Giới hạn hữu hạn

9 Dãy số

10.1.1 Giới hạn hữu hạn

Cho các dãy số pu_nq,pv_nq, khi đó 1. lim

nứ 8^un0ô |u_n|có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. 2. lim nứ 8^vnaô lim nứ 8pvnaq 0 vớiaPR. 10.1.2 Giới hạn vô cực 1. lim

nứ 8^un 8 ô un có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

2. lim

nứ 8^un 8 ô lim

nứ 8pu_nq 8.

Ÿ Chú ý: Thay cho lim

nứ 8^un a, lim

nứ 8^un 8 ta có thể viết tắt limuna,limun 8.

71

72 CHƯƠNG 10. GIỚI HẠN

10.1.3 Các giới hạn đặc biệt

1. lim¹

n 0; lim ¹

nk 0; limnk 8, với knguyên dương. 2. limqn0nếu |q|  1;limqn 8 nếu q ¡1.

3. limcc vớicPR.

10.1.4 Định lý về giới hạn hữu hạn

1. Nếulimu_navà limv_nb, thì:

limpun vnq a b limpunvnq ab

limu_n.v_nab limu_n

v_n ^a

b ^{(với b}0). 2. Nếuu_nố0với mọinvàlimu_nathìaố0vàlim?

u_n^?a.

10.1.5 Liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và vô cực

1. Nếulimunavà limvn 8 thìlimun

vn 0.

2. Nếu limu_n a ¡0 và limv_n 0 vớiv_n ¡0,@n thì limu_n v_n 8.

3. Nếulimu_n 8 vàlimv_na¡0 thìlimu_nv_n 8.

10.1.6 Cấp số nhân lùi vô hạn

1. Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội q

thỏa mãn |q|  1.

2. Công thức tắnh tổng của cấp số nhân lùi vô hạn pu_nq

S u1 u2 . . . un . . . ^u1

10.2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 73

10.2 Giới hạn của hàm số

10.2.1 Giới hạn hữu hạn

1. Cho khoảngK chứa điểmx0 và hàm số yfpxq xác định trên

K hoặc trên Kztx₀u. Khi đó lim xứx0

fpxq Lôvới dãy số px_nq

bất kỳ,x_nPKztx₀u vàx_nứx₀, ta có limfpx_nq L.

2. Cho hàm số y fpxq xác định trên khoảng px₀;bq. Khi đó lim

xứx₀

fpxq L ô với dãy số px_nq bất kỳ, x₀   x_n   b và

xnứx0, ta có limfpxnq L.

3. Cho hàm số y fpxq xác định trên khoảng pa;x0q. Khi đó lim

xứx

0

fpxq L ô với dãy số pxnq bất kỳ, a   xn   x0 và

x_nứx₀, ta có limfpx_nq L.

4. Cho hàm số y fpxq xác định trên khoảng pa; 8q. Khi đó lim

xứ 8^fpxq Lôvới dãy sốpx_nqbất kỳ,x_n¡avàx_nứ 8, ta có limfpxnq L.

5. Cho hàm số y fpxq xác định trên khoảng p8;aq. Khi đó lim

xứ8^fpxq Lôvới dãy sốpx_nqbất kỳ,x_n avàx_nứ 8, ta có limfpxnq L.

10.2.2 Giới hạn vô cực

Sau đây là hai trong số nhiều loại giới hạn vô cực khác nhau

1. Cho hàm số y fpxq xác định trên khoảng pa; 8q. Khi đó lim

xứ 8^fpxq 8 ô với dãy số pxnq bất kỳ, xn ¡ a và xn ứ 8, ta có limfpxnq 8.

2. Cho khoảngK chứa điểmx0 và hàm số yfpxq xác định trên

K hoặc trên Kztx0u. Khi đó lim xứx0

fpxq 8 ô với dãy số

pxnq bất kỳ,xnPKztx0u vàxnứx0, ta có limfpxnq 8.

74 CHƯƠNG 10. GIỚI HẠN Ÿ Chú ý:fpxq có giới hạn 8 ô fpxq có giới hạn8. 10.2.3 Các giới hạn đặc biệt 1. lim xứx0 xx0 vớix0PR. 2. lim xứx0 ccvới clà hằng số. 3. lim xứ8^cc vớic là hằng số. 4. lim xứ8 c x 0 vớic là hằng số. 5. lim xứ 8^x

k 8 vớik nguyên dương. 6. lim xứ8^x k 8 vớik là số lẻ. 7. lim xứ8^x k 8 vớik là số chẵn. 8. lim xứ0 sinx x 1. 10.2.4 Các định lý về giới hạn hữu hạn Định lý 10.1. Ta chứng minh được các định lý sau

1. Nếu lim xứx0 fpxq α và lim xứx0 gpxq β với α, βPR, thì (a) lim xứx0rfpxq gpxqs α β. (b) lim xứx0rfpxq gpxqs αβ. (c) lim xứx0rfpxq.gpxqs α.β. (d) lim xứx0 fpxq gpxq α β ^{với β} 0. 2. Nếufpxq ầ0và Nếu lim

xứx0 fpxq αthìα¡0và lim xứx0 a fpxq ? α.

10.2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 75 Ÿ Chú ý: Định lý (10.1) vẫn đúng khixứ 8hoặc xứ 8. Định lý 10.2. lim xứx0 fpxq αô lim xứx₀ fpxq lim xứx 0 fpxq α.

10.2.5 Các quy tắc về giới hạn vô cực

1. Quy tắc tìm giới hạn của tắchfpxq.gpxq

lim xứx0 fpxq lim xứx0 gpxq lim xứx0 fpxqgpxq α¡0 8 8 8 8 α 0 8 8 8 8

2. Quy tắc tìm giới hạn của thương fpxq

gpxq

lim xứx0

fpxq lim xứx0

gpxq Dấu củagpxq lim xứx0 fpxq gpxq α 8 Tùy ý 0 α¡0 0 8 8 α 0 0 8 8

(Dấu của gpxq xét trên một khoảng K nào đó đang tắnh giới hạn, vớixx0).

76 CHƯƠNG 10. GIỚI HẠN

10.3 Hàm số liên tục

10.3.1 Hàm số liên tục

1. Cho hàm số yfpxq xác định trên khoảng K và x0 PK. Khi đó, hàm số yfpxqliên tục tại x0 khi và chỉ khi

lim xứx0

fpxq fpx₀q

2. Hàm số y fpxq liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

3. Hàm số y fpxq liên tục trên đoạn ra;bs nếu nó liên tục trên khoảng pa;bq và lim

xứa fpxq fpaq, lim

xứbfpxq fpbq.

ŸNhận xét: Đồ thị của một hàm số liên tục trên một khoảng là một Ộđường liềnỢ trên khoảng đó.

10.3.2 Các định lý

Định lý 10.3. Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực _R. Hàm số phân thức hữu tỷ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.

Định lý 10.4. Giả sử y fpxq và y gpxq là hai hàm số liên tục tại điểm x0. Khi đó

1. Các hàm số fpxq gpxq, fpxq gpxq vàfpxq.gpxqcũng liên tục tại điểm x0.

2. Hàm số fpxq

gpxq ^{liên tục tại x}0 nếu gpx₀q 0.

Định lý 10.5. Nếu hàm số y fpxq liên tục trên đoạn ra;bs và

fpaq.fpbq  0thì tồn tại ắt nhất một điểm cP pa;bqsao chofpcq 0. Hệ quả 10.6. Cho hàm số y fpxq liên tục trên đoạn ra;bs và

fpaq.fpbq  0. Khi đó phương trình fpxq 0 có ắt nhất một nghiệm trong khoảng pa;bq.

Chương 11

Đạo hàm

11.1 Các lý thuyết về đạo hàm

11.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 11.1. Cho hàm số y fpxq xác định trên khoảng pa, bq, x₀P pa, bq, x₀ ∆xP pa, bq, nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

lim

∆xứ0

fpx0 ∆xq fpx0q

∆x

được gọi là đạo hàm của fpxq tạix₀, kắ hiệu làf¹px₀qhayy¹px₀q, khi đó f¹px₀q lim ∆xứ0 fpx₀ ∆xq fpx₀q ∆x lim xứx0 fpxq fpx₀q xx0

11.1.2 Quy tắc tắnh đạo hàm bằng định nghĩa

1. Bước 1: Với∆xlà số gia của đối số tại x₀, tắnh ∆yfpx0 ∆xq fpx0q

2. Lập tỉ số ^∆y

∆x^.

77

78 CHƯƠNG 11. ĐẠO HÀM

3. Tắnh lim

∆xứ0

∆y

∆x^.

Ÿ Chú ý: Trong định nghĩa và quy tắc trên đây, thay x0 bởi x ta sẽ có định nghĩa và quy tắc tắnh đạo hàm của hàm sốyfpxq tại điểm

xP pa;bq.

11.1.3 Quan hệ giữa tắnh liên tục và sự có đạo hàm

fpxq có đạo hàm tại x₀

ự

ỏ ^fpxqtại^{liên tục}x₀

11.1.4 Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Nếu tồn tại, f¹px0q là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y fpxq tại Mpx0;fpx0qq. Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tạiM là

yy₀ f¹px₀qpxx₀q, vớiy₀ fpx₀q

11.1.5 Ý nghĩa vật lý của đạo hàm

vptq s¹ptq là vận tốc tức thời của chuyển động s sptq tại thời điểmt.

11.2 Các qui tắc tắnh đạo hàm

11.2. CÁC QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM 79 5. Đạo hàm của hàm hợp

y¹_xy¹_u.u¹_x vớiy ypuq, uupxq.

11.2.2 Bảng các đạo hàm cơ bản

Đạo hàm của hàm sơ cấp Đạo hàm của hàm hợp uupxq

Ớpcq1 0 vớicPR Ớpxαq1 α.xα1 Ớ puαq1α.uα1u¹ Ớ 1 x ₁ 1 x2 Ớ 1 u ₁ u¹ u2 Ớp^?xq1 ¹ 2? x Ớ p^?uq1 ^u1 2? u Ớpe^xq1 e^x Ớ pe^uq1e^u.u¹ Ớpaxq1axlna Ớ pauq1 au.lna.u¹

Ớpsinxq1 cosx Ớ psinuq1 u¹.cosu

Ớpcosxq1 _sinx Ớ pcosuq1 _u1_.sinu

Ớptanxq1 ¹ cos2x Ớ ptanuq1 ^u1 cos2u Ớpcotxq1 ¹ sin²x Ớ pcotuq1 _u1_. ¹ sin²u Ớ ax b cx d _{1 p}^adbc cx dq2

VIETMATHS.NET

80 CHƯƠNG 11. ĐẠO HÀM

11.3 Vi phân

Cho hàm sốyfpxqxác định trênpa, bqvà có đạo hàm tạixP pa, bq. Giả sử∆x là số gia củaxsao chox ∆xP pa, bq. Tắchf¹pxq∆xđược gọi là vi phân của hàm số fpxq tại x, ứng với số gia ∆x, ký hiệu là dfpxqhay dy. Như vậydydfpxq f¹pxqdx.

Chương 12

Khảo sát hàm số

12.1 Tắnh đồng biến - nghịch biến của hàm

số

Giả sử hàmfpxqcó đạo hàm trên khoảng pa;bq, khi đó:

1. f¹pxq ¡0,@xP pa, bq thì fpxq đồng biến trên khoảng pa, bq. 2. f¹pxq  0,@xP pa, bq thì fpxq nghịch biến trên khoảngpa, bq. 3. fpxq đồng biến trên khoảng pa, bq thìf¹pxq ầ0,@xP pa, bq. 4. fpxq nghịch biến trên khoảngpa, bq thì f¹pxq ấ0,@xP pa, bq.

12.2 Cực trị của hàm số

Giả sử hàmfpxqcó đạo hàm trên khoảng pa;bq và x0 P pa;bq

1. Nếu

#

f¹pxq ¡0,@xP px₀h;x₀q

f¹pxq  0,@xP px0;x0 hq ^{thìx0 là điểm cực đại của}

fpxq. 2. Nếu

#

f¹pxq  0,@xP px₀h;x₀q

f¹pxq ¡0,@xP px0;x0 hq ^{thìx0là điểm cực tiểu của}

fpxq.

81

82 CHƯƠNG 12. KHẢO SÁT HÀM SỐ

3. Nếu

#

f¹px₀q 0

f²px0q  0 ^thì x0 là điểm cực đại củafpxq.

4. Nếu

#

f¹px₀q 0

f²px0q ¡0 ^thì x0 là điểm cực tiểu củafpxq.

12.3 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

12.3.1 Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trênmột đoạn một đoạn

Định lý 12.1. Nếu hàm sốyfpxq liên tục trên đoạnra;bsthì tồn tại max

ra;bs ^fpxq vàmin

ra;bs^fpxq. Ÿ Cách tìm:

Tìm xi P ra, bs, i1,2, . . . , n là các điểm tại đó có đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. Tắnhfpaq, fpbq, fpxiq, với i1,2, . . . , n. So sánh để suy ra GTLN maxtfpaq, fpx₁q, . . . , fpx_nq, fpbqu GTNN mintfpaq, fpx1q, . . . , fpxnq, fpbqu 12.3.2 Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên một khoảng

Cho hàm sốyfpxqliên tục trên khoảngpa;bq, khi đó xét hai trường hợp

12.4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN 83x x y¹ y a x0 b GTNN GTNN x y¹ y a x0 b GTLN GTLN

Trong đóf¹px0q bằng 0 hoặc f¹pxq không xác định tạix0.

12.4 Đường tiệm cận

Kắ hiệupCq là đồ thị của hàm số yfpxq.

12.4.1 Đường tiệm cận đứng

Nếu một trong các điều kiện sau xảy ra

lim xứx₀ fpxq 8 lim xứx₀ fpxq 8 lim xứx 0 fpxq 8 lim xứx 0 fpxq 8

thì đường thẳng xx0 là tiệm cận đứng củapCq.

12.4.2 Đường tiệm cận ngang

Nếu lim

xứ 8^fpxq y₀ hoặc lim

xứ8^fpxq y₀ thì đường thẳngyy₀ là tiệm cận ngang củapCq.

84 CHƯƠNG 12. KHẢO SÁT HÀM SỐ

12.5 Các bước khảo sát hàm số

12.5.1 Sơ đồ khảo sát hàm số yfpxq

1. Tìm tập xác định của hàm số. 2. Sự biến thiên

(a) Chiều biến thiên i. Tắnh y¹.

ii. Tìm các nghiệm của phương trìnhy¹0và các điểm tại đóy¹ không xác định.

iii. Xét dấu y¹ và suy ra chiều biến thiên của hàm số. (b) Tìm các điểm cực trị (nếu có).

(c) Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn tại 8,8 và tại các điểm mà hàm số không xác định. Suy ra các đường tiệm cận đứng và ngang (nếu có).

(d) Lập bảng biến thiên.

3. Vẽ đồ thị: Tắnh thêm tọa độ một số điểm đặc biệt, lập bảng giá trị và dựa vào bảng biến thiên để vẽ đồ thị.

Ÿ Chú ý:

Nếu hàm số tuần hoàn với chu kỳ T thì ta chỉ cần vẽ đồ thị trên một chu kỳ rồi tịnh tiến đồ thị song song với Ox.

Để vẽ đồ thị thêm chắnh xác ta cần

X Tìm thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt nên tắnh các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.

12.5. CÁC BƯỚC KHẢO SÁT HÀM SỐ 85

12.5.2 Tương giao của hai đồ thị

1. Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị.Giả sửpC1qlà đồ thị của hàm sốyfpxqvàpC2qlà đồ thị của hàm số y gpxq. Khi đó số nghiệm của phương trình fpxq gpxq

tương ứng với số giao điểm củapC1q vàpC2q. 2. Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số.

(a) Dạng 1.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm sốyfpxq: i. Tại một điểm px₀;y₀q trên đồ thị.

ii. Tại điểm có hoành độx₀ trên đồ thị. iii. Tại điểm có tung độ y₀ trên đồ thị. iv. Tại giao điểm của đồ thị với trục tung.

v. Tại giao điểm của đồ thị với trục hoành.

Phương pháp giải: Tìm đủ các giá trịx0;y0 fpx0q và f¹px0q. Khi đó, phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y

fpxq tại px0;y0q là

yy0f¹px0qpxx0q

(b) Dạng 2.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm sốyfpxq

biết tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với đường thẳng

yax b. Phương pháp giải như sau i. Tắnhy¹ f¹pxq.

ii. Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳngyax b

thì hệ số góc của tiếp tuyến bằnga, tức là giải phương trình f¹pxq a để tìmx₀. Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y ax b thì hệ số góc của tiếp tuyến bằng ¹ a^{, tức là giải phương trìnhf1}pxq ¹ a để tìm x0. iii. Tắnhy0 fpx0q.

VIETMATHS.NET

86 CHƯƠNG 12. KHẢO SÁT HÀM SỐ

iv. Thay vào phương trình tiếp tuyếnyy0 f¹px0qpx

x0q. (c) Dạng 3.

Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước đến đồ thị hàm số y fpxq. Phương pháp sử dụng điều kiện tiếp xúc: Đồ thị hàm số y fpxq và đường thẳng

ygpxqtiếp xúc tại điểm có hoành độx₀khix₀là nghiệm của hệ # fpxq gpxq f¹pxq g¹pxq

12.6 Ứng dụng khảo sát hàm số trong bất

đẳng thức

Vắ dụ 12.6.1. Cho các số thứca, b¡0 thỏa a b1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F ¹ a3 b3 1 ab Giải. Theo bất đẳng thức Cauchy ta có1a bầ2? abnên abấ ¹ 4^{. Mà} a, b¡0 nên ab¡0. Do đó0 abấ ¹