chuyên đề bất đẳng thức sơ cấp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐẶNG VĂN HIẾU SỬ DỤNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC THÔNG DỤNG ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60 46 40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. PHAN HUY KHẢI Thái Nguyên, năm 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 1 MỤC LỤC Trang Mục lục 1 Lời cảm ơn 2 Lời nói đầu 3 Chương 1 – Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi 4 1.1 – Bất đẳng thức Côsi 4 1.2 – Sử dụng bất đẳng thức Côsi cơ bản 5 1.3 – Sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi 14 1.4 – Thêm bớt hằng số khi sử dụng bất đẳng thức Côsi 23 1.5 – Thêm bớt biến số khi sử dụng bất đẳng thức Côsi 27 1.6 – Nhóm các số hạng khi sử dụng bất đẳng thức Côsi 33 Chương 2 – Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski 42 2.1 – Bất đẳng thức Bunhiacopski 42 2.2 – Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng 55 Chương 3 – Phương pháp sử dụng bất đẳng thức với các dãy đơn điệu 59 3.1 – Bất đẳng thức với các dãy đơn điệu 59 3.2 – Một số ví dụ minh hoạ 60 Chương 4 – Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Trêbưsép 67 4.1 – Bất đẳng thức Trêbưsép 67 4.2 – Một số ví dụ minh hoạ 68 Chương 5 – Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Jensen 81 5.1 – Định nghĩa hàm lồi 81 5.2 – Điều kiện đủ về tính lồi của hàm số 82 5.3 – Bất đẳng thức Jensen 82 5.4 – Một số ví dụ minh hoạ 84 Tài liệu tham khảo 98 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 2 LỜI CẢM ƠN Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Phan Huy Khải, người thầy đã trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn và tạo mọi điều kiện giúp tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo sau Đại học Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên và các thầy giáo, cô giáo đã trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến cha mẹ, người thân, bạn bè và tất cả những người đã giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 3 LỜI NÓI ĐẦU Bất đẳng thức là một trong những chuyên mục có tính hấp dẫn nhất trong giáo trình giảng dạy và học tập bộ môn toán ở nhà trường phổ thông. Nó là một đề tài thường xuyên có mặt trong các đề thi về toán trong các kỳ thi tuyển sinh quốc gia, cũng như trong các kỳ thi Olympic về toán ở mọi cấp. Luận văn này dành để trình bày một nhánh của lý thuyết bất đẳng thức – Các bất đẳng thức thông dụng. Ngoài phần mở đầu và danh mục tài liệu tham khảo luận văn gồm có 5 chương: Chương 1 với tiêu đề “Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi” dành để trình bày về bất đẳng thức Côsi. Bất đẳng thức Côsi là bất đẳng thức quan trọng nhất và có nhiều ứng dụng nhất trong chứng minh bất đẳng thức. Trong chương này chúng tôi dành để trình bày các phương pháp cơ bản nhất để sử dụng có hiệu quả bất đẳng thức Côsi. Chương 2 “Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski” trình bày các ứng dụng của bất đẳng thức Bunhiacopski và bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng. Một trong những phương pháp hay sử dụng và có tính hiệu quả để chứng minh các bất đẳng thức là sử dụng bất đẳng thức với các dãy đơn điệu. Các kết quả này được trình bày trong chương 3. Chương 4 dành để trình bày một lớp bất đẳng thức đơn điệu đặc biệt (đó là bất đẳng thức Trêbưsép). Sau hết trong chương 5 trình bày một áp dụng lý thú các kết quả của giải tích lồi để chứng minh bất đẳng thức – đó là sử dụng tính lồi của hàm số để chứng minh bất đẳng thức. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 4 Chương 1 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI 1.1 BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI. 1.1.1 Định lý. Với n số không âm: 12 ,, , n aaa ( 2 n ³ ) ta có: 12 12 n n n aaa aaa n +++ ³ . Đẳng thức xảy ra 12 n aaa Û=== Chứng minh · Hiển nhiên bất đẳng thức đúng với 2 n = . · Giả sử bất đẳng thức đã đúng cho n số không âm thì bất đẳng thức cũng đúng với 2 n số không âm. Ta có: ( ) 122 2 12122122 1 22 n nn n nnnnn aaa aaaaaaaaa n ++ +++ ³+³, nên bất đẳng thức đúng khi n bằng một luỹ thừa của 2. · Giả sử bất đẳng thức đúng với n số không âm, ta chứng minh bất đẳng thức đúng với 1 n - số không âm. Thật vậy, đặt 121 n Aaaa - =+++ ; 1 n A a n = - . Ta có: ( ) 121 1 121 .1 11 n n n n aaaAA AnAnaaa nn - - - +³Þ³- Kết hợp ba điều trên suy ra bất đẳng thức Côsi đúng với mọi n nguyên dương ( ) 2 n ³ Þ đpcm. 1.1.2 Hệ quả. Với n số dương: 12 ,, , n aaa ( ) 2 n ³ ta luôn có: ( ) 2 12 12 111 n n aaan aaa æö ÷ ç ÷ ++++++³ ç ÷ ç ÷ ç èø Đẳng thức xảy ra 12 n aaa Û=== Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 5 Chng minh Theo bt ng thc Cụsi, ta cú: 1212 0 n nn aaanaaa +++> , (1) 1212 111111 0 n nn n aaaaaa +++> . (2) Nhõn tng v ca (1),(2) suy ra iu phi chng minh. Nhn xột: ã Bt ng thc Cụsi ch ỏp dng c cho cỏc s khụng õm. ã Bt ng thc Cụsi l bt ng thc quan trng nht, quen thuc nht, v cú mt tm ng dng rng rói trong cỏc b mụn ca toỏn hc s cp. c bit l dựng chng minh bt ng thc. S thnh cụng ca vic ỏp dng bt ng thc Cụsi chng minh cỏc bi toỏn v bt ng thc hon ton ph thuc vo s linh hot ca tng ngi s dng v k thut cỏch chn cỏc s 12 ,, , n aaa . Sau õy l mt s phng phỏp vn dng bt ng thc Cụsi chng minh bt ng thc. 1.2 S DNG BT NG THC CễSI C BN. 1.2.1 Ni dung phng phỏp. Qui c: Gi h qu ca bt ng thc Cụsi l Bt ng thc Cụsi c bn. S dng h qu chng minh bt ng thc gi l phng phỏp S dng bt ng thc Cụsi c bn. T Bt ng thc cụsi c bn tng quỏt, ta cú hai trng hp riờng sau: ã Vi mi ,0 ab > , ta cú: ( ) ab + ( 11 ab + ) 4 hay: 114 . abab + + ng thc xy ra ab = . ã Vi mi ,,0 abc > , ta cú: ( ) 111 abc abc ổử ữ ỗ ++++ ữ ỗ ữ ỗ ốứ 9 hay: 1119 abcabc ++ ++ . ng thc xy ra abc == . 1.2.2 Mt s thớ d minh ho. Thớ d 1.1 ( thi tuyn sinh i hc, cao ng khi A 2005). Cho ,,0 xyz > v tho món: 111 4. xyz ++= Chng minh: S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 6 111 1 222xyzxyzxyz ++Ê ++++++ . Bi gii p dng bt ng thc Cụsi c bn hai ln liờn tip, ta cú: 11111111111111 2424242822 xyzxyzxyzxyzxyz ộự ổửổửổử ữữữ ỗỗỗ ờỳ Ê+ữÊ++ữịÊ++ữ ỗỗỗ ữữữ ờỳ ỗỗỗ ữữữ ỗỗỗ +++++ ốứốứốứ ởỷ . (1) ng thc trong (1) xy ra 2xyz xyz yz ỡ =+ ù ù == ớ ù = ù ợ . Hon ton tng t, ta cú: 11111 2822 xyzxyz ổử ữ ỗ Ê++ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ++ ốứ (2) v 11111 2822 xyzxyz ổử ữ ỗ Ê++ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ++ ốứ . (3) Cng tng v (1),(2),(3) ta c: 1111111 1 2224xyzxyzxyzxyz ổử ữ ỗ ++Ê++ữ= ỗ ữ ỗ ữ ỗ ++++++ ốứ ị pcm. ng thc xy ra ng thi ng thc trong (1),(2),(3) xy ra 3 . 4 xyz=== Nhn xột: Ta cng cú bt ng thc Cụsi c bn sau: Vi ,,,0 abcd > thỡ: ( ) 1111 16 abcd abcd ổử ữ ỗ ++++++ ữ ỗ ữ ỗ ốứ ị 111111 16 abcdabcd ổử ữ ỗ Ê+++ ữ ỗ ữ ỗ ốứ +++ . p dng vo thớ d trờn, ta cú: 1111111 216 xyzxxyzxxyz ổử ữ ỗ =Ê+++ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ +++++ ốứ 11211 216 xyzxyz ổử ữ ỗ ịÊ++ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ++ ốứ . Tng t suy ra: 11121 216 xyzxyz ổử ữ ỗ Ê++ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ++ ốứ v 11112 216 xyzxyz ổử ữ ỗ Ê++ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ++ ốứ . ị 1111111 1 2224xyzxyzxyzxyz ổử ữ ỗ ++Ê++ữ= ỗ ữ ỗ ữ ỗ ++++++ ốứ ị pcm. ng thc xy ra 3 . 4 xyz=== S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 7 Thớ d 1.2 (Bt ng thc Nesbit 3 bin). Cho ,,0 abc > . Chng minh rng: 3 2 abc bccaab ++ +++ . (1) Bi gii D thy (1) 9 111 2 abc bccaab ổửổửổử ữữữ ỗỗỗ +++++ ữữữ ỗỗỗ ữữữ ỗỗỗ ốứốứốứ +++ ( ) 111 29 abc bccaab ổử ữ ỗ ++++ ữ ỗ ữ ỗ ốứ +++ ( ) ( ) ( ) 111 9. abbcca abbcca ộự ộự ờỳ +++++++ ởỷ ờỳ +++ ởỷ (2) Theo bt ng thc Cụsi c bn thỡ (2) ỳng ị pcm. ng thc xy ra 0 abc ==> . Nhn xột : ã Bt ng thc Nesbit cng l mt trong cỏc bt ng thc thụng dng, thng dựng lm bt ng thc trung gian chng minh mt bt ng thc khỏc, nhm rỳt gn phộp chng minh mt bt ng thc. ã Xin a ra mt thớ d hỡnh hc lý thỳ minh ho cho bt ng thc Nesbit sau: Cho ABC D . V ba phõn giỏc AA',BB',CC' . Gi ,, abc kkk tng ng l khong cỏch t ',',' ABC n ,, ABBCCA . Gi ,, abc hhh tng ng l ba chiu cao h t ,, ABC . Chng minh: 3 2 abc abc kkk hhh ++ . Bi gii Ta cú: '' ABCABAAAC SSS DDD =+ (Hỡnh 1.1) 111 222 aaa ahckbk ị=+ ( ) a aa a k a ahkbc hbc ị=+ị= + . (Hỡnh 1.1) Hon ton tng t, ta cú: b b k b hca = + ; c c k c hab = + . S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 8 T ú suy ra: 3 2 abc abc kkk hhh ++ 3 2 abc bccaab ++ +++ . (*) Theo thớ d 1.2 ị (*) ỳng ị pcm. ng thc xy ra ABC D u. Thớ d 1.3 Cho ,,0 xyz > v 1 xyz ++= . Chng minh: 3 1114 xyz xyz ++Ê +++ . Bi gii Cú: 111111 1113 111111111 xyz xyzxyzxyz ổử ữ ỗ ++=-+-+-=-++ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ +++++++++ ốứ . Theo bt ng thc Cụsi c bn ta cú: 11199 1111114 xyzxyz ++= ++++++++ , (do: 1 xyz ++= ). Vy: 93 3 11144 xyz xyz ++Ê-=ị +++ pcm. ng thc xy ra 111 1 1 3 xyz xyz xyz ỡ +=+=+ ù ù === ớ ù ++= ù ợ . Nhn xột: ã Xin a ra mt minh ho lng giỏc cho thớ d trờn: Chng minh rng trong mi ABC D , ta luụn cú: sin.sinsin.sinsin.sin 3 222222 . 4 ososos 222 ABBCCA ABBCCA ccc ++Ê (1) Tht vy, ta cú (1) tng ng vi: sin.sinsin.sinsin.sin 3 222222 4 os.ossin.sinos.ossin.sinos.ossin.sin 222222222222 ABBCCA ABABBCBCCACA cccccc ++Ê +++ tan.tantan.tantan.tan 3 222222 4 tan.tan1tan.tan1tan.tan1 222222 ABBCCA ABBCCA ++Ê +++ . (2) t tan.tan 22 AB a = ; tan.tan 22 BC b = ; tan.tan 22 CA c = , ( ) ,,0 abc > . S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 9 D thy: abc ++= tan.tantan.tantan.tan1 222222 ABBCCA ++= . (3) Khi ú (2) tr thnh: 3 1114 abc abc ++Ê +++ . (4) Theo thớ d 1.3 thỡ t (3),(4) ị (1) ỳng ị pcm. ng thc xy ra abcABCABC ====D u. ã Theo cỏch gii trờn, ta cng chng minh c dng tng quỏt ca thớ d 1.3 sau: Cho 12 ,, ,0 n xxx > tho món: 12 1 n xxx +++= . Chng minh: 12 12 1111 n n x xx n xxxn +++Ê ++++ . Thớ d 1.4 Cho ,,0 xyz > . Chng minh rng: 3 . 2224 xyz M xyzxyzxyz =++Ê ++++++ Bi gii Cú 111 222 xyzxyzxyz M xyzxyzxyz ++++++ =-+-+- ++++++ ( ) 111 3 222 xyz xyzxyzxyz ổử ữ ỗ =-++++ữ= ỗ ữ ỗ ữ ỗ ++++++ ốứ ( ) ( ) ( ) 1111 3222. 4222 xyzxyzxyz xyzxyzxyz ộự ộự ờỳ =-++++++++++ ởỷ ờỳ ++++++ ởỷ Theo bt ng thc Cụsi c bn, ta cú: ( ) ( ) ( ) 111 2229 222 xyzxyzxyz xyzxyzxyz ộự ộự ờỳ ++++++++++ ởỷ ờỳ ++++++ ởỷ . Vy 13 3.9 44 M Ê-= ị pcm. ng thc xy ra . xyz == Thớ d 1.5 Cho ,,0 abc > v abbccaabc ++= . Chng minh: 1113 23232316 abcbcacab ++< ++++++ . S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com . bất đẳng thức đúng với 1 n - số không âm. Thật vậy, đặt 121 n Aaaa - =+++ ; 1 n A a n = - . Ta có: ( ) 121 1 121 .1 11 n n n n aaaAA AnAnaaa nn - - - +³Þ - Kết hợp ba điều trên. 22 22 1 111 22 11 aaa a aa =- -= - ++ . (1) Đẳng thức trong (1) xảy ra 2 11. aa Û=Û= Tương tự ta có: 2 1 1 2 1 b b - + ; 2 1 1 2 1 c c - + ; 2 1 1 2 1 d d - + . (2) Từ (1),(2) 42 2 abcd M +++ Þ -= Þ đpcm 22 22 22 11 aababab aaa b bb Þ =- -= - ++ . (1) Đẳng thức xảy ra ab Û= . Tương tự ta có: 2 2 1 bbc b c - + ; 2 2 1 cca c a - + (2) Từ (1),(2) Þ ( ) 222 2 111 abcabbcca abc bca ++ ++³+ +- +++ . (3) Dễ