BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TÍNH ĐÓNG KÍN CỦA KHÔNG GIAN CÁC HÀM SUY RỘNG LÊ HOÀNG ANH Chuyên ngành: Giải tích TIỂU LUẬN HÀM SUY RỘNG Cán hướng dẫn khoa học PGS.TS. LÊ VIẾT NGƯ Huế, năm 2011 i Mục lục Trang phụ bìa i Mục lục Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị Tính đóng kín không gian hàm suy rộng Nhận xét mở rộng Tài liệu tham khảo LỜI NÓI ĐẦU Hàm suy rộng hay Lý thuyết phân bố nội dung đưa vào giảng dạy cho học viên Cao học ngành Giải tích. Hầu hết, tính chất hàm suy rộng tương tự theo tính chất hàm thông thường chứng minh theo phương pháp đưa hàm thông thường. Trong tiểu luận này, xin trình bày định lý tính đóng kín không gian hàm suy rộng. Đây định lý quan trọng nghiên cứu không gian hàm suy rộng. Tiểu luận chia làm phần: Phần I.Một số kiến thức chuẩn bị. Phần II. Nội dung gồm • Định lý tính đóng kín không gian hàm suy rộng • Nhận xét liên quan. Phần III. Nhận xét, mở rộng Để hoàn thành tiểu luận này, xin chân thành cám ơn PGS.TS Lê Viết Ngư tận tình giảng dạy học phần Lý thuyết phân bố. Tôi xin chân thành cám ơn anh chị học viên Cao học Toán K19, chuyên ngành Giải tích giúp đỡ, động viên trình làm tiểu luận. Trong thời gian ngắn phải hoàn thành tiểu luận, nên chắn không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong nhận góp ý thầy cô bạn. Huế, tháng 11 năm 2011 Lê Hoàng Anh KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm sở - Không gian hàm sở Định nghĩa 1. Hàm số ϕ : Rn −→ R gọi hàm tiêu hạn ϕ(x) không miền bị chặn Rn . Định nghĩa 2. Tập hợp K tất hàm thực ϕ(x), tiêu hạn, có đạo hàm liên tục cấp gọi không gian hàm sở (không gian sở). Mỗi hàm ϕ(x) gọi hàm sở. Nhận xét 1. Ta nhận thấy • Tổng hai hàm sở hàm sở. • Tích số thực với hàm sở hàm sở Từ suy K không gian tuyến tính. Định nghĩa 3. Ta nói dãy ϕ1 (x), ϕ2 (x), ., ϕn (x), hàm sở hội tụ không không gian K, tất hàm dãy đều: a. Bằng miền bị chặn. b. Hội tụ không với đạo hàm cấp chúng. (K) Kí hiệu: ϕn −→ K n −→ ∞ hay lim ϕn = ϕn −−→ n→∞ Ta nói rằng, dãy ϕ1 (x), ϕ2 (x), ., ϕn (x), . hàm sở hội tụ hàm sở ϕ(x) K dãy (ϕn (x) − ϕ(x))n hội tụ không K. Định lý 4. Nếu F tập đóng , bị chặn U miền mở chứa F, tồn hàm sở ϕ(x) F, U nhận giá trị điểm lại. 1.2 Hàm suy rộng phép toán Định nghĩa (Hàm suy rộng). Không gian sở K xác định phiếm hàm tuyến tính, liên tục f với hàm sở ϕ(x) ∈ K ta đặt tương ứng với số thực (f, ϕ) thỏa mãn điều kiện sau: 1.Tính tuyến tính: Với α1 , α2 ∈ R, ∀ϕ1 , ϕ2 ∈ K. Ta có: (f, α1 ϕ1 + α2 ϕ2 ) = α1 (f, ϕ1 ) + α2 (f, ϕ2 ) 2.Tính liên tục: Nếu dãy hàm sở ϕ1 (x), ϕ2 (x) . hội tụ không K dãy số (f, ϕ1 ), (f, ϕ2 ), . hội tụ không R. Định nghĩa (Các phép toán hàm suy rộng). Cho hai hàm suy rộng f, g số thực α ∈ R, ta định nghĩa phép toán sau: (f + g, ϕ) = (f, ϕ) + (g, ϕ); ∀ϕ ∈ K (αf, ϕ) = α(f, ϕ) = (f, αϕ); ∀ϕ ∈ K Nhận xét 2. Từ phép toán ta thấy không gian hàm suy rộng với hai phép toán lập thành không gian tuyến tính. Tiếp ta định nghĩa tích hàm suy rộng hàm khả vi vô hạn a: Định nghĩa 7. Cho f hàm suy rộng, a hàm khả vi vô hạn. Tích hàm suy rộng f a định nghĩa theo công thức: (af, ϕ) = (f, aϕ); ∀ϕ ∈ K Định nghĩa 8. Dãy hàm suy rộng f( 1), f( 2), ., f( n), . gọi hội tụ hàm suy rộng f với hàm sở ϕ ∈ K, ta có: lim (fn , ϕ) = (f, ϕ) n→∞ Kí hiệu: lim fn = f n→∞ Nhận xét 3. Giới hạn dãy hội tụ hàm suy rộng nhất. TÍNH ĐÓNG KÍN CỦA KHÔNG GIAN CÁC HÀM SUY RỘNG Bây ta đến định lý quan trọng không gian hàm suy rộng: Định lý 9. Mỗi hàm suy rộng giới hạn dãy hàm suy rộng tập trung miền bị chặn. Ngược lại, với dãy hàm suy rộng (fn )n , cho với hàm sở ϕ ∈ K mà tồn giới hạn dãy số (fn , ϕ)n giới hạn xác định hàm suy rộng K. Chứng minh: i) Xét dãy hàm khả vi vô hạn (g( n))( n) xác định sau: Với n ∈ N gn (x) = 1 |x| ≤ n 0 |x| > 2n . Lúc đó, với hàm sở ϕ ∈ K: lim gn ϕ = ϕ. n→∞ Với hàm suy rộng f , với n ∈ N đặt fn = gn f . Theo Định nghĩa fn hàm suy rộng (gn f, ϕ) = (f, gn ϕ); ∀ϕ ∈ K fn = gn f = với |x| > 2n. Điều có nghĩa fn tập trung miền bị chặn |x| ≤ 2n. Ta có: lim (fn , ϕ) = lim (gn f, ϕ) = lim (f, gn ϕ) = (f, ϕ) n→∞ n→∞ n→∞ Vậy lim fn = f . n→∞ ii) Giả sử ∀ ∈ K, dãy hàm suy rộng (fn )n thỏa (fn , ϕ) −→ (f, ϕ). Ta chứng minh (f, ϕ) hàm suy rộng K. * Ta kiểm tra f phiếm hàm tuyến tính K: Với α1 , α1 ∈ R; ϕ1 , ϕ2 ∈ K ta đặt ψ = α1 ϕ1 + α2 ϕ2 ψ ∈ K, lúc đó: lim (fn , ψ) = lim (fn , α1 ϕ1 + α2 ϕ2 ) = lim [α1 (fn , ϕ1 ) + α2 (fn , ϕ2 )] n→∞ n→∞ n→∞ = lim [α1 (fn , ϕ1 )] + lim [α2 (fn , ϕ2 )] = α1 (fn , ϕ1 ) + α2 (fn , ϕ2 ) n→∞ (∗) n→∞ Theo giả thiết lim (fn , ψ) = (f, ψ) = (f, α1 ϕ1 +α2 ϕ2 ) (∗∗) n→∞ Từ (∗)(∗∗) ta có:(f, α1 ϕ1 + α2 ϕ2 ) = α1 (f, ϕ1 ) + α2 (f, ϕ2 ). Vậy (f, ϕ) xác định phiếm hàm tuyến tính K. * Bây ta f liên tục: Cho dãy hàm sở (ϕn )n hội tụ không K, cần chứng minh dãy số (f, ϕn ) hội tụ không. Thật vậy, giả sử (f, ϕn ) hội tụ không. Khi đó, dãy (f, ϕn )n (lấy cúng số) ta nói |(f, ϕn )| ≥ c > 0. Theo định nghĩa 3, với dãy (ϕn )n ta giả sử: , k = 0, 1, . 4n Đặt ψn = 2n ϕn lúc ψn → (f, ψn ) → ∞ n → ∞. Ta xây dựng |Dk ϕn (x)| ≤ dãy fn , ψn sau: Trước hết lấy ψ1 cho |(f, ψ1 )| > (fn , ψ) → (f, ψ), chọn f1 để (f, ψ1 ) > 1. Giả sử ta xây dựng fj , ψj (j = 1, 2, .) ψn → K nên có số n đủ lớn để ψn ∈ (ψn )n cho: |(fk , ψn )| < 2n−k , k = 0, 1, ., n − 1) (1) Vì (f, ψn ) → ∞ nên với số A > 0, từ số n đủ lớn |(f, ψn )| > A ta có: n−1 |(f, ψn )| > |(f, ψj )| + n (2) j=1 Mặt khác (fn , ψ) → (f, ψ) nên ta lấy fn từ dãy (fn )n cho bất đẳng thức sau xảy ra: n−1 |(fn , ψn )| > |(fn , ψj )| + n (2 ) j=1 ∞ Đặt ψ = j=1 ∞ |ψn , (ψn )n dãy dãy (ψn )n nên ta có K suy ψ ∈ K. Ta có: ∞ n−1 (fn , ψ) = j=1 (fn , ψj ) + (fn , ψn ) + (fn , ψj ) j=n+1 j=1 |ψn hội tụ ∞ n−1 ⇔ (fn , ψj ) = (fn , ψ) − (fn , ψn ) (fn , ψj ) + j=1 j=n+1 ∞ n−1 ⇒| (fn , ψj )| = |(fn , ψn ) − (fn , ψ )| (fn , ψj ) + j=1 j=n+1 ∞ n−1 ⇒ |(fn , ψj )| + j=1 |(fn , ψj )| ≥ |(fn , ψn )| − |(fn , ψ )| (3) j=n+1 ∞ ∞ (fn , ψj ) < Từ (1) ta có: j=n+1 j=n+1 2j−n =1 từ (2)(2’) ta có: ∞ n−1 |(fn , ψj )| + j=1 |(fn , ψj )| < |(fn , ψn )| − n + j=n+1 Từ (3) ta có được: |(fn , ψn )| − n + > |(fn , ψn )| − |(fn , ψ)| ⇔ |(fn , ψ)| > n − n → ∞ (fn , ψ) → ∞. Điều mâu thuẫn với (fn , ψ) → (f, ψ). Vậy điều giả sử không đúng, suy f liên tục. Nhận xét 4. Định lý vừa trình bày có ý nghĩa quan trọng, cho thấy khác hàm suy rộng hàm thông thường chỗ: giới hạn dãy hàm suy rộng hàm suy rộng giới hạn dãy hàm liên tục thông thường chưa phải hàm liên tục. Ví dụ sau làm sõ nhận xét trên: Ví dụ 10. Xét dãy hàm: fn = xn , x ∈ [0; 1] dãy hàm liên tục [0; 1] Với x ∈ [0; 1) : fn (x) → n → ∞ Với x = : fn (x) → f (x) = n → ∞ Do fn hội tụ hàm 0 x ∈ [0; 1) 1 x = . rõ ràng f không liên tục. Như giới hạn dãy hàm liên tục thông thường muốn có kết hàm liên tục hội tụ phải hội tụ đều. NHẬN XÉT MỞ RỘNG Trong khuôn khổ tiểu luận này, xem xét chứng minh định lý tính đóng kín hàm suy rộng. Qua ta thấy khác biệt giới hạn dãy hàm suy rộng hội tụ giới hạn dãy hàm liên tục hội tụ thông thường. Tuy nhiên, ta mở rộng kết nghiên cứu không gian hàm suy rộng D’(Ω) ( xây dựng không gian hàm D(Ω) ) không gian hàm suy rộng với giá compact E’(Ω). Trong hai không gian ta có kết vậy, tức xem xét thêm số điều kiện hội tụ ta có giới hạn dãy hàm suy rộng hàm suy rộng. Và nội dung trình bày [2]( Tài liệu tham khảo) Tài liệu tham khảo 1. PGS. Lê Viết Ngư , "Hàm suy rộng (hay Lý thuyết phân bố)", Tài liệu dành cho học viên Cao học chuyên nhành giải tích, Huế 1998. 2. Đặng Anh Tuấn, Lý thuyết hàm suy rộng không gian Sobolev, Hà nội, 2005. . những tính chất của hàm suy rộng tương tự theo tính chất hàm thông thường và được chứng minh theo phương pháp đưa về hàm thông thường. Trong tiểu luận này, tôi xin trình bày định lý về tính đóng kín. GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TÍNH ĐÓNG KÍN CỦA KHÔNG GIAN CÁC HÀM SUY RỘNG LÊ HOÀNG ANH Chuyên ngành: Giải tích TIỂU LUẬN HÀM SUY RỘNG Cán bộ hướng dẫn khoa học PGS.TS nghiên cứu về không gian các hàm suy rộng. Tiểu luận được chia làm 3 phần: Phần I.Một số kiến thức chuẩn bị. Phần II. Nội dung gồm • Định lý về tính đóng kín của không gian các hàm suy rộng • Nhận