chuyªn ®Ò nh©n ®¬n thøc víi ®a thøc, ®a thøc víi ®a thøc vµ bÈy h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí. I) Nh©n ®¬n thøc víi ®a thøc: 1. KiÕn thøc c¬ b¶n: A(B + C) = A. B + A. C 2. Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1. Lµm tÝnh nh©n: a) 3x(5x2 - 2x - 1); b) (x2 - 2xy + 3)(-xy); 1 2 2 c) x2y(2x3 - xy2 - 1); d) x(1,4x - 3,5y); 2 5 7 1 2 3 4 e) xy( x2 - xy + y2); f)(1 + 2x - x2)5x; 2 3 4 5 2 g) (x2y - xy + xy2 + y3). 3xy2; h) x2y(15x - 0,9y + 6); 3 −3 4 i) x (2,1y2 - 0,7x + 35); 7 Bµi 2. §¬n gi¶n biÓu thøc råi tÝnh gi¸ trÞ cña chóng. −3 a) 3(2a - 1) + 5(3 - a) víi a = . 2 b) 25x - 4(3x - 1) + 7(5 - 2x) víi x = 2,1. c) 4a - 2(10a - 1) + 8a - 2 víi a = -0,2. 1 d) 12(2 - 3b) + 35b - 9(b + 1) víi b = 2 Bµi 3. Thùc hiÖn phÐp tÝnh sau: a) 3y2(2y - 1) + y - y(1 - y + y2) - y2 + y; b) 2x2.a - a(1 + 2x2) - a - x(x + a); c) 2p. p2 -(p3 - 1) + (p + 3). 2p2 - 3p5; d) -a2(3a - 5) + 4a(a2 - a). Bµi 4. §¬n gi¶n c¸c biÓu tøc: a) (3b2)2 - b3(1- 5b); b) y(16y - 2y3) - (2y2)2; 1 1 c) (- x)3 - x(1 - 2x - x2); d) (0,2a3)2 - 0,01a4(4a2 - 100). 2 8 Bµi 5. Chøng minh r»ng gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo biÕn x. a) x(2x + 1) - x2(x + 2) + (x3 - x + 3); b) x(3x2 - x + 5) - (2x3 +3x - 16) - x(x2 - x + 2); Bµi 6. Chøng minh r»ng c¸c biÓu thøc sau ®©y b»ng 0; a) x(y - z) + y((z - x) + z(x - y); b) x(y + z - yz) - y(z + x - zx) + z(y - x). Bµi tËp n©ng cao Bµi 7. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: a) P(x) = x7 - 80x6 + 80x5 - 80x4 +….+ 80x + 15 víi x = 79. b) Q(x) = x14 - 10x13 + 10x12 - 10x11 + …+ 10x2 - 10x + 10 víi x = 9. c) M(x) = x3 - 30x2 - 31x + 1 víi x = 31. d) N(x) = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13x víi x = 14. Bµi 8. Chøng minh r»ng : a) 356 - 355 chia hÕt cho 34 b) 434 + 435 chia hÕt cho 44. Bµi 9. Cho a vµ b lµ c¸c sè nguyªn. Chøng minh r»ng: a) nÕu 2a + b M 13 vµ 5a - 4b M 13 th× a - 6b M 13; b) nÕu 100a + b M 7 th× a + 4b M 7; c) nÕu 3a + 4b M 11 th× a + 5b M 11; II) Nh©n ®a thøc víi ®a thøc. 1. KiÕn thøc c¬ b¶n: (A + B)(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D; 2. Bµi tËp ¸p dông: 1 Bµi 1. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: a) (5x - 2y)(x2 - xy + 1); 1 c) x2y2(2x + y)(2x - y); 2 b) (x - 1)(x + 1)(x + 2); 1 d) ( x - 1) (2x - 3); 2 1 1 e) (x - 7)(x - 5); f) (x - )(x + )(4x - 1); 2 2 g) (x + 2)(1 + x - x2 + x3 - x4) - (1 - x)(1 + x +x2 + x3 + x4); h) (2b2 - 2 - 5b + 6b3)(3 + 3b2 - b); i) (4a - 4a4 + 2a7)(6a2 - 12 - 3a3); Bµi 2.Chøng minh: a) (x - 1)(x2 - x + 1) = x3 - 1; b) (x3 + x2y + xy2 + y3)(x - y) = x3 - y3; Bµi 3. Thùc hiÖn phÐp nh©n: a) (x + 1)(1 + x - x2 + x3 - x4) - (x - 1)(1 + x + x2 + x3 + x4); b) ( 2b2 - 2 - 5b + 6b3)(3 + 3b2 - b); c) (4a - 4a4 + 2a7)(6a2 - 12 - 3a3); d) (2ab + 2a2 + b2)(2ab2 + 4a3 - 4a2b) e) (2a3 - 0,02a + 0,4a5)(0,5a6 - 0,1a2 + 0,03a4). Bµi 4. ViÕt c¸c biÓu thøc sau díi d¹ng ®a thøc: a) (2a - b)(b + 4a) + 2a(b - 3a); b) (3a - 2b)(2a - 3b) - 6a(a - b); c) 5b(2x - b) - (8b - x)(2x - b); d) 2x(a + 15x) + (x - 6a)(5a + 2x); Bµi 5. Chøng minh r»ng gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo biÕn y: a) (y - 5)(y + 8) - (y + 4)(y - 1); b) y4 - (y2 - 1)(y2 + 1); Bµi 6. T×m x, biÕt: a) (2x + 3)(x - 4) + (x - 5)(x - 2) = (3x - 5)(x - 4); b) (8x - 3)(3x + 2) - (4x + 7)(x + 4) = (2x + 1)(5x - 1); c) 2x2 + 3(x - 1)(x + 1) = 5x(x + 1); d) (8 - 5x)((x + 2) + 4(x - 2)(x + 1) + (x - 2)(x + 2); e) 4(x - 1)( x + 5) - (x +2)(x + 5) = 3(x - 1)(x + 2). Bµi tËp n©ng cao Bµi 7. Chøng minh h»ng ®¼ng thøc: a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca). Bµi 8. Cho a + b + c = 0. Chøng minh M = N = P víi : M = a(a + b)(a + c); N = b(b + c)(b + a); P = c(c + a)(c + b); Bµi 9. Sè 350 + 1 cã lµ tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp kh«ng ? HD: Tríc hÕt chøng minh tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp chia cho 3 th× d 0 hoÆc 2. ThËt vËy nªu trong hai sè tù nhiªn liªn tiÕp cã mét sè chia hÕt cho 3 th× tÝch cña chóng chia hÕt cho 3, nÕu c¶ hai sè ®Òu kh«ng chia hÕt cho 3 th× tÝch cña chóng chia cho 3 d 2 ( tù chøng minh). Sè 350 + 1 chia cho 3 d 1 nªn kh«ng thÓ lµ tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp. Bµi 10. Cho A = 29 + 299. Chøng minh r»ng A M 100 HD: Ta cã A = 29 + 299 = 29 + (211)9 = (2 + 211)(28 - 27 .211 + 26.222 - …-2.277 + 288) Thõa sè thø nhÊt 2 + 211 = 2050 ⇒ AM4100 ⇒ AM100 Thõa sè thø hai ch½n III) C¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí 1) KiÕn thøc c¬ b¶n: 1.1) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2. 1.2) (A - B)2 = A2 - 2.AB + B2. 1.3) A2 - B2 = (A - B)(A + B). 1.4) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3. 1.5) (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 + B3. 1.6) A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2). 2 1.7) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2). 2) Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1. TÝnh a) (x + 2y)2; b) (x - 3y)(x + 3y); d) (x - 1)2; e) (3 - y)2 c) (5 - x)2. 1 f) (x - )2. 2 Bµi 2. ViÕt c¸c biÓu thøc sau díi d¹ng b×nh ph¬ng cña mét tæng: 1 a) x2 + 6x + 9; b) x2 + x + ; c) 2xy2 + x2y4 + 1. 4 Bµi 3. Rót gän biÓu thøc: a) (x + y)2 + (x - y)2; b) 2(x - y)(x + y) +(x - y)2 + (x + y)2; c) (x - y + z)2 + (z - y)2 + 2(x - y + z)(y - z). Bµi 4. øng dômg c¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí ®Ó thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh sau; a) (y - 3)(y + 3); b) (m + n)(m2 - mn + n2); c) (2 - a)(4 + 2a + a2); d) (a - b - c)2 - (a - b + c)2; 3 3 e) (a - x - y) - (a + x - y) ; f) (1 + x + x2)(1 - x)(1 + x)(1 - x + x2); Bµi 5. H·y më c¸c dÊu ngoÆc sau: a) (4n2 - 6mn + 9m2)(2n + 3m) b) (7 + 2b)(4b2 - 4b + 49); 2 2 c) (25a + 10ab + 4b )(5a - 2b); d)(x2 + x + 2)(x2 - x - 2). Bµi 6. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: a) x2 - y2 t¹i x = 87 víi y = 13; b) x3 - 3x2 + 3x - 1 Víi x = 101; c) x3 + 9x2 + 27x + 27 víi x = 97; 2 d) 25x - 30x + 9 víi x = 2; e) 4x2 - 28x + 49 víi x = 4. Bµi 7. §¬n gi¶n c¸c biÓu thøc sau vµ tÝnh gi¸ trÞ cña chóng: a) 126 y3 + (x - 5y)(x2 + 25y2 + 5xy) víi x = - 5, y = -3; b) a3 + b3 - (a2 - 2ab + b2)(a - b) víi a = -4, b = 4. Bµi 8. Sö dông h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí ®Ó thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh sau: a) (a + 1)(a + 2)(a2 + 4)(a - 1)(a2 + 1)(a - 2); b) (a + 2b - 3c - d)(a + 2b +3c + d); c) (1 - x - 2x3 + 3x2)(1 - x + 2x3 - 3x2); d) (a6 - 3a3 + 9)(a3 + 3); e) (a2 - 1)(a2 - a + 1)(a2 + a + 1). Bµi 9. T×m x, biÕt: a) (2x + 1)2 - 4(x + 2)2 = 9; b) (x + 3)2 - (x - 4)( x + 8) = 1; c) 3(x + 2)2 + (2x - 1)2 - 7(x + 3)(x - 3) = 36; d)(x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1; e) (x + 1)3 - (x - 1)3 - 6(x - 1)2 = -19. Bµi 10.TÝnh nhÈm theo c¸c h»ng ®¼ng thøc c¸c sè sau: a) 192; 282; 812; 912; b) 19. 21; 29. 31; 39. 41; c) 292 - 82; 562 - 462; 672 - 562; Bµi 11. Chøng mih c¸c h»ng ®¼ng thøc sau: a) a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab; b) a4 + b4 = (a2 + b2)2 - 2a2b2; 6 6 2 2 2 2 2 2 2 c) a + b = (a + b )[(a + b ) - 3a b ]; d) a6 - b6 = (a2 - b2)[(a2 + b2)2 - a2b2]. C¸c bµi to¸n n©ng cao Bµi 12. Chøng minh c¸c h»ng ®¼ng thøc sau: X4 + y 4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2; Bµi 13. H·y viÕt c¸c biÓu thøc díi d¹ng tæng cña ba b×nh phong: (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2. Bµi 14. Cho (a + b)2 = 2(a2 + b2). Chøng minh r»ng a = b. Bµi 15. Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca. Chøng minh r»ng a = b =c. Bµi 16. Cho ( a + b + c)2 = 3(ab + bc + ca). Chøng minh r»ng a = b = c. Bµi 17. Cho a + b + c = 0 (1) a2 + b2 + c2 = 2(2) 3 TÝnh a4 + b4 + c4. Bµi 18. cho a + b + c = 0. Chøng minh ®¼ng thøc: a) a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + b2c2 +c2a2); b) a4 + b4 + c4 = 2(ab + bc + ca)2; 4 4 c) a + b + c 4 a = ( 2 + b2 + c2 ) 2 ; 2 Bµi 19. Chøng minh r»ng c¸c biÓu thøc sau lu«n lu«n cã gi¸ trÞ d¬ng víi mäi gi¸ trÞ cña biÕn. a) 9x2 - 6x +2; b) x2 + x + 1; c) 2x2 + 2x + 1. Bµi 20. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau: a) A = x2 - 3x + 5; b) B = (2x -1)2 + (x + 2)2; Bµi 21. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: a) A = 4 - x2 + 2x; b) B = 4x - x2; Bµi 22. Cho x + y = 2; x2 + y2 = 10. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc x3 + y3. Bµi 23. Cho x + y = a; xy = b. TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau theo a vµ b: a) x2 + y2; b) x3 + y3; c) x4 + y4; d) x5 + y5; Bµi 24. a) cho x + y = 1. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: x3 + y3 + 3xy. b) cho x - y = 1. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: x3 - y3 - 3xy. Bµi 25. Cho a + b = 1. TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau: M = a3 + b3 + 3ab(a2 + b2) + 6a2b2(a + b). Bµi 26. Rót gän c¸c biÓu thøc sau: a) A = (3x + 1)2 - 2(3x + 1)(3x + 5) + (5x + 5)2; b) B = (3 + 1)(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)(318 + 1)(332 + 1); c) C = (a + b - c)2 + (a - b + c)2 - 2(b - c)2; d) D = (a + b + c)2 + (a - b - c)2 + (b - c - a)2+ (c - b - a)2; e) E = (a + b + c + d)2 + (a + b - c - d)2 + (a + c - b - d)2 + (a + d - b - c)2; g) G = (a + b + c)3 - (b + c - a)3 - (a + c - b)3 + (a + b - c)3; h) H = (a + b)3 + (b + c)3 + (c + a)3 - 3(a + b)(b + c)(c + a). Bµi 28. Chøng minh c¸c ®¼ng thøc sau: a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 +(b + c)2 + (c + a)2; b) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a). Bµi 29. Cho a + b + c = 0. chøng minh r»ng: a3 + b3 + c3 = 3abc. Bµi 30. Chøng minh r»ng: a) nÕu n lµ tæng hai sè chÝnh ph¬ng th× 2n còng lµ tæng cña hai sè chÝnh ph¬ng. b) nÕu 2n lµ tæng hai sè chÝnh ph¬ng th× n còng lµ tæng cña hai sè chÝnh ph¬ng. c) nÕu n lµ tæng cña hai sè chÝnh ph¬ng th× n2 còng lµ tæng cña hai sè chÝnh ph¬ng. Bµi 31. a) Cho a = 11…1(n ch÷ sè 1), b = 100…05(n - 1 ch÷ sè 0). Chøng minh r»ng: ab + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng. b) Cho mét d·y sè cã sè h¹ng ®Çu lµ 16, c¸c sè h¹ng sau lµ c¸c sè t¹o thµnh b»ng c¸ch viÕt chÌn sè 15 vµo chÝnh gi÷a sè h¹ng liÒn tríc : 16, 1156, 111556, … Chøng minh r»ng mäi sè h¹ng cña d·y ®Òu lµ sè chÝnh ph¬ng. Bµi 32. Chøng minh r»ng ab + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng víi a = 11…12(n ch÷ sè 1), b = 11…14(n ch÷ sè 1). Bµi 33. Cho a gåm 2n ch÷ sè 1, b gåm n + 1 ch÷ sè 1, c gåm n ch÷ sè 6. Chøng minh r»ng a + b + c + 8 lµ sè chÝnh ph¬ng. Bµi 34. Chøng minh r»ng c¸c biÓu thøc sau lµ sè chÝnh ph¬ng: { − 22...2 { { + 44...4 { +1 a) A = 11...1 b) B = 11...1 2n n 2n Bµi 35. C¸c sè sau lµ b×nh ph¬ng cña sè nµo ? { 00...0 { 25 ; { { ; a) A = 99...9 b) B = 99...9800...01 n n { { ; c) C = 44...488...89 n n−1 n { { . d) D = 11...122...25 n n+1 4 n n chuyªn ®Ò Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö I) Ph¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung: A(B + C ) =A.B +A.C *) Bµi tËp: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö *) Bµi 1: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö 5 a) 3x - 3y Bµi 3: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b) 2x + 5x + x y a) 4x2 − 6x; c)14x 2 − 21xy 2 + 28x 2 y 2 b)21x2 y − 12xy2 ; d)4x 3 − 14x 2 c)x3 + x2 − 2x; e)5y10 + 15y 6 d)3x ( x − 1) + 7 x2 ( x − 1) ; f)9x 2 y 2 + 15x 2 y − 21xy g)x(y − 1) − y(y − 1) h)10x(x − y) − 8y(y − x) e)x2 y2 z + xy2 z2 + x2 yz; 2 3 2 f )2x ( x + 1) + 2 ( x + 1) ; g)4x ( x − 2y ) + 8y ( 2y − x ) i)3x 2 (x + 1) − 2(x + 1) j)a(b + c) + 3b + 3c k)a(c − d) + c − d l)b(a − c) + 5a − 5c m)b(a − c) + 5a − 5c n)a(m − n) + m − n o)mx + my + 5x + 5y p)ma + mb − a − b q)1 − xa − x + a Bµi 4: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc a) 15.91,5+ 150.0,85 b) 5x5 (x − 2z) + 5x5 (2z − x)t¹i x= 1999; y= 2000 Bµi 4: T×m x, biÕt a) 5x(x-2)-(2-x)= 0 b) 4x(x+ 1)= 8(x+ 1) 1 2 c) x(2x-1)+ − x = 0 3 3 d)x(x − 4) + (x − 4) 2 = 0 r)(a − b)2 − (b − a)(a + b) e)x2 − 5x = 0; f )3x(x − 2) + 2(2 − x) = 0; g)5x(3x − 1) + x(3x − 1) − 2(3x − 1) = 0. t)a(a − b)(a + b) − (a + b)(a − ab + b ) Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö a)2x(x+3)+2(x+3) b)4x(x-2y)+8y(2y-x) 2 2 e)(x + 5)2 − 3(x + 5) Bµi 5:Chøng minh r »ng a) B×nh ph¬ng cña mét sè lÎ chia cho 4 th× d 1 b) B×nh ph¬ng cña mét sè lÎ chia cho 8 th× d 1 f)2x(x − 3) − (x − 3)2 Bµi 6: chøng minh r»ng: c) y 2 (x 2 + y) − zx 2 − zy d)3x(x + 7)2 − 11x 2 (x + 7) + 9( x + 7) n 2 ( n + 1) + 2n ( n + 1) g)x(x − 7) + (7 − x)2 lu«n chia hÕt cho 6 víi mäi sè nguyªn n. h)3x(x − 9)2 − (9 − x)3 i)5x(x − 2) − (2 − x) j)4x(x + 1) − 8x 2 (x + 1) k)p m +2 .q − p m +1 .q 3 − p 2 .q n +1 + p.q n +3 o)5x5 (x − 2z) + 5x 5 (2z − x) p)10x(x − y) − 8y(y − x) q)21x 2 − 12xy 2 r)2x(x + 1) + 2(x + 1) t)4x(x − 2y) + 8y(2y − x) II) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng ph¬ng ph¸p dung h»ng ®¼ng thøc: 6 1) Ph¬ng ph¸p: BiÕn ®æi c¸c ®a thøc thµnh d¹ng tÝch nhê sö dông h»ng ®¼ng thøc 1. A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 2. A2 - 2AB + B2 = (A + B)2 3. A2 - B2 = (A - B)(A + B) 4. A3 + 3A2B + 3AB2 +B2 = (A + B)3 5. A3 -3A2B + 3AB2 - B3 = ( A - B)3 6. A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2) 7. A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB +B2) 2)Bµi tËp: Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x2 - 9; b) 4x2 - 25; 6 6 c) x - y d) 9x2 + 6xy + y2; e) 6x - 9 - x2; f) x2 + 4y2 + 4xy g) 25a2 + 10a + 1; h)10ab + 0,25a2 + 100b2 1 2 i)9x2 -24xy + 16y2 j) 9x2 - xy + y 36 k)(x + y)2 - (x - y)2 l)(3x + 1)2 - (x + 1)2 3 3 3 n) x + y + z - 3xyz. Bµi 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) x3 + 8; b) 27x3 -0,001 6 3 c) x - y ; d)125x3 - 1 3 2 e) x -3x + 3x -1; f) a3 + 6a2 + 12a + 8 Bµi 3: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) x6 + 2x5 + x4 - 2x3 - 2x2 + 1; 2 2 b) M = 4abcd + ( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) − 4 cd ( a 2 + b 2 ) + ab ( c 2 + d 2 ) Bµi 4 TÝnh nhanh: a) 252 - 152; b) 872 + 732 - 272 - 132 2 2 c) 73 -27 ; d) 372 - 132 e) 20092 - 92 Bµi 5 T×m x, biÕt a) x3 - 0,25x = 0; b) x2 - 10x = -25 c) x2 - 36 = 0; d) x2 - 2x = -1 e) x3 + 3x2 = -3x - 1 Bµi 6: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) 2x8 - 12x4 + 18; b) a4b + 6a2b3 + 9b5; 6 3 2 c) -2a - 8a b - 8b ; d) 4x + 4xy6 + xy12. Bµi 7 Chøng minh r»ng c¸c ®a thøc sau chØ nhËn nh÷ng gi¸ trÞ kh«ng ©m a) x2 - 2xy + y2 + a2; b) x2 + 2xy + 2y2 + 2y + 1; c) 9b2 - 6b + 4c2 + 1; d) x2 + y2 +2x + 6y + 10; Bµi 8 Chøng minh r»ng c¸c ®a thøc sau kh«ng ©m víi bÊt k× gi¸ trÞ nµo cña c¸c ch÷: a) x2 + y2 - 2xy + x - y + 1 b) 2x2 + 9y2 + 3z2 + 6xy - 2xz + 6yz c) 8x2 + y2 + 11z2 + 4xy - 12 xz - 5yz d) 5x2 + 5y2 + 5z2 + 6xy - 8xz - 8yz Bµi 9 Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn n ta cã: (4n + 3)2 - 25 chia hÕt cho 8. III) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng ph¬ng ph¸p nhãm c¸c h¹ng tö. 1) KiÕn thøc c¬ b¶n: T×m c¸ch t¸ch ®a thøc ®· cho thµnh nhãm c¸c h¹ng tö thÝch hîp sao cho khi ph©n tÝch mçi nhãm h¹ng tö thµnh nh©n tö th× xuÊt hiÖn nh©n tö chung. 2) Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1 Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a) x2 - xy + x - y; b) xz + yz - 5(x + y) c) 3x2 -3xy - 5x + 5y. 7 d) x2 + 4x - y2 + 4; e) 3x2 + 6xy + 3y2 - 3z2; 2 2 2 2 f) x -2xy + y - z + 2zt - t ; g) x2 - x - y2 - y; h) x2 - 2xy + y2 - z2; i) 5x - 5y + ax - ay; j) a3 - a2x - ax + xy; k) 7a2 -7ax - 9a + 9x; l) xa - xb + 3a - 3b; Bµi 2 Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö; a) ma - mb + na - nb -pa + pb; b) x2 + ax2 -y - ax +cx2 - cy; c) ax - bx - cx + ay - by - cy; d) ax2 + 5y - bx2 + ay + 5x2 - by; Bµi 3 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) x3 + y3 + 2x2 -2xy + 2y2; b) a4 + ab3 - a3b - b4; c) a3 - b3 + 3a2 + 3ab + 3b2; c) x4 + x3 y - xy3 - y4; Bµi 4 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) 70a - 84b - 20ab - 24b2; b) 12y - 9x2 + 36 - 3x2y; c) 21bc2 - 6c - 3c3 +42b; d) 30a3 - 18a2b - 72b + 120a. Bµi 5 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) x3 + 3x2y + x +3x2y + y + y3; b) x3 + y(1 - 3x2) + x(3y2 - 1) - y3; 1 c) 27x3 + 27x2 + 9x +1 + x + ; d) x(x + 1)2 + x(x - 5) - 5(x +1)2. 3 Bµi 6 T×m x, biÕt: a) x3 + x2 + x + 1 = 0; b) x3 - x2 - x + 1 = 0; 2 c) x - 6x + 8 = 0; d) 9x2 + 6x - 8 = 0. e) x(x - 2) + x - 2 = 0; f) 5x(x - 3) - x + 3 = 0. Bµi 7 TÝnh nhanh gi¸ trÞ cña mçi ®a thøc sau; a) x2 - 2xy - 4z2 + y2 t¹i x = 6; y = -4; z = 45. b) 3(x - 3)(x + 7) + (x - 4)2 + 48 t¹i x = 0,5 Bµi 8. TÝnh nhanh : a) 37,5 . 6,5 - 7,5 . 3,4 - 6,6 . 7,5 + 3,5 . 37,5; b) 452 + 402 - 152 + 80.45. Bµi 9. Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: P = ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a). Bµi 10. Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a) x3z + x2yz - x2z2 - xyz2; b) pm+2q - pm+1q3 - p2qn+1 + pqn+3. IV) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng c¸ch phèi hîp nhiÒu ph¬ng ph¸p. 1) KiÕn thøc c¬ b¶n: - §Æt nh©n tö chung. - Dïng h»ng ®¼ng thøc. - Nhãm nhiÒu h¹ng tö vµ c¸c ph¬ng ph¸p kh¸c. 2) Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1. Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a) x3 - 2x2 + x; b) 2x2 + 4x + 2 - 2y2; c) 2xy - x2 - y2 + 16; 4 3 3 2 3 2 d) a + a + a b + a b e) a + 3a + 4a + 12; f) a3 + 4a2 + 4a + 3; g) x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 2xyz; h) a2 + b2 + 2a - 2b - 2ab; 2 2 3 2 i) 4a - 4b - 4a + 1; j) a + 6a + 12a + 8; k) (a + b + c)3 - (a + b - c)3 - ( a - b + c)3 - (-a + b +c)3. Bµi 2. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) (2x + 3y)2 - 4(2x + 3y); b) (x + y)3 - x3 - y3; 2 2 c) (x - y + 4) - (2x + 3y - 1) ; d) (a2 + b2 - 5)2 - 4(ab + 2)2. e) bc(b + c) + ca(c - a) - ab(a + b); f) 2a2b + 4ab2 - a2c + ac2- 4b2c + 2bc2 - 4abc; g) y(x - 2z)2 + 8xyz + x(y - 2z)2 - 2z(x + y)2; h) x5 - 5x3 + 4x; 3 2 4 2 2 i) x - 11x + 30x; j) 4x - 21x y + y4; k) x3 + 4x2 - 7x - 10; l) (x2 + x)2 - (x2 + x) + 15; n) (x +2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24; m) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15; o) (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x + 2) - 6. Bµi 2: T×m x, biÕt. 1 a) 5x(x - 1) = x - 1; b) 2(x + 5) - x2 - 5x = 0; c) x3 - x = 0; 4 8 d) (2x - 1)2 - (x + 3)2 = 0 Bµi 3. TÝnh nhanh gi¸ trÞ biÓu thøc: 1 1 a) x2 + x + t¹i x = 49,75; 2 16 e) x2(x - 3) +12 - 4x =0. b) x2 - y2 - 2y - 1 t¹i x = 93 vµ y = 6. To¸n khã më réng: Bµi 4. a) Sè 717 + 17. 3 - 1 chia hÕt cho 9. Hái sè 718 + 18.3 - 1 cã chia hÕt cho 9 kh«ng? b) BiÕn ®æi thµnh tÝch c¸c biÓu thøc: A = 1 + a[(a + 1)9 + (a + 1)8 + (a + 1)7 + …+ (a + 1)2 + a + 2]. Bµi 5. Chøng minh c¸c h»ng ®¼ng thøc sau: 1) x6 + 3x2y2 + y6 = 1 Víi x2 + y2 = 1 4 2 2 4 2 2 2) x + x y + y = a - b víi x2 + y2 = a, xy = b 3) (a3 + b3 - a3b3)3 + 27a6b6 = 0 víi ab = a + b. 4) p2 + (p - a)2 + (p - b)2 + (p - c)2 = a2 + b2 + c2 víi a + b + c = 2p. Bµi 6. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: a) A = 217 - 216 - 215 - 214 - …- 22 - 2 - 1. b) B = x17 - 12x16 + 12x15 - 12x14 +…- 12x2 + 12x - 1 víi x = 11. Bµi 7. Rót gän: a) A = 3(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1)(264 + 1). 2 3 4 n b) Më réng: B = 3(22 + 1)(22 + 1)(2 2 + 1)(2 2 + 1)...(2 2 + 1) Bµi 8. Chøng minh: 1 a5(b2 + c2) + b5(a2 + c2) + c5(a2 + b2) = (a3 + b3 + c3)(a4 + b4 + c4) víi a + b + c = 0 2 Bµi 9. Chøng minh: 2(a5 + b5 + c5) = 5abc(a2 + b2 + c2) víi a + b + c = 0. Bµi 10. Tæng c¸c sè nguyªn a1, a2, a3, …, an chia hÕt cho 3. Chøng minh r»ng A = a13 + a23 + a33 + …+ an3 còng chia hÕt cho 3 V) Mét sè ph¬ng ph¸p kh¸c ®Ó ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. 1) Ph¬ng ph¸p t¸ch mét sè h¹ng thµnh nhiÒu sè h¹ng kh¸c. 1.1) §a thøc d¹ng f(x) = ax2 + bx + c. - Bíc 1: T×m tÝch ac. - Bíc 2: Ph©n tÝch a.c ra tÝch cña hai thøa sè nguyªn b»ng mäi c¸ch. - Bíc 3: Chän hai thõa sè mµ tæng b»ng b. C¸c bµi tËp ¸p dông d¹ng nµy: Bµi 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) 4x2 - 4x - 3; b) x2 - 4x + 3; c) x2 + 5x + 4; 2 2 d) x - x - 6; e) x + 8x + 7; f) x2 - 13 x + 36; g) x2 +3x - 18; h) x2 - 5x - 24; i) 3x2 - 16x + 5; 2 2 j) 8x + 30x + 7; k) 2x - 5x - 12; l) 6x2 - 7x - 20. 1.2) §a thøc tõ bËc ba trë lªn ngêi ta dïng ph¬ng ph¸p t×m nghiÖm cña ®a thøc. a) Chó ý: nÕu ®a thøc f(x) cã nghiÖm x = a th× nã chøa thõa sè x - a. Trong ®ã a lµ íc sè cña an,, víi f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2+ …+ an-1 + an. b) VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: f(x) = x3 - x2 - 4. LÇn lît kiÓm tra víi x = ± 1, ± 2, ± 4, ta thÊy f(2) = 23 - 22 - 4 = 0. §a thøc cã nghiÖm x =2, do ®ã chøa thõa sè x - 2. Ta t¸ch nh sau: C¸ch 1: x3 - x2 - 4 = x3 - 2x2 + x2 - 2x + 2x - 4 = x2(x - 2) + x(x - 2) + 2(x - 2) = ( x - 2)(x2 + x + 2). C¸ch 2: x3 - x2 - 4 = x3 - 8 - x2 + 4 = (x - 2)(x2 + 2x + 4) - (x + 2)(x - 2) = (x - 2)(x2 + 2x + 4 - x - 2) = (x - 2)(x2 + x + 2). 2) Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô: Khi mét ®a thøc phøc t¹p, hoÆc cã bËc cao, ta cã thÓ ®Æt Èn phô nh»m “ gi¶m bËc” cña ®a thøc ®Ó ph©n tÝch. 2.1) VÝ dô. Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 9 a) f(x) = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12. b) g(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24. HD: a) §Æt y = x2 + x + 1, khi ®ã ®a thøc f(x) = y(y + 1) - 12 = y2 + y - 12 = (y - 3)(y + 4) Thay ngîc trë l¹i y = x2 + x + 1 vµo ®a thøc f(x) ta ®îc: f(x) = (x2 + x + 1 - 3)(x2 + x + 1 + 4) = (x2 + x + 5)(x2 + x - 2) = (x - 1)(x + 2)(x2 + x + 5) b) f(x) = [(x + 1)(x + 4)][(x + 2)(x + 3)] - 24 = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) - 24 = y(y + 2) - 24 víi y = x2 + 5x + 4 = y2 + 2y - 24 = (y - 4)(y + 6) Thay ngîc trë l¹i y = x2 + 5x + 4 ta ®îc f(x) = (x2 + 5x + 4 - 4)(x2 + 5x + 4 + 6) = (x2 +5x)(x2 + 5x + 10) = x(x + 5)(x2 + 5x + 10) 3) Ph¬ng ph¸p thªm, bít mét h¹ng tö thÝch hîp ®Ó lµm xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc hiÖu hai b×nh ph¬ng. *) VÝ dô: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö a) x8 + x4 + 1; b) x4 + 4; HD: a) x8 + x4 + 1 = x8 + 2x4 + 1 - x4 = (x4 + 1)2 - x4 = (x4 + x2 +1)(x2 - x2 + 1) = [(x4 + 2x2 + 1) - x2][(x4 + 2x2 + 1) - 3x2] = [(x2 + 1)2 - x2][(x2 + 1)2 - ( 3 x)2] = (x2 +1 - x)(x2 + 1 - 3 x)(x2 + 1 + x)(x2 + 1 + 3 x) *) Bµi tËp ¸p dông : Bµi 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) f(x) = x4 + 324 b) f(x) = x8 + 1024; c) f(x) = x8 + 3x4+ 4 1 Bµi 2. a) Ph©n tÝch n4 + 4 4 1 4 1 4 1 1 + ÷ 2 + ÷... 19 + ÷ 4 4 4 b) ¸p dông: Rót gän S = 4 1 4 1 4 1 2 + 4 ÷ 4 + 4 ÷... 20 + 4 ÷ 4) Ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng: Tríc hÕt ta x¸c ®Þnh d¹ng cña c¸c thõa sè chøa biÕn cña ®a thøc, råi g¸n cho c¸c biÕn c¸c gi¸ trÞ cô thÓ ®Ó x¸c ®Þnh thõa sè cßn l¹i. a) VÝ dô: Ph©n tÝch thµnh thõa sè: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y). Gi¶i: Thö thay x bëi y th× P = y2(y - z) - y2(z - y) = 0. Nh vËy P chøa thõa sè x = y nÕu thay x bëi y, y bëi z, z bëi x th× P kh«ng ®æi. Do ®ã P chøa thõa sè cã d¹ng (x - y), (y - z), (z - x). vËy P cã d¹ng P = k(x - y)(y - z)(z - x). V× ®¨ngt thøc x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x) ®óng víi mäi x, y, z, Nªn ta g¸n x = 2, y = 1, z = 0 vµo ®¼ng thøc ta ®îc: 4.1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2) ⇔ 2 = -2k ⇔ k = -1 vËy P = -(x - y)(y - z)(z - x) C¸c bµi tËp ¸p dông cña c¸c d¹ng trªn. Bµi 1: Ph©n tÝch ra thõa sè nguyªn tè a) 6x2 - 11x + 3; b) 2x2 + 3x - 27; 2 2 c) 2x - 5xy + 3y ; d) 2x2 -5xy - 3y2. Bµi 2. Ph©n tÝch ra thõa sè nguyªn tè: a) x3 + 2x - 3; b) x3 - 7x + 6; 3 2 c) x + 5x + 8x + 4; d) x3 - 9x2 + 6x + 16; e) x3 - x2 - 4; f) x3 - x2 - x - 2; 3 2 g) x + x - x + 2; h) x3 - 6x2 - x + 30. Bµi 3. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö (b»ng nhiÒu c¸ch). x3 - 7x - 6. Bµi 4. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: 10 a) 27x3 - 27x2 + 18x - 4; b) 2x3 - x2 + 5x + 3. Bµi 5. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) (x2 + x)2 - 2(x2 + x) - 15; b) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12; c) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12; d) (x + 2)(x + 3)(x + 4)( x+ 5) - 24; e) (x + a)( x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a4 f) (x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2; g) 2(x4 + y4 + z4) - (x2 + y2 + z2)2 - 2(x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (x + y + z)4. Bµi 6. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö (dïng ph¬ng ph¸p ®æi biÕn - §Æt Èn phô) a) (a + b + c)3 - 4(a3 + b3 + c3) - 12abc HD: §Æt x = a + b, y = a - b. Bµi 7. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) 4x4 - 32x2 + 1; b) x6 + 27; c) 3(x4 + x2 + 1) - (x2 + x + 1)2; d) (2x2 - 4)2 + 9; 4 e) 4x + 1; f) 64x4 + y4; 4 g) x + 324; h) x8 + x + 1; 7 5 8 i) x + x + 1; j) x + x4 + 1; k) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6; l) x3 + 3xy + y3 - 1. Bµi 8. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng ph¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh a) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1; b) 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 c) x4 - 7x3 + 14x2 - 7x + 1; c) x4 - 8x + 63. Bµi 9. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x8 + 98x2 + 1. Bµi 10. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ( Dïng ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ d¬ng). a) M = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c( a + b - c)2 + (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b). b) N = a(m - a)2 + b(m - b)2 + c(m - c)2 - abc víi 2m = a + b + c chuyªn ®Ò chia ®a thøc cho ®a thøc I) Chia ®¬n thøc cho ®¬n thøc (trêng hîp ®¬n thøc A chia hÕt cho ®¬n thøc B). 1) Ph¬ng ph¸p: - Chia hÖ sè cña ®¬n thøc A cho hÖ sè cña ®¬n thøc B. - Chia tõng luü thõa cña tõng biÕn trong A cho luü thõa cña biÕn ®ã cã trong B. - Nh©n c¸c kÕt qu¶ t×m ®îc víi nhau. 1) VÝ dô vµ bµi tËp: Bµi 1. Lµm phÐp tÝnh chia: a) 10015 : 10012; b) (-79)33 : (- 79)32; 16 14 21 18 1 1 3 3 c) ÷ : ÷ ; d) − ÷ : − ÷ . 2 2 5 5 Bµi 2. Chia c¸c ®¬n thøc: −1 3 a) -21xy5z3 : 7xy2z3; b) ( a3b4c5) : a2bc5; 2 2 c) x2yz : xyz; d) x3y4 : x3y; e) 18x2y2z : 6xyz; f) 5a3b : (-2a2b); 4 2 4 g) 27x y z : 9x y; h) 9x2y3 : (-3xy2); −3 2 4 1 2 2 i) ( mn): mn; j) 5x4y3z2 : 3xyz2; 4 2 3 1 k) (-7a3b4c5) : (-21b3c2); l) (a - b)5 : (b - a)2; 2 2 n) (x + y)2 : (x + y); m)(x - y)5 : (y - x)4; −2 2 o) (x - y +z)4 : (x - y + z)3; ¬) 0,5ambnc3 : ( a bc); 3 p) 1,8an+3bn+2cn +1 : (-0,9an+1bn-1c). Bµi 3. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau: 1 (-x2y5)2 : (-x2y5) t¹i x = vµ y = -1. 2 11 Bµi 4. Thùc hiÖn phÐp chia: 4 6 −1 a) (xy2 - x2y3 + x3y2) : 2xy; b) (x3 - 3x2y +5xy2) : ( x); 3 5 3 3 3 6 2 6 4 3 9 5 2 3 3 3 c) ( a b c + a b c a b c ) : a bc; 4 5 10 5 5 4 3 d) [3(a - b) - 6(a - b) + 21(b - a) + 9(a - b)2] : 3(a - b)2 e) (u4 - u3v + u2v2 - uv3) : (u2 + v2). Bµi 5. Víi gi¸ trÞ nµo cña n th× thùc hiÖn ®îc c¸c phÐp chia ®¬n thøc sau? Víi ®iÒu kiÖn t×m ®îc h·y thùc hiÖn phÐp chia ®ã . a)x2n : xn + 3; b) 3xny2 : 4x2y; 3 5 n 2 c) 6x y : 5x y ; d) xnyn+2 : 3x3y4. II) Chia ®a thøc cho ®¬n thøc. 1) Ph¬ng ph¸p: Chia ®a thøc A cho ®¬n thøc B. - Chia mçi h¹ng tö cña ®a thøc A cho ®¬n thøc B. - Céng c¸c kÕt qu¶ l¹i víi nhau. 2) Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: a) (7. 35 - 34 + 36) : 34; b) (163 - 642) : 83; Bµi 2. Lµm tÝnh chia: a) (5x4 - 3x3 + x2) : 3x2; b) (5xy2 + 9xy - x2y2): (-xy); 1 1 c) (x3y3 - x2y3 - x3y2) : x2y2; d) (24x4y3 - 40x5y2 - 56x6y3) : (-24x4y2); 2 3 2 e) [a3 - (4a6 + 6a5 - 9a4) : 6a2].(1,5a2 + a4); 3 f) [(3x2y - 6x3y2) : 3xy + (3xy - 1)x]2 : 0,5x2. g) [7(a - b)5 + 5(a - b)3] : (b - a)2; h) [7(a - 3b)3 + (a - 3b)] : (2a - 6b); i) (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) : (2x + 2y). Bµi 3. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 15 2mn n-1 p+2 a) (3ambn - 1cp-2x - 7a5b3c5 + a b c x) : (-3a3-mb5c4); 4 b) [(a + b - c)3 + (a - b + c)3 + (-a + b + c)3 - (a + b + c)3] : 24abc; c) [(x + y)7 - (x7 + y7)] : 7xy. d) Chøng minh sè cã d¹ng A = 34n + 4 - 43n + 3 chia hÕt cho 17 ( n thuéc N). Bµi 4. Lµm tÝnh chia: a) [5(a - b)3 + 2(a - b)2] : (b - a)2 b) 5(x - 2y)3 : (5x - 10y); c) (x3 - 8y3) : (x + 2y); d) [5(a + b)7 - 12(a + b)5 + 7(a + b)11] : 4(-a - b)3 e) [3(a - b)4(2a + b)3 + 10(a - b)5 - (a - b)6(2a + b)] : 5(a - b)3. Bµi 5. Rót gän råi tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc víi x = -2. A = (2x2 - x) : x + (3x3 - 6x2) : 3x2 + 3. III) Chia ®a thøc mét biÕn ®· s¾p xÕp: 1) Ph¬ng ph¸p chung: - Chia h¹ng tö cao nhÊt cña ®a thøc bÞ chia cho h¹ng tö cao nhÊt cña ®a thøc chia th× ®îc h¹ng tö cao nhÊt cña th¬ng. - Nh©n h¹ng tö cao nhÊt cña th¬ng víi ®a thøc chia råi lÊy ®a thøc bÞ chia trõ ®i tÝch võa t×m ®îc, ta ®îc d thø nhÊt. - Chia h¹ng tö cao nhÊt cña ®a thøc d thø nhÊt cho h¹ng tö cao nhÊt cña ®a thøc chia ta ®îc h¹ng tö thø hai cña th¬ng. - Nh©n h¹ng tö thø hai cña th¬ng víi ®a thøc chia råi lÊy d thø nhÊt trõ ®i tÝch võa t×m ®îc, ta ®îc d thø hai. - LÆp l¹i qu¸ tr×nh trªn cho ®Õn khi: +) nÕu d cuèi cïng b»ng 0 th× phÐp chia cã d b»ng 0 vµ ®îc gäi lµ phÐp chia hÕt. +) nÕu d cuèi cïng kh¸c 0 vµ bËc cña ®a thøc d thÊp h¬n bËc cña ®a thøc chia th× phÐp chia ®ã ®îc gäi lµ phÐp chia cã d. 2) Ký hiÖu: 12 A(x) lµ ®a thøc bÞ chia; B(x) lµ ®a thøc chia; Q(x) lµ ®a thøc th¬ng; R(x) lµ ®a thøc d; Ta lu«n cã: A(x) = B(x). Q(x) + R(x); - NÕu R(x) = 0 th× A(x) = B(x) . Q(x) gäi lµ phÐp chia hÕt. - NÕu R(x) ≠ 0 th× A(x) = B(x). Q(x) + R(x),( bËc cña R(x) nhá h¬n bËc cña B(x)) gäi lµ phÐp chia cã d. 3) Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1. Lµm tÝnh chia: a) (6x2 + 13x - 5) : (2x + 5); b) (x3 - 3x2 + x - 3) : (x - 3); 4 3 2 2 c) (2x + x - 5x - 3x - 3) : (x - 3); Bµi 2. S¾p sÕp c¸c ®a thøc sau theo luü gi¶m dÇn thõa cña biÕn: a) (12x2 - 14x + 3 - 6x3 + x4) : (1 - 4x + x2); b) (x5 - x2 - 3x4 + 3x + 5x3 - 5) : (5 + x2 - 3x); c) (2x2 - 5x3 + 2x + 2x4 - 1) : (x2 - x - 1); d) (x3 - 7x + 3 - x2) : (x - 3); e) (2x4 - 3x3 - 3x2 - 2 + 6x) : (x2 - 2); f) (x3 + 2x2 - 3x + 9) : (x + 3); g) (9x4 - 6x3 +15x2 + 2x - 1) : (3x2 - 2x + 5); h) (6x3 - 2x2 - 9x + 3) : (3x - 1); i) (3x4 + 11x3 - 5x2 - 19x + 10) : (x2 + 3x - 2); j) (-3x2 + 10x3 - x - 3 + 12x4) : (x + 1 + 3x2); k) (5x + 3x2 - 2 + 2x4 - 11x3 + 6x5) : (-3x + 2x2 + 2); l) (2x3 + 5x2 - 2x + 3) : (2x2 - x + 1); n) (2x3 - 5x2 + 6x - 15) : (2x - 5); m) (x4 - x - 14) : (x - 2). Bµi 3. Kh«ng thùc hiÖn phÐp chia, h·y xem phÐp chia sau ®©y cã lµ phÐp chia hÕt kh«ng vµ t×m ®a thøc d trong trêng hîp kh«ng chia hÕt; a) (x3 + 2x2 - 3x + 9) : (x + 3); b) (9x4 - 6x3 +15x2 + 2x - 1) : (3x2 - 2x + 5). HD: a) KÝ hiÖu sè d lµ r, ta cã thÓ biÕt: x3 + 2x2 - 3x + 9 = (x + 3).q(x) + r Trong ®¼ng thøc trªn ®Æt x = -3, ta ®îc: r = (-3)3 + 2(-3)2 - 3(-3) + 9 = 9 vËy d trong phÐp chia lµ 9. b) Ta thÊy ngay th¬ng trong bíc thø nhÊt cña phÐp chia lµ 3x vµ do ®ã ®a thøc d thø nhÊt lµ 2x 1. V× 2x - 1 cã bËc nhá h¬n 3x2 - 2x + 5 nªn kh«ng thÓ thùc hiÖn tiÕp phÐp chia ®îc n÷a. Do ®ã phÐp chia kh«ng lµ phÐp chia hÕt vµ ®a thøc d lµ 2x - 1. Bµi 4. Kh«ng thùc hiÖn phÐp chia, xÐt xem phÐp chia sau ®©y cã lµ phÐp chia hÕt kh«ng vµ t×m ®a thøc d trong trêng hîp kh«ng chia hÕt. 1 a) (8x2 - 6x + 5) : (x - ); b) 6x2 - 3x + 3) : (2x - 1); 2 c) (x4 + x3 + x2 + x - 4) : (x - 1); d) (18x5 + 9x4 - 3x3 + 6x2 + 3x - 1) :(6x2 + 3x - 1). Bµi 5. TÝnh nhanh: a) (9a2 - 16b2) : (4b - 3a); b) (25a2 - 30ab + 9b2) : (3b - 5a); c) (27a3 - 27a2 + 9a - 1) : (9a2 - 6a + 1); 1 3 4 1 d) (64a3 b ) : (16a2 + ab + b2). 27 3 9 4) Mét sè ph¬ng ph¸p kh¸c ®Ó t×m ®a thøc th¬ng vµ ®a thøc d: 4.1) Ph¬ng ph¸p ®Æt phÐp chia: VÝ dô: X¸c ®Þnh c¸c sè h÷u tû a vµ b ®Ó ®a thøc x3 + ax + b chia hÕt cho ®a thøc x2 + x + 2. Gi¶i 13 Thùc hiÖn phÐp chia x3 + ax + b x2 + x - 2 3 2 x + x - 2x -x2 + (a +2)x + b x-1 -x2 x + 2 (a + 3)x + (b -2) §Ó chia hÕt, ®a thøc d ph¶i ®ång nhÊt b¨ng 0, nªn : a + 3 = 0 a = −3 ⇔ b − 2 = 0 b = 2 vËy víi a = -3; b = 2 th× x3 + ax + b chia hÕt cho x2 + x + 2. 4.2) Ph¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh. - NÕu hai ®a thøc f(x) vµ g(x) b»ng nhau víi mäi gi¸ trÞ cña biÕn sè x th× ngêi ta goi lµ hai ®a thøc h»ng ®¼ng hoÆc hai ®a thøc ®ång nhÊt. KÝ hiÖu f(x) ≡ g(x). - Hai ®a thøc (®· viÕt díi d¹ng thu gän) ®îc gäi lµ ®ång nhÊt (h»ng ®¼ng) khi vµ chØ khi c¸c hÖ sè cña c¸c ®¬n thøc ®ång d¹ng chøa trong hai ®a thøc ®ã lµ b»ng nhau. *) VÝ dô: X¸c ®Þnh c¸c sè h÷u tû a vµ b ®Ó ®a thøc x3 + ax + b chia hÕt cho ®a thøc x2 + x + 2. Gi¶i §a thøc bÞ chia cã bËc lµ ba, ®a thøc chia cã bËc hai, nªn th¬ng lµ mét nhÞ thøc bËc nhÊt, h¹ng tö bËc nhÊt lµ x3 : x2 = x. Gäi th¬ng cña phÐp chia lµ x + c, ta cã: x3 + ax + b = (x2 + x - 2)(x + c) x3 +ax + b = x3 + (c + 1)x2 + (c - 2)x - 2c. Hai ®a thøc trªn ®ång nhÊt nªn : c + 1 = 0 c = −1 c − 2 = a ⇔ a = −3 −2c = b b = 2 VËy víi a = -3, b = 2 th× x3 + ax + b chia hÕt cho x2 + x - 2, th¬ng lµ x - 1. 4.3) Ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng. *) VÝ dô: X¸c ®Þnh c¸c sè h÷u tû a vµ b ®Ó ®a thøc x3 + ax + b chia hÕt cho ®a thøc x2 + x + 2. Gi¶i Gäi th¬ng cña phÐp chia x3 + ax + b cho x2 + x - 2 lµ Q(x), ta cã: x3 + ax + b = (x - 1)(x + 2).Q(x) V× ®¼ng thøc ®óng víi mäi x, nªn lÇn lît cho x = 1, x = -2 ta ®îc : 1 + a + b = 0 a + b = −1 a = −3 ⇔ ⇔ −8 − 2a + b = 0 −2 a + b = 8 b = 2 3 Víi a = -3; b = 2 th× x + ax + b chia hÕt cho x2 + x - 2 vµ th¬ng lµ x - 1. 4.4) Ph¬ng ph¸p vËn dông vµo ®Þnh lý B¬du a) §Þnh lý: Sè d trong phÐp chia ®a thøc f(x) cho nhÞ thøc x - a b»ng gi¸ trÞ cña ®a thøc f(x) t¹i x = a.(NghÜa lµ r = f(a)). b) Chó ý: §a thøc f(x) chia hÕt cho x - a khi vµ chØ khi f(a) = 0 C¸c bµi tËp ¸p dông cho c¸c ph¬ng ph¸p trªn. Bµi 1. X¸c ®Þnh a vµ b ®Ó ®a thøc x4 - 6x3 + ax2 + bx + 1 lµ b×nh ph¬ng cña mét ®a thøc. HD: sö dông ph¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh, ta cã ha ®¸p sè. x4 - 6x3 + 7x2 + 6x + 1 = (x2 - 3x - 1)2 x4 - 6x3 + 11x2 - 6x + 1 = (x2 - 3x +1)2 Bµi 2. X¸c ®Þnh a vµ b ®Ó ®a thøc x4 - 3x3 + 2x2 - ax + b chia hÕt cho ®a thøc x2 - x - 2. HD: sö dông ph¬ng ph¸p gi¸ trÞ riªng, ta ®îc kÕt qu¶ a = 2; b = - 4. Bµi 3. X¸c ®Þnh c¸c hÖ sè a vµ b sao cho: a) x4 + ax2 + b chia hÕt cho x2 + x + 1; b) 2x3 + ax + b chia cho x + 1 d -6, chia cho x - 1 d 21. HD: ta cã kÕt qu¶ a) a = 1; b = 1; 14 b) a = 3; b = -1. Bµi 4. T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó: a) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc x3 + 3x2 + 3x - 2 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc x + 1; b) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2x2 + x - 7 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc x - 2. HD a) Thùc hiÖn phÐp chia (x3 + 3x2 + 3x - 2) : (x + 1) = x2 + 2x + 1 d lµ -3 Suy ra -3 M (x + 1) ⇒ x ∈ {0; -2; 2; -4}. b) x ∈ {3; 1; 5; -1}. Bµi 5. Cho ®a thøc A(x) = a2x3 + 3ax2 - 6x - 2a (a thuéc Q). X¸c ®Þnh a sao cho A(x) chia hÕt cho x + 1. HD *) C¸ch 1. (§Æt phÐp chia ®a thøc). A(x) = a2x3 + 3ax2 - 6x - 2a chia cho ®a thøc (x + 1) ®îc th¬ng lµ 2 2 a x + (3a - a2)x + (a2 - 3a - 6) vµ ®a thøc d lµ -a2 + a + 6 - §Ó ®a thøc A(x) chia hÕt cho ®a thøc x + 1 th× ®a thøc d ph¶i b»ng 0, tøc lµ -a2 + a + 6 = 0, gi¶i ph¬ng tr×nh ta ®îc a = -2; a = 3. *) C¸ch 2. (Dïng ph¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh). +) T×m h¹ng tö bËc cao nhÊt a2x3 : x = a2x2, h¹ng tö bËc thÊp nhÊt -2a : 1 = -2a +) BiÓu diÔn A(x) = (a2x2 + bx - 2a)(x + 1), sau ®ã dïng ph¬ng ph¸p ®ång nhÊt ®Ó t×m ra a = -2; a = 3 vµ kÕt luËn. *) C¸ch 3. (Dïng ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng). Bµi 6. X¸c ®Þnh h»ng sè a sao cho: a) 10x2 - 7x + a chia hÕt cho2x - 3; b) 2x2 + ax + 1 chia cho x - 3 d 4; c) ax5 + 5x4 - 9 chia hÕt cho x - 1. Bµi 7. X¸c ®Þnh c¸c h»ng sè a vµ b sao cho: a) x4 + ax2 + b chia hÕt cho x2 - x + 1; b) ax3 + bx2 + 5x - 50 chia hÕt cho x2 + 3x - 10; c) ax4 + bx3 + 1 chia hÕt cho ®a thøc(x - 1)2; d) x4 + 4 chia hÕt cho x2 + ax + b. Bµi 8. T×m c¸c h»ng sè a vµ b sao cho x3 + ax + b chia cho x + 1 th× d 7, chia cho x - 3 th× d - 5. Chuyªn ®Ò ph©n thøc ®¹i sè I) Ph©n thøc ®¹i sè: 1) KiÕn thøc c¬ b¶n: A a) §Þnh nghÜa: Mét ph©n thøc ®¹i sè (hay nãi gän lµ ph©n thøc) lµ mét biÓu thøc cã d¹ng , B trong ®ã A, B lµ nh÷ng ®a thøc, B lµ ®a thøc kh¸c ®a thøc 0 A lµ tö thøc (tö). B lµ mÉu thøc Mçi mét ®a thøc còng ®îc coi lµ mét ®a thøc cã mÉu lµ 1. b) Hai ph©n tøc b¼ng nhau: A C A C Víi hai ph©n thøc vµ , ta nãi = nÕu A.D = B.C B D B D 2) Bµi tËp: Bµi 1. Dïng ®Þnh nghÜa hai ph©n thøc b»ng nhau chøng minh c¸c ®¼ng thøc sau: x2 ( x + 2) x x 2 y 3 7 x3 y 4 = = a) ; b) ; 2 x+2 5 35 xy x ( x + 2) 3 − x x2 − 6x + 9 ; = 3+ x 9 − x2 5 y 20 xy = e) ; 7 8x x + 2 ( x + 2 ) ( x + 1) g) ; = x −1 x2 −1 c) d) x3 − 4 x − x 2 − 2 x ; = 10 − 5 x 5 3x ( x + 5) 3x = f) ; 2 ( x + 5) 2 h) 15 x 2 − x − 2 x 2 − 3x + 2 ; = x +1 x −1 x3 + 8 = x + 2. x2 − 2 x + 4 Bài 2. Dïng ®Þnh nghÜa hai ph©n thøc b»ng nhau, h·y t×m ®a thøc A trong mçi ®¼ng thøc sau. A 6 x 2 + 3x 4 x 2 − 3x − 7 4 x − 7 a) ; b) ; = = 2 x −1 4 x2 −1 A 2x + 3 4 x2 − 7 x + 3 A x2 − 2x x2 + 2x c) ; d) . = = x2 −1 x2 + 2 x + 1 2 x 2 − 3x − 2 A Bµi 3. B¹n Lan viÕt c¸c ®¼ng thøc sau vµ ®è c¸c b¹n trong nhãm häc tËp t×m ra chç sai. Em h·y söa sai cho ®óng. 5 x + 3 5 x 2 + 13 x + 6 x +1 x2 + 3 a) ; b) ; = = x−2 x2 − 4 x + 3 x2 + 6x + 9 x2 − 2 x + 2 2 x2 − 5x + 3 2 x2 − x − 3 c) 2 ; d) 2 . = = x −1 x +1 x + 3x − 4 x 2 + 5 x + 4 Bµi 5. Ba ph©n thøc sau cã b»ng nhau kh«ng? x2 + x − 2 x + 2 x2 − 4 . ; ; x2 −1 x + 1 x2 − x − 2 Bµi 6. T×m tËp x¸c ®Þnh cña c¸c ph©n thøc sau: 3 x2 + 3 a) ; b) 2 ; 5x + 2 x − 6x + 9 x 2x +1 c) 2 ; d) 2 . x + 3x x − 3x + 2 Bµi 7. t×m c¸c gi¸ trÞ cña biÕn ®Ó c¸c biÓu thøc sau b»ng 0. 3x − 1 x2 − x a) 2 ; b) ; x −5 2x +1 x 2 − 3x + 2 x2 − 2x c) ; d) ; x2 + 1 x2 − 4 x + 4 x 4 + x3 + x + 1 x4 − 5x 2 + 4 e) 4 ; f) . x − x3 + 2 x 2 − x + 1 x 4 − 10 x 2 + 9 Bµi 8. T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña biÕn ®Ó c¸c ph©n thøc sau nhËn gi¸ trÞ nguyªn: 2 ( x + 1) 3 6 a) 2 ; b) ; c) 3 ; x + x +1 x −3 x +1 II) TÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n thøc ®¹i sè: 1) KiÕn thøc c¬ b¶n: a) TÝnh chÊt: A A.M - TÝnh chÊt 1: = (M lµ ®a thøc kh¸c ®a thøc 0). B B.M A A:M - TÝnh chÊt 2: = (M lµ nh©n tö chung kh¸c 0). B B:M A −A b) Quy t¾c ®æi dÊu: = . B −B 2) Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1. Dïng tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n thøc, h·y ®iÒn mét ®a thøc thÝch hîp vµo chç trèng trong c¸c ®¼ng thøc sau: x − x2 x x 2 + 8 3 x3 + 24 x a) 2 b) ; = ; = 5 x − 5 ... 2x −1 ... ... 3 x 2 − 3xy − x 2 + 2 xy − y 2 ... = = 2 c) ; d) ; x − y 3( y − x) 2 x+ y y − x2 i) 16 5x + 5 y 5x2 − 5 y 2 x3 + x 2 ... = e) ; f) . = ... 2 y − 2x x2 −1 x −1 Bµi 2. BiÕn ®æi mçi ph©n thøc sau thµnh mét ph©n thøc b»ng nã vµ cã tö thøc lµ ®a thøc A cho tríc. 8x2 − 8x + 2 4x + 3 2 , A = 1− 2x ; , A= 12x +9x ; a) 2 b) ( 4 x − 2 ) ( 15 x − 1) x −5 Bµi 3. Dïng tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n thøc ®Ó biÕn ®æi mçi cÆp ph©n thøc sau thµnh mét cÆp ph©n thøc b»ng nã vµ cã cïng tö thøc. 3 x −1 x+5 x 2 − 25 a) vµ ; b) vµ ; x+2 5x 4x 2x + 3 Bµi 4. Dïng tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n thøc hoÆc quy t¾c ®æi dÊu ®Ó biÕn ®æi mçi cÆp ph©n thøc sau thµnh mét cÆp ph©n thøc b»ng nã vµ cã cïng mÉu thøc: 3x 7x + 2 4x 3x a) vµ ; b) vµ ; x −5 5− x x +1 x −1 2x x+3 2 x−4 c) 2 vµ ; d) vµ ( x + 1) ( x − 3) ( x + 1) ( x − 2 ) ; x + 8 x + 16 2x + 8 Bµi 5. C¸c ph©n thøc sau cã b»ng nhau kh«ng? x3 y3 x2 x2 x2 a) vµ ; b) vµ ; xy 3 y x + y2 x2 + y 2 1− x x −1 −3( x − 1) 3( x − 1) c) vµ ; d) vµ ; 2 ( x − 1)(3 − x ) ( x − 1)( x − 3) (1 − x) ( x − 1) 2 Bµi 6. H·y viÕt c¸c ph©n thøc sau díi d¹ng mét ph©n thøc cã mÉu thøc lµ 1 - x3; x x +1 x2 a) 3 ; b) ; c) 2 . x −1 x + x +1 x −1 Bµi 7. ¸p dông quy t¾c ®æi dÊu ®Ó viÕt c¸c ph¬ng tr×nh b»ng c¸c ph©n thøc sau: − xy 2 1 − x2 a) ; b) ; 2x − x x −1 y 2 − x2 −2 x + 1 c) ; d) . x− y −x − 2 Bµi 8. ViÕt c¸c ph©n thøc sau díi d¹ng nh÷ng ph©n thøc cã cïng mÉu thøc: x x y a) x 2 vµ ; b) vµ ; 2y x +1 x 2x + y x x +1 1− x c) 3 ; d) 5 4 vµ 4 5 . 3 vµ x −y x− y x y x y Bµi 9. ViÕt c¸c ph©n thøc sau díi d¹ng nh÷ng ph©n thøc cã cïng tö thøc: x 1 x−2 y a) vµ ; b) vµ ; y x x+3 x 2 2 3 2 x −y x+ y x y x2 y3 c) vµ ; d) vµ ; 2 x 2 − xy x x− y x+ y III) Rót gän ph©n thøc 1) Ph¬ng ph¸p: - Ph©n tÝch c¶ tö vµ mÉu thµnh nh©n tö (nÕu cÇn) ®Ó t×m nh©n tö chung. - Chia c¶ tö vµ mÉu cho nh©n tö chung ®ã. 2) Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1. Rót gän c¸c ph©n thøc sau: 14 xy 5 (2 x − 3 y ) 8 xy (3 x − 1)3 a) ; b) ; 21x 2 y (2 x − 3 y ) 2 12 x3 (1 − 3x ) 17 20 x 2 − 45 5 x 2 − 10 xy c) ; d) ; (2 x + 3) 2 2(2 y − x)3 80 x 3 − 125 x 9 − ( x + 5) 2 e) ; f) 2 ; 3( x − 3) − ( x − 3)(8 − 4 x) x + 4x + 4 32 x − 8 x 2 + 2 x 3 5 x3 + 5 x g) ; h) ; x 3 + 64 x4 −1 10 xy 2 ( x + y ) x 2 + 5x + 6 i) 2 . J) ; 15 xy ( x + y )3 x + 4x + 4 x 2 − xy − x + y 3 x 2 − 12 x + 12 k) 2 ; l) ; x + xy − x − y x4 − 8x 7 x 2 + 14 x + 7 2a 2 − 2ab n) ; m) ; 3x 2 + 3x ac + ad − bc − bd 2x − 2 y x 2 − xy o) 2 ¬) 2 ; 2 ; x − 2 xy + y 2 y −x 2 − 2a x2 − 6x + 9 p) 3 ; q) 2 ; a −1 x − 8 x + 15 x 4 − 2 x3 x7 − x4 v) ; u) ; 2 x 4 − x3 x6 − 1 24,5 x 2 − 0,5 y 2 ( x + 2) 2 − ( x − 2) 2 ) ; x) ; 3,5 x 2 − 0,5 xy 16 x (a − b)(c − d ) a 3 − 3a 2 + 2a − 6 y) ; z) 2 . 2 (b − a 2 )(d 2 − c 2 ) a +2 Bµi 2. Chøng minh c¸c ®¼ng thøc sau: x 2 y + 2 xy 2 + y 3 xy + y 2 x 2 + 3 xy + 2 y 2 1 = = a) ; b) 3 . 2 2 2 2 3 2 x + xy − y 2x − y x + 2 x y − xy − 2 y x− y Bµi 3. §æi dÊu ë tö hoÆc ë mÉu råi rót gän ph©n thøc: 45 x(3 − x) y 2 − x2 a) ; b) 3 . 15 x( x − 3)3 x − 3 x 2 y + 3 xy 2 − y 3 Bµi 4. TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau: 1 ax 4 − a 4 x x3 + x 2 − 6 x a) 2 víi a = 3, x = ; b) víi x = 98 3 a + ax + x 2 x3 − 4 x 1 1 x3 + 3x x 4 − 2 x3 − c) 3 víi x = ; d) víi x = − ; 5 2 3 2 2 3x + x 2x − x 2 7 1 1 10ab − 5a a +1 e) víi a = , b = ; f) 15 víi a = 0,1; 2 6 7 16b − 8ab a + a8 2x − 4 y x2 − 9 y2 g) víi x + 2y = 5; h) víi 3x - 9y = 1. 0, 2 x 2 − 0,8 y 2 1,5 x + 4,5 y a −b Bµi 5. Cho 3a2 + 3b2 = 10ab vµ b > a > 0. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P = . a+b Bµi 6. Chøng minh c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo biÕn x. 2ax − 2 x − 3 y + 3ay x2 − y 2 a) ; b) ; 4ax + 6 x + 6 y + 6ay ( x + y )(ay − ax) Bµi tËp n©ng cao. Bµi 7. Rót gän c¸c biÓu thøc. 18 m4 − m ab 2 + a 3 − a 2b ; b) ; 2m 2 + 2m + 2 a 3b + b 4 xy + 1 − x − y ax + ay − bx − by c) ; d) ; y + z − 1 − yz ax − ay − bx + by a 2 + b 2 − c 2 + 2ab a 2 − b2 e) 2 2 2 ; f) 2 ; a − b + c + 2ac a − a − b − b2 a 3 (b 2 − c 2 ) + b3 (c 2 − a 2 ) + c 3 (a 2 − b 2 ) a3 + 1 g) ; h) ; a 2 (b − c) + b 2 (c − a ) + c 2 ( a − b) 2a 2 + 4a + 2 x 2 − ( a + b) x + ab x 2 + a 2 − b 2 − 2bc + 2ax − c 2 i) 2 ; j) 2 ; x − (a − b) x − ab x + b 2 − a 2 + 2bx − 2ac − c 2 x x−2 3x3 − 2 x 2 + 4 x − 5 k) ; l) 2 . 2 6 x + 3x − 9 x − 5x + 6 a 2 x − b2 x 1 − (2a + 3b) 2 n) x ; m) ; a + bx 2a + 3b + 1 33 x − 33 y 24 m − 24 n o) x ; ¬) ; 3 + 3y 22 n + 22 m a 2 (b − c ) + b 2 (c − a) + c 2 (a − b) 2 x 3 − 7 x 2 − 12 x + 45 p) ; q) ; ab 2 − ac 2 − b3 + bc 2 3 x3 − 19 x 2 + 33x − 9 x 3 − y 3 + z 3 + 3 xyz x 3 + y 3 + z 3 − 3 xyz u) ; ) . ( x + y ) 2 + ( y + z ) 2 + ( z − x) 2 ( x − y ) 2 + ( y − z ) 2 + ( z − x) 2 Bµi 8. T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó c¸c ph©n thøc sau b»ng 0. x 4 + x3 + x + 1 x4 − 5x 2 + 4 a) 4 ; b) . x − x3 + 2 x 2 − x + 1 x 4 − 10 x 2 + 9 Bµi 9. ViÕt gän biÓu thøc sau díi d¹ng mét ph©n thøc. A = (x2 - x + 1)(x4 - x2 + 1)(x8 - x4 + 1)(x16 - x8 + 1)(x32 - x16 + 1). HD: Nh©n biÓu thøc A víi x2 + x + 1, tõ ®ã xuÊt hiÖn nh÷ng biÓu thøc liªn hîp nhau x2 + y 2 + z 2 Bµi 10. Rót gän biÕt r»ng x + y + z = 0. ( y − z ) 2 + ( z − x) 2 + ( x − y ) 2 3x − 2 y Bµi 11. TÝnh gi¸ trÞ cña ph©n thøc A = , biÕt r»ng 9x2 + 4y2 = 20xy, vµ 2y < 3x 0,3x + 2 y < 0 ⇒ A < 0 . vËy A = − . 2 4 4 4 4 (1 + 4)(5 + 4)(9 + 4)...(21 + 4) Bµi 12. Rót gän biÓu thøc: P = 4 . (3 + 4)(7 4 + 4)(114 + 4)...(234 + 4) HD XÐt n4 + 4 = (n2 + 2)2 - 4n2 = (n2 +2n + 2)(n2 - 2n + 2) = [n(n - 2) + 2][n(n + 2) + 2] (−1.1 + 2)(1.3 + 2) (3.5 + 2)(5.7 + 2) (19.21 + 2)(21.23 + 2) −1.1 + 2 1 × ×.... × = = Do ®ã P = (1.3 + 2)(3.5 + 2) (5.7 + 2)(7.9 + 2) (21.23 + 2)(23.25 + 2) 23.25 + 2 577 1 Bµi 13. Cho ph©n sè A = (mÉu cã 99 ch÷ sè 0). TÝnh gi¸ trÞ cña A víi 200 ch÷ sè thËp ph©n. 1, 00...01 HD 10100 Ta cã A = 100 . Nh©n tö vµ mÉu víi 10100 - 1, ta ®îc: 10 + 1 a) 19 100 } 100 } 10 (10 − 1) 99...9 00...0 A= = = 0,99...9 { 00...0 { 10200 − 1 99...9 100 100 { 100 100 200 (Theo quy t¾c ®æi sè thËp ph©n tuÇn hoµn ®¬n ra ph©n sè). (a 2 + b 2 + c 2 )(a + b + c ) 2 + (ab + bc + ca ) 2 Bµi 14. Cho ph©n thøc: M = (a + b + c) 2 − (ab + bc + ca) a) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a, b, c ®Ó ph©n thøc cã nghÜa. b) Rót gän biÓu thøc M. HD: a) §iÒu kiÖn ®Ó ph©n thøc M cã nghÜa lµ mÉu thøc k¸c 0. XÐt (a + b + c)2 - (ab + bc + ca) = 0 ⇔ a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca = 0. ⇔ 2a2 + 2b2 + 2c2 +2ab + 2bc + 2ca = 0 ⇔ (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 = 0 ⇔ a+b=b+c=c+a ⇔ a = b = c. vËy ®iÒu kiÖn ®Ó ph©n thøc M cã nghÜa lµ a, b, c kh«ng ®ång thêi b»ng 0, tøc lµ a2 + b2 c2 ≠ 0. b) Do (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca, do ®ã dÆt a2 + b2 + c2 = x; ab + bc + ca = y. Khi ®ã (a + b + c)2 = x + 2y. x( x + 2 y ) + y 2 x 2 + 2 xy + y 2 ( x + y ) 2 = = = x + y = a 2 + b 2 + c 2 + ab + bc + ca Ta cã M = x + 2y − y x+ y x+ y (§iÒu kiÖn lµ a2 + b2 c2 ≠ 0) IV) Quy ®ång mÉu thøc. 1) T×m mÉu thøc chung cña nhiÒu ph©n thøc: - Ph©n tÝch c¸c mÉu thµnh nh© tö (nÕu cÇn). - LËp tÝch c¸c nh©n tö b»ng sè vµ ch÷: +) Nh©n tö b»ng sè lµ BCNN cña c¸c sè ë mÉu. +) Nh©n tö b»ng ch÷ lµ luü thõa víi sè mò lín nhÊt. 2) Bµi tËp ¸p dông C¸c bµi tËp c¬ b¶n vµ n©ng cao. Bµi 1. Quy ®ång mÉu thøc c¸c ph©n thøc sau: 25 14 11 3 , , a) b) ; 2 5 ; 4 14 x y 21xy 102 x y 34 xy 3 3x + 1 y − 2 1 x +1 x −1 , 2 3; , 2 4, c) d) ; 4 3 2 12 xy 9 x y 6 x y 9 x y 4 xy 3 3 + 2x 5 2 4x − 4 x−3 , 2 2, , ; e) f) 4 5 ; 10 x y 8 x y 3 xy 2 x( x + 3) 3 x( x + 1) 2x x−2 5 3 , , g) h) 3 . 3 2 ; ( x + 2) 2 x( x + 2) 3 x − 12 x (2 x + 4)( x + 3) Bµi 2. Quy ®«ng mÉu thøc c¸c ph©n thøc sau. 7 x − 1 5 − 3x x +1 x+2 , 2 , a) ; b) ; 2 2 2x + 6x x − 9 x − x 2 − 4x + 2x2 7 4 x− y 4 x 2 − 3x + 5 2x 6 , , 2 c) ; d) ; , 2 , 3 5x x − 2 y 8 y − 2x2 x −1 x + x +1 x −1 x x +1 x −1 5x2 4x 3 , , e) 3 ; f) ; , , 3 2 2 x −1 x − x x + x + 1 x + 6 x 2 + 12 x + 8 x 2 + 4 x + 4 2 x + 4 a−x a+x a−d a+d , 2 , 2 g) h) 2 ; 2 2 2 ; 6 x − ax − 2a 3 x + 4ax − 4a a + ab + ad + bd a + ab − ad − bd x y z , 2 , 2 i) 2 ; 2 2 2 2 x − 2 xy + y − z x − y + 2 yz − z x − 2 xz − y 2 + z 2 20 1 3 2 x x2 − y 2 , , , ,x+ y ; j) 3 ; k) x + 1 2 x + 2 x2 − x + 1 x − y x 2 − 2 xy + y 2 x2 2x +1 x +1 l) . , 2 , 2 2 6 x − 7 x − 3 2 x − 7 x + 6 3x − 5x − 2 Bµi 3. Quy ®ång mÉu thøc c¸c ph©n thøc: a+ x b+ x b−a 2x +1 x + 2a , 2 2, , 2 a) b) 2 ; 3 2 ; 2 axb a xb axb x − 4ax + 4a x − 2ax a+x a−x a+b a −c , 2 , 2 c) d) 2 ; 2 2 2 ; 6 x − ax − 2a 3 x + 4ax − 4a a − bc + ac − ab a − bc + ac − b 2 x x+2 x −1 x+2 x 2x +1 , 2 , 2 , , e) 3 ; f) 2 . 2 x − 27 x − 6 x + 9 x + 3x + 9 x − 3x + 2 −2 x + 5 x − 3 −2 x 2 + 7 x − 6 Bµi 4. Quy ®ång mÉu thøc c¸c ph©n thøc (cã thÓ ®æi dÊu ®Ó t×m MTC cho thuËn tiÖn). x −1 x +1 1 2x −1 a−x 2x2 −1 , , a) ; b) ; , , 2 x + 2 2x − 2 1 − x2 x + a − x 2 + ax − a 2 x 3 + a 3 24 4x 18 x +1 x 2x −1 , , 2 , 4 , 7 c) ; d) ; 3 2 2 4 2 4x − x x − 2x 2x + x 2 x − x x + 2 x + 4 x − 8x 2x y 4 xy , , 2 e) 2 . 2 2 2 x − 3xy + 2 y −3 x + 4 xy − y 3x − 7 xy + 2 y 2 Bµi 5. Rót gän råi quy ®ång mÉu thøc c¸c ph©n thøc sau. x2 − 5x + 6 2 x2 − 7 x + 5 x3 − 2 x 2 − x + 2 x3 − 5 x + 4 a) ; b) ; , , x2 − 4 − x2 + 4x − 3 x3 + x 2 − 4 x − 4 x3 + 2 x 2 − 3x − 4 x 3 − 2 x 2 + 5 x + 26 x3 + 4 x 2 + 10 x + 12 c) 3 ; , x − 5 x 2 + 17 x − 13 x 3 − x 2 + 2 x + 16 x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy + 2 yz + 2 zx x 3 + y 3 + z 3 − 3xyz , d) . x 2 − y 2 − z 2 − 2 yz ( x − y )2 + ( y − z )2 + ( z − x) 2 x x+2 , 2 Bµi 6. Cho biÓu thøc B = 2x3 + 3x2 - 29x + 30 vµ hai ph©n thøc 2 2 x + 7 x − 15 x + 3 x − 10 a) Chia ®a thøc B lÇn lît cho c¸c mÉu cña hai ph©n thøc ®· cho. b) Quy ®ång mÉu thøc cña hai ph©n thøc ®· cho. 1 2 , 2 Bµi 7. Cho hai ph©n thøc: 2 . Chøng tá r»ng cã thÓ chän ®a thøc x − 4x − 5 x − 2x − 3 x3 - 7x2 + 7x + 15 lµm mÉu thøc cung ®Ó quy ®ång mÉu thøc hai ph©n thøc ®· cho. H·y quy ®ång mÉu thøc. V) PhÐp céng c¸c ph©n thøc ®ai sè. 1) Céng hai ph©n thøc cïng mÉu: Céng tö víi tö vµ gi÷ nguyªn mÉu 2) Céng hai ph©n thøc cã mÉu thøc kh¸c nhau: - Quy ®ång mÉu thøc c¸c ph©n thøc. - Céng hai ph©n thøc cïng mÉu (sau khi ®· quy ®ång). 3) Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1. Céng c¸c ph©n thøc cïng mÉu thøc: 1− 2x 3 + 2 y 2x − 4 x2 − 2 2− x + + + a) ; b) ; 3 3 3 2 6x y 6x y 6x y x( x − 1) x( x − 1) 2 3x + 1 x2 − 6 x x 2 + 38 x + 4 3 x 2 − 4 x − 2 c) 2 ; d) . + 2 + x − 3x + 1 x − 3 x + 1 2 x 2 + 17 x + 1 2 x 2 + 17 x + 1 Bµi 2. Céng c¸c ph©n thøc kh¸c mÉu thøc: 5 7 11 4x + 2 5 y − 3 x +1 + + + + a) ; b) ; 2 2 6 x y 12 xy 18 xy 15 x 3 y 9 x 2 y 5 xy 3 3 3x − 3 3x − 2 x3 + 2 x 2x 1 + + c) ; d) ; + 2 + 2 3 2x 2x −1 2x − 4x x +1 x − x +1 x +1 21 y 4x 1 3 x − 14 + 2 + 2 + 2 ; f) ; 2 x − xy y − 2 xy x + 2 x − 4 ( x + 4 x + 4)( x − 2) 1 1 1 1 1 + + + g) ; h) ; x + 2 ( x + 2)(4 x + 7) x + 3 ( x + 3)( x + 2) ( x + 2)(4 x + 7) Bµi 3. Dïng quy t¾c ®æi dÊu ®Ó t×m mÉu thøc chung råi thùc hiÖn phÐp céng. 4 2 5x − 6 1 − 3x 3x − 2 3x − 2 + + + + a) b) ; 2 ; x+2 x−2 4− x 2x 2x −1 2x − 4x2 1 1 x x2 + 2 2 1 + + c) 2 ; d) ; + 2 + 2 2 3 x + 6x + 9 6x − x − 9 x − 9 x −1 x + x + 1 1− x x x 4 xy + + 2 e) . x − 2 y x + 2 y 4 y − x2 Bµi 4. Céng c¸c ph©n thøc: 1 1 1 + + a) ; ( x − y )( y − z ) ( y − z )( z − x) ( z − x)( x − y ) 4 3 3 + + b) ; ( y − x )( z − x) ( y − x)( y − z ) ( y − z )( x − z ) 1 1 1 + + c) ; x( x − y )( x − z ) y ( y − x )( y − z ) z ( z − x)( z − y ) 4 3 3 + + d) ; (a − x)(c − x) (a − x)(a − c) (a − c)( x − c ) 1 1 1 + + e) . a (a − b)(a − c ) b(b − a )(b − c) c(c − a )(c − b) Bµi 5. Lµm tÝnh céng c¸c ph©n thøc. 11x + 13 15 x + 17 2x +1 32 x 2 1− 2x + a) ; b) ; + + 2 2 2 3x − 3 4 − 4x 2x − x 1− 4x 2x + x 1 1 2x x4 + + c) 2 d) + x3 + x 2 + x + 1 ; 2 3 ; x + x +1 x − x 1− x 1− x 5 3 x x +1 2x + 3 + + 3; + e) f) ; 2 2 2 x y 5 xy y 2 x + 6 x ( x + 3) 3x + 5 25 − x x4 + 1 + g) 2 ; h) x 2 + +1; x − 5 x 25 − 5 x 1 − x2 4 x 2 − 3 x + 17 2x −1 6 i) ; + 2 + 3 x −1 x + x +1 1− x Bµi 6. Cho hai biÓu thøc: 1 1 x −5 3 + A= + , B= x x + 5 x( x + 5) x+5 Chøng tá r»ng A = B. Bµi 7. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : 2x 1 1 + 2 + 2 a) A = víi x = 10; 3 1− x x − x x + x +1 x4 b) B = + x 3 + x 2 + x + 2 víi x = -99 1− x C¸c bµi tËp n©ng cao a b x2 + 5 + Bµi 8. T×m c¸c sè a vµ b sao cho ph©n thøc 3 viÕt ®îc thµnh x − 2 ( x + 1) 2 x − 3x − 2 HD: Dïng mét trong hai ph¬ng ph¸p (hÖ sè bÊt ®Þnh hoÆc xÐt gi¸ trÞ riªng) ®Ó t×m a vµ b sau khi quy ®ång. Bµi 9. Chøng minh c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo x e) 2 22 x− y y−z z−x y z x + + + + ; b) . xy yz zx ( x − y )( y − z ) ( y − z )( z − x) ( z − x)( x − y ) Bµi 10. Céng c¸c ph©n thøc : 1 1 1 + + . 2 2 2 2 2 (b − c)(a + ac − b − bc) (c − a )(b + ab − c − ac) (a − b)(c + bc − a 2 − ab) (§Ò thi häc sinh giái líp 8 toµn quèc 1980) Bµi 11. Rót gän biÓu thøc : 1 1 2 4 8 + + + + A= . 2 4 1 − x 1 + x 1 + x 1 + x 1 + x8 Bµi 12. T×m c¸c sè A, B, C ®Ó cã : x2 − x + 2 A B C = + + . 3 3 2 ( x − 1) ( x − a ) ( x − 1) x −1 Bµi 13. Chøng minh h»ng ®¼ng thøc : a 2 + 3ab 2a 2 − 5ab − 3b 2 a 2 + an + ab + bn . + = a 2 − 9b 2 6ab − a 2 − 9b 2 3bn − a 2 − an + 3ab VI) PhÐp trõ c¸c ph©n thøc ®¹i sè. 1) Ph©n thøc ®èi: - Hai ph©n thøc ®îc gäi lµ ®èi nhau nÕu tæng cña chóng b»ng 0. A −A −A A = . - C«ng thøc: − = vµ − B B B B 2) PhÐp trõ: A C A C - Quy t¾c: Muèn trõ ph©n thøc cho ph©n thøc , ta céng víi ph©n thøc ®èi cña B D B D A C A −C − = + - C«ng thøc: B D B D 3) Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1. Lµm tÝnh trõ c¸c ph©n thøc: 3x − 2 7 x − 4 3 x + 5 5 − 15 x − a) ; b) 3 − ; 2 xy 2 xy 4x y 4 x3 y 9x + 5 5x − 7 4 x + 7 3x + 6 − − c) ; d) ; 2 2( x − 1)( x + 3) 2( x − 1)( x + 3) 2 2x + 2 2x + 2 xy x2 5x + y 2 5 y − x2 − − e) 2 ; f) ; x − y2 y2 − x2 x2 y xy 2 x x x+9 3 − − 2 g) ; h) 2 ; 5 x + 5 10 x − 10 x − 9 x + 3x 3 x−6 x 4 − 3x 2 + 2 − 2 i) ; j) x 2 + 1 − ; 2x + 6 2x + 6x x2 −1 3x + 1 1 x+3 x + 1 1 − x 2 x(1 − x) − + − − k) ; l) ; 2 2 ( x − 1) x + 1 1 − x2 x −3 x +3 9− x 3x + 2 6 3x − 2 5 4 − 3x 2 − 2 − 2 n) m) 2 . − −3; 2 2 x − 2x +1 x −1 x + 2x +1 2x + 6x x − 9 Bµi 2. Theo ®Þnh nghÜa cña phÐp trõ, khi viÕt A C E A −C − E − − = + + . B D F B D F ¸p dông ®iÒu nµy ®Ó lµm c¸c phÐp tÝnh sau: 18 3 x 1 1 3x − 6 − 2 − 2 − − a) b) . 2 2 ; ( x − 3)( x − 9) x − 6 x + 9 x − 9 3 x − 2 3x + 2 4 − 9 x Bµi 3. rót gän c¸c biÓu thøc : a) 23 3x 2 + 5x + 1 1− x 3 1 x2 + 2 ; b) ; − − + 1 − x3 − 1 x2 + x + 1 x −1 x2 − x + 1 x3 + 1 7 x 36 + 2 c) − . x x + 6 x + 6x Bµi 4. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 1 2 3 + − a) ; ( x − 1)( x − 2) ( x − 2)( x − 3) ( x − 3)( x − 1) 1 1 1 + − b) A = . a (a − b)(a − c) b(b − a)(b − c) (a − c)(c − b) Bµi 5. TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc: 1 x2 + 2 a) A = 2 víi x = 99; +1− 3 x − x +1 x +1 2x +1 1− 2x 2 1 + − b) B = . 2 víi x = 4x − 2 4x + 2 1 − 4x 4 C¸c bµi to¸n n©ng cao Bµi 6. Rót gän c¸c biÓu thøc : a a a 1 + + + a) A = ; x( x + a ) ( x + a)( x + 2a) ( x + 2a )( x + 3a ) x + 3a 1 1 1 1 + + + ... + b) B = ; 2.5 5.8 8.11 (3n + 2)(3n + 5) 3 3 3 3 + + + ... + HD: Thùc hiÖn nh©n hai vÕ víi 3 ta ®îc 3.B = 2.5 5.8 8.11 (3n + 2)(3n + 5) 3 1 1 = − Tõ ®ã ta cã (3n + 2)(3n + 5) 3n + 2 3n + 5 3 1 1 = − XÐt tõng sè h¹ng cô thÓ : 2.5 2 5 3 1 1 = − 5.8 5 8 ….. 3 1 1 = − (3n + 2)(3n + 5) 3n + 2 3n + 5 3 3 3 3 1 1 3n + 5 − 2 3(n + 1) + + + ... + = = = − 2.5 5.8 8.11 (3n + 2)(3n + 5) 2 3n + 5 2(3n + 5) 2(3n + 5) 3(n + 1) n +1 ⇔B= Hay 3.B = 2(3n + 5) 2(3n + 5) 1 1 1 1 + + + ... + c) C = . 1.2 2.3 3.4 n(n + 1) HD : Thùc hiÖn nh phÇn trªn Bµi 7. Chøng minh c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo c¸c biÕn x, y, z. x+z x+ y y+z − − . ( x − y )( y − z ) ( x − z )( y − z ) ( x − y )( x − z ) Bµi 8. Thùc hiÖn phÐp tÝnh : 1 1 1 + + a) A = ; (a − b)(a − c ) (b − a )(b − c) (c − a)(c − b) 1 1 1 + + b) B = ; a (a − b)(a − c) b(b − a)(b − c) c(c − a )(c − b) a) 24 bc ac ab + + ; (a − b)(a − c) (b − a )(b − c ) (c − a )(c − b) a2 b2 c2 + + d) D = ; (a − b)( a − c ) (b − a )(b − c) (c − a)(c − b) Bµi 9. X¸c ®Þnh c¸c sè h÷u tû a, b, c sao cho: 1 ax + b c = 2 + a) 2 ; ( x + 1)( x − 1) x + 1 x − 1 1 1 1 §¸p sè: Dïng ph¬ng ph¸p ®ång nhÊt ta ®îc a = − , c = , b = − . 2 2 2 1 a b c 1 1 = + + b) ; (§S : a = ; b = −1; c = ) x( x + 1)( x + 2) x x + 1 x + 2 2 2 1 a b c = + + c) . (§S: a = -1; b = 1; c = 1) 2 2 ( x + 1) ( x + 2) x + 1 ( x + 1) x+2 Bµi 10. Cho abc = 1 (1) 1 1 1 a+b+c = + + (2) a b c Chøng minh trong 3 sè a, b, c tån t¹i mét sè b»ng 1. HD bc + ac + ab Tõ (2) : a + b + c = abc Do abc = 1 nªn a + b + c = ab + bc + ca (3) §Ó chøng minh trong 3 sè a, b, c cã mét sè b»ng 1 ta chóng minh: (a - 1)(b - 1)(c - 1) = 0 XÐt (a - 1)(b - 1)(c - 1) = (ab - a - c + 1)(c - 1) = (abc - ab - ac + a - bc + b + c - 1) = (abc - 1) + (a + b + c) - (ab + bc + ca) Tõ (1) vµ (3) suy ra biÓu thøc trªn b»ng 0, tån t¹i mét trong ba thõa sè a - 1, b - 1, c - 1 b»ng 0, do ®ã tån t¹i mét trong ba sè a, b, c b»ng 1. x 2x − 3y + Bµi 11. Cho 3y - x = 6. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : A = . y−2 x−6 3 y − 6 2 x − ( x + 6) + = 3 +1 = 4 . HD : A = y−2 x−6 x2 y 2 z 2 x2 + y 2 + z 2 Bµi 12. T×m x, y, z biÕt : . + + = 2 3 4 5 HD: 2 x2 x2 y 2 y 2 z 2 z 2 x y 2 z 2 x2 + y 2 + z 2 Tõ suy ra : − ÷+ − ÷+ − ÷ = 0 + + = 5 4 5 2 3 4 5 2 5 3 3 2 1 2 ⇒ x2 + y 2 + z = 0 ⇒ x = y = z = 0. 10 15 20 1 1 2 2 Bµi 13. T×m x, y biÕt: x + y + 2 + 2 = 4 . x y HD c) C = 2 2 1 1 1 1 1 1 Ta cã x 2 + 2 ÷+ y 2 + 2 ÷ = 4 ⇒ x 2 + 2 − 2 ÷+ y 2 + 2 − 2 ÷ = 0 ⇒ x − ÷ + y − ÷ = 0 x y x y x y 1 2 x = x x = 1 ⇒ ⇒ 2 y = 1 y = 1 y Cã bèn ®¸p sè nh sau: 25 x y Bµi 14. Cho biÕt : HD 1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 + + = 2 (1), 2 + 2 + 2 = 2 (2). Chøng minh r»ng a + b + c = abc. a b c a b c 1 1 1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 + + ÷= 4 2 a b c ab ac bc 1 1 1 a+b+c + + =1⇒ = 1 ⇒ a + b + c = abc Do (2) nªn : ab ac bc abc a b c x y z a 2 b2 c2 Bµi 15. Cho + + = 0 (1) , + + = 2 (2). TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: 2 + 2 + 2 . x y z a b c x y z HD Tõ (1) suy ra : bcx + acy + abz = 0 (3) 2 2 2 ab ac bc a b c Tõ (2) suy ra : 2 + 2 + 2 + 2 + + ÷ = 4 x y z xy xz yz Tõ (1) suy ra : Do ®ã : a 2 b2 c 2 abz + acy + bcx + 2 + 2 = 4−2 =4 2 x y z xyz Bµi 16. Cho (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 vµ a, b, c kh¸c 0. CMR: 1 1 1 3 + 3+ 3= . 3 a b c abc HD Tõ gi¶ thiÕt suy ra : ab + bc + ca = 0. ab + bc + ca 1 1 1 =0⇒ + + =0 Do ®ã : abc a b c Sau ®ã chøng minh r»ng nÕu x + y + z = 0 th× x3 + y3 + z3 = 3xyz. a b c b c a Bµi 17. Cho + + = + + . Chøng minh r»ng trong ba sè a, b, c tån t¹i hai sè b»ng nhau. b c a a b c HD Tõ gi¶ thiÕt suy ra : a2c + ab2 + bc2 = b2c + ac2 +a2b ⇒ a 2 (c − b) − a (c 2 − b 2 ) + bc(c − b) = 0 ⇒ (c − b)(a 2 − ac − ab + bc) = 0 ⇒ (c − b)(a − b)(a − c) = 0 Tãm l¹i mét trong c¸c thõa sè c- b, a - b, a - c b»ng 0. Do ®ã trong ba sè a, b, c tån t¹i hai sè b»ng nhau. Bµi 18. T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó ph©n thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn : 5 2 x3 − 6 x 2 + x − 8 ⇒ x ∈ { −2; 2; 4;8} ) a) A = ; (§S : A = 2 x 2 + 1 − x −3 x−3 3 x 4 − 2 x3 − 3x 2 + 8 x − 1 2 ⇒ x ∈ { 0; 2} ) b) B = ; (§S : B = x − 4 + 2 ( x − 1) 2 x − 2x +1 2 x 4 + 3x 3 + 2 x 2 + 6 x − 2 2 C = x + 3 x − ⇒ x ∈ { 0} c) C = . (§S : 2 x +2 x2 + 2 1 1 2 4 8 + + + + Bµi 19. Rót gän biÓu thøc : A = 2 4 1 − x 1 + x 1 + x 1 + x 1 + x8 HD Rót gän b»ng c¸ch quy ®ång tõng ®«i mét : 1 1 2 4 8 2 2 4 8 4 4 8 A= + + + + = + + + = + + 2 4 8 2 2 4 8 4 4 1 − x 1 + x 1 + x 1 + x 1 + x 1 − x 1 + x 1 + x 1 + x 1 − x 1 + x 1 + x8 8 8 16 + = = 8 8 1 − x 1 + x 1 − x16 Chó ý: Khi tr×nh bµy ph¶i viÕt thªm ®iÒu kiÖn ®Ó biÓu thøc cã nghÜa. Bµi 20. Rót gän biÓu thøc : 26 3 5 2n + 1 B = (1.2) 2 + (2.3) 2 + ... + 2 [ n(n + 1)] HD Ta t¸ch tõng ph©n thøc thµnh hiÖu cña ph©n thøc råi dïng ph¬ng ph¸p khö liªn tiÕp, ta ®îc : 2k + 1 (k + 1) 2 − k 2 1 1 = = 2− 2 2 2 2 k (k + 1) k ( k + 1) k (k + 1) 2 1 1 1 1 1 1 1 n( n + 2) = 1− = Do ®ã B = 2 − 2 + 2 − 2 + ... + 2 − 2 2 1 2 2 3 n (n + 1) ( n + 1) ( n + 1) 2 VII) PhÐp nh©n c¸c ph©n thøc ®¹i sè. A C A.C 1) KiÕn thøc c¬ b¶n: × = . B D B.D 2) TÝnh chÊt c¬ b¶n: A C C A - Giao ho¸n: × = × B D D B A C E A C E - KÕt hîp: × ÷× = × × ÷ B D F B D F A C E A C A E - Ph©n phèi ®èi víi phÐp céng: + ÷ = × + × . BD F B D B F 3) Bµi tËp c¬ b¶n: Bµi 1. Lµm tÝnh nh©n ph©n thøc : 24 y 5 21x 10 x 3 121 y 5 × − × a) ; b) ÷; 7 x 2 12 y 3 11 y 2 25 x 18 y 3 15 x 2 4 x + 8 2 x − 20 × × − 3 ÷; c) − d) ; 3 4 ÷ ( x − 10) ( x + 2) 2 25 x 9 y 2 x 2 − 20 x + 50 x 2 − 1 ( x 2 − xy ) 2 x3 + y 3 × × e) ; f) ; 3x + 3 4( x − 5)3 x 2 − y 2 x3 y − x 2 y 2 + xy 3 ( x 2 + 1)( x 4 + 1)( x8 + 1) x 2 − 6 x + 9 x 3 + 27 g) . h) ; × x16 − 1 x 2 − 3x + 9 3x − 9 1 x 2 − ax + bx − ab x 2 + 2ax + a 2 ×( x 3 − 8 y 3 ) ; i) 2 j) 2 ; × 2 5 x + 10 xy + 20 y x + ax − bx − ab x 2 + bx + b 2 a 2 + ax + ba + bx a 2 − ax − bx + ab x 2 + ax − 3a − 3 x x 2 + 4 x − ax − 4a k) 2 ; l) 2 . × 2 × a − ax − ab + bx a + ax − bx − ab x + 3a − ax − 3 x x 2 + 4 x + ax + 4a Bµi 2. Rót gän biÓu thøc (chó ý thay ®æi dÊu ®Ó thÊy ®îc nh©n tö chung). x + 3 8 − 12 x + 6 x 2 − x 3 6 x − 3 25 x 2 + 10 x + 1 a) 2 ; b) ; × × x −4 9 x + 27 5x2 + x 1 − 8 x3 3x 2 − x 1 − x 4 × c) 2 . x − 1 (1 − 3 x)3 Bµi 3. Ph©n tÝch c¸c tö thøc vµ mÉu thøc (nÕu cÇn th× dïng ph¬ng ph¸p thªm bít cïng mét h¹ng tö hoÆc t¸ch mét sè thµnh hai sè h¹ng) råi rót gän biÓu thøc : x +1 4− x x − 2 x2 − 2x − 3 × 2 a) ; b) 2 ; × 2 x − 2x − 8 x + x x + 1 x − 5x + 6 x+2 x 2 − 36 c) . × 2 4 x + 24 x + x − 2 Bµi 4. ¸p dông tÝnh chÊt ph©n phèi cña phÐp nh©n ®èi víi phÐp céng ®Ó rót gän biÓu thøc: x3 2 x + 1954 x3 21 − x a) ; × + × x + 1975 x +1 x + 1975 x + 1 27 19 x + 8 5 x − 9 19 x + 8 4 x − 2 × − × . x − 7 x + 1945 x − 7 x + 1945 x 2 + y 2 ( x − y)2 y 2 ( x − y)2 × − × c) ; x+ y x2 x+ y x2 Bµi 5. Rót gän biÓu thøc : x 4 + 15 x + 7 x 4x3 + 4 x7 + 3x 2 + 2 3x x2 + x + 1 a) ; b) . × × × × 2 x3 + 2 14 x 2 + 1 x 4 + 15 x + 7 x3 − 1 x + 1 x7 + 3x 2 + 2 x y 2 2 + c) ÷( x − y ) ; x+ y x− y Bµi 6. Rót gän råi tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc : x2 y 2 x+ y 1 + − ÷ 2 ÷ víi x = 15, y = 5. 2 x x + xy + y x− y y Bµi 7. Chøng minh r»ng : x 32 + x16 + 1 2 4 2 8 4 16 8 . x − x +1 x − x +1 x − x +1 x − x +1 = 2 x + x +1 b) ( )( )( )( ) 28 [...]... hằng số a và b sao cho: a) x4 + ax2 + b chia hết cho x2 - x + 1; b) ax3 + bx2 + 5x - 50 chia hết cho x2 + 3x - 10; c) ax4 + bx3 + 1 chia hết cho đa thức(x - 1)2; d) x4 + 4 chia hết cho x2 + ax + b Bài 8 Tìm các hằng số a và b sao cho x3 + ax + b chia cho x + 1 thì d 7, chia cho x - 3 thì d - 5 Chuyên đề phân thức đại số I) Phân thức đại số: 1) Kiến thức cơ bản: A a) Định nghĩa: Một phân thức đại số (hay... x + 3a 1 1 1 1 + + + + b) B = ; 2.5 5 .8 8.11 (3n + 2)(3n + 5) 3 3 3 3 + + + + HD: Thực hiện nhân hai vế với 3 ta đợc 3.B = 2.5 5 .8 8.11 (3n + 2)(3n + 5) 3 1 1 = Từ đó ta có (3n + 2)(3n + 5) 3n + 2 3n + 5 3 1 1 = Xét từng số hạng cụ thể : 2.5 2 5 3 1 1 = 5 .8 5 8 3 1 1 = (3n + 2)(3n + 5) 3n + 2 3n + 5 3 3 3 3 1 1 3n + 5 2 3(n + 1) + + + + = = = 2.5 5 .8 8.11 (3n + 2)(3n + 5) 2 3n + 5 2(3n + 5)... a 2 ab) (Đề thi học sinh giỏi lớp 8 toàn quốc 1 980 ) Bài 11 Rút gọn biểu thức : 1 1 2 4 8 + + + + A= 2 4 1 x 1 + x 1 + x 1 + x 1 + x8 Bài 12 Tìm các số A, B, C để có : x2 x + 2 A B C = + + 3 3 2 ( x 1) ( x a ) ( x 1) x 1 Bài 13 Chứng minh hằng đẳng thức : a 2 + 3ab 2a 2 5ab 3b 2 a 2 + an + ab + bn + = a 2 9b 2 6ab a 2 9b 2 3bn a 2 an + 3ab VI) Phép trừ các phân thức đại số 1) Phân thức... 6 x 2 + x 8 x { 2; 2; 4 ;8} ) a) A = ; (ĐS : A = 2 x 2 + 1 x 3 x3 3 x 4 2 x3 3x 2 + 8 x 1 2 x { 0; 2} ) b) B = ; (ĐS : B = x 4 + 2 ( x 1) 2 x 2x +1 2 x 4 + 3x 3 + 2 x 2 + 6 x 2 2 C = x + 3 x x { 0} c) C = (ĐS : 2 x +2 x2 + 2 1 1 2 4 8 + + + + Bài 19 Rút gọn biểu thức : A = 2 4 1 x 1 + x 1 + x 1 + x 1 + x8 HD Rút gọn bằng cách quy đồng từng đôi một : 1 1 2 4 8 2 2 4 8 4 4 8 A= + + +... bậc nhỏ hơn 3x2 - 2x + 5 nên không thể thực hiện tiếp phép chia đợc nữa Do đó phép chia không là phép chia hết và đa thức d là 2x - 1 Bài 4 Không thực hiện phép chia, xét xem phép chia sau đây có là phép chia hết không và tìm đa thức d trong trờng hợp không chia hết 1 a) (8x2 - 6x + 5) : (x - ); b) 6x2 - 3x + 3) : (2x - 1); 2 c) (x4 + x3 + x2 + x - 4) : (x - 1); d) (18x5 + 9x4 - 3x3 + 6x2 + 3x - 1)... 4x + 1; f) 64x4 + y4; 4 g) x + 324; h) x8 + x + 1; 7 5 8 i) x + x + 1; j) x + x4 + 1; k) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6; l) x3 + 3xy + y3 - 1 Bài 8 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp hệ số bất định a) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1; b) 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 c) x4 - 7x3 + 14x2 - 7x + 1; c) x4 - 8x + 63 Bài 9 Phân tích đa thức thành nhân tử: x8 + 98x2 + 1 Bài 10 Phân tích đa thức thành nhân... bằng số và chữ: +) Nhân tử bằng số là BCNN của các số ở mẫu +) Nhân tử bằng chữ là luỹ thừa với số mũ lớn nhất 2) Bài tập áp dụng Các bài tập cơ bản và nâng cao Bài 1 Quy đồng mẫu thức các phân thức sau: 25 14 11 3 , , a) b) ; 2 5 ; 4 14 x y 21xy 102 x y 34 xy 3 3x + 1 y 2 1 x +1 x 1 , 2 3; , 2 4, c) d) ; 4 3 2 12 xy 9 x y 6 x y 9 x y 4 xy 3 3 + 2x 5 2 4x 4 x3 , 2 2, , ; e) f) 4 5 ; 10 x y 8 x y... gọn biểu thức : A = 2 4 1 x 1 + x 1 + x 1 + x 1 + x8 HD Rút gọn bằng cách quy đồng từng đôi một : 1 1 2 4 8 2 2 4 8 4 4 8 A= + + + + = + + + = + + 2 4 8 2 2 4 8 4 4 1 x 1 + x 1 + x 1 + x 1 + x 1 x 1 + x 1 + x 1 + x 1 x 1 + x 1 + x8 8 8 16 + = = 8 8 1 x 1 + x 1 x16 Chú ý: Khi trình bày phải viết thêm điều kiện để biểu thức có nghĩa Bài 20 Rút gọn biểu thức : 26 3 5 2n + 1 B = (1.2) 2 + (2.3) 2... 17 Cho + + = + + Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau b c a a b c HD Từ giả thiết suy ra : a2c + ab2 + bc2 = b2c + ac2 +a2b a 2 (c b) a (c 2 b 2 ) + bc(c b) = 0 (c b)(a 2 ac ab + bc) = 0 (c b)(a b)(a c) = 0 Tóm lại một trong các thừa số c- b, a - b, a - c bằng 0 Do đó trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau Bài 18 Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức... (21.23 + 2)(23.25 + 2) 23.25 + 2 577 1 Bài 13 Cho phân số A = (mẫu có 99 chữ số 0) Tính giá trị của A với 200 chữ số thập phân 1, 00 01 HD 10100 Ta có A = 100 Nhân tử và mẫu với 10100 - 1, ta đợc: 10 + 1 a) 19 100 } 100 } 10 (10 1) 99 9 00 0 A= = = 0,99 9 { 00 0 { 10200 1 99 9 100 100 { 100 100 200 (Theo quy tắc đổi số thập phân tuần hoàn đơn ra phân số) (a 2 + b 2 + c 2 )(a + b + c ) 2 + (ab + bc + ... + số phơng b) Cho dãy số có số hạng đầu 16, số hạng sau số tạo thành cách viết chèn số 15 vào số hạng liền trớc : 16, 1156, 111556, Chứng minh số hạng dãy số phơng Bài 32 Chứng minh ab + số. .. + ax + b Bài Tìm số a b cho x3 + ax + b chia cho x + d 7, chia cho x - d - Chuyên đề phân thức đại số I) Phân thức đại số: 1) Kiến thức bản: A a) Định nghĩa: Một phân thức đại số (hay nói gọn... = 11 2n n 2n Bài 35 Các số sau bình phơng số ? { 00 { 25 ; { { ; a) A = 99 b) B = 99 980 0 01 n n { { ; c) C = 44 488 89 n n1 n { { d) D = 11 122 25 n n+1 n n chuyên đề Phân tích đa thức thành