại số và giải tích 10, 11, 12

NGUYỄN THANH TRIỀU ✍✍✍✍✍ SỔ TAY ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 10 - 11 - 12 Tháng 06 - 2014 ET S.N Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 11 11 11 12 12 13 15 15 2 Hàm số bậc nhất và bậc hai 2.1 Khái niệm cơ bản về hàm số . . . . . . . 2.1.1 Ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Khái niệm hàm số . . . . . . . . 2.1.3 Đồ thị của hàm số . . . . . . . . 2.1.4 Các tính chất cơ bản của hàm số 2.2 Hàm số bậc nhất . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Hàm số bậc nhất . . . . . . . . . 2.2.2 Hàm số hằng y ✏ b với b € R . . 2.2.3 Hàm số y ✏ ⑤x⑤ . . . . . . . . . . 2.3 Hàm số bậc hai . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Cơ bản về hàm số bậc hai . . . . 2.3.2 Đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Bảng biến thiên . . . . . . . . . . 2.3.4 Cách vẽ đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 17 17 18 19 19 20 20 20 21 21 21 21 22 22 . . . . . . . . . . . . . . . . VIE TM ATH 1 Mệnh đề và tập hợp 1.1 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Các tập hợp số . . . . . . . 1.2.2 Phần tử của tập hợp . . . . 1.2.3 Các tập hợp con của R . . . 1.2.4 Các phép toán với tập hợp 1.3 Số gần đúng - Sai số . . . . . . . . 1.4 Giới thiệu lý thuyết tập hợp . . . . 3 4 MỤC LỤC 3 Phương trình và hệ phương trình 23 3.1 Đại cương về phương trình . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.1.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . 23 3.1.2 Phương trình tương đương và phương trình hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.1.3 Biến đổi tương đương các phương trình . . . . 24 3.2 Phương trình qui về bậc nhất, bậc hai . . . . . . . . . 25 3.2.1 Giải và biện luận phương trình bậc nhất . . . . 25 3.2.2 Giải và biện luận phương trình bậc hai . . . . . 25 3.2.3 Định lý về tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2.4 Phương trình trùng phương . . . . . . . . . . . 26 3.2.5 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối . . . . 26 3.2.6 Phương trình chứa dấu căn thức . . . . . . . . 27 3.3 Phương trình, hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn . . . 29 3.3.1 Phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . . 29 3.3.2 Hệ hai phương trình bậc nhất 2 ẩn . . . . . . . 29 3.3.3 Dạng tam giác của hệ 3 phương trình bậc nhất ba ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3.4 Hệ ba phương trình bậc nhất 3 ẩn . . . . . . . 29 3.3.5 Một số hệ phương trình khác . . . . . . . . . . 30 4 Bất đẳng thức và bất phương trình 31 4.1 Bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.1.2 Các tính chất bất đẳng thức cơ bản . . . . . . 31 4.1.3 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối . . . 32 4.1.4 Bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . . . . . 32 4.1.5 Bất đẳng thức Bunhiacopski . . . . . . . . . . 33 4.1.6 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một hàm số . . 33 4.2 Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn . . . 34 4.2.1 Điều kiện của một bất phương trình . . . . . . 34 4.2.2 Hai bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.2.3 Các phép biến đổi bất phương trình . . . . . . 34 MỤC LỤC . . . . . . . . . S.N 4.5 4.2.4 Chú ý . . . . . . . . . . . . . . . . . Dấu của nhị thức bậc nhất . . . . . . . . . Bất phương trình bậc nhất 2 ẩn . . . . . . . 4.4.1 Bất phương trình bậc nhất 2 ẩn . . 4.4.2 Hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn . 4.4.3 Bài toán tối ưu trong kinh tế . . . . Dấu của tam thức bậc hai . . . . . . . . . . 4.5.1 Định lý về dấu của tam thức bậc hai 4.5.2 Một số điều kiện tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ET 4.3 4.4 5 TM ATH 5 Thống kê 5.1 Bảng phân bố tần số và tần suất . . . . . . . 5.1.1 Tần số và tần suất của một giá trị . . 5.1.2 Tần số và tần suất của một lớp . . . . 5.2 Số trung bình cộng . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Số trung bình cộng . . . . . . . . . . . 5.2.2 Số trung vị . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Mốt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4 Chọn đại diện cho các số liệu thống kê 5.3 Phương sai và độ lệch chuẩn . . . . . . . . . . 5.3.1 Công thức tính phương sai . . . . . . 5.3.2 Ý nghĩa và cách sử dụng phương sai . 5.3.3 Độ lệch chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIE 6 Cung và góc lượng giác 6.1 Cung và góc lượng giác . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Quan hệ giữa độ và radian . . . . . . . . 6.1.2 Độ dài của cung tròn . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Số đo của cung lượng giác . . . . . . . . . 6.1.4 Biểu diễn cung lượng giác . . . . . . . . . 6.2 Giá trị lượng giác của một cung . . . . . . . . . . 6.2.1 Các kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản . . 6.2.3 Giá trị lượng giác của các cung đối nhau . 6.2.4 Giá trị lượng giác của các cung bù nhau . 6.2.5 Giá trị lượng giác của các cung phụ nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 35 35 35 36 36 37 37 37 . . . . . . . . . . . . 39 39 39 39 40 40 40 40 41 41 41 42 42 . . . . . . . . . . . 43 43 43 43 43 44 44 44 46 46 46 46 6 MỤC LỤC 6.3 6.2.6 Công 6.3.1 6.3.2 6.3.3 6.3.4 6.3.5 6.3.6 6.3.7 6.3.8 Giá trị lượng giác của các cung hơn kém thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . Công thức cộng . . . . . . . . . . . . . . Công thức nhân đôi . . . . . . . . . . . Công thức nhân ba . . . . . . . . . . . . Công thức hạ bậc . . . . . . . . . . . . . Công thức tính theo t ✏ tan x2 . . . . . . Công thức tổng thành tích . . . . . . . Công thức tích thành tổng . . . . . . . Một số công thức khác . . . . . . . . . . π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 46 46 47 47 47 47 47 48 48 7 Hàm số lượng giác 49 7.1 Hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 7.1.1 Hàm số sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 7.1.2 Hàm số cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 7.1.3 Hàm số tang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 7.1.4 Hàm số cotang . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 7.2 Phương trình lượng giác cơ bản . . . . . . . . . . . . . 53 7.2.1 Phương trình cơ bản theo sin . . . . . . . . . . 53 7.2.2 Phương trình cơ bản theo cos . . . . . . . . . . 53 7.2.3 Phương trình cơ bản theo tan . . . . . . . . . . 54 7.2.4 Phương trình cơ bản theo cot . . . . . . . . . . 55 7.3 Phương trình lượng giác thường gặp . . . . . . . . . . 55 7.3.1 Phương trình lượng giác đưa về dạng đại số . . 55 7.3.2 Phương trình bậc nhất đối với sin và cos . . . . 56 7.3.3 Phương trình chứa tổng (hay hiệu) và tích của sin và cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 7.3.4 Phương trình đẳng cấp đối với sin va cos . . . 57 7.4 Giới thiệu về lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 8 Tổ hợp và xác suất 8.1 Quy tắc đếm . . . . . . . . 8.1.1 Quy tắc cộng . . . . 8.1.2 Quy tắc nhân . . . . 8.2 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 8.2.1 Hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 59 59 60 60 60 MỤC LỤC 8.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S.N 8.5 8.2.2 Chỉnh hợp . . . . . . . . . . . 8.2.3 Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . Nhị thức Newton . . . . . . . . . . . 8.3.1 Công thức nhị thức Newton . 8.3.2 Các tính chất . . . . . . . . . Lý thuyết cơ bản về xác suất . . . . 8.4.1 Phép thử và biến cố . . . . . 8.4.2 Xác suất của biến cố . . . . . Giới thiệu về xác suất thống kê toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ET 8.3 7 60 61 61 61 61 62 62 62 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 65 66 66 67 67 68 68 68 69 69 69 69 69 70 70 70 10 Giới hạn 10.1 Giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.1 Giới hạn hữu hạn . . . . . . . . . . . . . 10.1.2 Giới hạn vô cực . . . . . . . . . . . . . . 10.1.3 Các giới hạn đặc biệt . . . . . . . . . . . 10.1.4 Định lý về giới hạn hữu hạn . . . . . . . 10.1.5 Liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và vô cực 10.1.6 Cấp số nhân lùi vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 71 71 71 72 72 72 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIE TM ATH 9 Dãy số 9.1 Phương pháp quy nạp toán học . 9.2 Dãy số . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Cơ bản về dãy số . . . . . 9.2.2 Cách cho một dãy số . . . 9.2.3 Dãy số tăng, dãy số giảm 9.2.4 Dãy số bị chặn . . . . . . 9.3 Cấp số cộng . . . . . . . . . . . . 9.3.1 Cơ bản về cấp số cộng . . 9.3.2 Số hạng tổng quát . . . . 9.3.3 Tính chất . . . . . . . . . 9.3.4 Tổng n số hạng đầu . . . 9.4 Cấp số nhân . . . . . . . . . . . . 9.4.1 Cơ bản về cấp số nhân . . 9.4.2 Số hạng tổng quát . . . . 9.4.3 Tính chất . . . . . . . . . 9.4.4 Tổng n số hạng đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 MỤC LỤC 10.2 Giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . 10.2.1 Giới hạn hữu hạn . . . . . . . . . 10.2.2 Giới hạn vô cực . . . . . . . . . . 10.2.3 Các giới hạn đặc biệt . . . . . . . 10.2.4 Các định lý về giới hạn hữu hạn 10.2.5 Các quy tắc về giới hạn vô cực . 10.3 Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . 10.3.1 Hàm số liên tục . . . . . . . . . . 10.3.2 Các định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Đạo hàm 11.1 Các lý thuyết về đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa . . . 11.1.3 Quan hệ giữa tính liên tục và sự có đạo hàm 11.1.4 Ý nghĩa hình học của đạo hàm . . . . . . . . 11.1.5 Ý nghĩa vật lý của đạo hàm . . . . . . . . . . 11.2 Các qui tắc tính đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1 Các công thức . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.2 Bảng các đạo hàm cơ bản . . . . . . . . . . . 11.3 Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 73 73 74 74 75 76 76 76 . . . . . . . . . . 77 77 77 77 78 78 78 78 78 79 80 12 Khảo sát hàm số 81 12.1 Tính đồng biến - nghịch biến của hàm số . . . . . . . 81 12.2 Cực trị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 12.3 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số . . . . . . . . . 82 12.3.1 Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên một đoạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 12.3.2 Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên một khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 12.4 Đường tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 12.4.1 Đường tiệm cận đứng . . . . . . . . . . . . . . 83 12.4.2 Đường tiệm cận ngang . . . . . . . . . . . . . . 83 12.5 Các bước khảo sát hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . 84 12.5.1 Sơ đồ khảo sát hàm số y ✏ f ♣xq . . . . . . . . 84 MỤC LỤC 9 12.5.2 Tương giao của hai đồ thị . . . . . . . . . . . . 12.6 Ứng dụng khảo sát hàm số trong bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIE TM ATH S.N ET 13 Lũy thừa và logarit 13.1 Lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.1 Lũy thừa với số mũ nguyên . . . . . . 13.1.2 Căn bậc n . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.3 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ . . . . . . . 13.1.4 Lũy thừa với số mũ vô tỉ . . . . . . . 13.1.5 Các tính chất lũy thừa . . . . . . . . . 13.2 Hàm số lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.1 Cơ bản về hàm số lũy thừa . . . . . . 13.2.2 Tập xác định . . . . . . . . . . . . . . 13.2.3 Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.4 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.5 Đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3 Logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.1 Cơ bản về logarit . . . . . . . . . . . . 13.3.2 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . 13.3.3 Các quy tắc tính . . . . . . . . . . . . 13.3.4 Logarit thập phân và logarit tự nhiên 13.4 Hàm số mũ và hàm số logarit . . . . . . . . . 13.4.1 Hàm số mũ . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.2 Hàm số logarit . . . . . . . . . . . . . 13.5 Phương trình mũ và phương trình logarit . . 13.5.1 Phương trình mũ . . . . . . . . . . . . 13.5.2 Phương trình logarit . . . . . . . . . . 13.6 Bất phương trình mũ và logarit . . . . . . . . 13.6.1 Bất phương trình mũ . . . . . . . . . 13.6.2 Bất phương trình logarit . . . . . . . . 13.7 Giới thiệu về logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 86 87 87 87 87 88 88 88 89 89 89 89 89 90 90 90 90 90 91 91 91 92 93 93 93 94 94 95 95 14 Nguyên hàm và tích phân 97 14.1 Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 14.1.1 Nguyên hàm và các tính chất . . . . . . . . . . 97 14.1.2 Phương pháp tính nguyên hàm . . . . . . . . . 98 10 MỤC LỤC 14.1.3 Bảng các nguyên hàm cơ bản 14.2 Tích phân . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.1 Tích phân và các tính chất . 14.2.2 Phương pháp tính tích phân . 14.2.3 Ứng dụng của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Số phức 15.1 Cơ bản về số phức . . . . . . . . . . . . . 15.2 Các phép toán với số phức . . . . . . . . . 15.3 Phương trình bậc hai với hệ số thực . . . 15.4 Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 . 99 . 99 . 100 . 101 . . . . 103 103 104 104 105 . . . . 107 ET Chương 1 Mệnh đề TM ATH 1.1 S.N Mệnh đề và tập hợp 1. Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai. 2. Với mỗi giá trị của biến thuộc một tập hợp nào đó, mệnh đề chứa biến trở thành mệnh đề. 3. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P ký hiệu là P , P đúng khi P sai và ngược lại. 4. Mệnh đề kéo theo P ùñ Q chỉ sai khi P đúng và Q sai. 5. Ký hiệu ❅ (chữ A đảo ngược) đọc là “với mọi” hay “tất cả” xuất phát từ tiếng anh là “All”. 1.2 1.2.1 VIE 6. Ký hiệu ❉ (chữ E đảo ngược) đọc là “tồn tại” hay “có một” xuất phát từ tiếng anh là “Exists”. Tập hợp Các tập hợp số 1. Tập hợp các số thực ký hiệu là R, viết tắt của từ “Real” có nghĩa là “thực”. 11 12 CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP 2. Tập hợp các số hữu tỉ ký hiệu là Q, viết tắt của từ “Quotient” trong tiếng Đức có nghĩa là “hữu tỉ” . 3. Tập hợp các số nguyên ký hiệu là Z, viết tắt của từ “Zahlen” trong tiếng Đức có nghĩa là “số nguyên”. 4. Tập hợp các số tự nhiên ký hiệu là N, viết tắt của từ “Natural” có nghĩa là “tự nhiên”. 5. Ký hiệu “ ⑨” đọc là “chứa trong” hay “tập con”. Khi đó N ⑨ Z ⑨ Q ⑨ R. 1.2.2 Phần tử của tập hợp 1. a là một phần tử của tập hợp A viết là a € A, b không là phần tử của tập hợp A viết là b ❘ A. 2. Tập hợp có thể có hữu hạn hoặc vô hạn phần tử. Tập hợp không có phần tử nào là tập hợp rỗng, ký hiệu là ∅. 1.2.3 Các tập hợp con của R 1. Các khoảng: (a) ♣a; bq ✏ tx € R ⑤ a ➔ x ➔ b✉ (b) ♣a;  ✽q ✏ tx € R ⑤ a ➔ x ➔  ✽✉ ♣✁✽; bq ✏ tx € R ⑤ ✁ ✽ ➔ x ➔ b✉ Đoạn: ra; bs ✏ tx € R ⑤ a ↕ x ↕ b✉ (c) 2. 3. Các nửa khoảng: (a) ra; bq ✏ tx € R ⑤ a ↕ x ➔ b✉ (b) ♣a; bs ✏ tx € R ⑤ a ➔ x ↕ b✉ (c) ra;  ✽q ✏ tx € R ⑤ a ↕ x ➔  ✽✉ (d) ♣✁✽; bs ✏ tx € R ⑤ ✁ ✽ ➔ x ↕ b✉ 1.2. TẬP HỢP 1.2.4 13 Các phép toán với tập hợp 1. Giao (intersection) của hai tập hợp A và B là ➇ tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B, ký hiệu A B. Như vậy ➇ B ✏ tx ⑤ x € A và x € B ✉ B TM ATH A S.N A∩B ET A Ví dụ 1.2.1. A t1, 2✉. ✏ t0, 1, 2✉ và B ✏ t1, 2, 3✉, khi đó A ➇ B ✏ Ví dụ 1.2.2. A ✏ ♣✁1; 1q và B ✏ r0; 2q, khi đó A ➇ B ✏ r0; 1q. 2. Hợp (union) của hai tập hợp A và B là tập hợp gồm các phần ➈ tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B, ký hiệu A B. Như vậy ➈ B ✏ tx ⑤ x € A hoặc x € B ✉ VIE A A A∪B B 14 CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP ✏ t0, 1, 2✉ và B ✏ t1, 2, 3✉, khi đó A ➈ B ✏ Ví dụ 1.2.3. A t0, 1, 2, 3✉. Ví dụ 1.2.4. A ♣✁1; 2q. ✏ ♣✁1; 1q và B ✏ r0; 2q, khi đó A ➈ B ✏ 3. Hiệu (diffrence) của hai tập hợp A và B là tập hợp gồm các phần tử thuộc A và không thuộc B, ký hiệu A③B. Như vậy A③B ✏ tx ⑤ x € A và x ❘ B ✉ A\B A B Ví dụ 1.2.5. A ✏ t0, 1, 2✉ và B 4. ✏ t1, 2, 3✉, khi đó A③B ✏ t0✉. Ví dụ 1.2.6. A ✏ ♣✁1; 1q và B ✏ r0; 2q, khi đó A③B ✏ ♣✁1; 0q. Khi A ⑨ B thì A③B gọi là phần bù (complement) của B trong A. 5. Quan hệ giữa ➈ ➇ ➇ và ➈ ➈ ➇ ➈ (a) A ♣B C q ✏ ♣A B q ♣A C q. ➇ ➈ ➇ ➈ ➇ (b) A ♣B C q ✏ ♣A B q ♣A C q. 6. Công thức De - Morgan1 A ➈ A B 1 ➈ B ✏ A ➇ B, và ngược lại A ➇ B ✏ Augustus De Morgan (1806-1871) là nhà toán học và lôgic học người Anh sinh trưởng tại Ấn Độ. Định lý De Morgan là tiền đề cơ bản cho sự phát triển của ngành máy tính vì chỉ cần có hai cổng điện toán - cổng đảo dấu (NOT gate) và cổng và (AND gate) chẳng hạn - thì người ta có thể thiết lập nên bất kì một phép toán lô gic nào bằng tổ hợp của hai cổng điện toán trên. 1.3. SỐ GẦN ĐÚNG - SAI SỐ 1.3 15 Số gần đúng - Sai số Cho a là số gần đúng của số chính xác a, khi đó ✏ ⑤a ✁ a⑤ gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a. Nếu ∆a ↕ d thì d được gọi là độ chính xác của số gần đúng a và quy ước viết gọn là a ✏ a ✟ d. 2. ET 1. ∆a 1.4 TM ATH S.N 3. Cách viết quy tròn số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trước: Cho số gần đúng a với độ chính xác d (tức là a ✏ a ✟ d), khi được yêu cầu quy tròn số a mà không nói rõ quy tròn đến hàng nào thì ta quy tròn a đến hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó. Giới thiệu lý thuyết tập hợp VIE Lý thuyết tập hợp là ngành toán học nghiên cứu về tập hợp. Mặc dù bất kỳ đối tượng nào cũng có thể được đưa vào một tập hợp, lý thuyết tập hợp được dùng nhiều cho các đối tượng phù hợp với toán học. Sự nghiên cứu lý thuyết tập hợp hiện đại do Cantor và Dedekind khởi xướng vào thập niên 1870. Sau khi khám phá ra các nghịch lý trong lý thuyết tập không hình thức, đã có nhiều hệ tiên đề được đề nghị vào đầu thế kỷ thứ 20, trong đó có các tiên đề Zermelo–Fraenkel, với tiên đề chọn là nổi tiếng nhất. Tiên đề chọn là tiên đề khẳng định rằng với mỗi họ tập hợp tùy ý không rỗng và đôi một không giao nhau luôn tồn tại một tập hợp mà mỗi phần tử của nó là phần tử của một tập hợp trong họ tập hợp kia và phần tử đó là duy nhất. Tiên đề này được nhà toán học người Đức Ernst Zermelo phát biểu năm 1904 nên còn được gọi là tiên đề Xecmơlô. Ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp được dùng trong định nghĩa của gần như tất cả các đối tượng toán học, như hàm số, và các khái niệm lý thuyết tập hợp được đưa nhiều chương trình giảng dạy toán học. Các sự kiện cơ bản về tập hợp và phần tử trong tập hợp có thể được mang ra giới thiệu ở cấp tiểu học, cùng với sơ đồ Venn, để học về tập 16 CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP hợp các đối tượng vật lý thường gặp. Các phép toán cơ bản như hội và giao có thể được học trong bối cảnh này. Các khái niệm cao hơn như bản số là phần tiêu chuẩn của chương trình toán học của sinh viên đại học. Lý thuyết tập hợp, được hình thức hóa bằng lôgic bậc nhất (firstorder logic), là phương pháp toán học nền tảng thường dùng nhất. Ngoài việc sử dụng nó như một hệ thống nền tảng, lý thuyết tập hợp bản thân nó cũng là một nhánh của toán học, với một cộng đồng nghiên cứu tích cực. Các nghiên cứu mới nhất về lý thuyết tập hợp bao gồm nhiều loại chủ đề khác nhau, từ cấu trúc của dòng số thực đến nghiên cứu tính nhất quán của bản số lớn. ET Chương 2 2.1 2.1.1 TM ATH S.N Hàm số bậc nhất và bậc hai Khái niệm cơ bản về hàm số Ánh xạ 1. Ánh xạ. Cho X và Y là các tập hợp khác rỗng. Một ánh xạ từ X đến Y (ký hiệu là f ) là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử x của X với một và chỉ một phần tử y của Y . ÝÑ Y x ÞÝÑ f ♣xq ✏ y X VIE f: X • y ✏ f ♣xq gọi là ảnh của phần tử x qua ánh xạ f . x Y f y • X gọi là tập nguồn. • Y gọi là tập đích. 2. Ánh xạ tích. Cho X, Y, Z là ba tập hợp khác rỗng. Xét hai 17 18 CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI ánh xạ ÝÑ Y x ÞÝÑ f ♣xq ✏ y € Y f: X ÝÑ Z y ÞÝÑ g ♣y q ✏ z € Z g: Y Khi đó, ánh xạ biến x € X thành z € Z gọi là ánh xạ tích từ X đến Z qua f và g, ký hiệu là g ✆ f , như vậy g✆f: X ÝÑ Z x ÞÝÑ ♣g ✆ f q♣xq ✏ g rf ♣xqs ✏ g ♣y q ✏ z € Z g✆f X x f Z Y g y z Ví dụ 2.1.1. f ♣xq ✏ x2  x; g ♣y q ✏ 3y thì ♣g ✆f q♣xq ✏ g rf ♣xqs ✏ g ♣x2   xq ✏ 3♣x2   xq ✏ 3x2   3x. 2.1.2 Khái niệm hàm số 1. Một hàm số là một ánh xạ từ X f như sau ⑨ R đến Y ⑨ R. Xét hàm số ÝÑ Y x ÞÝÑ f ♣xq ✏ y € Y f: X trong đó • x gọi là biến số hay đối số của hàm f . • y ✏ f ♣xq gọi là giá trị của hàm số f tại giá trị x của biến số. • X gọi là tập xác định của hàm f . 2.1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ 19 • Y gọi là tập giá trị của hàm f . 2. Một hàm số có thể được cho bằng: Bảng; biểu đồ; công thức hay đồ thị. ET 3. Khi hàm số được cho bằng công thức mà không chỉ rõ tập xác định thì ta quy ước tập xác định D của hàm số y ✏ f ♣xq là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f ♣xq có nghĩa. R③t1✉. 2.1.3 Đồ thị của hàm số ✏ f ♣xq ✏ x ✁1 1 S.N Ví dụ 2.1.2. Tập xác định của hàm số y là D ✏ 2.1.4 TM ATH Trong hệ trục Oxy, đồ thị của hàm số y ✏ f ♣xq là tập hợp những điểm M ♣a; bq, trong đó a thuộc tập xác định của hàm số và b ✏ f ♣aq. Các tính chất cơ bản của hàm số 1. Tính đơn điệu (a) Hàm số y ✏ f ♣xq gọi là đồng biến (hay tăng) trên khoảng ♣a; bq nếu VIE (b) ❅x1, x2 € ♣a; bq sao cho x1 ➔ x2 thì f ♣x1q ➔ f ♣x2q Hàm số y ✏ f ♣xq gọi là nghịch biến (hay giảm) trên khoảng ♣a; bq nếu ❅x1, x2 € ♣a; bq sao cho x1 ➔ x2 thì f ♣x1q → f ♣x2q 2. Tính chẳn lẻ (a) Hàm số y ✏ f ♣xq với tập xác định D (viết tắt của từ “domain” nghĩa là “xác định”) gọi là hàm số chẵn nếu ❅x € D thì ✁ x € D và f ♣✁xq ✏ f ♣xq Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung Oy làm trục đối xứng. 20 CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI (b) Hàm số y ✏ f ♣xq với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu ❅x € D thì ✁ x € D và f ♣✁xq ✏ ✁f ♣xq Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. ➓ Chú ý: Có những hàm số không chẵn mà cũng không lẻ, ví dụ hàm y ✏ x   1. 2.2 2.2.1 Hàm số bậc nhất Hàm số bậc nhất 1. Hàm số bậc nhất có dạng y 2. Tập xác định D ✏ ax   b với a ✘ 0. ✏ R. 3. Bảng biến thiên x ✁✽ a→0  ✽  ✽ y x ✁✽  ✽ a➔0  ✽ y ✁✽ ✁✽ 4. Đồ thị là một đường thẳng không song song và không trùng với các trục tọa độ. 5. Để vẽ đường thẳng y ✏ ax   b chỉ cần xác định hai điểm khác nhau thuộc đường thẳng đó. 2.2.2 Hàm số hằng y ✏ b với b P R 1. Tập xác định D ✏ R. 2.3. HÀM SỐ BẬC HAI 21 2. Hàm số hằng là hàm số chẵn. 2.2.3 ET 3. Đồ thị là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành và cắt trục tung tại điểm có tọa độ ♣0; bq. Hàm số y ✏ ⑤x⑤ 2. Hàm số y ✏ R. S.N 1. Tập xác định D ✏ ⑤x⑤ là hàm số chẵn. 2.3 2.3.1 Hàm số bậc hai Cơ bản về hàm số bậc hai Hàm số bậc hai y 2.3.2 TM ATH 3. Hàm số đồng biến trên khoảng ♣0;  ✽q và nghịch biến trên khoảng ♣✁✽; 0q. Đồ thị ✏ ax2   bx   c với a ✘ 0 có tập xác định D ✏ R. Đồ thị của hàm số bậc hai y ✁b ; ✁∆ ✡ . VIE ✂ ✏ ax2   bx   c là một đường parabol có 1. Đỉnh là điểm I 2a 4a 2. Trục đối xứng là đường thẳng x ✏ ✁b . 2a 3. Parabol này quay bề lõm lên trên nếu a bề lõm xuống dưới nếu a ➔ 0 (hình 2.2). → 0 (hình 2.1), quay 22 CHƯƠNG 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI y y ✁∆ ✁b 2a 4a x O O ✁∆ ✁b x 2a 4a Hình 2.1: Parabol y bx   c với a → 0. 2.3.3 x ✏ ax2   Hình 2.2: Parabol y bx   c với a ➔ 0. Bảng biến thiên ✁✽ a➔0 ✁b  ✽ 2a x ✁∆ 4a y ✁✽  ✽ a→0 ✁b 2a  ✽  ✽ ✁∆ y ✁✽ 2.3.4 ✏ ax2   ✁✽ 4a Cách vẽ đồ thị Để vẽ đường parabol y sau ✏ ax2   bx   c, a ✘ 0 ta thực hiện các bước 1. Xác định tọa độ đỉnh là điểm I ✂ ✁b ; ✁∆ ✡. 2a 2. Vẽ trục đối xứng là đường thẳng x ✏ 4a ✁b . 2a 3. Tìm giao điểm của parabol với các trục tọa độ (nếu có). Tìm thêm một số điểm thuộc đồ thị, lập bảng giá trị rồi vẽ parabol. ET Chương 3 3.1 3.1.1 TM ATH S.N Phương trình và hệ phương trình Đại cương về phương trình Các khái niệm cơ bản 1. Phương trình ẩn x là một mệnh đề chứa biến có dạng f ♣xq g ♣xq, trong đó f ♣xq và g ♣xq là các biểu thức của x. ✏ 2. Điều kiện xác định của phương trình là các điều kiện của biến x sao cho các biểu thức trong phương trình đều có nghĩa. 3. Nghiệm của phương trình là giá trị x0 của biến số (hay ẩn số) sao cho đẳng thức f ♣x0 q ✏ g ♣x0 q đúng. VIE 4. Giải một phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó. 5. Giải và biện luận phương trình là xét xem với giá trị nào của tham số (số không được xác định cụ thể) thì phương trình có nghiệm và có bao nhiêu nghiệm. Ví dụ 3.1.1. Xét phương trình 3x2 ✁ ♣m ✁ 1qx   4 ✏ mx ✁ 2 thì • x là ẩn số. • m là tham số. 23 24 CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 3.1.2 Phương trình tương đương và phương trình hệ quả 1. Hai phương trình f ♣xq ✏ g ♣xq và f1 ♣xq ✏ g1 ♣xq gọi là tương đương nếu chúng có tập nghiệm bằng nhau (có thể rỗng), ký hiệu f ♣xq ✏ g ♣xq ðñ f1 ♣xq ✏ g1 ♣xq . 2. Nếu mỗi nghiệm của phương trình f ♣xq ✏ g ♣xq cũng là nghiệm của phương trình h♣xq ✏ k ♣xq thì ta nói phương trình h♣xq ✏ k ♣xq là phương trình hệ quả của phương trình f ♣xq ✏ g ♣xq, ký hiệu f ♣xq ✏ g ♣xq ùñ h♣xq ✏ k ♣xq chẳng hạn, với số nguyên dương n tùy ý ta có f ♣xq ✏ g ♣xq ùñ rf ♣xqsn ✏ rg♣xqsn. Phương trình hệ quả có thể có nghiệm ngoại lai, không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Muốn loại nghiệm ngoại lai ta phải thử lại vào phương trình ban đầu. 3. Ngoài các phương trình một ẩn còn có các phương trình nhiều ẩn. Nghiệm của một phương trình 2 ẩn x, y là một cặp số thực x0 , y0 thỏa mãn phương trình đó, còn nghiệm của một phương trình 3 ẩn x, y, z là một bộ 3 số thực x0 , y0 , z0 thỏa mãn phương trình đó, ... 3.1.3 Biến đổi tương đương các phương trình Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của nó thì ta được một phương trình mới tương đương: 1. Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hay cùng một biểu thức f ♣xq ✏ g ♣xq ðñ f ♣xq   A ✏ g ♣xq   A 2. Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0. f ♣xq ✏ g ♣xq ðñ f ♣xq.A ✏ g ♣xq.A ♣với A ✘ 0q 3.2. PHƯƠNG TRÌNH QUI VỀ BẬC NHẤT, BẬC HAI 3.2 25 Phương trình qui về bậc nhất, bậc hai Giải và biện luận phương trình bậc nhất (3.1) ax   b ✏ 0 ET 3.2.1 S.N 1. Nếu a ✘ 0 thì phương trình (3.1) gọi là phương trình bậc nhất b và nó có nghiệm duy nhất x ✏ ✁ . a 2. Nếu a ✏ 0 ta xét 2 trường hợp TM ATH (a) Với b ✘ 0 thì phương trình (3.1) vô nghiệm. (b) Với b ✏ 0 thì phương trình (3.1) nghiệm đúng với mọi x € R. 3.2.2 Giải và biện luận phương trình bậc hai ax2   bx   c ✏ 0, ♣a ✘ 0q (3.2) VIE Biệt thức ∆ ✏ b2 ✁ 4ac Kết luận ✏ ✁b ✟ ∆→0 Phương trình (3.2) có 2 nghiệm x1,2 ∆✏0 Phương trình (3.2) có nghiệm kép x ✏ ✁ ∆➔0 Phương trình (3.2) vô nghiệm ❄ 2a b 2a ∆ 26 CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 3.2.3 Định lý về tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai Gọi tắt là định lý Viét 1 , phát biểu như sau: Nếu phương trình (3.2) có 2 nghiệm x1 , x2 thì ✩ ✫x   x2 ✏ ✁ ab ✪x .x ✏ c 1 2 a 1 Ngược lại, nếu 2 số u và v có tổng u   v ✏ S và tích uv u và v là các nghiệm của phương trình x2 ✁ Sx   P ✏ 0. 3.2.4 thì Phương trình trùng phương Có dạng ax4   bx   c ✏ 0, a ✘ 0, giải bằng cách đặt t để đưa về phương trình bậc hai. 3.2.5 ✏P ✏ x2 , ♣ t ➙ 0q Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 1. Khử dấu giá trị tuyệt đối bằng định nghĩa ✧ ⑤A⑤ ✏ ✁AA nếu A ➙ 0 nếu A ➔ 0 2. ⑤f ♣xq⑤ ✏ ⑤g ♣xq⑤ ðñ f ♣xq ✏ g ♣xq hoặc f ♣xq ✏ ✁g ♣xq 3. ⑤f ♣xq⑤ ✏ g ♣xq Cách 1 4. ⑤f ♣xq⑤ ✏ g ♣xq Cách 2 1 ðñ ðñ ✧ ✧ ✧ f ♣ xq ➙ 0 f ♣ x q ✏ g ♣x q hoặc g ♣x q ➙ 0 f ♣ x q ✏ g ♣x q hoặc ✧ f ♣ xq ➔ 0 ✁f ♣xq ✏ g♣xq g ♣x q ➙ 0 f ♣xq ✏ ✁g ♣xq Fran¸cois Viète (1540 - 1603), là một nhà toán học, luật sư, chính trị gia người Pháp, về toán học ông hoạt động trong lĩnh lực đại số. Ông nổi tiếng với đề ra cách giải thống nhất các phương trình bậc 2, 3 và 4. Ông là người sáng tạo nên cách dùng các chữ cái để thể hiện cho các ẩn số của một phương trình. Ông cũng khám phá ra mối quan hệ giữa các nghiệm của một đa thức với các hệ số của đa thức đó, ngày nay được gọi là định lý Viète. 3.2. PHƯƠNG TRÌNH QUI VỀ BẬC NHẤT, BẬC HAI 3.2.6 27 Phương trình chứa dấu căn thức 1. Phương pháp chung là bình phương 2 vế để khử dấu căn thức, chú ý phải xét điều kiện cả hai vế đều phải không âm. ❛ g ♣xq ðñ f ♣xq ✏ g ♣xq ðñ ✧ ✧ f ♣x q ➙ 0 f ♣x q ✏ g ♣x q ✧ hoặc g ♣x q ➙ 0 f ♣ x q ✏ g ♣x q ET 3. f ♣ xq ✏ ❛ g ♣x q ➙ 0 f ♣xq ✏ rg ♣xqs2 4. Phương pháp đổi biến số: S.N 2. ❛ hay TM ATH (a) Có thể biến đổi như chia cả hai vế cho cùng một biểu thức khác 0 rồi mới đổi biến số. ❄ Ví dụ 3.2.1. Giải phương trình x   1   x2 ✁ 4x   1 ✏ ❄ 3 x. Hướng dẫn. ★ ★ ❄ x2 ✁ 4x   1 ➙ 0 x➙2  3 ❄ . Điều kiện ô x➙0 0↕x↕2✁ 3 Nếu x ✏ 0 thì thay vào ta thấy không là nghiệm. ❄ Nếu x → 0, chia cả hai vế của phương trình cho x ta được ❝ ❄x   ❄1   x2 ✁ 4x   1 ✏ 3 x x ❝ VIE ❄x   ❄1   x   1 ✁ 4 ✏ 3 x x ❄ 1 1 Từ đó ta đặt t ✏ x   ❄ với t ➙ 2, suy ra t2 ✏ x     2 x x 1 hay x   ✏ t2 ✁ 2. Thay vào phương trình đã cho rồi giải x tìm t, sau đó tìm x. (b) Có thể dùng cả hai biến số mới ❄ ❄ Ví dụ 3.2.2. Giải phương trình 2 3 3x ✁ 2   3 6x ✁ 5 ✁ 8 ✏ 0. 28 CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Hướng dẫn. Điều★kiện: x ➙ 32 . ❄ u ✏ 3 3x ✁ 2 Đặt ❄ v ✏ 6x ✁ 5 ★ ta được ★ u3 ✏ 3x ✁ 2 v 2 ✏ 6x ✁ 5 2u3 ✏ 6x ✁ 4 , trừ từng vế ta được 2u3 ✁ v 2 ✏ 1. v 2 ✏ 6x ✁ 5 Kết hợp với phương trình đã cho sau khi thay bằng các biến mới ta được hệ hay ★ 2u   3v ✁ 8 ✏ 0 2u3 ✁ v 2 ✏ 1 Giải tìm được u, v rồi tìm x. 5. Phương pháp nhẩm nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất ❄ ❄ Ví dụ 3.2.3. Giải phương trình 3x   1 ✁ 6 ✁ x   3x2 ✁ 14x ✁ 8 ✏ 0. Hướng dẫn. Điều kiện: ✁ 13 ↕ x ↕ 6. Nhận thấy x ✏ 5 là nghiêm của phương trình nên ta biến đổi làm xuất hiện nhân tử x ✁ 5 như sau ♣ hay ♣ ❄ ❄ 3x   1 ✁ 4q   ♣1 ✁ ❄ ❄ 6 ✁ xq   3x2 ✁ 15x   x ✁ 5 ✏ 0 3x   1 ✁ 4q♣ 3x   1   4q ❄ 3x   1   4   ♣1 ✁ ❄ ❄ 6 ✁ xq♣1   6 ✁ xq ❄ 1  6✁x  ♣x ✁ 5q♣3x   1q ✏ 0 tức là ❄ 3x ✁ 15   x❄✁ 5   ♣x ✁ 5q♣3x   1q ✏ 0 3x   1   4 1   6 ✁ x Rút nhân tử chung và giải tiếp... 3.3. PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN29 3.3 Phương trình, hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn 3.3.1 Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng Hệ hai phương trình bậc nhất 2 ẩn ✧ S.N 3.3.2 ET Có dạng ax   by ✏ c, trong đó a, b, c là các số thực, a, b không đồng thời bằng 0, x, y là 2 ẩn. a1 x   b1 y a2 x   b2 y ✏ c1 ✏ c2 3.3.3 TM ATH trong đó cả hai phương trình đều là phương trình bậc nhất 2 ẩn. Các cách giải: Phương pháp cộng, phương pháp thế, phương pháp định thức, phương pháp đồ thị. Dạng tam giác của hệ 3 phương trình bậc nhất ba ẩn ✩ ✫ a1 x (3.3) a2 x   b2 y ✪ a3 x   b3 y   c3 z ✏ d1 ✏ d2 ✏ d3 3.3.4 VIE Cách giải: Từ phương trình đầu của hệ (3.3) tính được x, thay vào phương trình thứ hai tính được y rồi thay vào phương trình thứ ba tính được z. Hệ ba phương trình bậc nhất 3 ẩn ✩ ✫ a1 x   b1y   c1z ✏ d1 a2 x   b2 y   c2 z ✏ d2 ✪ a3 x   b3 y   c3 z ✏ d3 30 CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Cách giải: Dùng phương pháp Gauss2 khử dần ẩn số bằng cách nhân đại số để đưa về hệ phương trình dạng tam giác. 3.3.5 Một số hệ phương trình khác 1. Hệ phương trình hai ẩn đối xứng dạng 1: ★ Ví dụ 3.3.1. Giải hệ phương trình Cách giải: Biến đổi xuất hiện tổng S đưa về hệ theo S và P để giải. x2 y   xy 2 ✏ 30 x3   y 3 ✏ 35 ✏ x   y và tích P ✏ xy 2. Hệ phương trình hai ẩn đối xứng dạng 2: ★ Ví dụ 3.3.2. Giải hệ phương trình x3 ✏ 3x   8y y 3 ✏ 3y   8x Cách giải: Trừ từng vế hai phương trình để đưa về phương trình tích. 3. Hệ phương trình hai ẩn đẳng cấp bậc hai: ★ ✏ 11 ✏ 17 Cách giải: Nếu y ✏ 0 thì thử trực tiếp. Nếu y ✘ 0 thì đặt y ✏ kx Ví dụ 3.3.3. Giải hệ phương trình 3x2   2xy   y 2 x2   2xy   3y 2 rồi thay vào hệ. 2 Carl Friedrich Gauss (1777-1855) là một nhà toán học và nhà khoa học người Đức tài năng, người đã có nhiều đóng góp lớn cho các lĩnh vực khoa học, như lý thuyết số, giải tích, hình học vi phân, khoa trắc địa, từ học, thiên văn học và quang học. Ông được mệnh danh là “hoàng tử của các nhà toán học”. Với ảnh hưởng sâu sắc cho sự phát triển của toán học và khoa học, Gauss được xếp ngang hàng cùng Leonhard Euler, Isaac Newton và Archimedes như là những nhà toán học vĩ đại nhất của lịch sử. ET Chương 4 4.1 4.1.1 TM ATH S.N Bất đẳng thức và bất phương trình Bất đẳng thức Định nghĩa A↕B ðñ A ✁ B ↕ 0 A ➔ B ðñ A ✁ B ➔ 0 4.1.2 Các tính chất bất đẳng thức cơ bản 1. Bắc cầu: Nếu a ➔ b và b ➔ c thì a ➔ c. VIE 2. Cộng hai vế bất đẳng thức với một số: a ➔ b ðñ a   c ➔ b   c 3. Nhân hai vế bất đẳng thức với một số: - Nếu c → 0 thì a ➔ b ðñ ac ➔ bc. - Nếu c ➔ 0 thì a ➔ b ðñ ac → bc. 4. Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều: Nếu a a   c ➔ b   d. ➔ b và c ➔ d thì 5. Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều: Nếu 0 ➔ a ➔ b và 0 ➔ c ➔ d thì a.c ➔ b.d. 31 32 CHƯƠNG 4. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 6. Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa: Nếu n nguyên dương thì a ➔ b ðñ a2n 1 ➔ b2n 1 0 ➔ a ➔ b ùñ a2n ➔ b2n 7. Khai căn hai vế của một ❄ ❄ bất đẳng thức 0 ➔ a ➔ b ðñ a ➔ ❄b ❄ 0 ➔ a ➔ b ðñ 3 a ➔ 3 b 4.1.3 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối 1. ⑤x⑤ ➙ 0, ⑤x⑤ ➙ x, ⑤x⑤ ➙ ✁x. 2. Với a → 0 thì ⑤x⑤ ↕ a ðñ ✁a ↕ x ↕ a. ⑤x⑤ ➙ a ðñ x ↕ ✁a hoặc x ➙ a. 3. ⑤a⑤ ✁ ⑤b⑤ ↕ ⑤a   b⑤ ↕ ⑤a⑤   ⑤b⑤. 4.1.4 Bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Cauchy1 phát biểu như sau 1. Cho 2 số không âm: Với 2 số thực a, b ➙ 0 thì trung bình cộng luôn lớn hơn hoặc ❄ a b ➙ ab, có dấu “=” khi bằng trung bình nhân, tức là 2 a ✏ b. 2. Cho 3 số không âm: a b c Với a, b, c ➙ 0 thì 3 ➙ ❄ 3 abc, có dấu “=” khi a ✏ b ✏ c. 3. Bất đẳng thức Cauchy có thể mở rộng cho n số thực không âm. 1 Augustin Louis Cauchy (đôi khi tên họ được viết là Cô-si) là một nhà toán học người Pháp sinh ngày 21 tháng 8 năm 1789 tại Paris và mất ngày 23 tháng 5 năm 1857 cũng tại Paris. Công trình lớn nhất của ông là lý thuyết hàm số với ẩn số tạp. Ông cũng đóng góp rất nhiều trong lĩnh vực toán tích phân và toán vi phân. Ông đã đặt ra những tiêu chuẩn Cauchy để nghiên cứu về sự hội tụ của các dãy trong toán học. 4.1. BẤT ĐẲNG THỨC 4.1.5 33 Bất đẳng thức Bunhiacopski Bất đẳng thức Bunhiacopski2 còn gọi là bất đẳng thức Cauchy Schwartz3 , phát biểu như sau: ET 1. Cho 2 cặp số: Với 2 cặp số thực ♣x1 , y1 q và ♣x2 , y2 q thì ♣x1y1   x2y2q2 ↕ ♣x21   x22q♣y12   y22q x2 ✏ 0 thì y2 ✏ 0. x1 y1 ✏ x2 với quy ước x1 y2 ✏ 0 thì y1 ✏ 0, S.N dấu “=” xảy ra khi TM ATH 2. Cho n cặp số: Với n cặp số thực ♣x1 , y1 q, ♣x2 , y2 q và ♣xn , yn q thì ♣x1y1  x2y2  . . . xnynq2 ↕ ♣x21  x22  . . . x2nq♣y12  y22  . . . yn2 q x1 x2 xn ✏ ✏ ... ✏ với quy ước x1 y1 y2 yn y1 ✏ 0, x2 ✏ 0 thì y2 ✏ 0,..., xn ✏ 0 thì yn ✏ 0. dấu “=” xảy ra khi 4.1.6 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một hàm số ✏ f ♣xq với tập xác định D, ta định nghĩa: ✧ f ♣xq ↕ M, ❅x € D M ✏ max f ♣xq ðñ ❉x 0 € D : f ♣x 0 q ✏ M x€ D VIE Xét hàm số y 1. 2. m ✏ min f ♣xq ðñ € x D 2 ✏ 0 thì ✧ f ♣xq ➙ m, ❅x € D ❉x0 € D : f ♣x0q ✏ m Victor Yakovlevich Bunyakovsky (1804-1889) là nhà toán học người Nga. Tác phẩm to lớn của ông là “Cơ sở của lý thuyết xác suất” (1846) trong đó có nhiều phần độc đáo, nhất là phần lịch sử phát sinh và phát triển môn xác suất, phần ứng dụng quan trọng của xác suất trong vấn đề bảo hiểm và dân số. 3 Karl Hermann Amandus Schwarz (1843-1921) là một nhà toán học người Đức, nổi tiếng với công trình về giải tích phức. 34 CHƯƠNG 4. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 4.2 Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn 4.2.1 Điều kiện của một bất phương trình - Là điều kiện mà ẩn số phải thỏa mãn để các biểu thức ở hai vế của bất phương trình có nghĩa. 4.2.2 Hai bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương - Hai bất phương trình (hệ bất phương trình) được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm. 4.2.3 Các phép biến đổi bất phương trình Kí hiệu D là tập các số thực thỏa mãn điều kiện của bất phương trình P ♣xq ➔ Q♣xq 1. Phép cộng Nếu f ♣xq xác định trên D thì P ♣xq ➔ Q♣xq ðñ P ♣xq   f ♣xq ➔ Q♣xq   f ♣xq 2. Phép nhân - Nếu f ♣xq → 0, ❅x € D thì P ♣xq ➔ Q♣xq ðñ P ♣xq.f ♣xq ➔ Q♣xq.f ♣xq - Nếu f ♣xq ➔ 0, ❅x € D thì P ♣xq ➔ Q♣xq ðñ P ♣xq.f ♣xq → Q♣xq.f ♣xq 3. Phép bình phương - Nếu P ♣xq ➙ 0 và Q♣xq ➙ 0, ❅x € D thì P ♣xq ➔ Q♣xq ðñ rP ♣xqs2 ➔ rQ♣xqs2 4.3. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT 4.2.4 35 Chú ý ET Khi biến đổi các biểu thức ở hai vế của một bất phương trình, điều kiện của bất phương trình thường bị thay đổi. Vì vậy, để tìm nghiệm của bất phương trình đã cho ta phải tìm các giá trị của ẩn đồng thời thỏa mãn bất phương trình mới và điều kiện của bất phương trình đã cho. Dấu của nhị thức bậc nhất S.N 4.3 Nhị thức bậc nhất ẩn x có dạng f ♣xq ✏ ax   b trong đó a, b € R, a ✘ 0. Dấu của nhị thức bậc nhất như sau ax   b 4.4 ✁b ✁✽ a  ✽ TM ATH x trái dấu với a 0 cùng dấu với a Bất phương trình bậc nhất 2 ẩn 4.4.1 Bất phương trình bậc nhất 2 ẩn 1. Có dạng ax   by VIE (4.1) ↕c 2. Biểu diễn tập nghiệm như sau: (a) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng ♣∆q : ax   by ✏ c. (b) Lấy một điểm M0 ♣x0 ; y0 q ❘ ♣∆q (ta thường lấy gốc tọa độ O) (c) Tính ax0   by0 và so sánh ax0   by0 với c. 36 CHƯƠNG 4. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH (d) Kết luận: - Nếu ax0   by0 ➔ c thì nửa mặt phẳng bờ ♣∆q chứa M0 là miền nghiệm của ax0   by0 ↕ c. - Nếu ax0   by0 → c thì nửa mặt phẳng bờ ♣∆q không chứa M0 là miền nghiệm của ax0   by0 ↕ c. 3. Bỏ bờ miền nghiệm của bất phương trình (4.1) ta được miền nghiệm của bất phương trình ax   by ➔ c. Miền nghiệm của các bất phương trình ax   by ➙ c và ax   by → c được xác định tương tự. 4.4.2 Hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn 1. Có dạng ✧ a1 x   b1 y a2 x   b2 y ↕ c1 ↕ c2 2. Biểu diễn hình học như sau: (a) Vẽ các đường thẳng ♣∆1 q : a1 x   b1 y ✏ c1 và ♣∆2 q : a2 x   b2 y ✏ c2 . (b) Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình và tìm giao của chúng. 4.4.3 Bài toán tối ưu trong kinh tế 1. Là bài toán tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của các biểu thức có dạng F ✏ ax   by, trong đó x, y nghiệm đúng một hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn cho trước. 2. Cách giải: (a) Vẽ miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. (b) Miền nghiệm nhận được thường là một miền đa giác. Tính giá trị của F ứng với ♣x0 , y0 q là tọa độ các đỉnh của miền đa giác này rồi so sánh các kết quả từ đó suy ra giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của biểu thức. 4.5. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 4.5 37 Dấu của tam thức bậc hai 4.5.1 Định lý về dấu của tam thức bậc hai ET Xét tam thức bậc hai f ♣xq ✏ ax2   bx   c với a ✘ 0, đặt ∆ ✏ b2 ✁ 4ac, khi đó 1. Nếu ∆ ➔ 0 thì dấu của tam thức như sau ax2 S.N ✁✽ x   bx   c  ✽ cùng dấu với a 2. Nếu ∆ ✏ 0 thì dấu của tam thức như sau ax2 ✁b ✁✽ TM ATH x   bx   c 2a cùng dấu với a 3. Nếu ∆ → 0 thì f ♣xq có hai nghiệm x1 thức như sau x 4.5.2   bx   c cùng dấu với a ➔ x2, khi đó dấu của tam x1 x2 Một số điều kiện tương đương Nếu ax2   bx   c là một tam thức bậc hai (a ✘ 0) thì 1. ax2   bx   c ✏ 0 có nghiệm 2.  ✽ cùng dấu trái dấu cùng dấu 0 0 với a với a với a VIE ax2 ✁✽ 0  ✽ ðñ ∆ ✏ b2 ✁ 4ac ➙ 0. c ax2   bx   c ✏ 0 có 2 nghiệm trái dấu ðñ ➔ 0. a 38 CHƯƠNG 4. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 3. ax2   bx   c ✏ 0 có các nghiệm đều dương 4. ax2   bx   c ✏ 0 có các nghiệm đều âm 5. ax2 6. ax2 7. ax2 8. ax2   bx   c → 0, ❅x ðñ   bx   c ➙ 0, ❅x ðñ   bx   c ➔ 0, ❅x ðñ   bx   c ↕ 0, ❅x ðñ ✧ ✧ ✧ ✧ a ∆ a ∆ a ∆ a ∆ →0 ➔0 →0 ↕0 ➔0 ➔0 →0 ↕0 ✩ ∆ ✬ ✬ ✫ c ðñ ✬ ✬ ✪ ✩ ∆ ✬ ✬ ✫ c ðñ ✬ ✬ ✪ a a ✁ ab ✁ ab ↕0 →0 →0 ↕0 →0 ➔0 ET Thống kê 5.1.1 Bảng phân bố tần số và tần suất TM ATH 5.1 S.N Chương 5 Tần số và tần suất của một giá trị Giả sử dãy n số liệu thống kê đã cho có k giá trị khác nhau (k Gọi xi là một giá trị bất kỳ trong k giá trị đó, ta có ➤ n). 1. Số lần xuất hiện giá trị xi trong dãy số liệu đã cho được gọi là tần số của giá trị đó, ký hiệu là ni . 2. Số fi 5.1.2 ✏ nni được gọi là tần suất của giá trị xi . Tần số và tần suất của một lớp VIE Giả sử dãy n số liệu thống kê đã cho được phân vào k lớp (k Xét lớp thứ i♣i ✏ 1, 2, . . . , k q trong k lớp đó, ta có ➔ n). 1. Số ni các số liệu thống kê thuộc lớp thứ i được gọi là tần số của lớp đó. 2. Số fi ✏ nni được gọi là tần suất của lớp thứ i. ➓ Chú ý: Trong các bảng phân bố tần suất thì tần suất được tính ở dạng tỷ số phần trăm. 39 40 CHƯƠNG 5. THỐNG KÊ 5.2 Số trung bình cộng 5.2.1 Số trung bình cộng 1. Trường hợp bảng phân bố tần số và tần suất x✏ 1➳ ni xi n i✏ 1 k ✏ k ➳ ✏ fi xi i 1 ✏ n1 ♣n1x1   n2x2   . . .   nk xk q ✏ f1x1   f2x2   . . .   fk xk , trong đó ni , fi lần lượt là tần số, tần suất của giá trị xi ; n là số các số liệu thống kê (n1   n2   . . .   nk ✏ n). 2. Trường hợp bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp x✏ 1➳ ni ci n i✏ 1 k ✏ k ➳ ✏ fi ci , i 1 trong đó ci , ni , fi lần lượt là giá trị đại diện, tần số, tần suất của lớp thứ i; n là số các số liệu thống kê (n1   n2   . . .   nk ✏ n). 5.2.2 Số trung vị Số trung vị Me của một dãy gồm n số liệu thống kê được sắp thứ tự không giảm (hoặc không tăng) là • Số đứng giữa dãy (số hạng thứ n 1 ) nếu n lẻ; 2 • Trung bình cộng của hai số đứng giữa dãy (trung bình cộng của n n số hạng thứ và số hạng thứ   1 nếu n chẵn. 2 2 5.2.3 Mốt Mốt M0 là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng phân bố tần số. Nếu trong bảng phân bố tần số có hai giá trị có tần số bằng nhau và lớn hơn tần số của các giá trị khác thì ta có hai giá trị đó là hai mốt. 5.3. PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN 5.2.4 41 Chọn đại diện cho các số liệu thống kê ET 1. Trường hợp tính được cả ba số: trung bình, trung vị, mốt, và các số liệu thống kê là cùng loại đồng thời số lượng các số liệu đủ lớn (n ➥ 30) thì ta ưu tiên chọn số trung bình làm đại diện cho các số liệu thống kê. Khi đó số trung vị hoặc mốt được sử dụng để bổ sung thêm những thông tin cần thiết. S.N 2. Trường hợp không tính được số trung bình thì người ta chọn số trung vị hoặc mốt làm đại diện cho các số liệu thống kê. 3. Những trường hợp sau đây, không nên dùng số trung bình để đại diện cho các số liệu thống kê (có thể dùng số trung vị hoặc mốt): TM ATH (a) Số các số liệu thống kê quá ít (nhỏ hơn hoặc bằng 10). (b) Giữa các số liệu thống kê có sự chênh lệch nhau quá lớn. (c) Đường gấp khúc tần suất không đối xứng và nhiều trường hợp khác. 5.3 5.3.1 Phương sai và độ lệch chuẩn Công thức tính phương sai 1. Cách 1: Tính theo tần số (a) Đối vối bảng phân bố tần số ✏ n1 VIE s2x k ➳ ✏ n i ♣ x i ✁ x q2 i 1 (b) Đối vối bảng phân bố tần số ghép lớp s2x ✏ 2. Cách 2: Tính theo tần suất 1➳ ni ♣ci ✁ xq2 n i✏ 1 k 42 CHƯƠNG 5. THỐNG KÊ (a) Đối vối bảng phân bố tần suất k ➳ ✏ s2x ✏ fi ♣xi ✁ xq2 i 1 (b) Đối vối bảng phân bố tần suất ghép lớp s2x ✏ k ➳ ✏ fi ♣ci ✁ xq2 i 1 Trong đó ni , fi lần lượt là tần số, tần suất của giá trị xi trong bảng phân bố tần số, tần suất (hay là tần số, tần suất của lớp thứ i trong bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp); n là số các số liệu thống kê (n1   n2   . . .   nk ✏ n); x là số trung bình cộng của các số liệu thống kê; ci là giá trị đại diện của lớp thứ i. 3. Cách 3: Sử dụng công thức s2x 5.3.2 ✏ x 2 ✁ ♣ x q2 . Ý nghĩa và cách sử dụng phương sai Phương sai được sử dụng để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình). Khi hai số liệu thống kê có cùng đơn vị đo và có số trung bình bằng nhau hoặc xấp xỉ nhau, dãy có phương sai càng nhỏ thì mức độ phân tán (so với số trung bình) của các số liệu thống kê càng ít. 5.3.3 Độ lệch chuẩn Độ lệch chuẩn sx là căn bậc hai của phương sai s2x sx ✏ ❛ s2x Độ lệch chuẩn cũng được sử dụng để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình). Cách sử dụng độ lệch chuẩn hoàn toàn giống như cách sử dụng phương sai. Khi cần chú ý đến đơn vị đo ta dùng độ lệch chuẩn sx (vì sx có cùng đơn vị đo với dấu hiệu X được nghiên cứu). ET Chương 6 S.N Cung và góc lượng giác Cung và góc lượng giác 6.1.1 Quan hệ giữa độ và radian 180✆ Với π 6.1.2 TM ATH 6.1 π ✏ π rad; 1✆ ✏ 180 rad; 1 rad ✏ ✂ 180 π ✡✆ ✓ 3, 14 thì 1✆ ✏ 0, 0175 rad và 1 rad ✏ 57✆ 17✶45✷ . Độ dài của cung tròn VIE Cho một cung tròn có số đo α rad và bán kính R, khi đó độ dài l của cung tròn đó xác định bởi l ✏ Rα 6.1.3 Số đo của cung lượng giác Số đo của các cung lượng giác có điểm đầu A, điểm cuối B là ñ sđ AB ✏ α   k2π, k 43 € Z. 44 CHƯƠNG 6. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC 6.1.4 Biểu diễn cung lượng giác 1. Để biểu diễn cung lượng giác có số đo α trên đường tròn lượng giác, ta chọn điểm A♣1; 0q làm điểm đầu của cung, chiều dương là ngược chiều kim đồng hồ, vì vậy ta chỉ cần xác định điểm cuối ñ ñ M trên đường tròn lượng giác sao cho cung AM có sđ AM ✏ α. y   M α ✁1 A O 1 x ✁ ñ 2. Mỗi cung lượng giác CD ứng với một góc lượng giác ♣OC, ODq và ngược lại. Số đo của cung lượng giác và góc lượng giác tương ứng là trùng nhau. 6.2 6.2.1 Giá trị lượng giác của một cung Các kiến thức cơ bản ñ ñ Trên đường tròn lượng giác gốc A, cho cung AM có sđ AM ✏ α. Khi đó 6.2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG 45 y α O cos α A 1 x S.N ✁1   ET M sin α ✁ ✌ ✌ ✌ Hoành độ của điểm M là cos α. ✌ cot α ✏ ✌ ✌ ✌   kπ, k € Z. cos α xác định khi và chỉ khi α ✘ kπ, k € Z. cos α ➙ 0 khi và chỉ khi điểm cuối M thuộc góc phần tư thứ I và thứ IV; cos α ↕ 0 khi và chỉ khi điểm cuối M thuộc góc phần tư tan α ✏ TM ATH Tung độ của điểm M là sin α. sin α với cos α ✘ 0. cos α cos α với sin α ✘ 0. sin α π 2 VIE tan α xác định khi và chỉ khi α ✘ thứ II và thứ III. ✌ ✌ sin α ➙ 0 khi và chỉ khi điểm cuối M thuộc góc phần tư thứ I và thứ II; sin α ↕ 0 khi và chỉ khi điểm cuối M thuộc góc phần tư thứ III và thứ IV. Từ dấu của sin α và cos α ta sẽ suy ra được dấu của tan α và cot α. ➓ Chú ý: Các biểu thức có mặt ở hai vế của các đẳng thức trong các mục dưới đây đều quy ước là có nghĩa. 46 CHƯƠNG 6. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC 6.2.2 Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản ✌ sin2 α   cos2 α ✏ 1 ✌1   tan2 α ✏ cos12 α 6.2.3 Giá trị lượng giác của các cung đối nhau ✌ cos♣✁αq ✏ cos α ✌ tan♣✁αq ✏ ✁ tan α 6.2.4 ✠ 6.3.1 ✁ ✠ ✌ cos ✁ π2 ✁ α✠ ✏ sin α ✌ cot π2 ✁ α ✏ tan α Giá trị lượng giác của các cung hơn kém π ✌ sin♣π   αq ✏ ✁ sin α ✌ tan♣π   αq ✏ tan α 6.3 ✌ cos♣π ✁ αq ✏ ✁ cos α ✌ cot♣π ✁ αq ✏ ✁ cot α Giá trị lượng giác của các cung phụ nhau ✁π ✌ sin ✁2 ✁ α ✠ ✏ cos α ✌ tan π2 ✁ α ✏ cot α 6.2.6 ✌ sin♣✁αq ✏ ✁ sin α ✌ cot♣✁αq ✏ ✁ cot α Giá trị lượng giác của các cung bù nhau ✌ sin♣π ✁ αq ✏ sin α ✌ tan♣π ✁ αq ✏ ✁ tan α 6.2.5 ✌ tan α. cot α ✏ 1 ✌1   cot2 α ✏ sin12 α ✌ cos♣π   αq ✏ ✁ cos α ✌ cot♣π   αq ✏ cot α Công thức lượng giác Công thức cộng • sin♣a   bq ✏ sin a cos b   sin b cos a. • sin♣a ✁ bq ✏ sin a cos b ✁ sin b cos a. • cos♣a   bq ✏ cos a cos b ✁ sin a sin b. • cos♣a ✁ bq ✏ cos a cos b   sin a sin b. 6.3. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC tan a   tan b . 1 ✁ tan a tan b • tan♣a   bq ✏ ET tan a ✁ tan b . 1   tan a tan b • tan♣a ✁ bq ✏ 6.3.2 47 Công thức nhân đôi • sin 2x ✏ 2 sin x cos x. • tan 2x ✏ 6.3.3 S.N • cos 2x ✏ cos2 x ✁ sin2 x ✏ 2 cos2 x ✁ 1 ✏ 1 ✁ 2 sin2 x. 2 tan x . 1 ✁ tan2 x Công thức nhân ba TM ATH • cos 3x ✏ 4 cos3 x ✁ 3 cos x. • sin 3x ✏ 3 sin x ✁ 4 sin3 x. 6.3.4 Công thức hạ bậc 6.3.5 Công thức tính theo t ✏ tan x2 2x ✌ sin2 x ✏ 1 ✁ cos 2 2x ✌ cos2 x ✏ 1   cos 2 2 ✌ cos x ✏ 11  ✁ tt2 6.3.6 VIE ✌ sin x ✏ 1  2tt2 Công thức tổng thành tích • sin a   sin b ✏ 2 sin • sin a ✁ sin b ✏ 2 cos ✂ a b 2 ✂ • cos a   cos b ✏ 2 cos ✡ a b 2 ✂ ✂ a✁b . 2 ✂ a✁b . 2 cos ✡ a b 2 sin ✡ ✂ cos ✡ ✡ ✡ a✁b . 2 ✌ tan x ✏ 1 ✁2tt2 48 CHƯƠNG 6. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC • cos a ✁ cos b ✏ ✁2 sin 6.3.7 ✂ a b 2 ✡ ✂ sin ✡ a✁b . 2 Công thức tích thành tổng • cos a cos b ✏ 1 rcos♣a ✁ bq   cos♣a   bqs. 2 • sin a sin b ✏ 1 rcos♣a ✁ bq ✁ cos♣a   bqs. 2 • sin a cos b ✏ 1 rsin♣a ✁ bq   sin♣a   bqs. 2 6.3.8 Một số công thức khác • sin x   cos x ✏ • sin x ✁ cos x ✏ • ♣sin x   cos xq2 ❄ ❄ ✁ 2 cos x ✁ ✂ 2 cos 3π 4 ✁ π✠ ❄ π✠ ✏ 2 sin x   . 4 4 ✡ ✁x ✏ ✏ 1   sin 2x. • sin4 x   cos4 x ✏ 1 ✁ sin2 2x . 2 • sin6 x   cos6 x ✏ 1 ✁ 3 sin2 2x . 4 ❄ ✁ 2 sin x ✁ π✠ . 4 ET Chương 7 7.1.1 Hàm số lượng giác TM ATH 7.1 S.N Hàm số lượng giác Hàm số sin 1. Hàm số y (a) y ✏ sin x có các tính chất sau ✏ sin x có tập xác định là R và ✁1 ➤ sin x ➤ 1, ❅x € R ✏ sin x là hàm số lẻ; y ✏ sin x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π. (b) y ✏ sin x nhận các giá trị đặc biệt như sau VIE (c) 2. Hàm số y • sin x ✏ 0 ô x ✏ kπ, k € Z. π • sin x ✏ 1 ô x ✏   k2π, k € Z. 2 π • sin x ✏ ✁1 ô x ✏ ✁   k2π, k € Z. 2 3. Đồ thị của hàm số y ✏ sin x như sau: 49 50 CHƯƠNG 7. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC y 1 ✁3π④2 7.1.2 ✁π ✁π④2 O ✁1 π ④2 3π 2 x π y ✏ sin x Hàm số cos 1. Hàm số y (a) y ✏ cos x có các tính chất sau ✏ cos x có tập xác định là R và ✁1 ➤ cos x ➤ 1, ❅x € R ✏ cos x là hàm số chẵn; y ✏ cos x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π. (b) y (c) 2. Hàm số y ✏ cos x nhận các giá trị đặc biệt như sau π   kπ, k € Z. 2 • cos x ✏ 1 ô x ✏ k2π, k € Z. • cos x ✏ 0 ô x ✏ • cos x ✏ ✁1 ô x ✏ ♣2k   1qπ, k 3. Đồ thị của hàm số y € Z. ✏ cos x như sau: y ✁ 3π2 ✁π ✁ π2 1 O ✁1 π 2 π y ✏ cos x x 7.1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 7.1.3 51 Hàm số tang 1. Hàm số y sin x có các tính chất sau ✏ tan x ✏ cos x ✏ tan x có tập xác định là D ✏ R③ 2   kπ, k € Z . (b) y ✏ tan x là hàm số lẻ; (c) y ✏ tan x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ π. Hàm số y ✏ tan x nhận các giá trị đặc biệt như sau • tan x ✏ 0 ô x ✏ kπ, k € Z. π • tan x ✏ 1 ô x ✏   kπ, k € Z. 4 π • tan x ✏ ✁1 ô x ✏ ✁   kπ, k € Z. 4 ✂ ✡ ✁ π π Đồ thị của hàm số y ✏ tan x trên khoảng ; như sau: 3. TM ATH S.N ET (a) y 2. ✮ ✦π 2 2 y 1 VIE ✁ π2 7.1.4 π 2 O π 4 Hàm số cotang 1. Hàm số y x ✏ cot x ✏ cos có các tính chất sau sin x x 52 CHƯƠNG 7. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC ✏ cot x có tập xác định là D ✏ R③ tkπ, k € Z✉. y ✏ cot x là hàm số lẻ; y ✏ cot x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ π. (a) y (b) (c) 2. Hàm số y ✏ tan x nhận các giá trị đặc biệt như sau • cot x ✏ 0 ô x ✏ • cot x ✏ 1 ô x ✏ π 2 π 4   kπ, k € Z.   kπ, k € Z. • cot x ✏ ✁1 ô x ✏ ✁ 3. Đồ thị của hàm số y π 4   kπ, k € Z. ✏ cot x trên khoảng ♣0; πq như sau: y π 2 O π x 7.2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 7.2 53 Phương trình lượng giác cơ bản 7.2.1 Phương trình cơ bản theo sin Xét phương trình lượng giác cơ bản theo sin ET sin x ✏ a, với a € R (7.1) • Nếu ⑤a⑤ → 1 thì phương trình (7.1) vô nghiệm. ✏ ✏ x x ϕ π✁ϕ   k2π   k2π ♣k € Zq. TM ATH sin x ✏ sin ϕ ô ✒ S.N • Nếu ⑤a⑤ ➤ 1, gọi ϕ là cung (có số đo bằng rad) thỏa mãn sin ϕ ✏ a. Khi đó phương trình (7.1) trở thành Nếu ϕ thỏa mãn điều kiện ✁ ϕ ✏ arcsin a, khi đó sin x ✏ a ô ✒ x x ✏ ✏ π 2 ➤ ϕ ➤ π2 và sin ϕ ✏ a thì ta viết arcsin a π ✁ arcsin a   k2π   k2π ♣k € Zq. Nếu dùng đơn vị là độ thì ta có ✒ x x ✏ ✏ β✆ ✆ 180 ✁ β ✆ VIE sin x ✏ sin β ✆ ô   k360✆ ♣k € Zq.   k360✆ ➓ Chú ý: Trong một công thức nghiệm, không được dùng đồng thời hai đơn vị độ và radian. 7.2.2 Phương trình cơ bản theo cos Xét phương trình lượng giác cơ bản theo cos (7.2) cos x ✏ a, với a € R 54 CHƯƠNG 7. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC • Nếu ⑤a⑤ → 1 thì phương trình (7.2) vô nghiệm. • Nếu ⑤a⑤ ➤ 1, gọi ϕ là cung (có số đo bằng rad) thỏa mãn cos ϕ ✏ a. Khi đó phương trình (7.2) trở thành cos x ✏ cos ϕ ô ✒ x x Nếu ϕ thỏa mãn điều kiện 0 ϕ ✏ arccos a, khi đó cos x ✏ a ô ✒ ✏ ϕ   k2π ✏ ✁ϕ   k2π ♣k € Zq. ➤ ϕ ➤ π và cos ϕ ✏ a thì ta viết ✏ arccos a   k2π ♣k € Zq. ✏ ✁ arccos a   k2π x x Nếu dùng đơn vị là độ thì ta có cos x ✏ cos β ✆ ô 7.2.3 ✒ x x ✏ β ✆   k360✆ ♣k € Zq. ✏ ✁β ✆   k360✆ Phương trình cơ bản theo tan Xét phương trình lượng giác cơ bản theo tan tan x ✏ a, với a € R (7.3) Điều kiện của phương trình (7.3) là x ✘ π 2   kπ, k € Z. • Nếu ϕ là cung (có số đo bằng rad) thỏa mãn tan ϕ ✏ a thì ta viết ϕ trở thành và ✏ arctan a. Khi đó phương trình (7.3) tan x ✏ tan ϕ ô x ✏ ϕ   kπ hay ✁ π2 ➔ ϕ ➔ π2 ♣k € Zq. 7.3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP tan x ✏ a ô x ✏ arctan a   kπ 55 ♣k € Zq. • Nếu dùng đơn vị độ thì ta có 7.2.4 ô x ✏ β ✆   k180✆ ♣k € Zq. ET tan x ✏ tan β ✆ Phương trình cơ bản theo cot S.N Xét phương trình lượng giác cơ bản theo cot cot x ✏ a, với a € R (7.4) Điều kiện của phương trình (7.4) là x ✘ kπ, k € Z. TM ATH • Nếu ϕ là cung (có số đo bằng rad) thỏa mãn 0 ➔ ϕ ➔ π và cot ϕ ✏ a thì ta viết ϕ ✏ arccot a. Khi đó phương trình (7.4) trở thành cot x ✏ cot ϕ ô x ✏ ϕ   kπ hay cot x ✏ a ô x ✏ arccot a   kπ ♣k € Zq. ♣k € Zq. • Nếu dùng đơn vị độ thì ta có 7.3 7.3.1 ô x ✏ β ✆   k180✆ ♣k € Zq. VIE cot x ✏ cot β ✆ Phương trình lượng giác thường gặp Phương trình lượng giác đưa về dạng đại số Ví dụ: các phương trình 2 sin x ✁ 1 ✏ 0, cos2 x   2 cos x ✁ 3 ✏ 0, tan x ✁ 3 ✏ 0, . . . có thể đưa về dạng phương trình đại số bằng cách đổi biến số. 56 CHƯƠNG 7. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 7.3.2 Phương trình bậc nhất đối với sin và cos Xét phương trình a sin x   b cos x ✏ c với ❄ 2a, b, 2c € R, a2   b2 a   b ta được ❄ a a2 ✂ Vì ❄ ❄ a a2 a ✡2 a2   b2   b2   b2 ✘ 0. Chia hai vế của phương trình này cho sin x   ✂   ❄ và sin ϕ ✏ ❄ ✡2   b2 c a2   b2 ✏ 1 nên tồn tại ϕ sao cho cos ϕ a2   b2 ❄ 2b 2 , khi đó ta có a  b b sin x cos ϕ   sin ϕ cos x ✏ hay ❄ cos x ✏ b a2 sin♣x   ϕq ✏ ❄ ❄ ✏ c a2   b2 c a2   b2 Đây là phương trình cơ bản theo sin nên giải được. 7.3.3 Phương trình chứa tổng (hay hiệu) và tích của sin và cos 1. Xét phương trình a♣sin x   cos xq   b sin x cos x   c ✏ 0 với a, b, c € R, a2   b2 ✘ 0. Đặt t ✏ sin x   cos x, khi đó t2 ✏ ♣sin x   cos xq2 ✏ 1   2 sin x cos x. Từ đó tính được sin x cos x theo t. Sau đó thay vào phương trình ban đầu ta được phương trình bậc hai theo t nên giải được. 2. Với phương trình dạng a♣sin x ✁ cos xq   b sin x cos x   c ✏ 0, với a, b, c € R, a2   b2 ✘ 0. ta cũng giải như trên bằng cách đặt t ✏ sin x ✁ cos x. 7.4. GIỚI THIỆU VỀ LƯỢNG GIÁC 7.3.4 57 Phương trình đẳng cấp đối với sin va cos Xét phương trình với a, b, c, d € R. Cách giải như sau • Nếu cos x ✏ 0 thì thử trực tiếp. ET a sin2 x   b sin x cos x   c cos2 x ✏ d 7.4 S.N • Nếu cos x ✘ 0 thì chia cả hai vế của phương trình cho cos2 x ta đưa về phương trình bậc hai theo tan x nên giải được. Giới thiệu về lượng giác VIE TM ATH Lượng giác, tiếng Anh Trigonometry (nghĩa là “tam giác” + metron “đo lường”). Nó là một nhánh toán học dùng để tìm hiểu về hình tam giác và sự liên hệ giữa cạnh của hình tam giác và góc độ của nó. Lượng giác chỉ ra hàm số lượng giác. Hàm số lượng giác diễn tả các mối liên kết và có thể áp dụng được để học những hiện tượng có chu kỳ, như sóng âm. Nhánh toán này được sinh ra từ thế kỷ thứ 3 trước công nguyên. Ban đầu nó là nhánh của toán hình học và được dùng chủ yếu để nghiên cứu thiên văn. Lượng giác cũng là nền móng cho ngành nghệ thuật ứng dụng trong trắc địa. Những bài học cơ bản về lượng giác thường được dạy ở trường lớp. Một là được dạy trong với khóa trước đại số hoặc khóa riêng biệt. Hàm số lượng giác được dùng rộng rãi trong nhánh toán tinh khiết và nhánh toán học ứng dụng. Ví dụ như phân tích Fourier và hàm số sóng. Đó là những thứ có yếu tố quan trọng trong nhiều nhánh của khoa học và công nghệ. Lượng giác hình cầu nghiên cứu hình tam giác trên hình cầu, bề mặt của hằng số độ cong dương, trong hình học elip. Nó là nguyên tắc cơ bản cho ngành thiên văn học và ngành hàng hải. Lương giác trên một bề mặt của độ cong âm thuộc hình học Hyperbol. Có nhiều ứng dụng của lượng giác. Cụ thể có thể nói đến như là kỹ thuật của phép đo đạc tam giác được sử dụng trong thiên văn để đo khoảng cách tới các ngôi sao gần, trong địa lý để đo khoảng cách 58 CHƯƠNG 7. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC giữa các mốc giới hay trong các hệ thống hoa tiêu vệ tinh. Các lĩnh vực khác có sử dụng lượng giác còn có thiên văn (và vì thế là cả hoa tiêu trên đại dương, trong ngành hàng không và trong vũ trụ), lý thuyết âm nhạc, âm học, quang học, phân tích thị trường tài chính, điện tử học, lý thuyết xác suất, thống kê, sinh học, chiếu chụp y học (các loại chụp cắt lớp và siêu âm), dược khoa, hóa học, lý thuyết số (và vì thế là mật mã học), địa chấn học, khí tượng học, hải dương học và nhiều lĩnh vực của vật lý, đo đạc đất đai và địa hình, kiến trúc, ngữ âm học, kinh tế học, khoa công trình về điện, cơ khí, xây dựng, đồ họa máy tính, bản đồ học, tinh thể học v.v. Mô hình hiện đại trừu tượng hóa của lượng giác- lượng giác hữu tỷ, bao gồm các khái niệm “bình phương sin của góc” và “bình phương khoảng cách” thay vì góc và độ dài - đã được tiến sĩ Norman Wildberger ở trường đại học tổng hợp New South Wales nghĩ ra. ET Chương 8 Quy tắc đếm 8.1.1 Quy tắc cộng TM ATH 8.1 S.N Tổ hợp và xác suất Giả sử đối tượng X có m cách chọn khác nhau, đối tượng Y có n cách chọn khác nhau và không có cách chọn đối tượng X nào trùng với mỗi cách chọn đối tượng Y . Khi đó có m   n cách chọn một trong hai đối tượng ấy. Giả sử A và B là các tập hữu hạn, không giao nhau. Khi đó n ♣A (8.1) ➈ B q ✏ n ♣ Aq   n ♣B q VIE Trong đó: n♣Aq là ký hiệu cho số phần tử của tập A. ➓ Chú ý: Công thức (8.1) có thể mở rộng theo hai hướng • Nếu A và B là hai tập hữu hạn bất kỳ thì n ♣A ➈ B q ✏ n ♣ Aq   n ♣ B q ✁ n ♣A ➇ Bq • Nếu A1 , A2 , . . . , Am là các tập hữu hạn tùy ý, đôi một không giao nhau thì n ♣ A1 ➈ A2 ➈ ... ➈ Am q ✏ n ♣A1 q   n ♣A2 q   . . .   n ♣Am q 59 60 8.1.2 CHƯƠNG 8. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Quy tắc nhân Giả sử A, B là hai tập hữu hạn. Kí hiệu A ✂ B là tập hợp tất cả các cặp có thứ tự ♣a, bq, trong đó a € A, b € B. Ta có quy tắc n♣A ✂ B q ✏ n♣Aq.n♣B q Quy tắc trên có thể phát biểu như sau: Giả sử có hai hành động được thực hiện liên tiếp. Hành động thứ nhất có m kết quả. Ứng với mỗi kết quả của hành động thứ nhất, hành động thứ hai có n kết quả. Khi đó có m ✂ n kết quả của hai hành động liên tiếp đó. ➓ Chú ý: Quy tắc nhân ở trên có thể mở rộng ra nhiều hành động liên tiếp. 8.2 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ➥ 1). 8.2.1 Hoán vị Kết quả của sự sắp xếp n phần tử của A theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của tập A. Số các hoán vị của tập A được kí hiệu là Pn , khi đó Pn 8.2.2 ✏ n.♣n ✁ 1q . . . 2.1 ✏ n! Chỉnh hợp Kết quả của việc lấy k phần tử của A (1 ➤ k ➤ n) và xếp theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử được kí hiệu là Akn , khi đó Akn Quy ước: 0! ✏ 1. ✏ ♣n ✁n! kq! 8.3. NHỊ THỨC NEWTON 8.2.3 61 Tổ hợp 8.3 8.3.1 ✏ k!♣nn!✁ kq! Nhị thức Newton S.N Cnk ET Một tập con gồm k phần tử của A (1 ➤ k ➤ n) được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. Tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng. Số các tổ hợp chập k của n phần tử được kí hiệu là Cnk , khi đó Công thức nhị thức Newton TM ATH Khi khai triển nhị thức Newton1 ♣a   bqn , ta nhận được công thức (8.2) ♣a   bqn ✏ Cn0 an   Cn1 an✁1b   . . .   Cnn✁1abn✁1   Cnnbn 8.3.2 Các tính chất Trong khai triển công thức (8.2) ta có 1. Số các hạng tử là n   1. 2. Số hạng (hay hạng tử) thứ k   1 là Cnk an✁k bk , k (quy ước a0 ✏ 1 với a ✘ 0). ✏ 0, 1, . . . , n VIE 3. Số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n. 4. Các hạng tử cách đều hạng tử đầu và hạng tử cuối có hệ số bằng nhau. 1 Isaac Newton (1642-1727) là một nhà vật lý, nhà thiên văn học, nhà triết học, nhà toán học, nhà thần học và nhà giả kim người Anh, được nhiều người cho rằng là nhà khoa học vĩ đại và có tầm ảnh hưởng lớn nhất. 62 CHƯƠNG 8. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT 8.4 Lý thuyết cơ bản về xác suất 8.4.1 Phép thử và biến cố • Tập hợp mọi kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và được kí hiệu là Ω. Ta chỉ xét các phép thử với không gian mẫu Ω là tập hữu hạn. • Mỗi tập con A của Ω được gọi là một biến cố. Tập ∅ được gọi là biến cố không thể, tập Ω được gọi là biến cố chắc chắn. • Nếu khi phép thử được tiến hành mà kết quả của nó là một phần tử của A thì ta nói rằng A xảy ra, hay phép thử thuận lợi cho A. • Biến cố A ✏ Ω③A được gọi là biến cố đối của A. Như vậy A và B là hai biến cố đối nhau ô A ✏ B; A xảy ra ô A không xảy ra. • • ➈ ô A hoặc B xảy ra. Biến cố A B xảy ra ô A và B cùng xảy ra. ➇ Nếu A B ✏ ∅ thì A và B được gọi là hai biến cố xung khắc. • Biến cố A 8.4.2 B xảy ra ➇ Xác suất của biến cố 1. Nếu A là biến cố liên quan đến phép thử chỉ có một số hữu hạn n ♣Aq các kết quả đồng khả năng xuất hiện thì tỉ số P ♣Aq ✏ n ♣Ω q được gọi là xác suất của biến cố A, trong đó kí hiệu n♣Aq là số phần tử của A. 2. Xác suất có các tính chất sau: (a) P ♣Aq ➙ 0, ❅A. (b) P ♣Ωq ✏ 1. (c) Nếu A và B là hai biến cố xung khắc cùng liên quan đến phép thử thì 8.5. GIỚI THIỆU VỀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN P ♣A ➈ 63 B q ✏ P ♣Aq   P ♣B q (Công thức cộng xác suất). P ♣A ➈ ET Mở rộng: Với hai biến cố A và B bất kỳ cùng liên quan đến phép thử thì B q ✏ P ♣ Aq   P ♣ B q ✁ P ♣A ➇ Bq 8.5 TM ATH S.N 3. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập, nếu sự xảy ra của một trong hai biến cố không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia. Người ta chứng minh được rằng, hai biến cố A và ➇ B độc lập khi và chỉ khi P ♣A B q ✏ P ♣Aq.P ♣B q. Ngoài ra, A và B độc lập ô A và B độc lập ô A và B độc lập ô A và B độc lập. Giới thiệu về xác suất thống kê toán VIE Từ xác suất (probability) bắt nguồn từ chữ probare trong tiếng Latin và có nghĩa là “để chứng minh, để kiểm chứng”. Nói một cách đơn giản, probable là một trong nhiều từ dùng để chỉ những sự kiện hoặc kiến thức chưa chắc chắn, và thường đi kèm với các từ như “có vẻ là”, “mạo hiểm”, “may rủi”, “không chắc chắn” hay “nghi ngờ”, tùy vào ngữ cảnh. “Cơ hội” (chance), “cá cược” (odds, bet) là những từ cho khái niệm tương tự. Nếu lí thuyết cơ học (cơ học cổ điển) có định nghĩa chính xác cho “công” và “lực”, thì lí thuyết xác suất nhằm mục đích định nghĩa “khả năng”. Như các lý thuyết khác, lý thuyết xác suất là một biểu diễn của khái niệm xác suất bằng các thuật ngữ hình thức - nghĩa là các thuật ngữ mà có thể xác định một cách độc lập với ý nghĩa của nó. Các thuật ngữ hình thức này được thao tác bởi các qui luật toán học và logic, và kết quả thu được sẽ được chuyển dịch trở lại miền (domain) của bài toán. Có hai hướng công thức hóa xác suất đã thành công là sự hình thành công thức Kolmogorov và sự hình thành công thức Cox. Trong công thức của Kolmogorov, các tập được hiểu là các sự kiện và xác 64 CHƯƠNG 8. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT suất chính là một phép đo trên một lớp các tập đó. Trong công thức của Cox, xác suất được xem là cái cơ bản (primitive - không thể phân tích thêm được nữa) và tập trung nghiên cứu vào việc xây dựng một phép gán tốt các giá trị xác suất đến các mệnh đề. Trong cả 2 trường hợp, các định luật về xác suất là như nhau, ngoại trừ yếu tố chi tiết kĩ thuật: 1. Xác suất là một giá trị số trong khoảng 0 và 1; 2. Xác suất của một sự kiện hay mệnh đề và phần bù của nó cộng lại phải bằng 1; và 3. Xác suất kết hợp của hai sự kiện hay hai mệnh đề là tích của các xác suất của một trong chúng và xác suất của cái thứ hai với điều kiện biết cái trước xảy ra. Ảnh hưởng chính của lý thuyết xác suất trong cuộc sống hằng ngày đó là việc xác định rủi ro và trong buôn bán hàng hóa. Chính phủ cũng áp dụng các phương pháp xác suất để điều tiết môi trường hay còn gọi là phân tích đường lối. Lý thuyết trò chơi cũng dựa trên nền tảng xác suất. Một ứng dụng khác là trong xác định độ tin cậy. Nhiều sản phẩm tiêu dùng như xe hơi, đồ điện tử sử dụng lý thuyết độ tin cậy trong thiết kế sản phẩm để giảm thiểu xác suất hỏng hóc. Xác suất hư hỏng cũng gắn liền với sự bảo hành của sản phẩm. ET Chương 9 Phương pháp quy nạp toán học TM ATH 9.1 S.N Dãy số 1. Để chứng minh một mệnh đề là đúng với mọi n € N✝ bằng phương pháp quy nạp toán học, ta tiến hành hai bước: (a) Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n ✏ 1. (b) Giả sử mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n ✏ k ♣k ➙ 1q và chứng minh rằng nó cũng đúng với n ✏ k   1. 2. Trong trường hợp phải chứng minh một mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n ➙ p (p là số tự nhiên) thì: VIE (a) Ở bước 1: ta kiểm tra mệnh đề đúng với n ✏ p. (b) Ở bước 2: ta giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n ✏ k ♣k ➙ pq và chứng minh rằng nó cũng đúng với n ✏ k   1. 3. Phép thử với một số hữu hạn số tự nhiên, tuy không phải là chứng minh, nhưng cho phép ta dự đoán được kết quả. Kết quả này chỉ là giả thiết, và để chứng minh ta có thể dùng phương pháp quy nạp toán học. 65 66 CHƯƠNG 9. DÃY SỐ Ví dụ 9.1.1. Chứng minh rằng ❝ 2  (9.1) ❜ 2   ...   ❄ 2 ✏ 2 cos ❧♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♠♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♥ π 2n 1 n dấu căn Giải. Đặt vế trái của hệ thức (9.1) bằng Cn . Khi n ✏ 1 thì hệ thức (9.1) đúng. Giả sử hệ thức (9.1) đúng với n ✏ k ➥ 1, tức là π Ck ✏ 2 cos k 1 2 Ta phải chứng minh ✏ 2 cos 2kπ 2 Ck   1 Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có Ck   1 ✏ ✏ ❛ 2   Ck ❝ 4 cos2 ✏ ❝ π 2k   2 2   2 cos π   2k 1 ✏ 2 cos 2kπ 2 ♣vì cos π 2k   2 → 0q Vậy hệ thức (9.1) đã được chứng minh. 9.2 9.2.1 Dãy số Cơ bản về dãy số Định nghĩa 9.1. Mỗi hàm số u xác định trên tập số tự nhiên N✝ được gọi là dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). u : N✝ ÝÑ R n ÞÝÑ u♣nq Trong đó ta gọi u♣nq ✏ un là số hạng tổng quát của dãy số ♣un q. Mỗi hàm số u xác định trên tập M ✏ t1, 2, . . . , m✉, với m € N✝ , được gọi là dãy số hữu hạn. 9.2. DÃY SỐ 9.2.2 67 Cách cho một dãy số ET 1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát Khi đó un ✏ f ♣nq với f là một hàm số xác định trên N✝ . Đây là cách khá thông dụng (giống như hàm số) và nếu biết giá trị của n (hay cũng chính là số thứ tự của số hạng) thì ta có thể tính ngay được un . S.N 2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả Người ta cho một mệnh đề mô tả cách xác định các số hạng liên tiếp của dãy số. Tuy nhiên, không thể tìm ngay được un với n tùy ý. 3. Dãy số cho bằng công thức truy hồi (hay quy nạp) TM ATH (a) Cho số hạng thứ nhất u1 (hoặc vài số hạng đầu). (b) Với n ➙ 2, cho một công thức tính un nếu biết un✁1 (hoặc một vài số hạng đứng ngay trước nó). Các công thức có thể là ★ ★ hoặc 9.2.3 u1 ✏ a un ✏ f ♣un✁1 q với n ➙ 2 u1 ✏ a, u2 ✏ b un ✏ f ♣un✁1 , un✁2 q với n ➙ 3 Dãy số tăng, dãy số giảm → un với mọi n € N✝ . Dãy số ♣un q được gọi là giảm nếu un 1 ➔ un với mọi n € N✝ . 2. VIE 1. Dãy số ♣un q được gọi là tăng nếu un 1 3. Phương pháp khảo sát tính đơn điệu. (a) Phương pháp 1: Xét hiệu H i. Nếu H ii. Nếu H ✏ un 1 ✁ un. → 0 với mọi n € N✝ thì dãy số tăng. ➔ 0 với mọi n € N✝ thì dãy số giảm. 68 CHƯƠNG 9. DÃY SỐ (b) Phương pháp 2: Nếu un → 0 với mọi n € N✝ thì lập tỷ số un 1 , rồi so sánh với 1 un un 1 i. Nếu → 1 với mọi n € N✝ thì dãy số tăng. un un 1 ii. Nếu ➔ 1 với mọi n € N✝ thì dãy số giảm. un 9.2.4 Dãy số bị chặn 1. Dãy số ♣un q được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực M sao cho un ➤ M, ❅n € N✝ 2. Dãy số ♣un q được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số thực m sao cho un ➥ m, ❅n € N✝ 3. Dãy số được gọi là bị chặn, nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại hai số m, M sao cho m ➤ un ➤ M, ❅n € N✝ ➓ Chú ý: Các dấu “=” không nhất thiết phải xảy ra. 9.3 9.3.1 Cấp số cộng Cơ bản về cấp số cộng Định nghĩa 9.2. Dãy số ♣un q là cấp số cộng ô un 1 ✏ un   d với n € N✝ , trong đó d là một hằng số và được gọi là công sai. Như vậy, công sai của một cấp số cộng ♣un q xác định bởi: d ✏ un 1 ✁ un ✏ un ✁ un✁1 ✏ . . . 9.4. CẤP SỐ NHÂN 9.3.2 69 Số hạng tổng quát Số hạng tổng quát của cấp số cộng ♣un q xác định bởi Suy ra d ✏ 9.3.3 un ✁ u1 . n✁1 ✏ u1   ♣n ✁ 1qd với n ➥ 2 ET un Tính chất Tổng n số hạng đầu với k ➥2 TM ATH 9.3.4 S.N ✏ uk✁1  2 uk 1 hay uk✁1   uk 1 ✏ 2uk . uk Sn ✏ n ➳ ✏ ui i 1 hay Sn ✏ ✏ n♣u1 2  unq với n € N✝ nr2u1   ♣n ✁ 1qds . 2 ➓ Chú ý: Khi giải các bài toán về cấp số cộng ♣un q, ta thường gặp 5 đại lượng. Đó là u1 , d, un , n, Sn . Cần phải biết ít nhất 3 trong 5 đại lượng đó thì sẽ tính được các đại lượng còn lại. 9.4.1 Cấp số nhân VIE 9.4 Cơ bản về cấp số nhân Định nghĩa 9.3. Dãy số ♣vn q là cấp số nhân ô vn 1 ✏ vn .q với n € N✝ , trong đó q là một hằng số và được gọi là công bội. Như vậy, công bội của một cấp số nhân ♣vn q xác định bởi: q ✏ vnv 1 ✏ vvn n ✁ n 1 ... 70 9.4.2 CHƯƠNG 9. DÃY SỐ Số hạng tổng quát Số hạng tổng quát của cấp số nhân ♣vn q xác định bởi vn 9.4.3 ✏ v1.qn✁1 với n ➥ 2 Tính chất ♣vk q2 ✏ vk✁1.vk 1 ♣k ➥ 2q ❄ hay ⑤vk ⑤ ✏ vk✁1 .vk 1 9.4.4 Tổng n số hạng đầu Sn ✏ n ➳ ✏ i 1 vi n ✏ v1♣qq ✁✁1 1q với q ✘1 ➓ Chú ý: Khi giải các bài toán về cấp số nhân ♣vn q, ta thường gặp 5 đại lượng. Đó là v1 , q, vn , n, Sn . Cần phải biết ít nhất 3 trong 5 đại lượng đó thì sẽ tính được các đại lượng còn lại. ET Chương 10 S.N Giới hạn Giới hạn của dãy số 10.1.1 Giới hạn hữu hạn TM ATH 10.1 Cho các dãy số ♣un q, ♣vn q, khi đó 1. lim un Ñ ✽ n ✏ 0 ô ⑤un⑤ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. lim vn Ñ ✽ n 10.1.2 1. Giới hạn vô cực lim un Ñ ✽ n ✏ a ô nÑ ✽ lim ♣vn ✁ aq ✏ 0 với a € R. ✏  ✽ ô un có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, VIE 2. kể từ một số hạng nào đó trở đi. 2. lim un Ñ ✽ n ✏ ✁✽ ô nÑ ✽ lim ♣✁un q ✏  ✽. ➓ Chú ý: Thay cho lim un Ñ ✽ ✏ a, lim un ✏ ✟✽. n lim un ✏ a, nÑ ✽ lim un ✏ ✟✽ ta có thể viết tắt 71 72 CHƯƠNG 10. GIỚI HẠN 10.1.3 1. lim Các giới hạn đặc biệt 1 n ✏ 0; lim 1 nk ✏ 0; lim nk ✏  ✽, với k nguyên dương. ✏ 0 nếu ⑤q⑤ ➔ 1; lim qn ✏  ✽ nếu q → 1. lim c ✏ c với c € R. 2. lim q n 3. 10.1.4 Định lý về giới hạn hữu hạn 1. Nếu lim un ✏ a và lim vn ✏ b, thì: ✌ lim♣un   vnq ✏ a   b ✌ lim un.vn ✏ ab 2. Nếu un 10.1.5 ✌ lim♣un ✁ vnq ✏ a ✁ b ✌ lim uvn ✏ ab (với b ✘ 0). n ➥ 0 với mọi n và lim un ✏ a thì a ➥ 0 và lim ❄un ✏ ❄a. Liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và vô cực 1. Nếu lim un ✏ a và lim vn ✏ ✟✽ thì lim uvn ✏ 0. n 2. Nếu lim un  ✽. 3. Nếu lim un 10.1.6 ✏ a → 0 và lim vn ✏ 0 với vn → 0, ❅n thì lim uvn ✏ n ✏  ✽ và lim vn ✏ a → 0 thì lim unvn ✏  ✽. Cấp số nhân lùi vô hạn 1. Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội q thỏa mãn ⑤q ⑤ ➔ 1. 2. Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn ♣un q S ✏ u1   u2   . . .   un   . . . ✏ 1 u✁1 q 10.2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 73 10.2 Giới hạn của hàm số 10.2.1 Giới hạn hữu hạn x Ñ x0 € K ③tx0✉ và xn Ñ x0, ta có lim f ♣xnq ✏ L. Cho hàm số y ✏ f ♣xq xác định trên khoảng ♣x0 ; bq. Khi đó lim f ♣xq ✏ L ô với dãy số ♣xn q bất kỳ, x0 ➔ xn ➔ b và xÑ x  xn Ñ x0 , ta có lim f ♣xn q ✏ L. Cho hàm số y ✏ f ♣xq xác định trên khoảng ♣a; x0 q. Khi đó lim f ♣xq ✏ L ô với dãy số ♣xn q bất kỳ, a ➔ xn ➔ x0 và xÑ x✁ xn Ñ x0 , ta có lim f ♣xn q ✏ L. Cho hàm số y ✏ f ♣xq xác định trên khoảng ♣a;  ✽q. Khi đó lim f ♣xq ✏ L ô với dãy số ♣xn q bất kỳ, xn → a và xn Ñ  ✽, xÑ ✽ ta có lim f ♣xn q ✏ L. Cho hàm số y ✏ f ♣xq xác định trên khoảng ♣✁✽; aq. Khi đó lim f ♣xq ✏ L ô với dãy số ♣xn q bất kỳ, xn ➔ a và xn Ñ ✁✽, xÑ✁✽ ta có lim f ♣xn q ✏ L. S.N bất kỳ, xn 2. 0 3. 5. 10.2.2 TM ATH 0 4. ET 1. Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y ✏ f ♣xq xác định trên K hoặc trên K ③tx0 ✉. Khi đó lim f ♣xq ✏ L ô với dãy số ♣xn q Giới hạn vô cực VIE Sau đây là hai trong số nhiều loại giới hạn vô cực khác nhau 1. Cho hàm số y ✏ f ♣xq xác định trên khoảng ♣a;  ✽q. Khi đó lim f ♣xq ✏ ✁✽ ô với dãy số ♣xn q bất kỳ, xn → a và xn Ñ x Ñ ✽  ✽, ta có lim f ♣xnq ✏ ✁✽. 2. Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y ✏ f ♣xq xác định trên K hoặc trên K ③tx0 ✉. Khi đó lim f ♣xq ✏  ✽ ô với dãy số x Ñ x0 ♣xnq bất kỳ, xn € K ③tx0✉ và xn Ñ x0, ta có lim f ♣xnq ✏  ✽. 74 CHƯƠNG 10. GIỚI HẠN ➓ Chú ý: f ♣xq có giới hạn 10.2.3  ✽ ô ✁f ♣xq có giới hạn ✁✽. Các giới hạn đặc biệt 1. lim x ✏ x0 với x0 Ñ x0 x € R. 2. lim c ✏ c với c là hằng số. Ñ x0 x 3. 4. 5. 6. 7. lim c ✏ c với c là hằng số. Ñ✟✽ x Ñ✟✽ x ✏ 0 với c là hằng số. x c lim x Ñ ✽ lim xk ✏  ✽ với k nguyên dương. x Ñ✁✽ lim xk ✏ ✁✽ với k là số lẻ. x Ñ✁✽ lim xk ✏  ✽ với k là số chẵn. 8. lim x sin x Ñ0 x 10.2.4 ✏ 1. Các định lý về giới hạn hữu hạn Định lý 10.1. Ta chứng minh được các định lý sau 1. Nếu lim f ♣xq ✏ α và lim g ♣xq ✏ β với α, β x Ñ x0 x Ñx0 € R, thì (a) lim rf ♣xq   g ♣xqs ✏ α   β. x Ñ x0 x Ñ x0 x Ñ x0 (b) lim rf ♣xq ✁ g ♣xqs ✏ α ✁ β. (c) lim rf ♣xq.g ♣xqs ✏ α.β. x f ♣x q Ñx0 g♣xq (d) lim ✏ αβ với β ✘ 0. 2. Nếu f ♣xq ➙ 0 và Nếu lim f ♣xq ✏ α thì α → 0 và lim ❄α. x Ñx0 x Ñ x0 ❛ f ♣ xq ✏ 10.2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 75 ➓ Chú ý: Định lý (10.1) vẫn đúng khi x Ñ  ✽ hoặc x Ñ ✁✽. Định lý 10.2. lim f ♣xq ✏ α ô lim f ♣xq ✏ lim f ♣xq ✏ α. xÑ x0 xÑ x  xÑ x✁ 0 ET 10.2.5 0 Các quy tắc về giới hạn vô cực lim f ♣xq x S.N 1. Quy tắc tìm giới hạn của tích f ♣xq.g ♣xq lim g ♣xq Ñ x0 x Ñ x0 α➔0 2. Quy tắc tìm giới hạn của thương lim f ♣xq x Ñ x0 α Ñ x0  ✽ ✁✽ ✁✽  ✽ TM ATH α→0  ✽ ✁✽  ✽ ✁✽ lim f ♣xqg ♣xq x f ♣x q g ♣x q lim g ♣xq Dấu của g ♣xq ✟✽ Tùy ý f ♣ xq xÑx0 g ♣xq 0   ✁   ✁  ✽ ✁✽ ✁✽  ✽ x Ñ x0 0 α➔0 0 VIE α→0 lim (Dấu của g ♣xq xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với x ✘ x0 ). 76 CHƯƠNG 10. GIỚI HẠN 10.3 Hàm số liên tục 10.3.1 Hàm số liên tục 1. Cho hàm số y ✏ f ♣xq xác định trên khoảng K và x0 đó, hàm số y ✏ f ♣xq liên tục tại x0 khi và chỉ khi € K. Khi lim f ♣xq ✏ f ♣x0 q x Ñ x0 2. Hàm số y ✏ f ♣xq liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó. 3. Hàm số y ✏ f ♣xq liên tục trên đoạn ra; bs nếu nó liên tục trên khoảng ♣a; bq và lim f ♣xq ✏ f ♣aq, lim f ♣xq ✏ f ♣bq. xÑa  xÑb✁ ➓ Nhận xét: Đồ thị của một hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền” trên khoảng đó. 10.3.2 Các định lý Định lý 10.3. Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R. Hàm số phân thức hữu tỷ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng. Định lý 10.4. Giả sử y tại điểm x0 . Khi đó ✏ f ♣xq và y ✏ g♣xq là hai hàm số liên tục 1. Các hàm số f ♣xq   g ♣xq, f ♣xq ✁ g ♣xq và f ♣xq.g ♣xq cũng liên tục tại điểm x0 . 2. Hàm số f ♣x q liên tục tại x0 nếu g ♣x0 q ✘ 0. g ♣x q Định lý 10.5. Nếu hàm số y ✏ f ♣xq liên tục trên đoạn ra; bs và f ♣aq.f ♣bq ➔ 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c € ♣a; bq sao cho f ♣cq ✏ 0. Hệ quả 10.6. Cho hàm số y ✏ f ♣xq liên tục trên đoạn ra; bs và f ♣aq.f ♣bq ➔ 0. Khi đó phương trình f ♣xq ✏ 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng ♣a; bq. ET Chương 11 S.N Đạo hàm Các lý thuyết về đạo hàm 11.1.1 Định nghĩa TM ATH 11.1 Định nghĩa 11.1. Cho hàm số y ✏ f ♣xq xác định trên khoảng ♣a, bq, x0 € ♣a, bq, x0   ∆x € ♣a, bq, nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) f ♣x0   ∆xq ✁ f ♣x0 q lim ∆x Ñ0 ∆x được gọi là đạo hàm của f ♣xq tại x0 , kí hiệu là f ✶ ♣x0 q hay y ✶ ♣x0 q, khi đó f ♣x0   ∆xq ✁ f ♣x0 q ∆xÑ0 ∆x 11.1.2 VIE f ✶ ♣x0 q ✏ lim f ♣xq ✁ f ♣x0 q ✏ xlim Ñx x ✁ x0 0 Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa 1. Bước 1: Với ∆x là số gia của đối số tại x0 , tính ∆y 2. Lập tỉ số ✏ f ♣x0   ∆xq ✁ f ♣x0q ∆y . ∆x 77 78 CHƯƠNG 11. ĐẠO HÀM ∆y . ∆xÑ0 ∆x 3. Tính lim ➓ Chú ý: Trong định nghĩa và quy tắc trên đây, thay x0 bởi x ta sẽ có định nghĩa và quy tắc tính đạo hàm của hàm số y ✏ f ♣xq tại điểm x € ♣a; bq. 11.1.3 Quan hệ giữa tính liên tục và sự có đạo hàm f ♣xq có đạo hàm tại x0 11.1.4 ñ ö f ♣xq liên tục tại x0 Ý nghĩa hình học của đạo hàm Nếu tồn tại, f ✶ ♣x0 q là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y ✏ f ♣xq tại M ♣x0 ; f ♣x0 qq. Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M là y ✁ y0 11.1.5 ✏ f ✶♣x0q♣x ✁ x0q , với y0 ✏ f ♣x0q Ý nghĩa vật lý của đạo hàm v ♣tq ✏ s✶ ♣tq là vận tốc tức thời của chuyển động s điểm t. 11.2 Các qui tắc tính đạo hàm 11.2.1 Các công thức 1. rf ♣xq ✟ g ♣xqs✶ 2. 3. 4. ✏ f ✶♣xq ✟ g✶♣xq. rf ♣xq.g♣xqs✶ ✏ f ✶♣xqg♣xq   f ♣xqg✶♣xq. rkf ♣xs✶ ✏ kf ✶♣xq với k € R. ✂ ✡ f ♣x q ✶ f ✶ ♣x qg ♣x q ✁ f ♣x q g ✶ ♣x q ✏ với g ♣xq ✘ 0. g ♣ xq rg♣xqs2 ✏ s♣tq tại thời 11.2. CÁC QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM 79 5. Đạo hàm của hàm hợp yx✶ Đạo hàm của hàm sơ cấp ✏ 0 với c € R • ♣ x α q✶ • • Đạo hàm của hàm hợp u ✏ u♣xq ✏ α.xα✁1 ✂ ✡✶ 1 x ✏ ✁ x12 • ♣uα q✶ • ✏ α.uα✁1u✶ ✂ ✡✶ 1 u ✶ ✏ ✁ uu2 TM ATH • ♣cq✶ ET Bảng các đạo hàm cơ bản S.N 11.2.2 ✏ yu✶ .u✶x với y ✏ y♣uq, u ✏ u♣xq. ♣❄xq✶ ✏ 2❄1 x • ♣ex q✶ ✏ ex • ♣ax q✶ ✏ ax ln a • u ♣❄uq✶ ✏ 2❄ u ✶ • ♣e u q✶ ✏ eu.u✶ • ♣a u q✶ ✏ au. ln a.u✶ ✏ cos x • ♣sin uq✶ ✏ u✶. cos u • ♣cos xq✶ ✏ ✁ sin x • ♣cos uq✶ ✏ ✁u✶. sin u • ♣tan xq✶ ✏ cos12 x • ♣tan uq✶ ✏ cosu2 u • ♣cot xq✶ ✏ ✁ sin12 x • ♣cot uq✶ ✏ ✁u✶. sin12 u VIE • ♣sin xq✶ ✂ • ax   b cx   d ✡✶ ad ✁ bc ✏ ♣cx   dq2 ✶ 80 11.3 CHƯƠNG 11. ĐẠO HÀM Vi phân Cho hàm số y ✏ f ♣xq xác định trên ♣a, bq và có đạo hàm tại x € ♣a, bq. Giả sử ∆x là số gia của x sao cho x   ∆x € ♣a, bq. Tích f ✶ ♣xq∆x được gọi là vi phân của hàm số f ♣xq tại x, ứng với số gia ∆x, ký hiệu là df ♣xq hay dy. Như vậy dy ✏ df ♣xq ✏ f ✶ ♣xqdx. ET Chương 12 Tính đồng biến - nghịch biến của hàm số TM ATH 12.1 S.N Khảo sát hàm số Giả sử hàm f ♣xq có đạo hàm trên khoảng ♣a; bq, khi đó: 1. f ✶ ♣xq → 0, ❅x € ♣a, bq thì f ♣xq đồng biến trên khoảng ♣a, bq. 2. f ✶ ♣xq ➔ 0, ❅x € ♣a, bq thì f ♣xq nghịch biến trên khoảng ♣a, bq. 3. f ♣xq đồng biến trên khoảng ♣a, bq thì f ✶ ♣xq ➙ 0, ❅x € ♣a, bq. 4. f ♣xq nghịch biến trên khoảng ♣a, bq thì f ✶ ♣xq ↕ 0, ❅x € ♣a, bq. 12.2 Cực trị của hàm số VIE Giả sử hàm f ♣xq có đạo hàm trên khoảng ♣a; bq và x0 ★ 1. Nếu f ♣x q . ★ 2. Nếu f ♣x q . € ♣a; bq f ✶ ♣xq → 0, ❅x € ♣x0 ✁ h; x0 q f ✶ ♣xq ➔ 0, ❅x € ♣x0 ; x0   hq thì x0 là điểm cực đại của f ✶ ♣xq ➔ 0, ❅x € ♣x0 ✁ h; x0 q f ✶ ♣xq → 0, ❅x € ♣x0 ; x0   hq thì x0 là điểm cực tiểu của 81 82 CHƯƠNG 12. KHẢO SÁT HÀM SỐ ★ f ✶ ♣x 0 q ✏ 0 f ✷ ♣x 0 q ➔ 0 thì x0 là điểm cực đại của f ♣xq. ★ f ✶ ♣x 0 q ✏ 0 f ✷ ♣x 0 q → 0 thì x0 là điểm cực tiểu của f ♣xq. 3. Nếu 4. Nếu 12.3 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 12.3.1 Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên một đoạn Định lý 12.1. Nếu hàm số y tại max f ♣xq và min f ♣xq. ra;bs ✏ f ♣xq liên tục trên đoạn ra; bs thì tồn ra;bs ➓ Cách tìm: ✌ Tìm xi € ra, bs, i ✏ 1, 2, . . . , n là các điểm tại đó có đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. ✌ Tính f ♣aq, f ♣bq, f ♣xi q, với i ✏ 1, 2, . . . , n. ✌ So sánh để suy ra GTLN GTNN 12.3.2 ✏ max tf ♣aq, f ♣x1q, . . . , f ♣xnq, f ♣bq✉ ✏ min tf ♣aq, f ♣x1q, . . . , f ♣xnq, f ♣bq✉ Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên một khoảng Cho hàm số y hợp ✏ f ♣xq liên tục trên khoảng ♣a; bq, khi đó xét hai trường 12.4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN x x0 a ✁ y✶ 83 x b   x0 a   y✶ b ✁ y y GTNN ET GTLN 12.4 Đường tiệm cận S.N Trong đó f ✶ ♣x0 q bằng 0 hoặc f ✶ ♣xq không xác định tại x0 . 12.4.1 ✏ f ♣x q. TM ATH Kí hiệu ♣Cq là đồ thị của hàm số y Đường tiệm cận đứng Nếu một trong các điều kiện sau xảy ra ✔ lim f ♣xq ✏  ✽   ✖ xÑ x0 ✖ lim f x ✖ ✖ xÑ x  0 ✖ ✖ lim f x ✖ xÑ x✁ 0 ✕ ♣ q ✏ ✁✽ ♣ q ✏  ✽ lim f ♣xq ✏ ✁✽ ✁ Ñ x0 VIE x thì đường thẳng x ✏ x0 là tiệm cận đứng của ♣Cq. 12.4.2 Đường tiệm cận ngang Nếu lim f ♣xq ✏ y0 hoặc lim f ♣xq ✏ y0 thì đường thẳng y x Ñ ✽ tiệm cận ngang của ♣Cq. x Ñ✁✽ ✏ y0 là 84 CHƯƠNG 12. KHẢO SÁT HÀM SỐ 12.5 Các bước khảo sát hàm số 12.5.1 Sơ đồ khảo sát hàm số y ✏ f ♣xq 1. Tìm tập xác định của hàm số. 2. Sự biến thiên (a) Chiều biến thiên i. Tính y ✶ . ii. Tìm các nghiệm của phương trình y ✶ tại đó y ✶ không xác định. ✏ 0 và các điểm iii. Xét dấu y ✶ và suy ra chiều biến thiên của hàm số. (b) Tìm các điểm cực trị (nếu có). (c) Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn tại  ✽, ✁✽ và tại các điểm mà hàm số không xác định. Suy ra các đường tiệm cận đứng và ngang (nếu có). (d) Lập bảng biến thiên. 3. Vẽ đồ thị: Tính thêm tọa độ một số điểm đặc biệt, lập bảng giá trị và dựa vào bảng biến thiên để vẽ đồ thị. ➓ Chú ý: ✌ ✌ Nếu hàm số tuần hoàn với chu kỳ T thì ta chỉ cần vẽ đồ thị trên một chu kỳ rồi tịnh tiến đồ thị song song với Ox. Để vẽ đồ thị thêm chính xác ta cần Tìm thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt nên tính các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ. Lưu ý tính chất đối xứng (qua trục, qua tâm,...) của đồ thị. 12.5. CÁC BƯỚC KHẢO SÁT HÀM SỐ 12.5.2 85 Tương giao của hai đồ thị ET 1. Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị. Giả sử ♣C1 q là đồ thị của hàm số y ✏ f ♣xq và ♣C2 q là đồ thị của hàm số y ✏ g ♣xq. Khi đó số nghiệm của phương trình f ♣xq ✏ g ♣xq tương ứng với số giao điểm của ♣C1 q và ♣C2 q. 2. Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số. Tại Tại Tại Tại Tại một điểm ♣x0 ; y0 q trên đồ thị. điểm có hoành độ x0 trên đồ thị. điểm có tung độ y0 trên đồ thị. giao điểm của đồ thị với trục tung. giao điểm của đồ thị với trục hoành. TM ATH i. ii. iii. iv. v. S.N (a) Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y ✏ f ♣xq: Phương pháp giải: Tìm đủ các giá trị x0 ; y0 ✏ f ♣x0 q và f ✶ ♣x0 q. Khi đó, phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y ✏ f ♣xq tại ♣x0 ; y0 q là y ✁ y0 ✏ f ✶♣x0q♣x ✁ x0q (b) Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y ✏ f ♣xq biết tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với đường thẳng y ✏ ax   b. Phương pháp giải như sau VIE i. Tính y ✶ ✏ f ✶ ♣xq. ii. Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y ✏ ax   b thì hệ số góc của tiếp tuyến bằng a, tức là giải phương trình f ✶ ♣xq ✏ a để tìm x0 . Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y ✏ ax   b thì hệ số góc của tiếp 1 1 tuyến bằng ✁ , tức là giải phương trình f ✶ ♣xq ✏ ✁ a a để tìm x0 . iii. Tính y0 ✏ f ♣x0 q. 86 CHƯƠNG 12. KHẢO SÁT HÀM SỐ iv. Thay vào phương trình tiếp tuyến y ✁ y0 x 0 q. ✏ f ✶♣x0q♣x ✁ (c) Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước đến đồ thị hàm số y ✏ f ♣xq. Phương pháp sử dụng điều kiện tiếp xúc: Đồ thị hàm số y ✏ f ♣xq và đường thẳng y ✏ g ♣xq tiếp xúc tại điểm có hoành độ x0 khi x0 là nghiệm của hệ ★ f ♣x q ✏ g ♣x q f ✶ ♣x q ✏ g ✶ ♣x q 12.6 Ứng dụng khảo sát hàm số trong bất đẳng thức Ví dụ 12.6.1. Cho các số thức a, b nhỏ nhất của biểu thức F → 0 thỏa a   b ✏ 1. Tìm giá trị ✏ a3  1 b3   ab1 Giải. ❄ 1 Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 1 ✏ a   b ➙ 2 ab nên ab ↕ . Mà 4 1 1 a, b → 0 nên ab → 0. Do đó 0 ➔ ab ↕ . Đặt ab ✏ t thì t € ♣0; 4 s, khi 4 đó 1 1 F ✏   1 ✁ 3t t 1 1 3 Xét hàm số f ♣tq ✏   với t € ♣0; 14 s. Ta có f ✶ ♣tq ✏ 1 ✁ 3t❄ t ♣1 ✁ 3tq2 ✁ 1 ✶ 3✟ 3 , f ♣tq ✏ 0 khi t ✏ 2 t 6 ❄ ❄ 3✁ 3 Lập bảng biến thiên suy ra min F ✏ 4   2 3 khi t ✏ , tương 6 ứng với a, b ✏ . . .. ET Chương 13 S.N Lũy thừa và logarit Lũy thừa 13.1.1 Lũy thừa với số mũ nguyên TM ATH 13.1 1. Lũy thừa với số mũ nguyên dương Với a € R, n € N✝ ta có an ✏ ❧♦♦♦♠♦♦♦♥ a.a . . . a n thừa số 2. Lũy thừa với số mũ nguyên âm và số mũ 0 VIE (a) Với a ✘ 0, n € N ta có (b) Với a ✘ 0 ta có a0 a✁ n ✏ a1n ✏ 1. (c) Chú ý: 00 và 0✁n không có nghĩa. 13.1.2 Căn bậc n Cho số thực b và số nguyên dương n ➥ 2. Khi đó 87 88 CHƯƠNG 13. LŨY THỪA VÀ LOGARIT ✏ b, ký hiệu a ✏ ❄ b với mọi b € R. 1. Số a được gọi là căn bậc n của b nếu an ❄ n b. n 2. Khi n lẻ thì tồn tại duy nhất 3. Khi n chẵn thì (a) Nếu b ➔ 0 thì không tồn tại căn bậc n của b. (b) Nếu b ✏ 0 thì có một căn (c) Nếu b → 0 thì có hai căn 13.1.3 n n n Lũy thừa với số mũ hữu tỉ Với a → 0, m, n € Z, n ➙ 2, ta có m an 13.1.4 ❄ ❄ 0 ✏ 0.❄ b và ✁ b. ✏ ❄ n am Lũy thừa với số mũ vô tỉ Cho a → 0, α là một số vô tỉ và ♣rn q là một dãy số hữu tỉ sao cho lim rn ✏ a, khi đó Ñ ✽ n aα 13.1.5 1. aα .aβ ✏ a α  β ; 2. ♣abqα ✏ aα.bα; 3. ♣aα qβ 5. n Các tính chất lũy thừa Cho a → 0, b → 0, α, β 4. ✏ nÑ ✽ lim ar € R, khi đó aα aβ ✏ aα✁β . ✁ a ✠α b α ✏ abα . ✏ aαβ . Nếu a → 1 thì aα → aβ ðñ α → β. Nếu 0 ➔ a ➔ 1 thì aα → aβ ðñ α ➔ β. 13.2. HÀM SỐ LŨY THỪA 89 13.2 Hàm số lũy thừa 13.2.1 Cơ bản về hàm số lũy thừa Tập xác định Tập xác định của hàm số y ✌ ✏ xα là: R với α nguyên dương; S.N 13.2.2 ✏ xα với ET Định nghĩa 13.1. Hàm số lũy thừa là hàm số có dạng y α € R. TM ATH ✌ R③t0✉ với α nguyên âm hoặc bằng 0; ✌ ♣0;  ✽q với α không nguyên. 13.2.3 Đạo hàm Hàm số y ✏ xα với α € R có đạo hàm với mọi x → 0 và ♣xαq✶ ✏ αxα✁1. 13.2.4 Tính chất Xét hàm số lũy thừa y ✏ xα trên khoảng ♣0;  ✽q, khi đó VIE 1. Đồ thị luôn đi qua điểm ♣1; 1q. 2. Khi α → 0 hàm số luôn đồng biến, khi α ➔ 0 hàm số luôn nghịch biến. 3. Đồ thị của hàm số không có tiệm cận khi α → 0. Khi α ➔ 0, đồ thị của hàm số có tiệm cận ngang là trục Ox, tiêm cận đứng là trục Oy. 90 CHƯƠNG 13. LŨY THỪA VÀ LOGARIT 13.2.5 Đồ thị y Đồ thị của hàm số lũy thừa y ✏ xα trên khoảng ♣0;  ✽q ứng với các giá trị khác nhau của α. α→1 α✏1 0➔α➔1 α✏0 1 O 13.3 Logarit 13.3.1 Cơ bản về logarit α➔0 1 x Định nghĩa 13.2. Cho a → 0, b → 0, a ✘ 1, số α thỏa đẳng thức aα ✏ b được gọi là logarit cơ số a của b và ký hiệu là loga b, như vậy α ✏ loga b ðñ aα 13.3.2 Các tính chất loga 1 ✏ 0; loga a ✏ 1; aloga b 13.3.3 ✏b ✏ b; loga aα ✏ α Các quy tắc tính 1. Với các số a, b1 , b2 → 0, a ✘ 1, ta có loga ♣b1 b2 q ✏ loga b1   loga b2 ✂ loga b1 b2 ✡ ✏ loga b1 ✁ loga b2 2. Với các số a, b → 0, a ✘ 1, α € R, n € N✝ , ta có 13.4. HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT ✂ ✡ loga 1 b ✏ ✁ loga b; loga bα ✏ α loga b ; loga 91 ❄ n b✏ 1 loga b. n 13.3.4 1 1 logc b ; loga b ✏ ♣ b ✘ 1q; logaα b ✏ loga b logc a logb a α S.N loga b ✏ ET 3. Với các số a, b, c → 0, a ✘ 1, c ✘ 1, α ✘ 0 ta có Logarit thập phân và logarit tự nhiên Với x → 0 ta viết gọn TM ATH log10 x ✏ lg x hoặc log10 x ✏ log x; loge x ✏ ln x 13.4 Hàm số mũ và hàm số logarit 13.4.1 Hàm số mũ 1. Hàm số y ✏ ax với a → 0, a ✘ 1 đươc gọi là hàm số mũ cơ số a. VIE 2. Hàm số y ✏ ax có đạo hàm tại mọi x và ♣ax q✶ biệt ♣ex q✶ ✏ ex . ✏ ax ln a. Đặc 3. Các tính chất (a) Tập xác định của hàm số mũ là R. (b) Khi a → 1 hàm số mũ luôn đồng biến. Khi 0 ➔ a ➔ 1 hàm số mũ luôn nghịch biến. (c) Đồ thị của hàm số mũ 92 CHƯƠNG 13. LŨY THỪA VÀ LOGARIT y Đồ thị của hàm số mũ có tiệm cận ngang là trục Ox và luôn đi qua các điểm ♣0; 1q, ♣1; aq và nằm phía trên trục hoành. ✏ ax a 1 O 13.4.2 y x 1 Hàm số logarit 1. Hàm số y cơ số a. ✏ loga x với a → 0, a ✘ 1 đươc gọi là hàm số logarit 2. Hàm số y ✏ loga x có đạo hàm tại mọi x 1 1 . Đặc biệt ♣ln xq✶ ✏ . x ln a x → 0 và ♣loga xq✶ ✏ 3. Các tính chất (a) Tập xác định của hàm số logarit là ♣0;  ✽q. (b) Khi a → 1 hàm số logarit luôn đồng biến. Khi 0 hàm số logarit luôn nghịch biến. (c) Đồ thị của hàm số logarit y Đồ thị của hàm số logarit có tiệm cận đứng là trục Oy và luôn đi qua các điểm ♣1; 0q, ♣a; 1q và nằm phía bên phải trục tung. ➔a➔1 y ✏ loga x 1 1 O a x 13.5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 93 Phương trình mũ và phương trình logarit 13.5.1 Phương trình mũ 1. Phương trình mũ dạng cơ bản ax ET 13.5 ✏ b ♣a → 0, a ✘ 1q (a) Nếu b ↕ 0 thì phương trình vô nghiệm. S.N (b) Nếu b → 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x ✏ loga b. 2. Phương trình mũ đơn giản: Giải bằng các phương pháp sau (a) Đưa về cùng một cơ số. TM ATH (b) Đặt ẩn phụ. (c) Lấy logarit hai vế (logarit hóa). (d) Phương pháp đồ thị. (e) Áp dụng các tính chất của hàm số mũ ... 13.5.2 Phương trình logarit 1. Phương trình logarit dạng cơ bản loga x ✏ b ♣a → 0, a ✘ 1q VIE Phương trình logarit cơ bản luôn có nghiệm duy nhất x ✏ ab 2. Phương trình logarit đơn giản: Giải bằng các phương pháp sau (a) Đưa về cùng một cơ số. (b) Đặt ẩn phụ. (c) Mũ hóa hai vế (d) Phương pháp đồ thị. (e) Áp dụng các tính chất của hàm số logarit ... 94 CHƯƠNG 13. LŨY THỪA VÀ LOGARIT 13.6 Bất phương trình mũ và logarit 13.6.1 Bất phương trình mũ 1. Bất phương trình mũ cơ bản → b với a → 0, a ✘ 1. i. Nếu b ↕ 0 thì tập nghiệm của bất phương trình là R. ii. Nếu b → 0 và ✌ a → 1, tập nghiệm là ♣loga b;  ✽q. ✌ 0 ➔ a ➔ 1, tập nghiệm là ♣✁✽; loga bq. Dạng 2: ax ➙ b với a → 0, a ✘ 1. i. Nếu b ↕ 0 thì tập nghiệm của bất phương trình là R. ii. Nếu b → 0 và ✌ a → 1, tập nghiệm là rloga b;  ✽q. ✌ 0 ➔ a ➔ 1, tập nghiệm là ♣✁✽; loga bs. Dạng 3: ax ➔ b với a → 0, a ✘ 1. i. Nếu b ↕ 0 thì tập nghiệm của bất phương trình là ∅. ii. Nếu b → 0 và ✌ a → 1, tập nghiệm là ♣✁✽; loga bq. ✌ 0 ➔ a ➔ 1, tập nghiệm là ♣loga b;  ✽q. Dạng 4: ax ↕ b với a → 0, a ✘ 1. i. Nếu b ↕ 0 thì tập nghiệm của bất phương trình là ∅. ii. Nếu b → 0 và ✌ a → 1, tập nghiệm là ♣✁✽; loga bs. ✌ 0 ➔ a ➔ 1, tập nghiệm là rloga b;  ✽q. (a) Dạng 1: ax (b) (c) (d) 2. Bất phương trình mũ dạng đơn giản: Để giải ta cần biến đổi đưa về bất phương trình mũ cơ bản hoặc bất phương trình đại số. 13.7. GIỚI THIỆU VỀ LOGARIT 13.6.2 95 Bất phương trình logarit 1. Bất phương trình logarit cơ bản (a) Dạng 1: loga x → b với a → 0, a ✘ 1.   ✟ ET i. Nếu a → 1 thì tập nghiệm là ab ;  ✽ .   ✟ ii. Nếu 0 ➔ a ➔ 1 thì tập nghiệm là 0; ab . (b) Dạng 2: loga x ➙ b với a → 0, a ✘ 1. ✏ ✟ S.N i. Nếu a → 1 thì tập nghiệm là ab ;  ✽ .   ✘ ii. Nếu 0 ➔ a ➔ 1 thì tập nghiệm là 0; ab . (c) Dạng 3: loga x ➔ b với a → 0, a ✘ 1.   ✟ TM ATH i. Nếu a → 1 thì tập nghiệm là 0; ab .   ✟ ii. Nếu 0 ➔ a ➔ 1 thì tập nghiệm là ab ;  ✽ . (d) Dạng 3: loga x ↕ b với a → 0, a ✘ 1.   ✘ i. Nếu a → 1 thì tập nghiệm là 0; ab . ✏ ✟ ii. Nếu 0 ➔ a ➔ 1 thì tập nghiệm là ab ;  ✽ . 2. Bất phương trình logarit dạng đơn giản: Để giải ta cần biến đổi đưa về bất phương trình logarit cơ bản hoặc bất phương trình đại số. 13.7 Giới thiệu về logarit VIE Với a là một số dương khác 1 và b là một số dương, số thực n thỏa mãn an ✏ b được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu loga ♣bq. Lôgarit của tích hai số bằng tổng của lôgarit hai số đó: loga ♣xy q ✏ loga ♣xq   loga ♣y q Nhờ quy tắc này mà nhiều thế kỷ trước các nhà toán học và kỹ thuật có thể sử dụng bảng lôgarit để thực hiện phép nhân hai số thông qua phép cộng lôgarit, do phép cộng thì dễ tính hơn phép nhân. Nhà toán học John Napier đã phát minh ra phép tính này ở thế kỷ 17. Để sử 96 CHƯƠNG 13. LŨY THỪA VÀ LOGARIT dụng bảng lôgarit, người ta thường đưa về lôgarit cơ số a ✏ 10, gọi là lôgarit thập phân để thuận tiện cho tra bảng và tính toán. Lôgarit tự nhiên lấy hằng số e (xấp xỉ bằng 2,718) làm cơ số, và nó được sử dụng rộng rãi trong toán thuần túy. Lôgarit nhị phân với cơ số bằng 2 được sử dụng trong khoa học máy tính. Thang lôgarit cho phép thu hẹp các đại lượng về phạm vi nhỏ hơn. Ví dụ, độ Richter đo năng lượng của động đất cũng sử dụng thang đo lôgarit, decibel là đơn vị lôgarit đo áp suất âm thanh. Lôgarit cũng thường gặp trong các công thức khoa học và kỹ thuật, như đo độ phức tạp của thuật toán và fractal, thậm chí trong công thức đếm số nguyên tố. ET Chương 14 S.N Nguyên hàm và tích phân Nguyên hàm 14.1.1 Nguyên hàm và các tính chất TM ATH 14.1 1. Cho hàm số f ♣xq xác định trên khoảng K ❸ R. Hàm số F ♣xq gọi là nguyên hàm của hàm f ♣xq trên khoảng K nếu F ✶ ♣xq ✏ f ♣xq, ❅x € K. 2. Mọi hàm số liên tục trên khoảng K trên đoạn đó. ❸ R đều có nguyên hàm VIE 3. Nếu F ♣xq là một nguyên hàm của hàm số f ♣xq trên khoảng K ❸ R thì với mỗi hằng số C, hàm số G♣xq ✏ F ♣xq  C cũng là một nguyên hàm của f ♣xq trên K. Ngược lại, nếu F ♣xq là một nguyên hàm của hàm số f ♣xq trên K thì mọi nguyên hàm của f ♣xq trên K đều có dạng F ♣xq  C với C là một hằng số. Kí hiệu ➺ họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ♣xq là là tích phân bất định của f ♣xq. Khi đó với C € R. 4. Các tính chất cơ bản 97 ➺ f ♣xq dx, đọc f ♣xq dx ✏ F ♣x q   C 98 CHƯƠNG 14. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN ➺ (a) ➺ (b) ➺ (c) 14.1.2 f ✶ ♣xq dx ✏ f ♣xq   C với C là hằng số thực. kf ♣xq dx ✏ k ➺ f ♣xq dx với k là hằng số thực. rf ♣xq ✟ g♣xqs dx ✏ ➺ f ♣xq dx ✟ ➺ g ♣xq dx. Phương pháp tính nguyên hàm ➺ 1. Phương pháp đổi biến số. Nếu f ♣uq du u ✏ u♣xq là hàm số có đạo hàm liên tục thì ➺ F ♣u♣xqq   C. ✏ F ♣uq   C và f ♣u♣xqqu✶ ♣xq du ✏ 2. Phương pháp tích phân từng phần. Nếu ➺hai hàm số u ✏ u♣xq và v ✏ v ♣xq có đạo hàm liên tục trên K thì u♣xqv ✶ ♣xq du ✏ u♣xqv ♣xq ✁ 14.1.3 ➺ u✶ ♣xqv ♣xq du. Bảng các nguyên hàm cơ bản Nguyên hàm của hàm sơ cấp ➺ • • • • ➺ ➺ ➺ 0 dx ✏ C • 1 dx ✏ x   C • x dx ✏ α ➺ Nguyên hàm của hàm hợp u ✏ u♣xq x α  1 α 1  C 1 dx ✏ ln ⑤x⑤   C x • • ➺ ➺ ➺ 0 du ✏ C 1 du ✏ u   C uα du ✏ uα 1 α 1  C 1 du ✏ ln ⑤u⑤   C u 14.2. TÍCH PHÂN • • • ➺ a dx ✏ x ➺ ➺  C ax ln a •  C cos x dx ✏ sin x   C ➺ ➺ ➺ • • • sin x dx ✏ ✁ cos x   C • 1 dx ✏ tan x   C cos2 x • 1 dx ✏ ✁ cot x   C sin2 x • ➺ ➺ ➺ eu du ✏ eu   C au du ✏ au ln a  C ET • e dx ✏ e x cos u du ✏ sin u   C sin u du ✏ ✁ cos u   C ➺ ➺ 1 du ✏ tan u   C cos2 u 1 du ✏ ✁ cot u   C sin2 u TM ATH • x S.N ➺ 99 14.2 Tích phân 14.2.1 Tích phân và các tính chất VIE 1. Định nghĩa. Cho hàm số f ♣xq liên tục trên đoạn ra, bs. Giả sử F ♣xq là một nguyên hàm của f ♣xq trên đoạn ra, bs. Hiệu số F ♣bq✁ F ♣aq được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên ra, bs) của hàm số f ♣xq. Ký hiệu là ➺b f ♣xq dx. Khi đó a ✞b ✞ f ♣xq dx ✏ F ♣xq✞ a a ➺b ✏ F ♣bq ✁ F ♣aq 100 CHƯƠNG 14. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Trường hợp a ➺a ✏ b ta định nghĩa ✏ 0. Trường hợp a ➺b a → b ta định nghĩa f ♣xq dx f ♣xq dx ✏ ✁ a ➺a f ♣xq dx. b 2. Các tính chất của tích phân. ➺b (a) a ➺b (b) a ➺b (c) a kf ♣xq dx ✏ k ➺b f ♣xq dx với k là hằng số. a rf ♣xq ✟ g♣xqs dx ✏ ➺b f ♣xq dx ✟ a f ♣xq dx ✏ ➺c f ♣xq dx   a ➺b g ♣xq dx. a ➺b f ♣xq dx với a ➔ c ➔ b. c (d) Tích phân không phụ thuộc vào chữ dùng làm biến số trong dấu tích phân, tức là ➺b f ♣xq dx ✏ a 14.2.2 ➺b f ♣tq dt ✏ ☎ ☎ ☎ a Phương pháp tính tích phân 1. Phương pháp đổi biến số (a) Giả sử hàm số x ✏ ϕ♣tq có đạo hàm liên tục trên đoạn rα, β s sao cho ϕ♣αq ✏ a, ϕ♣β q ✏ b và a ↕ ϕ♣tq ↕ b, ❅t € rα, β s. Khi đó ➺b a . f ♣xq dx ✏ ➺b a f ♣ϕ♣tqqϕ✶ ♣tq dt 14.2. TÍCH PHÂN 101 (b) Giả sử hàm số u ✏ u♣xq có đạo hàm liên tục trên đoạn ra, bs sao cho α ↕ u♣xq ↕ β, ❅x € ra, bs. Nếu f ♣xq ✏ g ♣u♣xqqu✶ ♣xq, ❅x € ra, bs, trong đó g ♣uq liên tục trên đoạn rα, β s thì f ♣xq dx ✏ a ♣q u➺ b g ♣uq du ET ➺b ♣q u a . ➺b S.N 2. Phương pháp tích phân từng phần. Nếu u ✏ u♣xq và v v ♣xq là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn ra, bs thì ✏ ➺b ✞ ✞b u♣xqv ✶ ♣xq dx ✏ ru♣xqv ♣xqs✞ ✁ u✶ ♣xqv ♣xq dx a a TM ATH a hoặc ➺b u dv ✞b ✞ uv ✞ ✏r sa✁ a 14.2.3 ➺b v du . a Ứng dụng của tích phân 1. Tính diện tích của hình phẳng VIE (a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y ✏ f ♣xq, hai đường thẳng x ✏ a, x ✏ b và trục Ox là y y ➺b S ✏ f ♣x q ✏ ⑤f ♣xq⑤ dx ➺b a ⑤f ♣xq⑤ dx a O a b x 102 CHƯƠNG 14. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN (b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y ✏ f ♣xq, y ✏ g ♣xq và hai đường thẳng x ✏ a, x ✏ b là y y ➺b S ✏ f ♣x q ✏ ⑤f ♣xq ✁ g♣xq⑤ dx y a a O b ✏ g ♣x q x 2. Tính thể tích của vật thể tròn xoay (a) Giả sử hình phẳng giới hạn bởi các đường y ✏ f ♣xq, y ✏ 0 ♣trục Oxq, x ✏ a, x ✏ b khi quay quanh trục Ox tạo thành một vật thể tròn xoay. Thể tích của vật thể đó là ➺b V ✏ π rf ♣xqs2 dx a (b) Xét đường cong có phương trình x ✏ g ♣y q liên tục với mọi y € ra; bs. Nếu hình giới hạn bởi các đường x ✏ g ♣y q, x ✏ 0 ♣trục Oy q, y ✏ a, y ✏ b quay quanh trục Oy thì thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành xác định bởi ➺b V ✏ π rg♣yqs2 dy a ET Chương 15 Cơ bản về số phức TM ATH 15.1 S.N Số phức 1. Số phức có dạng z trong đó ✏ a   bi (a) a là phần thực, b là phần ảo, a, b € R. (b) i là đơn vị ảo và i2 ✏ ✁1. 2. Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau, tức là VIE a   bi ✏ c   di ô ★ a✏c b✏d 3. Số phức z ✏ a   bi được biểu diễn bởi điểm M ♣a; bq trên mặt ÝÝÑ phẳng tọa độ Oxy. Khi đó, độ dài của OM gọi là mô đun của số phức z đó, tức là ✞ ÝÑ✞✞✞ ✏ ❛a2   b2. Ýz ⑤ ✏ ✞✞ÝOM ⑤Ñ 4. Số phức liên hợp của z ✏ a   bi là z ✏ a ✁ bi. 103 104 CHƯƠNG 15. SỐ PHỨC 15.2 Các phép toán với số phức 1. Phép cộng: ♣a   biq   ♣c   diq ✏ ♣a   cq   ♣b   dqi. 2. Phép trừ: ♣a   biq ✁ ♣c   diq ✏ ♣a ✁ cq   ♣b ✁ dqi. 3. Phép nhân: ♣a   biq♣c   diq ✏ ac   adi   cbi   bdi2 ✏ ♣ac ✁ bdq   ♣ad   bcqi. 4. Phép chia: ♣a   biq ✏ ♣a   biq♣c ✁ diq ♣c   diq ♣c   diq♣c ✁ diq ✏ ♣a  ♣cbi2  q♣cd✁2q diq . 15.3 Phương trình bậc hai với hệ số thực 1. Số thực a ➔ 0 vẫn có các căn bậc hai là i ❛ ❛ ⑤a⑤ và ✁i ⑤a⑤. 2. Xét phương trình bậc hai ax2   bx   c ✏ 0 trong đó a, b, c € R, a ✘ 0. Đặt ∆ ✏ b2 ✁ 4ac (a) Nếu ∆ ✏ 0 thì phương trình có nghiệm kép (thực) x ✁ 2ab . (b) Nếu ∆ ❄ → 0 thì phương trình có 2 nghiệm thực x1,2 ✁b ✟ ∆ . 2a (c) Nếu ∆❛➔ 0 thì phương trình có 2 nghiệm phức x1,2 ✁b ✟ i ⑤∆⑤ . 2a ✏ ✏ ✏ 15.4. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG 105 3. Cách tìm căn bậc hai của một số phức a   bi với a, b đã biết trước (a) Giả sử ta cần tìm c, d sao cho ET a   bi ✏ ♣c   diq2 ✏ c2 ✁ d2   2cdi Khi đó, do tính chất bằng nhau của hai số phức ta có . c2 ✁ d2 ✏ a 2cd ✏ b S.N ★ 15.4 TM ATH (b) Giải hệ phương trình này ta sẽ tìm được c, d. Suy ra căn bậc hai của số phức a   bi. Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng 1. Số phức dưới dạng lượng giác (a) Acgument của số phức: Cho số phức z ✘ 0, M là điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng Oxy. Khi đó, Acgument của z là số đo (radian) của góc lượng giác ♣Ox, OM q. ✏ a   bi ✘ 0 là z ✏ r♣cos ϕ   i sin ϕq ❄ với r ✏ ⑤z ⑤ ✏ a2   b2 và ϕ là Acgument của z (ϕ € R a b thỏa cos ϕ ✏ ; sin ϕ ✏ ). r r VIE (b) Dạng lương giác của số phức z 2. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác: Cho 2 số phức z1 ✏ r1 ♣cos ϕ1   i sin ϕ1 q và z2 ✏ r2 ♣cos ϕ2   i sin ϕ2 q với r1 , r2 ➥ 0, khi đó (a) z1 .z2 ✏ r1r2rcos♣ϕ1   ϕ2q   i sin♣ϕ1   ϕ2qs. 106 CHƯƠNG 15. SỐ PHỨC (b) z1 z2 ✏ rr1 rcos♣ϕ1 ✁ ϕ2q   i sin♣ϕ1 ✁ ϕ2qs, r2 → 0. 2 3. Công thức Moivre1 và ứng dụng (a) Công thức Moivre: Với mọi n nguyên dương ta có rr♣cos ϕ   i sin ϕqsn ✏ rn♣cos nϕ   i sin nϕq (b) Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác: Từ công thức Moivre suy ra số phức z ✏ r♣cos ϕ   i sin ϕq có hai căn bậc hai là ❄r ✁cos ϕ   i sin ϕ ✠ và ✁❄r ✁cos ϕ   i sin ϕ ✠. 2 2 2 2 1 Abraham de Moivre (1667 - 1754) là một nhà toán học người Pháp. Ông nổi tiếng với công thức liên kết số phức với lượng giác. Ông cũng được biết đến với những đóng góp về phân phối chuẩn trong lý thuyết xác suất. ET S.N Tài liệu tham khảo [1] Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường, Trần Văn Hạo, Đỗ Mạnh Hùng, Phạm Phu, Nguyễn Tiến Tài, Bài tập Giải tích 10, Nhà xuất bản Giáo Dục 2008. TM ATH [2] Vũ Tuấn, Trần Văn Hạo, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên Bài tập Giải tích 11, Nhà xuất bản Giáo Dục 2008. [3] Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Thu Nga, Phạm Phu, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất, Bài tập Giải tích 12, Nhà xuất bản Giáo Dục 2008. VIE [4] Phan Thanh Quang, Sổ tay toán 10 - 11 - 12, Nhà xuất bản Đại Học Sư Phạm 2010. 107 [...]... của hai cổng điện toán trên 1.3 SỐ GẦN ĐÚNG - SAI SỐ 1.3 15 Số gần đúng - Sai số Cho a là số gần đúng của số chính xác a, khi đó ✏ ⑤a ✁ a⑤ gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a Nếu ∆a ↕ d thì d được gọi là độ chính xác của số gần đúng a và quy ước viết gọn là a ✏ a ✟ d 2 ET 1 ∆a 1.4 TM ATH S.N 3 Cách viết quy tròn số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trước: Cho số gần đúng a với độ chính xác... 30 CHƯƠNG 3 PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Cách giải: Dùng phương pháp Gauss2 khử dần ẩn số bằng cách nhân đại số để đưa về hệ phương trình dạng tam giác 3.3.5 Một số hệ phương trình khác 1 Hệ phương trình hai ẩn đối xứng dạng 1: ★ Ví dụ 3.3.1 Giải hệ phương trình Cách giải: Biến đổi xuất hiện tổng S đưa về hệ theo S và P để giải x2 y   xy 2 ✏ 30 x3   y 3 ✏ 35 ✏ x   y và tích P ✏ xy 2 Hệ phương trình... của biến số (hay ẩn số) sao cho đẳng thức f ♣x0 q ✏ g ♣x0 q đúng VIE 4 Giải một phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó 5 Giải và biện luận phương trình là xét xem với giá trị nào của tham số (số không được xác định cụ thể) thì phương trình có nghiệm và có bao nhiêu nghiệm Ví dụ 3.1.1 Xét phương trình 3x2 ✁ ♣m ✁ 1qx   4 ✏ mx ✁ 2 thì • x là ẩn số • m là tham số 23 24 CHƯƠNG 3 PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG... là hàm số chẵn nếu ❅x € D thì ✁ x € D và f ♣✁xq ✏ f ♣xq Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung Oy làm trục đối xứng 20 CHƯƠNG 2 HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI (b) Hàm số y ✏ f ♣xq với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu ❅x € D thì ✁ x € D và f ♣✁xq ✏ ✁f ♣xq Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng ➓ Chú ý: Có những hàm số không chẵn mà cũng không lẻ, ví dụ hàm y ✏ x   1 2.2 2.2.1 Hàm số bậc... 2.3 HÀM SỐ BẬC HAI 21 2 Hàm số hằng là hàm số chẵn 2.2.3 ET 3 Đồ thị là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành và cắt trục tung tại điểm có tọa độ ♣0; bq Hàm số y ✏ ⑤x⑤ 2 Hàm số y ✏ R S.N 1 Tập xác định D ✏ ⑤x⑤ là hàm số chẵn 2.3 2.3.1 Hàm số bậc hai Cơ bản về hàm số bậc hai Hàm số bậc hai y 2.3.2 TM ATH 3 Hàm số đồng biến trên khoảng ♣0;  ✽q và nghịch biến trên khoảng ♣✁✽; 0q Đồ thị ✏... TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 3.2.3 Định lý về tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai Gọi tắt là định lý Viét 1 , phát biểu như sau: Nếu phương trình (3.2) có 2 nghiệm x1 , x2 thì ✩ ✫x   x2 ✏ ✁ ab ✪x x ✏ c 1 2 a 1 Ngược lại, nếu 2 số u và v có tổng u   v ✏ S và tích uv u và v là các nghiệm của phương trình x2 ✁ Sx   P ✏ 0 3.2.4 thì Phương trình trùng phương Có dạng ax4   bx   c ✏ 0, a ✘ 0, giải. ..   xq ✏ 3x2   3x 2.1.2 Khái niệm hàm số 1 Một hàm số là một ánh xạ từ X f như sau ⑨ R đến Y ⑨ R Xét hàm số ÝÑ Y x ÞÝÑ f ♣xq ✏ y € Y f: X trong đó • x gọi là biến số hay đối số của hàm f • y ✏ f ♣xq gọi là giá trị của hàm số f tại giá trị x của biến số • X gọi là tập xác định của hàm f 2.1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ 19 • Y gọi là tập giá trị của hàm f 2 Một hàm số có thể được cho bằng: Bảng; biểu... 1 MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP ✏ t0, 1, 2✉ và B ✏ t1, 2, 3✉, khi đó A ➈ B ✏ Ví dụ 1.2.3 A t0, 1, 2, 3✉ Ví dụ 1.2.4 A ♣✁1; 2q ✏ ♣✁1; 1q và B ✏ r0; 2q, khi đó A ➈ B ✏ 3 Hiệu (diffrence) của hai tập hợp A và B là tập hợp gồm các phần tử thuộc A và không thuộc B, ký hiệu A③B Như vậy A③B ✏ tx ⑤ x € A và x ❘ B ✉ A\B A B Ví dụ 1.2.5 A ✏ t0, 1, 2✉ và B 4 ✏ t1, 2, 3✉, khi đó A③B ✏ t0✉ Ví dụ 1.2.6 A ✏ ♣✁1; 1q và B ✏ r0;... tích cực Các nghiên cứu mới nhất về lý thuyết tập hợp bao gồm nhiều loại chủ đề khác nhau, từ cấu trúc của dòng số thực đến nghiên cứu tính nhất quán của bản số lớn ET Chương 2 2.1 2.1.1 TM ATH S.N Hàm số bậc nhất và bậc hai Khái niệm cơ bản về hàm số Ánh xạ 1 Ánh xạ Cho X và Y là các tập hợp khác rỗng Một ánh xạ từ X đến Y (ký hiệu là f ) là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử x của X với một và. .. như lý thuyết số, giải tích, hình học vi phân, khoa trắc địa, từ học, thiên văn học và quang học Ông được mệnh danh là “hoàng tử của các nhà toán học” Với ảnh hưởng sâu sắc cho sự phát triển của toán học và khoa học, Gauss được xếp ngang hàng cùng Leonhard Euler, Isaac Newton và Archimedes như là những nhà toán học vĩ đại nhất của lịch sử ET Chương 4 4.1 4.1.1 TM ATH S.N Bất đẳng thức và bất phương ... 78 78 78 79 80 12 Khảo sát hàm số 81 12. 1 Tính đồng biến - nghịch biến hàm số 81 12. 2 Cực trị hàm số 81 12. 3 Giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số 82 12. 3.1 Cách tìm... tổ hợp hai cổng điện toán 1.3 SỐ GẦN ĐÚNG - SAI SỐ 1.3 15 Số gần - Sai số Cho a số gần số xác a, ✏ ⑤a ✁ a⑤ gọi sai số tuyệt đối số gần a Nếu ∆a ↕ d d gọi độ xác số gần a quy ước viết gọn a ✏... 11 11 12 12 13 15 15 Hàm số bậc bậc hai 2.1 Khái niệm hàm số 2.1.1 Ánh xạ 2.1.2 Khái niệm hàm số 2.1.3 Đồ thị hàm số 2.1.4 Các tính chất hàm số 2.2 Hàm số bậc