9 Dãy số
10.3Hàm số liên tục
10.3.1 Hàm số liên tục
1. Cho hàm số yfpxq xác định trên khoảng K và x0 PK. Khi đó, hàm số yfpxqliên tục tại x0 khi và chỉ khi
lim xứx0
fpxq fpx0q
2. Hàm số y fpxq liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
3. Hàm số y fpxq liên tục trên đoạn ra;bs nếu nó liên tục trên khoảng pa;bq và lim
xứa fpxq fpaq, lim
xứbfpxq fpbq.
Nhận xét: Đồ thị của một hàm số liên tục trên một khoảng là một Ộđường liềnỢ trên khoảng đó.
10.3.2 Các định lý
Định lý 10.3. Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R. Hàm số phân thức hữu tỷ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.
Định lý 10.4. Giả sử y fpxq và y gpxq là hai hàm số liên tục tại điểm x0. Khi đó
1. Các hàm số fpxq gpxq, fpxq gpxq vàfpxq.gpxqcũng liên tục tại điểm x0.
2. Hàm số fpxq
gpxq liên tục tại x0 nếu gpx0q 0.
Định lý 10.5. Nếu hàm số y fpxq liên tục trên đoạn ra;bs và
fpaq.fpbq 0thì tồn tại ắt nhất một điểm cP pa;bqsao chofpcq 0. Hệ quả 10.6. Cho hàm số y fpxq liên tục trên đoạn ra;bs và
fpaq.fpbq 0. Khi đó phương trình fpxq 0 có ắt nhất một nghiệm trong khoảng pa;bq.
Chương 11
Đạo hàm
11.1 Các lý thuyết về đạo hàm
11.1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 11.1. Cho hàm số y fpxq xác định trên khoảng pa, bq, x0P pa, bq, x0 ∆xP pa, bq, nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)
lim
∆xứ0
fpx0 ∆xq fpx0q
∆x
được gọi là đạo hàm của fpxq tạix0, kắ hiệu làf1px0qhayy1px0q, khi đó f1px0q lim ∆xứ0 fpx0 ∆xq fpx0q ∆x lim xứx0 fpxq fpx0q xx0