Nghiên cứu thử nghiệm một số phương pháp nội suy trong xử lý số liệu thực nghiệm

1 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --- Nguyễn Thị Thuỳ Dương NGHIÊN CỨU THỬ NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY TRONG XỬ LÝ SỐ LIỆU THỰC NGHIỆM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHO

1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

Nguyễn Thị Thuỳ Dương

NGHIÊN CỨU THỬ NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY

TRONG XỬ LÝ SỐ LIỆU THỰC NGHIỆM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – 1/2015

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

Nguyễn Thị Thuỳ Dương

NGHIÊN CỨU THỬ NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY

TRONG XỬ LÝ SỐ LIỆU THỰC NGHIỆM

Chuyên ngành: Vật lý địa cầu

Mã số: 60.44.0111

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS Nguyễn Đức Vinh

Hà Nội – 1/2015

2.2.3 Phương pháp lân cận gần nhất (Nearest Neighbor ) 33 2.2.4 Phương pháp trung bình cửa sổ trượt (Moving Average ) 33 2.2.5 Phương pháp hồi qui đa thức (Polynomial Regression ) 34 2.2.6 Phương pháp đa thức địa phương (Local Polynomial ) 35 2.2.7 Phương pháp độ cong tối thiểu (Minimum Curvature ) 36 2.2.8 Phương pháp hàm xuyên tâm cơ bản (Radial Basic Function) 37

Kết luận Tài liệu tham khảo

 - độ suy giảm của sóng điện từ [dB/m2]

E - cường độ điện trường [Volt/m]

D - véc tơ cảm ứng điện

ii

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Trang

Hình 1.1 Mô tả phương pháp hồi qui chính xác tại các nút 6

Hình 1.2 Kết quả nội suy Spline bằng phần mềm Maple 16

Hình 1.3 Ví dụ nội suy xấp xỉ 17

Hình 1.4 Các điểm thực nghiệm và đương cong hàm thực nghiệm 21

Hình 2.1: Cửa sổ chính của phần mềm Surfer 24

Hình 2.2 Các tiểu thực đơn của chức năng Grid 25

Hình 2.3 Các tiểu thực đơn của chức năng Map 26

Hình 2.4 Ví dụ bản đồ dạng các đường đẳng trị 26

Hình 2.5 Ví dụ hình vẽ dạng 3D 27

Hình 2.6 Sơ đồ mô tả phương pháp nghịch đảo khoảng cách 28

Hình 2.7 Cửa sổ chính của thực đơn Grid 30

Hình 2.8 Cửa sổ Option của nội suy Inverse Distance to a Power 30

Hình 2.9 Minh hoạ sử dụng đường Breakline 31

Hình 2.10 Minh hoạ dùng đường Fault 32

Hình 2.11 Minh hoạ việc điều chỉnh thông số Anisotropy 32

Hình 2.12 Cửa sổ điều chỉnh thông số của phương pháp hàng xóm gần nhất 33

Hình 2.13 Cửa sổ của phương pháp trung bình cửa sổ trượt 34

Hình 2.14 Cửa sổ chọn thông số của phương pháp đa thức địa phương 36

Hình 2.15 Cửa sổ chọn thông số của phương pháp độ cong tối thiểu 37

Hình 2.16 Cửa sổ chọn thông số của phương pháp Radial Basic Function 38

Hình 2.17 Cửa sổ chọn thông số của phương pháp Kriging 39

Hình 3.1 Đường cong trước hồi qui 42

Hình 3.2 Đường cong trước và sau khi hồi qui 43

Hình 3.3 Đường cong trước hồi qui 44

Hình 3.4 Đường cong trước và sau khi hồi qui 45

Hình 3.5 Bản đồ đẳng trị theo số liệu trên bảng 3.3 47

Hình 3.6 Bản đồ đẳng trị theo số liệu nội suy từ số liệu trên bảng 3.3 47

iii

Hình 3.7 Bản đồ đẳng trị theo số liệu nội suy từ số liệu trên bảng 3.4 49

Hình 3.8 Bản đồ đẳng trị theo số liệu nội suy từ số liệu trên bảng 3.5 51

Hình 3.9a Bản đồ đảng trị mảng số liệu a 52

Hình 3.9b Bản đồ đảng trị mảng số liệu b 52

Hình 3.10 Dùng phương pháp nghich đảo khoảng cách với 2 số liệu hình 3.9 53

Hình 3.11 Dùng phương pháp Kriging với 2 số liệu hình 3.9 53

Hình 3.12 Dùng phương pháp độ cong tối thiểu với 2 số liệu hình 3.9 54

Hình 3.13 Dùng phương pháp Shepard với 2 số liệu hình 3.9 54

Hình 3.14 Dùng phương pháp lân cận gần nhất (Nearest neighbor) 55

Hình 3.15 Dùng phương pháp hàm xuyên tâm cơ bản (Radial Basic Function) 55

Hình 3.16 Dùng phương pháp trung bình cửa sổ trượt 56

Hình 3.17 Dùng phương pháp đa thức địa phương bậc 2 56

Hình 3.18 Dùng phương pháp đa thức địa phương bậc 3 57

Hình 3.19 Sơ đồ các điểm số liệu ban đầu trên 2 mảng số liệu hình 3.9 57

Hình 3.20 Dùng phương pháp nghịch đảo khoảng cách và Kriging 58

Hình 3.21 Dùng phương pháp độ cong nhỏ nhất và phương pháp Shepard 59

Hình 3.22.Phương pháp lân cận gần nhất và phương pháp xuyên tâm cơ bản 59

Hình 3.23 Phương pháp nội suy đa thức bậc 2 và 3 59

iv

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU

Trang

Bảng 1.1 5

Bảng 1.2 8

Bảng 1.3 11

Bảng 1.4 15

Bảng 1.5 20

Bảng 2.1 Ví dụ tệp số liệu chuẩn bị cho Grid 25

Bảng 3.1 Số liệu mô hình tuyến tính 42

Bảng 3.2 Số liệu mô hình phi tuyến 44

Bảng 3.3 Số liệu tính lý thuyết 46

Bảng 3.4 Số liệu tính lý thuyết được cắt bớt 48

Bảng 3.5 Số liệu đã cài nhiễu 50

Bảng 3.6 Hàm lượng chì khu vực X 58

MỞ ĐẦU

Xử lý số liệu là công việc không thể tránh khỏi trong công tác khảo sát, thực nghiệm Một trong những khâu xử lý số liệu là nội suy các giá trị theo mạng lưới cần thiết Toán học tính toán đã cung cấp cho lĩnh vực xử lý số liệu rất nhiều thuật toán nội suy khác nhau Việc tìm hiểu để ứng dụng một cách hiệu quả những thuật toán này cũng là một bước quan trọng trong qui trình xử

lý số liệu Tin học và máy tính phát triển cũng góp phần đẩy mạnh việc ứng dụng những thuật toán phức tạp hơn, mạnh mẽ hơn Các hãng sản xuất phần mềm ngày càng đưa ra các phần mềm hoàn thiện hơn, chuyên nghiệp hơn để phục vụ nhu cầu của các nhà xử lý Cũng như nhiều quốc gia trên thế giới, Việt Nam hàng năm đầu tư một khoản tiền khổng lồ cho công tác điều tra, khảo sát nói chung Một số lượng lớn thông tin được thu nhập, những thông tin ấy đòi hỏi được xử lý tốt hơn, nhanh hơn, chính xác và rẻ hơn

Những năm gần đây ở các Viện, các Trường, trong đó có Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, nhiều đơn vị của Trường đã đóng góp một phần đáng kể trong nghiên cứu, xây dựng các bộ chương trình phục vụ công tác xử lý số liệu Lĩnh vực nghiên cứu Trái đất cũng như thăm dò khoáng sản rất quan tâm

và phát triển mảng nghiên cứu này

Trong khuôn khổ của luận văn này , do thời gian có hạn và hạn chế về mặt

kiến thức, học viên được giao đề tài “Nghiên cứu thử nghiệm một số phương

pháp nội suy trong xử lý số liệu thực nghiệm” Nội dung chính của bài luận

văn này là tóm tắt hệ thống các phép nội suy thông dụng, nhất là các phép nội suy được cài đặt trong các phần mềm xử lý số liệu như bộ phần mềm SURFER Bản luận văn được chia làm ba phần: phần thứ nhất trình bày về các phép nội suy dạng đường thông dụng, phần thứ hai trình bày về các phép

CHƯƠNG 1

CÁC PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY THÔNG DỤNG

Một hàm f(x) bất kỳ có thể được biểu diễn bằng bảng số liệu, đồ thị hoặc công thức Nếu hàm được cho dưới dạng một công thức thì việc biểu diễn nó dưới dạng bảng hay đồ thị là khá dễ dàng Trong công tác đo đạc hay thực nghiệm nói chung, hàm chỉ được cho dưới dạng bảng số liệu

Giả sử hàm y=f(x) được cho dưới dạng bảng sau:

Bảng 1.1

Trong bảng trên, xi là đối số, yi là hàm số, i là chỉ số Bài toán nội suy là việc xác định giá trị hàm y ở những chỗ chưa có giá trị của đối số ở trong bảng trên Nếu hàm y=f(x) được cho dưới dạng công thức, khi ấy với mọi giá trị đối số x ta đều có thể tính được hàm y Trong trường hợp hàm cho dưới dạng bảng như của chúng ta, bài toán nội suy có thể đặt ra như sau: Cho một số giá trị hàm tại một số giá trị của đối số, cần xác định hàm trên toàn bộ đoạn có chứa các giá trị đối số đã có giá trị hàm Nói đơn giản hơn, nội suy là xác định hàm tại vị trí không đo được hoặc chưa đo được dựa vào các giá trị đã đo được xung quanh nó Trong thực nghiệm nói chung và vật lý địa cầu nói riêng, số liệu đo đạc là những bảng số liệu như bảng 1.1

Bài toán nội suy rất quan trọng trong lĩnh vực mô hình hóa, xử lý số liệu thực nghiệm, chuyển các hàm phức tạp sang dạng đơn giản thuận tiện hơn cho các tính toán …

Cho đến ngày nay, tồn tại rất nhiều phương pháp giải bài toán nội suy Có thể phân loại [1,2,4,7] phương pháp theo độ chính xác tại các nút nội suy, theo dạng hàm lựa chọn, theo thủ thuật toán học v.v…

1.1 Nội suy chính xác tại các điểm nút

Nội suy chính xác tại các điểm nút là phép nội suy sao cho giá trị hàm đã

có tại các điểm nút không bị thay đổi Trên hình 1.1, các điểm tô đen là các điểm đã cho của hàm, đường cong (x) được tính toán phải đi qua các điểm này

Hình 1.1 Mô tả phương pháp hồi qui chính xác tại các nút

Giả sử hàm thực nghiệm cho dưới dạng bảng (như bảng 1.1), các giá trị y0,

Khi ấy, các ẩn số (các hệ số của đa thức) a0, a1, a2, … an của đa thức nội suy

sẽ được xác định thông qua việc giải hệ phương trình đại số (1.1)[7]:

Một điểm thú vị là ta có thể nhận được đa thức nội suy mà không phải giải

hệ (1.1) Đã có nhiều công thức có thể tìm các đa thức nội suy mà không phải giải hệ phương trình nói trên (ví dụ công thức Lagrange, Newton, Gauss, Bessel, Sterling …) Các công thức nội suy này được gọi là thông dụng theo ý

là chúng được trình bày trong nhiều tài liệu giáo khoa

1.1.1 Nội suy Lagrange

Công thức Lagrange có dạng [1,2,4,7]:

(1.2)

Ta có thể kiểm định xem (1.2) có phải biểu thức cần tìm không Tại nút x=x0, tất cả các thành phần từ thứ 2 trở đi đều bằng không Thành phần đầu tiên sau rút gọn chỉ còn lại y0, như vậy y(x0)=y0 Tại nút x=x1, trừ thành phần thứ 2, các thành phần khác bằng không, ta có y(x1)=y1 Tương tự với mọi nút, ta có thẻ khẳng định (1.1) là đa thức cần tìm thích hợp

Ví dụ 1.1: Cho bảng số liệu (bảng 1.2), nhiệm vụ là tìm đa thức nội suy và tính giá trị hàm tại x=3 và x=5

Công thức nội suy Newton cho trường hợp nút cách đều có dạng [1,2,7]:

(1.4)

Ở đây:

xi - các nút nội suy với chỉ số i=0, 1, 2, 3 …(n-1) có bước cách đều, nghĩa là x1= x0 +h, x2=x1 +h, …, xn-1 = xn-2 =xn-1 +h;

ci – các hệ số của công thức nội suy, với i = 0, 1, 2, 3 …n

Từ công thức (1.4) ta thấy hàm y(x) của công thức nội suy này cũng là một

đa thức bậc n , nhưng viết dưới dạng khác Ta có thể xác định các hệ số ci :

Với x=x0 , từ (1.4) ta thấy y(x0)=c0 hay c0 =y0

Với x=x1 ta có y(x1)= y1 = c0 + c1(x1-x0) hay c1=(y1-c0)/(x1-x0)= (y1-y0)/(x1

-x0) Ta đặt y1-y0 = Δy0 , x1-x0=h sẽ nhận được c1 = Δy0/h

Với x=x2 thì y(x2)= y2 = c0 + c1(x2-x0) + c2(x2-x0)(x2-x1) , đưa giá trị c0, c1 vào

Công thức cho hàm hồi qui Newton sẽ có dạng:

(1.6) Công thức (1.6) có thể gọn hơn, đặt (x-x0)/h = t khi ấy:

Tương tự như biến đổi công thức (1.4), ta sẽ có được các hệ số Ci :

Thay vào (1.8) ta có nhận được công thức (1.9):

(1.9) Đặt (x- xn)/h = t và thay vào (1.9) ta có:

(1.10) Công thức (1.9) và (1.10) được gọi là nội suy Newton lùi [7], công thức (1.6), (1.7) gọi là nội suy Newton tiến Ta xem xét một ví dụ áp dụng nội suy Newton

Ví dụ 1.2: Số liệu giả sử được trình bày trong bảng 1.3 sau:

Bảng số liệu 1.3 thực chất là bảng 1.2 nhưng đầy đủ hơn, bài toán yêu cầu xác định đa thức nội suy theo công thức nội suy Newton tiến Theo dữ liệu đã cho, ta có y0 = 2, h=1 và các số gia được tính (đã tính trong bảng) Δy0=7, Δ2y0

= 6, Δ3y = 0 Sử dụng công thức (1.6) ta có:

Lắp ráp số liệu từ bảng 1.3 ta nhận được:

b Trường hợp nút không cách đều:

Trường hợp các nút không cách đều (h ≠ const), công thức nội suy Newton được đề xuất như sau [1,2,7]:

Các gia số bậc 2 bằng nhau, không có đa thức bậc cao hơn, đa thức cần tìm

có bậc là 2 Đưa các gia số và số liệu trong bảng 1.2 vao (1.11) ta nhận được:

Kết quả nội suy trùng với kết quả trong các ví dụ phía trên

1.1.3 Nội suy Gauss

Giả sử hàm thực nghiệm y(x) cho dưới dạng bảng có 2n+1 nút, các nút cách đều nhau (h = xi – xi-1 = const) :

Nội suy Gauss cũng như nội suy Newton được khuyến cáo dùng tốt cho khoảng giữa của bảng số liệu [7] Yếu điểm của nội suy này là chỉ dùng trong trường hợp nút nội suy cách đều

1.1.4 Nội suy Sterling

Công thức nội suy Sterling chính là trung bình của hai công thức Gauss [7] Nó có dạng sau:

(1.16) Trong công thức trên t = (x – x0)/h Nội suy Sterling vẫn có yếu điểm là chỉ dùng được trong trường hợp nút cách đều

1.1.5 Nội suy Bessel

Giả sử hàm y(x) cho dưới dạng bảng, có số nút là 2n + 2:

với bước cách đều h = xi – xi-1 ( i= -n … n+1) Công thức nội suy Bessel là

đa thức có bậc 2n+2 có dạng:

Nội suy Spline trong những năm gần đây rất được quan tâm nghiên cứu ứng dụng, rất nhiều ứng dụng có cài đặt nội suy Spline Có Spline bậc 2, bậc

3 và đôi khi bậc 4, thông dụng nhất vẫn là bậc 3 [4, 7]

Ví dụ 1.4 Số liệu được cho trong bảng 1.3 dưới đây Bài toán đặt ra là tiến hành nội suy Spline bậc 3 Nhiều phần mềm hiện nay có cài đặt việc giải bài toán nội suy Spline Ví dụ này có thể giải quyết bằng phần mềm Maple [7] Kết quả được trình bày trên hình 1.2

Bảng 1.3

1.2 Nội suy xấp xỉ tại các nút

Thông thường, kết quả đo trong thực nghiệm khó có thể nói là không có sai số Chính vì thế, việc định hướng tới sự chính xác tại các nút như các phép nội suy đã nói phía trên không phải là thứ mà người xử lý số liệu lựa chọn hàng đầu Mong muốn hàng đầu vẫn là tìm một hàm biểu diễn được mối quan hệ giữa x và y tốt nhất Hàm số này thường được gọi là hàm thực nghiệm, nó biểu diễn được qui luật biến đổi của hiện tượng, hầu hết là các qui luật của vật lý Hình 1.3 dưới đây là ví dụ về điểm thực nghiệm và đường cong biểu diễn hàm thực nghiệm

Hình 1.2 Kết quả nội suy Spline bằng phần mềm Maple

- Trung bình của độ lệch nhỏ nhất, nghĩa là

Đây là phương pháp đơn giản, được sử dụng nhiều khi công cụ tính toán còn yếu và thiếu Bản chất của phương pháp này là việc lựa chọn “bằng mắt” một đường cong lệch với thực nghiệm ít nhất Chính vì vậy nên người

ta không thể lấy nhiều điểm cho việc này được Sau khi chọn đường cong thực nghiệm “xấp xỉ” nhất và dựa trên các điểm lựa chọn để viết các phương trình Giải hệ phương trình có được để xác định các hệ số của hàm nội suy thực nghiệm Điểm yếu tất nhiên của cách làm này là yếu tố chủ quan

a1x + a2x2 Khi ấy i = (xi) – yi Hàm hồi qui có 3 hệ số (ẩn số ) phải tìm nên ta chia số quan sát ra làm 3 phần với số điểm quan sát bằng k trong khoảng thứ nhất, số điểm m trong khoảng 2 và số điểm n – (m + k) hay (n –

m – k) trong khoảng 3 Ta có 3 phương trình sau:

Giải hệ 3 phương trình này ta sẽ có được hàm (x) cần tìm Kết quả nội suy bằng phương pháp trung bình này không tồi tuy nhiên nó đòi hỏi số điểm thực nghiệm đủ lớn, nhất là với trường hợp hàm nội suy bậc cao

1.2.3 Phương pháp bình phương nhỏ nhất

Phương pháp bình phương nhỏ nhất dựa trên tiêu chí là tổng bình phương các độ lệch (sai lệch) đạt cực tiểu Giả sử ta có y1, y2 , y3 , … yn giá trị thực nghiệm tương ứng với các đối số x1 , x2 , x3 , …, xn Hàm nội suy thực nghiệm có thể tìm dưới dạng đa thức :

Tiêu chuẩn đánh giá hàm thực nghiệm này là :

(1.19) Lấy đạo hàm theo các biến a0, a1, a2, …, an và cho nó bằng không như dưới đây:

(1.20) Qua một số biến đổi, ta có hệ các phương trình:

(1.21)

Ví dụ 1.5 Chúng ta xem xét các phương pháp nói trên thông qua ví dụ dưới đây Giả sử số liệu thực nghiệm được cho dưới dạng bảng như bảng 1.4 Tìm hàm nội suy thực nghiệm theo các phương pháp xấp xỉ vừa trình bày

Hình 1.4 Các điểm thực nghiệm và đương cong hàm thực nghiệm

a Phương pháp các điểm lựa chọn:

Xem xét bảng số liệu và đồ thị, chọn 3 điểm (1 , 5.1), (3, 32.3), (6, 119.6), ta có các phương trình sau:

Giải hệ này ta được: a0 =0.8 , a1 = 1.2 , a2 = 3.1, như vậy hàm thực nghiệm cần tìm là:

Theo bảng số liệu thực nghiệm 1.4 ta có:

Thay các số liệu này vào (1.22) ta có hệ phương trình:

Hệ này cũng có : a0 =0.8 , a1 = 1.2 , a2 = 3.1, và hàm thực nghiệm cần tìm cũng là:

Trên đây là các phép nội suy được gọi là thông dụng, hàm nội suy được xem xét đều chứa một biến Những phép nội suy mặt (hai biến)

có tính chuyên dụng hơn trong một số lĩnh vực, ví dụ như Vật lý địa cầu, được trình bày ở chương sau

CHƯƠNG 2 CÁC PHÉP NỘI SUY TRONG PHẦN MỀM SURFER

2.1 Vài nét về phần mềm SURFER

SURFER là phần mềm của hãng Golden Sofware (Mỹ) Phần mềm này từ lâu khá phổ biến ở nhiều nước, trong đó có Việt nam Bộ phần mềm của hãng này gồm nhiều modul nhưng thông dụng hơn cả là modul Grapher – dùng để

vẽ đồ thị dạng đường y=f(x), theo tuyến mà ta quen gọi là 2D Modul Surfer–

để cho các các bản đồ dạng mặt z=f(x,y), bản vẽ 3D Surfer có chức năng

chính là xây dựng dữ liệu và biểu diễn hình vẽ trên diện Cửa sổ chính của

Hình 2.1 Cửa sổ chính của phần mềm Surfer

Hai chức năng chính, như đã nói ở trên, là chuẩn bị số liệu – Grid và vẽ bản đồ - Map với các tiểu thực đơn được trình bày trên hình 2.2 và 2.3 Thông thường, các phép đo trong lĩnh vực địa chất – địa vật lý có thể được thiết kế theo các tuyến song song cách nhau khoảng dy và các điểm đo cách nhau khoảng dx Trong thực tế, do nhiều lý do khách quan, trong đó có cả trường hợp bất khả kháng, người ta phải chấp nhận mảng số liệu khá hỗn tạp về tọa

độ x và y theo bề mặt quan sát Các tệp số liệu ban đầu thông thường sẽ có dạng 3 cột – x, y, z Phần mềm hiểu 3 cột này theo thứ tự cột a, cột b, cột c

Các cột sau có thể có và phần mềm sẽ hiểu các cột phía sau như cột d, cột e

… Sử dụng chức năng Grid ta có thể đưa mảng số liệu “mất trật tự” kia về trật

tự ô luới dạng chữ nhật (tiểu thực đơn Data) Ngoài ra, kể cả khi ta có tệp dữ

liệu đã ở lưới chữ nhật nhưng nếu muốn chuyển đổi độ mau – thưa của lưới

thì chức năng Grid cũng hỗ trợ (tiểu thực đơn Utility) Trong trường hợp ta

muốn chuẩn bị lưới số liệu từ một hàm toán học tường minh cũng có thể dùng

Grid (tiểu thực đơn Math)

Bảng 2.1 Ví dụ tệp số liệu chuẩn bị cho Grid

1.0, 1.0, -3.50 1.0, 2.0, -1.20 2.0, 3.0, 4.10 2.0, 5.0, 18.10 3.0, 4.0, 12.20 3.0, 5.0, 19.10 4.0, 4.0, 17.50 4.0, 5.0, 23.10 5.0, 4.0, 25.80 ………

Hình 2.2 Các tiểu thực đơn của chức năng Grid

Hình 2.3 Các tiểu thực đơn của chức năng Map

Khi các tệp số liệu đã được chuẩn bị thì ta có thể chuyển sang chức năng vẽ - Map Có 2 kiểu bản vẽ hay được lựa chọn: kiểu bản đồ đẳng trị - Contour và hình nổi – 3D Trên hình 2.4 và 2.5 là ví dụ về hai loại bản vẽ nói trên

2.2 Các phương pháp nội suy trong phần mềm SURFER

Như đã xem xét trong chương 1, bản chất của bài toán nội suy là dựa theo

các điểm thực nghiệm đã có (Х i , Y i , i=0,1,2,…, n) để tìm hàm F(x) đi qua

(hoặc đi qua gần sát nhất) các điểm đã có Trong SURFER, để vẽ các bản đồ các loại, bài toán nội suy phức tạp hơn nhiều do các đối số thay đổi theo hai chiều và các hệ số của hàm nội suy tăng vọt Các bài toán nội suy trong SURFER còn phải quan tâm đến các yếu tố ngoài toán học đó là yếu tố thống

kê Ví dụ một điểm cần nội suy còn phải xem nó ở gần đối tượng gây hiệu ứng nào hơn Vì lý do đó mà nhiều hàm nội suy trong SURFER dùng hàm trọng số, dạng:

(2.1)

Điều này có nghĩa là giá trị tại điểm nội suy (x0,y0) nhận lượng giá trị khác nhau từ các giá trị Zi ở quanh nó

Ta xem xét các dạng nội suy thông dụng nhất của SURFER

2.2.1 Phương pháp nghịch đảo khoảng cách (Inverse Distance to a

Power)

Thông thường người ta dùng "Inverse distance weighting" [5,8], sơ đồ mô tả được đưa trên hình 2.6 và các trọng số Wi của công thức nội suy trong trường hợp này trình bày trong công thức (2.2), giá trị hồi qui tính theo (2.1)

Hình 2.6 Sơ đồ mô tả phương pháp nghịch đảo khoảng cách

(2.2)

Trong công thức (2.2):

- Wi – hàm trọng số cho một điểm tham gia vào việc hồi qui tại điểm giả

sử toạ độ qui ước là (0,0)

- OPi – Đại lượng khoảng cách nghịch đảo thứ i

- n – số lượng điểm xung quanh điểm cần nội suy

- li – khoảng cách từ điểm tham gia nội suy đến điểm cần nội suy

- p – bậc (số mũ) của đại lượng khoảng cách nghịch đảo

Hệ số p “Power” là đóng góp của SURFER Nó cho phép phần tham gia của các điểm thực nghiệm quanh điểm hồi qui giảm nhanh hay chậm theo khoảng