8 Tổ hợp và xác suất
8.5Giới thiệu về xác suất thống kê toán
PpA
Bq PpAq PpBq
(Công thức cộng xác suất).
Mở rộng: Với hai biến cố A và B bất kỳ cùng liên quan đến phép thử thì
PpA
Bq PpAq PpBq PpA
Bq
3. Hai biến cốA vàB được gọi là độc lập, nếu sự xảy ra của một trong hai biến cố không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia. Người ta chứng minh được rằng, hai biến cố A và
B độc lập khi và chỉ khiPpA
Bq PpAq.PpBq. Ngoài ra, A
vàB độc lập ô Avà B độc lập ôA và B độc lập ôA và B
độc lập.
8.5 Giới thiệu về xác suất thống kê toán
Từ xác suất (probability) bắt nguồn từ chữ probare trong tiếng Latin và có nghĩa là Ộđể chứng minh, để kiểm chứngỢ. Nói một cách đơn giản, probable là một trong nhiều từ dùng để chỉ những sự kiện hoặc kiến thức chưa chắc chắn, và thường đi kèm với các từ như Ộcó vẻ làỢ, Ộmạo hiểmỢ, Ộmay rủiỢ, Ộkhông chắc chắnỢ hay Ộnghi ngờỢ, tùy vào ngữ cảnh. ỘCơ hộiỢ (chance), Ộcá cượcỢ (odds, bet) là những từ cho khái niệm tương tự. Nếu lắ thuyết cơ học (cơ học cổ điển) có định nghĩa chắnh xác cho ỘcôngỢ và ỘlựcỢ, thì lắ thuyết xác suất nhằm mục đắch định nghĩa Ộkhả năngỢ.
Như các lý thuyết khác, lý thuyết xác suất là một biểu diễn của khái niệm xác suất bằng các thuật ngữ hình thức - nghĩa là các thuật ngữ mà có thể xác định một cách độc lập với ý nghĩa của nó. Các thuật ngữ hình thức này được thao tác bởi các qui luật toán học và logic, và kết quả thu được sẽ được chuyển dịch trở lại miền (domain) của bài toán.
Có hai hướng công thức hóa xác suất đã thành công là sự hình thành công thức Kolmogorov và sự hình thành công thức Cox. Trong công thức của Kolmogorov, các tập được hiểu là các sự kiện và xác
64 CHƯƠNG 8. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT
suất chắnh là một phép đo trên một lớp các tập đó. Trong công thức của Cox, xác suất được xem là cái cơ bản (primitive - không thể phân tắch thêm được nữa) và tập trung nghiên cứu vào việc xây dựng một phép gán tốt các giá trị xác suất đến các mệnh đề. Trong cả 2 trường hợp, các định luật về xác suất là như nhau, ngoại trừ yếu tố chi tiết kĩ thuật:
1. Xác suất là một giá trị số trong khoảng 0 và 1;
2. Xác suất của một sự kiện hay mệnh đề và phần bù của nó cộng lại phải bằng 1; và
3. Xác suất kết hợp của hai sự kiện hay hai mệnh đề là tắch của các xác suất của một trong chúng và xác suất của cái thứ hai với điều kiện biết cái trước xảy ra.
Ảnh hưởng chắnh của lý thuyết xác suất trong cuộc sống hằng ngày đó là việc xác định rủi ro và trong buôn bán hàng hóa. Chắnh phủ cũng áp dụng các phương pháp xác suất để điều tiết môi trường hay còn gọi là phân tắch đường lối.
Lý thuyết trò chơi cũng dựa trên nền tảng xác suất. Một ứng dụng khác là trong xác định độ tin cậy. Nhiều sản phẩm tiêu dùng như xe hơi, đồ điện tử sử dụng lý thuyết độ tin cậy trong thiết kế sản phẩm để giảm thiểu xác suất hỏng hóc. Xác suất hư hỏng cũng gắn liền với sự bảo hành của sản phẩm.
Chương 9
Dãy số
9.1 Phương pháp quy nạp toán học
1. Để chứng minh một mệnh đề là đúng với mọi n P N bằng
phương pháp quy nạp toán học, ta tiến hành hai bước: (a) Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng vớin1.
(b) Giả sử mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n
kpkầ1qvà chứng minh rằng nó cũng đúng vớink 1. 2. Trong trường hợp phải chứng minh một mệnh đề đúng với mọi
số tự nhiênnầp (p là số tự nhiên) thì: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(a) Ở bước 1: ta kiểm tra mệnh đề đúng vớinp.
(b) Ở bước 2: ta giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n k pk ầpq và chứng minh rằng nó cũng đúng vớink 1.
3. Phép thử với một số hữu hạn số tự nhiên, tuy không phải là chứng minh, nhưng cho phép ta dự đoán được kết quả. Kết quả này chỉ là giả thiết, và để chứng minh ta có thể dùng phương pháp quy nạp toán học.
65