Giới hạn hàm số I.. Giới hạn hàm số: Cho khoảng K chứa ñiểm x... 0 Phương pháp: * Nếu fx là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng f x 0 * Nếu fx cho bởi nhiều công thức
Trang 1Giới hạn hàm số
I Lý thuyết
1 ðịnh nghĩa:
1.1 Giới hạn hàm số: Cho khoảng K chứa ñiểm x Ta nói rằng hàm số 0 f(x) xác ñịnh trên K (có thể trừ ñiểm x ) có giới hạn là 0 L khi x dần tới x nếu với dãy số 0 (x ) bất kì, n xn ∈K \ {x }0
vàxn →x0, ta có:f(x )n →L Ta kí hiệu:
0
xlim f(x)x L
→ = hay f(x)→L khix→ x0
1.2.Giới hạn một bên:
* Cho hàm số y = f x( ) xác ñịnh trên( ; )x b Số L0 gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f x( ) khi x dần tới x nếu với mọi dãy 0 (xn) :x0 <xn <b mà xn →x0 thì ta có:f x( n)→L Kí hiệu:
0
lim ( )
x x
+
→
=
* Cho hàm số y = f x( ) xác ñịnh trên( ;a x0).Số L gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f x( ) khi
x dần tới x nếu với mọi dãy 0 (xn) :a <xn <x0 mà xn →x0 thì ta có:f x( n)→L Kí
hiệu:
0
lim ( )
x x
−
→
=
Chú ý:
0
0 0
1.3 Giới hạn tại vô cực
* Ta nói hàm số y = f x( ) xác ñịnh trên ( ;a +∞) có giới hạn là L khi x → +∞ nếu với mọi dãy số (xn) :xn >a và xn → +∞ thì f x( n)→L Kí hiệu: lim ( )
x
→+∞ =
* Ta nói hàm số y = f x( ) xác ñịnh trên (−∞; )b có giới hạn là L khi x → −∞ nếu với mọi dãy số (xn) :xn <b và xn → −∞ thìf x( n)→L Kí hiệu: lim ( )
x
→−∞ =
1.4.Giới hạn vô cực
* Ta nói hàm số y = f x( ) có giới hạn dần tới dương vô cực khi x dần tới x nếu với mọi dãy số 0
0
(xn) :xn →x thìf x( n)→ +∞ Kí hiệu:
0
lim ( )
x x
f x
→ = +∞
* Tương tự ta cũng có ñịnh nghĩa giới hạn dần về âm vô cực
* Ta cũng có ñịnh nghĩa như trên khi ta thay x bởi 0 −∞ hoặc+∞
2 Các ñịnh lí về giới hạn
ðịnh lí 1: Gới hạn của tổng, hiệu, tích, thương (mẫu số dẫn vềL ≠0) khi x →x0
(hayx → +∞ → −∞;x ) bằng tổng, hiệu, tích, thương của các giới hạn ñó khi x →x0
(hayx → +∞ → −∞;x )
Chú ý: ðịnh lí trên ta chỉ áp dụng cho những hàm số có giới hạn là hữu hạn Ta không áp dụng cho
các giới hạn dần về vô cực
ðịnh lí 2: (Nguyên lí kẹp)
Trang 2Cho ba hàm số f x g x h x( ), ( ), ( ) xác ñịnh trên Kchứa ñiểm x (có thể các hàm ñó không xác ñịnh 0 tại x ) Nếu 0 g x( )≤ f x( )≤h x( ) ∀ ∈x Kvà
lim ( ) lim ( )
→ = → = thì
0
lim ( )
x x
→ =
3 Một số gới hạn ñặc biệt
x
x
x
→+∞
→−∞
= +∞ ; 2 1
x x
→+∞
→−∞
= +∞ −∞
*
( )
k
f x
*
sin
sin
tan
tan
*
1
0
1 lim (1 )x lim (1 )x
x
x
Chú ý : Ta thường sử dụng các giới hạn ñặc biệt trên ñể tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực,
giới hạn các hàm số lượng giác và giới hạn hàm lũy thừa, mũ và logarít
CÁC DẠNG GIỚI HẠN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Tìm
0
lim ( )
x x
f x
→
biết f x( ) xác ñịnh tạix 0
Phương pháp:
* Nếu f(x) là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng f x( )0
* Nếu f(x) cho bởi nhiều công thức, khi ñó ta sử dụng ñiều kiện ñể hàm số có giới hạn ( Giới hạn trái bằng giới hạn phải)
Ví dụ 1: Tìm giới hạn các hàm số sau:
2 1
1
1
1
x
A
x
→
=
+ 2
6
x
x x
→
+
=
+
π
2 3
0
x
A
x
→
=
+
Giải:
1) Ta có:
2 1
1
lim
x
A
x
→
2) 2
6
lim
6
x
x A
x
→
+
+
+
π
π π
3)
2
2 3
0
x
A
x
→
Ví dụ 2: Xét xem các hàm số sau có giới hạn tại các ñiểm chỉ ra hay không? Nếu có hay tìm giới
hạn ñó?
Trang 31)
2 2
khi 1
3 2 khi 1
x
<
khi x →1
2)
2 2
( )
f x
=
khi x → 0
Giải:
1) Ta có:
2 2
2
x
+
Vậy
1
5 lim ( )
3
x
f x
→
=
2
Vậy hàm số f x( ) không có giới hạn khix → 0
Ví dụ 3: Tìm a ñể hàm số sau có giới hạn khi x →2
2 2
1 khi 2 ( )
f x
=
Giải:
Yêu cầu bài toán
1
2
2
a = là giá trị cần tìm
Bài tập:
Bài 1: Tìm các giới hạn sau
1) 1
2 2
1 lim
4
x
x B
→−
+
=
2)
2 2
6
sin 2x 3 cos lim
tan
x
x B
x
→
−
=
π
3)
2
3
lim
x
B
e
+
1
lim
x
x B
x
→
+ −
=
+ −
Bài 2: Xét xem các hàm số sau có giới hạn tại các ñiểm chỉ ra hay không ? Nếu có hãy tìm giới hạn
ñó ?
Trang 41)
2
( )
3 2 1
f x
=
khi x →1
2)
2
2 1 2
x
khi x
−
>
khi x →2
Bài 3: Tìm a ñể hàm số sau có giới hạn khi x → 0
3
2
( )
f x
=
Dạng 2: Tìm
0
( ) lim ( )
x x
f x A
g x
→
= trong ñóf x( )0 =g x( )0 =0 Dạng này ta gọi là dạng vô ñịnh0
0
ðể khử dạng vô ñịnh này ta sử dụng ñịnh lí Bơzu cho ña thức:
ðịnh lí: Nếu ña thức f x( ) có nghiệm x =x0 thì ta có :
0 1
f x = x −x f x
*Nếu f x( ) và g x( ) là các ña thức thì ta phân tích f x( )=(x −x0 1) ( )f x vàg x( )=(x −x g x0) ( )1 Khi ñó
0
1 1
( ) lim
( )
x x
f x A
g x
→
= , nếu giới hạn này có dạng 0
0 thì ta tiếp tục quá trình như trên
Chú ý :Nếu tam thức bậc hai f x( )=ax2 +bx+c có hai nghiệm x x thì ta luôn có sự phân 1, 2 tíchax2 +bx +c =a x( −x1)(x −x2)
* Nếu f x( ) và g x( ) là các hàm chứa căn thức thì ta nhân lượng liên hợp ñể chuyển về các ña thức, rồi phân tích các ña thức như trên
Các lượng liên hợp:
1 ( a − b)( a + b)=a−b
2 (3a ±3b)(3a2 ∓3ab +3b2)=a−b
3 (na −nb)(nan−1 +nan−2b + +nbn−1)=a−b
* Nếu f x( ) và g x( ) là các hàm chứa căn thức không ñồng bậc ta sử dụng phương pháp tách, chẳng hạn: Nếu n f x( ),mg x( ) →c thì ta phân tích:
n f x −mg x = n f x −c − mg x −c Trong nhiều trường hợp việc phân tích như trên không ñi ñến kết quả ta phải phân tích như
sau:n f x( )−mg x( )=(n f x( )−v x( ))−(mg x( )−v x( )), trong ñóv x( )→c
* Một ñẳng thức cần lưu ý:
a −b = a−b a − +a − b+ +ab − +b −
Ví dụ 1: Tìm các gới hạn sau
Trang 51
lim
x
A
→
=
2)
5
0
lim
x
A
x
→
=
3)
2
lim
8
x
A
x
→
=
−
4) 7
0
(1 )(1 2 )(1 3 ) 1 lim
x
A
x
→
Giải:
1) Ta có:
2
A
2)
6
A
lim 3[(1 3 ) (1 3 ) 1] lim 4(2 4 )[(1 4 ) 1] 7
3)
A
4)
7
A
Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau:
1) 8
0
1
1
n m x
x
x
→
−
−
ℕ
2) 9
0
n x
ax
x
→
+ −
Giải:
1)
0
lim
x
A
→
=
0
lim
x
m
→
2) Cách 1: Nhân liên hợp
lim
A
=
lim
n
Cách 2: ðặt ẩn phụ
Trang 6ðặt 1
1
n
a
−
= + ⇒ = và x → ⇔ →0 t 1
n
Ví dụ 3: Tình các giới hạn sau
1) 10
0
lim
n m x
ax A
bx
→
+ −
=
+ − 2)
11
0
lim
x
A
x
→
=
Giải:
1) Áp dụng bài toán trên ta có:
10
n
m
A
+ −
2) Ta có: 1+αx31+βx41+γx − =1
= 1+αx31+βx( 14 +γx − +1) 1+αx(( 13 +βx − +1) ( 1+αx −1)
3 11
0
lim
x
x x
α
→
+ − +
A = +γ β α+
( Áp dụng kết quả bàiA ) 9
Ví dụ 4: Tìm các giới hạn sau:
1) 12
2 1
lim
1
x
A
x
→
− −
=
− 2)
3 13
2
lim
x
A
x
→
+ −
=
− −
Giải:
1)
2 12
( 1)
x
A
− −
− −
2)
3 13
3
lim
x
A
→
=
2
3
lim
x
→
=
A
Ví dụ 5: Tìm các giới hạn sau
1)
3 14
1
lim
1
x
A
x
→
+ − −
=
− 2)
3
7
lim
x
A
x
→
+ − +
=
+ −
Giải:
1)
3 14
1
lim
1
x
A
x
→
+ − − − −
=
−
3
Trang 7lim
12
x
x I
→
−
3
x J
−
4
2) Ta có:
3 3
7
A
x
+ − − + −
−
mà:
x
3
x
4
x
Vậy 15
112
6 27
32
A
−
Bài tập:
Tìm các giới hạn sau:
1)
2
2
lim
x
B
→
− +
=
− − 2)
4
1
lim
x
B
→
− +
=
+ − 3) 7
2 3
lim
x
B
→
+ −
=
− + 4)
3
0
1 1 lim
x
x B
x
→
+ −
=
+ − 5)
3
7
lim
x
B
x
→
− − +
=
+ − 6)
3
0
lim
x
x B
x
→
+ − +
7) 11
2 1
lim
1
x
B
x
→
=
8)
12
0
lim
x
B
→
=
Trang 8Dạng 3: Tìm ( )
lim ( )
x
f x B
g x
→±∞
= , trong ñóf x g x( ), ( )→ ∞, dạng này ta còn gọi là dạng vô ñịnh∞
∞
Phương pháp: Tương tự như cách khử dạng vô ñịnh ở dãy số Ta cần tìm cách ñưa về các giới hạn:
x
x
x
→+∞
→−∞
= +∞ ; 2 1
x x
x +
→+∞
→−∞
= +∞ −∞
*
n
x
x
k
x
→+∞
→−∞
= > ≠
*
( )
k
f x
Ví dụ 1: Tìm các giới hạn sau:
1)
2
lim
x
A
→+∞
+ +
=
+ +
n
m x
−
→+∞
−
Giải:
1) Ta có:
2
16
2
3
x
A
x
2) Ta có:
17
lim
x a
A
−
−
−
=
* Nếu
0 17
lim
a
a
b
−
−
−
* Nếu
17
a
−
−
−
( Vì tử→a0, mẫu→0)
* Nếu m <n
Trang 91 1
0 0 17
0 0
lim
a b
A
a b
b
−
−
+∞ >
−∞ <
Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau:
1)
18
lim
x
A
x
→+∞
+ − +
=
+ 2)
2 19
2
lim
1 1
x
A
x
→−∞
− + +
=
+ −
Giải:
1) Ta có:
18
lim
2
x
A
x x
→+∞
=
+
lim
2
x
x
→+∞
+ − +
−
+
2
lim
| |
x
x
A
x
x x
→−∞
=
+ −
2
3
| |
x
x
x x
→−∞
Ví dụ 3:Tìm các giới hạn sau
1)
4
lim
x
A
x
→−∞
+ − + +
=
+
2)
2
3
lim
x
A
x
→+∞
+ − +
=
− +
Giải:
1) Ta có:
3
3
20
4
4
lim
4
x
x
A
x
x
→−∞
+
2)
2
21
lim
x
A
x
→+∞
(do tử→ +∞, mẫu→32)
Bài tập:
Tìm các giới hạn sau
1)
lim
(3 2 )
x
B
x
→+∞
=
− 2)
2 14
2
lim
1
x
B
→−∞
− + −
=
+ + −
Trang 102 15
2
lim
x
B
→+∞
=
4)
lim
x
B
→−∞
+ +
=
+ +
Dạng 4 : Dạng vô ñịnh: ∞ − ∞và 0.∞
Phương pháp:
Những dạng vô ñịnh này ta tìm cách biến ñổi ñưa về dạng∞
∞
Ví dụ 1: Tìm các giới hạn sau:
x
→+∞
= − + − 2) 23 lim (2 4 2 1)
x
→−∞
Giải:
1) Ta có:
22
A
22
2
lim
2 1
x
x A
→+∞
− +
− + +
2)
23
2
lim
x
A
→−∞
=
lim
4
x
x
→−∞
+
Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau:
x
→−∞
x
→+∞
Giải:
1) Ta có: 3x3 −3x2 + x2 −2x =(3x3 −3x2 −x) (+ x2 −2x +x)
2 3
3
24
2
A
2) Ta có:
2
2
x
+ − −
=
2
x
−
=
Trang 112 25
2 lim
x
x A
→+∞
−
25
lim
4
x
A
→+∞
−
+ + + + + + +
Ví dụ 3: Tìm giới hạn: 26 lim [ (n 1)( 2) ( ) ]
n x
→+∞
Giải:
n
y = x −a x −a x −a
−
y x
−
1
1
lim
n
x
n
x A
x
−
→+∞
−
−
n n
x
= + + +
1
1
k n k
n
x
y x
x
− −
−
1
lim
n x
n x
−
→+∞
Vậy 26 a1 a2 an
A
n
+ + +
Bài tập:
Tìm các giới hạn sau:
x
→+∞
= − + − 2) 18 lim ( 4 2 1 )
x
→−∞
x
→±∞
= − + − + + 4) 20 lim ( 8x3 3 2x 2x)
x
B
→+∞
5) 21 lim ( 164 4 3 1 4 2 2)
x
→+∞
x
→−∞
= − −
Trang 12Dạng vô ñịnh các hàm lượng giác
PP: Ta sử dụng các công thức lượng giác biến ñổi về các dạng sau:
*
sin
sin
tan
tan
* Nếu
sin ( )
( )
u x
u x
u x
0
tan ( )
( )
x x
u x
u x
Ví dụ 1: Tìm giới hạn sau: 27
2 0
1 cos lim
x
ax A
x
→
−
Giải:
Ta có:
2 2
2
A
ax x
Chú ý: Kết quả trên chúng ta thường hay ñược sử dụng ñể giải một số bài toán khác
Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau
1) 28
0
lim
x
A
→
=
0
1 cos cos 2 cos 3 lim
x
A
x
→
−
Giải:
1) Ta có:
2
2
+
x
x
m
+
=
+
28
x
x
A
+
+
2) Ta có:
1 cos cos cos 2 (1 cos 3 ) cos (1 cos 2 )
Sử dụng kết quả bài A ta có: 27
Trang 13Ví dụ 3: Tìm các giới hạn sau:
1) 30
0
1 cos 2 lim
3
2 sin 2
x
x A
x
→
−
0
cos 2 cos 3 lim
(sin 3 sin 4 )
x
A
→
−
=
2
0
tan 2 lim
1 cos 2
x
x A
x
→
=
−
Giải:
1) Ta có:
2
2 30
3 sin
sin
x
2) 31
A
x
−
3)
3 3
2
tan 2 (1 cos 2 cos 2 ) tan 2
1 cos 2
1 cos 2
x A
x x
−
−
3 3
2 0
3 3
0
lim
2 sin tan 2
x
x
x
→
→
=
32 6
A
Ví dụ 4: Tìm các giới hạn sau
1) 33
2 0
lim
n x
ax A
x
→
−
2)
0
lim
x
A
x
→
=
Giải:
1) Ta có:
1 cos
n
ax ax
−
1 ncos ( cosn ) ( cosn )n
a A
−
1
= =
2) Ta có:
1
( 1)kkcos ( 1)k (1 k cos )
2 0
2
k
x
kx
x
→
Trang 14
Ví dụ 5: Tìm giới hạn
1)
2 35
0
lim
x
x A
→
=
2
0
sin 2 lim
x
x A
→
=
−
Giải:
1) Ta có: 35
0
2
1 lim
1 sin 3 cos 2
x
A
x
→
=
Mà:
0
x
x
→
A
5
=
2) Ta có:
2 2
sin 2
A
Ví dụ 6: Tìm các giới hạn sau
1) 37
1
lim
m n x
x A
x
π π
→
= 2) 38
2
lim ( ) tan 2
x
π
π
→
Giải:
1) Ta có: 37
1
lim
m n x
x A
x
π π
→
−
=
=
1
n
m
−
2) Ta có: 38
2
x x
x
π π
π
−
−
Ví dụ 7: Tìm các giới hạn sau:
1) 39
0
1
x
x
→
x
→+∞
Giải:
0 |x sin | x
x
≤ < Mà
0
x
xα
Nên theo nguyên lí kẹp⇒A39 = 0
Trang 152) Trước hết ta có: sinx <x ∀ >x 0
Ta có:
+ + Mà
1
1
+ + nênA40 = 0
Bài tập:
Tìm các giới hạn sau
1) 23
0
cos 3x cos 4x lim
cos 5x cos 6x
x
B
→
−
=
− 2)
3 24
0
lim
sin 3x
x
B
→
− +
=
3) 25
2
cos 3 1 sin 3x lim
1 sin
x
x B
x π
→
+ −
=
− 4)
4
0
sin 2x lim
sin 3x
x
B
→
=
5) 27
0
1 sin( cos )
2 lim
sin(tan )
x
x B
x
π
→
−
lim
1
x
B
→+∞
+
=
+ +
7) 29
2 0
lim
sin
x
B
x
→
−
3
20
0
lim
1 cos x
x
B
→
=
−
Giới hạn hàm số mũ và Lôgarít
Sử dụng giới hạn ñặc biệt:
x
Từ ñây ta có hệ quả:
Nếu
0
lim ( ) 0
x x
u x
u x
u x e
+
Ví dụ 1: Tìm các giới hạn sau
1) 41
0
lim
ax bx x
A
x
→
−
= 2)
3
42
0
lim
x
A
x
→
−
Giải:
1) Ta có: 41
2) Ta có:
x
A
x
Mà
3
3
x
x
x
x x
→ + − =
Trang 163
0
− − = − Nên⇒A42 = + =1 1 2
Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau
1) 44
0
1 lim
x x
a A
x
→
−
=
2)
3 43
0
lim
x
A
x
→
Giải:
1
ln
a
+
0
ln
ln(1 )
t
t
→
Chú ý : Ta có dạng tổng quát của A44như sau:
Nếu
( )
1
( )
u x
a
u x
−
2) Ta có:
3
x
+ +
+ +
ln( 3x 1 1) | x 1 1 | ln | | ln( 3x x 1 1) ln( x 1 1)
3 45
0
lim
x
A
x
→
3
x
3
x
I J
Mà
3
3
1
2
x
x
x I
x x
→
+ −
0
1
2
x
x
x J
x x
→
+ −
A = − =
Ví dụ 3: Tìm các giới hạn sau:
1) 46
0
x
x A
x
α
α
→
x a
A
→
−
=
−
Giải:
1) Ta có: ( )1 x α 1 eαln(1+x) 1
Trang 17ln(1 )
ln(1 )
x
α
+
+
ln(1 ) 46
0
ln(1 ) 1
ln(1 )
x x
x e
A
α
+
→
+
−
Chú ý : Tổng quát ta có: Nếu
lim ( ) 0 lim
( )
u x
u x
u x
α
α
2) Ta có: ax xa a aa( x a 1) aa (1 x a)a 1
a
1
a
a
−
−
−
1 47
1
1
a
x a
x a
a a
e
−
−
−
−
−
Ví dụ 4: Tìm các giới hạn sau:
1)
2 48
0
lim
x x x
A
x
−
→
=
+ − 2)
3x+1 1
0
lim
x
A
−
→
−
=
− +
Giải:
1) Ta có:
2
2
4
2
4 2
2
ln( 3 4 1)
2
x x
x x
x
x x
−
−
− + =
+ −
−
−
Mặt khác :
2 2 2
ln(1 ( 3 4 2)) 2
x x
x
−
−
và
lim
3
x
x x x
→
− = − + − 48
(1 ).1.( )
A
2) Ta có:
+ − − = + − − + − − + −
Mà
3 1 1
0
x
+ −
−
−
Trang 182
3 sin ( )
2
x
2 2 0
x
→
− +
49 3 ln 2
A
Giới hạn 1∞
Phương pháp: Dựa vào các giới hạn ñặc biệt sau:
*
1
0
lim (1 )x lim (1 )x lim (1 )x
→ + = →+∞ + = →−∞ + =
* Nếu
0
lim ( ) 1
x x
u x
→ = và
0
x x
v x
→ = +∞ −∞
thì
1
( ) 1
lim ( ) v x lim 1 ( ( ) 1) u x u x v x
−
→ = → + −
0
lim ( ( ) 1) ( )
x x
u x v x
Ví dụ 1: Tìm các giới hạn sau:
1)
3 2 51
2 lim
1
x x
x A
x
+
→+∞
+
2)
2
1 1 52
1
lim 2 x x) x
x
→
Giải:
1) Ta có:
51
1 lim 1
1
x
x
x
x
→+∞
+
→+∞
+
2) Ta có:
1
1 52
1
x
e x
−
→
Mà
2
1
x
Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau:
0
x
→
= + 2)
2 1 2
3
0
1
1
x x x
A
+
→
− +
=
+ +
Giải:
1) Ta có:
1
53
0
x
→
Trang 192) Ta có
2
1
− + = −
+ + + + và
2
2
x
+ = − + +
+ + 2
1
2
3
0
2
1
x
x x
x
x
→
+ +
→
+ +
Ví dụ 3: Tìm giới hạn: 55 tan
2
lim (sin ) x
x
π
→
=
Giải:
sin 1 lim
(sin 1)
sin 1 cot 55
2
x
x
π
π
→
−
−
−
→
Mà
cot
x x
x
2
x
x
x x
x
x π
π
→
Vậy A55 =e0 =1
Bài tập:
Tìm các giới hạn sau