12 Khảo sát hàm số
12.3.1 Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên
một đoạn
Định lý 12.1. Nếu hàm sốyfpxq liên tục trên đoạnra;bsthì tồn tại max
ra;bs fpxq vàmin
ra;bsfpxq. Cách tìm:
Tìm xi P ra, bs, i1,2, . . . , n là các điểm tại đó có đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. Tắnhfpaq, fpbq, fpxiq, với i1,2, . . . , n. So sánh để suy ra GTLN maxtfpaq, fpx1q, . . . , fpxnq, fpbqu GTNN mintfpaq, fpx1q, . . . , fpxnq, fpbqu 12.3.2 Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên một khoảng
Cho hàm sốyfpxqliên tục trên khoảngpa;bq, khi đó xét hai trường hợp
12.4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN 83x x y1 y a x0 b GTNN GTNN x y1 y a x0 b GTLN GTLN
Trong đóf1px0q bằng 0 hoặc f1pxq không xác định tạix0.
12.4 Đường tiệm cận
Kắ hiệupCq là đồ thị của hàm số yfpxq.
12.4.1 Đường tiệm cận đứng
Nếu một trong các điều kiện sau xảy ra
lim xứx0 fpxq 8 lim xứx0 fpxq 8 lim xứx 0 fpxq 8 lim xứx 0 fpxq 8
thì đường thẳng xx0 là tiệm cận đứng củapCq.
12.4.2 Đường tiệm cận ngang
Nếu lim
xứ 8fpxq y0 hoặc lim
xứ8fpxq y0 thì đường thẳngyy0 là tiệm cận ngang củapCq.
84 CHƯƠNG 12. KHẢO SÁT HÀM SỐ
12.5 Các bước khảo sát hàm số
12.5.1 Sơ đồ khảo sát hàm số yfpxq
1. Tìm tập xác định của hàm số. 2. Sự biến thiên
(a) Chiều biến thiên i. Tắnh y1.
ii. Tìm các nghiệm của phương trìnhy10và các điểm tại đóy1 không xác định.
iii. Xét dấu y1 và suy ra chiều biến thiên của hàm số. (b) Tìm các điểm cực trị (nếu có).
(c) Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn tại 8,8 và tại các điểm mà hàm số không xác định. Suy ra các đường tiệm cận đứng và ngang (nếu có).
(d) Lập bảng biến thiên.
3. Vẽ đồ thị: Tắnh thêm tọa độ một số điểm đặc biệt, lập bảng giá trị và dựa vào bảng biến thiên để vẽ đồ thị.
Chú ý:
Nếu hàm số tuần hoàn với chu kỳ T thì ta chỉ cần vẽ đồ thị trên một chu kỳ rồi tịnh tiến đồ thị song song với Ox.
Để vẽ đồ thị thêm chắnh xác ta cần
X Tìm thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt nên tắnh các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.
12.5. CÁC BƯỚC KHẢO SÁT HÀM SỐ 85
12.5.2 Tương giao của hai đồ thị
1. Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị.Giả sửpC1qlà đồ thị của hàm sốyfpxqvàpC2qlà đồ thị của hàm số y gpxq. Khi đó số nghiệm của phương trình fpxq gpxq
tương ứng với số giao điểm củapC1q vàpC2q. 2. Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số.
(a) Dạng 1.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm sốyfpxq: i. Tại một điểm px0;y0q trên đồ thị.
ii. Tại điểm có hoành độx0 trên đồ thị. iii. Tại điểm có tung độ y0 trên đồ thị. iv. Tại giao điểm của đồ thị với trục tung.
v. Tại giao điểm của đồ thị với trục hoành.
Phương pháp giải: Tìm đủ các giá trịx0;y0 fpx0q và f1px0q. Khi đó, phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y
fpxq tại px0;y0q là
yy0f1px0qpxx0q
(b) Dạng 2.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm sốyfpxq
biết tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với đường thẳng
yax b. Phương pháp giải như sau i. Tắnhy1 f1pxq.
ii. Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳngyax b
thì hệ số góc của tiếp tuyến bằnga, tức là giải phương trình f1pxq a để tìmx0. Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y ax b thì hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1 a, tức là giải phương trìnhf1pxq 1 a để tìm x0. iii. Tắnhy0 fpx0q. VIETMATHS.NET
86 CHƯƠNG 12. KHẢO SÁT HÀM SỐ
iv. Thay vào phương trình tiếp tuyếnyy0 f1px0qpx
x0q. (c) Dạng 3.
Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước đến đồ thị hàm số y fpxq. Phương pháp sử dụng điều kiện tiếp xúc: Đồ thị hàm số y fpxq và đường thẳng
ygpxqtiếp xúc tại điểm có hoành độx0khix0là nghiệm của hệ # fpxq gpxq f1pxq g1pxq 12.6 Ứng dụng khảo sát hàm số trong bất đẳng thức
Vắ dụ 12.6.1. Cho các số thứca, b¡0 thỏa a b1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F 1 a3 b3 1 ab Giải. Theo bất đẳng thức Cauchy ta có1a bầ2? abnên abấ 1 4. Mà a, b¡0 nên ab¡0. Do đó0 abấ 1 4.Đặt abtthì tP p0;14s, khi đó F 1 13t 1 t Xét hàm sốfptq 1 13t 1 t vớitP p0;14s. Ta cóf1ptq p 3 13tq2 1 t2,f1ptq 0 khit 3 ? 3 6
Lập bảng biến thiên suy raminF 4 2?
3 khi t 3 ?
3
6 , tương ứng vớia, b. . ..
Chương 13
Lũy thừa và logarit
13.1 Lũy thừa
13.1.1 Lũy thừa với số mũ nguyên
1. Lũy thừa với số mũ nguyên dương VớiaPR, nPN ta có
ana.a . . . alooomooon
nthừa số
2. Lũy thừa với số mũ nguyên âm và số mũ 0 (a) Vớia0, nPN ta có an 1 an (b) Vớia0 ta có a0 1. (c) Chú ý:00 và0nkhông có nghĩa. 13.1.2 Căn bậc n
Cho số thực bvà số nguyên dương nố2. Khi đó 87
88 CHƯƠNG 13. LŨY THỪA VÀ LOGARIT
1. Số ađược gọi là căn bậcncủab nếuanb, ký hiệu a ?n
b.
2. Khi nlẻ thì tồn tại duy nhất ?n
bvới mọibPR. 3. Khi nchẵn thì
(a) Nếub 0thì không tồn tại căn bậc ncủab. (b) Nếub0thì có một căn ?n
00. (c) Nếub¡0thì có hai căn ?n
b và?n
b.
13.1.3 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Vớia¡0, m, nPZ, nầ2, ta có
amn ?n
am
13.1.4 Lũy thừa với số mũ vô tỉ
Cho a¡ 0, α là một số vô tỉ và prnq là một dãy số hữu tỉ sao cho lim nứ 8rna, khi đó aα lim nứ 8a rn 13.1.5 Các tắnh chất lũy thừa Cho a¡0, b¡0, α, βPR, khi đó 1. aα.aβ aα β; aα aβ aαβ. 2. pabqα aα.bα; a b α aα bα. 3. paαqβ aαβ. 4. Nếua¡1 thì aα ¡aβ đựα¡β. 5. Nếu0 a 1 thì aα ¡aβ đựα β.
13.2. HÀM SỐ LŨY THỪA 89
13.2 Hàm số lũy thừa
13.2.1 Cơ bản về hàm số lũy thừa
Định nghĩa 13.1. Hàm số lũy thừa là hàm số có dạng y xα với
αPR.
13.2.2 Tập xác định
Tập xác định của hàm sốyxα là:
Rvới α nguyên dương;
Rzt0u với α nguyên âm hoặc bằng 0;
p0; 8qvớiα không nguyên.
13.2.3 Đạo hàm
Hàm sốyxαvớiαPRcó đạo hàm với mọix¡0vàpxαq1 αxα1.
13.2.4 Tắnh chất
Xét hàm số lũy thừa yxα trên khoảngp0; 8q, khi đó 1. Đồ thị luôn đi qua điểmp1; 1q.
2. Khiα¡0hàm số luôn đồng biến, khiα 0hàm số luôn nghịch biến.
3. Đồ thị của hàm số không có tiệm cận khiα¡0. Khiα 0, đồ thị của hàm số có tiệm cận ngang là trụcOx, tiêm cận đứng là trụcOy.
90 CHƯƠNG 13. LŨY THỪA VÀ LOGARIT
13.2.5 Đồ thị
Đồ thị của hàm số lũy thừa
yxαtrên khoảngp0; 8q ứng với các giá trị khác nhau của α. x y α1 α¡1 0 α 1 α0 O 1 1 α 0 13.3 Logarit 13.3.1 Cơ bản về logarit
Định nghĩa 13.2. Cho a ¡ 0, b ¡ 0, a 1, số α thỏa đẳng thức
aαb được gọi là logarit cơ số a củab và ký hiệu là logab, như vậy
αlogabđựaαb
13.3.2 Các tắnh chất
loga10; logaa1; alogab b; logaaαα
13.3.3 Các quy tắc tắnh
1. Với các sốa, b1, b2¡0, a1, ta có
logapb1b2q logab1 logab2
loga b1 b2 logab1logab2 2. Với các sốa, b¡0, a1, αPR, nPN, ta có
13.4. HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT 91loga loga 1 b
logab; logabααlogab;loga ?n
b 1 nlogab. 3. Với các sốa, b, c¡0, a1, c1, α0 ta có logab logcb logca; logab 1 logbapb1q;logaαb 1 αlogab
13.3.4 Logarit thập phân và logarit tự nhiên
Vớix¡0 ta viết gọn
log10xlgxhoặc log10xlogx; logexlnx
13.4 Hàm số mũ và hàm số logarit
13.4.1 Hàm số mũ
1. Hàm sốyax vớia¡0, a1đươc gọi là hàm số mũ cơ số a. 2. Hàm số y ax có đạo hàm tại mọi x và paxq1 axlna. Đặc
biệtpexq1 ex. 3. Các tắnh chất
(a) Tập xác định của hàm số mũ làR.
(b) Khia¡1hàm số mũ luôn đồng biến. Khi 0 a 1 hàm số mũ luôn nghịch biến.
(c) Đồ thị của hàm số mũ
92 CHƯƠNG 13. LŨY THỪA VÀ LOGARIT
Đồ thị của hàm số mũ có tiệm cận ngang là trục Ox
và luôn đi qua các điểm
p0; 1q,p1;aq và nằm phắa trên trục hoành. x y y ax a O 1 1 13.4.2 Hàm số logarit
1. Hàm sốy logax với a¡0, a1 đươc gọi là hàm số logarit cơ sốa.
2. Hàm số y logax có đạo hàm tại mọi x ¡ 0 và plogaxq1
1
xlna. Đặc biệtplnxq1 1
x.
3. Các tắnh chất
(a) Tập xác định của hàm số logarit làp0; 8q.
(b) Khi a ¡1 hàm số logarit luôn đồng biến. Khi 0 a 1 hàm số logarit luôn nghịch biến.
(c) Đồ thị của hàm số logarit
Đồ thị của hàm số loga- rit có tiệm cận đứng là trục Oy và luôn đi qua các điểm p1; 0q,pa; 1q và nằm phắa bên phải trục tung.
x y ylogax 1 O 1 a
13.5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 93
13.5 Phương trình mũ và phương trình loga- rit
13.5.1 Phương trình mũ
1. Phương trình mũ dạng cơ bản
axbpa¡0, a1q
(a) Nếubấ0thì phương trình vô nghiệm.
(b) Nếub¡0thì phương trình có nghiệm duy nhấtxlogab. 2. Phương trình mũ đơn giản: Giải bằng các phương pháp sau
(a) Đưa về cùng một cơ số. (b) Đặt ẩn phụ.
(c) Lấy logarit hai vế (logarit hóa). (d) Phương pháp đồ thị.
(e) Áp dụng các tắnh chất của hàm số mũ ...
13.5.2 Phương trình logarit
1. Phương trình logarit dạng cơ bản
logaxbpa¡0, a1q
Phương trình logarit cơ bản luôn có nghiệm duy nhất
xab
2. Phương trình logarit đơn giản: Giải bằng các phương pháp sau (a) Đưa về cùng một cơ số.
(b) Đặt ẩn phụ. (c) Mũ hóa hai vế (d) Phương pháp đồ thị.
(e) Áp dụng các tắnh chất của hàm số logarit ...
94 CHƯƠNG 13. LŨY THỪA VÀ LOGARIT
13.6 Bất phương trình mũ và logarit
13.6.1 Bất phương trình mũ
1. Bất phương trình mũ cơ bản
(a) Dạng 1: ax ¡b vớia¡0, a1.
i. Nếu bấ0 thì tập nghiệm của bất phương trình làR. ii. Nếu b¡0 và
a¡1, tập nghiệm làplogab; 8q.
0 a 1, tập nghiệm làp8; logabq. (b) Dạng 2: ax ầb vớia¡0, a1.
i. Nếu bấ0 thì tập nghiệm của bất phương trình làR. ii. Nếu b¡0 và
a¡1, tập nghiệm làrlogab; 8q.
0 a 1, tập nghiệm làp8; logabs. (c) Dạng 3: ax b vớia¡0, a1.
i. Nếu bấ0 thì tập nghiệm của bất phương trình là ∅. ii. Nếu b¡0 và
a¡1, tập nghiệm làp8; logabq.
0 a 1, tập nghiệm làplogab; 8q. (d) Dạng 4: ax ấb vớia¡0, a1.
i. Nếu bấ0 thì tập nghiệm của bất phương trình là ∅. ii. Nếu b¡0 và
a¡1, tập nghiệm làp8; logabs.
0 a 1, tập nghiệm làrlogab; 8q.
2. Bất phương trình mũ dạng đơn giản: Để giải ta cần biến đổi đưa về bất phương trình mũ cơ bản hoặc bất phương trình đại số.
13.7. GIỚI THIỆU VỀ LOGARIT 95
13.6.2 Bất phương trình logarit
1. Bất phương trình logarit cơ bản
(a) Dạng 1: logax¡b với a¡0, a1. i. Nếua¡1 thì tập nghiệm là ab; 8. ii. Nếu0 a 1 thì tập nghiệm là 0;ab
. (b) Dạng 2: logaxầb với a¡0, a1.
i. Nếua¡1 thì tập nghiệm là
ab; 8. ii. Nếu0 a 1 thì tập nghiệm là 0;ab
. (c) Dạng 3: logax b với a¡0, a1.
i. Nếua¡1 thì tập nghiệm là 0;ab
. ii. Nếu0 a 1 thì tập nghiệm là ab; 8. (d) Dạng 3: logaxấb với a¡0, a1.
i. Nếua¡1 thì tập nghiệm là 0;ab
. ii. Nếu0 a 1 thì tập nghiệm là
ab; 8.
2. Bất phương trình logarit dạng đơn giản: Để giải ta cần biến đổi đưa về bất phương trình logarit cơ bản hoặc bất phương trình đại số.
13.7 Giới thiệu về logarit
Vớia là một số dương khác 1 và b là một số dương, số thực n thỏa mãnanbđược gọi là lôgarit cơ sốacủabvà kắ hiệulogapbq. Lôgarit của tắch hai số bằng tổng của lôgarit hai số đó:
logapxyq logapxq logapyq
Nhờ quy tắc này mà nhiều thế kỷ trước các nhà toán học và kỹ thuật có thể sử dụng bảng lôgarit để thực hiện phép nhân hai số thông qua phép cộng lôgarit, do phép cộng thì dễ tắnh hơn phép nhân. Nhà toán học John Napier đã phát minh ra phép tắnh này ở thế kỷ 17. Để sử
96 CHƯƠNG 13. LŨY THỪA VÀ LOGARIT
dụng bảng lôgarit, người ta thường đưa về lôgarit cơ số a10, gọi là lôgarit thập phân để thuận tiện cho tra bảng và tắnh toán. Lôgarit tự nhiên lấy hằng số e (xấp xỉ bằng 2,718) làm cơ số, và nó được sử dụng rộng rãi trong toán thuần túy. Lôgarit nhị phân với cơ số bằng 2 được sử dụng trong khoa học máy tắnh.
Thang lôgarit cho phép thu hẹp các đại lượng về phạm vi nhỏ hơn. Vắ dụ, độ Richter đo năng lượng của động đất cũng sử dụng thang đo lôgarit, decibel là đơn vị lôgarit đo áp suất âm thanh. Lôgarit cũng thường gặp trong các công thức khoa học và kỹ thuật, như đo độ phức tạp của thuật toán và fractal, thậm chắ trong công thức đếm số nguyên tố.
Chương 14
Nguyên hàm và tắch phân
14.1 Nguyên hàm
14.1.1 Nguyên hàm và các tắnh chất
1. Cho hàm sốfpxq xác định trên khoảng K R. Hàm số Fpxq
gọi là nguyên hàm của hàmfpxq trên khoảngK nếu
F1pxq fpxq,@xPK.
2. Mọi hàm số liên tục trên khoảng K R đều có nguyên hàm trên đoạn đó.
3. Nếu Fpxq là một nguyên hàm của hàm số fpxq trên khoảng
KRthì với mỗi hằng sốC, hàm sốGpxq Fpxq C cũng là một nguyên hàm củafpxq trênK. Ngược lại, nếuFpxq là một nguyên hàm của hàm số fpxq trên K thì mọi nguyên hàm của
fpxqtrênKđều có dạngFpxq CvớiClà một hằng số. Kắ hiệu họ tất cả các nguyên hàm của hàm số fpxq là
Ừ
fpxq dx, đọc là tắch phân bất định củafpxq. Khi đó
Ừ fpxqdx Fpxq C vớiCPR. 4. Các tắnh chất cơ bản 97 VIETMATHS.NET
98 CHƯƠNG 14. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN (a) Ừ f1pxqdxfpxq C vớiC là hằng số thực. (b) Ừ kfpxqdxk