Tuyển tập 45 đề thi học sinh giỏi Toán lớp 7 (có đáp án chi tiết)

Gọi H là trung điểm của BC, trên tia đối của tia AH lấy điểm I sao cho AI =BC.. Phân giác của góc BDA cắt BC tại N.. óc ngoài tam giác Lưu ý khi chấm bài: Trên đây chỉ là sơ lược từng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

2) Ba bạn An, Bình và Cường có tổng số viên bi là 74 Biết rằng số viên bi của An

và Bình tỉ lệ với 5 và 6; số viên bi của Bình và Cường tỉ lệ với 4 và 5 Tính số viên bi của mỗi bạn

Cho tam giác ABC cân tại A và có cả ba góc đều là góc nhọn

1) Về phía ngoài của tam giác vẽ tam giác ABE vuông cân ở B Gọi H là trung điểm

của BC, trên tia đối của tia AH lấy điểm I sao cho AI =BC Chứng minh hai tam giác ABI và BEC bằng nhau và BI ⊥CE

2) Phân giác của các góc ABC BDC, cắt AC, BC lần lượt tại D, M Phân giác của góc BDA cắt BC tại N Chứng minh rằng: 1 .

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Giám thị 1 (Họ tên và ký) Giám thị 2 (Họ tên và ký)

Câu Phương pháp-Kết quả Điểm

10 12

=

0.5đ

6 12 72

+ Do tính chất của đường phân giác, ta có DM ⊥DN 0.5 đ + Gọi F là trung điểm của MN Ta có FM =FD=FN 0.5 đ + Tam giác FDM cân tại F nên FMD=MDF

( óc ngoài tam giác)

Lưu ý khi chấm bài:

Trên đây chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của mỗi bài Bài làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ Nếu học sinh giải cách khác đúng thì chấm và cho điểm từng phần tương ứng

Thời gian : 150 phút (không kể thời gian chép đề)

Câu 3: (2 điểm)

Cho hàm số f( )x 3

x

=Tìm x1 biết ( )

1

1 2

Cho tam giác ABC cân tại A (AB > BC) Trên tia BC lấy điểm M sao cho

MA = MB vẽ tia Bx // AM (Bx và AM cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB) Trên tia Bx lấy điểm N sao cho BN = CM Chứng minh rằng:

a, ∠ABN= ∠ACM

b, AMN cân

*****************Hết******************

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI

13 - 5

42 + x = - 15

28 + 1113

x = - 15

28 + 542

0,75đ 0,75đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

2 Số công đào được 200 m3đất của 10 người đào trong 8 ngày là:

10 x 8 = 80 (ngày công)

Số công đào được x m3đất của 12 người đào trong 7 ngày là:

12 x 7 = 84 (ngày công)

Vì năng suất của mỗi người đều như nhau, thì số đất đào được tỉ lệ

thuận với số ngày công nên ta có:

=

Mà ( )

1

1 2

x

f = =>

1

3 1 2

x = => x1= 6

0,5đ 1đ 0,5đ

= 1 - 2 = -1

5

Vẽ hình, ghi GT-KL

a, MAB cân tại M nên ∠BAM = ∠ ABM (1)

ABC cân tại A nên ∠ ACB = ∠ABM (2)

0,5đ 1đ

1đ 0,5đ 0,5đ

* Lưu ý: GV linh hoạt trong khi chấm, nếu HS có cách giải khác nhưng kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa

Phòng gd & đt sơn dương đề thi chọn học sinh năng khiếu lớp 7

b) Cho hai đại lượng tỉ lệ nghịch x và y ; x1, x 2 là hai giá trị bất kì của x;

y1, y2 là hai giá trị tương ứng của y

Tính y1, y2 biết y12+ y22 = 52 và x1=2 , x 2= 3

Câu 4:(2điểm)

Cho hàm số : f(x) = a.x2 + b.x + c với a, b, c, d ∈Z

Biết f(1) 3; (0) 3; ( 1) 3 M f M f ư M Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3

Câu 5:(3điểm)

Cho đa thức A(x) = x + x2 + x3 + + x99 + x100

a) Chứng minh rằng x=-1 là nghiệm của A(x) b)Tính giá trị của đa thức A(x) tại x = 1

2

Câu 6:(6điểm)

Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A , trên cạnh BC lần lượt lấy hai điểm M và N

sao cho BM = MN = NC Gọi H là trung điểm của BC

a) Chứng minh AM = AN và AH ⊥ BC

b) Tính độ dài đoạn thẳng AM khi AB = 5cm , BC = 6cm

c) Chứng minh MAN > BAM = CAN

-Hết -

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Chứng minh ∆ABM = ∆ACN ( c- g- c) từ đó suy ra AM =AN

Chứng minh ∆ABH = ∆ACH ( c- g- c) từ đó suy ra AHB =AHC= 900

⇒ AH ⊥ BC

2đ

b Tính AH: AH

2 = AB2 - BH2 = 52- 32 = 16 ⇒ AH = 4cm Tính AM : AM2 = AH2 + MH2 = 42 + 12 = 17 ⇒ AM = 17cm

Thời gian : 90 phút (Không kể thời gian phát đề)

Cho ∆ABC có AB < AC Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho CD = AB Hai đường trung trực của BD và AC cắt nhau tại E Chứng minh rằng :

a ) ∆AEB = ∆CED

b ) AE là tia phân giác trong tại đỉnh A của ∆ ABC

BGH duyệt Tổ trưởng

3C

Mặt khác : AE nằm giữa hai tia AB và AN nên AE là tia phân giác của góc trong tại đỉnh A của ∆ABC

0.5

TUYỂN CHỌN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7

Đề 1

Bài 1 (4 điểm)

a) Chứng minh rằng 76

+ 75 – 74 chia hết cho 55 b) Tính A = 1 + 5 + 52

Bài 3 (4 điểm)

a) Cho hai đa thức f(x) = x5

– 3x2 + 7x4 – 9x3 + x2 - 1

4x g(x) = 5x4 – x5 + x2 – 2x3 + 3x2 - 1

Cho tam giác ABC có góc A bằng 900, trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE =

BA Tia phân giác của góc B cắt AC ở D

a) So sánh các độ dài DA và DE

b) Tính số đo góc BED

Bài 5 (4 điểm)

Cho tam giác ABC, đờng trung tuyến AD Kẻ đờng trung tuyến BE cắt AD ở

G Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của GA, GB Chứng minh rằng:

a) IK// DE, IK = DE

41đ

b

Bài 5: 4đ

a) Tam giác ABC và tam giác ABG có:

DE//AB, DE = 1

2AB, IK//AB, IK= 1

2AB

Do đó DE // IK và DE = IK

b)∆GDE = ∆GIK (g c g) vì có: DE = IK (câu a)

Góc GDE = góc GIK (so le trong, DE//IK)

Góc GED = góc GKI (so le trong, DE//IK)

⇒ GD = GI Ta có GD = GI = IA nên AG = 2

3AD

G k

Cho dy tỉ số bằng nhau: 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d

Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 65 km/h, cùng lúc đó một xe máy chạy từ B

đến A với vận tốc 40 km/h Biết khoảng cách AB là 540 km và M là trung điểm của

AB Hỏi sau khi khởi hành bao lâu thì ôtô cách M một khoảng bằng 1/2 khoảng cách

từ xe máy đến M

Câu4: (2 điểm)

Cho tam giác ABC, O là điểm nằm trong tam giác

a Chứng minh rằng: BOC= A+ABO+ACO

90 2

A ABO+ACO= − và tia BO là tia phân giác của góc B Chứng minh rằng: Tia CO là tia phân giác của góc C

Qung ®−êng AB dµi 540 Km; nöa qu¶ng

d−êng AB dµi 270 Km Gäi qung ®−êng

« t« vµ xe m¸y ® ®i lµ S1, S2 Trong cïng

1 thêi gian th× qung ®−êng tØ lÖ thuËn víi

A ABO+ACO= − th× BOC = 0 0

TUYỂN CHỌN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7

Bài 3:(4 điểm) Tìm x biết:

Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông Trên hai cạnh đầu vật

chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây

A = 20 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC) Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M Chứng minh: a) Tia AD là phân giác của góc BAC

a c a a b

b c b a b

= + + 0.5đ

Cùng một đoạn đường, cận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch 0.5đ Gọi x, y, z là thời gian chuyển động lần lượt với các vận tốc 5m/s ; 4m/s ; 3m/s

Bài 5:

-Vẽ hình, ghi GT, KL đúng 0.5đ

a) Chứng minh ∆ADB = ∆ADC (c.c.c) 1đ

suy ra DAB=DAC

Với (x -2009)2 =1 thay vào (*) ta có y2 = 17 (loại)

Với (x- 2009)2 = 0 thay vào (*) ta có y2 =25 suy ra y = 5 (do y ∈ ) 0.5đ

Từ đó tìm được (x=2009; y=5) 0.5đ

-200

M A

D

c b a

b

= +

C©u 2: ( 1 ®iÓm) T×m sè nguyªn x sao cho: ( x2 –1)( x2 –4)( x2 –7)(x2 –10) <

0

C©u 3: (2 ®iÓm)

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: A = | x-a| + | x-b| + |x-c| + | x-d| víi a<b<c<d

C©u 4: ( 2 ®iÓm) Cho h×nh vÏ

a, BiÕt Ax // Cy so s¸nh gãc ABC víi gãc A+ gãc C

b, gãc ABC = gãc A + gãc C Chøng minh Ax // Cy

2 2 6

2 6 2

2 6

2 ư < < + ⇒ < <

a

S S a

S S

a

= ⇒

d c

c b a

a d

c

b a c

a d c

b a d

b c

b a d c

b a d

b d c

b a d

b c

=

+

⇔ +

+

=

⇒ +

Ta có : Min [| x-a| + | x-d|] =d-a khi a[x[d

Min [|x-c| + | x-b|] = c – b khi b[ x [ c ( 0,5 điểm)

Vậy A min = d-a + c – b khi b[ x [ c ( 0, 5 điểm)

Câu 4: ( 2 điểm)

A, Vẽ Bm // Ax sao cho Bm nằm trong góc ABC ⇒ Bm // Cy (0, 5 điểm)

Do đó góc ABm = góc A; Góc CBm = gócC

⇒ ABm + CBm = A + C tức là ABC = A + C ( 0, 5 điểm)

b Vẽ tia Bm sao cho ABm và A là 2 góc so le trong và ABM = A ⇒ Ax// Bm (1) CBm = C ⇒ Cy // Bm(2)

Từ (1) và (2) ⇒ Ax // By

Câu 5: áp dụng định lí Pi ta go vào tam giác vuông NOA và NOC ta có:

AN2 =OA2 – ON2; CN2 = OC2 – ON2 ⇒ CN2 – AN2 = OC2 – OA2 (1) ( 0, 5 điểm) Tương tự ta cũng có: AP2 - BP2 = OA2 – OB2 (2); MB2 – CM2 = OB2 – OC2 (3) ( 0, 5

điểm)

Từ (1); (2) và (3) ta có: AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2 ( 0, 5 điểm)

-

b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì :

Bài 4: (4 điểm)

Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA Chứng minh rằng:

a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng

c) Từ E kẻ EH ⊥BC (H∈BC) Biết HBE = 50o ; MEB =25o Tính HEM và BME

Bài 5: (4 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A có 0

A = 20 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC) Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M Chứng minh:

a) Tia AD là phân giác của góc BAC

b) AM = BC

=========

Đề 3

Bài 1:(4 điểm):

Đáp án Thang

điểma) (2 điểm)

3 (3n + 1) − 2 (2n + 1) = 1

3 10 2 5n⋅ − n⋅ = 3 10 2n⋅ − n− ⋅ 10 = 10( 3n -2n)

3n+ − 2n+ + 3n − 2nM 10 với mọi n là số nguyên dương

0,5 điểm

0,5 điểm

0,5 điểm 0,5 điểm

0,5 điểm

1 điểm 0,5 điểm

Bài 2:(4 điểm)

điểma) (2 điểm)

1 23

3

1 72

x x

a c a a b

b c b a b

= + +

0,5 điểm 0,5 điểm

0,5 điểm

0,5 điểm 0,5 điểm

0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm

Bài 4: (4 điểm)

điểm

Vì ∆AMC = ∆EMB ⇒MAC = MEB

(2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE )

BME là góc ngoài tại đỉnh M của ∆HEM

Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o

A

C I

B C

D

-Vẽ hình

C©u 1 ( 2®) Cho:

d

c c

b b

c b a

b b a

c c b

a

+

= +

−

x

x

C©u 4 (2®) T×m x, biÕt:

a) x− 3 = 5 b) ( x+ 2) 2 = 81 c) 5 x + 5 x+ 2 = 650 C©u 5 (3®) Cho
ABC vu«ng c©n t¹i A, trung tuyÕn AM E ∈ BC, BH⊥ AE,

CK ⊥ AE, (H,K ∈ AE) Chøng minh
MHK vu«ng c©n

c c

b b

a

= (1) Ta l¹i cã .

a c b

c b a d

c c

b b

a

+ +

+ +

c b a

b b a

c c b

a

+

= +

=

(a b c)

c b a

+ +

+ +

* x = -4 => A = - 9 * x = -10 => A = -3 C©u 4 a) x = 8 hoÆc - 2

b) x = 7 hoÆc - 11 c) x = 2

Câu 1: Tìm các số a,b,c biết rằng: ab =c ;bc= 4a; ac=9b

Câu 2: Tìm số nguyên x thoả m)n:

Câu1: Nhân từng vế bất đẳng thức ta đ−ợc : (abc)2=36abc

+, Nếu một trong các số a,b,c bằng 0 thì 2 số còn lại cũng bằng 0

+,Nếu cả 3số a,b,c khác 0 thì chia 2 vế cho abc ta đ−ợc abc=36

(0,0,0); (3,2,6);(-3,-2,6);(3,-2,-6);(-3,2.-6) Câu 2 (3đ)

c (1đ) 4-x+2x=3 (1)

* 4-x≥0 => x≤4 (0,25đ) (1)<=>4-x+2x=3 => x=-1( thoả m)n đk) (0,25đ)

*4-x<0 => x>4 (0,25®) (1)<=> x-4+2x=3 <=> x=7/3 (lo¹i) (0,25®) C©u3 (1®) ¸p dông a+b ≤a+bTa cã

A=x+8-x≥x+8-x=8 MinA =8 <=> x(8-x) ≥0 (0,25®)

x

x

kh«ng tho) m)n(0,25®) VËy minA=8 khi 0≤x≤8(0,25®)

Trong tam gi¸c MAE cã I lµ trung ®iÓm cña c¹nh AM (gt) mµ ID//ME(gt)

Nªn D lµ trung ®iÓm cña AE => AD=DE (1)(0,5®)

V× E lµ trung ®iÓm cña DC => DE=EC (2) (0,5®)

So s¸nh (1)vµ (2) => AD=DE=EC=> AC= 3AD(0,25®)

C©u 1: TÝnh :

a) A =

100 99

1

4 3

1 3 2

1 2 1

1

+ + +

20

1

) 4 3 2 1 ( 4

1 ) 3 2 1 ( 3

1 ) 2 1 ( 2

1

+ + + + +

+ + + + + + + + +

3

1 2

1 1

1

>

+ + +

1 2 1

1 3 2

1 4 3

1 100 99

1 1 100

1 99

1 99

1

3

1 3

1 2

1 2

− + +

− +

1

2

5 4 4

1 2

4 3 3

1 2

3 2 2

21

> ;

10

1 3

1

> ; … ;

10

1 100

1

3

1 2

Câu 3: Gọi a,b,của là các chữ số của số có ba chữ số cần tìm Vì mỗi chữ số a,b,của không v−ợt quá 9 và ba chữ số a,b,của không thể đồng thời bằng 0 , vì khi đó ta không đ−ợc số có ba chữ số nên: 1 ≤ a+b+c ≤ 27

Mặt khác số phải tìm là bội của 18 nên a+b+c =9 hoặc a+b+c = 18 hoặc a+b+c=17 Theo giả thiết, ta có:

6 3

2 1

c b a c b

1= = = =

c b a

⇒ a=3; b=6 ; của =9 Vì số phải tìm chia hết cho 18 nênchữ số hàng đơn vị của nó phải là số chẵn

Câu 1: 2 điểm a 1 điểm b 1 điểm

Câu 2: 2 điểm : a 1 điểm b 1 điểm

Câu 3 : 1,5 điểm

Câu 4: 3 điểm : a 2 điểm ; b 1 điểm

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7

§Ò sè 7 Thêi gian lµm bµi: 120 phót C©u 1: (1,5 ®) T×m x biÕt:

a,

327

2 +

x

+

326 3 +

x

+

325 4 +

x

+

324 5 +

x

+

5 349 +

1 0

7

1

7

1 7

1 7

99

! 4

3

! 3

2

! 2

5

349 1

324

5 1

325

4 1

326

3 1

1 325

1 326

1 327

1 )(

329

⇔ x

329 0

1 100

! 3

1 3

! 2

1 2

! 100

99

! 4

− +

−

= + + +

1

! 100

S x

S c b a

4

2 3

2 2

2 4 3

3 4 6 4 3

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7

§Ò sè 8 Thêi gian : 120’

C©u 1 : (3®) T×m sè h÷u tØ x, biÕt :

a) ( )5

1

−

x = - 243 b)

15

2 14

2 13

2 12

2 11

+ +

5

= + y

15

1 14

1 13

1 12

1 11

1

−

− +

15

1 14

1 13

1 12

5

= + y

8

1 8

2 5

= + y

8

2 1

b) Tìm x∈z để A∈Z A=

3

4 1 3

1

− +

=

−

+

x x

180 15

………

Bài1( 3 điểm)

a, Tính: A =

1 11

60 ).

25 , 0 91

5 (

) 75 , 1 3

10 ( 11

12 ) 7

176 3

1 26 ( 3

1 10

Bài 3: (2 điểm) Cần bao nhiêu chữ số để đánh số trang một cuốn sách dày 234 trang

Bài 4: ( 3 điểm) Cho ∆ABC vuông tại B, đường cao BE Tìm số đo các góc nhọn của tam giác , biết EC – EA = AB

- hết -

Đáp án đề số 9 Bài 1: 3 điểm

a, Tính: A =

1 11

60 364 71 300

475 11

12 1 3 31

1 11

60 ).

4

1 91

5 (

100

175 3

10 ( 11

12 ) 7

176 7

183 ( 3 31

1001 33 284

1001 55 33

57 341

Theo giả thiết:1+ 1 +1 = 2

z y x

(2) Do (1) nên z =

x z y x

3 1 1 1

≤ + +

Vậy: x = 1 Thay vào (2) , đ−ợc:

y z

y

2 1 1 1

≤

= +Vậy y = 2 Từ đó z = 2 Ba số cần tìm là 1; 2; 2

Bài 3: 2 Điểm

Có 9 trang có 1 chữ số Số trang có 2 chữ số là từ 10 đến 99 nên có tất cả 90 trang Trang có 3 chữ số của cuốn sách là từ 100 đến 234, có tất cả 135 trang Suy ra số các chữ số trong tất cả các trang là:

9 + 2 90 + 3 135 = 9 + 180 + 405 = 594

Bài 4 : 3 Điểm

Trên tia EC lấy điểm D sao cho ED = EA

Hai tam giác vuông ∆ABE = ∆DBE ( EA = ED, BE chung)

Suy ra BD = BA ; BAD = BDA

Theo giả thiết: EC – EA = A B

Vậy EC – ED = AB Hay CD = AB (2)

Từ (1) và (2) Suy ra: DC = BD

Vẽ tia ID là phân giác của góc CBD ( I ∈BC )

Hai tam giác: ∆CID và ∆BID có :

ID là cạnh chung,

CD = BD ( Chứng minh trên)

CID = IDB ( vì DI là phân giác của góc CDB )

Vậy ∆CID = ∆BID ( c g c) ⇒ C = IBD Gọi C là α ⇒

BDA = C + IBD = 2 ⇒ C = 2 α ( góc ngoài của ∆ BCD)

mà A = D ( Chứng minh trên) nên A = 2 α ⇒ 2 α + α = 900 ⇒ α = 300

Do đó ; C = 300 và A = 600

-

Bài 1(2 điểm) Cho A= x+ 5 + ư 2 x.

a.Viết biểu thức A dưới dạng không có dấu giá trị tuyệt đối

b.Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Bài 2 ( 2 điểm)

a.Chứng minh rằng : 1 12 12 12 12 1

6<5 +6 +7 + +100 <4 b.Tìm số nguyên a để : 2 9 5 17 3

Bài 3(2,5 điểm) Tìm n là số tự nhiên để : A=(n+ 5)(n+ 6 6 )M n

Bài 4(2 điểm) Cho góc xOy cố định Trên tia Ox lấy M, Oy lấy N sao cho OM +

ON = m không đổi Chứng minh : Đường trung trực của MN đi qua một điểm cố định Bài 5(1,5 điểm) Tìm đa thức bậc hai sao cho : f x( )ư f x( ư 1)=x.

+ + =

Bài 3 Biến đổi :

-Dựng d là trung trực của OM’ và Oz là

phân giác của góc xOy chúng cắt nhau tại D

- ODM = M DN c g c' ( ) ⇒MD=ND

⇒D thuộc trung trực của MN

-Rõ ràng : D cố định Vậy đường trung trực của MN đi qua D cố định

Bài 5 -Dạng tổng quát của đa thức bậc hai là : ( ) 2

a b

o

a, Tây đạt giải 1, Bắc đạt giải 2

b, Tây đạt giải 2, Đông đạt giải 3

c, Nam đạt giải 2, Đông đạt giải 4

Em hTy xác định thứ tự đúng của giải cho các bạn

- Hết -

Đáp án đề số 11 Câu1 (làm đúng đ−ợc 2 điểm)

ư + (điều kiện x ≠ -10) (0,5đ) Câu 2 (làm đúng được 2đ)

Gọi số học sinh đi trồng cây của 3 Lớp 7A,7B, 7C

mà BK ⊥ AC ⇒ BK là đường cao của ∆ cân ABC

⇒ BK cũng là trung tuyến của ∆ cân ABC (0,75đ)

hay K là trung điểm của AC

b, Xét của ∆ cân ABH và ∆ vuông BAK

Có AB là cạng huyền (cạnh chung)