Tiểu luận tính địa phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TIỂU LUẬN HÀM SUY RỘNG ĐỀ TÀI: TÍNH ĐỊA PHƯƠNG CỦA HÀM SUY RỘNG Cán hướng dẫn khoa học PGS-TS. LÊ VIẾT NGƯ Học viên thực hiện: NGUYỄN ĐỨC TÍN Chuyên ngành: Giải Tích Huế, tháng 11, năm 2011 i Mục lục Trang phụ bìa i Mục lục Lời nói đầu Phần 1.1 1.2 1.3 1.4 Phần Tổng quan hàm suy rộng Hàm sở không gian sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hàm Suy Rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Các phép toán hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Tổng hai hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Tích số thưc với hàm suy rộng . . . . . . . . . . 1.3.3 Tích hàm khả vi vô hạn hàm suy rộng . 1.3.4 Phép biến đổi tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5 Phép chuyển giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phân hoạch đơn vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tính địa phương hàm suy rộng 10 2.1 2.2 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.2 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.3 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.4 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Tính chất hàm suy rộng (Tính địa phương) . . . . . . . . . 11 2.2.1 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.2 Nhận Xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.3 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2.4 Định Lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Phần Nhận Xét mở rộng 15 3.1 Một vài nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2 Mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2.1 3.2.2 Không gian hàm D(Ω), không gian hàm suy rộng D (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Tính địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Kết luận 18 Tài liệu tham khảo 19 LỜI NÓI ĐẦU Hàm suy rộng xuất từ thập kỉ thứ hai kỉ thứ 20. Lý thuyết hàm suy rộng Xôbôlep đặc sở áp dụng để giải toán Côsi cho phương trình Hypebolic(1936) năm 1945 L.Schwartz xây dựng cách hệ thống lý thuyết hàm suy rộng. Là công cụ thích hợp để mô tả phân bố đại lượng Vật lí. Trong tiểu luận xin trình bày kiến thức nhỏ không phần quan trọng lý thuyết hàm suy rộng. Đó tìm hiểu tính địa phương hàm suy rộng. Nội dung tiểu luận chia làm ba phần: Phần I: Chúng xin trình bày số kiến thức tổng quan hàm suy rộng. phần II: Trình bày tính địa phương hàm suy rộng. Phần III: Một vài nhận xét kết mở rộng. Để hoàn thành tiểu luận, xin chân thành cảm ơn thầy PGS-TS Lê Viết Ngư tận tình giảng dạy học hướng dẫn môn. Trong thời gian ngắn phải hoàn thành nên tiểu luận không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong nhận góp ý quý thầy cô bạn. Huế, tháng 11 năm 2011 Nguyễn Đức Tín Phần TỔNG QUAN VỀ HÀM SUY RỘNG 1.1 Hàm sở không gian sở 1.1.1 Định nghĩa Hàm số ϕ : Rn −→ R gọi hàm tiêu hạn (hàm có giá giới nội), ϕ(x) không miền bị chặn Rn * Bao đóng tập tất phần tử x thuộc Rn mà ϕ(x) = gọi giá hàm tiêu hạn ϕ, Suppϕ = {x ∈ Rn : ϕ(x) = 0} Ví dụ : ϕ(x) =   e x với |x| ≤  0 với |x| ≥ ; x ∈ Rn (1.1) hàm tiêu hạn. Giá ϕ(x) hình cầu đóng đơn vị. 1.1.2 Định nghĩa Tập hợp K gồm tất hàm thực ϕ(x), tiêu hạn có đạo hàm liên tục cấp gọi không gian hàm sở .Mỗi ϕ(x) gọi hàm sở. Chú ý: 1)Tổng hai hàm sở hàm sở. 2)Tích số thực với hàm sở hàm sở. 3) K không gian tuyến tính. 1.1.3 Định nghĩa Ta nói dãy ϕ1 (x), ϕ2 (x), .ϕn (x), . hàm sở hội tụ không không gian K, tất hàm dãy đều: a) Bằng không miền bị chặn. b) Hội tụ không với đạo hàm cấp chúng. Kí hiệu: ϕn → K hay limn→∞ ϕn = n → ∞ Ta nói dãy ϕ1 (x), ϕ2 (x), .ϕn (x), . hàm sở hội tụ hàm sở ϕ1 (x) K dãy (ϕn (x) − ϕ(x))n hội tụ không K. Chú ý : 1)Tích hàm sở với hàm khả vi vô hạn hàm sở. 2) L phép biến đổi tuyến tính không suy biến trong.Rn . Khi với hàm sở ϕ(x), ϕ(Lx) hàm sở. 1.2 Hàm Suy Rộng 1.2.1 Định nghĩa Ta nói không gian hàm sở K xác định phiếm hàm tuyến tính, liên tuc f , với hàm sở ϕ(x) ∈ K ta đặt tương ứng số thực (f, ϕ) thoả mãn điều kiện sau: 1) Tính tuyến tính: Với ∀α1 , α2 ∈ R, ∀ϕ1 , ϕ2 ∈ K.Ta có: (f, α1 ϕ1 + α2 ϕ2 ) = α1 (f, ϕ1 ) + α2 (f, ϕ2 ) . 2) Tính liên tục: Nếu dãy hàm ϕ1 (x), ϕ2 (x), . hội tụ không K dãy số (f, ϕ1 (x)), (f, ϕ2 (x)), .hội tụ không R. 1.2.2 Định nghĩa Hàm suy rộng f phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian hàm sở K. Chú ý : 1)Nếu f hàm khả tích miền bị chặn không gian Rn . Với hàm sở ϕ(x) ∈ K. ta đặt tương ứng số : (f, ϕ) = Rn f (x)ϕ(x)dx Hàm suy rộng dạng (1) gọi hàm suy rộng qui Hàm suy rộng dạng lại gọi hàm suy rộng kì dị. Kí hiệu : Hàm suy rộng kí hiệu (f, ϕ(x)) (f, ϕ) = Rn f (x)ϕ(x)dx 2) Các hàm suy rộng qui đặc biệt + Hàm suy rộng số C :(f, ϕ) = C + Hàm suy rộng đơn vị (1, ϕ) = Rn Rn ϕ(x)dx ϕ(x)dx 3) Tập tất hàm suy rộng kí hiệu K’ 1.3 Các phép toán hàm suy rộng 1.3.1 Tổng hai hàm suy rộng Cho hai hàm suy rộng f g. Tổng f + g chúng hàm suy rộng định nghĩa sau: (f + g, ϕ) = (f, ϕ) + (g, ϕ) với ϕ ∈ K Đặc biệt, f g hai hàm suy rộng quy tương ứng với hàm khả tích địa phương f (x) g(x) tổng f + g hàm suy rộng quy tương ứng với hàm f (x) + g(x) khả tích địa phương. 1.3.2 Tích số thưc với hàm suy rộng Tích số thực α ∈ R với hàm suy rộng f định nghĩa sau: (αf, ϕ) = α(f, ϕ) = (f, αϕ); ∀ϕ ∈ K Ta dễ dàng kiểm tra hàm αf tuyến tính liên tục K tức αf hàm suy rộng. Hoàn toàn tương tự trên, hàm suy rộng quy αf tương ứng với hàm khả tích địa phương αf (x): (αf, ϕ) = α f (x)ϕ(x)dx Rn Từ định nghĩa ta thấy K không gian tuyến tính. 1.3.3 Tích hàm khả vi vô hạn hàm suy rộng Tích hàm khả vi vô hạn a(x) hàm suy rộng f định nghĩa sau: (af, ϕ) = (f, aϕ), ∀ϕ ∈ K Dễ thấy af phiếm hàm tuyến tính liên tục nên af hàm suy rộng. Đặc biệt f hàm suy rộng quy thì: (af, ϕ) = (f, aϕ) = f (x)[a(x)ϕ(x)]dx = Rn 1.3.4 [a(x)f (x)]ϕ(x)dx. Rn Phép biến đổi tuyến tính Cho L phép biến đổi tuyến tính không suy biến Rn f hàm suy rộng tuỳ ý, ta có công thức phép biến đổi tuyến tính sau: (Lf, ϕ) =| L | (f, ϕ(Lx)), ∀ϕ ∈ K (2) Ví dụ: Xét phép tịnh tiến theo vectơ h.Khi phép tịnh tiến theo vectơ h đựoc cho công thức: (Lf, ϕ) = (f, ϕ(Lx)) = (f, ϕ(x + h)) Ta kiểm tra cách tính | L |= thay vào (2). Ta viết công thức dạng: (f (x − h), ϕ) = (f, ϕ(x + h)) (3) Với hàm suy rộng quy thì: f (x − h)ϕ(x)dx = Rn f (x)ϕ(x + h)dx Rn Công thức với công thức tích phân hàm thông thường. 1.3.5 Phép chuyển giới hạn Dãy hàm suy rộng f1 , f2 , ., fn , . gọi hội tụ hàm suy rộng f với hàm sở ϕ(x) ∈ K, ta có lim (fn , ϕ) = (f, ϕ). n→∞ Kí hiệu: lim fn = f hay fn → f n → ∞. n→∞ Hoàn toàn tương tự ta định nghĩa chuỗi hàm suy rộng hội tụ sau: ∞ fi gọi hội tụ hàm suy rộng g dãy tổng Chuỗi hàm suy rộng i=1 n riêng gn = fi , (n = 1, 2, .) hội tụ hàm suy rộng g. i=1 1.4 Phân hoạch đơn vị 1.4.1 Khái niệm Giả sử có phủ đếm không gian Rn gồm miền bị chặn U1 , U2 , ., Um , .Phủ hữu hạn địa phương theo nghĩa, với điểm x Rn phủ hữu hạn số tập Ui , i = 1, .Bây đòi hỏi xây dựng dãy hàm khả vi vô hạn e1 (x), e2 (x), ., em (x) . thoả điều kiện: a) ≤ ek (x) ≤ 1; k = 1, 2, . b) ek (x) = miền Uk ; k = 1, 2, . ∞ ei (x) ≡ c) i=1 Các ek (x) với x ∈ Rn khác không với hữu hạn số hạng(do điều kiện b tính hữu hạn địa phương tập {Ui }) Ta gọi {ei (x)} phân hoạch đơn vị tương ứng với phủ {Ui }; gọi tắt phân hoạch đơn vị. 1.4.2 Nhận xét 1) Giả sử {ei } phân hoạch đơn vị tương ứng với phủ {Ui } Rn . Khi với hàm sở ϕ(x) tuỳ ý, ta có : ∞ ϕ(x) = ϕi (x) i=1 (1) Với ϕi (x) = ϕ(x)ei (x) hàm sở không miền Ui , i = 1, 2, . Trong đó, số hạng bên phải (1)là hữu hạn thêm điều kiện : hình cầu |x| ≤ n giao với hữu hạn miền Ui cho. 2)Nếu ϕn (x) → K n → ∞ ϕni (x) = ϕn (x)ei (x) → K n → ∞. Phần TÍNH ĐỊA PHƯƠNG CỦA HÀM SUY RỘNG 2.1 Các định nghĩa 2.1.1 Định nghĩa Hàm suy rộng f không lân cận U điểm x0 cho, hàm sở ϕ ∈ K, khác không lân cận đó, ta có đẳng thức (f, ϕ) = Nói cách khác, hàm suy rộng f = lân cận U điểm x0 với ϕ ∈ K mà :   ϕ(x) = x ∈ U  ϕ(x) = x ∈ /U (2.1) ta có đẳng thức (f, ϕ) = Từ ta nói Hàm suy rộng f = miền mở G không lân cận điểm thuộc G. 2.1.2 Định nghĩa Hàm suy rộng f không miền G, với hàm sở tuỳ ý, khác không tập Q với bao đóng Q ta có đẳng thức : (f, ϕ) = 0. 10 2.1.3 Định nghĩa Ta gọi x0 điểm thưc chất phiếm hàm suy rộng f hàm suy rộng f khác không lân cận x0 . 2.1.4 Định nghĩa Tập tất điểm thực chất phiếm hàm f gọi giá hàm suy rộng. Nếu tập F chứa giá hàm suy rộng f f không ε-lân cận F (ε > 0) ta nói hàm suy rộng f tập trung F. 2.2 2.2.1 Tính chất hàm suy rộng (Tính địa phương) Định lý Tính địa phương hàm suy rộng định nghĩa theo đinh nghĩa định nghĩa tương đương nhau. Chứng minh Định nghĩa suy định nghĩa hiển nhiên Ta chứng minh định nghĩa suy định nghĩa Giả sử hàm suy rộng f không miền G (theo định nghĩa 1). Xét hàm sở ϕ(x) mà ϕ(x) = Q; Q ⊂ Q. Khi đó: Với x ∈ Q, tồn lân cận U mà hàm suy rộng f U (theo định nghĩa 1). Không tính tổng quát ta giả sử U bị chặn. Tập hợp U lập thành phủ Q. Theo định lý Hainơ-Borel từ phủ ta tìm phủ đếm được: U1 , U2 , .Um , . có tính chất : Mỗi hình cầu |x| ≤ n giao với hữu hạn số lân cận Ui đó. Theo nhận xét trình bày phần trước , hàm sở ϕ(x) viết dạng : ∞ ϕ(x) = ϕi (x) (1) i=1 11 Trong ϕi (x) = lân cận Ui (i = 1, .) đồng thời số số hạng bên phải (1) hữu hạn. Do theo định nghĩa Ui ta có (f, ϕi (x) = 0, i = 1, 2, . ∞ ∞ ϕi (x) = Vậy (f, ϕ(x)) = (f, i=1 2.2.2 (f, ϕi (x)) = . i=1 Nhận Xét 1) Hàm suy rộng f không lân cận điểm hàm không. Có nghĩa , với ϕ ∈ K (f, ϕ) = 2) Nếu hàm sở ϕ(x) không lân cận U giá F hàm suy rộng f (f, ϕ) = Kiểm chứng : Theo định nghĩa f = F F khác không F vi phạm định nghĩa F tập hợp tất điểm thực chất hàm suy rộng. Do theo định nghĩa ta có nhận xét trên. 3)Sự thay đổi giá trị hàm sở ϕ lân cận giá F hàm suy rộng f không ảnh hưởng đến giá trị đại lượng (f, ϕ). Kiểm chứng : Giả sử có thay đổi hàm sở ϕ lân cận giá F. Khi điều tương đương với việc bổ sung vào hàm sở ϕ hàm khac ψ, với ψ lân cận giá F hàm f . Vì : (f, ψ) = 0. Do (f, ϕ + ψ) = (f, ϕ) + (f, ψ) = (f, ϕ) 4) Hai hàm suy rộng f g gọi trùng miền suy rộng G hiệu f − gbằng miền đó. Vì nói :Nếu f g hai hàm suy rộng trùng lân cận điểm chúng trùng toàn bộ, tức là: (f, ϕ) ≡ (g, ϕ) với ∀ϕ ∈ K. Nói xác hơn: Các hàn suy rộng f g thực chất hàm suy rộng. 12 2.2.3 Mệnh đề Mỗi hàm suy rộng xác định cách đơn trị giá trị địa phương nó. 2.2.4 Định Lý Nếu điểm x0 ∈ Rn có lân cận U (x0 ) cho với hàm sở ϕ(x) điều lân cận này,cho trước số (f, ϕ) với giả thiết số phụ thuộc liên tục tuyến tính vào ϕ mà không phụ thuộc vào việc chọn điểm x0 thoả mãn giả thiết trên. Khi đó, luôn ttòn phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian sở K, trùng với hàm suy rộng f ϕ(x) mà phiếm hàm f xác định. Chứng minh Ta nhận thấy lân cận U (x0 ) theo giả thiết tồn điểm Rn vậy, chúng tạo thành phủ không gian Rn . Không tính tổng quát, ta nói lân cận bị chặn. Áp dụng định lý Hainơ- Borel, từ phủ ta tìm phủ đếm U1 , U2 , .Um , . có tính chất : Mỗi hình cầu |x| ≤ n giao với hữu hạn số lân cận Ui . Gọi ϕ(x) hàm sở tuỳ ý K, theo nhận xét phần trước ta viết ϕ(x) dang: ∞ ϕ(x) = ϕi (x) (1) i=1 Trong ϕi (x) hàm sở Ui tổng (1) hữu hạn. Xét phiếm hàm g K xác định công thức: ∞ (g, ϕ(x)) = (g, ϕi (x) (2) i=1 Rõ ràng g phiếm hàm tuyến tính tính tuyến tính số (g, ϕi (x)). Hơn g phiếm hàm liên tục. Thật vậy, có dãy (ϕj )j mà ϕj (x) → K j → ∞, với i ∞ ấn định, ta có ϕj (x) = (ϕji )(x) → K j → ∞ i=1 Sự hội tụ xảy với điều kiện nói tổng bên phải (2) hữu 13 hạn giá cảu hàm ϕ chứa số hình cầu ấn định theo i. ∞ Tóm lại, (g, ϕ(x)) = (g, i=1 (ϕji )(x) → 0. Việc xây dựng phiếm hàm g không phụ thuộc vào viêc chọn phủ Ui với tính chất trên. Thật vậy: Nếu Vj phủ khác Rn có tính chất phủ Ui g1 phiếm hàm có cách xây dựng tương tự phiếm hàm g, g ≡ g1 địa phương (Tức chúng trùng lân cận Um đó) g ≡ g1 toàn không gian K. 14 Phần NHẬN XÉT MỞ RỘNG 3.1 Một vài nhận xét 1) Từ kiến thức ta thấy hàm suy rộng xây dựng cách tổng thể nhờ vào cho trước mang tính địa phương nó. 2) Trong phần trình bày ta xây dựng khái niệm hàm suy rộng f không lân cận U x0 tính tiêu hạng hàm sở. Tuy nhiên ta mở rộng khái niệm cho không gian hàm khác D(Ω). Ta xem xét thêm vài yếu tố sau. 3.2 Mở rộng 3.2.1 Không gian hàm D(Ω), không gian hàm suy rộng D (Ω) Định nghĩa Không gian D(Ω) không gian gồm hàm ϕ ∈ C0∞ với khái niệm hội tụ ∞ ∞ sau: dãy {ϕj }∞ j=1 hàm C0 gọi hội tụ đến hàm ϕ ∈ C0 nếu: i) Có tập compact K ⊂ Ω mà Suppϕj ⊂ K, j = 1, 2, . ii) lim sup |Dα ϕj (x) − Dα ϕ(x)| = 0, ∀α ∈ Zn+ j→∞ x∈Ω Khi ta viết ϕ = D- lim ϕj j→∞ Định nghĩa Ta nói f hàm suy rộng Ω f phiếm hàm tuyến tính liên tục D(Ω) Hàm suy rộng f ∈ D (Ω) tác động lên hàm ϕ ∈ D(Ω) viết < f, ϕ >. 15 Hai hàm suy rộng gọi < f, ϕ >=< g, ϕ >, ∀ϕ ∈ D. Tập tất hàm suy rộng Ω lập thành không gianD (Ω) 3.2.2 Tính địa phương Cho Ω1 , Ω2 tập mở Rn Ω1 ⊂ Ω2 . Với hàm ϕ ∈ C0∞ coi Ω2 cách sau ϕΩ2 (x) =   ϕ(x) với x ∈ Ω  0 với x ∈ Ω2 \Ω1 (3.1) ϕ ∈ C0∞ . Khi đó, với f ∈ D ta coi hàm suy rộng Ω1 cách sau < f |Ω1 , ϕ >=< f, ϕΩ2 >, ∀ϕ ∈ D . Định nghĩa Cho Ω tập mở Rn điểm x ∈ Ω, hàm suy rộng f, g ∈ D (Ω). Ta nói f g x có lân cận mở ω ⊂ Ω x để f |ω = g|ω . Chú ý: 1) Cho f, g ∈ D (Ω). Khi f = g điểm x ∈ ω với lân cận mở ω ⊂ Ω x ta điều có hàm ϕ ∈ D, suppϕ ⊂ ω cho < f, ϕ >=< g, ϕ > hay có hình cầu Brk (x) ⊂ Ω mà rk k ∞ dãy hàm ϕ ∈ C0∞ mà suppϕk ⊂ Brk (x) cho < f, ϕk >=< g, ϕk > 2) Cho f, g ∈ D (Ω). Nếu f = g D (Ω) f = g điểm x ∈ Ω. Định lí sau cho ta điều ngược lại đúng. 16 . Định lí Cho f, g ∈ D (Ω). Nếu với x ∈ Ω điều có f = g x f = g D (Ω) Chứng minh Với ϕ ∈ D(Ω) có K = suppϕ tập compact Ω. Từ giả thiết với x ∈ K có lân cận mở ωx x mà f |ωx = g|ωx . Có K ⊂ ∪x∈K ωx mà K compact nên có số hữu hạn điểm x1 , x2 , .xm ∈ K mà K ⊂ ∪m j=1 ωx . Theo định lí phân hoạch đơn vị có họ hữu hạn hàm {ψj }m j=1 D(Ω) cho: i) ≤ ψj (x) ≤ 1, ∀x ∈ K, j = 1, 2, . ii) suppψj ⊂ ωxj , j = 1, 2, . m ψj (x) = 1, ∀x ∈ K iii) j=1 Khi có : m < f, ϕ >=< f, m ψj ϕ > = j=1 j=1 m < f |ωj , ψj ϕ > = nên ta cóf = g D (Ω). 17 j=1 < g|ωj , ψj ϕ > =< g, ϕ >, KẾT LUẬN Tiểu luận tóm lược nội dung quan trọng cần thiết Hàm suy rộng đặc biệt tập trung sâu vào số tính chất tính địa phương hàm suy rộng, đồng thời mở rộng cho không gian hàm khác. Do hạn chế thời gian kiến thức khuôn khổ yêu cầu tiểu luận nên nhiều vấn đề kiến thức liên quan trình bày chưa sâu, định lí, mệnh đề, không trình bày phần chứng minh đây. Trong thời gian tới, em hy vọng có điều kiện khảo sát vấn đề hoàn thiện kết tiểu luận này. Rất mong nhận góp ý thầy cô bạn. 18 Tài liệu tham khảo 1. Lê Viết Ngư, Giáo trình hàm suy rộng (Giáo trình sau đại học). 2. Vladimirov, V. S Equations of Mathematics Physics, Mir Publishers,Moscow 1984. 3. Tài liệu tham khảo từ Website: datuan5pdes.wordpress.com. 19 [...]... (Ω) 17 j=1 < g|ωj , ψj ϕ > =< g, ϕ >, KẾT LUẬN Tiểu luận đã tóm lược những nội dung quan trọng cần thiết nhất của Hàm suy rộng đặc biệt tập trung sâu vào một số tính chất cơ bản về tính địa phương của hàm suy rộng, đồng thời được mở rộng ra cho không gian các hàm cơ bản khác Do hạn chế về thời gian và kiến thức cũng như trong khuôn khổ yêu cầu của một tiểu luận nên còn nhiều vấn đề về kiến thức liên... được gọi là giá của hàm suy rộng Nếu tập F chứa giá của hàm suy rộng f và f bằng không ở ngoài ε-lân cận của F (ε > 0) thì ta nói hàm suy rộng f tập trung trên F 2.2 2.2.1 Tính chất của hàm suy rộng (Tính địa phương) Định lý 1 Tính địa phương của hàm suy rộng được định nghĩa theo đinh nghĩa 1 và định nghĩa 2 là tương đương nhau Chứng minh Định nghĩa 2 suy ra định nghĩa 1 là hiển nhiên Ta chứng minh định... Tóm lại, (g, ϕ(x)) = (g, i=1 (ϕji )(x) → 0 Việc xây dựng phiếm hàm g không phụ thuộc vào viêc chọn phủ Ui với tính chất đã chỉ ra ở trên Thật vậy: Nếu Vj là một phủ khác của Rn cũng có tính chất như phủ Ui và g1 là phiếm hàm có được bằng cách xây dựng tương tự như phiếm hàm g, khi đó g ≡ g1 địa phương (Tức chúng trùng nhau trong lân cận Um nào đó) như vậy g ≡ g1 trên toàn bộ không gian K 14 Phần 3 NHẬN... 3.1 Một vài nhận xét 1) Từ kiến thức trên ta thấy rằng mỗi hàm suy rộng có thể được xây dựng một cách tổng thể nhờ vào sự cho trước mang tính địa phương của nó 2) Trong phần đã trình bày ta xây dựng khái niệm hàm suy rộng f bằng không trong lân cận U của x0 bằng tính tiêu hạng của hàm cơ sở Tuy nhiên ta có thể mở rộng khái niệm này cho một không gian các hàm cơ bản khác D(Ω) Ta xem xét thêm một vài... nghĩa 2 Ta nói rằng f là một hàm suy rộng trong Ω nếu f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên D(Ω) Hàm suy rộng f ∈ D (Ω) tác động lên hàm ϕ ∈ D(Ω) được viết là < f, ϕ > 15 Hai hàm suy rộng được gọi là bằng nhau nếu < f, ϕ >=< g, ϕ >, ∀ϕ ∈ D Tập tất cả các hàm suy rộng trong Ω lập thành không gianD (Ω) 3.2.2 Tính địa phương ∞ Cho Ω1 , Ω2 là các tập mở trong Rn và Ω1 ⊂ Ω2 Với mỗi hàm ϕ ∈ C0 có thể... đơn trị bởi các giá trị địa phương của chính nó 2.2.4 Định Lý 2 Nếu tại mỗi điểm x0 ∈ Rn có lân cận U (x0 ) sao cho với mọi hàm cơ sở ϕ(x) điều bằng 0 ở ngoài lân cận này,cho trước các số (f, ϕ) với giả thiết các số đó chỉ phụ thuộc liên tục và tuyến tính vào ϕ mà không phụ thuộc vào việc chọn điểm x0 thoả mãn giả thiết ở trên Khi đó, luôn luôn ttòn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không...Phần 2 TÍNH ĐỊA PHƯƠNG CỦA HÀM SUY RỘNG 2.1 Các định nghĩa 2.1.1 Định nghĩa 1 Hàm suy rộng f bằng không trong lân cận U của điểm x0 đã cho, nếu mọi hàm cơ sở ϕ ∈ K, khác không chỉ trong lân cận đó, thì ta luôn có... (1) i=1 Trong đó ϕi (x) là các hàm cơ sở bằng 0 ở ngoài Ui và tổng (1) là hữu hạn Xét phiếm hàm g trên K xác định bởi công thức: ∞ (g, ϕ(x)) = (g, ϕi (x) (2) i=1 Rõ ràng g là phiếm hàm tuyến tính do tính tuyến tính của các số (g, ϕi (x)) Hơn nữa g cũng là phiếm hàm liên tục Thật vậy, nếu có dãy (ϕj )j mà ϕj (x) → 0 trong K khi j → ∞, thì với mỗi i ∞ đã ấn định, ta có ϕj (x) = (ϕji )(x) → 0 trong K... lân cận U (x0 ) theo giả thiết trên là tồn tại ở mỗi điểm của Rn và vì vậy, chúng tạo thành một phủ của không gian Rn Không mất tính tổng quát, ta có thể nói các lân cận này là bị chặn Áp dụng định lý Hainơ- Borel, từ phủ trên ta tìm được một phủ đếm được U1 , U2 , Um , có tính chất : Mỗi hình cầu |x| ≤ n chỉ giao với hữu hạn số lân cận Ui Gọi ϕ(x) là hàm cơ sở tuỳ ý trên K, khi đó theo nhận xét ở... Khi đó: Với mọi x ∈ Q, bao giờ cũng tồn tại lân cận U mà hàm suy rộng f bằng 0 trên U (theo định nghĩa 1) Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử U bị chặn Tập hợp các U này lập thành một phủ của Q Theo định lý Hainơ-Borel từ phủ trên ta luôn tìm được phủ đếm được: U1 , U2 , Um , có tính chất : Mỗi hình cầu |x| ≤ n chỉ giao với hữu hạn số lân cận Ui đó Theo nhận xét trình bày ở phần trước , hàm cơ . về tính địa phương của hàm suy rộng. Nội dung của tiểu luận được chia làm ba phần: Phần I: Chúng tôi xin trình bày một số kiến thức tổng quan về hàm suy rộng. phần II: Trình bày về tính địa phương. F (ε > 0) thì ta nói hàm suy rộng f tập trung trên F. 2.2 Tính chất của hàm suy rộng (Tính địa phương) 2.2.1 Định lý 1 Tính địa phương của hàm suy rộng được định nghĩa theo đinh nghĩa 1 và định. trong D  (Ω). 17 KẾT LUẬN Tiểu luận đã tóm lược những nội dung quan trọng cần thiết nhất của Hàm suy rộng đặc biệt tập trung sâu vào một số tính chất cơ bản về tính địa phương của hàm suy rộng,