14 Nguyên hàm và tắch phân
15.4 Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng
trước
(a) Giả sử ta cần tìmc, dsao cho
a bi pc diq2
c2d2 2cdi
Khi đó, do tắnh chất bằng nhau của hai số phức ta có
#
c2d2a
2cdb
.
(b) Giải hệ phương trình này ta sẽ tìm được c, d. Suy ra căn bậc hai của số phứca bi.
15.4 Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng
1. Số phức dưới dạng lượng giác
(a) Acgument của số phức: Cho số phức z 0, M là điểm biểu diễn củaz trong mặt phẳngOxy. Khi đó, Acgument củaz là số đo (radian) của góc lượng giácpOx, OMq. (b) Dạng lương giác của số phứcza bi0là
zrpcosϕ isinϕq
với r |z| ?a2 b2 và ϕ là Acgument của z (ϕ P R
thỏacosϕ a
r; sinϕ b
r).
2. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác: Cho 2 số phứcz1
r1pcosϕ1 isinϕ1q vàz2 r2pcosϕ2 isinϕ2q với r1, r2 ố0, khi đó
(a) z1.z2r1r2rcospϕ1 ϕ2q isinpϕ1 ϕ2qs.
106 CHƯƠNG 15. SỐ PHỨC
(b) z1 z2 r1
r2rcospϕ1ϕ2q isinpϕ1ϕ2qs, r2 ¡0. 3. Công thức Moivre1 và ứng dụng
(a) Công thức Moivre: Với mọinnguyên dương ta có
rrpcosϕ isinϕqsnrnpcosnϕ isinnϕq
(b) Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác: Từ công thức Moivre suy ra số phức z rpcosϕ isinϕq có hai căn bậc hai là ? r cosϕ 2 isinϕ 2 và ?r cosϕ 2 isinϕ 2 .
1Abraham de Moivre (1667 - 1754) là một nhà toán học người Pháp. Ông nổi tiếng với công thức liên kết số phức với lượng giác. Ông cũng được biết đến với những đóng góp về phân phối chuẩn trong lý thuyết xác suất.
Tài liệu tham khảo
[1] Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường, Trần Văn Hạo, Đỗ Mạnh Hùng, Phạm Phu, Nguyễn Tiến Tài, Bài tập Giải tắch 10, Nhà xuất bản Giáo Dục 2008.
[2] Vũ Tuấn, Trần Văn Hạo, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên Bài tập Giải tắch 11, Nhà xuất bản Giáo Dục 2008.
[3] Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Thu Nga, Phạm Phu, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất,Bài tập Giải tắch 12, Nhà xuất bản Giáo Dục 2008.
[4] Phan Thanh Quang,Sổ tay toán 10 - 11 - 12, Nhà xuất bản Đại Học Sư Phạm 2010.
107